REAL OPTIONSCAPITOLO 1 : CAPITAL BUDGETING

Chiara D’Alpaos, Michele Moretto e Sergio VergalliUniversità di Padova

Questa versione Settembre 2008

Contents

1 Richiami di Matematica Finanziaria 21.0.1 L’interesse composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.0.2 Capitalizzazione continua . . . . . . . . . . . . . . . . 41.0.3 Tassi di interesse nominali e reali . . . . . . . . . . . . 6

1.1 Il valore attuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Come valutare una rendita perpetua a rendimento crescente . 9

1.2.1 Come valutare una rendita annua . . . . . . . . . . . . 11

2 I CRITERI DI SCELTA DEGLI INVESTIMENTI 112.1 IL CAPITAL BUDGETING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 La regola del VAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Il valore attuale netto in condizioni di certezza . . . . . 132.2.2 Esempio di VAN in condizione di certezza . . . . . . . 13

2.3 La regola del TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 RISCHIO E INCERTEZZA 143.1 Il valore attuale netto in condizioni di incertezza . . . . . . . . 14

3.1.1 L’approccio del tasso di sconto aggiustato per il rischio(RADR - Risk Adjusted Discount Rate) . . . . . . . . 15

3.1.2 Valore attuale, tassi di rendimento e costo opportunità 153.1.3 L’approccio dell’Equivalente Certo (EC) . . . . . . . . 193.1.4 Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) . . . . . . . . 203.1.5 Equivalenza fra approccio RADR e EC . . . . . . . . . 25

3.2 Un modello in tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Un modello in tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Procedimento probabilistico . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.2 Programmazione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A Appendice: Lemma di Ito 32

1

1 Richiami di Matematica Finanziaria

• Se due capitali sono disponibili in momenti temporali diversi,occorre spostarli nel tempo: un capitale spostato nel futuroviene definito "montante" (M), spostato nel passato, invece,viene chiamato "valore scontato" o "valore attuale" (VA). Perfar ciò ci si basa principalmente sul calcolo del saggio di inter-esse (o tasso), definito come l’interesse maturato dall’unità dimoneta nell’unità di tempo: generalmente l’unità di monetaconsiderata è l’euro mentre l’unità di tempo è l’anno.

1.0.1 L’interesse composto

Gli interessi maturati da un capitale in un determinato periodo di tempomaturano a loro volta altri interessi. In pratica, accade che alla fine di cias-cuno dei periodi prefissati, l’interesse maturato nel periodo anziché esserepagato al creditore viene aggiunto al capitale: in questo modo l’interessenon è più distinguibile dal capitale iniziale e perciò si dice che "si capi-talizza". Questa trasformazione comporta conseguentemente un aumentodell’ammontare del capitale, in quanto l’interesse del periodo successivo nonviene calcolato sul capitale di partenza, ma sul montante riferito al terminedel periodo precedente.Per l’interesse composto, occorre definire la regola di capitalizzazione:

occorre cioè stabilire ogni quanto tempo gli interessi maturati si trasformanoin capitale. Sulla base della lunghezza del periodo si distingue:

1. Interesse composto discontinuo annuo: gli interessi vengono ag-giunti al capitale che li ha prodotti una volta l’anno. E’ la forma piùusata;

2. Interesse composto convertibile. gli interessi maturati da un cap-itale si mutano a loro volta in capitale più volte nell’arco di un anno;

3. Interesse composto continuo o matematico: gli interessi si con-vertono in capitale in ogni istante. Seppur teoricamente concepibile,non trova nessuna applicazione pratica.

In generale, quando si parla di interesse composto si fa riferimento aldiscontinuo annuo. L’interesse viene aggiunto al capitale una volta l’anno e

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l’anno successivo l’interesse viene calcolato sul montante del periodo prece-dente. Se R0 è il capitale iniziale, si ha dunque la seguente sequenza diinteressi e montanti:

• fine del primo anno:

Interesse : INT1 = R0 · i · 1Montante : R1 = R0 + INT1 = R0 · (1 + i · 1)

• fine del secondo anno:

Interesse : INT2 = R1 · i · 1Montante : R2 = R1 + INT2 = R1 · (1 + i) = R0 · (1 + i)2

L’interesse composto viene usato generalmente per operazioni a scadenzasuperiore o uguale all’anno. Dunque, per calcoli inerenti le prestazioni fi-nanziare aventi periodo superiore all’anno, si hanno le seguenti formule:

• fine del primo anno:

Interesse : INT1 = R0 · i · 1Montante : R1 = R0 + INT1 = R0 · (1 + i · 1)

• fine dell’t-esimo anno:

Interesse : INTt = R0 · (qt − 1)Montante : Rt = R0 · (q)t in cui q = 1 + i

Lo spostamento dei capitali nel tempo avviene attraverso i coefficienti dianticipazione e di posticipazione. Il coefficiente di posticipazione consentedi calcolare il valore che la somma attuale R0 assumerà tra un certo periododi tempo. Se tale periodo di tempo è inferiore all’anno si useranno le formuledell’interesse semplice, se invece è superiore all’anno si useranno le formuledell’interesse composto. In pratica, tale coefficiente consente di vedere comeaumenta il capitale nel tempo, considerando che esso matura degli interessi.Il coefficiente di anticipazione consente invece di calcolare il valore attuale

di una somma futura. In pratica, si calcola il valore della somma al netto

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di tutti gli interessi che si perdono per il fatto che invece di acquisirla almomento attuale sarà acquisita trascorso un certo periodo t.Per periodi inferiori o uguali all’anno si ha: coefficiente di posticipazione:

(1 + i · t), coefficiente di anticipazione: 1/(1 + i · t).Per periodi superiori all’anno si ha: coefficiente di posticipazione: qt,

coefficiente di anticipazione: 1/qt.

1.0.2 Capitalizzazione continua

Si consideri un capitale A, investito per n anni ad un tasso annuo paria r. Se gli interessi vengono capitalizzati una volta l’anno, il montantedell’investimento è:

A (1 + r)n

Se gli interessi vengono capitalizzatim volte l’anno, il montante dell’investimentoè

A³1 +

r

m

´mn

(1)

Si supponga che sia A = $100, r = 10 per cento annuo (0,1) ed n = 1,cosicchè la durata dell’investimento è di 1 anno. Se gli interessi vengonocapitalizzati una volta l’anno (m = 1), questa formula mostra che i $100diventano

$100x1, 1 = $110

Se gli interessi vengono capitalizzati due volte l’anno (m = 2), la formulamostra che i $100 diventano

$100x1, 05x1, 05 = $110, 25

Se gli interessi vengono capitalizzati quattro volte l’anno (m = 4), la formulamostra che i $100 diventano

$100x1, 0254 = $110, 38

La seguente tabella mostra quale sia l’effetto di un ulteriore aumento dellafrequenza della capitalizzazione (cioè l’aumento di m).

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Frequenza di capitalizzazione Valore di $100 dopo 1 annoAnnuale (m=1) 110,00Semestrale (m=2) 110,25Trimestrale (m=4) 110,38Mensile (m=12) 110,47Settimanale (m=52) 110,51Giornaliera (m=365) 110,52

Al limite, per m che tende ad infinito, si ha la capitalizzazione continua(continuous compounding). Con la capitalizzazione continua, un capitale Ainvestito per n anni al tasso r diventa

Aern (2)

dove e è la costante matematica 2, 71828. Nell’esempio della tabella, A =$100, n = 1 ed r = 0, 1, per cui il valore finale di A in base alla capitaliz-zazione continua risulta pari a

$100e0,1 = $110, 52

Questo valore è uguale (fino al secondo decimale) a quello che si ottienecon la capitalizzazione giornaliera. Per la maggior dei fini pratici, la capital-izzazione continua si può ritenere equivalente alla capitalizzazione giornalieraInvestire per n anni un certo capitale ad un tasso r composto continuamenteequivale a moltiplicarlo per ern. Attualizzarlo per n anni ad un tasso r com-posto continuamente equivale a moltiplicarlo per e−rn.La frequenza di capitalizzazione degli interessi definisce l’unità di misura

dei tassi di interesse. I tassi espressi con una certa frequenza di capitaliz-zazione possono essere convertiti nei tassi equivalenti espressi con una diversafrequenza di capitalizzazione. Ad esempio, nella tavola si vede che il 10, 25per cento composto annualmente equivale al 10 per cento composto semes-tralmente.Sia rc un tasso di interesse composto continuamente e rm il tasso equiva-

lente composto m volte l’anno. In base alle equazioni (2) e (1) si ha

Aercn = A³1 +

rmm

´mn

ossia

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ercn =³1 +

rmm

´mn

Pertanto

rc = m ln³1 +

rmm

´e

rm = m¡erc/m − 1

¢Queste equazioni possono essere utilizzate per convertire un tasso com-

posto m volte l’anno in un tasso composto continuamente e viceversa. Lafunzione ln è la funzione del logaritmo naturale. E’ definita in modo tale chese y = ln(x) allora x = ey.

1.0.3 Tassi di interesse nominali e reali

L’inflazione può influenzare in maniera significativa il potere d’acquisto diuna certa somma di denaro. Se in t0 si possiedono 10 euro, con essi possiamoacquistare un certo insieme di beni, per esempio 6 pizzette dal costo di uneuro ciascuna e 2 panini dal costo di 2 euro ciascuno. Se nell’arco di unanno il prezzo dei panini dovesse aumentare, fino a 3 euro cadauno e se ilprezzo delle pizzette dovesse rimanere stabile, in t1 i nostri 10 euro inizialinon ci permetterebbero di acquistare il medesimo insieme di beni (paniere)dell’anno t0 (potremmo acquistare solo 4 pizzette e due panini, per esempio).Ciò implica che il nostro potere d’acquisto si è ridotto a causa dell’incrementodei prezzi, cioè a causa dell’inflazione.Si può seguire il medesimo ragionamento focalizzando la nostra attenzione

sugli investimenti: se si investono oggi 1.000 euro in un deposito bancario adun tasso di interesse del 10%, significa che trascorso un anno otteremo 1.100Euro. Quale paniere di beni si potrà riuscire a comperare con quei 1.100 eurodipende fortemente dal tasso di inflazione. Se i prezzi di beni e servizi sonoaumentati nel corso dell’anno più del 10%, significa che si è perso in terminidi potere d’acquisto.Per rappresentare l’andamento dei livelli dei prezzi al consumo possono

essere utilizzati diversi indici. Il più conosciuto ed utilizzato in Italia è l’Indicedei Prezzi al Consumo che fornisce una misura del costo sostenuto dalla"famiglia tipo" per acquisire un determinato paniere di beni. Le variazionidi tale indice rappresentano il tasso di inflazione.

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Mentre il flusso di cassa corrente o nominale non tiene conto del tassodi inflazione, il flusso di cassa costante o reale è minore del flusso di cassanominale e si ottiene a partire da quest’ultimo:

flusso di cassa reale =flusso di cassa corrente

(1 + π)t

in cui π è il tasso di inflazione e t è il periodo.Nell’esempio precedentemente esposto, se in un anno il prezzo dei beni

aumenta del 6%, la moneta potrà acquistare un numero ed una quantitàinferiore di beni rispetto ad oggi. Trascorso un anno, infatti, con 1.100 eurosarà possibile acquistare una quantità di beni pari a quella acquistabile oggicon 1.037, 74 Euro:

1.100

1.06= 1037, 74

Si consideri un ulteriore esempio. Si ipotizzi di investire una somma di 1.000euro per 20 anni al tasso del 10% annuo. Il flusso di cassa nominale futurosarà pari a 1.000·1, 120 = 6.725, 50 Euro, ma ipotizzando un tasso di inflazionedel 6%, il flusso di cassa reale sarebbe 6.725, 50/1, 0620 = 2.097, 67 euro. Ciòimplica che anche se l’ammontare di moneta è circa 7 volte maggiore, èpossibile acquistare solo una quantità all’incirca doppia di beni.Il tasso offerto dalle banche è un tasso nominale e non tiene conto di

alcuna correzione derivante dagli effetti dell’inflazione.Il tasso di interesse reale, invece è il saggio di interesse nominale, depurato

dagli effetti dell’inflazione. Se si definisce i il tasso nominale e r è il tassoreale, allora la relazione esistente fra tasso di interesse nominale, tasso diinteresse reale e inflazione è data dalla seguente formula:

1 + i = (1 + r)(1 + π)

1.1 Il valore attuale

• Il valore attuale V A di un ricavo futuro Rt è la somma cheinvestita oggi ad un tasso di sconto fissato, r, garantirà diottenere il valore del ricavo futuro.

• Per calcolare il valore attuale, i cash flow positivi futuri, Rt,vanno scontati tramite il tasso r. Il tasso di rendimento è ilpremio che gli investitori richiedono per accettare la postici-pazione di un ricavo.

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• Il tasso di rendimento è spesso chiamato tasso di attualiz-zazione (di sconto), o costo opportunità del capitale, in quantorappresenta la remunerazione a cui si rinuncia investendo adesempio in un progetto piuttosto che in titoli finanziari.

• Il valore attuale può essere ottenuto moltiplicando il ricavo di domaniper un fattore di sconto FA minore di 1:

V A = Rt · (FA)

• Il fattore di sconto è espresso come il reciproco di 1 sommato ad untasso di rendimento r : FA = 1

1+r< 1 quindi:

V A =Rt

1 + r

• Se a fronte di un ricavo futuro R1 ci sono dei costi iniziali per dareavvio al progetto che indichiamo con I1, possiamo calcolare il valoreattuale netto del progetto:

V AN = V A− I =R11 + r

− I (3)

• Il progetto può valere più di quello che costa se (3) > 0. Il V ANdipende unicamente dai flussi di cassa attesi del progetto edal costo opportunità del capitale (rappresenta un’alternativa allaquale si rinuncia per intraprendere il particolare progetto d’investimentoanalizzato).

• Se consideriamo un periodo di T anni e oltre al costo iniziale I, ilprogetto richiede anche dei costi operativi Ct, il valore attuale nettorisulta:

V AN =TXt=1

Rt − Ct

(1 + r)t− I (4)

in cui Rt è il ricavo all’anno t, Ct è il costo operativo (variabile e/ofisso) in t, I è il costo dell’investimento e r è il costo opportunità delcapitale specifico di quell’investimento, supposto costante per t anni.

1Molte volte I si indica con R0 ed è negativo.

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• Nel continuo, la (4) diventa:

V AN =

tZ0

(Rs − Cs)e−rsds− I (5)

• Qualora il tasso di sconto vari al variare del periodo la (4) e la (5)diventano rispettivamente:

V AN =R1 − C1(1 + r1)

+R2 − C2

(1 + r1)(1 + r2)+ ....

Rn − Cn

(1 + r1)(1 + r2)....(1 + rn)− I

=nXt=1

Rt − Ct

tYj=1

(1 + rj)

− I

• Oppure se il tasso varia all’interno di un solo periodo:

V AN =R1 − C1(1 + r1)

+R2 − C2(1 + r2)2

+ ....Rn − Cn

(1 + rn)n− I

=nXt=1

Rt − Ct

(1 + rt)t− I

e nel continuo:

V AN =

tZ0

(Rs − Cs)e−R s0 r(x)dxds

1.2 Come valutare una rendita perpetua a rendimentocrescente

• Si supponga che un benefattore voglia garantire una rendita perpetuaa rendimento crescente e pari mediamente ad un tasso g, e sia R1, larendita del periodo t1:

V A =R1

(1 + r)+

R2(1 + r)2

+R3

(1 + r)3+ .... (6)

=R1

(1 + r)+

R1(1 + g)

(1 + r)2+

R1(1 + g)2

(1 + r)3+ ....

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• Se r > g, la somma della serie geometrica (6) è:

V A =∞Xt=1

R1(1 + g)t−1

(1 + r)t≡ R11 + g

∞Xt=1

(1 + g)t

(1 + r)t(7)

≡ R11 + g

" ∞Xt=0

µ1 + g

1 + r

¶t

− 1#≡ R11 + g

"1

1− 1+g1+r

− 1#

≡ R11 + g

∙1 + r

r − g− 1¸≡ R1

r − g.

• E’ da notare che la somma della serie geometrica inizia da t = 1.Cioè la rendita perpetua fornisce il primo flusso al periodo uno. Seassumessimo che anche al periodo corrente ci fosse un flusso di cassa,la formula si ridurrebbe nel seguente modo.

V A = R0 +R1

(1 + r)+

R2(1 + r)2

+R3

(1 + r)3+ ....

= R0 +R0(1 + g)

(1 + r)+

R0(1 + g)2

(1 + r)2+

R0(1 + g)3

(1 + r)3+ ....

che nel caso di g = 0 si riduce a:

V A = R01 + r

r

• In tempo continuo la (6) diventa:

V A =

∞Z0

Rte−rtdt (8)

dove i flussi di cassa sono descritti dalla seguente equazione differen-ziale:

dRt

Rt= gdt (9)

• Poichè dalla (9) si ottiene Rt = R0egt, sostituita nel V A rende questo

uguale a (7):

V A =

∞Z0

R0egte−rtdt =

∞Z0

R0e−(r−g)tdt =

R0r − g

(10)

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1.2.1 Come valutare una rendita annua

• Una rendita annua è un’attività che corrisponde ogni anno una sommafissa R per un numero finito di anni t. Un esempio di rendita annuaè un mutuo ipotecario da restituire a rate costanti oppure una venditarateale. Il valore attuale risulta2:

V A = R[1

r− 1

r(1 + r)t] (11)

• Si nota che se t → ∞, il secondo termine tende a zero e la renditadiventa perpetua:

V A =R

r

che risulta uguale a (7) e (10) nel caso di g = 0.

2 I CRITERI DI SCELTA DEGLI INVES-TIMENTI

2.1 IL CAPITAL BUDGETING

Per operare un’impresa ha bisogno di una varietà di attività reali. Molte ditali attività sono tangibili, ad esempio gli impianti, gli stabilimenti ecc., altresono intangibili quali la tecnologia, i marchi e i brevetti.Per ottenere le risorse monetarie necessarie un’impresa vende attività fi-

nanziarie o titoli di credito, i quali hanno valore perchè conferiscono deidiritti sulle attività reali dell’impresa.Una buona decisione di investimento o di capital budgeting porta all’acquisto

di una attività reale che contribuisce all’incremento del valore dell’impresa.Le decisioni di capital budgeting sono prese sulla base di due principali

criteri di scelta:

la regola del VAN2C’è un semplice trucco per ottenere la (11). Si calcola la rendita perpetua che inizia

da t = 1 e si sottrae la rendita perpetua che inizia dal tempo t + 1. Da (7) la renditaperpetua che iniza a t = 1 è R

r , mentre la rendita perpetua che inizia al tempo t+ 1 è lastessa scontata di t+ 1 periodi, cioè 1

(1+r)tRr .

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la regola del tasso interno di rendimento (TIR)

Ad esse si aggiunge anche le regole del rendimento medio contabile edel tempo di recupero che non vengono prese in considerazione in questatrattazione3.

2.2 La regola del VAN

• Si supponga di dover analizzare una proposta di investimento di 1.000.000di Euro relativa alla realizzazione di una grande infrastruttura (il pro-getto A).

— In primo luogo è necessario prevedere i flussi di cassa generati daA durante la sua vita economica.

— In secondo luogo va calcolato il costo opportunità del capitale chepossiamo indicare con α, che dovrebbe riflettere sia il valore tem-porale del denaro sia la rischiosità dell’investimento. In generaleα > rf , dove con rf indichiamo il tasso di interesse privo di rischio.

— Vanno poi scontati i flussi di cassa futuri utilizzando il costo oppor-tunità, in modo così da ottenere il valore attuale V A del progetto.

— Infine, si deve calcolare il V AN sottraendo al V A il costo dell’investimentodi 1.000.000 di Euro.

— Il progetto A viene realizzato solo se il suo V AN è positivo.

• E’ opportuno investire fino al punto in cui il V AN è massimo. Tra dueprogetti aventi V AN positivo è preferibile realizzare il progetto aventeV AN maggiore.

• Il V AN dipende unicamente dai flussi di cassa attesi del pro-getto e dal costo opportunità del capitale.

• Se si devono analizzare due progetti di investimento A e B, il V AN delprogetto congiunto è pari alla somma dei V AN dei singoli progetti:

V AN(A+B) = V AN(A) + V AN(B)

3Si rimanda a tal proposito a Brealey, Meyers e Sandri (1996), Capital Budgeting,McGraw-Hill, Milano.

12

Questo non implica che se il V AN del progetto A è negativo mentrequello del progetto B è positivo con un valore V AN(A+ B) positivosi debba investire su entrambi i progetti.

2.2.1 Il valore attuale netto in condizioni di certezza

• Se l’investitore è certo dei flussi di cassa Rt − Ct il progetto che si staconsiderando è privo di rischio.

• Se il progetto non è rischioso, il tasso di rendimento (o costo op-portunità del capitale) richiesto è quello che si otterrebbe daaltre attività non rischiose di pari rendimento. Per esempio ilrendimento offerto dai titoli di Stato.

• Poichè abbiamo indicato con rf il tasso di rendimento privo di rischio(risk-free), il VAN diventa:

V AN =nXt=1

Rt − Ct

(1 + rf)t− I (12)

2.2.2 Esempio di VAN in condizione di certezza

• Si ipotizzi che un progetto di investimento generi i seguenti flussi dicassa intesi come ricavi meno costi fissi e/o operativi (espressi in migli-aia di Euro) e che il tasso di sconto sia pari al 10%:

t=0 t=1 t=2 t=30 −100 0 +200

• Il valore attuale netto dell’investimento VAN (espresso in migliaia diEuro) è:

V AN = −1001, 1

+200

1, 13= 77, 53

13

2.3 La regola del TIR

• Il tasso interno di rendimento TIR è il tasso che rende nulloil V AN :

V AN =TXt=1

Rt − Ct

(1 + TIR)t− I = 0 (13)

• Per ricavare il tasso interno di rendimento di un progetto della duratadi t anni è necessario, quindi, risolvere la (13).

• Una volta calcolato il TIR del progetto questo va confrontatocon un tasso soglia, ad esempio, con il costo opportunità delcapitale α, e procedere alla realizzazione dell’investimento solose il TIR risulta maggiore del tasso soglia α. Se due progettihanno un TIR superiore al tasso soglia è preferibile il progettoavente TIR maggiore.

• La regola del V AN e del TIR forniscono le medesime indicazioni sudecisioni di investimento nel caso in cui il V AN sia una funzione mono-tona decrescente del tasso di sconto. Sebbene i due criteri siano equiv-alenti dal punto di vista formale, la regola del TIR può indurre inerrore.

3 RISCHIO E INCERTEZZA

3.1 Il valore attuale netto in condizioni di incertezza

• In condizioni di certezza l’investitore massimizza il suo prof-itto scegliendo gli investimenti che posseggono il V AN piùalto, calcolato scontando i cash flow futuri al tasso di inter-esse privo di rischio. In condizioni di certezza il tasso risk-freerappresenta quindi il costo opportunità del capitale per quelinvestitore.

• Lo stesso modo di procedere può essere adottato anche quandogli investimenti sono rischiosi purchè si interpreti il concettodi investimenti comparabili nel senso di investimenti apparte-nenti alla stessa classe di rischio.

14

• Il costo opportunita del capitale di un particolare progetto incondizioni di incertezza può essere quindi determinato comeil tasso di rendimento che l’investitore richiederebbe ad untitolo finanziario (per esempio un’azione o un portafoglio diazioni) che abbia come attività sottostante un’attività similea quella del progetto in questione

3.1.1 L’approccio del tasso di sconto aggiustato per il rischio (RADR- Risk Adjusted Discount Rate)

• I concetti di valore attuale e costo opportunità rimangonoancora validi anche nel caso di investimenti rischiosi, è perònecessario ragionare in termini di flussi di cassa attesi e direndimenti attesi.

• Se assumiamo che Rt e Ct siano delle varibili stocastiche e indichiamocon bα il tasso di sconto aggiustato per il rischio (cioè il costo opportu-nità del capitale di quel particolare investimento), abbiamo:

V AN =nXt=1

E0(Rt − Ct)

(1 + bα)t − I (14)

oppure

V AN = E0

⎡⎣ tZ0

(Rs − Cs)e−bαsds

⎤⎦− I (15)

dove E0(.) è il valore atteso condizionato delle varibili R e C fatto conle informazioni disponibili al tempo t = 0, quando l’investitore deveprendere le decisioni.

3.1.2 Valore attuale, tassi di rendimento e costo opportunità

Esempio 1

• Si ipotizzi di investire in un progetto immobiliare che comporta la real-izzazione di un immobile ad uso uffici, di rischiosità pari a quella di uninvestimento nel mercato finanziario avente un rendimento atteso paria bα = 12%. Il 12% è il costo opportunità del capitale.

15

• Assumendo che E(R1) = 400.000 Euro sia il flusso di cassa posi-tivo atteso generato dall’investimento immobiliare derivante ad esempiodalla vendita degli immobili realizzati dopo un anno, il valore attualedell’investimento è:

V A =E(R1)

1 + bα ≡ 400.0001, 12≡ 357.143 Euro

• Se, inoltre, I = 350.000 Euro è il costo relativo alla realizzazione degliimmobili oggi, il valore attuale netto risulta:

V AN = 357.143− 350.000 ≡ 7.143 Euro

• Se la previsione relativa al flusso di cassa generato è corretto eil costo opportunità del capitale è effettivamente pari al 12%,la proprietà immobiliare all’inizio dei lavori dovrebbe valere357.143 Euro. Se si tentasse di vendere la proprietà ad una cifrasuperiore, non si troverebbero acquirenti, poiché la proprietàoffrirebbe un tasso di rendimento inferiore al 12% che è inveceil rendimento offerto dal mercato dei titoli finanziari.

• La costruzione dell’immobile ad uso uffici è, quindi, economicamentevantaggiosa, in quanto ha un valore attuale netto positivo. Il valoreattuale del progetto, infatti, è pari al flusso di cassa futuro comandatodal progetto scontato al tasso di rendimento offerto dai titoli finanziari.

• Il rendimento del capitale investito è il profitto espresso inrapporto alla spesa iniziale:

Rendimento =profitto

investimento≡ 400.000− 350.000

350.000= 14% > 12%

• Se il rischio connesso all’investimento immobiliare è analogo al rischioche si affronta investendo nel mercato finanziario, il rendimento a cuisi rinuncia è pari al 12%.

• Poiché il rendimento dell’immobile è pari al 14% , è opportunointraprendere l’investimento.

Esempio 2

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• Il costo opportunità del capitale di un investimento in un pro-getto è il tasso di rendimento atteso richiesto dagli investitoriper un investimento in titoli finanziari di pari rischiosità.

• Il valore attuale che si ottiene scontando i flussi di cassa attesiemessi dal progetto al suo costo opportunità del capitale èl’ammontare che gli investitori sarebbero disposti a pagareper il progetto.

• Assumiamo ora che un progetto possa generare dei flussi di cassa incerti.In particolare, si ipotizzi di poter scegliere se investire I = 100.000Euro oggi per ricevere, a seconda dell’andamento dell’economia, allafine dell’anno le seguenti somme:

80.000 in caso di recessione

110.000 in caso normale

140.000 in caso di crescita

• Se i tre stati dell’economia sono egualmente probabili, il ritorno attesodell’investimento al tempo t = 1 sarebbe:

E(R1) =1

380.000 +

1

3110.000 +

1

3140.000 = 110.000 Euro

• Il rendimento atteso:

Rendimento atteso progetto =

α =E(R1)− I

I≡ 110.000− 100.000

100.000≡ 10%

• Si ipotizzi, inoltre, di sapere che il prezzo di un’azione di un’impresa Aabbia prospettive incerte con distribuzione di probabilità pari a quelladegli stati dell’economia. Il prezzo corrente dell’azione è di A = 96, 95Euro e trascorso un anno, a seconda dello stato dell’economia il prezzopotrà variare come segue:

80 in caso di recessione

110 in caso normale

140 in caso di crescita

17

• Essendo i tre stati dell’economia ugualmente probabili, il valore attesodell’azione al tempo t = 1 è:

E0(A1) =80 + 110 + 140

3= 110 Euro

• Investendo quindi nell’acquisto dell’azione vengono spesi 96, 95 Eurooggi per avere valore atteso di 110 Euro a fine anno. Il rendimentoatteso dell’azione è:

Rendimento atteso azione A =

αA =E(A1)−A

A≡ 110− 96, 95

96, 95≡ 15%

• 15% è il rendimento atteso a cui si rinuncia investendo nelprogetto piuttosto che sul mercato azionario ed è, quindi, ilcosto opportunità del capitale.

• Torniamo ora al progetto. Per valutare il progetto è necessarioattualizzare i flussi di cassa attesi al costo opportunità delcapitale che risulta essere α ≡ αA = 15%, cioè quello che siotterrebbe se si investisse nel titolo alternativo A:

V A =E(R1)

1 + α≡ 110.000

1, 15≡ 96.950 Euro

• Il valore attuale netto è:

V AN = 96950− 100.000 = −4.350 Euro

• Il VAN è negativo e il progetto di investimento, pertanto, nonva intrapreso. Infatti, ricordando che il rendimento atteso delprogetto è:

Rendimento atteso progetto =

α =110.000− 100.000

100.000= 10% < 15%

• Il rendimento atteso del progetto è inferiore al rendimento chegli investitori si attendono investendo nel mercato azionarioα.

18

3.1.3 L’approccio dell’Equivalente Certo (EC)

• Secondo questo approccio i flussi di cassa futuri incerti sonorimpiazzati dagli "equivalenti certi":

• L’equivalente certo è l’ammontare che, pagato ad una certadata t, rende indifferente la scelta alla stessa data fra quell’ammontarecerto ed il risultato atteso da ricevere per un investimento ris-chioso. Ciò vuol dire che il valore di un progetto può esserestimato in due modi: prendendo i suoi flussi di cassa disponi-bili attesi e scontandoli a un costo medio ponderato del cap-itale aggiustato in funzione del rischio, oppure aggiustare iflussi di cassa rispetto al rischio e scontarli al tasso privo dirischio. Cioè:

V A =Rt − Ct

(1 + rf)t=

E(Rt − Ct)

(1 + α)t(16)

dove E(Rt−Ct) è il valore atteso dei flussi di cassa futuri e α è il costoopportunità del capitale o il tasso di sconto aggiustato per il rischio.

• Dalla (16), il VAN diventa:

V AN =nXt=1

Rt − Ct

(1 + rf)t− I

dove Rt e Ct sono gli "equivalenti certi" e rf è il tasso privo dirischio..

• Il premio per il rischio del nostro particolare progetto è definitocome la differenza:

pt = E(Rt − Ct)− (Rt − Ct) (17)

• Quando usiamo questo metodo ci domandiamo: Qual è il mi-nor risultato certo Rt − Ct con cui si scambierebbe il flusso dicassa incerto Rt − Ct gravato dal rischio? Dalla (17) abbiamoche per calcolare gli equivalenti certi dobbiamo essere in gradodi stimare il premio per il rischio:

(Rt − Ct) = E(Rt − Ct)− pt

19

• Il premio per il rischio importante per l’investitore è quellodi mercato, cioè quello dell’investitore medio nel mercato. Ilcalcolo del premio per il rischio è il tema della sezione 3, tut-tavia dalla (16) trascurando il tempo per semplicità possiamoscrivere.

α− rf = (1 + rf)E(Rt − Ct)− (Rt − Ct)

(Rt − Ct)

=E(Rt − Ct)− (Rt − Ct)

(Rt − Ct)+ rf

E(Rt − Ct)− (Rt − Ct)

(Rt − Ct)

• nell’ipotesi che rfE(Rt−Ct)−(Rt−Ct)

(Rt−Ct)' 0 otteniamo

α = rf +E(Rt − Ct)− (Rt − Ct)

(Rt − Ct)(18)

= rf + Premio per il rischio in %

• Indicando con λ il premio di rischio di mercato, si può mostrare(vedi più avanti) che:

pt = λcov(Rt − Ct, αMt)

dove αMt il tasso di rendimento di mercato.

3.1.4 Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Si consideri un investitore che possiede al tempo zero una ricchezzainiziale pari a w e che si ponga il problema di come investirla.

• Si assuma che l’investitore abbia a disposizione m titoli rischiosi e untitolo non rischioso. I titoli rischiosi hanno un rendimento stocasticopari a αi con i = 1, ...m mentre α0 = rf indica il rendimento del titolonon rischioso.

• Indicando con xi la quota della ricchezza investita nel titolo i-esimo,

conmXi=0

xi = 1, al periodo uno l’investitore si trova con una ricchezza

complessiva pari a:

W = wmXi=0

xi(1 + αi) (19)

20

• Il problema dell’investitore al tempo zero può essere riassunto quindinel seguente modo:

maxxi

E[u(W )] (20)

dove u(.) rappresenta la funzione di utilità di Von Neumann-Morgensterncon le usuali proprietà che u0 > 0 e u00 < 0.

• La (20) può essere riscritta in una forma più semplice facendo uso delvincolo di bilancio sul portafoglio di titoli. Il vincolo di bilancio inquesto caso è:

x0 +mXi=1

xi = 1 (21)

in modo tale che x0 = 1 −Pm

i=1 xi. Sostituendo questa espressione in(19) e raccogliendo opportunamente i termini si ottiene:

W = w

"x0(1 + rf) +

mXi=1

xi(1 + αi)

#(22)

= w

"(1−

mXi=1

xi)(1 + rf) +mXi=1

xi(1 + αi)

#

= w

"(1 + rf) +

mXi=1

xi(αi − rf)

#

• Avendo riscritto il vincolo di bilancio secondo la (22), si deve ora ri-solvere un problema di massimizzazione non vincolata per le variabilix1 , x2, ...xm:

maxx1,...xm

Eu

Ãw

"(1 + rf) +

mXi=0

xi(αi − rf)

#!

• Differenziando rispetto a xi si ottiene la condizione del primo ordine:

E[u0(W )(αi − rf)] = 0 per i = 1, ...m (23)

la quale può essere riscritta come

E[u0(W )αi] = rfE[u0(W )] (24)

21

Poichè la covarinaza fra due variabili stocastiche può essere scritta comecov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) e quindi E(XY ) = cov(X,Y ) +E(X)E(Y ), la (24) diventa:

cov[u0(W ), αi]) +E(αi)E[u0(W )] = rfE[u

0(W )]

che, con le opportune sostituzioni, diventa:

E(αi) = rf −1

E[u0(W )]cov[u0(W ), αi] (25)

• L’espressione (25) evidenzia che il rendimento atteso di un qualunqueasset è la somma di due componenti: il tasso di rendimento privo di ris-chio e il premio di rischio. Il premio di rischio dipende dalla covarianzatra l’utilità marginale del portafoglio W (ricchezza complessiva) eil rendimento dell’asset stesso. Si consideri per esempio un asset il cuirendimento è positivamente correlato con W. Dall’ipotesi di avver-sione al rischio secondo cui l’utilità marginale è decrescente, u00 < 0,ne discende che la correlazione tra l’asset e l’utilità marginale dellaricchezza totale è negativa, cov[u0(W ), αi] < 0. Pertanto, tale asset,per compensare la sua rischiosità, deve avere un rendimento attesoche è maggiore del tasso di rendimento privo di rischio. Al contrario sel’asset è negativamente correlato con il portafoglio W , ha un rendi-mento atteso che è inferiore al tasso di rendimento privo di rischio.

• La relazione di equilibrio (25) vale, ovviamente, quale che sia il titoloche stiamo considerando, in particolare quindi vale anche per un titolocomposito (portafoglio) di mercato che chiamiamoM purchè questo siatra gli m che compongono il portafoglio W

E(αi)− rf =cov(u0, αi)

E(u0)

e:

E(αM)− rf =cov(u0, αM)

E(u0)

• Dividendo il primo per il secondo otteniamo:

E(αi)− rfE(αM)− rf

=cov(u0, αi)

cov(u0, αM)(26)

22

• Se ora assumiamo che la distribuzione di equilibrio xi sia la stessadistribuzione di equilibrio di mercato che compone il titolo compositoM, allora risulta che il rendimento marginale che ottengo dal portafoglioW coincide con il rendimento di mercato αM , cioè:

u0(W ) = αM (27)

• Pertanto sostituendo la (26) in (27), si ha:

E(αi)− rfE(αM)− rf

=cov(αM , αi)

var(αM)

• Posto βi = cov(αM ,αi)var(αM )

si ottiene la formula del Capital Asset PricingModel (CAPM) :

αi ≡ E(αi) = rf + βi(E(αM)− rf) (28)

= rf + λcov(αM , αi)

dove λ ≡ (E(αM )−rf )var(αM )

rappresenta il prezzo di mercato del rischio (o ilrapporto fra il profitto di mercato sul livello di variabilità dello stesso)per unità di periodo, che indica il premio/extra rendimento per unitàdi rischio nel mercato.

• βi è la misura del rischio di un titolo.

— La (28) rappresenta la relazione che descrive il rendi-mento che possiamo attendere da un titolo (o portafoglio)rischioso una volta noti il rischio di mercato e quello deltitolo stesso.

— Se βi = 1 significa che il titolo ha un rendimento che simuove di concerto con il mercato. Il suo rendimento,quindi, sarà uguale a quello del portafoglio di mercato ela (28) diventa:

E(αi) = E(rM)

— Se βi > 1 significa che il titolo è più rischioso del mercato equindi deve essere remunerato di più per essere detenutodall’investitore.

23

— Se βi < 1, vale il contrario

• Alcune considerazioni conclusive sul CAPM:

— Se un investitore ha un portafoglio ben diversificato lamisura del rischio del suo portafoglio è data semplice-mente dal β.

— Il rischio non sistematico, ovvero idiosincratico, propriodi un titolo va a zero in seguito alla diversificazione delportafoglio.

— Resta, quindi, il rischio sistematico, chiamato anche so-ciale o globale che la diversificazione non elimina, questoè misurato dal β.

— Se il portafoglio è formato da tanti titoli, con xi la quota

della ricchezza investita nel titolo i-esimo, emXi=0

xi = 1, il

beta del portafoglio risulta:

β =mXi=0

xiβi

— Il mercato non paga il premio per il rischio che può es-sere diversificato ma solo quello non diversificabile che ècontenuto in un titolo e individuato dal suo beta.

— Il CAPM è un modello di equilibrio con una sola chiaraprescrizione: detenere il portafoglio di mercato.

— Per essere calcolato ho bisogno di avere delle stime dellevarianze dei rendimenti che non sono semplici da ottenereun modo alternativo per prezzare un titolo finanziario èquello proposto da Black-Scholes per le opzioni che nonha bisogno delle condizioni restrittive del CAPM.

— Una volta che si ha una stima del β dell’attività, può essere usatoper calcolare il V AN di un nuovo progetto: Il V AN descritto nelle(12) diventa:

V ANnuovo progetto =nXt=1

E(Rt − Ct)

(1 + r + βi(E(rM)− rf))t− I (29)

24

dove βi è il coefficiente di rischio specifico di quel progetto.

— oppure:

V ANnuovo progetto = E0

⎡⎣ tZ0

(Rs − Cs)e−(rf+β(E(αM )−rf ))sds

⎤⎦− I

dove β è il coefficiente di rischio specifico di quel progetto.

3.1.5 Equivalenza fra approccio RADR e EC

Dalla (28), il premio per il rischio per il generico titolo i-esimo è definitocome:

pi = E(αi)− rf ≡ λcov(αM , αi)

Ne consegue che, dall’equazione (17), per lo specifico progetto e per ogniistante temporale t, il premio per il rischio può essere scritto nel seguentemodo:

pt = E0(Rt − Ct)− Rt − Ct (30)

≡ λtcov(αMt, Rt − Ct)

Indichiamo ora con Vt−1 = Rt−Ct(1+rf )

, il valore atteso del progetto al tempo t−1.Facendo uso del premio per il rischio (30), il valore atteso al tempo t − 1diventa:

Vt−1 =Rt − Ct

(1 + rf)≡ E0(Rt − Ct)− λtcov(αMt, Rt − Ct)

(1 + rf)

Dalle proprietà delle covarianze noi sappiamo che:

cov(αMt, αt) = cov(αMt,Rt − Ct

Vt−1− 1) = cov(αMt, Rt − Ct)

Vt−1

Quindi abbiamo:

(1 + rf)Vt−1 = E0(Rt − Ct)− λtcov(αMt, Rt − Ct)

= E0(Rt − Ct)− λtcov(αMt, αt)Vt−1

da cui risulta che

Vt−1 =E0(Rt − Ct)

1 + rf + λtcov(αMt, αt)

che è riconducibile alla (29)

25

3.2 Un modello in tempo discreto

Assumiamo un proggetto che da un flusso di ricavi aleatori che hanno luogodurante la vita di esercizio del progetto che assumiamo infinita per semplicità.L’aleatorietà del flusso dei ricavi è descritto dal seguente albero binomiale(P0, u, d, q):

dove u > 1 e d < 1 rappresentano l’incremento e il decremento che nel futuropossono avere i ricavi rispetto al valore del periodo precedente, e q, 1 − qè la distribuzione di probabilità di questi due eventi. Il valore atteso di Pt

all’istante t = 0 è:

E0(Pt) = [qu+ (1− q)d]t P0 ≡ αtP0

Il V A atteso dei ricavi è quindi:

V A(P0, q) =∞Xt=0

E0(Pt)

(1 + bα)t ≡ R

R− αP0

dove R ≡ 1+ bα e bα è il tasso aggiustato per il rischio di questo progetto, conbα > α. Il valore attuale dei costi operativi (supposti costanti nel tempo) èdato da:

C =∞Xt=0

c

(1 + α)t=

R

R− 1c =1 + bαbα c

Infine il valore attuale netto del progetto risulta:

V AN(P0, q) = V A− C − I (31)

≡ R

R− αP0 −

R

R− 1c− I

26

dove con I indichiamo il costo di start-up del progetto.La regola di investimento risulta: investi se e solo se:

R

R− αP0 −

R

R− 1c− I > 0

oppure

P0 > P ∗ ≡ R− α

R− 1 c+R− α

RI =

1 + δbα c+δ

1 + bαI (32)

dove δ = α− α > 0.

3.3 Un modello in tempo continuo

Assumiamo che l’aleatorietà del flusso dei ricavi sia descritto da un processostocastico Browniano di tipo geometrico:

dPt = αPtdt+ σPtdzt con σ > 0 and Pt0 = P0. (33)

in cui P0 è il valore corrente dei ricavi al tempo zero e dzt è l’incrementodi un processo di Wiener standard che soddisfa le proprietà E(dzt) = 0, eE(dz2t ) = dt (per cui E(dPt) = αPtdt, e E(dP 2

t ) = σ2P 2t dt).

Dalla (33), si ottiene che E(Pt | P0) = P0eαt, per cui α è il rendimento

istantaneo atteso dell’attività sottostante, mentre σ è lo scarto quadraticomedio istantaneo (il rischio quotato di mercato).Consideriamo per primo il V A di questo progetto, poichè questo è fun-

zione di Pt, possiamo scrivere:

V A(P0) = E0

∙Z ∞

t=0

e−αtPtdt

¸(34)

dove α è al solito il tasso di sconto aggiustato per il rischio. Per risolvere la(34), possiamo seguire diversi procedimenti:

27

3.3.1 Procedimento probabilistico

Poichè il processo (33) è markoviano4 possiamo scambiare l’operatore inte-grale con quello di valore atteso (Teorema di Fubini) e abbiamo:

V A(P0) = E0

∙Z ∞

t=0

e−αtPtdt

¸≡Z ∞

t=0

e−αtE(Pt | P0)dt (35)

≡Z ∞

t=0

e−(α−α)tP0dt ≡Z ∞

t=0

e−δtP0dt ≡P0δ

dove δ = α− α > 0.

3.3.2 Programmazione dinamica

Poichè l’equazione (34) vale per ogni t, indicando con Pt = P il punto iniziale,possiamo riscriverla nel seguente modo:

V A(Pt) = Et

∙Z ∞

t

e−α(s−t)Psds

¸Considerando un intervallo di tempo molto breve, dt, possiamo scomporrel’integrale nella seguente forma:

V A(Pt) ≡ Et

∙Z t+dt

t

e−α(s−t)Psds

¸+Et

∙Z ∞

t+dt

e−α(s−t)Psds

¸= Ptdt+ e−αdtEt

∙Z ∞

t+dt

eαdte−α(s−t)Psds

¸= Ptdt+ e−αdtEt

∙Z ∞

t+dt

e−α[s−(t+dt)]Psds

¸= Ptdt+ e−αdtEt[V A(Pt+dt)]

l’ultimo passaggio deriva dal fatto che l’integraleR∞t+dt

e−α[s−(t+dt)]Psds hacome momento iniziale proprio t+ dt. Poichè l’intervallo dt è molto breve ilprocesso Pt+dt = Pt + dPt e quindi:

V A(Pt) = Ptdt+ e−αdtEt[V A(Pt + dPt)] (36)

4Un processo stocastico markoviano o processo di Markov è un processo stocasticonel quale la probabilità di transizione che determina il passaggio ad uno stato di sistemadipende unicamente dallo stato di sistema immediatamente precedente e non dal come siè giunti (storia) a tale stato.

28

chiamata anche Equazione di Bellman. L’idea sottostante l’ equazione diBellman è formalmente definita nel "Principio di Ottimalità di Bellman":una scelta di ottimo ha la proprietà che, qualsiasi sia l’azione iniziale, lescelte rimanenti costituiscono una scelta ottima rispetto al sottoproblemadefinito dall’azione iniziale presa in considerazione. In tal caso, dato chesi assume che le scelte rimanenti siano ottimali (il cosiddetto "continuationvalue"), bisogna scegliere in modo ottimale solo la variabile di controllo.Il primo termine sul lato destro dell’equazione (36) corrisponde al profittoimmediato, il secondo termine sul lato destro dell’equazione (36) corrispondeal continuation value e l’azione di ottimo è quella che massimizza la sommadelle due componenti. Poichè e−αdt ' (1− αdt), si può notare come la (36)corrisponda ad una condizione di non arbitraggio:

αEt[V A(Pt + dPt)] = Pt +[Et[V A(Pt + dPt)]− V A(Pt)]

dt

Facendo il limite per dPt → 0 otteniamo:

αV A(Pt) = Pt +1

dtE[dV A(Pt)]

Quello che mi aspetto di ricevere investendo al tasso α nel periodo di tempodt deve essere uguale ai ricavi Pt correnti più il capital gain 1

dtEt[dV A(Pt)].

Ritornando alla (36) ed espandendo la parte destra attorno al punto (Pt)e tenendo conto del Lemma di Ito, cioè eliminando i termini superiori alprimo ordine (si veda l’appendice per ulteriori chiarimenti), otteniamo:

V A(Pt) = Ptdt+ e−αdtEt[V A(Pt + dPt)]

= Ptdt+ (1− αdt)Et

∙V A(Pt) + V AP (Pt)dPt

+12V APP (Pt)dP

2t + ......

¸= Ptdt+ (1− αdt)

∙V A(Pt) + V AP (Pt)Et(dPt)+12V APP (Pt)Et(dP

2t ) + .....

¸= Ptdt+ (1− αdt)

∙V A(Pt) + V AP (Pt)αPtdt+12V APP (Pt)σ

2P 2t dt+ .....

¸= V A(Pt) +

∙12V APP (Pt)σ

2P 2t + V AP (Pt)αPt

−αV A(Pt) + Pt

¸dt

Sostituendo questa espressione all’interno dell’equazione di Bellman otteni-amo la seguente EDP (Equazione Differenziale Parziale):

1

2σ2P 2V APP (Pt) + αPV AP (Pt)− αV A(Pt) + Pt = 0 (37)

29

L’equazione differenziale (37) è di secondo grado non omogenea. Per la parteomogenea proviamo una soluzione del tipo BP β mentre come soluzione par-ticolare prendiamo la (35). Consideriamo prima la parte omogenea, sos-tituendo otteniamo:

1

2σ2P 2t Bβ(β − 1)P β−2

t + αPtBβPβ−1t − αBP β

t = 0

BP βt

∙1

2σ2β(β − 1) + αβ − α

¸= 0

La soluzione dell’equazione caratteristica Q(β) ≡ 12σ2β(β − 1) + αβ − α = 0

fornisce due radici: β2 < 0 e β1 > 1. L’equazione omogenea ha pertantosoluzione:

B1Pβ2t +B2P

β1t

dove B1 e B2 sono due costanti da determinare.Passiamo a trovare una soluzione particolare per l’equazione non omoge-

nea. Proviamo una soluzione del tipo KP. Sostituendo abbiamo:

αPK − αKP + P = 0

P [αK − αK + 1] = 0

da cui risulta che:K =

1

α− α≡ 1

δ

che conferma l’uso di (35) come soluzione particolare. Mettendo assieme lasoluzione dell’equazione omogenea più la soluzione particolare abbiamo:

V A(Pt) = B1Pβ2t +B2P

β1t +

Pt

δ

Per determinare la costante B1 consideriamo l’effetto di una riduzione deiricavi. Se P → 0 il termine B1P

β2t tende all’infinito. Per eliminare questa

bolla speculativa dobbiamo porre B1 = 0. Cioè se Pt = 0 anche il valore delprogetto deve essere zero V A(0) = 0Consideriamo ora il secondo termine. Questo rappresenta la componente

speculativa del valore del progetto quando Pt →∞. Infatti, indica il maggior

30

valore rispetto al valore fondamentale Ptδche gli investitori si aspettano di ot-

tenere rivendendo il progetto quando Pt sale. Tuttavia, se il mercato dei cap-itali funziona bene, nessun investitore si aspetta che il progetto possa saliresopra il valore Pt

δper periodi molto lunghi anche se Pt sale. L’accresciuta

domanda per il progetto spinge verso l’alto il tasso di rendimento dello stessoe verso il basso il suo valore. Questo ci induce a porre anche B2 = 0. Rias-sumendo abbiamo che il V A (34) risulta essere:

V A(Pt) =Pt

δ(38)

Se ora assumiamo che il flusso dei costi operativi sia costante nel tempoabbiamo:

C =

Z ∞

t=0

e−rf tcdt =c

rf

Infine il V AN diventa:

V AN = V A(Pt)− C − I =Pt

δ− c

rf− I (39)

La regola dell’investimento risulta: investi se e solo se:

Pt > P ∗t ≡δ

rfc+ δI (40)

31

A Appendice: Lemma di Ito

Si può comprendere il Lemma di Ito, intendendolo come una espansione inserie di Taylor. Supponiamo che x(t) segua il seguente processo:

dx = a(x, t)dt+ b(x, t)dz (41)

dove dz è l’incremento di un processo di Wiener e a(x, t) e b(x, t) sono funzioninote non random. Il drift e la varianza del processo sono funzioni dello statocorrente e del tempo (rispettivamente a(x, t) e b(x, t)). Il processo stocasticoin tempo continuo mostrato nella (41) viene definito processo di Ito.Consideriamo la media e la varianza degli incrementi del processo. Poichè

E(dz) = 0, E(dx) = a(x, t)dt, la varianza di dx è uguale a E[dx2]− (E[dx]2)che contiene termini in dt, (dt)2 ed in (dt)(dz) che è di ordine (dt)3/2. Per dtpiccolo in modo infinitesimo, i termini (dt)2 e (dt)3/2 possono essere ignorati.La varianza di dx è:

V [dx] = b2 (x, t) dt (42)

Consideriamo ora una funzione F (x, t) che sia almeno due volte differenziabilein x ed una in t. Troviamo il suo differenziale totale, dF . Le ordinarie regoledi calcolo definiscono il differenziale totale in termini di cambiamenti di primoordine in x e t:

dF =∂F

∂xdx+

∂F

∂tdt (43)

Includiamo inoltre i termini di ordine superiore per i cambiamenti di x, cioé:

dF =∂F

∂xdx+

∂F

∂tdt+

1

2

∂2F

∂x2(dx)2 +

1

6

∂3F

∂x3(dx)3 + .... (44)

Ordinariamente, questi termini di ordine superiore svaniscono al limite. Pervedere se ciò accade anche nella (44), espandiamo il terzo e quarto terminedell’equazione. Dalla (41) calcoliamo:

(dx)2 = a2(x, t) (dt)2 + 2a (x, t) (dt)3/2 + b2(x, t)dt (45)

I termini (dt)3/2 e (dt)2 vanno a zero più velocemente di dt quando quest’ultimodiventa infinitesimalmente piccolo, così possiamo ignorare questi termini escrivere:

32

(dx)2 = b2 (x, t) dt (46)

Seguendo il medesimo procedimento, espandendo (dx)3 del quarto terminedell’equazione (44), si ottengono termini di dt superiori a 1 che, pertanto,tendono a zero più velocemente di dt. Lo stesso accade con (dx)4 e potenzedi ordine superiore. Pertanto, dopo aver eliminato le potenze di dt superioria 1, il differenziale di dF può essere scritto nella seguente maniera:

dF =∂F

∂xdx+

∂F

∂tdt+

1

2

∂2F

∂x2(dx)2 (47)

Sostituendo la (41) nella (47) possiamo riscrivere l’equazione nella seguentemaniera:

dF =

∙∂F

∂tdt+ a (x, t)

∂F

∂x+1

2b2 (x, t)

∂2F

∂x2

¸dt+ b (x, t)

∂F

∂xdz (48)

Comparando la (43) con la (48) si osserva che quest’ultima equazione haun termine aggiuntivo. Supponiamo che il drift sia uguale a zero (a(x, t) =0) e che ∂F/∂t = 0. Ora E(dx) = 0, ma E(dF ) 6= 0. Quest’ultima èun’applicazione della diseguaglianza di Jensen. E(dF ) sarà positivo se F èuna funzione convessa di x (cioè ∂2F/∂x2 > 0) e negativo se F è una funzioneconcava di x (cioè, ∂2F/∂x2 < 0). Per il processo di Ito, dx si comporta come(dt)1/2 e (dx)2 come dt, così che l’effetto della convessità e della concavità èdi ordine dt e non può essere ignorato quando si scrive il differenziale di F .Il termine aggiuntivo della (47) cattura proprio tale effetto.L’espansione in serie di Taylor può essere estesa altresì ad ulteriori pro-

cessi di Ito. Per esempio, supponiamo che F sia uguale a F (x1, ..., xm, t) eche sia quandi funzione del tempo e di m processi di Ito, dove:

dxi = ai (x1, ..., xm, t) dt+ bi (x1, ..., xm, t) dzi; i = 1...m (49)

con E(dzidzj) = ρijdt. Allora tramite il Lemma di Ito possiamo calcolare ildifferenziale dF come:

dF =∂F

∂tdt+

Xi

∂F

∂xidxi +

1

2

Xi

Xj

∂2F

∂xi∂xjdxidxj (50)

Di nuovo possiamo sostituire la (49) per dxi e scrivere la seguente:

33

dF =

"∂F

∂t+Xi

ai (a1, ..., t)∂F

∂xi+1

2

Xi

b2i (x1, ..., t)∂2F

∂x2i+ (51)

+1

2

Xi6=j

ρijbi (x1, ..., t) bj (x1, ..., t)∂2F

∂xi∂xj

#dt+

Xi

bi (x1,...,t)∂F

∂xidzi

34