1

Proprieta’ fisiche di un plasma

Data la somiglianza tra fluidi e plasmi ci si aspetta che lo studio della dinamica di un plasma sia fatta ancora utilizzando i metodi della meccanica statistica. Questo e’ vero in linea di principio, perché si tratta di studiare la dinamica di un sistema di molte particelle di cui siamo interessati al comportamento di insieme (o macroscopico).

Si e’ visto che le proprietà macroscopiche statiche e dinamiche di un fluido possono essere modellate con equazioni cinetiche che rappresentano

1) Il moto delle particelle, spesso di una sola specie, affetto solo da campi esterni, in particolare, (per fluidi “ terrestri”), un campo gravitazionale costante e in molti casi trascurabile (con conseguente moto inerziale tra due collisioni). Esiste pertanto una chiara separazione tra forze derivanti da sorgenti “esterne” ed e forze “interne” derivanti da interazioni fra le componenti del sistema.

2) Collisioni schematizzabili nella maggior parte come urti binari perfettamente elastici con sezione d’ urto costante e distribuzione angolare uniforme nel CM.

Con queste semplificazione, le equazioni cinetiche della fluidodinamica riconducono diretta mente alle equazioni fluide, che si possono dedurre anche con una trattazione “macrosco-pica” del fluido modellato come un mezzo continuo.

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Un plasma completamente isolato dallo spazio circostante e’ globalmenteelettricaImente neutro ( ne = Z ni). Tuttavia, per il fatto che è composto da almeno due specie di particelle cariche (una specie ionica totalmente o parzialmente ionizzata ed un equivalente numero di elettroni), la dinamica microscopica è più complessa per i seguenti motivi:

1) Il moto delle particelle (nel caso piu’ semplice di almeno due diverse specie - elettroni e protoni -), e’ affetto oltre che da campi elettrici e magnetici esterni a lungo range, anche da campi elettrici e magnetici dovuti alla presenza di cariche elettriche in movimento interne al sistema.

1) A causa della multeplicità delle sorgenti, la dipendenza spaziale dei campi EM e’dinamica e deve essere calcolata in modo auto consistente con le equazioni del moto delle particelle.

2) Gli effetti “collettivi” dei campi EM hanno effetti diversi su specie diverse.

3) Le collisioni sono di tipo coulombiano e pertanto di tipo centrale e a lungo range, pertanto non necessariamente binarie.

4) La sezione d’ urto di Rutherford ha una distribuzione angolare che favorisce piccoli angoli e la diffusione delle particelle a grandi angoli è dovuta principalmente a scattering multiplo.

5) Non esiste pertanto una chiara separazione tra forze derivanti da sorgenti “esterne”ed e forze “interne”.

3

6) A causa delle interazioni campi EM /particelle di tipo collettivo, il moto delle particelle non e’ inerziale ma vario.

7) In molti casi gli effetti forzanti più importanti sono dovuti a campi magnetici prodotti internamente e/o esternamente, che impongono moti orbitali e anisotropie di moto (derive) sia nello spazio reale sia in quello delle velocità.

In Figura 1 è rappresentato graficamente in modo qualitativo il moto delle particelle di un fluido a) e di un plasma b)

Figura 1a) Figura 1b)Nel caso del fluido neutro il moto tra due collisioni è rettilineo ed uniforme anche in presenza di campi EM, e le collisioni avvengono con una distribuzione angolare poco piccata. Nel caso del plasma il moto delle particelle e’ influenzato dalla presenza dei campi EM e le deflessioni sono a piccolo angolo.

Queste differenze tra la dinamica dei fluidi e dei plasmi a livello microscopico produce necessariamente comportamenti macroscopici spesso diversi e richiedono una trattazione piu’ dettagliata a livello cinetico.

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Stato di plasma

Nello stato di plasma, il livello medio di ionizzazione e’ il risultato della competizione fra processi di ionizzazione (separazione fra nucleo ed elettroni) e di ricombinazione(cattura di un elettrone con emissione di un quanto di radiazione .

Il processo di ionizzazione si verifica dinamicamente quando l’ energia cinetica atomica supera l’energia di ionizzazione (Ui = 13.6 eV per l’ H). I processi di ricombinazione non hanno soglie ben definite.

Ad una certa temperatura T, il fenomeno di ionizzazione e’ in equilibrio con quello di ricombinazione, e come conseguenza il livello di ionizzazione e’ costante.

5

Ionizzazone e ricombinazione

Il tasso di ionizzazione <σvi> e ricombinazione <σvr> (no di ionizzazioni /ricombinazioni per unità di tempo) e’mostrato in figura (per H) in funzione della temperatura in condizioni di equilibrio.

Queste curve sono ottenute integrando le sezioni d’ urto elementari dei due processi su una distribuzione Maxelliana di velocitàcon energia media kT.

E’ ovviamente, in condizioni di equlibrio:

nioni

nneutri

σi vi⋅

σn vn⋅

< >

< >103 104 105 106 107

T(°K)

6

Lunghezza di DebyeIl campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q fissa in un plasma.

L'andamento del potenziale elettrostatico Φ generato da tale carica, circondata da plasma, è sostanzialmente differente da quello che si avrebbe nel vuoto o in un gas neutro, dove Φ (r) ~ q/r. In presenza di plasma, infatti, la densità di carica elettrica ρeda usare nell'equazione di Poisson deve comprendere, oltre alla carica principale q, che immaginiamo all'origine del sistema di riferimento scelto e che caratterizziamo quindi con la funzione di Dirac δ(r), anche la densità di carica di polarizzazione dovuta alla differenza delle densità di elettroni e di ioni in vicinanza di q, la cui espressione, se e è la carica elementare, è e(ni — ne). Se q è positiva, l'equazione di Poisson assume dunque la forma

(12 -1)All’ equilibrio termodinamico, la distribuzione delle particelle cariche è la distribuzione di Boltzmann, per cui si ha

dove no è la densità media di elettroni e di ioni nella regione imperturbata, (cioè lontano da q), in cui il plasma è neutro, cioène = ni = ne e Tk sono le temperature in eV . Sostituendo queste espressioni per ne e ni nell'equazione di Poisson, otteniamo l'equazione auto consistente per il potenziale

q- -

--

-

- q

---

- -

-

--

-

--

-

-

--

-

-

-

Figura 10 -1

(10 -2)

7

Per distanze sufficientemente grandi dalla carica q, dove l'energia potenziale è molto minore dell'energia termica, (eΦ << Ti,e ) è possibile sviluppare gli esponenziali in serie di potenze di eΦ per cui tenendo i soli primi due termini dello sviluppo e ricordando che r ≠ 0, si ottiene

D'altra parte, essendo il problema a simmetria sferica, il laplaciano ∇2 in coordinate sferiche si riduce alla sola parte radiale, per cui ponendo

l'equazione per Φ in coordinate sferiche diventa

la cui soluzione ha la forma

(12.4)La (12.4) è stata ottenuta imponendo che il potenziale si annulli all'infinito (C1 = 0) e che per r << λD ad, cioè nelle immediate vicinanze della carica q, non essendoci schermatura, esso coincida in pratica con quello coulombiano (Φ ~ q/r).

( )0

22

2

=Φ−∂

Φ∂

D

r

r

r

λD

r

eCCr λ−

+=Φ 21

(12.3)

8

Per r >> λD , invece, il potenziale è notevolmente più debole del potenziale coulombiano, cioè decade molto più rapidamente, a causa dell'effetto di schermatura del plasma; in altri termini, nella sfera di raggio ad si raccoglie una carica di polarizzazione che scherma il campo elettrostatico a grande distanza. La distanza caratteristica di tale schermatura, cioèil parametro λD, è chiamato lunghezza di Debye, dal nome del fisico P. Debye che per primo lo introdusse per l'analisi degli ioni nelle soluzioni elettrolitiche e che fu usato per la prima volta per i gas ionizzati da E. Persico nel contesto di plasmi stellari. Per completezza, scriviamo l'espressione generale per la lunghezza di Debye ad per un rapporto arbitrario tra Te e Ti

(12.5)

In particolare, se Te >> Ti ( cosa che accade, per esempio, in una lampada al neon), oppure Ti >> Te , l'espressione per ad diventa

(12.6)

avendo posto T = Te ,Ti rispettivamente. Il valore numerico della lunghezza di Debye è

9

Parametro di plasmaUn plasma può essere definito come un gas di particelle cariche la cui l’ energia potenziale elettrostatica di interazione con le particelle più vicine è molto inferiore all'energia termica media. Poiché la distanza media tra le particelle è circa n-1/3, questa condizione diventa

(12.7)

che utilizzando la (12.6) con n0 = n può essere riscritta come

(12.8)

dove a destra è indicato l'ordine di grandezza del numero. ND è detto parametro di plasma che rappresenta approssimativamente il numero di particelle nella sfera di raggio λD, detta sfera di Debye. Vale per esso la relazione numerica

per T in eV e n in m-3. Per un plasma con n = I020 m-3 la condizione ND >> 1 èpienamente soddisfatta, per esempio, già per T = 1 eV.

Indicando con e con il parametro di ionizzazione

10

in figura (12.1a) si vede che per n = I020 m-3, T = 1 eV, un gas di idrogeno sarebbe totalmente ionizzato, mentre un gas di elio lo sarebbe solo in piccola parte. Nel secondo caso (12.1b) si parla di miscela di gas neutro e plasma, oppure di plasma parzialmente ionizzato, dal momento che la parte ionizzata risponderebbe alla condizione ND >> 1 . Sul piano (logT, log n) della Figura 12.2 è indicata la retta corrispondente a ND = 1 I gas ionizzati che soddisfano la (12.8) vengono anche chiamati plasmi ideali e si trovano a destra della retta ND = 1 .

Osserviamo, infine, che in un plasma si possono trascurare gli effetti quantistici se la dimensione del pacchetto d'onda di un elettrone tipico, cioè la lunghezza d'onda di De Broglie corrispondente alla velocità termica media degli elettroni, è piccola rispetto alla distanza media tra le particelle, in modo da non avere interazione tra le funzioni d'onda, cioè se risulta

H

He

Figura 12.1

11

-2 -1 0

12.2

log T

log n

12

Allora, essendo l'energia termica

la condizione da soddisfare può essere riscritta come

(12.10)

dove EF è l'energia di Fermi e a è un fattore numerico. L'uguaglianza T = α EF èrappresentata nella figura (1.1) da una retta al di sotto della quale possiamo trascurare gli effetti quantlstici, che diventano invece importanti solo a densità molto elevate, come quelle dei solidi o delle stelle di neutroni.

13

La caratteristica principale del plasma è la sua neutralità macroscopica, sostenuta dalla reciproca compensazione della carica spaziale degli ioni positivi e degli elettroni. Tuttavia, tale compensazione ha luogo solo in volumi abbastanza grandi e considerando intervalli di tempo sufficientemente lunghi. Per questo si dice che il plasma è un mezzo "quasi-neutro".

Le dimensioni e gli intervalli di tempo entro cui la compensazione della carica di volume può anche non avvenire sono detti distanza caratteristica e tempo caratteristico di s eparazione di carica.

Determiniamo la distanza caratteristica di separazione di carica nel plasma, supponendo che in una regione del plasma sia violata la neutralità, sicché risultino, per esempio, deficitari gli elettroni entro una sfera di raggio L, dove sia come indicato nel primo diagramma della Figura 12.3. Dalla legge di Gauss e usando il teorema della divergenza si ha per il campo elettrico

e applicandolo a una sfera di raggio L uniformente carica si ha, grazie alla simmetria sferica del problema

Quasi neutralità

=

=

neLrEr

nerrEr

~3

44)(4

~3

44)(4

32

32

πππ

πππ(12.11)

14

L'andamento del campo elettrico è indicato nel secondo diagramma della figura (12.3). Confrontando la massima densità di energia elettrostatica Ees= E2/8π con la minima densità di energia termica Eth= nT , dove T è la minore temperatura tra Te e Ti si ha:

Allora, combinando la precedente equazione con la definizione di λD, possiamo scrivere

D'altra parte, in tutti i casi pratici risulta Ees << Eth

che è poi la definizione stessa di plasma; per esempio, si può dimostrare che, per n = I020 m-3 e T = 1 eV, per Ees = Eth si avrebbe un campo

LFigura 12.3. Concentrazione di elettroni e ioni e campo elettrico all'interno e nelle immediate vicinanze di una sfera di raggio L in cui sia violata la neutralità

dell'ordine di qualche MV/m. Si vede quindi che si ha ń/n << 1 il plasma è in pratica sempre quasi-neutro, per cui le concentrazioni di elettroni e ioni possono essere considerate praticamente uguali in particolare, solo su scale di lunghezza L piccole rispetto alla lunghezza di Debye ad vi possono essere deviazioni dalla neutralità, e ad risulta essere la distanza caratteristica di separazione delle cariche.

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• Dato che una qualunque concentrazione di carica introdotta in un plasma, che provoca l’insorgere di potenziali elettrici e’ rapidamente schermata dal plasma su una distanza di scala λD , se la dimensione di scala spaziale di un plasma e’ L >> λD , la maggior parte del plasma e’ elettricamente “quasi neutra”, nel senso che si puo’ assumere , con buona approssimazione ne ~ ni ~ np e definire una

np “densita’ di plasma”

• La condizione di quasi neutralità non e’ realizzata entro la lunghezza di Debye

Conseguenze della “quasi neutralità”

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Frequenza di plasma Determiniamo ora il tempo caratteristico di separazione delle cariche nel plasma, studiando la risposta a piccole perturbazioni della neutralità. Supponiamo, per esempio, che in un plasma, dove gli ioni sono considerati fermi a causa della loro massa elevata, uno strato di elettroni di spessore L venga spostato dalla posizione iniziale di una distanza d piccola rispetto a L, come illustrato nel primo diagramma della figura (12.4).In seguito a questo spostamento, si creano due strati di carica opposta, con separazione L e con densità di carica ± ne. Il campo elettrico tra i due strati è quindi E = 4πned e tende a richiamare gli elettroni verso la posizione di equilibrio; in altri termini, sugli elettroni agisce una forza di attrazione da partedegli ioni uguale a - eE, per cui l'equazione del moto degli elettroni è

che rappresenta un'oscillazione armonica con frequenza

Figura 12.4. Violazione della neutralità di carica ai bordi di uno strato piano di plasma

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Questa è una grandezza fondamentale della fìsica dei plasmi ed è detta frequenza di plasma per gli elettroni. Si definisce poi anche una frequenza di plasma per gli ioni di carica Ze (dove Z è il numero atomico degli ioni)

(12.12)

e la frequenza delle oscillazioni prima descritte, quando non si trascura il moto degli ioni, diventa, come vedremo

(12.13)

ed è detta frequenza di plasma.

Essendo me << mi, si ha ωpe >> ωpj, per cui ωpe ~ ωpj Per facilitare la valutazione numerica delle frequenze di plasma, riportiamo le seguenti espressioni:

dove A è il numero di massa degli ioni e ne, ni sono in m-3.

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Le oscillazioni della carica di volume nel caso di violazione della quasi neutralità furono osservate per la prima volta da I. Langmuir e sono perciò dette oscillazioni di plasma o oscillazioni di Langmuir .Corrispondentemente la frequenza di tali oscillazioni è detta frequenza di plasma o frequenza di Langmuir.

Le oscillazioni del plasma determinano il meccanismo di restaurazione della quasi-neutralità. È chiaro infatti che, in media su un grande numero di periodi di oscillazioni, il plasma si può considerare neutro. Di conseguenza il tempo caratteristico di separazione delle cariche nel plasma,

(12.14)

che è una misura del tempo necessario al plasma per ristabilire la neutralità in seguito a una sua violazione. Si trova allora che il legame tra questa quantità e la distanza caratteristica di separazione delle cariche ad è molto semplice, risultando

(12.15)dove è la velocità termica degli elettroni

19

Sommario

In caso di violazione di neutralità, il plasma tende ad oscillare ad una frequenza (angolare)

ωp = 5.64 104 ne ½ (ne in cm-3)

La frequenza di plasma (introdotta da Langmuir) è una frequenza nel range delle centinaia di GHz per plasmi a densità di interesse termonucleare:

per ne = 1014 cm-3 ωp = 5.6 1011 s-1

L’ inverso della frequenza di plasma tp = ωe-1 può essere interpretato come il

tempo caratteristico di separazione delle cariche nel plasma.

Nel nostro modello le oscillazioni di plasma non sono smorzate perché il modello non contiene alcun meccanismo di dissipazione di energia, che invece esiste ed ed e’ costituito dalle collisioni elettrone-elettrone ed elettrone-ione. Quanto piùelevata e’ la frequenza di collisione tanto più rapidamente la neutralità e’ ristabilita dall’ inizio della perturbazione .

20

Condizione di plasma

A densità costante , se la temperatura del plasma aumenta (e quindiND = n λD

3= (ε0KTe/ne2)3/2 , gli effetti collisionali diminuiscono e il comportamento del plasma tende a essere dominato dalle interazioni dovute ai campi collettivi . Si parlerà di comportamento “non collisionale” del plasma con gli effetti delle collisioni piccoli o addirittura trascurabili.

Perché gli effetti collettivi abbiano un peso nella dinamica delle componenti del plasma e’ dunque necessario che la frequenza con cui avvengono le collisioni e la frequenza di plasma abbiano valori vicini ovvero ωp τc~ 1

Alla luce di quanto discusso possiamo definire un gas ionizzato in condizioni di plasma quando :

λD << L

ND >>1

ωpτc >1

21

Stato di plasma

10

10

10-1

10-3

10-5

keV

22

Confronto tra i parametri fisici di alcuni tipi di plasma

23

Potenziale di plasma

24

e

n∞

Solido

φS

A causa della differenza di massa ioni ed elettroni, questi ultimi, a parità di energia media, si muovono più rapidamente e pertanto escono dal plasma più velocemente degli ioni. Il plasma si carica pertanto positivamente, generando un campo elettrico che si oppone all’uscita degli elettroni, fino a ridurre la corrente elettronica a zero.

Potenziale di plasma

e

Stima del potenziale:

• Flusso di uscita degli elettroni per unità di superficie solida e di tempo

• Flusso di uscita degli ioni alla superficie solida

• Fattore di Bolzmann applicato agli elettroni

dove φS e’ la differenza di potenziale tra il corpo solido ed un punto ad una distanza infinita nel plasma

Assumiamo :

ne = ni ~ n ∞

25

Calcoliamo il valore del potenziale a cui si porta il plasma in regime stazionario (j = 0):

La densità di corrente totale e’

Se si impone che j si annulli per un potenziale ΦS tale che :

Otteniamo:

Per un plasma di H (mi/me=1800 ossia ½ ln(me/mi) = -3.75).

Il potenziale della superficie rispetto a quello del plasma e’ circa – 4Te/e

Potenziale di plasma

(12-16)

(12-17)

= 0

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In conclusione nella dinamica diun plasma di alta temperatura e densità:

• Le forze gravitazionali possono essere considerate trascurabili rispetto a quelle elettromagnetiche• I momenti delle particelle sono elevati e le densita’ sufficientemente basse in modo che λDeBroglie = h /<p> << d ~ N –1/3 distanza media tra particelle, e pertanto gli effetti quantistici sono trascurabili

• le energie delle particelle in gioco sono non-relativistiche

Infatti, per un plasma di protoni di interesse termonucleare (mp= 1.6 10 –24 g) kT = 10 keV e n=1014 cm-3 , p ~ (mkT)1/2 ~(104 x1.6 10-12(erg/eV) x1.6 10-24g )1/2 ~10-16

gms-1 λDeBroglie= h/p ~ (1.05 10-27/10-16) ~ 10-11 cm da confrontare con una distanza media tra particelle d = 10 -5 cm