Dal modello realizzato con MSC Adams a quello modellato con 20-Sim

Nel modello sono subito evidenti 3 velocità angolari assolute (ωa , ωb , ωc) che sono pertanto rappresentate da tre sorgenti modulate di flow, tutte interconnesse tra loro.Le relazioni che legano le tre velocità sono (ipotizzando di assegnare ωa):

ωc=Fv (α ) ∙ωaωb=G v (α ) ∙ωa

Dove:

F v (α )=sen (α−γ (α ) )+( dc )sen(α)sen (α−γ (α ) )+( da )sen (γ (α ) )

Gv (α )=sen (α−β (α ) )−( db )sen (α)sen (α−β (α ) )+( da )sen (β (α ) )

E ancora, anche gli angoli sono legati dalle seguenti relazioni:

γ 1,2=2arctg (A ±√ A2+B2−C2

B−C)

β1,2=2arctg (U ±√U 2+V 2−W 2

V−W)

Avendo posto:

A=sen (α ) ;B=cos (α )+ dc;C=

b2−(a2+c2+d2 )2ac

+ dc∙cos (α ) ;U=sen (α ) ;

V=cos (α )−da;W=b

2+a2−c2+d2

2ab+ db∙cos (α )

(formule prese da L. Della Pietra, “Meccanica applicata alle macchine – Vol. 1”, cap.1.2)Risulta evidente che il valore sottoradice deve risultare in ogni momento maggiore o al più uguale a zero; definiamo pertanto la funzione f(α )=A2+B2 – C2 per poter trovare l’intervallo di α entro cui l’angolo γ è reale. Analoghe considerazioni vanno fatto per la funzione g(α )=U2+V2 - W2 , che dovrà essere valutata allo stesso modo della funzione precedente.Sia la funzione f che g sono funzioni pari di α e pertanto possono essere studiate tra 0 e π e va ricordato anche che valgono le seguenti uguaglianze:

γ 1 (α )=−γ 2 (−α ) eγ 2 (α )=−γ 1 (−α )Il verificarsi delle precedenti condizioni comporta che in qualsiasi quadrilatero sono sempre possibili configurazioni simmetriche rispetto al ponte: se il quadrilatero non è di Grashof, queste esistono effettivamente; per un quadrilatero di Grashof ciascuno dei due insiemi di configurazioni simmetriche corrisponde ad un determinato assemblaggio iniziale.Per esempio se AB è una manovella le due soluzioni di γ sono entrambe reali poiché α è definito in 0-2 π, estremi inclusi. In questo caso le due soluzioni sono rappresentative di due schemi di montaggio differenti. Viceversa se il quadrilatero è non di Grashof allore le due posizioni si hanno sullo stesso schema di quadrilatero.Il file quad - range di alfa realizzato in maple ci fornisce i valori di alfa possibili assegnati i lati del nostro quadrilatero articolato; questi valori sono importanti poiché tra i valori da assegnare come condizioni iniziali c’è anche l’angolo α poiché nel sottomodello link compare un integrale relativo al valore della velocità angolare di AB.Si rende quindi necessario un’attenta analisi prima di utilizzare il modello realizzato con 20-simIl modello così realizzato è formato dai seguenti sottomodelli:

beta1 gamma1 link1 lato1 gv1 fv1

Beta rappresenta l’angolo β su definito ed è realizzata con la seguente sintassi:class beta version 1interface inputs: real alfa outputs: real betaparameters real a, b, c, d #lati quadrilaterovariables real U, V, Wequations U = sin(alfa) V = cos(alfa)-d/a

W = (b^2+a^2-c^2+d^2)/(2*a*b)+d*cos(alfa)/b beta = 2*arctan((U+sqrt(U^2+V^2-W^2))/(V-W))

A sua volta gamma è così definitoclass gamma version 1interface inputs: real alfa outputs: real gammaparameters real a, b, c, d #lati del quadrilaterovariables real A, B, Cequations A = sin(alfa) B = cos(alfa)+d/c

C = (b^2-(a^2+c^2+d^2))/2*a*c+d*cos(alfa)/c

gamma = 2*arctan((A+sqrt(A^2+B^2-C^2))/(B-C))

Entrambi i blocchi presentano un input che è l’angolo alfa proveniente direttamente dal sottomodello link1; come output forniscono beta e gamma rispettivamente che sono utilizzati per ottenere le velocità angolari dell’elemento b e c.Quest’ultime vengono ottenute mediante altri due blocchi:Gv1:class Gv version 1interface inputs: real alfa, beta, wa outputs: real wbparameters real a, b, d #lati quadrilaterovariables real Gvequations

Gv = (sin(alfa-beta)-(d/b)*sin(alfa))/(sin(alfa-beta)+(d/a)*sin(beta)) wb = Gv*wa

Fv1:class Fv version 1interface inputs: real alfa, gamma, wa outputs: real wcparameters real a, c, d #lati del quadrilaterovariables real Fvequations

Fv = (sin(alfa-gamma)+(d/c)*sin(alfa))/(sin(alfa-gamma)+(d/a)*sin(gamma))

wc = Fv*wa

Entrambi questi blocchi presentano tre valori in input ed uno solo in output.Il sottomodello che però rappresenta lo scheletro dell’intero modello è il seguente che ho nominato link.In questo sottomodello vi sono tre valori di input e tre di output.Le tre grandezze di input sono le velocità del punto A (punto dell’esempio rappresentato in figura) lungo due direzioni ortogonali e la velocità angolare del corpo rigido rispetto al punto A.Le grandezze di output sono, viceversa, le velocità del punto B (punto dell’esempio rappresentato in figura) rispetto a due direzioni ortogonali e l’angolo che il corpo rigido forma rispetto la terna usata per valutare le velocità.Quest’ultimo angolo rappresenta proprio l’angolo alfa che viene utilizzato per valutare le velocità angolari degli altri corpi rigidi

Essendo presente un integrale, in fase di simulazione, sarà necessario fornire il valore iniziale di tale integrale che può essere scelto tra tutti i valori dell’angolo giro solo se il quadrilatero ha come link AB una manovella.Nel modello sono presenti tre sottomodelli link pertanto, per ognuno di questi è presente un integrale con la rispettiva condizione iniziale che può essere assegnata sfruttando il file realizzato con Maple già menzionato sopra.L’ultimo sottomodello, o per meglio dire blocco, è stato chiamato lato1 e permette di definire, all’interno del sottomodello link, una sola volta la lunghezza di tale elemento rigido. Tale blocco ha la seguente sintassi:class lato version 1interface inputs: real cosine, sine outputs: real latox, latoyparameters real l #lunghezza link

equations latox = l*cosine latoy = l*sineIl modello così realizzato può funzionare solo nel caso in cui il lato AB sia una manovella, mentre per un quadrilatero non di Grashof o nel caso in cui siano presenti due bilancieri, il modello entrerebbe in errore poiché la funzione f(x) e g(x) presenterebbero dei valori negativi e pertanto si otterebbero soluzioni non reali degli angoli γ e β.