I problemi della relativit classicaNella relativit galileiana, le grandezze che dipendono dal sistema di riferimento, cio hanno valori diversi se misurate in riferimenti in moto uniforme l'uno rispetto all'altro sono la velocit e di conseguenza lo spazio percorso e l'energia cinetica che dipendono alla velocit. L'invarianza di forza, massa ed accelerazione porta alla conclusione che le leggi della meccanica siano le stesse in ogni riferimento inerziale. Ai tempi di Galileo, l'invarianza del tempo sembrava cos ovvia da non essere nemmeno presa in considerazione.

Il 1905 l'anno di pubblicazione della Teoria della relativit speciale di Albert

Einstein. La relativit speciale (o ristretta) si occupa solo dei sistemi di riferimento inerziali, mente la relativit generale tratta tutti i sistemi di riferimento. Ricordiamo che un sistema di riferimento inerziale uno in cui valgono le leggi della dinamica (e in particolare il principio di inerzia: se un corpo immobile o in moto rettilineo uniforme, su di esso agisce una forza risultante nulla). Una volta scelto un sistema inerziale, ogni altro riferimento in moto uniforme rispetto ad esso inerziale. Alla fine dell'Ottocento, la fisica sembrava ormai un capitolo chiuso. Da una parte la meccanica di Newton era sintetizzata in tre leggi fondamentali, dall'altra l'elettromagnetismo poggiava le sue basi sulle quattro equazioni di Maxwell. I fenomeni termici facevano parte, con la termodinamica, del campo della meccanica e quelli luminosi del campo dell'elettromagnetismo. Le forze fondamentali della natura erano di due tipi: forze gravitazionali e forze elettromagnetiche.

Qualche fenomeno per non rientrava nello schema generale ed inoltre il grande edificio della fisica classica presentava qualche contraddizione: uno dei problemi pi importanti era quello della propagazione della luce. La velocit di propagazione delle onde meccaniche sempre riferita ad un mezzo di propagazione e Maxwell pensava che le onde elettromagnetiche avessero una velocit c rispetto all'etere. L'etere avrebbe dovuto essere il mezzo che permetteva la propagazione di onde elettromagnetiche. Questo fluido avrebbe dovuto penetrare ogni cosa ed estendersi in ogni dove, nello

spazio interplanetario e nello spazio interstellare. I moti di tutti i corpi celesti sarebbero avvenuti nell'etere che non opponeva alcuna resistenza ed era completamente trasparente alla luce. Non c'era per alcun metodo sperimentale che potesse provare la effettiva presenza dell'etere. Si prov a misurare (esperienza di Michelson Morley) il cosiddetto vento d'etere studiando la propagazione della luce in diverse direzioni e in diverse stagioni (se la Terra ruota intorno al Sole attraversando un mare d'etere, la sua velocit rispetto all'etere avrebbe dovuto cambiare direzione durante il periodo di rivoluzione), ma non si rivel nessuna differenza significativa tra le diverse misure. La velocit della luce era sempre la stessa in ogni riferimento, come se essa fosse sempre riferita all'ipotetico etere. Il riferimento dell'etere sembrava assumere un ruolo di riferimento assoluto o privilegiato

negato dalla meccanica di Newton. Un altro problema era che le equazioni dell'elettromagnetismo di Maxwell prevedono che una carica immobile crea un campo elettrostico, mentre una in moto (una corrente) crea un campo magnetico. Sembra quindi che osservatori in sistemi di riferimento differenti siano immersi in campi diversi e misurino di conseguenza forze di diversa natura. Un protone si muove con velocit v parallelamente ad un filo rettilineo percorso da corrente elettrica. La velocit del protone concorde con il verso della corrente. Descrivi il fenomeno (e le forze che agiscono) dal punto di vista del laboratorio e dal punto di vista del protone.

Riferimento inerziale del laboratorio: Per un osservatore solidale al laboratorio il filo conduttore in quiete. La corrente che scorre nel filo crea un campo magnetico nella zona circostante e il protone, che viaggia nel campo magnetico, risente di una forza magnetica che lo devia e lo attira verso il filo.

Riferimento inerziale del protone: Per un osservatore solidale al protone, il protone in quiete e le cariche in quiete non sono sottoposte a forze magnetiche. Nonostante questo l'osservatore registra l'esistenza di una forza attrattiva che sposta il protone verso il filo conduttore. Si deve concludere che il protone risente dell'effetto di una forza elettrica, ma da dove ha origine questa forza se il filo complessivamente neutro?

Eventi nello spazio-tempoLa teoria della relativit di Einstein si fonda su due assiomi, di cui uno il principio di relativit enunciato da Galileo. Il secondo assioma quello che crea pi problemi al buon senso comune.

Relativit di Galileo Relativit di EinsteinPrincipio di relativit: Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali. Non esiste un riferimento privilegiato.

Assioma 1: Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali. Non esiste un riferimento privilegiato.

Legge di composizione delle velocit: Se un corpo ha velocit v rispetto ad un riferimento S che si muove con velocit w rispetto ad un altro riferimento S', allora la velocit v' del corpo rispetto al riferimento S' :v' = v + w (somma vettoriale)

Assioma 2: La velocit della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Consideriamo 2 eventi storici separati nel tempo e nello spazio: la morte di Giulio Cesare e la nascita di Cristo.Per ognuno di essi possiamo individuare una coordinata temporale (che dice quando avvenuto) ed una o pi coordinate spaziali (che dicono dove avvenuto) in opportuni sistemi di riferimento.

Evento Coordinata spazialeCoordinata temporale

Morte di Giulio Cesare

Roma Idi di Marzo, anno 44 a C

Nascita di Cristo Betlemme Anno 0

Usualmente gli eventi si rappresentano in un diagramma spazio-temporale dove lo spazio in

ascissa ed il tempo in ordinata. Nello spazio tridimensionale gli eventi sono individuati da tre coordinate spaziali e da una coordinata temporale: Evento (x, y, z, t)Stabilisci la separazione spaziale e la separazione temporale tra i due eventi.Per separazione spaziale e temporale si intende rispettivamente la distanza spaziale s tra i luoghi in cui avvengono gli eventi e l'intervallo temporale t che intercorre tra di essi. Nel caso dei due eventi considerati si ha:

Eventi s tMorte di Giulio Cesare e nascita di Cristo distanza Roma-Betlemme 44 anniSe due eventi hanno separazione temporale nulla si dicono simultanei. Le coordinate e le separazioni spaziali e temporali tra gli eventi sono riferite, in genere, ad un riferimento inerziale come la Terra, ma le cose possono cambiare notevolmente cambiando sistema di riferimento. Considera i due eventi: 1) salita di un passeggero sul treno alla stazione di Roma e 2) discesa del passeggero dallo stesso treno nella stazione di Milano. Qual la loro separazione spaziale? In questo problema necessario definire il sistema di riferimento perch gli eventi salita e discesa avvengono uno a Roma e l'altro a Milano nel riferimento terrestre, ma avvengono nello stesso luogo e cio sul treno in un riferimento solidale al treno.

Riferimento Separazione spazialeTerra distanza Roma-MilanoTreno 0In generale osservatori di riferimenti diversi assegneranno differenti separazioni spaziali agli stessi eventi. Come vedremo, essi misureranno anche differenti separazioni temporali: due eventi simultanei in un riferimento possono non esserlo in un altro. Spesso, nei problemi di relativit conviene usare, per la distanza le misure luce, cio gli anni-luce, i minuti-luce e i secondi-luce e le corrispondenti unit (anni, minuti, secondi) per il tempo. Con questa scelta la velocit della luce ha sempre valore numerico c = 1.

SimultaneitPer approfondire il significato del tempo, Einstein affront dapprima la definizione di eventi simultanei e puntualizz il fatto che la simultaneit non si conserva nel passaggio da un riferimento ad un altro in moto rispetto al primo: non basta, infatti, dire che devo osservare contemporaneamente due eventi per decidere che essi sono avvenuti nello stesso istante; la luce di due stelle che arriva sulla Terra porta generalmente con s immagini di stelle lontane nello spazio e anche nel tempo, con il risultato che possiamo vedere contemporaneamente una stella di 100 anni fa ed una di 10000 anni fa. Il metodo

suggerito da Einstein per stabilire un criterio di simultaneit allora quello di mettersi a met strada tra i due punti A e B dello spazio nei quali i due eventi hanno luogo. Se i segnali provenienti da A e da B arrivano contemporaneamente all'osservatore, si pu dedurre che i due eventi sono simultanei, se un segnale precede l'altro significa che un evento precede l'altro nel tempo. Due fulmini colpiscono i punti A e B. Se l'osservatore O registra contemporaneamente un segnale luminoso proveniente da A ed uno proveniente da B, conclude che gli eventi A e B sono simultanei.

La domanda che ci si pone allora: i due fulmini simultanei nel riferimento di O, lo sono anche in un riferimento in moto rispetto ad O? Che cosa registrerebbero i passeggeri di un aereo superveloce in viaggio con velocit v da A verso B?

Un passeggero O' si trova nell'aereo, a met strada tra i due eventi A e B. Le posizioni A e B corrispondono ai punti A' e B' sulla coda e sulla testa dell'aereo. Per O' l'evento A un fulmine che colpisce la coda dell'aereo e l'evento B un fulmine che colpisce la testa dell'aereo. Se la luce avesse velocit infinita, O' sarebbe colpito simultaneamente dai segnali provenienti da A e B, ma la luce si muove a velocit c per percorrere i tratti AO' e BO' e la velocit della luce la stessa in ogni sistema di riferimento.

Nel frattempo O' si spostato con l'aereo verso il segnale proveniente da B e si allontana da quello proveniente da A. Esso vedr pertanto il lampo B prima del lampo A. Nel sistema di riferimento di O' il fulmine che colpisce la testa un evento che precede quello del fulmine che colpisce la coda.

Si potrebbe ripetere il ragionamento con un altro ipotetico aereo che viaggia in direzione opposta: questa volta gli osservatori in esso concluderebbero che l'evento A precede l'evento B: in conclusione, non solo la simultaneit non viene mantenuta, ma possibile concepire sistemi di riferimento in cui l'ordine di successione degli avvenimenti si capovolge. Possiamo pensare allora a riferimenti in cui sta avvenendo o gi avvenuto il nostro futuro? Significa che i legami di causa - effetto non sono pi validi? Questo, come vedremo, non affatto vero: tutto quello che si detto sinora riferito a eventi completamente indipendenti. La teoria relativistica di Einstein non solo salva, ma anzi rafforza il significato del rapporto di causa effetto. Se due eventi A e B sono legati da un fatto fisico in modo tale che A sia la causa e B l'effetto, l'evento A preceder l'evento B in ogni riferimento, anche se con diversa separazione spaziale. La simultaneit un concetto relativo, ma la relazione di causa-effetto non lo .

Orologio a luceDue osservatori, uno nella stazione S e l'altro su un treno superveloce S' che si muove a velocit v rispetto alle rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cio la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento. Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d: un raggio luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi ed il tempo

occorrente per l'andata ed il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell'orologio.

Il periodo dell'orologio misurato da un osservatore in quiete rispetto all'orologio : T0 = 2 d / cL'intervallo di tempo T0 rappresenta la separazione temporale tra due eventi: la partenza e l'arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore. Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla. La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio.

Poich sia nel riferimento S, sia nel riferimento S' ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento. Ma cosa avviene uno osservatore prova a fare una misura di tempo mediante l'orologio a luce che si sta muovendo rispetto a lui? Per un tale osservatore, l'orologio si muove con velocit v in direzione perpendicolare all'asse degli specchi e quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d. Poich la luce ha sempre velocit c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T' dell'orologio in moto allora (per S): T' = 2 L / c > T0

Il periodo T' misurato con l'orologio in moto maggiore del tempo proprio T0: l'orologio in moto batte quindi un tempo pi lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ci vero per tutti e due gli osservatori: l'osservatore nella stazione S afferma che l'orologio sul treno pi lento, l'osservatore nel treno S' afferma che l'orologio della stazione a rallentare! In questa affermazione che pu sembrare paradossale c' tutto il significato del principio di relativit: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l'orologio in moto rallenta.Il periodo proprio dell'orologio a luce :T0 = 2 d / c

Il periodo dell'orologio misurato in moto :

T' = 2 L / c > T0Che relazione c' tra il periodo T0 (proprio) e il periodo T' misurato in moto? Possiamo risolvere il problema con considerazioni geometriche: l'orologio in moto ha velocit v e, mentre il raggio di luce percorre la distanza L, l'orologio si sposta di un tratto orizzontale 2x. Dal teorema di Pitagora si ha che: L2 = d2 + x2 Osserviamo questi tre termini:

Il tratto L percorso dal raggio di luce nel tempo T'/2 (misurato in moto) L = c T' / 2Il tratto d percorso dal raggio di luce nel tempo T0/2 (misurato in quiete)

d = c T0 / 2

Il tratto x percorso dall'orologio nel tempo T'/2 (misurato in moto) x = v T' / 2Sostituendo si ha: c2 T'2 = c2 T0

2 + v2 T'2

e quindi T'2 = c2 T02 / (c2 - v2)

Dividendo numeratore e denominatore per c2 e ponendo = v/c si ottiene infine che il rapporto tra il tempo T' misurato in moto ed il tempo proprio T0 vale:

Il fattore adimensionale si chiama fattore di dilatazione del tempo. Il tempo T' misurato su un orologio in moto risulta dilatato del fattore rispetto al tempo proprio T0.

T' = T0In un riferimento in moto il tempo scorre pi lentamente e la dilatazione tanto maggiore quanto pi alta la velocit relativa dei due riferimenti. Il tempo proprio il minor intervallo di tempo misurabile per un qualsiasi fenomenoCome si vede, tutto dipende dal fattore (detto anche parametro di velocit) da cui dipende il fattore di dilatazione

0,001 circa 10,01 1,00010,1 1,00500,5 1,15470,9 2,29420,99 7,08881 infinitoQualche osservazione :

La dilatazione del tempo significativa solo se la velocit relativa v molto vicina a c. La dilatazione dei tempi reale, in quanto essa viene verificata con delle misure; in fisica

reale solo ci che misurabile. La dilatazione del tempo reale solo per gli osservatori per i quali l'orologio si sta

muovendo. Un osservatore solidale con l'orologio non rilever alcuna variazione del ritmo. Dalla tabella si vede che per v che si avvicina a c il tempo tende all'infinito e che per v = c

la relazione perde di significato. L'interpretazione fisica di questo risultato matematico

conferma che la velocit della luce ha il carattere di velocit limite che non pu essere mai superata.

La vita media dei muoniI muoni (simbolo ) sono particelle elementari che si producono nell'impatto dei raggi cosmici con gli strati pi alti dell'atmosfera. Sono una specie di "elettroni grassi", dotati di carica negativa e di una massa maggiore di quella dell'elettrone. Sono particelle instabili: in un tempo brevissimo decadono trasformandosi in un elettrone ed un neutrino. Come tutte la particelle instabili, non decadono tutti contemporaneamente, ma sono caratterizzati da una vita media di 1.5 s nella quale,

statisticamente, il numero di muoni si riduce della met. La vita media misurata in quiete ed quindi un tempo proprio. In un esperimento del 1976 al CERN di Ginevra, si riscontrato che la vita media di muoni prodotti artificialmente, deflessi da campi magnetici e fatti girare a velocit prossime a quella della luce, pi lunga di quella dei muoni a riposo. Una conferma di questo fatto strabiliante data dalla constatazione sperimentale che circa la met dei muoni prodotti negli strati alti dell'atmosfera fa in tempo a raggiungere la Terra prima di decadere: questa percentuale sarebbe troppo elevata se la loro vita media fosse di soli 1,5 s.La distanza che i muoni devono percorrere pari allo spessore dell'atmosfera (circa 15 km). Calcola il tempo necessario a coprire tale distanza per una particella che si muove con velocit prossima a quella della luce. Questo intervallo di tempo un tempo proprio?

Dati del problema RichiesteD = 15 km = 1,5 103 m

spessore dell'atmosfera t tempo per raggiungere la Terra

c = 3 108 m/svelocit dei muoni rispetto alla Terra

Anche pensando che un un muone viaggi alla velocit della luce, il tempo necessario t = D/c ed circa 50 s. Il tempo T non un tempo proprio perch rispetto alla Terra la partenza e l'arrivo dei muoni sono 2 eventi spazialmente divisi. Dal grafico del decadimento dei muoni puoi constatare che gi a 6 o 7 s, la percentuale delle particelle ancora integre

minima. Come mai a Terra si registra l'arrivo della met di essi? Sulla base della velocit (altissima) dei muoni, il fattore di dilatazione vale 25. Di quanto si allunga la vita media di un muone veloce?

Dati del problema Richieste = 25 fattore di dilatazione vita media dei muoni veloci0 = 1,5 s vita media propria dei muoni a riposoLa vita media dei muoni veloci si calcola applicando il fattore di dilatazione dei tempi: = = 37,5 s. Essa appena un p minore del tempo necessario per attraversare l'atmosfera ed quindi compatibile con i risultati sperimentali.

A cavallo di un muoneIl problema della dilatazione della vita media dei muoni veloci dovrebbe suscitare qualche comprensibile dubbio: come sono le cose dal punto di vista di un muone? Immaginate di cavalcare un muone come se fosse un cavallo: in questo modo siete in un sistema di riferimento solidale a tutti i muoni del vostro sciame. I muoni sono quiete rispetto a voi e la Terra, lontana 15 km, vi viene incontro ad una velocit pazzesca. La collisione avverr fra circa 50 s. Ma un momento! Ora la vita media dei muone in quiete

di soli 1,5 s. Come si pu spiegare il fatto che circa il 50% dei muoni riuscir a collidere con la Terra dal momento che il cambio del sistema di riferimento non pu cambiare i fatti oggettivi? In effetti la dilatazione del tempo porta a risultati contraddittori se non accompagnatata da un altro aspetto della relativit: la contrazione di una distanza misurata in moto. La distanza di 15 km dello spessore atmosferico stata misurata da Terra, cio da un riferimento in quiete rispetto all'atmosfera. Questo significa che , con gli strumenti adatti, si preso nota della posizione contemporanea degli estremi x1 e x2 dello strato di atmosfera (rispetto ad un asse x prescelto) e poi si fatta la differenza:

L0 = |x1- x2|

La lunghezza misurata L0 si dice lunghezza propria perch misurata in quiete. Quindi lo spessore di 15 km dell'atmosfera terrestre una lunghezza propria. Sottolineiamo il fatto che gli estremi si devono trovare simultaneamente nelle rispettive posizioni (non devono infatti cambiare posizione durante la misura): poich la simultaneit non un fatto assoluto, ma relativo al riferimento, e quindi questo porta a pensare che anche la misura di lunghezza dipenda dal sistema di riferimento. Ora, se siamo a cavallo di un muone, tutta l'atmosfera terrestre di cui vorremmo misurare lo spessore, non in quiete rispetto a noi, ma si muove a velocit prossime a quella della luce: la misura di una lunghezza fatta in moto non una lunghezza propria. La lunghezza di un oggetto o di uno spazio in movimento diversa dalla misura effettuata in quiete: se l'oggetto si muove a velocit v, la lunghezza L (misurata nella stessa direzione di v) risulter contratta rispetto alla lunghezza propria L0. La legge di contrazione delle lunghezze analoga a quella di dilatazione

dei tempi:

con = v / c

La contrazione tanto maggiore quanto pi grande il valore del parametro di velocit. Riesaminiamo ora il problema dei muoni in modo pi completo: dal punto di vista dei muoni, lo spessore dell'atmosfera risulter, contratto di 25 volte rispetto allo spessore proprio. La contrazione delle lunghezze reale e valida solo per il sistema di riferimento in cui l'oggetto misurato in moto;

per ogni osservatore solidale con l'oggetto la lunghezza la lunghezza propria, cio la maggiore possibile.

Riferimento terrestre Riferimento muoniDistanza misurata d0 = 15 km (distanza propria) Distanza misurata d = 0,6 km

Vita media muoni = 37,5 s Vita media muoni 0 = 1,5 s (tempo proprio)

Tempo di percorrenza dei muoni d0/c = 50 s Tempo di percorrenza della Terra d/c = 2 sIl 50% dei muoni collidono con la Terra. Il 50% dei muoni collidono con la Terra.

Dal treno e dalla stazioneImmaginiamo un osservatore nella stazione S e un secondo osservatore nel treno superveloce S' che corre alla velocit u = 0,75 c. La velocit del treno riferita alla stazione. Dal punto di vista del treno invece la stazione a muoversi (in senso inverso) alla velocit u.

Sia in S, sia in S' c' un regolo che, misurato nel proprio sistema di riferimento, lungo 1 m. Ma sia per l'osservatore S, sia per l'osservatore S' l'altro regolo (quello in moto a velocit u) misura 74,5 cm! E' questo quindi il significato del principio di relativit: tutti gli osservatori, in qualunque riferimento inerziale, concordano sulla lunghezza di regoli in quiete e sulla lunghezza di regoli in moto uniforme, ma non possono, rimanendo all'interno del loro sistema di riferimento, decidere se il loro sistema in quiete o in moto.Osservazioni conclusive:

1. La contrazione delle lunghezze si verifica soltanto per le lunghezze che stanno lungo la direzione del moto. Nel nostro esempio, quindi, lo spessore del regolo rimane inalterato.

2. La contrazione delle lunghezze significativa solo se la velocit relativa u molto vicina a c.

3. Una velocit di 30 km/s, dell'ordine di grandezza della velocit orbitale terrestre, "grande" se valutata rispetto alle ordinarie velocit cui siamo abituati, provoca una contrazione secondo un coefficiente 1 / = 0.99995. Ci significa che un regolo lungo 1 m in un riferimento in quiete subisce una contrazione di appena 50 se misurato in moto.

4. La contrazione della lunghezza reale, in quanto essa viene verificata con delle misure; ricordiamo che in fisica reale ci che misurabile.

5. Dalla legge di contrazione delle lunghezze si vede che, se u = c, la lunghezza si annulla e se u > c la lunghezza diventa immaginaria (il radicando 1 - diventa negativo). L'interpretazione fisica di questo risultato matematico conferma che la velocit della luce ha il carattere di velocit limite che non pu essere mai superata.

6. Per l'osservatore in S' il regolo in quiete e quindi in nessun modo pu verificare che la sua lunghezza subisca variazioni, cos come egli non pu in alcun modo verificare di essere in moto uniforme. La contrazione della lunghezza reale, come reale il movimento, solo per gli osservatori per i quali il regolo si sta muovendo.

Un viaggio verso l'ignoto: la stella Vega dista da noi 25 anni luce, ma disponiamo di un'astronave con un motore fantascientifico che la porta a viaggiare alla velocit di 0,8 c. Calcola la durata del viaggio e la distanza Terra Vega nel riferimento terrestre e in quello dell'astronave (supponendoli inerziali ambedue). Individua il tempo proprio e la lunghezza propriaRiferimento terrestre

Riferimento astronave

Distanza misurata d0 = 25 al (distanza propria)

Distanza misurata d = 15 al

Durata del viaggio t = 31 anni

Durata del viaggio t0 = 18 anni (tempo proprio)

Velocit dell'astronave v = d0 / t = 0,8 c

Velocit della Terra e di Vega v = d / t0 = 0,8 c

Composizione delle velocitCome abbiamo visto, la teoria della relativit di Einstein salva il principio di relativit, ma non la legge classica di composizione delle velocit.Problema di fisica classica: Un camion si muove a velocit v rispetto alla strada. Dal camion viene lanciato un sasso. Se u e u' sono le velocit del sasso rispettivamente rispetto alla strada e rispetto al camion, che relazione c' tra le velocit v, u e u'?

1. u = u' + v 2. u' = u + v 3. v = u + u'

La legge classica (galileiana) di composizione delle velocit non vale pi in ambito relativistico. In particolare sappiamo che non valida per la luce che ha velocit c in qualsiasi riferimento inerziale.

Problema di fisica relativistica: Una astronave A si muove a velocit v = 0,8 c rispetto alla Terra. Una seconda astronave B si muove con velocit u' = 0,4 c rispetto all'astronave A. Considera le due velocit parallele e concordi. Quale la velocit u dell'astronave B rispetto alla Terra?

Se applicassimo la relazione classica u = u' + v si avrebbe, per l'astronave B, una velocit u = 1,2 c superiore alla velocit della luce! La nuova legge di composizione delle velocit ottenuta da Einstein e da Hendrik Antoon Lorentz la seguente:

Legge di composizione delle velocit: Un corpo che si muove a velocit u' in un riferimento O' in moto relativo con velocit v rispetto ad un altro riferimento O, ha, nel riferimento O, la velocit

Con la nuova relazione l'astronave B ha, rispetto alla Terra, una velocit u = 0,91 c. Osserva! Una astronave A che si muove a velocit v rispetto alla Terra invia un fascio di luce, misurando per essa una velocit c. Quale la velocit u della luce rispetto alla Terra? Applicando la nuova relazione si ha u = c, in accordo con il secondo postulato della relativit ristretta che prevede l'invarianza della velocit della luce in qualsiasi

Intervallo invarianteA volte capita di sentir riassumere la teoria della relativit con l'espressione tutto relativo. L'espressione superficiale e profondamente sbagliata. Basterebbe rileggere il principio di relativit di Galileo che rimane invariato nella relativit di Einstein: Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali. Come spesso succede, siamo interessati a ci che rimane costante pi che a ci che varia. L'attenzione rivolta alle grandezze invarianti. Fra queste c' naturalmente la velocit della luce nel vuoto che ha lo stesso valore in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di riferimento

http://it.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz

inerziali.

Il problema che le grandezze invarianti non sono quelle che il senso comune farebbe supporre. In definitiva, su cosa concordano gli osservatori di due sistemi di riferimento inerziali? Riprendiamo l'esempio dell'orologio a luce e consideriamo la separazione spaziale e la separazione temporale tra i due eventi PARTENZA e ARRIVO del raggio di luce.

Nel riferimento solidale all'orologio si ha che i due eventi hanno:

Separazione temporale T0 = 2 d /c

Separazione spaziale nulla

T0 l'intervallo di tempo proprio

Nel riferimento in cui l'orologio in moto con velocit i due eventi hanno:

Separazione temporale T = 2 L /c

Separazione spaziale s = 2 x (tratto percorso dall'orologio nel tempo T)

T non un tempo proprio (il tempo proprio quello misurato tra due eventi con separazione spaziale nulla)

Se l'orologio a luce fosse posto su un treno con velocit v' diversa da v le misure di tempo e spazio cambierebbero ancora da un riferimento all'altro. Quale, tra le seguenti misure di spazio e tempo, invariante nei diversi sistemi di riferimento inerziali in moto uniforme l'uno rispetto all'altro?la separazione temporale tra i due eventi la separazione spaziale tra i due eventi lo spazio percorso dalla luce la distanza tra i due specchi dell'orologio

La distanza tra i due specchi dell'orologio non subisce variazioni in quanto perpendicolare alla direzione del moto: essa una quantit invariante. Vediamo di esprimerla in funzione delle altre grandezze che dipendono dal riferimento. Con una semplice relazione pitagorica si ha:

RiferimentoDistanza percorsa dalla luce

Distanza percorsa dall'orologio (separazione spaziale)

Solidale all'orologio 2 d 0

In moto relativo a velocit v 2 L s = 2 x

In moto relativo a velocit v' 2 L' s' = 2 x'

La relazione che esprime d pu essere scritta: e, moltiplicando tutto per 2, abbiamo:

Questa grandezza si chiama intervallo invariante. Esso tiene conto sia della separazione spaziale, sia della separazione temporale tra due eventi. Si ottiene facendo la radice della differenza tra due quadrati: la distanza percorsa dalla luce nella separazione temporale e la separazione spaziale. L'intervallo invariante rappresenta la distanza percorsa dalla luce in un intervallo di tempo proprio.

Quantit di motoUn protone si muove ad una velocit vp = 0,90 c rispetto ad un sistema di riferimento e urta un elettrone immobile nello stesso sistema. Poich il bersaglio molto leggero, dopo l'urto il protone prosegue quasi indisturbato ad una velocit wp = 0,89 c. Qual la velocit dell'elettrone dopo l'urto?Dati Richiesteme = 9,11 10

-31 kg massa dell'elettrone we velocit dell'elettrone dopo l'urto

mp = 1,67 10-27 kg massa del protone

vp = 0,90 c velocit del protone prima dell'urto

wp = 0,89 c velocit del protone dopo l'urtoSe applichiamo la legge di conservazione della quantit di moto si ha che la quantit di moto iniziale si deve mantenere subito dopo l'urto e quindi:

mp vp = mp wp + me wewe = mp(vp - wp) / me = 1,83 c

Con le leggi della fisica classica, pertanto, l'elettrone dovrebbe acquistare una velocit maggiore di quella della luce, non ammessa nella fisica relativistica. Le leggi di conservazione, per, continuano ad essere valide nella fisica relativistica a patto di ridefinire quantit di moto ed energia. La corretta relazione per il modulo della quantit di moto di un corpo di massa m e velocit v : p = m v

dove il fattore di dilatazione dei tempi

Applichiamo di nuovo la legge di conservazione della quantit di moto dopo aver calcolato i fattori di dilatazione per il protone prima e dopo l'urto e lasciando come incognita il fattore di dilatazione per la quantit di moto dell'elettrone dopo l'urto:

2,29 mp vp = 2,19 mp wp + me we we = mp(2,29 vp - 2,19 wp) / me

La quantit we pu essere scritta come c, con fattore di velocit:

c = 207 c = 207Dall'ultima relazione si ottiene che circa 1. L'elettrone pertanto schizza via a velocit prossima (ma mai superiore) a quella della luce.

Energia relativisticaUn acceleratore di particelle fornisce energia cinetica K ad un fascio di elettroni che viene accelerato e sparato verso un bersaglio lontano 8,4 m. L'energia fornita agli elettroni molto alta e viene misurata in Mev o milioni di eV (1 eV = 1,6 10-19 J). Si misura quindi il tempo di volo degli elettroni per ricavare la velocit indipendentemente dalla misura di energia.

Risultati sperimentali

Energia fornita (MeV) Tempo di volo (ns) Velocit effettiva Previsione classica 0,01 142,72 0,19 c 0,20 c0,02 103,08 0,27 c 0,28 c0,03 85,34 0,33 c 0,34 c0,05 67,90 0,41 c 0,44 c0,10 51,11 0,55 c 0,63 c0,50 32,46 0,86 c 1,40 c1,00 29,76 0,94 c 1,98 c2,00 28,60 0,98 c 2,80 c3,00 28,30 0,99 c 3,42 c4,00 28,18 0,99 c 3,95 c

Ci si aspetterebbe una diretta proporzionalit tra il quadrato della velocit e l'energia fornita secondo la relazione classica tra energia cinetica e velocit, invece, dai risultati sperimentali, la legge classica sembra valere solo per basse energie (inferiori a 0,1 MeV).

Gli elettroni a cui viene fornita un'energia molto elevata non raggiungono la velocit prevista dalla teoria classica e la

presenza nel grafico di un asintoto orizzontale suggerisce l'esistenza di una velocit limite. Pi gli elettroni sono veloci e pi difficile accelerarli: essi non riescono mai a raggiungere la velocit della luce.Possiamo dire che, nell'esperienza degli elettroni accelerati, non vale pi la conservazione dell'energia?

Ancora una volta occorre ridefinire il concetto di una grandezza: la distinzione netta tra massa ed

energia appartiene solo alla fisica classica, cio alla fisica degli oggetti grossi e lenti. Nella fisica relativistiva questa distinzione sfuma, il confine si fa incerto: la massa pu scomparire ed al suo posto compare dell'energia e viceversa l'energia pu condensarsi in massa.Esaminiamo allora la stretta connessione che esiste tra massa ed energia.

Energia a riposoAd una quantit di massa m in quiete in un sistema di riferimento, corrisponde una energia E0 detta energia a riposo data dal prodotto della massa per il quadrato della velocit della luce:

E0 = m c2

Il tasso di scambio c2 (= 9 1016 m2/s2) tra massa ed energia enormemente sbilanciato: ad una piccola quantit di massa corrisponde una grande quantit di energia.

Calcola l'energia a riposo di un elettrone. La massa di un elettrone me = 9,11 10-31 kg e quindi

l'energia a riposo corrispondente E0 = me c2 = 8,95 10-14 J.

Come si visto pi volte, il joule non una unit di misura adatta per quantit cos piccole. Per particelle microscopiche, l'unit di misura pi conveniente l'elettronvolt (1 eV = 1,6 10-19 J) ed i suoi multipli keV, MeV, GeV. Convertendo l'energia in unit Mev, si ottiene che l'energia a riposo di un elettrone E0 = 0,51 MeV Questo non significa che massa ed energia siano proprio la stessa cosa, ma che possono tramutarsi l'una nell'altra. Nella fisica relativistica il principio di conservazione della massa e quello di conservazione dell'energia non valgono separatamente: vale il principio di conservazione della massa-energia. Nella fisica delle particelle elementari la massa delle particelle elementari viene fornita direttamente in MeV cio in unit di energia. Poich in questa conversione occorre usare le costanti c (velocit della luce) ed e (carica dell'elettrone) con la maggiore precisione possibile conveniente determinare a quanti MeV corrisponde l'unit di massa atomica u

1 u (=1,66 10-27 kg) corrisponde a 931,5 MeV

Particelle del modello standard

particella carica (e) massa (MeV)elettrone -1 0,51protone +1 938,28neutrone 0 939,27muone -1 106Il protone ed il neutrone hanno una massa quasi uguale ad una unit atomica. Esistono particelle dette neutrini che hanno una massa quasi nulla, minore di 2 eV. Esistono anche particelle, come la particella , molto pi pesanti, con masse dell'ordine dei GeV.

Energia cineticaRiconsideriamo i risultati sperimentali ottenuti accelerando gli elettroni:

Energia fornita (MeV) Velocit effettiva0,01 0,19 c0,02 0,27 c0,03 0,33 c

0,05 0,41 c0,10 0,55 c0,50 0,86 c1,00 0,94 c2,00 0,98 c3,00 0,99 cL'energia fornita si trasforma in energia cinetica, ma, come abbiamo visto non possibile utilizzare la usuale relazione classica perch non c' una proporzionalit diretta tra energia cinetica e quadrato della velocit. In un riferimento solidale agli elettroni, essi hanno solo energia a riposo, ma nel sistema di riferimento del laboratorio dove gli elettroni sono in moto con velocit v = c, anche

l'energia deve essere moltiplicata per il fattore di dilatazione

L'energia totale relativistica E di particelle di massa m in moto con velocit v = c vale:

E = m c2

L'energia totale E la somma dell'energia a riposo E0 e di quella di movimento o cinetica K. Si pu quindi scrivere:

E = E0 + K = m c2 + K = m c2

L'espressione dell'energia cinetica relativistica K si ottiene allora per differenza:

K = E - E0 = ( - 1) m c2

Utilizziamo questa relazione per calcolare l'energia cinetica relativistica degli elettroni in moto. Completiamo la tabella precedente calcolando il fattore per ogni valore del parametro di velocit e moltiplichiamo ( - 1) per l'energia a riposo degli elettroni che E0 = 0,51 MeV. Si otterr l'energia cinetica K in MeV.

Energia fornita (MeV) K = ( - 1)* 0,51 MeV0,01 0,19 1,02 0,010,02 0,27 1,04 0,020,03 0,33 1,06 0,030,05 0,41 1,10 0,050,10 0,55 1,20 0,100,50 0,86 1,96 0,491,00 0,94 2,93 0,982,00 0,98 5,03 2,053,00 0,99 7,09 3,11L'energia fornita pertanto diventa energia cinetica degli elettroni. La conservazione dell'energia salva anche nella fisica relativistica. Le particelle accelerate nei grandi acceleratori trasportano quindi una energia E = m c2 data dalla loro energia a riposo e da quella cinetica. Nella collisione di particelle veloci la massa si annichilisce ed al posto della massa mancante compare dell'energia sotto forma di radiazione o fotoni. Questa energia a sua volta si ricondensa in massa dando vita a nuove particelle.

I problemi della relativit classicaEventi nello spazio-tempoRelativit di GalileoRelativit di EinsteinSimultaneitOrologio a luceLa vita media dei muoniA cavallo di un muoneDal treno e dalla stazioneComposizione delle velocitIntervallo invarianteQuantit di motoEnergia relativisticaEnergia a riposoEnergia cinetica