RecuperoIncontro6 [modalità compatibilità]

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SSISCorso di recupero

• Fondamenti storico-epistemologici della matematica 1

• e• Didattica della matematica

• 6° incontro

La prospettivaLa prospettiva


•• PieroPiero delladella FrancescaFrancesca (1415 ?- 1492)• De prospectiva pingendi (scritto tra il 1472

e il 1475) propone problemi di riduzioneprospettica con esercizi pratici. L'opera è lapiù nota ed importante tra quelle scritte dalgrande artista che scrisse anche un Libellusde quinque corporibus regolaribus ed unTrattato d'abaco


• Il trattato De divinaproportione (Pacioli)raccoglie anche varidisegni di Leonardosui poliedri regolari(cavi)

La prospettivaLa prospettiva La prospettivaLa prospettiva

• Tarsie di fra’ Giovannida Verona nel coro dellachiesa di S. Maria inOrgano a Verona (ultimodecennio del XV secolo;splendido esempio diprospettiva)

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I logaritmiI logaritmi


•• JohnJohn NapierNapier (1550-1617, latinizzato inNepero) era un riccoproprietario terrieroscozzese

• Non è chiaro doveabbia fatto studi dimatematica (forse aParigi)


• Nepero pubblicò nel nel 1614 la Mirificilogarithmorum canonis descriptio(Descrizione della regola meravigliosa deilogaritmi), ma aveva avuto la prima idea giànel 1594. Lo scopo era quella disemplificare i calcoli, dato che prodottivenivano trasformati in somme:

loga(xy) = logax + logay

I logaritmiI logaritmi• I primi logaritmi di Nepero erano in base

1/e•• HenryHenry BriggsBriggs (1561-1630), matematico

inglese, apprese i logaritmi dall’opera diNepero e se ne entusiasmò; subito dopocollaborò con lui e nel 1617 pubblicò unatavola dei logaritmi in base 10 degli interifino a 10.000: Logarithmorum ChiliasPrima


• Era quella l’epoca deicalcoli astronomici:Giovanni Keplero

• (1571-1630) è unmatematico tedesco.

KepleroKeplero

• È assistente di astronomia del danese TychoBrahe; alla morte di questo (1601) diventaastronomo imperiale. Le basi per le suescoperte astronomiche vengono gettate nel1609, quando pubblica Astronomia nova, incui formula le sue prime due leggi.

• La terza legge compare nell'operaHarmonices mundi (Linz, 1619).

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KepleroKeplero

• Nel 1627 pubblica le Tavole rudolfine, cosìchiamate in onore dell’imperatore RodolfoII, un amplissimo catalogo stellare con laposizione di oltre 1000 stelle, calcolataservendosi di tavole di logaritmi da luistesso elaborata

CartesioCartesio

CartesioCartesio(René Descartes 1596 - 1650)

• Nasce in Bretagna, da famiglia di piccolanobiltà

• di salute molto cagionevole, studia in unconvento di Gesuiti a La Flèche, e ha ilpermesso di alzarsi tardi, abitudine chemanterrà tutta la vita

• Padre Marin Mersenne fu suo maestro, etenne con lui e con altri una fittacorrispondenza

Descartes Mersenne

CartesioCartesio• Si laurea in diritto, impara la danza,

l’equitazione e la scherma• Nel 1618 intraprende la carriera militare;

combatte in vari eserciti, sotto Maurizio diNassau e Massimiliano I di Baviera (guerradei Trent’anni, 1618-1648)

CartesioCartesio• Una notte, 10 novembre 1619, durante una

campagna militare in Germania, sogna lacongruenza tra la matematica e la natura(Scientia penitus nova): è la primaconcezione del Discours de la Méthode

• Dal 1620 al 1625 viaggia per mezzaEuropa, dall’Olanda all’Ungheria, allaPolonia; viene anche a Venezia e a Roma;prende parte all’assedio di La Rochelle(1627-28)

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CartesioCartesio

Il cardinale RichelieuIl cardinale Richelieu all’assedio di

La Rochelle

CartesioCartesio

D’Artagnan e i tre Moschettieri(1844)

Alessandro Dumas (padre)

CartesioCartesio

• Va a Parigi, che però non trova adatta allosviluppo della sua filosofia

• Resta poi più di venti anni in Olanda, macambiando spesso città di residenza

• Conosce Christian Huygens, il cui padre, ilpoeta Constantine, sarà il suo potenteprotettore in Olanda

CartesioCartesio

CartesioCartesio• Nel 1635 ha una figlia da un’avventura con

una domestica; la bambina muore all’età di5 anni; Cartesio dirà che quello è statol’unico grande dolore della sua vita

• Nonostante il favore del Padre Mersenne,Cartesio è osteggiato da altri gesuiti (PadreBoudin); le sue teorie verranno condannateufficialmente dalla Chiesa appoggiata dalConsiglio del Re dopo la sua morte

CartesioCartesio

• 1637: pubblicazione del Discours de laMéthode (la condanna di Galileo è del1633)

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CartesioCartesio• 1643: stringe amicizia con la principessa

Elisabetta di Boemia, con la quale ha unvivace scambio di lettere

• 1649: accetta l’invito di Cristina di Svezia,ma il ruolo di filosofo della regina non gli siconfà (la deve incontrare in biblioteca ognimattina alle cinque)

• febbraio 1650: si ammala di polmonite emuore pochi giorni più tardi

Cartesio Cartesio -- opereopere• 1637: Esce il Discours de la Méthode pour

bien conduire sa raison et chercher la veritédans les sciences insieme alla Dioptrique,les Metéores et la Géométrie

• La prima frase è ben nota: il buon senso è lacosa meglio distribuita nel mondo perchéognuno è convinto di averne più degli altri

• Nella Géométrie è proposta per la primavolta la geometria analitica, gli assicartesiani e la soluzione dei problemigeometrici tramite equazioni

Cartesio Cartesio -- opereopere

• La pubblicazione appare in francese (saràtradotta in latino alcuni anni dopo). InfattiCartesio intendeva rivolgersi a persone nonparticolarmente dotte, ma piene di buonsenso (pensava anche alle donne), e speravache la sua filosofia venisse insegnata nellescuole

Cartesio Cartesio -- opereopere• 1647: appare Méditations métaphysiques,

traduzione in francese di un’opera apparsain latino alcuni anni primaIn quest’opera appare un abbozzo dellalegge d’inerzia formulata da Galileo nel1603 e che Newton riprenderà mezzo secolodopoIn quest’opera appare la frase: cogito, ergosum


• Tra le opere va considerato il vastoepistolario, particolarmente curato e che glipermette di restare in contatto con i dottifrancesi durante il suo lungo soggiorno inOlanda. In gran parte le lettere sono scritte aP. Mersenne, ma ce ne sono anche per laRegina di Svezia, la principessa Elisabettadi Boemia e Fermat


• In una lettera a Constantin Huygens tratta la teoria delle macchine semplici:

• la puleggia, il piano inclinato, il cuneo,l’argano, la vite e la leva

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• Cartesio fu un sostenitore della teoriacorpuscolare della luce, fece studi sullariflessione e sulla rifrazione, conillustrazioni nei suoi testi

• Nel suo Secondo discorso tratta dellarifrazione e ne enuncia il teorema dei seni,che adesso esprimiamo come un rapportotra gli indici di rifrazione


Legge di Snell-Cartesio

Cartesio Cartesio -- opere (opere (SnellSnell))

• Willebrord Snell van Royen (Snellius) (1580-1626), fisico e matematico olandese

Cartesio Cartesio -- opereopere• Nel suo primo periodo (durante le

campagne militari) scopre la formulaf + v = s + 2f + v = s + 2

che poi prenderà il nome di formulaformula didiEuleroEuleroIn una lettera del 1628 Cartesio dice di avertrovato per via geometrica la costruzionedelle radici di terzo e quarto grado tramiteuna parabola


• Naturalmente non era più di quanto lamatematica greca aveva scoperto 2000 anniprima e di quanto Omar Kayyam aveva giàdisegnato attorno al 1100Ma probabilmente è di quegli anni laapplicazione ad alcuni problemi classicidella geometria analitica


• In realtà nei Discours si trovano piùcostruzioni geometriche che non l’usodell’algebra applicata a problemi digeometria

• Tuttavia Cartesio si differenzia daipredecessori per la sistematicitàdell’applicazione dei suoi metodi

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• Cartesio usa le prime lettere per i parametri,le ultime per le incognite, usa i simboli + e -di derivazione tedesca

• Rottura con la tradizione greca: Cartesioconsidera anche x2, x3 come segmenti, noncome quadrati o cubi

• Il testo di Cartesio si può leggere senzadifficoltà anche adesso

Cartesio Cartesio -- opereopere• La duplicazione del cubo e la trisezione

dell’angolo, problemi classici dell’antichità,conducono ad equazioni di terzo grado

• Cartesio dimostra (inadeguatamente) chequeste equazioni non si possono risolverecon riga e compasso. Nelle sue risoluzionidi problemi di secondo grado scarta semprele radici negative

Cartesio Cartesio -- opereopere• Curve rettificabili e curve meccaniche

Curve rettificabili: tali che si può calcolarela loro lunghezza tramite un’equazionealgebrica a coefficienti interi (la definizioneodierna è diversa e usa l’integrale)Le curve meccaniche erano curve ottenibilecon movimento e tra queste i greci avevanoindividuato la concoide, la cissoide, laquadratrice e la spirale


• Cartesio distingue le curve (che oggichiamiamo algebriche) come la cissoide ela concoide dalle altre (che oggi chiamiamotrascendenti), come la quadratrice e laspirale

• Le curve algebriche sono quelle la cuiequazione è algebrica


• Si chiamano equazioniequazioni algebrichealgebriche opolinomialipolinomiali quelle equazioni equivalenti adun polinomio uguagliato a zero (oppurericonducibili a queste tramite trasformazioni,in cui compaiono soltanto somme, prodotti,divisioni, potenze, radici). Il grado di talepolinomio è anche il grado dell'equazione

• Equazioni trascendenti: le altre

Cartesio Cartesio -- opereopere1638: Cartesio si imbatte in una curvameccanica nello studio della caduta di ungrave che entra nella Terra in rotazione:

ρ= aebθ (spirale logaritmica)Cartesio rifiuta queste curve, che invecerisultano rettificabiliTorricelli dimostrerà (1645) che lalunghezza della spirale si può otteneregeometricamente

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Cartesio Cartesio -- opereopereIl Libro III dei Discours è un corso di teoriaelementare delle equazioni (determinate); sonodescritti metodi per risolvere vari problemi, ad es.:come trovare radici razionalicome abbassare l’ordine di un’equazionequando se ne conosce una radicecome eliminare il secondo termine con artificicome determinare le radici vere e false (cioèquelle negative: regola di Cartesio)come trovare le radici di equazioni di terzo equarto grado


• Cartesio usa indifferentemente coordinateortogonali e coordinate oblique

• è un calcolatore di grande abilità, anche sefondamentalmente non è un matematico

• la sua geometria non è proposta con effettipratici, ma è un’opera astratta come quelledei greci

Cartesio Cartesio -- opereopere Cartesio Cartesio -- opereopere

• Cartesio scrive anchedi morale, anche serifiuta di scriverneesplicitamente; le sueteorie sulla morale sitrovano maggiormentenelle sue lettere

Al di là della ManicaAl di là della Manica

BarrowBarrow

•• IsaacIsaac BarrowBarrow (1630-1677)• Pastore anglicano, apprese

la matematica a Parigi eFirenze (Viviani).

• Professore a Cambridge einsegnante di Newton, nel1669 gli lasciò la cattedra esi ritirò a esercitare il suoministero religioso.

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BarrowBarrow

• Si dedicò allo studio della divinità e alladimostrazione dell’esistenza di Dio; fu poirettore del Trinity College, di cui fondò labiblioteca

• Scrisse libri di preghiere e pamphlet dipolemica antipapale. Le sue prediche sonoun esempio di alta letteratura

BarrowBarrow

• Dal 1664 al 1666 pubblica le LectionesMathematicae, dispense dei suoi corsi, mal’opera più importante è Lectiones opticaeet geometricae (1669) in cui approssimaaree sottostanti a curve tramite trapezirettangoli il cui quarto lato è la tangente allacurva. Di quest’ultima opera dice che è statarivista da Newton, e lo ringrazia

BarrowBarrow

• Probabilmente, da quanto dirà poi Newtonstesso, questi aveva rivisto solo gliargomenti di ottica. Invece l’intuizione diBarrow è molto feconda, perché in praticadimostra il teorema che va sotto il nome diTorricelli-Barrow

GregoryGregory

•• James Gregory James Gregory ( 1638-1675), matematico e astronomo scozzese, inventa un telescopio a riflessione, che poi sarà costruito da Hooke

GregoryGregory

• Dal 1664 al 1668 è in Italia e soggiornagran parte del tempo all'Università diPadova, dove entra in contatto con Stefanodegli Angeli dal quale apprende cometrattare gli sviluppi in serie delle funzioni.

GregoryGregory

• Prima di lasciare Padova pubblica laGeometriae pars universalis, testo che vieneconsiderato il primo tentativo di un testo sulcalcolo infinitesimale. In questo libro èavanzata l'idea che la differenziazione sial'operazione inversa della quadratura. Quindivengono anticipati sia Barrow che Newton

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GregoryGregory

• avendo poi letto le Lectiones opticae etgeometricae (1669) di Barrow ottienerisultati più avanzati

• Nel 1671 scopre il teorema sullo sviluppo inserie, anticipando Taylor di quasi mezzosecolo (Taylor lo pubblicherà nel 1715)

GregoryGregory

• Scopre lo sviluppo binomiale, anticipandoNewton; scopre un teorema di convergenzadelle serie che un secolo e mezzo dopoverrà chiamato teorema di Cauchy

• Ha numerose altre intuizioni, come latrascendenza di e e di π e l’impossibilità dirisolvere le equazioni di quinto grado perradicali. I suoi scritti sono però piuttostooscuri.

GregoryGregory• Ha il nome di

“serie di Gregory”una serie numericaconvergente, che èlo sviluppo in seriedell’arcotangentedi x calcolata perx=1La serie convergepiuttostolentamente

GregoryGregory

• Gregory pubblicò poco, anche perché le sueprime pubblicazioni furono criticate;pertanto furono attribuite ad altri dellescoperte fatte, o almeno intuite, da lui

TaylorTaylor

• Brook Taylor (1685 –1731)

• Figlio di un proprietario terriero, si laureò in legge a Cambridge; si occupò di vari problemi di matematica, di meccanica e di ottica

TaylorTaylor

• Non ebbe fortuna nella vita familiare; fu incontrasto con il padre per via delmatrimonio; la prima moglie morì di partoinsieme al bambino; la seconda morìugualmente di parto, ma la figliasopravvisse. Taylor ereditò dal padre latenuta, ma morì di lì a poco prima diraggiungere i cinquant’anni

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TaylorTaylor

• Scrisse un trattato sulla prospettiva(piuttosto oscuro) e nel 1712 entrò a farparte della Royal Society e del comitatosulla disputa tra Leibniz e Newton

TaylorTaylor

• Nel Methodus incrementorum directa etinversa (1715) c’è lo sviluppo del calcolodelle differenze finite

• C’è anche l’enunciato del teorema di Taylor(la cui importanza sarà riconosciuta soltantonel 1772 ad opera di Lagrange)

• Il teorema era già stato scoperto da Gregorye alcune serie particolari erano già note

TaylorTaylor

• Approssimazionedella funzione senotramite i polinomidi Taylor

TaylorTaylor• Ricordiamo che una serie di funzioni può

convergere in un punto e in altri no.Abbiamo visto che la serie geometrica (pergli x reali) converge soltanto per -1<x<1.

• Ricordiamo cosa significa convergenza diuna serie numerica an ad una somma S:fissato un ε esiste un n(ε) tale che la sommadei termini fino ad n(ε) meno S è in modulominore di ε

TaylorTaylor

• Ricordiamo cosa significa convergenza(puntuale) ad una funzione S(x) di una seriedi funzioni fn(x): fissato un ε, per ogni puntox esiste un n(ε,x) tale che la somma deitermini fino ad n(ε,x) meno S(x) è inmodulo minore di ε

TaylorTaylor

• Ricordiamo cosa significa convergenzauniforme ad una funzione S(x) di una seriedi funzioni fn(x): fissato un ε esiste un n(ε)tale che qualunque sia il punto x la sommadei termini fino ad n(ε) meno S(x) è inmodulo minore di ε.

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TaylorTaylor• Ricordiamo anche che una serie di funzioni

uniformemente convergente si può integrareper serie (cioè la somma della serie degliintegrali coincide con l’integrale dellasomma della serie); con la condizione dellaconvergenza uniforme della serie dellederivate si può anche derivare per serie(cioè la somma della serie delle derivatecoincide con la derivata della somma dellaserie)

TaylorTaylor• Il teorema di Taylor afferma che, sotto certe

condizioni di regolarità (esistenza dellederivate nel punto x0), la serie di Taylor,cioè la serie di potenze in x-x0 con icoefficienti

f (n)(x0)/n!converge alla funzione f(x) in un intervallodi centro x0, converge uniformemente inogni intervallo strettamente contenuto ed èl’unica serie di potenze che convergeuniformemente alla f in questo intervallo

MaclaurinMaclaurin

•• Colin Colin MaclaurinMaclaurin(1698-1746)

• scozzese, figlio di unpastore protestante;orfano molto presto dientrambi i genitori, fuaffidato ad uno zio,anch’egli pastore, epoi divenne pastoreegli stesso

MaclaurinMaclaurin

• Entrò all’università a 11 anni e si laureò a14 con una tesi sulla gravitazioneuniversale; a 19 anni fu nominatoprofessore ad un college universitario;quindi con l’appoggio di Newton nel 1725diventò professore a Edimburgo e qui restòsempre

MaclaurinMaclaurin

• In un articolo “De constructione curvarum” uscito nel volume 1717-1719 delle Philosophical Transactions vi sono interessanti scoperte di geometria sul numero di intersezioni di curve

MaclaurinMaclaurin• Infatti parla di una

riduzione di curve acurve più semplici

• Maclaurin dette unaprima dimostrazionedella regola di Cramernel caso di treequazioni in treincognite (il casogenerale è apparso nel1750)

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MaclaurinMaclaurin

• La “formula di Maclaurin” comparenell’opera Theory of fluxions (Teoria dellederivate) edita nel 1742, ma era un casoparticolare della formula di Taylor (1715),peraltro già scoperta da Gregory quasimezzo secolo prima

De De MoivreMoivre

•• Abraham De Abraham De MoivreMoivre(1667-1754)

• Francese di nascita, ugonotto, si rifugiò in Inghilterra quando l’editto di Nantes che garantiva la libertà religiosa fu abolito

De De MoivreMoivre• I vari editti di tolleranza

susseguitisi erano stati progressivamente svuotati. Con l’Editto di Fontainebleau (1685), il Re Sole Luigi XIV aveva dato nuovamente inizio ad una serie di limitazioni della libertà religiosa in Francia

De De MoivreMoivre

• Fu amico di Newton e Halley, che perònon riuscirono a fargli avere un postoall’università (forse perché straniero), eneppure Leibniz riuscì a fargliene avereuno in Germania. Si mantenne dandolezioni private di matematica

De De MoivreMoivre

• Si dedicò molto alla probabilità,pubblicando dapprima una memoria suiTransactions e poi un trattato, Doctrine ofchances, in cui presentava oltre cinquantaproblemi sulla probabilità; espresse ilprincipio delle probabilità composte dieventi indipendenti (che però era già noto)

De De MoivreMoivre• Derivò alcune proprietà delle permutazioni

dalla probabilità (oggi si fa il viceversa); adesempio le permutazioni di due lettere presetra sei (a, b, c, d, e, f) sono 30, in quanto laprobabilità che una di esse compaia comeprima lettera è 1/6 e la probabilità cheun’altra compaia come seconda è 1/5

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De De MoivreMoivre

• quindi la probabilità che vengano estrattedue lettere in quell’ordine è 1/30

• pertanto il numero di permutazioni di seielementi a due a due è 30

De De MoivreMoivre

De Moivre trova il teorema delle potenze diun numero complesso:

(cos θ + i sen θ)n =cos nθ + i sen nθanche se non scrive esplicitamente questaformula; infatti nel 1707 in un articolo suPhilosophical Transactions scrive

½ (sin nθ + √-1 cos nθ )1/n + + ½ (sin nθ - √-1 cos nθ )1/n = sin θ

De De MoivreMoivre

• Nella sua opera Miscellanea analytica(1730) scrive una formula equivalente allaseguente

(cos θ ± i sen θ)1/n == cos [(2Kπ ±θ)/n] ± i sen [(2Kπ ±θ)/n]

De De MoivreMoivre

Nove anni dopo, sulle Transactions (1739),trova le radici n-sime di un numerocomplesso con il procedimento attuale,prendendo la radice n-sima del modulo,dividendo l’argomento per n e aggiungendomultipli di 2π/n.

De De MoivreMoivre• Sembra sia stato il primo ad usare la

gaussiana in alcuni studi di matematicaattuariale e a calcolarne l’integrale tra 0 e+∞ (che risulta π1/2/2). Il risultato eraapparso dapprima in un opuscolo in latinopubblicato privatamente; De Moivre traducein inglese l’opuscolo e lo inserisce nellaseconda edizione di Doctrine of chances(1738)

Domande d’esameDomande d’esame(fac(fac--simile)simile)

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Domande aperte• La nascita della geometria analitica: da

Cartesio e Fermat• Il problema della comunicazione della

scienza e della paternità delle nuove idee.• La nascita del concetto di integrale• Curve particolari: cicloide, spirale, … chi le

ha studiate e dove le incontriamo.• Galileo e le sue scoperte

Domande aperte• Pensando alla caduta dei gravi, Galileo

incontra un infinitesimo del secondoordine… Spiegare anche con un esempio

• Le guerre di religione in Francia e la loroinfluenza sui matematici. Argomenta…

• Le epidemie di peste in tempi diversi hannoinfluito sulla vita di alcuni matematici esulle loro scoperte. Quali?

Domande aperte

• La polemica tra Leibniz e Newton• Nel Cinquecento in Italia e in Francia ci

sono state varie scoperte matematiche;illustrane tre a scelta

• La logica in Aristotele• Vita e opere di Cartesio• Euclide e gli Elementi

Domande aperte

• I tre problemi classici della matematicagreca

• La matematica a Padova nel medioevo• Cavalieri e gli indivisibili• Fermat e le sue opere

Domande aperte

• Le equazioni di terzo grado: soluzionigenerali e particolari da Kayyam a Tartagliae Cardano

• Fourier e Monge• La successione di Fibonacci e la sezione

aurea

Nell’Europa Nell’Europa continentalecontinentale

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La probabilitàLa probabilità

• Gli inizi della teoria della probabilitàpossono farsi risalire a Fermat e a un grandegenio matematico che si dedicò invece almisticismo: Pascal

PascalPascal

•• BlaiseBlaise PascalPascal (1623-1669) si dedicò allamatematica fin dallaprimissima giovinezzaleggendo gli Elementidi Euclide datigli dalpadre; scrisse il suoprimo lavoro digeometria a 16 anni

PascalPascal• Riscoprì indipendentemente dagli studiosi

precedenti l’algoritmo per calcolare icoefficienti della potenza di un binomio, (oranoto come “triangolo di Tartaglia”); inidrostatica formulò il cosiddetto principio diPascal, ovvero il principio secondo il qualela pressione esercitata in un punto qualunquedi un liquido incomprimibile si trasmetteinalterata in tutti gli altri punti di tale liquido(inventò la siringa)

PascalPascal

• Fece chiarezza sul concetto di “pressione”per cui l’unità di pressione è chiamatapascal; intuì che la pressione atmosfericadiminuisce con l’altitudine e fece fare (e poiripeté lui stesso) degli esperimenti a provadi questo asserto

PascalPascal• Fu, insieme a Fermat, il creatore della teoria

della probabilità, per quanto numerositeoremi sull’argomento fossero stati giàenunciati un secolo prima da Cardano (maverranno pubblicati solo nel 1663) e daHuygens; il problema della ripartizionedella posta in gioco quando il gioco siinterrompe era già stato posto da LucaPacioli.

PascalPascal• Fermat aveva posto il problema: • Se si lanciano più volte due dadi, quanti

lanci sono necessari affinché si possascommettere con vantaggio che esca ildoppio sei?

• “Scommettere con vantaggio” significava,nei termini odierni, “scommettere conprobabilità di vincere più alta che non diperdere”

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PascalPascal• Chiaramente il doppio 6 ha 1/36 di

probabilità di presentarsi essendo 1/6 laprobabilità di ciascuna faccia ed essendol’uscita delle varie facce nei due dadi eventitra loro indipendenti. Il non presentarsi hadunque la probabilità 35/36, e dopo n lanci(eventi chiaramente indipendenti) laprobabilità che non esca il doppio 6 è(35/36)n

PascalPascal

• Al tendere di n all’infinito tale probabilitàtende a 0. Quando questa probabilitàdiventa <1/2 (ciò si ha per n = 24), alloradiventa conveniente scommettere sull’uscitadel doppio 6.

PascalPascal

• Pascal ricevette anche una visita di Cartesiocon il quale però i rapporti rimasero freddi(Cartesio non voleva credere che Pascalavesse scritto di geometria così giovane)

PascalPascal• Nel frattempo Pascal, attraverso una sorella,

entrò in contatto con un vescovo olandese,Cornelio Jansen, che conduceva un’asprabattaglia contro i gesuiti. Dopo vari alti ebassi, di grande misticismo e di vitamondana, Pascal entra nel monastero diPort-Royal, dove diventa un fortesostenitore del giansenismo, una teoria diforte e rigorosa spiritualità

PascalPascal

• Continua sporadicamente ad occuparsi dimatematica; muore tra le convulsioni,probabilmente per una lesione al cervello

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