8/18/2019 Quaternioni e Numeri Immaginari

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Quaternioni e numeri immaginari. Ing. Silvano D

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Onofrio

Non sapevo della esistenza dei quaternioni fin quando dopo aver sbattuto il naso davanti ad unarticolo, a due articoli, anzi a tre articoli, ho deciso di capirci qualcosa.C’hanno a che fare coi numeri complessi.

Che roba è?E’ l’estensione a quattro dime nsioni dei numeri complessi a due dimensioni. Sono detti anche

numeri ipercomplessi.

Tutto chiaro? No? Buio completo come prima?E poi a che cosa serviranno?Sinceramente non lo so, scoprirò tutto man mano che prendo informazioni. Ma prima di andareavanti mi do una rinfrescatina sui numeri complessi, quelli con i quali abbiamo dovuto parecchio ache fare nel corso dei nostri studi.

https://silvanodonofrio.wordpress.com/2015/11/23/quaternioni-e-numeri-immaginari/https://silvanodonofrio.wordpress.com/2015/11/23/quaternioni-e-numeri-immaginari/

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Numeri complessi.

Complessi non vuol dire che sono numeri complicati (o forse lo sono, non so, dipende). Sichiamano complessi i numeri formati da una parte immaginaria e da una parte reale.

(a + ib)

Cosa sono i numeri immaginari?Giusto.

Per capire non parto da una spiegazione matematica, ma diciamo Einteniana per rendere la cosa piùdivertente.Cosa c’entra Einstein? Aspettate .

La famosa formuletta – E = m c 2 – per una massa in movimento con velocità “v” prossima a quelladella luce “c”, diventa con la correzione (fattore) di Lorenz:

dove

è la massa relativista.

Bene, per v>c la radice di quest’ultima diventa negativa: 1 – v2/c2 < 1 = -bil denominatore diventa:

dove b è il valore del radicando.Se chiamiamo

che equivale a dire i2 = -1 ecco che abbiamo inventato un numero immaginario.

Ora torniamo alla nostra massa relativista ‘m’:

ovverom2 = – m 02 /b

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Conclusione (di questo ragionamento quasi demenziale):A velocità v>c la massa diventa negativa, una massa immaginaria.

Nel momento in cui la massa raggiunge la velocità delle luce diventa improvvisamente immaginariafacendo comparire le famose particelle “virtuali” chiamate tachioni, di massa immaginaria perl’appunto, che viaggerebbero indisturbate nell’universo.

In realtà i numeri immaginari servono a risolvere equazioni di questo tipo:x2 + 1 = 0x2 = – 1

x = iuna soluzione immaginaria, per l’appunto.

Più in generale i numeri immaginari servono a risolvere tutte le equazioni di secondo grado.ax2 + bx +c = 0

quando b2 – 4ac < 0che da soluzioni immaginarie (come è noto agli studenti delle scuole medie superiori).

Come si vede in fin dei conti questi numeri immaginari tanto complessi poi non sono.

A cosa servono? Non a fare i conti della spesa.Lo studio dei numeri complessi trova impiego nella matematica, fisica, ingegneria.In ingegneria elettrotecnica (faccio un po’ di campanilismo) servono a rappresentare gli sfasamentidelle correnti nei circuiti capacitivi e induttivi rispetto alle tensioni (vi risparmio la spiegazione).

Chiarito alla meglio e peggio cosa sono i numeri immaginari, andiamo avanti aggiungendo qualcheinformazione in più.

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I numeri immaginari apparvero in matematica per la prima volta quando nel Cinquecento venneroscoperte le formule per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado.Queste formule, in alcuni casi, richiedevano di estrarre radici quadrate di numeri negativi.

Sicuramente però non poteva esistere la radice quadrata di un numero negativo! Tutti sapevano che

il quadrato di un numero positivo è positivo, e il quadrato di un numero negativo è comunque positivo. Il guaio è che questi numeri uscivano fuori quando l’equazione aveva non una maaddirittura tre soluzioni possibili, e quindi il problema c’era eccome. Essendo i matematici persone molto pratiche, essi decisero di far finta che quei numeri sicomportassero come quelli usuali; tanto – dicevano – nel corso del procedimento di calcolo dellasoluzione, prima o poi, essi ci facevano il favore di eliminarsi a vicenda per ottenere il risultatofinale di un numero reale.

Da lì in poi i matematici si addormentarono per due secoli dando poca importanza ai numeriimmaginari. Fintanto che qualcuno più arguto degli altri – Gauss – (c’è sempre qualcuno più arguto)face una osservazione tanto geniale quanto ovvia.Su una retta, con origine zero, che va in una direzione (verso destra per esempio) il corrispondentenumero negativo di un numero positivo si trova esattamente dall’altra parte (verso sinistra) dellaretta. Dalla parte negativa.Significa che questo numero ha subito una rotazione in senso antiorario di 180 gradi.

Ed ecco l’intuizione.

La radice quadrata di −1 dovrebbe essere qualcosa che applicata due volte dà una rotazione di 180gradi: il candidato ideale è una rotazione di 90 gradi. E questo è il numero immaginario, infatti ‘i’ moltiplicato per sé stesso (una sola volta) fa 1, moltiplicato due vole fa -1. Quindi possiamo

immaginarlo come un numero che ruota di 90°.(i0 = 1, i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = (i 2 * i) = -i, i 4 = 1, …)

Quaternioni.

Questa corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano, e tra operazioni tra i numericomplessi e trasformazioni geometriche del piano, ha portato a un altro fruttuoso risultato.Se dunque la retta corrisponde ai numeri reali e il piano ai numeri complessi, non è che ci possanoessere dei numeri che corrispondano allo spazio?

Naturalmente questi numeri devono avere tre componenti distinte, proprio come i realimonodimensionali ne hanno una e i complessi bidimensionali ne hanno due (i numeri complessisono nella forma bidirezionale, a+ib).

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