Queste schede raccolgono i testi degli esercizi svolti e ... · delle singole esercitazioni...

Queste schede raccolgono i testi degli esercizi svolti e proposti durante le eser-citazioni del Corso A5 di Analisi Matematica 1 tenuto nell'anno accademico2015/2016 presso il Politecnico di Torino.

Alla pagine web fulviodisciullo.wordpress.com è possibile trovare le schededelle singole esercitazioni corredate da materiale interattivo.

Un sentito ringraziamento per i consigli e la condivisione della scelta degli eserciziva alla dottoressa Chiara Ravazzi.

Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati:

(RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013.

(Q) G. G. Quelali, Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014.

(MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.

fulviodisciullo.wordpress.com

Indice

1 Trasformazioni geometriche 5

2 Funzioni (prime proprietà) 7

3 Sottoinsiemi di R e di R2 9

4 Estremi e Funzioni (composizione) 11

5 Funzioni (periodiche, inversa, monotonia) 13

6 Limiti (verica, funzioni razionali, confronto) 15

7 Limiti (successioni, funzioni irrazionali) 17

8 Limiti (funzioni continue e non) 19

9 Limiti (limiti notevoli) 22

10 Continuità (funzioni e parametri) 24

11 Continuità (punti di discontinuità) 25

12 Comportamento asintotico 27

13 Limiti (simboli di Landau) 29

14 Asintoti e derivate 31

15 Derivabilità 33

16 Primitive (elementare e per parti 35

17 Primitive (funzioni razionali) 37

18 Primitive (sostituzione) e studio di funzione 38

19 Studio del graco di funzione 39

20 Approssimazione di funzioni 40

21 Applicazioni delle formule di Taylor e di McLaurin 43

22 Numeri complessi (operazioni) 46

23 Numeri complessi (equazioni e disequazioni) 48

24 Complementi su funzioni e integrali deniti 50

25 Integrazione denita e media integrale 52

26 Integrazione impropria, prima parte 54

27 Integrazione impropria, seconda parte 56

28 Simulazione Test 58

29 Simulazione Scritto 62

4

1 Trasformazioni geometriche

Esercitazione del 01/10/2015

Trasformazioni geometriche e disequazioni in modo graco

Richiami sulle trasformazioni del graco di y = f (x).

1. Traslazioni orizzontali: y = f (x − a)

2. Traslazioni verticali: y = f (x) + b

3. riessioni orizzontali: y = f (−x)

4. riessioni verticali: y = −f (x)

5. dilatazioni orizzontali: y = f (αx)

6. dilatazioni verticali: y = βf (x)

7. ripiegamenti orizzontali: y = f (|x |)

8. ripiegamenti verticali: y = |f (x)|

Esercizio 1.1. Rappresentare il graco delle seguenti funzioni individuando la funzione ele-mentare di partenza e la relativa trasformazione.

(a) y = (x − 2)2

(b) y = log(x) + 1

(c) y = e−x

(d) y = −1

x

(e) y = sin(2x)

(f) y = 3 cos(x)

(g) y = x2 − 4|x |+ 3

(h) y = |ex − 1|

Esercizio 1.2. Rappresentare il graco delle seguenti funzioni sfruttando una o più trasfor-mazioni geometriche.

(a) y = log(|x |) + 1

(b) y = |2x+1 − 1|

(c) y =∣∣|x2 − 1| − 2

∣∣(d) y = −2 cos

(1

2x

)+ 1

Esercizio 1.3. Risolvere le seguenti disequazioni in modo graco.

(a)x − 1

x + 2> 0

(b) x2 + 1 > 2|x + 1|

(c) log(x) > x − 5

(d) 3|x| >3

x

(e) x2 − 4|x |+ 3 > 0

(f) 2x 6 3− x2

(g)1

3x + 2 >

√2x + 4

(h) |x | − |x − 1|+ |x − 3| < 5

(i)

∣∣∣∣x − 1

x + 1

∣∣∣∣ > 3

(j) x2 − 1 > −x2 + 2x − 1

(k) sin(2x) <1

2

5

Quiz 1.4 (Q). L'equazione√|x | − 1 = x2 − 3 ha le stesse soluzioni di:

A) log(x2 − 3) = sin(π)

B)√|x | − 1 = x |x | − 1

C) sin(x) = cos(π)

D) e1−x2

= e−|x|

E) 3√|x | − 1 = |x | − 1

Quiz 1.5 (Q). L'equazione 4e2x = sin(3x)− 1

A) ha innite soluzioni

B) ha una ed una sola soluzione

C) ha due soluzioni

D) ha soluzioni periodiche

E) non ha soluzioni

Quiz 1.6 (Q). Data l'equazione kx2−kx +2 = 0, quale delle seguenti aermazioni è errata?

A) se k = 1 l'equazione ha due soluzioni intere

B) se k = 8 l'equazione ha una soluzione intera

C) l'equazione ha una soluzione per k = 8

D) l'equazione ha due soluzioni reali per k < 0 o k > 8

E) l'equazione ha soluzioni non reali per 0 < k < 8

Per una rapida visualizzazione online delle rappresentazioni grache, si segnala il pratico eintuitivo calcolatore graco https://www.desmos.com/calculator.Si consiglia inoltre l'esplorazione esplicita delle relazioni tra parametri nelle trasformazionied eetto graco grazie al graco interattivo in https://www.desmos.com/calculator/

jznr81cpde.

6

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2 Funzioni (prime proprietà)


Immagine, controimmagine, suriettività e iniettività

Richiami sulle denizioni e considerazioni sul relativi graci.

Esercizio 2.1. Data la funzione f (x) = x2, determinare

(a) f ( (1, 2] )

(b) f −1( (1, 4] )

(c) f −1( (−2, 1) )

(d) f ( (−1, 1] )

Osservare che:

per ogni A ⊆ dom(f ) si ha A ⊆ f −1(f (A));

per ogni B ⊆ codom(f ) si ha f (f −1(B)) ⊆ B.

Esercizio 2.2. Data la funzione f (x) =x − 1

x + 2, determinare

(a) dom(f )

(b) im(f )

(c) discutere l'iniettività , la suriettività e lamonotonia di f (x)

(d) f ( (−2, 0) )

(e) f −1( [−1, 2] )

(f) f −1( (−2, 1) )

(g) f ( (−∞, 0] )

Esercizio 2.3. Date le seguenti funzioni

(a) f (x) =1

1 + x2

(b) g(x) =1

|x − 1|

(c) h(x) =

∣∣∣∣x + 1

x − 3

∣∣∣∣(d) i(x) = e|x−2|

determinare il dominio

determinare l'insieme immagine

rappresentare il graco e discutere eventuali simmetrie

discutere l'iniettivià, la suriettività e l'eventuale biettività

discutere la monotonia

7

Esercizio 2.4 (Q). Discutere iniettività, la suriettività e l'eventuale biettività, le simmetrie ela monotonia al variare di a ∈ R della funzione

f (x) =

a(x + 1) se x < −1−x2 + 1 se − 1 6 x < 0

eax se x > 0

Quiz 2.5 (Q). Date le due funzioni

f (x) = arcsin

(x − e

x + e

)g(x) = arccos

(x + π

x − π

)A) dom(f ) = (−∞,−e) ∪ (e,+∞)

B) dom(g) = (−∞,−π) ∪ (π,+∞)

C) entrambe hanno dominio [0,+∞)

D) dom(f ) ∪ dom(g) = R

E) dom(f ) ∩ dom(g) = ∅

Quiz 2.6 (Q). Il graco in gura rappresenta

A) f (x) = | − 2x + 4|x

B) f (x) = x | − x + 2|

C) f (x) = | − x2 + 2x |

D) f (x) = | − 2x2 + 4x |

E) f (x) = −x |x − 2|

Quiz 2.7 (RR). Sia data f : dom(f )→ R

A) se per ogni A ⊆ dom(f ) si ha f −1(f (A)) ⊆ A, allora la funzione f è iniettiva

B) se per ogni B ⊆ R si ha f (f −1(B)) ⊆ B, allora la funzione f è suriettiva

C) se per ogni A ⊆ dom(f ) si ha A ⊆ f −1(f (A)), allora la funzione f è iniettiva

D) se per ogni B ⊆ im(f ) si ha B ⊆ f (f −1(B)), allora la funzione f è suriettiva

8

3 Sottoinsiemi di R e di R2


Insiemi e sottoinsiemi di R: estremi

Esercizio 3.1 (Q). Trovare l'estremo superiore/inferiore e l'eventuale massimo/minimo deiseguenti insiemi

(a) A =

x ∈ R | |x − 1| − 3

1− x2> 0

(b) B =

x ∈ R | (3 + cos(2x))

x2 − 4

x + 10 6 1

Quiz 3.2 (Q). Sia dato l'insieme B = x ∈ R | log(x |x | − 31 > 0

A) B è limitato

B) B ammette sia minimo sia massimo

C) B ammette minimo

D) B = x ∈ R | x > 4√2

E) B ammette massimo

Caratterizzazione operativa di estremo superiore e inferiore

Esercizio 3.3. Mostrare la seguente caratterizzazione operativa.Dato un insieme A ⊆ R e un elemento µ ∈ R,

(a) µ = sup(A) se e solo se

(i) a 6 µ per ogni a ∈ A

(ii) per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che a > µ− ε

(b) µ = inf(A) se e solo se

(i) a > µ per ogni a ∈ A

(ii) per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che a < µ+ ε.

Esercizio 3.4. Determinare inf, sup ed eventualmente max, min per i seguenti insiemi.

(a) A =

n − 1

n| n ∈ N

(b) B =

2n

n2 + 1| n ∈ Z

(c) C =

x =

1

n+

1

m| m > n,m, n ∈ N

(d) D =

x = cos(

nπ

3− π

2

)| n ∈ Z

(e) E = x = 3−n | n ∈ Z

(f) F =

(−1)n · n2 − 1

n2| n ∈ N

9

Quiz 3.5 (RR). Siano A e B due insiemi limitati non vuoti in R. L'asserto inf(A) 6 inf(B)

è equivalente a:

A) esiste a ∈ A tale che per ogni b ∈ B si ha che a 6 b

B) per ogni a ∈ A esite b ∈ B tale che a 6 b

C) per ogni b ∈ B e per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che a < b + ε

D) per ogni b ∈ B e per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che a < b − ε

Quiz 3.6 (Q). Sia A =

1

n

√sin(

nπ

2

)· n + 2 | n ∈ N

. Allora:

A) A non è limitato

B) A ammette massimo, ma non minimo

C) A ammette sia massimo sia minimo

D) A ammette minimo, ma non massimo

E) A non ammette né minimo né massimo

Sottoinsiemi di R2

Esercizio 3.7. Rappresentare gracamente nel piano R2 gli insiemi

(a) A = (x , y) ∈ R2 | x2 + xy > 0

(b) B = (x , y) ∈ R2 | log(2−

√x2 + y2

)6 0

Quiz 3.8 (RR). La regione di piano rappresentata in gura (linea tratteggiata indica bordoescluso, linea continua indica bordo incluso) corrisponde a:

A)

(x , y) ∈ R2 | 1

log(2−

√x2 + y2

) > 2

B)

(x , y) ∈ R2 | 1

log(2−

√x2 + y2

) 6 2

C)(x , y) ∈ R2 | log

(2−

√x2 + y2

)> 2

D)(x , y) ∈ R2 | log

(2−

√x2 + y2

)> 1

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4 Estremi e Funzioni (composizione)


Sugli argomenti delle esercitazioni precedenti

Esercizio 4.1. Date le seguenti funzioni, determinare dominio e l'immagine, tracciare ilgraco, specicare eventuali simmetrie e studiare le proprietà di iniettività, suriettività ebiiettività.

(a) f (x) = log(|x |+ 1)

(b) g(x) = log(|x + 1|)

(c) h(x) = log(|x |) + 1

(d) u(x) = | log(|x + 2|)|

(e) v(x) = | log(|x |+ 1)|

(f) w(x) = | log(1− |x |)|

Quiz 4.2 (RR). Sia A l'insieme denito da

⋂n∈N

(−1− 1

n, 1− 1

n

).

Quale delle seguenti aermazioni è necessariamente vera?

A) sup(A) = 1

B) max(A) = 0

C) per ogni ε > 0 esiste x ∈ A tale che −2 6 x 6 −2 + ε

D) per ogni ε > 0 esiste x ∈ A tale che −ε < x < 0

Quiz 4.3 (RR). Sia Ω ⊆ R tale che inf(Ω) = 3 e sup(Ω) = 10; allora

A) per ogni ε > 0 e per ogni ω ∈ Ω si ha che ω > 3 + ε

B) per ogni ω ∈ Ω si ha che 3 < ω < 10

C) esiste ω ∈ Ω tale che ω < 5

D) Ω = [3, 10]

Funzioni elementari e composizione di funzioni

Esercizio 4.4 (RR). Date le funzioni f (x) e g(x), scrivere l'espressione algebrica delle funzionif g e g f , determinare dominio e insieme immagine.

(a) f (x) = log(x − 2), g(x) =√

x (b) f (x) = ex−2, g(x) = log(x − 1)

11

Esercizio 4.5. Disegnare e determinare l'insieme immagine delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = [sin(x)]

(b) g(x) = sgn(sin(x))

(c) h(x) = M(sin(x))

(d) u(x) = M(sin(x)) · [sin(x)]

Quiz 4.6 (RR). Siano f : dom(f )→ R e g : dom(g)→ R. Allora la funzione g f ha comeinsieme di denizione

A) dom(f ) ∩ dom(g)

B) dom(f ) ∩ im(g)

C) g−1(dom(f ) ∩ im(g))

D) f −1(dom(g) ∩ im(f ))

Esercizio 4.7. Determinare il dominio di

(a) f (x) = x log x +√−| sin(πx)|

(b) g(x) =√√

x − 2−√2x − 5

(c) h(x) =

√x2 − 1

x(2x2 − 9x + 10+ log(−2x + 5)

(d) u(x) = log

(x√|x2 − 4|

x2 − 4− 1

)

(e) v(x) = 4√

exx2 − |x |

(f) w(x) =

√|x | − 1

x2 − 5x + 6

Quiz 4.8. L'immagine della funzione f (x) = sin(π√sgn(x2 − x + 1)

)è

A) R B) [−1, 1] C) 1 D) 0 E) 0, 1

Quiz 4.9 (RR). Siano f (x) = ex+3, g(x) = −3 + log(x) e i(x) = x , allora

A) f g = g f

B) f g = i

C) g(f (x)) = i(x)⇔ x ∈ (0,+∞)

D) g(f (x)) = f (g(x)),∀x ∈ (0,+∞)

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5 Funzioni (periodiche, inversa, monotonia)


Funzioni periodiche

Esercizio 5.1. Risolvere le seguenti disequazioni

(a) 2 cos(x) <√3

(b) 2| sin(x)| 6√2

(c) cos(x)− sin(x) > 1

(d) tan2(x)−√3 tan(x) < 0

Esercizio 5.2. Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed eventualmente specicarne ilperiodo minimo

(a) f1(x) =12 sin(2x)

(b) f2(x) = sin(x2)

(c) f3(x) = etan(x)

(d) f4(x) = sin(3x) + cos(5x)

(e) f5(x) = 3(cos(x))2

(f) f6(x) = 3 tan(x/2 + π)

Quiz 5.3 (RR). Siano f (x) = sin(x − π/2) e g(x) = [x ]; allora

A) im(g f ) = im(sgn(x))

B) f g è una funzione periodica di periodo 2π

C) f (g(x)) è una funzione pari

D) im(f g) = kπ, k ∈ Z

Funzioni inverse

Esercizio 5.4. Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili e, in caso, determinare l'espres-sione della funzione inversa.

(a) f (x) = x2 + 2x − 8

(b) g(x) = arctan

√ex − 1

ex + 1

(c) h(x) =

ln(x + 1) x > 02

xx < 0

Funzioni monotone

Esercizio 5.5. Studiare la monotonia di g(x) =1

f (x)sapendo che f (x) è monotona crescente.

Studiare inoltre la monotonia della funzione f (x) =1

sin(x) · cos(x).

Esercizio 5.6. Dimostrare che se f (x) e g(x) sono entrambe monotone (crescenti o decre-scenti), allora f g è monotona crescente.

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Quiz 5.7 (RR). Siano f e g due funzioni monotone strettamente crescenti. Allora

A) la funzione prodotto f · g è monotona strettamente crescente sul proprio dominio

B) la composizione f g è monotona strettamente crescente sul proprio dominio

C) le funzioni inverse f −1 e g−1 sono monotone strettamente decrescenti sul propriodominio

D) la funzione (g f )−1 è monotona decrescente sul proprio dominio

Sugli argomenti delle esercitazioni precedenti

Esercizio 5.8 (RR). Date le funzioni f (x) e g(x), scrivere l'espressione algebrica delle funzionif g e g f , determinare dominio e insieme immagine.

(a) f (x) =

√x + 1

x − 1, g(x) = log(x) (b) f (x) = log

√x + 1

x − 1, g(x) = log(x)

Esercizio 5.9. Determinare il dominio, l'insieme immagine e disegnare il graco di:

(a) f (x) =1

[sin(x)]

(b) g(x) = [ex ]

(c) h(x) = M(ex)

(d) u(x) = M(cos(x)) · [cos(x)]

Esercizio 5.10 (MS). Date le funzioni g : X → Y e f : Y → Z , h = f g , dimostrare che

(a) se h è iniettiva allora anche g è iniettiva;

(b) se h è iniettiva e g è suriettiva, allora f è iniettiva.

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6 Limiti (verica, funzioni razionali, confronto)


Denizione di limite e verica

Richiami sulle denizioni di limite di funzione e successione, interpretazione graca. Richiamiper i limiti di funzioni elementari agli estremi del dominio di denizione.

Esercizio 6.1 (Q). Scrivere, secondo la denizione, che cosa signicano i seguenti limiti,rappresentarli gracamente e vericare la correttezza utilizzando la denizione.

(a) limx→−1

√x + 2 = 1 (b) lim

x→+∞arctan(x) =

π

2

Esercizio 6.2. Vericare, attraverso la denizione, che

(a) limx→+∞

x − 2√

x = +∞

(b) limx→+∞

x

x − 1= 1

(c) limx→+3

1

2x − 1=

1

5

(d) limx→+0+

log(x) = −∞

Limiti di funzioni razionali per x →∞Esercizio 6.3. Calcolare i seguenti limiti.

(a) limx→±∞

3x2 − x + 5

2x2 + 4x + 1

(b) limx→±∞

x5 + 4x3 + 9

x3 − 2x + 5

(c) limx→±∞

x4 + 3x2 + 1

x3 + x + 2

(d) limx→±∞

x2 + x + 7

x4 − 2x3 + 7

(e) limx→±∞

x2 + 2x + 5

x3 − 1

(f) limx→±∞

7x + 5

3− 2x

Considerazioni generali, divisione di polinomi e andamento asintotico.

Teorema del confronto

1. Siano f , g funzioni denite in un medesimo insieme A e sia α un punto di ac-cumulazione per A. Se limx→α f (x) = +∞ e in un intorno bucato di α valeg(x) > f (x), allora limx→α g(x) = +∞

2. Siano f , g , h funzioni denite in un medesimo insieme A e sia α un punto diaccumulazione per A. Se limx→α f (x) = limx→α h(x) = l e in un intorno bucatodi α vale f (x) 6 g(x) 6 h(x), allora limx→α g(x) = l

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Esercizio 6.4. Utilizzando il teorema del confronto, calcolare i seguenti limiti

(a) limx→+∞

3x + sin(x)

(b) limx→+∞

x + cos(x)√x − 1

(c) limx→+∞

√5 + sin(x)

x2 + 1

(d) limx→+∞

[1− x2]

x2 + 3

(e) limx→+∞

M(x)

x3 + 2

(f) limx→+∞

3x + sin(x)

x + M(x) + cos(x)

(g) limx→+∞

sin(x)√x

(h) limx→+∞

x2 − 5x

x + 1(e − 2sin(x))

Esercizio 6.5. Calcolare i seguenti limiti di successioni

(a) limx→+∞

n3 + 2n + 1

n − 1

(b) limx→+∞

(−1)n(2

3

)n

(c) (Q) limx→+∞

n · cos(n2 + 4n)

3n!− 2

(d) (Q) limn→+∞

5n3 + arctan(6n)

4n3 + 7n2

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7 Limiti (successioni, funzioni irrazionali)


Limiti di funzioni e di successioni

Esercizio 7.1. Si verichino, mediante la denizione, i seguenti limiti di successioni.

(a) limn→∞

1

1 + en= 0 (b) lim

n→∞

1 + 2n2

n= +∞

Esercizio 7.2. Calcolare i seguenti limiti

(a) limx→2

x3 − 1

(b) limx→π/2

sin(x) · cos(x)

(c) limx→1

x3 − 1

x4 − 1

(d) limx→3

x2 − 8x + 15

x2 − 10x + 21

(e) limx→5

(x − 5)2

x2 − 6x + 5

(f) limx→4

√x − 2

x2 − 5x + 4

(g) limx→0+

arctan1

x

(h) limx→1−

(1

x − 1+

x

1− x2

)Esercizio 7.3. Si calcoli, al variare di p, q ∈ N:

limx→1

xp − 1

xq − 1


(a) limx→+∞

√x + 1−

√x

x

(b) limx→+∞

√1 + 4x2 − 2x

(c) limx→+∞

3√

x2( 3√1 + x − 3

√x − 1)

(d) limx→+1+

√2− x2 − 1

(x − 1)2

(e) limx→0

1−√1 + 4x2

x2

Esercizio 7.5. Determinare λ ∈ R in modo tale che

limx→+∞

√x2 − 1

(√x2 + λ− x

)= 2

Quiz 7.6 (RR). Sia f : R→ R continua con f (10) = 2, allora necessariamente:

A) esiste x ∈ R tale che f (x) > 2

B) esiste x > 10 tale che f (x) < 0

C) esiste x < 10 tale che f (x) > 0

D) per ogni x ∈ R si ha che f (x) < 2

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Limiti notevoli

(a) limx→0

sin(x)

x= 1

(b) limx→0

1− cos(x)

x2=

1

2

(c) limx→+∞

(1 +

1

x

)x

= e

(d) limx→0

loga(1 + x)

x= loga(e)

(e) limx→0

ax − 1

x= log(a)

(f) limx→0

(1 + x)a − 1

x= a

(g) limx→+∞

ex

xa= +∞, ∀a ∈ R

(h) limx→+∞

log(x)

xa= 0, ∀a ∈ R

Esercizio 7.7 (RR). Si calcolino i seguenti limiti

(a) limx→+∞

(x − 1

x − 2

)x+2

(b) limx→0

x3 + x2 sin x + sin2 x

x4 + x3 + x sin x

Esercizio 7.8. Calcolare i seguenti limiti al variare del parametro α ∈ R

(a) limx→0+

xα sin(x) (b) limx→0+

xα(1− cos(x))

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8 Limiti (funzioni continue e non)


Limiti di successioni

Esercizio 8.1. Calcolare, se esistono, i limiti delle seguenti successioni

(a) limn→∞

2n2 + 1

n − 1

(b) limn→∞

n − 6n4

1 + n2 + n4

(c) limn→∞

n2(sin(π2

n))2

(d) limn→∞

(−1)n (0, 1)n

(e) limn→∞

(−1)n(3

2

)n

(f) limn→∞

√n −√

n − 1

(g) limn→∞

√n(√

n −√

n − 1)

(h) limn→∞

(−1)n + 2

(−1)n+1 − 2

(i) limn→∞

(3n)!

(n!)3

(j) limn→∞

(1 +

1

n

)n+100

(k) limn→∞

nn

n!

Esercizio 8.2. Sia (an)n∈N una successione tale che an > 0 per ogni n ∈ N e limn→∞ an = `.Si dimostri che limn→∞

√an =

√`.

Esercizio 8.3. Stabilire se è vera o falsa la seguente proposizione:

Sia (an)n∈N una successione tale che limn→∞ an2 = 1.

Allora necessariamente limn→∞√

an = 1

Limiti di funzioni

Esercizio 8.4. Stabilire se esistono i seguenti limiti e se vale la seguente uguaglianza:

limx→∞

[2

πarctan(x)

]=

[lim

x→∞

2

πarctan(x)

]Esercizio 8.5 (RR, Esercizio Guidato 2, Capitolo 2). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

(a) limx→∞

(x − 1

x − 2

)x+2

(b) limx→0

(1 + x2)1

x2+x

(c) limx→0

[1− x3]

(d) limx→0

[1− x2]

(e) limx→0

xM

(1

x4

)(f) lim

x→+∞

x2 − 5x

x + 1

(e − esin(x)

)(g) lim

n→+∞cos

((−1)n n2 + 1

n2 − 1π

)(h) lim

x→+∞

√x sin(x)

19

(i) limx→0| sgn(f (x))|

Esercizi da svolgere

Esercizio 8.6 (RR, Guidato 1 e Proposto 1, Capitolo 2). Calcolare, se esistono, i limiti delleseguenti successioni:

(a) limn→+∞

−n2 − 1

2n2 + 3

(b) limn→+∞

n3 cos(π2

n)

(c) limn→+∞

n∑i=1

1√n2 + i

(d) limn→+∞

n2 + n + 1

n − 1

(e) limn→+∞

√n + 2−

√n − 2

4n

(f) limn→+∞

(−1)n − 3

(−1)n + 3

(g) limn→+∞

(−1)n(4

3

)n

(h) limn→+∞

1

ncos(nπ/2)

(i) limn→+∞

n( n√

n − 1

(j) limn→+∞

1

n3

(3n − 2

3

)Esercizio 8.7 (MS, Esercizio 7.20 7.23). Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere ofalse

(a) Sia (an)n∈N una successione convergente, allora limn→∞

an+1 − an = 0

(b) Sia (an)n∈N una successione tale che limn→∞

an+1 − an = 0,

allora la successione (an)n∈N è convergente

(c) Sia (an)n∈N una successione convergente a un numero reale non nullo,

allora limn→∞

an+1

an= 1

(d) Sia (an)n∈N una successione tale che limn→∞

an+1

an= 1 allora (an)n∈N è convergente

(e) Sia (an)n∈N una successione tale che limn→∞

an+1

an= 1

allora se (an)n∈N convergente allora il limite è nullo

Quiz 8.8 (RR, Quiz 1, Capitolo 2). Se (an) è una successione a termini positivi tale chelimn→∞ an+1/an = 1 allora

A) limn→∞ an = ` ∈ R

B) limn→∞ an = +∞

C) se limn→∞ an = ` ∈ R allora ` = 0

D) esiste N tale che n > N implica an+1 > an/2

20

Quiz 8.9 (RR, Quiz 2, Capitolo 2). Sia f (x) = (arctan(1/x))2. Allora si ha che

A) limx→0 f (x) = π2/4

B) limx→0 f (x) = +∞

C) limx→0 f (x) = 0

D) non esiste limx→0 f (x)

Quiz 8.10 (RR, Quiz 9, Capitolo 2). Se (an) e (bn) sono due successioni tali che

limn→∞

|an + bn| = 0,

allora

A) limn→∞ an − bn = 0

B) limn→∞ an + bn = 0

C) limn→∞ an2 + bn

2 = 0

D) limn→∞ |an|+ |bn| = 0

21

9 Limiti (limiti notevoli)


Limiti di funzioni con i limiti notevoli


(a) limx→0

1− cos(2x)

sin2(3x)

(b) limx→0

(1

x tan(x)− 1

x sin(x)

)

(c) limx→0

sin(5x)− sin(3x)

x

(d) limx→π/2

sin(cos(x))

cos(x)

(e) limx→0

sin(x4)

sin2(x2)

(f) limx→+∞

x sin(1/x)

(g) limx→1

sin(x2 − 1)

x − 1

(h) limx→0

arcsin(x)

x

(i) limx→0

arctan(x)

x

(j) limx→0

arccos(x)− π/2x

(k) limx→1−

(arccos(x))2

x − 1

(l) limx→π/2

sin(x)− 1

(π/2− x)2

(m) limx→0

1− cos(π2 sin(x))

x sin(x)

(n) limx→0

sin(x)− tan(x)

x3

(o) limx→π/2

cos(x)

x − π/2

(p) limx→π

sin(x)

π − x

Esercizio 9.2. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

(a) limx→0

2x − 1

x

(b) limx→2

x − 2

log(x/2)

(c) limx→0

log(1 + 4x)

x

(d) limx→0

log(2− cos(x))

sin2(x)

(e) limx→−∞

x(31/x − 1)

(f) limx→0

2x − 3x

x

(g) limx→0

(1 + x)α − 1

x

(h) limx→+∞

(x2 − 1

x2 + 1

)x

(i) limx→e

(log(x))1

x−e

(j) limx→0

sinh(x)

x

(k) limx→0

log(cos(x))

x2

22

Esercizi da svolgere

Esercizio 9.3 (RR, Proposto 2, Capitolo 2). Calcolare, se esistono, i limiti delle seguentisuccessioni:

(a) limx→0

M(1− sin(x)) · [cos(x)]

(b) limx→0+

[1− xxx

]

(c) limx→+∞

M(x2 + x − 1)

x2 + 3

(d) limx→1

x7 − 1

1− x5

(e) limx→+∞

(cos

(1

x

))x2

(f) limx→+∞

(x2 + x + 3

x2 + x

)x2+x+2

(g) limx→−∞

x − 1

3x + 3 + M(√|x |)

(h) limx→−∞

log

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣

(i) limx→+∞

xx1/x

(j) limx→1−

(x − 1)2

(arccos(x))4

(k) limx→0+

(1

x

)sin(x)

(l) limx→0

3√

x + 1− 1

x

(m) limx→1

log(2− x2)

ex2−1 − 1

(n) limx→+∞

(2x)1

log(3+2x)

(o) limx→0

log(1 + 3x)

sin(6x) + x2/3 cos(x)

(p) limx→1−

1− cos(√1− x2)

x2 − 4x + 3

23

10 Continuità (funzioni e parametri)


Esercizio 10.1. Dimostrare attraverso la denizione che la funzione f (x) =√

x è continuasu tutto il suo dominio.

Esercizio 10.2. Determinare, se esistono, i limiti seguenti:

(a) limx→e

(log(x))1

x−e

(b) limx→+∞

x [log(x + 2)− log(x + 1)]

(c) limx→0

e√x+1 − e

x

(d) limx→+∞

(1

log(x + 3)

)x+2

Esercizio 10.3 (RR, Guidato 3 e Proposto 3, Capitolo 2). Determinare per quali valori deiparametri α, β la funzione seguente è continua su R:

(a) f (x) =

αx − 2 x > −13x2 − 4x + 5 x < −1

(b) f (x) =

arccos x + α se x ∈ [−1, 1]x2 se x > 1

(x − β)2 se x < −1

(c) f (x) =

minα, x4 + 2 se x < −1x3 + 1 se x > −1

(d) f (x) =

maxx4,1

x4+ α se x 6= 0

0 se x = 0

(e) f (x) =

x2 se x < 2√

x + β se x > 2

24

11 Continuità (punti di discontinuità)


Esercizio 11.1. Stabilire se esistono valori di γ ∈ R tali che la funzione

f (x) =

M(x) 0 6 x < 3

x + γ x > 3

abbia estensione continua in x = 3.

Esercizio 11.2. Dire per quali valori di x0 ∈ R si ha

limx→x0

sign

(x2 − 1

2x2 + 1

)= sign

(limx→x0

x2 − 1

2x2 + 1

)Esercizio 11.3 (RR, Guidato 4 e Proposto 4, Capitolo 2). Stabilire se le funzioni seguentisono continue su R e classicarne le eventuali discontinuità

(a) f (x) =

|x ||x|x se x 6= 0

0 se x = 0

(b) f (x) =

x3 − x

x2 − 4 se x /∈ −2, 20 altrimenti

(c) f (x) =

e1/(x+1) se x > −12x2 − x se x 6 −1

(d) f (x) = [sin x ][cos x ]

(e) f (x) =e3x+1 − e

6x

(f) f (x) = (x2 − 1)[x ]

Quiz 11.4 (RR, Quiz 3, Capitolo 2). Se f : R→ R è una funzione tale che

limn→∞

f (k/n) = f (0), per ogni k ∈ Z,

allora:

A) f è continua in 0

B) f non è continua in 0

C) non esiste limx→0 f (x)

D) nessuna delle precedenti è sempre vera

25

Quiz 11.5 (RR, Quiz 4, Capitolo 2). Sia

f (x) =

sin(x + λ) se x 6 0

1 se x > 0

con λ ∈ R; allora

A) esiste un unico valore di λ per cui f è continua su tutto R

B) non esiste alcun valore di λ per cui f sia continua su tutto R

C) esistono inniti valori di λ per cui f sia continua su tutto R

D) f (x) + λ è continua su tutto R per ogni λ ∈ R

Quiz 11.6 (RR, Quiz 8, Capitolo 2). Sia f : R→ R continua tale che

limx→−∞

f (x) = 2 limx→+∞

f (x) = 4,

allora necessariamente

A) f è monotona crescente

B) Im(f ) = (2, 4)

C) l'equazione f (x) = 3 ammette almeno una soluzione

D) ∀ε > 0,∃M > 0 : se x > M allora 4 < f (x) < 4 + ε

Quiz 11.7 (RR, Quiz 10, Capitolo 2). Sia f : R → R monotona decrescente su [0, 1] alloranecessariamente

A) f ((1 + e)/e) > f (5/e)

B) im(f ) = [f (1), f (0)]

C) esiste limx→0+ f (x)

D) limx→1 f (x) = f (1)

26

12 Comportamento asintotico


Simboli di Landau

Richiami sulle denizioni di o piccolo, e di equivalenza asintotica

Esercizio 12.1. Vericare che, date due funzioni f (x) e g(x) denite in un intorno (even-tualmente bucato) di α, f = o(g) per x → α.

(a) f (x) = x2, g(x) = x log(x), x → 0.

(b) f (x) = xn, g(x) = ax , a > 1, x → +∞

(c) f (x) = log(x), g(x) = x , x → +∞

Esercizio 12.2. Sfruttando i simboli di Landau calcolare, se possibile, i seguenti limiti:

(a) limx→0

1− cos(x) + 3x

sin(x)(b) lim

x→0

1− cos(x)− 12x2

x4

Si discuta il comportamento nel caso (b).

Ordine di innito / innitesimo e parte principale

Richiami sulle denizioni di ordine di innito / innitesimo e sulle funzioni campione.

Esercizio 12.3. Determina l'ordine di innitesimo / innito e la parte principale nelle seguentisituazioni.

(a) f (x) = sin(2x2) · (√1 + 3x − 1), x → 0

(b) f (x) =1− cos(x)√

x, x → 0

(c) f (x) = e2x2

3x3+5 − 1, x → 0

(d) f (x) = e3√1+2x2 − e, x → 0

(e) f (x) = log(√

x2 + 9)− log(3), x → 0

(f) f (x) =x2√

x3 + sin x√x4 + 1

, x → 0


(a) f (x) = ex3+x2−5x+3

x2+x−2 − 1, x → 1

(b) f (x) = 1− sin(x), x → π2

(c) f (x) =cos(x)

3√

(1− sin x)2, x → π

2

(d) f (x) = 1 + cos(x2), x →√π

(e) f (x) =

√1 + sin x −

√1− sin x

sin2 x,

x → π

(f) f (x) = log(x)− log(2), x → 2

27


(a) f (x) =x3/2 + 5x2

1 +√

x + 4√

x, x →∞

(b) f (x) =√

x4 + x3 − x2 +√

x , x →∞

(c) f (x) =√

x2 + 1− x +√

x , x →∞

(d) f (x) =√

2x2 + 1− x +√

x , x →∞

(e) f (x) = 3√

x + 1− 3√

x − 1, x →∞

28

13 Limiti (simboli di Landau)


Limiti con i simboli di Landau

Esercizio 13.1. Si calcolino i seguenti limiti.

(a) limx→0

log(2− cos(x))

sin2(x)

(b) limx→0

log(cos(x))

x2

(c) limx→0

log(sin(x))

log(x)

(d) limx→0

ex

x+1 − 1 +√

x

5√

x

(e) limx→0

e√

sin(x) − 1√x

(f) limx→0

eαx −√1− x

sin(x)

(g) limx→0

tan(sin(x))

tan(x)

(h) limx→0

1− cos(x3 + 2x2)

x4 − x7

(i) limx→0+

x log(x)

(j) limx→0+

(tan x)sin x

(k) limx→0

x sin x − 1

x

(l) limx→0

log(tan4 x + 1)

e2 sin4 x − 1

(m) limx→0

(1− cos x)2

log(1 + sin4 x)

(n) limx→0+

3x sin(2x − 1)

4x + 1− 2x+1

(o) limx→0+

(log((1 + x)3 − 1)− log(x)

)(p) lim

x→0|x |1/x

(q) limx→0

log(1 + 2x)3√

x5

(r) limx→0

2x+1x

1 + 21x

(s) limx→0

(1 + x)tan(x)

(t) limx→0

log((1 + x)3)

sin 5x +3√

x4 · sin x

(u) limx→0

etan3 x − 1

x · (cos x − ex2)

(v) limx→0+

(ex − 1)1

log(x)

(w) limx→0+

(3x2)1

(log(x))2

(x) limx→0

log(1 + 2x

3x − 1

(y) limx→0

sin(x/3)1

2 log(x)

Esercizio 13.2. Si calcolino i seguenti limiti di funzione.

(a) limx→π

2−(tan x)

√cos(x)

(b) limx→π

2

(1 + cos2 x)tan2 x

(c) limx→e

log(x)− 1

x − e

(d) limx→π

2

tan x · (ecos x − 1)

29

Esercizio 13.3. Si calcolino i seguenti limiti di funzione.

(a) limx→+∞

(x − sin2(x) log(x)

)(b) lim

x→−∞

3x − 3−x

3x + 3−x

(c) limx→+∞

ex sin(e−x sin x)

x

(d) limx→+∞

xex sin(e−x sin(2/x)

)(e) lim

x→+∞

log(1 + ex)

x + sin(x)

Esercizio 13.4. Si calcolino i seguenti limiti di successione.

(a) limn→∞

n√3n6 − 17

30

14 Asintoti e derivate


Limiti e asintoti

Richiami sulle denizioni.

Esercizio 14.1 (RR, Esercizio 2, Capitolo 4). Determinare eventuali asintoti delle funzioniseguenti.

(a) f (x) = log2x + 4

x − 4+

x2 − 1

x + 3

(b) g(x) =

√x4 − 5x2 + 10

x + 2

(c) h(x) = log(2 e3x +x)

(d) i(x) =e2x

ex −1

Derivate

Richiami: denizione e regole di derivazione

Esercizio 14.2. Calcolare la funzione derivata delle seguenti funzioni.

(a) f (x) = log(sin(x + 1)− x2) + ecos(3x)

(b) g(x) =e3 sin(x) − tan(x)

log(x) + 2x

(c) h(x) =

(1 +

1

x

)x

(d) i(x) = 2sin(x)

Esercizio 14.3. Determinare α, β ∈ R in modo tale che f (x) sia derivabile in x = 0, con

(a) f (x) =

(x − β)2 − 2 x > 0

α sin(x) x < 0(b) g(x) =

ex +α cos(x) x > 0

β(x2 + 3x + 1) x < 0

Esercizio 14.4 (RR, Esercizio 2, Capitolo 3). Determinare i punti di non derivabilità dellefunzioni seguenti:

(a) f (x) = |x3 − x |

(b) g(x) = 3√

(x + 1)2(x − 2)

(c) h(x) = 3√(x + 1)2

(d) i(x) = 1− e−|x|

(e) l(x) =

min

x2,

1

x2

x ∈ R \ 0

0 x = 0

31

Esercizio 14.5 (RR, Esercizio 3, Capitolo 3). Stabilire se le funzioni seguenti sono prolungabilicon continuità su R. Le funzioni prolungate risultano derivabili su R?

(a) f (x) = e− 1

1−x2

(b) g(x) =sin(x3 log |x |)

x

(c) h(x) =π

2− arctan

1

|x |

Esercizio 14.6 (RR, Esercizio 3, Capitolo 3). Stabilire se le funzioni seguenti sono prolungabilicon continuità su R. Le funzioni prolungate risultano derivabili su R?

(a) f (x) = e− 1

1−x2

(b) g(x) =sin(x3 log |x |)

x

(c) h(x) =π

2− arctan

1

|x |

32

15 Derivabilità


Esercizio 15.1. Date le funzioni

f (x) =

a sin(πx) x 6 0

x2

log(1 + x)+ b(x + 1) x > 0,

; g(x) =

sin(ax) x 6 0

xb + 3x x > 0,;

(a) dire per quali valori dei parametri a e b reali la funzione è continua su tutto R;

(b) dire per quali valori dei parametri reali a e b reali la funzione è derivabile su tutto R.

Quiz 15.2 (RR, Quiz 7, Capitolo 4). Si consideri la funzione f :

[0,

5

6π

]→ R data da

f (x) = ex sin x , allora f (x):

A) ha esattamente un punto critico;

B) ha inniti punti stazionari

C) ha un punto di minimo assoluto in x = 56π

D) ha un punto di massimo assoluto in x = 56π

Quiz 15.3 (RR, Quiz 9, Capitolo 4). Data la funzione

f (x) =

x2 sin 1

x + 1 x 6= 0

1 x = 0

A) non esiste la retta tangente nell'origine

B) la retta tangente nell'origine ha equazione y = 0

C) la retta tangente nell'origine ha equazione y = 1

D) la retta tangente nell'origine ha equazione y = x + 1

Esercizio 15.4 (RR, Esercizio 5, Capitolo 3). Si consideri la funzione f (x) = sinh x ;

(a) vericare che f è invertibile su R e determinare l'espressione della funzione inversa;

(b) vericare che la funzione inversa è derivabile su R e determinare l'espressione

(f −1)′(x),∀x ∈ R;

(c) scrivere l'equazione della retta tangente al graco y = f (x) in x = 1.

33

Esercizio 15.5. Si consideri la funzione

g(x) = (x − 2) log |x − 2|;

(a) si determini il dominio di g e si rappresenti il graco probabile della funzione;

(b) si verichi che esiste y = g(x) estensione continua a R di g(x);

(c) si studi la derivabilità di g(x);

(d) scrivere, se possibile, l'equazione della retta tangente al graco y = g(x) nei suoi puntidi intersezione con l'asse delle ascisse.

Quiz 15.6 (RR, Quiz 12, Capitolo 4). Sia f continua e derivabile su R tale chelim

x→+∞f ′(x) = 1, allora

A) limx→+∞

f (x) = ` ∈ R

B) limx→+∞

f (x)

x= +∞

C) limx→+∞

f (x)

x= 0

D) limx→+∞

f (x)

x= 1

34

16 Primitive (elementare e per parti


Richiami sulle primitive, denizione, prime proprietà, integrazione per parti, integrazione persostituzione.

Esercizio 16.1 (MS, Esercizio 4.3). Consideriamo la funzione f (x) =(x + 1)2

xper x > 0.

(a) Si calcoli la derivata f ′(x) e si calcoli una primitiva g(x) di f (x);

(b) Si discuta se, e per quale motivo, f (x) è dierente dalla funzione g(x).

Esercizio 16.2. È data la funzione f (x) =√4− x2.

(a) Provare che la funzione F (x) =x

2

√4− x2 + 2arcsin

x

2è una primitiva di f (x) sull'in-

tervallo (−2, 2).

(b) Provare che la funzione G (x) =x

2

√4− x2 + 2arcsin

x

2− π

3è una primitiva di f (x)

sull'intervallo (−2, 2) che passa per P =

(1,

√3

2

).

Esercizio 16.3. Provare che le funzioni F (x) = sin2 x + 7 e G (x) = −1

2cos(2x) − 11 sono

due primitive di una stessa funzione f (x) su R; trovare f (x) e discutere la relazione tra F (x)

e G (x).

Integrazione elementare

Esercizio 16.4. Si determinino le seguenti primitive (casi elementari e generalizzati).

(a)∫

x3 − 6x2 + 7x + 4

xdx

(b)∫

1√x + 1

dx

(c)∫

tan(x) dx

(d)∫

1

x log(x)dx

(e)∫

cos(x) + 2x

sin x + x2 − πdx

(f)∫

1

x√1− log2 x

dx

(g)∫

1√a2 − x2

dx , a > 0

(h)∫

1√a2 + x2

dx , a > 0

(i)∫

1

a2 + x2dx , a > 0

(j)∫

sin5 x · cos x dx

(k)∫

1

sin(2x)dx

(l)∫

3 ex

1 + e2xdx

35

Quiz 16.5 (RR, Quiz 9, Capitolo 5). Siano f (x) = sin2 x e g(x) = −cos(2x)

2, allora:

A) g(x) è una primitiva di f (x)

B) f (x) è una primitiva di g(x)

C) f (x) e g(x) sono due primitive di una stessa funzione

D)∫[f (x)− g(x)] dx = c , con c costante reale

Integrazione per parti

Esercizio 16.6. Si determinino le seguenti primitive (integrazione per parti).

(a)∫

x · sin x dx

(b)∫

log(1 + x) dx

(c)∫

x · log2(5x) dx

(d)∫(x + 1)2 · cos(x) dx

(e)∫

arctan x dx

(f)∫ √

1− x2 dx

(g)∫ √

x2 + a2 dx , a > 0

(h)∫

e2x · sin x dx

36

17 Primitive (funzioni razionali)


Richiami sull'integrazione di funzioni razionali. Una guida esauriente al problema può esserescaricata da:http://www.personalweb.unito.it/alberto.albano/agraria/FunzioniRazionali.pdf.

Esercizio 17.1. Si determinino le seguenti primitive (integrazione di funzioni razionali).

(a)∫

2x2 − 3x + 7

x − 5dx

(b)∫

3x − 4

x2 − 6x + 8dx

(c)∫

3x

x3 − 1dx

(d)∫

9x + 8

x3 + 2x2 + x + 2dx

(e)∫

x5 − 3x4 + x + 3

x2 − 1dx

(f)∫

x5 − x + 1

x4 + x2dx

(g)∫

sin x

cos2 x + 2 cos x − 3dx

(h)∫

x5 + 3x3 + 1

x2 + 3dx

Quiz 17.2 (RR, Quiz 8, Capitolo 5). Siano F e G primitive su J ⊆ R rispettivamente di f eg , allora per ogni x ∈ J vale

A) [F (x) · G (x)]′ =∫

f (x)g(x) dx

B) [F (x) · G (x)]′ = f (x)g(x)

C) [F (x) · G (x)]′ =f (x)g(x)− F (x)G (x)

(f g)2

D) [F (x)2 · G (x)]′ = F (x) · [2f (x)G (x) + F (x)g(x)]

Esercizio 17.3. Si determinino primitive generalizzate delle seguenti funzioni

(a) f (x) =

0 se x 6 0

e−x se x > 0(b) f (x) =

0 se x 6 0

x se x > 0

37

http://www.personalweb.unito.it/alberto.albano/agraria/FunzioniRazionali.pdf

18 Primitive (sostituzione) e studio di funzione


Integrazione per sostituzione

Esercizio 18.1. Si determinino le seguenti primitive (integrazione per sostituzione).

(a)∫

ex

e2x −3 ex +2dx

(b)∫

x +√

x − 1

x − 5dx

(c)∫

1√2x( 3√2x + 1)

dx

(d)∫ √

1− x2 dx

(e)∫ √

1 + x2 dx

(f)∫ √

x2 − 1 dx

(g)∫

2

(1 + tan x)2dx

(h)∫

1

4 sin x + 3 cos xdx

Studio del graco di una funzione

Esercizio 18.2. Si studi il graco della seguente funzione

f (x) =x

x − 1+ 2 log(x)

(Dominio, eventuali simmetrie, segno, comportamento agli estremi, derivata prima e studiodella derivata prima, derivata seconda e studio della derivata seconda)

Esercizio 18.3. Determinare il numero di soluzioni dell'equazione

x45 + 7x + 5 = 0

Si trovi, inoltre, il valore di (f −1)′(5) e (f −1)′(13).

Esercizio 18.4. Data f (x) = log x − 1

log x

(a) determinare il più grande intervallo contenente1

2in cui f è invertibile

(b) scrivere esplicitamente f −1

(c) calcolare (f −1)′(0)

Esercizio 18.5. Si studino le seguenti funzioni:

(a) f (x) =x2

x + 1e

xx+1

(b) g(x) = log(x2 − |2x − 1|+ 3

)

38

19 Studio del graco di funzione


Esercizio 19.1. Sia data la funzione

f (x) =x3 − x

x2 − 4.

(a) Si studi il graco della funzione f (x) (dominio, eventuali simmetrie, segno, compor-tamento agli estremi, derivata prima e studio della derivata prima, derivata seconda estudio della derivata seconda)

(b) Si studi, sfruttando il punto precedente dell'esercizio, il graco di

g(x) = ef (x)

Esercizio 19.2. Si studino le seguenti funzioni:

(a) f (x) =| ex −1|1 + |x | (b) g(x) = log

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣Esercizio 19.3 (Q, Esercizio 5.2.1). Scrivere l'equazione della retta tangente al graco delleseguenti funzioni nel punto di ascissa x0 precisato, utilizzando una approssimazione locale.

(a) f (x) =arctan(e5x −1) +

√3 + cos(x)

4 + x, per x0 = 0

(b) f (x) = log(4x + 1) + esin(x)−1, per x0 = 0

(c) f (x) = |x + 1|x+3, per x0 = 0 e x1 = 1

Esercizio 19.4. Si studi il graco delle seguenti funzioni (dominio; limiti agli estremi deldominio; asintoti verticali, orizzontali e obliqui; calcolo della derivata prima, individuazionedei punti stazionari e degli intervalli di monotonia; calcolo della derivata seconda, discussionesu concavità e convessità; graco qualitativo).

(a) f1(x) = x e1x

(b) f2(x) =

(1 +

1

x

)x

(c) f3(x) =1 + | log x |1 + log x

(d) f4(x) = (x − 1) e1

log(x−1)

(e) f5(x) = ex∣∣∣∣1x + 6

∣∣∣∣(f) f6(x) = log(|x | − 2) +

1

x − 2

(g) f7(x) =

x ex x < 0

−x + log(cos(2x)) 0 6 x < π4

39

20 Approssimazione di funzioni


Al ne di costruire delle forme polinomiali che approssimano una funzione f (x) si possonodare le seguenti.

Denizione. Data una funzione f (x) derivabile n volte in un x0, il Polinomio di Taylor

associato ad f (x) in x0 di ordine n è:

pn(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k .

Fatto. Accade che f (x) = pn(x) + o(x − x0)n.

Denizione. Se x0 = 0 il Polinomio di Taylor prende il nome di Polinomio di McLaurin.

Polinomio di Taylor e Polinomio di Mc Laurin

Esercizio 20.1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin arrestato all'ordine 2 e quello arrestatoall'ordine 3 delle funzioni:

(a) f1(x) = 2− x + x2 − 3x3

(b) f2(x) = 2− x + x2 − 3x3 + 6x6

(c) f3(x) = 2− x + x2 − 3x5 + 6x6

Esercizio 20.2. Calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in x0 = 2, arrestato all'ordine 3 perla funzione f1(x) = 3− x + x2.

Esercizio 20.3. Calcolare lo sviluppo di McLaurin per la funzione f (x) = sin(x) arrestatoall'ordine 6.

Esercizio 20.4. Calcolare la formula di McLaurin arrestata all'ordine 4 delle funzioni

(a) f1(x) = log(1− sin2 x) (b) f2(x) =ex

1 + x.

Esercizio 20.5. Calcolare la formula di Taylor nelle seguenti situazioni.

(a) f (x) = sin x , centro x0 = π/2, ordine 4

(b) f (x) = ex , centro x0 = 1, ordine generico n

(c) f (x) = log x , centro x0 = 3, ordine generico n

(d) f (x) = 2x , centro x0 = 2, ordine generico n

(e) f (x) = ex · sin x , centro x0 = 0, ordine 5

40

Esercizio 20.6. Data la funzione f (x) = ex · sin x , calcolare

f (4)(0) e f (5)(0).

Esercizio 20.7. Calcolare la parte principale, per x → 0 delle seguenti funzioni:

f (x) = cosh2 x −√

1 + 2x2, g(x) = e−x cos x +sin x − cos x

e calcolare quindi limx→0

f (x)

g(x)2.

Numerosi esercizi, svolti e non, possono essere trovati nella sezione Sviluppi di Taylor dellapagina web http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/materiale.html.

41

http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/materiale.html

Risultano utili in diverse situazioni, gli sviluppi notevoli di McLaurin (per x → 0) per funzionielementari.

Sviluppi notevoli di McLaurin

(a) sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ (−1)n

(2n + 1)!x2n+1 + o(x2n+2)

(b) cos x = 1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n

(2n)!x2n + o(x2n+1)

(c) ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn)

(d) log(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ · · ·+ (−1)n−1

nxn + o(xn)

(e) arctan x = x − x3

3+

x5

5+ · · ·+ (−1)n

2n + 1x2n+1 + o(x2n+2)

(f) sinh x = x +x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ 1

(2n + 1)!x2n+1 + o(x2n+2)

(g) cosh x = 1 +x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ 1

(2n)!x2n + o(x2n+1)

(h)1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xn + o(xn)

(i) (1 + x)α = 1 + αx +

(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 + · · ·+

(α

n

)xn + o(xn),

dove(αk

)= α·(α−1)····(α−k+1)

k!

Casi particolari della (i) di uso frequente:

(j)1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xn + o(xn)

(k)1

1 + x= 1− x + x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn + o(xn)

(l)√1 + x = 1 +

1

2x − 1

8x2 +

1

16x3 + · · ·+

(1/2

n

)xn + o(xn)

(m)1√1 + x

= 1− 1

2x +

3

8x2 − 5

16x3 + · · ·+

(−1/2

n

)xn + o(xn)

42

21 Applicazioni delle formule di Taylor e di McLaurin


Esercizio 21.1 (RR, Capitolo 4, Esercizio Guidato 4.2.6). Si dimostri l'irrazionalità del numerodi Nepero e.

Esercizio 21.2. Trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione f (x) = log(4 − x2) in x0 = 1

no all'ordine 3.

Quiz 21.3. Data la funzione f (x) =ex −11− x

A) ha come polinomio di McLaurin del secondo ordine T2(x) = x + 3x2

B) ha un punto di critico in x0 = 0

C) f (x) = o(x)

D) limx→0

f (x)− x

x2=

3

2

Quiz 21.4. Data la funzione f (x) =ex −11− x

. Allora

A) f (x) = x − 32x2 + 5

6x3 + o(x3)

B) non ha punti a tangente orizzontale

C) ha un punto di massimo relativo in x0 = 0

D) la tangente al graco di f in O è la retta y = x

Esercizio 21.5. Calcolare il polinomio di McLaurin di ordine n = 4 delle seguenti funzioni

f (x) = log(1− 8x2); g(x) =−4

1 + 2x2.

Sfruttare il risultato ottenuto per calcolare limx→0

f (x) + g(x) + 4

x6 − x4.

Esercizio 21.6. Calcolare i seguenti limiti.

(a) limx→0

x2 − sin2 x

x3(ex − cos x)

(b) limx→0

log(1 + 2 sin(2x)) + 1−√1 + 4x

x3

(c) limx→0

1− cos x + log(cos x)

x4

(d) limx→0

ex2 −1− log(1 + x arctan x)√

1 + 2x4 − 1

43

(e) limx→0

(sin x

x

) 1x2

(f) limx→0

(cos(x5) + (sinh x)2 − sin2 x

) 1x4

(g) limx→0

sin(x − x2)− 12 log(1 + 2x) + 3x

√1 + x2 − 3x

cos x2

2 − 1

(h) limx→0

sinh x − sin x

x3

(i) limx→0

ex − sin x − cos x

ex2 − ex3

(j) limx→0

(2 + cos 3x − 3 cosh x)4

log(1 + x2

(k) limx→0

ex2 − cos x − 3

2x2

x4

Esercizio 21.7. Trovare parte principale e ordine di innitesimo nelle seguenti situazioni

(a) f (x) = sin x − x cosx√3, x → 0

(b) g(x) = e1x − esin

1x , x → +∞

(c) h(x) = sin(sinh x)− x cos x2, x → 0

(d) l(x) = e−14 x

2

−(cos x)12 , x → 0

Esercizio 21.8. Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine massimo possibile della funzione

f (x) =

sin x − log(1 + x) x > 012 e

x2 − 12 x < 0.

Osservando lo sviluppo trovato, dire quanto valgono la derivata prima e seconda di f (x) inx0 = 0 e dire se esiste, in zero, la derivata terza.

Esercizio 21.9. Determinare α e β in modo che esista lo sviluppo di McLaurin no al secondoordine della funzione

f (x) =

e2x − log(1 + 4x) x 6 0

α− 2x + βx2 x > 0.

Ulteriori esercizi da svolgere

Esercizio 21.10. Studiare la funzione

f (x) = 3x2 − a log(x),

al variare del parametro a ∈ R. Inoltre stabilire

(a) per quali valori di a ∈ R l'equazione f (x) = 0 ha due soluzioni distinte;

44

(b) per quali valori di a ∈ R la funzione f risulta invertibile su tutto il dominio; per talivalori calcolare (f −1)′(3).

Esercizio 21.11. Si sa che una funzione f (x) soddisfa alla seguente uguaglianza:

f ′(x) = f 2(x).

Si sa inoltre che f (0) = 3. Calcolare f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0).

Esercizio 21.12. Si sa che la funzione f (x) soddisfa all'equazione

f ′(x) = x3f (x).

Inoltre si sa che f (0) = 2. Scrivere il polinomio di McLaurin di f (x) di ordine 3.

Esercizio 21.13. Si sa che la funzione soddisfa

f ′(x) = 3f (x), f (0) = 3.

Calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni

esin(x)·f (x),f (x)

cos x, sin(f (x)), f (sin x).

Esercizio 21.14. Si sa che, per x → 0, vale: f (x) = x + 2x2 + o(x2).Calcolare la derivata seconda in x = 0 delle funzioni

f (sin x), f (ex −1), ef (x) .

Esercizio 21.15. Si consideri la funzione

f (x) =

√2 sin x x 6 π/4

1 +(x − π

4

)− 1

2

(x − π

4

)2x > π/4.

Scriverne lo sviluppo di Taylor, centrato in x0 = π/4, del massimo ordine possibile e dedurneil massimo ordine di derivabilità in π/4.

Esercizio 21.16. Si sa che, per x → 0,

f (x) =π

4+ 7x + 6x2 + o(x2).

Calcola la derivata prima, nel punto x0 = 0 delle seguenti funzioni.

sin(f (x)), f (x ex),cos(x)

f (x),

log(f (x)

f (x)− 1.

Esercizio 21.17. Si sa che vale, per x → 2,

f (x) = 1 + 3(x − 2) + 4(x − 2)2 + o((x − 2)2).

Calcolare la derivata prima in x = 2 delle funzioni

(log2 f (x)) · ef (x)cos x , f

(2 + sin(x − 2)

ex−2

)e la derivata seconda in x = 2 delle funzioni

cos(f 2(x)), ef2x .

45

22 Numeri complessi (operazioni)


Aritmetica ed estrazione di radici

Esercizio 22.1. Scrivere in forma algebrica il numero complesso z = i39.

Esercizio 22.2. Scrivere in forma algebrica, esponenziale e trigonometrica i seguenti numericomplessi:

z1 = 1− i ; z2 = i(1 + i); z3 = (−2i + 1)(1− i); z4 =1 + i

1− i.

Esercizio 22.3. Scrivere in forma algebrica:

z1 =(√

2 + i)4

; z2 =(2 + i)(5− 1

2 i)

1 + 12 i

.

Esercizio 22.4. Rappresentando gracamente le operazioni necessarie, calcolare z1 · z2, con

z1 = 2(cos

π

3+ i sin

π

3

)e z2 = cos

π

6+ i sin

π

6.

Esercizio 22.5. Determinare modulo, argomento, parte reale, parte immaginaria e coniugatodel numero complesso

z = (1 + i)6.

Discutere il comportamento graco della successione di numeri complessi data da zn = (1+i)n.

Esercizio 22.6. Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi:

(a)(1− i)6

(1 + i)7

(b) 1 + i − 1

1− 2i

(c)1

1− i+

2i

i − 1

(d)3− i

(1 + i)2− 1

1− i

(e)

(2 + 3i

3− 2i

)2015

(f) (3− 3i)3

Esercizio 22.7. Calcolare le radici n−esime dei seguenti numeri complessi

(a) z = 1, n = 3

(b) z = 2, n = 4

(c) z = 32i , n = 5

(d) z = 1 + i , n = 4

(e) z = 1 +√3i , n = 2

(f) z = 128, n = 7

46

Quiz 22.8 (RR, Appendice A, Quiz 1). Il numero complesso i314 coincide con

A) +1 B) +i C) −1 D) −i

Quiz 22.9 (RR, Appendice A, Quiz 2). Se due numeri complessi z1 e z2 sono rappresentatinel piano di Gauss da due punti simmetrici rispetto all'asse reale allora

A) z1 e z2 sono le radici quadrate di uno stesso numero complesso

B) z1 · z2 è un numero reale puro

C) z1 + z2 è un numero immaginario puro

D) z1 = 1/z2

Preparazione esame scritto

Esercizio 22.10 (Appello 30 gennaio 2015). Data la funzione f (x) = x · exp(|x − 1|x − 2

):

(a) trovare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio;

(b) calcolare la derivata prima;

(c) determinare gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi locali e globali;

(d) tracciarne un graco qualitativo.

47

23 Numeri complessi (equazioni e disequazioni)


Polinomi, equazioni e disequazioni

Esercizio 23.1. Determinare λ ∈ R tale che il polinomio

p(z) = z3 − z2 + z + 1 + λ

ammetta z = −i come radice. Per tale valore, scomporre il polinomio in fattori irriducibili inR e in C.

Esercizio 23.2. Costruire il polinomio monico a coecienti reali di grado minimo che ha(1 + i) per radice doppia e (2− i) per radice semplice.

Esercizio 23.3. Costruire il polinomio monico di grado minimo che ha (1+ i) e (2− i) comeradici doppie e 2 ed i come radici semplici.

Esercizio 23.4. Vericare che (1+ i) è radice del polinomio p(z) = z4−5z3+10z2−10z +4.Trovare inoltre le altre radici di p(z).

Quiz 23.5 (RR, Appendice A, Quiz 7). L'insieme dei numeri z ∈ C tali che iz + z = 1 è:

A) z = x + iy , x ∈ R, y = 0

B) z = x + iy , x = 0, y ∈ R

C) ∅

D) z = x + iy , x ∈ R, y ∈ R, y = x/2

Esercizio 23.6. Risolvere le seguenti equazioni in C.

(a)1− i

i + 2z =

2− i

i

(b) z2 + z + 1 = 0

(c) z4 − z2 + 1 = 0

(d) z6 + z3 + 1 = 0

(e) z3 = |z |2

(f) z2 + iz = 1

(g) (z + i)2 =(√

3 + i)3

(h) z2 + i√5|z |+ 6 = 0

(i) z2 − 1

4(z − z)− 4 = 8i

(j) z2 − 2z + 1 = 0

(k) (z + 2)3 = −27

(l) |z | = i − 4z

48

Esercizio 23.7. Determinare z ∈ C tali che:

(a) e8iz −1 = 0

(b) |z + 1| e2iz =√5 e−2(Imz),

con |Re(z)| < 2

(c)

|z − i | 6 1

Arg(z) = π4

Esercizio 23.8. Risolvi le seguenti disequazioni in C rappresentando gracamente la soluzionenel piano di Gauss.

(a) |z + 1| <√2|z − 1|

(b) |z − i | < |z + i |

(c) 1 6 |z | < 2

(d) |z − i |2 + |z + i |2 < 2

Preparazione esame scritto

Esercizio 23.9. Data la funzione f (x) = arctan

(√2x + 1

4− 2x

):

(a) trovare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio;

(b) calcolare la derivata prima;

(c) determinare l'equazione della retta tangente al graco della funzione nel suo punto diascissa x0 = 3/4;

(d) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi locali e globali;

(e) determinare gli intervalli di concavità e convessità;

(f) tracciarne un graco qualitativo.

49

24 Complementi su funzioni e integrali deniti


Teoremi di Rolle, di Lagrange, di de L'Hôpital

Esercizio 24.1 (Q). Sia data la funzione

g(x) =

(x − 3

4

)(x +

4

3

)e−x

2

.

Quante volte (almeno) si annulla la derivata seconda?

Esercizio 24.2 (Q). Dire se la funzione

f (x) = x + arctan

(1

|1− x2|

)soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange sull'intervallo [−1, 1] e, in caso aermativo,calcolare il punto di Lagrange.

Esercizio 24.3 (Q e RR). Calcolare i seguenti limiti.

(a) limx→+∞

x

(1− cosh

(1

x

))

(b) limx→2+

√x − 2 +

√x −√2√

x2 − 4

(c) limx→+∞

e4 x

3x2 + 2x

(d) limx→0+

sin x√cos(x)− 1

Confronti

Si verichino i limiti nella seguente tabella utilizzando (eventualmente ripetutamente)il Teorema di de l'Hôpital.

(a) limx→+∞

ex

xα= +∞, per α ∈ R

(b) limx→−∞

|xα| ex = 0, per α ∈ R

(c) limx→+∞

log x

xα= 0, per α > 0

(d) limx→0+

xα log x = 0, per α > 0

Quiz 24.4 (RR, Capitolo 3, Quiz 15). Sia f (x) = arctan(x)− arcsin

(x√

1 + x2

); allora

A) l'equazione f (x) = 0 ha una unica soluzione

B) limx→−∞

f (x) = −∞

C) per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che se x > δ allora f (x) > M

D) l'equazione f (x) = 0 ha innite soluzioni

50

Quiz 24.5 (RR, Capitolo 3, Quiz 1). Sia f una funzione continua e derivabile su R, dispari

e tale che f (0) = f (1) = 0 e sia g(x) = x arctan x − 1

2log(1 + x2). Allora g f

A) non ha punti critici

B) ha esattamente tre punti critici

C) ha almeno 5 punti critici

D) ha esattamente 6 punti critici

Quiz 24.6 (RR, Capitolo 3, Quiz 10). Sia f derivabile due volte su R e si consideri la funzioneg(x) = ef (x); allora

A) se f è convessa in x0 ∈ R allora g è concava in x0

B) se x è un punto di minimo per f allora x è un punto di massimo per g

C) i punti critici di f sono i soli punti critici di g

D) im(f ) = im(g)

Integrali deniti

Esercizio 24.7 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 6.2.1). Calcolare gli integrali denitiseguenti

(a)∫ 2

0

|x − 1| ex dx (b)∫ 25

16

√x − 5

x − 5√

x + 6dx

Esercizio 24.8 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 6.2.2). Calcolare le aree seguenti

(a) area delimitata dal graco della funzione f (x) = arccos x − π/2 e dall'asse delle ascissex , con x ∈ [−1, 1]

(b) area delimitata compresa tra il graco della funzione f (x) = x2 e quello della funzioneg(x) = 4x2 − 3x , con x ∈ [0, 1]

51

25 Integrazione denita e media integrale


Esercizio 25.1. Calcolare gli integrali deniti seguenti

(a)∫ 1

0

4x√1− x2

dx

(b)∫ 1

−1

4x√1− x2

dx

(c)∫ log 2

0

ex√2− ex + ex

dx

(d)∫ 3

2

x2 + 1√x(x + 2)

dx

Che cosa è possibile aermare nel caso (a)? E nel caso (b)?

Esercizio 25.2. Data la funzione f (x) =

x |6x + 2|+ 1 x 6 0

(x + 1) ex/2 x > 0, calcolare

∫ 2

−1f (x) dx .

Esercizio 25.3. Calcolare l'area della regione di piano:

(a) compresa tra il graco di f (x) = x4 − 1 e il graco di g(x) = x3 − x ;

(b) compresa tra l'asse delle x , le rette di equazione y = 4, y = −2 e la funzione

h(x) = (M(x))2, dove M(x) è la funzione mantissa di x ;

(c) individuata dall'insieme A =

(x , y) ∈ R2 | 1 6 x 6 2, 0 6 y 6

1

x(1− log2 x)

.

Esercizio 25.4 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 5). Sia f (x) =

α− 1 x ∈ [−1, 0)√

x + 1 x ∈ [0, 1].

(a) calcolare la media integrale µ = µ(f ,−1, 1) di f (x) nell'intervallo [−1, 1];

(b) determinare i valori di α per cui esiste x ∈ [−1, 1] tale che f (x) = µ.

Esercizio 25.5 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 4). Sia f (t) =√

t2 + 1− t +√

t, calcolareil limite seguente al variare di α > 1:

limx→+∞

∫ xα+ 1αxα−1

xαf (t) dt

52

Temi d'esame

Esercizio 25.6 (Esercizio 1, Giugno 2014). Sia data la funzione

f (x) =

arctan|x − 1|x − 2

x 6= 2π

2x = 2

.

(a) Determinare il dominio e gli asintoti di f .

(b) Studiare i punti di discontinuità di f .

(c) Calcolare f ′(x) e individuare gli eventuali punti di non derivabilità di f .

(d) Determinare gli intervalli di monotonia e i punti di estremo relativo di f , specicandoneil tipo.

(e) Disegnare un graco qualitativo di f .

(f) Determinare l'immagine di f .

Esercizio 25.7 (Esercizio 2, Giugno 2014). Sia data la funzione

f (x) =

e

1x +αx x < 0

β x = 0sin(2x)− 2x

x2+ β x > 0

.

(a) Determinare i valori di α e di β per cui la funzione è continua in R.

(b) Determinare i valori di α e di β per cui la funzione è derivabile in R.

(c) Per i valori di α e di β trovati al punto precedente, scrivere l'equazione della rettatangente al graco di f in x0 = 0.

Esercizio 25.8 (Esercizio 3, Giugno 2014). Sia data la funzione f (x) = e−2|x|(x + 3− |x |).

(a) Calcolare∫ 1

−1f (x) dx .

(b) Studiare il comportamento dell'integrale improprio∫ 1

−∞f (x) dx .

53

26 Integrazione impropria, prima parte


Esercizio 26.1. Dopo aver mostrato la convergenza, calcola, usando la denizione i seguentiintegrali impropri.

(a)∫ +∞

1

x√(x2 + 5)3

dx

(b)∫ +∞

−∞

1

x2 + 4x + 9dx

(c)∫ 2

0

1

x +√

xdx

(d)∫ +∞

0

log(1 + x)

x3/2dx

Esercizio 26.2. Dire se i seguenti integrali impropri sono convergenti, esplicitando dapprimale funzioni che si considerano.

(a)∫ +∞

0

x

x2 + x + 1dx

(b)∫ +∞

0

x2

x4 + 1dx

(c)∫ +∞

0

√x + 1

x2 + x + 1dx

(d)∫ +∞

0

x + 3

2x + xdx

(e)∫ 1

0

√x + 1

xdx

(f)∫ 1

0

sin x

1− cos xdx

(g)∫ 1

0

log(1 + x)

cosh x − 1dx

(h)∫ 1

0

1

1− x2dx

Esercizio 26.3 (Fabio Nicola, Analisi Matematica I, Esempio 31.6).

(a) Mostrare che l'integrale∫ +∞

1

cos x

x√

xdx converge.

(b) Vericare che∫ +∞

1

sin x√x

dx converge.

(c) Mostrare, nonostante la funzione integranda non tenda a zero per x →∞, che l'integrale

di (Fresnel)∫ +∞

1

sin(x2) dx converge.

Esercizio 26.4 (RR, Esercizio guidato 6.2.3). Studiare la convergenza dei seguenti integraliimpropri

(a)∫ +∞

1

(3√

x + 1− 3√

x − 1)dx

(b)∫ +∞

0

e−x sinh x

xαdx , con α > 0

(c)∫ π/2

0

cos x3√

(1− sin x)2dx

(d)∫ +∞

1

sin x

xαdx , con α > 0

54

Temi d'esame

Esercizio 26.5 (Esercizio 1, Febbraio 2014). Sia data la funzione

f (x) = 3√(x − 1)(x + 2) + 1.

(a) Determinare il dominio di f .

(b) Spiegare perché f non ha asintoti obliqui.

(c) Calcolare f ′(x) e individuare gli eventuali punti di non derivabilità di f .

(d) Determinare gli intervalli di monotonia e i punti di estremo relativo di f , specicandoneil tipo.

(e) Disegnare un graco qualitativo di f .

(f) Dopo aver determinato il dominio e gli eventuali asintoti di g(x) = log (f (x)− 1),disegnarne un graco qualitativo, motivando le risposte.

55

27 Integrazione impropria, seconda parte


Esercizio 27.1.

(a) Determinare tutti i valori a, b ∈ R per i quali∫ +∞

0

1

xa · (4 + 9x)b+1dx converge

(b) Calcolare∫ +∞

0

1√x(4 + 9x)

dx

Esercizio 27.2. Discutere, al variare di α ∈ R la convergenza dei seguenti integrali impropri

(a)∫ +∞

0

arctan(x7)

xα log(1 + x3)dx

(b)∫ 1

0

(1− cos x)1/3

| ex −1− x |αdx

(c)∫ +∞

0

(sinh x)α

e3x −1dx

(d)∫ 1/2

0

(sin x)x+2| log(x)|α

log(1 + x3)dx

Quiz 27.3 (Q, Quiz 30, Capitolo 16). L'integrale∫ +∞

1

xα(((1 + x)2 + x

)3+ x)4 dx

A) converge per α 6 23

B) converge per α < 24

C) converge per α < 23

D) converge per α 6 24

E) diverge per α < 23

Quiz 27.4 (Q, Quiz 32, Capitolo 16). Sia data la funzione

f (x) =

1

4√3− x

se x < 3

3 + sin x

2 + x3se x > 3

A) L'integrale improprio∫ +∞1

f (x) dx è divergente

B) L'integrale improprio∫ 3

1f (x) dx è divergente

C) L'integrale improprio∫ +∞3

f (x) dx è divergente

D) L'integrale improprio∫ +∞1

f (x) dx è indeterminato

E) L'integrale improprio∫ +∞1

f (x) dx è convergente

56

Quiz 27.5 (Q, Quiz 34, Capitolo 16). L'integrale improprio∫ +∞

0

log(cosh(x5))

e−x +x3αdx converge

se e solo se

A) α 6 3 B) α 6 2 C) α < 1 D) α > 2 E) α > 2

Esercizio 27.6.

(a) Dire per quali valori di a ∈ R converge∫ +∞

a

1

(x − 2)√|x − 3|

dx .

(b) Calcolare l'integrale per a = 6.

Esercizio 27.7. Data la funzione f (x) =1− cos x

x2 log(1 + 3√

x), studiarne il comportamento nell'ori-

gine e determinarne la parte principale. Studiare successivamente la convergenza dell'integrale

improprio∫ +∞

0

f (x) dx .

Temi d'esame

Esercizio 27.8 (Esercizio 2, Febbraio 2014). Sia data la funzione

f (x) =x2(sin 5

x − αx sinh 1x2

)x3 e−x +3x + sin x

(a) Al variare di α ∈ R, calcolare limx→+∞

f (x).

(b) Per α = 3, studiare il comportamento dell'integrale improprio∫ +∞

10

f (x)

x3dx .

Esercizio 27.9 (Esercizio 3, Febbraio 2014). Sia data l'equazione dierenziale

y ′ = 4(y + 2)43 (t − 2)3

(a) Vericare che ogni soluzione denita in un intorno di t = 2 ha un punto di estremo int = 2 e stabilirne il tipo.

(b) Determinare le soluzioni costanti.

(c) Determinare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale y(3) = −1, determinan-done l'intervallo di denizione.

57

28 Simulazione Test


Quiz 28.1. Il dominio della funzione f (x) = log(√

x − 2− 3) è:

A) [2, 3] B) [11,+∞) C) (5,+∞) D) (11,+∞) E) [3,+∞)

Quiz 28.2. La funzione f (x) = | log(x − 3)|

A) è invertibile sull'intervallo [3,+∞)

B) è invertibile sull'intervallo [4,+∞)

C) è invertibile sull'intervallo (0,+∞)

D) non è invertibile su alcun intervallo

E) è invertibile sull'intervallo (3, 5)

Quiz 28.3. Sia z = 1− 2i . Allora |z2 + z | vale

A) 2√2 B) 8 C) 4 D) 4

√2 E) 2

Quiz 28.4. Il limite

limx→+∞

e−2x −2x + cos x

e−x +3x − 3 sin x

vale

A) −2 B) −1 C) 2 D) 0 E) −2

3

Quiz 28.5. Per x → 0, sia f (x) ∼ x2 cos x e g(x) ∼ ex −1. Allora si ha

A) limx→0

∣∣∣∣ f (x)g(x)

∣∣∣∣ = +∞

B) limx→0

f (x)

g(x)=

1

2

C) limx→0

f (x)

g(x)= 0

D) limx→0

f (x)

g(x)= +∞

E) limx→0

f (x)

g(x)= 1

Quiz 28.6. Il limite limx→+∞

(3x3 − 4x2

)sin x

A) vale −∞

B) vale +∞

C) vale 0

D) vale sia +∞ sia −∞

E) non esiste

58

Quiz 28.7. Sia an una successione limitata inferiormente. Allora

A) ∀k > 0 ∃n ∈ N tale che se n > n ⇒ an > k

B) per ogni n, an > 0

C) ∃k < 0 tale che per ogni n, an < k

D) ∃n ∈ N tale che se n > n ⇒ an > 0

E) ∃k < 0 tale che per ogni n, an > k

Quiz 28.8. Sia f (x) = (3 cos x)(4 cos x). Allora f ′(0) vale

A) 1 B) 0 C)3

4D) log

3

4E) −1

Quiz 28.9. La funzione f (x) =

2x se x 6 0

2√

x se x > 0

A) è di classe C1

B) è derivabile nell'origine

C) è discontinua nell'origine

D) è continua, ma non è derivabile nell'origine

E) nessuna delle altre aermazioni è corretta

Quiz 28.10. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (0) = 4, f ′(0) = 3. Posto

h(x) =1

f (x), risulta

A) h′(0) = − 3

16

B) h′(0) = −4

3

C) h′(0) =1

3

D) h′(0) =3

16

E) h′(0) = −1

3

Quiz 28.11. Il polinomio di McLaurin di ordine 6 della funzione f (x) = ecos(x3) è

A) 1 +1

2x6

B) e− e

2x6

C) 2 +1

2x6

D) 1− e

2x6

E) 1 +1

6x6

59

Quiz 28.12. Se f ha sviluppo di Taylor f (x) = 4− 3(x − 2)6 + o((x − 2)6) per x → 2, allora

A) f ha un esso in x = 2

B) f ha un massimo in x = 0

C) f ha un minimo in x = 0

D) f ha un minimo in x = 2

E) f ha un massimo in x = 2

Quiz 28.13. Sia f : [0, 3] → R una funzione continua e decrescente. Allora si può dedurreche

A) f ([0, 3]) = [f (0), f (3)]

B) f ((0, 3)) = (f (3), f (0))

C) f ((0, 3]) = (f (3), f (0)]

D) f ([0, 3]) = [f (3), f (0)]

E) nessuna delle altre risposte è corretta

Quiz 28.14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (0) = f (1) = 0. Ponendog(x) = f (x)4, allora

A) la derivata g ′(x) si annulla almeno tre volte

B) la derivata g ′(x) si annulla esattamente due volte

C) la derivata g ′(x) si annulla esattamente tre volte

D) la derivata g ′(x) non si annulla mai

E) la derivata g ′(x) si annulla almeno quattro volte

Quiz 28.15. La parte principale (rispetto a ϕ(x) = x) per x → 0+ di f (x) = 3x+√4x2 + 2x3

è

A) 5x

B) x3/2

C)√2x3/2

D) 3x

E) 3x + o(x)

Quiz 28.16. Una primitiva della funzione f (x) =3x

2x2 + 2è

A)3

4log(x2 + 1)

B)3

4arctan(x)

C) 3 log(x2 + 1)

D)3

4arctan(x2 + 1)

E) nessuna delle altre precedenti

60

Quiz 28.17. Dire quale tra i seguenti enunciati è corretto

A) se f è integrabile in [a, b], allora ∃c ∈ [a, b] tale che f (c) = 1b−a

∫ b

af (x) dx

B) se f è continua in [a, b], allora ∃c ∈ [a, b] tale che f ′(c) = 1b−a

∫ b

af (x) dx

C) se f è continua in [a, b], allora ∃c ∈ [a, b] tale che f (c) = 1b−a

∫ b

af (x) dx

D) se f è continua in [a, b], allora ∃c ∈ [a, b] tale che f (c) =∫ b

af (x) dx

E) se f è integrabile in [a, b], allora ∃c ∈ [a, b] tale che f (c) =∫ b

af (x) dx

Quiz 28.18. Sia F (x) =

∫ x

0

t2 cosh(t2) dt. Allora

A) F è crescente su (0,+∞) e decrescente su (−∞, 0)

B) F è crescente su R

C) F ha un minimo in 0

D) F ha un massimo in 0

E) nessuna delle altre risposte

Quiz 28.19. Sia f continua su [0,+∞) e tale che f (x) 6 0 per ogni x > 0. Allora

necessariamente l'integrale improprio∫ +∞

0

f (x) dx

A) è indeterminato

B) diverge a −∞

C) converge a un numero negativo

D) converge o diverge a −∞

E) nessuna delle risposte precedenti

Quiz 28.20. L'equazione dierenziale y ′′ − y = 0

A) ha almeno una soluzione non limitata su (0,+∞)

B) non ha soluzioni limitate su (0,+∞)

C) non ha soluzioni illimitate su (0,+∞)

D) ha almeno una soluzione che cambia segno innite volte

E) ha solo soluzioni positive

61

29 Simulazione Scritto


Esercizio 29.1. Data la funzione

f (x) =

1

log |1− x |se x >

1

2

4

3 log 2(x2 − 1) se x 6

1

2

.

(a) Determinarne il dominio.

(b) Determinarne i punti di discontinuità e classicarli.

(c) Determinarne gli asintoti.

(d) Determinarne i punti di non derivabilità e classicarli.

(e) Determinarne i punti di massimo e di minimo locale e assoluto, e gli intervalli dimonotonia.

(f) Tracciarne un graco qualitativo.

Esercizio 29.2. Sia data l'equazione dierenziale

x ′′ + 4x ′ + 8x = 0.

(a) Calcolarne l'integrale generale.

(b) Data l'equazione completa

x ′′ + 4x ′ + 8x = e−2t sin(2t),

dire se la funzione x(t) = e−2t cos(2t) è soluzione dell'equazione completa assegnata.

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Queste schede raccolgono i testi degli esercizi svolti e ... · delle singole esercitazioni...

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