Regressione Lineare parte 1 Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi.

Regressione Lineareparte 1

Corso di

Misure Meccaniche e Termiche

David Vetturi

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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare

Spesso, considerando congiuntamente due caratteristica (X,Y) di una medesima realtà statistica, risulta interessante ricercare un legame funzionale fra le due quantità del tipo Y=f(X)

Regressione lineare

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Il metodo della Regressione Lineare (o metodo di stima ai Minimi Quadrati) si occupa di individuare, all’interno di un certo ambito di funzioni, una relazione fra le due quantità.

Regressione lineare

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Siano noti m punti di coordinate

Ipotesi:

mkyx kk ..1con ,

Sia data una base di funzioni che generi uno spazio vettoriale di dimensione n

xxx n , ... ,, 21

La relazione funzionale fra x e y sia una combinazione lineare delle n funzioni di base

n

iii xxy

1

)(

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Il criterio è dunque quello di scegliere la funzione che minimizza la somma delle distanze di tutti i punti dal modello

criterio:

mkxyy kkk..1con 22

Fra tutte le funzione generate dalla base viene scelta quella che “meglio” descrive la relazione funzionale fra le due grandezze

m

kkk

m

kk xyy

1

2

1

22

2

k

2

k

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e dunque i punti candidati a risultare minimi di tale funzione sono quello di stazionarietà, ovvero che soddisfano le seguenti n condizioni:

soluzione:

nii

..1con 02

Si può immaginare che la funzione =errore sia una funzione degli n parametri da minimizzare

min,..,, 212 ng

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BA

La scelta di operare la selezione della funzione che lega X a Y all’interno delle funzioni generate come combinazione lineare delle n funzioni di base conduce il problema appena descritto a prevedere una ed una sola soluzione che può essere determinata risolvendo il seguente sistema:

con:

n

...

2

1

m

kkjkj xybB

1

m

kkjkiij xxaA

1

Si può dimostrare che la matrice del sistema ha determinante non nullo quindi il sistema ammette una sola soluzione

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e quindi gli elementi della matrice A e del vettore B possono essere visti nel seguente modo:

Prodotto scalare:

Nello spazio vettoriale generato dalla base di vettori (funzioni) (x) è possibile considerare un prodotto scalare con la seguente definizione:

m

kkk xgxfxgxfxgxf

1

)()()()()()(

xxyxyb j

m

kkjkj ~

1

xxxxa ji

m

kkjkiij

1

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Ne consegue che se le funzioni di base (x) fossero scelte in modo opportuno la matrice A sarebbe una matrice “vuota” (sparsa) e la soluzione del sistema più semplice dal punto di vista computazionale.

In particolare se A fosse diagonale il sistema lineare si ridurrebbe ad una sequenza di n equazioni disaccoppiate, ciascuna con una sola variabile.

E quindi sarebbe opportuno scegliere le funzioni di base (x) fra loro ortogonali, cioè:

jixx ji 0

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Ortogonalizzazione:Come è noto è possibile ortogonalizzare la base di uno spazio vettoriale utilizzando l’algoritmo di Gram-Schmidt.

Quindi a partire dalla base di funzioni (x) si ottiene una nuova base per il medesimo spazio vettoriale di funzioni ’(x) fra loro ortogonali

xxx

xxxx p

i

p pp

pi

ii

1

1

1v2v

11 vv 2v

11 vv 2v

2v

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E’ bene osservare che il cambio di base in cui esprimere la funzione da ricercare, quest’ultima non cambia.

Dunque la funzione che minimizza la somma delle distanze al quadrato punto osservato-modello diventa:

n

iii

n

iii xxxy

11

)(

m

kki

m

kkik

i

x

xy

1

2

1

Mentre la soluzione del sistema porta al seguente risultato:

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Esempio: retta di regressione

Un caso molto comune e diffuso è quello di ricercare un legame fra le quantità X e Y di tipo lineare, ovvero si vuole ricercare la retta del piano che meglio descrive il legame fra le due grandezze.

Le funzioni di base da utilizzare sono dunque:

m

xxxxx

x

kk

con

1

2

1

xxxy 21)(

e dunque:

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E dunque i parametri del modello diventano:

m

kk

m

kkk

xx

xxy

1

2

12

)(

m

ym

kk

11

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Retta ai minimi quadrati: esempio numerico

Si considerano i seguenti 10 punti di coordinate X,Yx y

0.8 212.5 363.8 535.3 486.8 618.2 7810.3 7712.6 7514.7 9918.3 104

Si Ipotizza una relazione lineare fra Y ed X, ovvero Y=m X + q

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E dunque i parametri del modello ortogonalizzato diventano:

50.4

841.284

44.1282

)(

)(

1

2

12

m

kk

m

kkk

xx

xxxy2.65

10

652)(

11

m

xym

kk

e quindi 33.850.42.65)( xxy

70.2750.4)( xxyovvero

33.8con

1

2

1

m

xxxxx

x

kk

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Il modello calcolato in corrispondenza dei punti assegnati fornisce i seguenti valori

x y y(x)

0.8 21 31.30

2.5 36 38.95

3.8 53 44.80

5.3 48 51.56

6.8 61 58.31

8.2 78 64.61

10.3 77 74.07

12.6 75 84.42

14.7 99 93.88

18.3 104 110.09

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