Universita degli Studi di L’Aquila

Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Specialistica in Fisica

Tesi di Laurea

Propagazione di Raggi Cosmici di

Energie Ultra Alte provenienti da

sorgenti extragalattiche.

Simulazioni con sorgenti da cataloghi,

studio delle anisotropie risultanti e

confronto con i dati di Auger.

Relatori: Candidato:

Prof. Aurelio Grillo Denise Boncioli

Dott. Roberto Aloisio

Anno Accademico 2007-2008

Indice

1 Modelli di produzione di raggi cosmici 71.1 Accelerazione di Fermi al II ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Accelerazione da shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Energia massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Sorgenti di raggi cosmici ultra-energetici 172.1 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Esplosione di Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Accelerazione in Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Nuclei galattici attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Unificazione degli AGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Accelerazione in AGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Propagazione di raggi cosmici 353.1 Perdite di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Caratteristiche dell’interazione tra protoni e CMBR . . . . . . 383.2 Evoluzione cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Spettro degli UHECR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Spettro di singola sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Spettro da distribuzioni di sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Esperimenti 494.1 Air Showers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.2 Struttura spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.3 Struttura temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.4 Direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Caratteristiche del raggio cosmico primario . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.1 Composizione chimica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.2 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Accettanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

4.4 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.1 AGASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2 Fly’s Eye e HiRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.3 Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Anisotropia 665.1 Evidenze di anisotropia degli UHECR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Correlazione con Nuclei Galattici Attivi . . . . . . . . . . . . 685.1.2 Angular power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.3 Mappe di densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Discussione sui risultati di Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Cataloghi alternativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.1 Swift BAT AGN Catalog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.2 Correzioni al catalogo VCV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Risultati 816.1 Spettro di Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2 Spettro teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2.1 Calcolo del flusso da sorgenti discrete . . . . . . . . . . . . . . 856.2.2 Calcolo del flusso da distribuzione uniforme . . . . . . . . . . 89

6.3 Parametri del flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 Calcolo del flusso teorico totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A Coe!ciente di di"usione 106

B Coordinate galattiche 109

C Esposizione 111

D Magnitudine e Luminosita 112D.1 Luminosita assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112D.2 Luminosita bolometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Bibliografia 114

2

Introduzione

I raggi cosmici sono principalmente costituiti da particelle cariche molto enegeticheche bombardano la terra; lo spettro energetico che si osserva si estende da energiedi 109 eV fino a 1021 eV.

Lo studio dei raggi cosmici comincia agli inizi del 1900 attraversando varie tappefino alla conferma da parte di Pierre Auger, nel 1938, dell’esistenza degli sciamiatmosferici estesi (EAS), ovvero cascate di particelle secondarie e nuclei prodottidalla collisione di particelle primarie di alta energia con le molecole dell’atmosfera.

L’esistenza degli EAS permette lo studio indiretto dei raggi cosmici primari adalte energie, attraverso il campionamento delle particelle secondarie sul suolo ter-restre; la fisica dei raggi cosmici si avvale inoltre dell’atmosfera come scintillatorenaturale. Nel loro passaggio attraverso l’atmosfera le particelle dello sciame eccitanole molecole di azoto in essa presenti che emettono successivamente luce di fluorescen-za; la raccolta di questa emissione permette una stima dell’energia del primario.

Esistono diversi esperimenti attualmente funzionanti che sfruttano sia il cam-pionamento delle particelle a terra che la raccolta della luce di fluorescenza, neltentativo di studiare i raggi cosmici alle energie piu alte e di capirne l’origine.

Investigando sull’origine dei raggi cosmici, un punto di partenza puo essere laconsiderazione del fatto che, essendo i raggi cosmici particelle cariche, a!nche questepossano essere accelerate e necessaria la presenza di un campo elettrico. Sappiamoche in astrofisica non esistono campi elettrici statici ma esistono campi elettrici di-namici prodotti da campi magnetici variabili; campi elettrici di questo tipo esistonoper esempio nelle stelle di neutroni.

E’ possibile inoltre, rimanendo sempre nell’ambito dell’origine astrofisica dei rag-gi cosmici, spiegare il raggiungimento di alte energie di queste particelle caricheattraverso meccanismi che prevedono l’interazione delle particelle con i campi mag-netici irregolari presenti nei plasmi astrofisici.

Attraverso il meccanismo dell’accelerazione da onde d’urto che si generano nel-l’esplosione di supernovae galattiche si puo infatti giustificare lo spettro dei raggicosmici fino a energie di circa 1017 eV; confrontando il raggio di Larmor della par-ticella e le dimensioni della regione in cui e presente il campo magnetico e possibilefornire un limite superiore all’energia raggiungibile in processi di accelerazione, iden-tificando quindi una serie di oggetti astrofisici che, per intensita del campo magneticopresente e dimensioni, sono da considerarsi potenziali sorgenti di raggi cosmici.

3

In ambiente galattico le possibili sorgenti di raggi cosmici sono resti di super-novae e stelle di neutroni; nel caso di energie superiori a circa 1017 eV non esistonosorgenti galattiche in grado di accelerare particelle a tali energie. Si prendono quin-di in considerazione oggetti extragalattici, in particolare le galassie che ospitano unnucleo attivo, ovvero una struttura alimentata da un buco nero centrale molto mas-sivo.

In questo lavoro di Tesi sono state prese in esame le teorie basate sull’origine deiraggi cosmici in sorgenti astrofisiche; in particolare gli oggetti candidati a sorgentidi raggi cosmici qui considerati sono proprio i nuclei galattici attivi (AGN).

Premesso che non e semplice trovare sorgenti con caratteristiche tali da portareprotoni a energie superiori a 1020 eV, un ulteriore problema per l’osservazione diquesti eventi e dato dalla propagazione; nel tragitto dalla sorgente all’atmosferaterrestre le particelle di raggi cosmici risentiranno delle varie interazioni con i fo-toni della radiazione cosmica di fondo (CMBR) e con altri fondi astrofisici. Si devepoi considerare, se prendiamo sorgenti extragalattiche, l’espansione dell’universo checomporta una ulteriore perdita adiabatica di energia.

A questo si deve poi aggiungere l’interazione con i campi magnetici extragalat-tici e con il campo magnetico galattico; quest’ultimo puo essere pensato come lasovrapposizione di due componenti: una regolare (| !B| = 3µG), su scala di 1 kpc, euna casuale (| !B| = 2µG), su scala minore di 55 pc. Il campo magnetico galattico einoltre responsabile della di"usione dei raggi cosmici di basse energie, cosa di cui siha evidenza dai tempi di permanenza di queste particelle nell’ambiente galattico edalla sostanziale isotropia della loro distribuzione di arrivo.

Nel caso dei raggi cosmici alle energie qui considerate, l’intensita del campo mag-netico galattico non e in grado di defletterne la direzione per piu di qualche grado.

Tornando all’interazione dei raggi cosmici con la CMBR, le perdite di energia deiprotoni sono dovute alla produzione di coppia e alla fotoproduzione di "; entrambiquesti processi sarebbero responsabili della forma dello spettro in energia dei raggicosmici, insieme all’iniezione delle particelle accelerate alla sorgente.

In particolare, a causa della reazione di fotoproduzione di " e prevista una sop-pressione del flusso di raggi cosmici a energie intorno a 7! 1019 eV (e"etto Greisen-Zatsepin-Kuz’min, detto GZK); nello spettro misurato dagli esperimenti Auger eHiRes e evidente la presenza di un cut-o" intorno all’energia 7! 1019 eV.

Questa evidenza presa da sola non e pero da considerarsi una verifica della pre-visione dell’e"etto GZK in quanto mancano informazioni fondamentali riguardo allecaratteristiche dei candidati a sorgenti, come l’energia massima a cui tali oggettipossono accelerare particelle.

Se le sorgenti dei raggi cosmici piu energetici sono relativamente vicine e nonsono uniformemente distribuite, allora ci possiamo aspettare una distribuzione diarrivo anisotropa, se l’energia e su!cientemente alta da non deflettere in modo sig-nificativo la direzione di propagazione.

4

L’anisotropia dei raggi cosmici ad alte energie si puo manifestare in due modi:attraverso l’osservazione di un insieme di eventi ravvicinati da sorgenti individualio attraverso la correlazione delle direzioni di arrivo con un certo tipo di oggetti as-tronomici.

Gli AGN sono da lungo tempo considerati siti dove potrebbe avere luogo la pro-duzione di particelle energetiche e dove queste particelle potrebbero essere acceleratefino alle alte energie misurate.

I dati raccolti dall’esperimento Auger mostrano evidenza di una anisotropia nelledirezioni di arrivo dei raggi cosmici alle energie piu alte; queste direzioni sono statequindi confrontate con le posizioni degli AGN, trovando una correlazione positivaper raggi cosmici con energie maggiori di 6 ! 1019 eV e AGN a distanze minori di" 75 Mpc.

Le osservazioni risultano essere consistenti con l’ipotesi che la rapida decrescitadel flusso misurato dall’esperimento Auger oltre 6 ! 1019 eV sia dovuto all’e"ettoGZK e che la maggior parte dei raggi cosmici che raggiungono la Terra intorno aqueste energie siano protoni provenienti da sorgenti astrofisiche vicine, AGN o altrioggetti con una simile distribuzione spaziale.

Sebbene questo risultato non identifichi in modo non ambiguo gli AGN con lesorgenti di raggi comici a energie ultra alte, permette di pensare che questa identifi-cazione sara possibile con un set di dati piu ampio, che l’Osservatorio Pierre Augergarantira in alcuni anni.

Con le informazioni raccolte sulla soppressione del flusso ad alte energie e sullacorrelazione trovata da Auger e interessante calcolare il flusso teorico di raggi cos-mici da tali oggetti.

Il presente lavoro di Tesi rappresenta un modo per collegare le evidenze osserva-tive o"erte da Auger; il collegamento sta proprio nel calcolo dello spettro dei raggicosmici ultra-energetici (UHECR) e nel confronto con lo spettro sperimentale, uti-lizzando proprio le sorgenti in correlazione con gli eventi di UHECR. Vedremo inseguito che a questo insieme di sorgenti discrete si deve aggiungere una componentedistribuita uniformemente che contribuisce al flusso da un certo redshift in poi.

Per la parte discreta di sorgenti sono stati utilizzati quindi gli AGN trovati incorrelazione con le direzioni degli eventi misurati in Auger (con redshift z # 0.017),calcolando il flusso in protoni a partire dalla luminosita dell’oggetto.

Per distanze maggiori e stata utilizzata una distribuzione uniforme di sorgenti; inentrambi i contributi sono state considerate le perdite di energia dei protoni durantela propagazione dalla sorgente all’atmosfera terrestre.

Inoltre e stato necessario fare delle diverse ipotesi sullo spettro delle particellealla sorgente, sia riguardo all’energia massima a cui le sorgenti sono in grado diaccelerare i protoni, sia riguardo all’indice dello spettro di iniezione. Lo spettroottenuto e stato poi confrontato con lo spettro misurato da Auger.

Il presente lavoro e organizzato come segue: nel primo capitolo sono presentati i

5

modelli di produzione di raggi cosmici che riguardano l’accelerazione in onde d’urto;nel secondo capitolo si riportano alcune informazioni sulle sorgenti galattiche di rag-gi cosmici (Supernovae) e sulle sorgenti extagalattiche (Nuclei Galattici Attivi). Inparticolare si parla degli AGN come siti di accelerazione extragalattici e si riportanoalcuni esempi di meccanismi di accelerazione in tali oggetti. Nel terzo capitolo siintroducono i processi fisici che condizionano la propagazione degli UHECR, conparticolare attenzione al calcolo del flusso atteso a Terra per protoni. Nel quartocapitolo si presentano i principali risultati sperimentali sullo studio dei raggi cos-mici in generale e le tecniche utilizzate per ottenerli, mentre nel quinto capitolo siriportano le ricerche relative all’anisotropia dei raggi cosmici piu energetici e i prin-cipali risultati dell’esperimento Auger. Infine, il sesto e ultimo capitolo e dedicatoal confronto tra lo spettro misurato da Auger e quello calcolato, con una discussionesulle ipotesi fatte per il calcolo e le sorgenti utilizzate. Si riportano infine i possibilisviluppi futuri di questo lavoro.

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Capitolo 1

Modelli di produzione di raggicosmici

Le attuali teorie sulla produzione di raggi cosmici possono essere riunite in duediversi scenari: lo scenario di accelerazione bottom-up e lo scenario di decadimentotop-down, con vari modelli entro ogni scenario.

Nella teoria bottom-up particelle cariche vengono accelerate da energie piu bassealle alte energie osservate in ambienti astrofisici; esistono infatti modelli che de-scrivono l’accelerazione di particelle in onde d’urto associate a resti di supernovae,a nuclei galattici attivi e a galassie radio, oppure altri modelli che riguardano l’ac-celerazione in presenza di stelle di neutroni.

Nello scenario top-down le particelle piu energetiche provengono dal decadimentodi particelle su!cientemente massive che hanno origine da processi fisici nell’univer-so primordiale; nell’ambito di queste teorie non sono quindi previsti meccanismi diaccelerazione.

Nel presente capitolo si analizzano i modelli di accelerazione di raggi cosmici cheriguardano le teorie bottom-up, riportando la versione dell’accelerazione di Fermi alII ordine e l’accelerazione da shock, evidenziandone le di"erenze.

Si analizzano inoltre le caratteristiche dello spettro dei raggi cosmici che risultada questo tipo di accelerazione e i limiti sull’energia massima raggiungibile in ambitoastrofisico.

1.1 Accelerazione di Fermi al II ordine

Consideriamo una particella gia accelerata a energie relativistiche, cioe con v $ ce analizziamo il meccanismo di accelerazione delle particelle proposto inizialmenteda Fermi nel 1954.

Immaginiamo la particella, di energia E e impulso p nel sistema di riferimentodel laboratorio, che si muove verso una nube galattica, la quale si muove con velocita%V lungo l’asse x, e # e l’angolo che la velocita della particella forma con l’asse x. Lanube ha massa & m (m massa della particella), quindi l’urto puo essere considerato

7

elastico.Nel sistema di riferimento della nube energia e impulso della particella sono dati

da:E ! = $ (E + pV cos #) (1.1)

p!x = $

!p cos # +

V

c2E

"(1.2)

con $ =#1% V 2

c2

$"1/2

. Avendo un urto elastico, l’energia e l’impulso della particella

dopo l’urto saranno:

E !! = E ! (1.3)

p!!x = %p!x. (1.4)

Queste relazioni valgono nel sistema di riferimento della nube, mentre nel sistemadel laboratorio si avra:

E = $ (E !! % V p!!x) = $ (E ! + V p!x) . (1.5)

Sostituendo nell’equazione precedente le 1.1 e 1.2, troviamo:

E = $2E

!1 +

2V v cos #

c2+

V 2

c2

", (1.6)

dove abbiamo usato v cos #/c2 = px/E, la velocita della particella nel sistema dellaboratorio. Quindi:

#E = E % E = $2E

!2V v cos #

c2+ 2

V 2

c2

"; (1.7)

poiche in generale V # c, si puo riscrivere l’equazione precedente in questo modo:

#E

E= 2

V v cos #

c2+ 2

V 2

c2. (1.8)

Se in un sistema di questo tipo ci fossero urti frontali (cos # = 1) si avrebbe unguadagno di energia nel primo ordine in V/c; in realta, le velocita delle nubi sonodistribuite in maniera casuale.

Il numero di urti per unita di tempo e proporzionale alla velocita relativa (V cos # + v);inoltre utilizzando il fatto che v $ c si avra che P (cos #) '

%1 + V cos !

c

&. A questo

punto, mediando su tutti i valori possibili di cos #:

'2V cos #

c

(=

!2V

c

" ) 1

"1 x[1 + (V/c)x]dx) 1

"1[1 + (V/c)x]dx=

2

3

!V

c

"2

, (1.9)

8

dove x = cos #.Quindi, nel limite relativistico, il guadagno medio di energia per collisione e:

'#E

E

(=

8

3

!V

c

"2

. (1.10)

Il fatto che il processo sia al secondo ordine comporta innanzitutto che sia lento,e inoltre che conduce a spettri con indici che possono assumere qualsiasi valore.

1.2 Shock

L’onda d’urto, o shock, rappresenta un tipo di discontinuita che costituisce unasuperficie di separazione tra due fluidi con proprieta distinte, in cui pero c’e un flussodi massa, impulso ed energia attraverso la superficie stessa.

Consideriamo, per semplicita, una situazione a simmetria piana (tutte le quantitadipendono solo da x, che e perpendicolare alla supeficie di discontinuita) e stazionar-ia.

Mettendosi in un riferimento comovente con tale superficie, ci vediamo venireincontro con velocita u1 (diretta lungo x) un fluido con densita %1 e pressione P1;applicando i principi di conservazione di massa, impulso ed energia si ottiene (inx = 0): *

+

,

cons. massa %1u1 = %2u2

cons. impulso %1u21 + P1 = %2u2

2 + P2

cons. energia 12%1u2

1 + """1u1P1 = 1

2%2u22 + "

""1u2P2

(1.11)

dove con & si indica il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costantedei due fluidi.

Le relazioni scritte sopra (Rankine-Hugoniot) permettono di determinare le con-dizioni idrodinamiche del fluido dopo lo shock, quando sono note le condizioni primadello shock.

Definiamo ora il numero di Mach dello shock come il rapporto

M =u1

cs1(1.12)

tra la velocita con la quale lo shock si propaga nel mezzo imperturbato e la velocitadel suono nello stesso mezzo.

Per un fluido ideale vale la relazione:

%2

%1=

u1

u2=

(& + 1)M21

(& % 1)M21 + 2

(1.13)

che diventa, nel limite M1 () (shock forte):

%2

%1=

u1

u2=

& + 1

& % 1. (1.14)

9

Figura 1.1: Moto della particella attraverso la superficie dello shock; il tutto e visto nelsistema di riferimento della superficie dello shock.

Da qui si vede che nella regione perturbata (down-stream) si avra un rallentamentoe un aumento della densita del gas rispetto alla regione imperturbata (up-stream):

u2 =u1

r, %2 = r%1, (1.15)

avendo posto r = "+1""1 ; per un gas perfetto monoatomico si ha & = 5

3 , dunque r = 4.Si ha inoltre che, sempre nel caso di shock supersonico, il gas imperturbato vieneriscaldato moltissimo, poiche si ha T2/T1 'M2

1.

1.3 Accelerazione da shock

Nel paragrafo riguardante l’accelerazione di Fermi al II ordine abbiamo consid-erato l’accelerazione subita da una particella che incontra una nube di plasma inmoto, e viene quindi di"usa dal campo magnetico della nube.

Analizziamo ora il caso di una particella che incontra un fronte di shock in moto;sia nell regione upstream che in quella downstream e presente un campo magneticoturbolento (come nel caso della nube di Fermi). Quando la particella si trova nellaregione imperturbata, a causa della di"usione e del fatto che lo shock si muove,sara costretta ad attraversare lo shock; se invece si trova nell regione perturbata, ilfenomeno della di"usione fara sı che la particella possa attraversare nuovamente loshock oppure allontanarsi dalla regione di accelerazione.

Consideriamo una test-particle (ovvero una particella che non perturbi lo shock)che attaversa il fronte di shock da up a down, formando un angolo #i rispetto all’assex. Il fronte dello shock si muove con velocita %u1, mentre il fluido down-stream si

10

allontana dallo shock con velocita u2 rispetto al fronte dello shock; quindi nel sis-tema del laboratorio si vede il fluido down-stream spostarsi nel verso negativo dellex con V = u2 % u1.

Scriviamo dunque l’energia della particella (che supponiamo relativistica) nelsistema di riferimento down-stream:

E !i = $Ei

!1% V

ccos #i

", (1.16)

con $ =-1%

%Vc

&2."1/2

.

La particella subira una collisione nella regione down-stream, dopo la quale lasua energia sara E !

f nel sistema down-stream, e

Ef = $E !f

!1 +

V

ccos #!f

"(1.17)

nel sistema up-stream.Come nel caso dell’accelerazione di Fermi, l’energia si conserva dopo l’urto (E !

f =E !

i), quindi sostituendo:

Ef = $2Ei

!1 +

V

ccos #!f

"!1% V

ccos #i

". (1.18)

Il guadagno di energia sara:

#E

Ei=

Ef % Ei

Ei=

1% ' cos #i + ' cos #!f % '2 cos #i cos #!f1% '2

% 1 (1.19)

dove ' = V/c. Da notare che, nel caso dell’accelerazione di Fermi, si poteva avere%1 # cos #!f # 1 e quindi si poteva sia guadagnare che perdere energia; nel caso delfronte di shock, invece, si ha che cos #!f e sempre positivo e cos #i e sempre negativo,quindi #E/E > 0 sempre.

A questo punto resta da mediare sugli angoli; sapendo che le distribuzioni di #!fe #i rispetto al fronte dello shock sono rispettivamente:

dn

d cos #!f= 2 cos #!f , 0 # cos #!f # 1

dn

d cos #i= 2 cos #i, %1 # cos #i # 0 (1.20)

si ottiene:

( =

'#E

E

(=

4

3' =

4

3

u1 % u2

c. (1.21)

11

1.3.1 Spettro

Supponiamo che una particella, dopo un ciclo di accelerazione, guadagni un’en-ergia pari a:

#E = E1 % E0 = (E0 (1.22)

dove abbiamo visto che ( = 43'. Dopo il passaggio successivo attraverso il fronte di

shock, l’energia e il numero di particelle saranno dati da:

E2 = (1 + ()E1 = (1 + ()2E0, N2 = )N1 = )2N0, (1.23)

essendo (1 % )) la probabilita che la particella sfugga dalla regione down-stream.All’n-esimo passaggio si avra:

En = (1 + ()nE0, Nn = )nN0, (1.24)

quindi: *+

,ln

#NnN0

$= n ln )

ln#

EnE0

$= n ln(1 + ()

(1.25)

Eguagliando ora le due equazioni si ottiene:

ln

!Nn

N0

"=

ln )

ln(1 + ()ln

!En

E0

"= ln

!En

E0

" ln !ln(1+")

. (1.26)

Resta ora da determinare la quantita ).

Attraverso la superficie dello shock entra, per unita di tempo e di area, (versola regione down-stream) un flusso di particelle J+ e ne esce un flusso J", mentreun flusso J# esce dalla zona down-stream all’infinito; dato che il tempo di vitadella regione accelerante sara molto maggiore di un ciclo di accelerazione, si avrauna situazione stazionaria per cui tante particelle entrano nella zona down-streame tante ne escono: J+ = J" + J#.

La probabilita di tornare allo shock e data da:

) =J"J+

=J"

J" + J#; (1.27)

vediamo quindi quanto vale J", sapendo che il flusso di particelle che passano dallaregione down-stream a quella up-stream, per unita di tempo e superficie, e nvx =nc cos #, con cos # positivo (n e il numero di particelle nella zona post-shock).

Il numero totale di particelle che attraversa la superficie e:

J" =

/

cos !$0

d%

4"nc cos # =

nc

4. (1.28)

12

Il numero di particelle che viene invece rimosso per unita di tempo e superficie edato da:

J# = nu2; (1.29)

troviamo cosı:

) =c

c + 4u2$ 1% 4u2

c. (1.30)

A questo punto, scrivendo, * = % ln #ln(1+$) , possiamo scrivere lo spettro in questo

modo:

Nn = N0

!En

E0

""%

, (1.31)

abbiamo cioe calcolato la distribuzione integrale, ovvero il numero di tutte le parti-celle che hanno compiuto n o piu cicli.

La distribuzione di"erenziale sara:

dN ' E"1"%dE. (1.32)

Vediamo ora quanto vale l’esponente di E nel caso che ci interessa, e cioe quellodell’accelerazione da shock; sostituendo le espressioni trovate per ( e ) in * si ha:

* = % ln )

ln(1 + ()= %

ln%1% 4u2

c

&

ln(1 + 43

u1"u2c )

$ 3u2

u1 % u2, (1.33)

dunque sapendo che le velocita sono legate dal fattore di compressione r:

* =3

r % 1. (1.34)

L’indice spettrale sara quindi determinato dal solo salto di velocita:

dN

dE' E"&, $ =

r + 2

r % 1, (1.35)

e nel caso di shock forte, per cui vale r = 4, si avra $ = 2.

1.3.2 Energia massima

Finora non abbiamo considerato il fatto che la regione attorno allo shock hadimensioni finite, ne il fatto che la propagazione dello shock puo durare un tempofinito; se si tiene conto di questi fattori si trova che esiste un’energia massima oltre laquale le particelle non possono essere accelerate. Calcoliamo innanzitutto il tempota di accelerazione.

Analizziamo il problema in una dimensione, considerando prima di tutto il fattoche nella regione up-stream la distribuzione delle particelle non e uniforme, e quindici sara un flusso di"usivo: %D1dn/dx, dove D1 e un coe!ciente di di"usione scalare;

13

si oppone alla di"usione il fenomeno della convezione, per cui il contributo del flussoche riporta la particella verso lo shock sara nu1.

Il flusso totale di particelle attraverso la superficie dello shock sara quindi:

J = %D1dn

dx+ nu1, (1.36)

e tale flusso, in situazione stazionaria, si deve annullare. Per cui si trova, nellaregione up-stream:

n(x) = n0 expu1xD1 (1.37)

dove n0 e la densita di particelle allo shock (x = 0).Il numero totale N di particelle per unita di superficie e:

N =

0/

"#

dx n(x) =n0D1

u1; (1.38)

quindi sapendo che il numero di particelle (per unita di tempo e superficie) entrantinella zona up-stream e J" = n0c

4 , si puo trovare il tempo che la particella trascorreproprio nella regione up-stream:

t1 =N

J"=

4D1

u1c. (1.39)

Allo stesso modo si puo calcolare il tempo trascorso nella zona down-stream: t2 =4D2u2c e quindi la durata di un ciclo sara:

tcycle = t1 + t2 =4D1

u1c+

4D2

u2c. (1.40)

In questo intervallo di tempo l’energia della particella sara aumentata di una quan-tita #E/E (calcolata precedentemente), e dunque si avra:

#E

#t=

4(u1 % u2)

3c

E

tcycle=

E

ta(1.41)

dove il tempo di accelerazione ta e:

ta =3

u1 % u2

!D1

u1+

D2

u2

". (1.42)

Per quanto riguarda il coe!eciente di di"usione, si utilizza il coe!ciente di di"usionedi Bohm:

D =1

3+v, (1.43)

14

dove + e il libero cammino medio della particella sottoposta alla di"usione, e v lasua velocita. Prendendo v $ c e + uguale al raggio di Larmor della particella ilcoe!ciente diventa:

D =1

3

Ec

ZeB(1.44)

e quindi otteniamo

ta = *E, * * c

Ze(u1 % u2)

!1

u1B1+

1

u2B2

", (1.45)

dove si vede che il tempo di accelerazione della particella e lineare nell’energia.E’ importante precisare che il coe!ciente di di"usione qui utilizzato riguarda le

turbolenze del campo magnetico su piccola scala (dell’ordine delle dimensioni deiresti di supernovae, " 1 pc).

Nel caso che stiamo considerando sarebbe piu appropriato utilizzare una for-ma del coe!ciente di di"usione che possa valere per scale piu grandi in modo daconsiderare le turbolenze del campo magnetico nel mezzo interstellare (per esempioil coe!ciente di di"usione alla Kraichnan vale per scale dell’ordine di " 100 pc eassocia la turbolenza del campo magnetico alle fluttuazioni di densita prodotte dal-l’esplosione di supernovae nel mezzo interstellare).

Tuttavia, poiche come ordine di grandezza la di"usione alla Bohm da la rispostacorretta, ci limitiamo all’utilizzo di tale coe!ciente anche su scale maggiori di 1 pc.

Nel caso delle Supernovae, dove si hanno tipicamente shock forti (u2 = u1/4),ponendo D1 = D2 = D si trova che

tcycle =4

3

E

ZeB

!1

u1+

1

u2

"=

20

3

E

ZeBu1(1.46)

e calcolando infine Emax si trova:

Emax =

ta/

0

#E

#tdt =

3

20

ZeB

cu2

1ta (1.47)

dove il tempo di accelerazione sara, in questo caso, uguale all’eta del resto di super-nova.

Il massimo di E si raggiunge all’inizio della fase di Sedov (di cui si parlera nelcapitolo che segue), ovvero alla fine della fase di espansione libera, quando la mas-sa di materiale interstellare spazzato e uguale a quella espulsa nell’esplosione dellasupernova, cioe quando:

4

3"%(u1ta)

3 = Mej. (1.48)

Per valori tipici, % = 1cm"3, u1 = 5! 108cm/s e Mej = 10M% si trova ta = 103 annie quindi:

Emax # Z ! 3! 1013eV. (1.49)

15

Figura 1.2: Diagramma di Hillas.

Nel diagramma di Hillas (figura 1.2) sono state messe in relazione le dimensionie le intensita dei campi magnetici presenti in alcuni tipi di sorgenti astrofisiche; glioggetti al di sotto della corrispondente riga diagonale non possono accelerare rispet-tivamente protoni o nuclei di ferro a energie pari a 1020 eV.

Tale diagramma e un confronto tra le diverse sorgenti astrofisiche in base allarelazione tra il raggio di Larmor rL della particella in esame e la dimensione dellaregione accelerante; infatti se il raggio di Larmor della particella e molto maggioredelle dimensioni tipiche della sorgente, la particella non si accorge del campo mag-netico e il meccanismo ciclico descritto precedentemente non puo avvenire.

Al contrario, se le dimensioni delle regioni up-stream l1 e down-stream l2 sonomolto maggiori del raggio di Larmor della particella il meccanismo risulta ine!cientepoiche la particella resta confinata in una delle due regioni.

La condizione ottimale per cui si verifichi l’accelerazione ciclica e che rL # l1, l2.

16

Capitolo 2

Sorgenti di raggi cosmiciultra-energetici

Lo spettro dei raggi cosmici riportato in figura 2.1 rappresenta la quantitadN/dE, ovvero il numero di particelle per unita di superficie, di tempo e angolosolido in funzione dell’energia misurata in GeV; si puo osservare che tale spettroesibisce un andamento a legge di potenza su un grande intervallo di energie, ma sipuo anche vedere che esistono due diverse strutture, una intorno a 1015 eV (dettaginocchio), e l’altra intorno a 1018 eV (detta caviglia).

Il fatto che lo spettro sia largamente esteso in energia e in flusso potrebbe farpensare che siano coinvolti meccanismi di produzione e propagazione diversi tra loro,mentre l’esistenza di due sole strutture (due cambiamenti di pendenza) indica cheesiste una certa universalita in questi meccanismi.

Nel capitolo precedente abbiamo trattato i meccanismi di accelerazione delle par-ticelle in oggetti astrofisici, trovando un limite per l’energia massima raggiungibile:Emax ' ZBL'.

Analizzando le varie sorgenti astrofisiche conosciute si puo vedere che l’energiamassima raggiungibile in sorgenti galattiche si trova intorno a energie corrispondentialla struttura della caviglia, dopo di che cominciano a dominare lo spettro i protonidi provenienza extragalattica.

Nella prima parte di questo capitolo analizziamo quindi il meccanismo dell’ac-celerazione da shock nell’esplosione di Supernovae; per quanto riguarda invece l’ac-celerazione di raggi cosmici da parte di oggetti extragalattici, nella seconda partedel capitolo si parla di nuclei galattici attivi come possibili candidati a sorgenti diraggi cosmici ultra-energetici (UHECR).

2.1 Supernovae

Si possono distinguere alcuni tipi di Supernovae (come spiegato in [2], [3]); dalpunto di vista spettrale, le supernovae di tipo I non mostrano evidenza di righe di

17

Figura 2.1: Spettro di!erenziale dei raggi cosmici.

emissione dell’idrogeno, diversamente dalle supernovae di tipo II.Per quanto riguarda le Super Novae di tipo Ia, si pensa che l’esplosione abbia

origine in un sistema binario in cui una nana bianca sta gradualmente accrescendomateria dalla compagna: quando la massa della materia in accrescimento porta lamassa totale della stella sopra la massa critica per una nana bianca (limite di Chan-drasekhar $ 1.4M%), inizia un processo di contrazione e riscaldamento che innescauna rapida esplosione in cui vengono espulsi elementi pesanti per una massa totaledi 1.4M%.

Dal collasso del core di stelle piu massive (probabilmente con masse > 8M%) han-no invece origine Supernovae di tipo II e Ib; durante il collasso densita e temperaturediventano su!cientemente grandi da rendere possibile la reazione:

p + e" ( n + ,e; (2.1)

la quantita di energia rilasciata e 102 volte l’energia di una SN Ia, ma viene trasporta-ta per lo piu da neutrini; infatti solo l’1% di questa viene trasferito al materialeesploso dalla stella, che viene spazzato via a velocita di circa 3÷ 4! 104kms"1 e checostituisce la parte visibile della supernova.

Si pensa che SN di questo tipo provengano da stelle che attraversano uno stadiointermedio come giganti rosse, durante il quale gli strati piu esterni dell’atmosferapossono essere spazzati via in un vento dalla velocita di circa 10ms"1 che precede lafase esplosiva.

18

Se la massa iniziale supera 16 % 20M%, dopo lo stadio di supergigante rossa lastella attraversera lo stadio di Wolf Rayet, in cui un forte vento (circa 103kms"1)spazzera via gli strati piu esterni (costituiti da idrogeno) per circa 105 anni precedentil’esplosione; il materiale rilasciato nell’esplosione sara quindi costituito da elementipiu pesanti dell’idrogeno. Tale tipo di supernova e detto SN Ib.

Dal collasso del core di stelle ancora piu massive hanno origine supernovae ditipo Ic, un tipo molto piu raro rispetto agli altri; per tutti i tipi di SN si ha unrilascio simile di energia, pari a circa 1051 erg.

Il ritmo di esplosione di SN in una galassia e di circa 3 per secolo.

2.1.1 Esplosione di Supernovae

Consideriamo un’esplosione che conferisca ad una massa Mej un’energia cinet-ica E, e che questa esplosione avvenga entro un mezzo interstellare di densita %;l’esplosione puo essere divisa in tre fasi distinte:

• espansione libera

• fase adiabatica (o di Sedov)

• fase di spazzaneve

Inizialmente, finche la massa totale del mezzo interstellare raccolta Ms e molto mi-nore della massa eiettata, l’espansione procede liberamente, con velocita v data daE $Mejv2/2.

E’ a questo punto che si deve formare un’onda d’urto poiche, per tipici parametristellari, la velocita di espansione v $ 104 km/s e molto maggiore della velocita delsuono nel mezzo interstellare: per temperature tipiche, T $ 104 K, cs $ 10 km/s.

L’onda d’urto che si forma e seguita dal materiale che ha attraversato l’ondad’urto stessa, e questo a sua volta e seguito dal materiale eiettato dalla SN. Questedue componenti sono in equilibrio di pressione, ma la superficie che le separa rap-presenta una discontinuita di contatto che e instabile. Ne segue che il materialepassato attraverso lo shock e quello eiettato daranno origine a forti moti turbolentiche li mischiano.

La fase di espansione libera cessa quando la massa di mezzo interstellare raccoltadiventa comparabile alla massa eiettata, e cioe quando:

4

3"%R3

s = Ms = Mej + Rs =

!3Mej

4"%

"1/3

(2.2)

dove Rs e il valore del raggio dello shock quando si ha l’uguaglianza delle masse.Quindi dopo un tempo T (tempo di Sedov) pari a:

Ts =Rs

v=

!3Mej

4"%

"1/3 !2ESN

Mej

""1/2

= 0.439E"1/251 M5/6

ej %"1/3 = 186E"1/251 M5/6

ej%n"1/3H , (2.3)

19

lo shock comincera a rallentare (sono stati indicati con E51 l’energia della materiaespulsa in unita di 1051 erg, con Mej% la massa espulsa in unita di massa solare econ nH la densita in numero di particelle dell’ISM).

Assumendo Mej = 1.4M%, nH = 0.3cm"3 e E51 = 1 si avra un tempo di Sedovpari a " 300 anni, ovvero all’incirca il tempo che ci separa dalla SN di tipo Iaosservata da Tycho Brahe nel 1572.

Nella fase che segue quella dell’espansione libera si puo idealizzare l’esplosionedella SN come quella di un mezzo che conservi l’energia totale, proprio per il fattoche il gas che ha appena subito lo shock non riesce ad irradiare velocemente la suaenergia interna; la situazione e quindi descritta dalla soluzione di Sedov, per cuivalgono le seguenti relazioni:

Rs ' t2/5, u1 ' t"3/5, (2.4)

ovvero lo shock rallenta al passare del tempo.Le shells piu esterne della sfera in espansione decelerano prima, e quindi la den-

sita di materia aumenta proprio al bordo della sfera stessa; durante la decelerazione,quindi, si formera un’onda d’urto che si propaga all’indietro nel materiale.

A questo punto la struttura della SNR e cosı composta: la zona centrale e inespansione libera, poi il reverse shock separa il materiale in espansione libera daquello che gia si muove secondo la soluzione di Sedov (e cioe sta rallentando), e,infine, il materiale che deve ancora attraversare lo shock.

L’onda d’urto interna si propaga all’indietro attraverso il gas in espansione riscal-dandolo; quindi mentre nella fase iniziale l’energia cinetica dell’espansione venivatrasferita alla materia spazzata, nella fase di decelerazione l’energia cinetica vieneanche trasmessa al gas espulso. Tutto questo risulta nell’emissione X che si osservada molte SNR.

Quando la perdita di energia per radiazione diventa importante, l’espansionedella SNR non puo piu seguire la soluzione di Sedov, ma procede emettendo in varierighe; per bilanciare la diminuzione della temperatura del gas si avra quindi unacompressione della materia in uno strato immediatamente dopo lo shock (fase dellospazzaneve).

Successivamente la veocita dell’espansione diventera subsonica e la SNR perdela sua identita.

2.1.2 Accelerazione in Supernovae

Riguardo al caso dell’accelerazione di raggi cosmici, applichiamo il meccanismodi accelerazione da shock descritto nel capitolo 1 alla fase di Sedov dell’esplosionedi supernova; per capire quale energia massima possono raggiungere le particelleaccelerate nelle onde d’urto dobbiamo confrontare il tempo di di"usione (riportatoin appendice A) delle particelle con il tempo di vita della regione accelerante, im-pondendo che il tempo di di"usione sia minore.

20

Nel caso dell’accelerazione in resti di supernovae si puo utilizzare il coe!cientedi di"usione alla Bohm che ha validita locale:

DB =1

3+rL = 1022B"1

µ EGeV cm2/s = D0EGeV (2.5)

dove Bµ e la componente regolare del campo magnetico galattico (| !B| = 3µG)ottenendo un limite per l’energia massima:

Emax =u2T

D0GeV. (2.6)

Il tempo T da sostituire nell’equazione sopra e proprio il tempo di Sedov Ts cioe iltempo dopo cui la velocita dell’onda d’uto comincia a diminuire.

Avendo tempi di vita dei resti di supernovae dell’ordine di 103 anni e velocitatipiche dell’espansione pari a 104 km/s si puo vedere che l’energia massima raggiun-gibile in questi siti di accelerazione e di circa 1015 eV per i protoni; per i nuclei piupesanti l’energia massima sara piu alta, in quanto DB ' 1/Z e quindi Emax ' Z:nel caso di nuclei di Ferro si possono raggiungere energie di 1017 eV.

Oltre queste energie cominciano a dominare lo spettro i protoni extragalattici.

2.2 Nuclei galattici attivi

I nuclei galattici attivi (AGN) sono da lungo tempo considerati possibili siti perla produzione di particelle energetiche, dove protoni e nuclei potrebbero essere ac-celerati fino alle piu alte energie misurate.

In questa sezione si riportano le caratteristiche degli AGN, iniziando dalle loroclassificazioni ([5]), e si descrivono le teorie che applicano il meccanismo dell’accel-erazione da shock ai jets presenti in questi oggetti.

Pur avendo nomi e caratteristiche spettrali diverse, i nuclei galattici attivi, comeevidenziato dalla teoria di unificazione degli AGN (sezione 2.2.1), sono galassie conal centro un buco nero supermassivo; le classificazioni, come verra specificato meglioin seguito, sono basate sull’orientazione dell’AGN rispetto alla linea di vista.

Galassie di tipo Seyfert

La definizione originaria della classe (Seyfert, 1943) era basata su considerazionimorfologiche; attualmente l’identificazione di galassie di questo tipo avviene grazieall’identificazione della presenza di forti righe di emissione.

Le Seyfert sono state poi divise in due sottoclassi (Khachikian & Weedman,1974). Nello spettro delle galassie di tipo Seyfert 1 (Sy1) e presente una forte emis-sione continua dall’infrarosso all’X, mentre per quanto riguarda le righe di emissione,se ne osservano due set sovrapposti: uno di questi e caratteristico di un gas ionizzato

21

Figura 2.2: Spettro ottico della galassia Seyfert 1 NGC 1275.

a bassa densita e le righe si identificano come righe ‘strette’; l’altro set e costituitoinvece da righe di emissione piu larghe.

Le galassie di tipo Sy2 di"eriscono dalle prime perche nello spettro la compo-nente continua e piu debole e sono presenti solo righe strette.

Successivamente Osterbrock (1981) ha diviso le Sy1 in cinque sottoguppi, sullabase della presenza o meno di righe di Balmer: Sy1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 1.9.

Le Sy1.0 sono i membri tipici della classe, mentre per esempio le Sy1.5 sono con-siderate oggetti intermedi tra le tipiche Sy1 e Sy2, poiche l’intensita delle componen-ti larghe e confrontabile con quella delle righe strette nel profilo H'. I sottogruppiSy1.2 e 1.8 sono utilizzati per descrivere oggetti con righe H' rispettivamente piudeboli o piu forti, che quindi nella classificazione sono intermedi tra Sy1.0 e 1.5,Sy1.5 e 2, rispettivamente. Nelle Sy1.9 la componente larga e visibile solo nella rigaH* e non nelle righe di Balmer di ordine piu alto.

Nella 12a edizione del catalogo di nuclei attivi e quasars ([6]) di Veron-Cetty &Veron (VCV) da noi utilizzato e stato adottata la classificazione introdotta da Win-kler (1992), che si basa sul rapporto R tra l’intensita delle righe H' e [OIII]+5007:

• Sy1.0 5.0<R

• Sy1.2 2.0<R<5.0

• Sy1.5 0.33<R<2.0

• Sy1.8 R<0.33 righe larghe visibili nei profili H* e H'

22

• Sy1.9 righe larghe visibili in H* ma non in H'

• Sy2 righe larghe non visibili

Quasars

I Quasar (Quasi Stellar Radio Source) comprendono la sottoclasse piu luminosadegli AGN, con magnitudini assolute M < %23; si distinguono dalle Seyfert per ilfatto che non si risolvono spazialmente, e gli spettri evidenziano delle righe strettepiu deboli che nelle Seyfert.

BL Lac e OVV

Esiste un piccolo sottogruppo di AGN che mostra rapide e ampie variazioni nelflusso (per esempio variazioni di magnitudine #m $ 0.1 su tempi scala di un giorno);questi oggetti vengono classificati come OVV (Optically Violent Variables).

Alcune delle proprieta delle OVV vengono condivise con le BL Lac, chiamatecosı dal nome di quello che si considera il prototipo di questa classe, BL Lacertae,che era stato originariamente identificato come una stella variabile. Le BL Lac sidistinguono dalle OVV per l’assenza di forti righe di emissione o assorbimento.

Si pensa che entrambi questi tipi di oggetti siano AGN con una componenterelativistica direzionata vicino alla linea di vista; ci si riferisce a questi oggetti anchecon il nome di blazar. Tutti i blazar noti sono anche sorgenti radio.

Radio Galassie

La classificazione degli AGN puo essere rivista anche considerando un altro im-portante tipo di emissione: l’emissione Radio. Studiando la morfologia delle osser-vazioni nel radio, sono state fatte delle classificazioni (Fanaro" & Riley) misurandoil rapporto R tra la distanza tra i due punti piu luminosi e le dimensioni totali del-l’immagine radio.In questa classificazione si dividono quindi le galassie in cui dominano le emissioni

radio di lobi uscenti dal nucleo (FR II) da quelle in cui sono presenti dei getti lumi-nosi piu stretti (FR I).

Analizzando gli spettri ottici di queste galassie, vengono ridenominate BLRG(radio galassie con righe di emissione larghe) e NLRG (radio galassie con righe diemissione strette), ovvero la controparte radio delle galassie Seyfert di tipo 1 e 2rispettivamente.

LINERs

Si puo avere una ulteriore classificazione a parte per una classe di galassie con re-gioni a bassa ionizzazione (Low-Ionization Nuclear Emission-line Region); dal puntodi vista spettroscopico, anche questi oggetti possono rientrare nella classificazione

23

Figura 2.3: Immagine radio della galassia attiva Cygnus A, classificata come FR II.

Figura 2.4: Spettro ottico della galassia Seyfert 2 NGC 1358 a confronto con spettri di altrinuclei galattici attivi.

delle Sy2, ma la particolarita che le accomuna consiste nell’intensita di alcune righe([O I] e [N II]).

Markarian Galaxies

In letteratura e possibile trovare oggetti classificati come galassie di tipo Markar-ian, da una raccolta di osservazioni fatte per identificare oggetti con un eccesso diemissione nell’UV. E’ stato successivamente stimato che circa l’11% di queste galassienel catalogo Markarian sono Seyfert, il 2% sono Quasar e BL Lac e le rimanenti sonogalassie normali.

24

Figura 2.5: Sezione di un AGN con rappresentazione dell’emissione UV e X.

2.2.1 Unificazione degli AGN

La teoria di unificazione degli AGN ([7]) si basa sul fatto che le proprieta os-servate negli spettri, e quindi la classificazione che ne deriva, dipendono dall’orien-tazione dell’oggetto rispetto all’osservatore. In particolare, nel caso delle Seyfert,la di"erenza nella classificazione sarebbe dovuta al fatto che la linea di vista nelladirezione del buco nero centrale intercetti o meno una struttura di forma toroidalecomposta di gas e polveri, che assorbirebbe la radiazione X emessa dal disco dellagalassia.

Inoltre alcuni AGN emettono fortemente nel radio, e le immagini di questi ogget-ti in tali lunghezze d’onda mostrano dei jets molto luminosi; la classificazione dei BLLac come oggetti fortemente variabili dovrebbe quindi dipendere proprio dal fattoche la linea di vista intercetta il jet relativistico dell’AGN.

Secondo la teoria di unificazione degli AGN, al centro di tali oggetti si dovrebbetrovare un buco nero di 106 ÷ 1010M%, circondato da un disco di accrescimento.

Questa struttura e formata da gas e polveri della galassia che si trovano nellaregione del buco nero; la materia in caduta assume un’orbita circolare attorno adesso. A questo punto entrano in gioco le forze viscose che redistribuiscono il mo-mento angolare facendo sı che la materia piu vicina al buco nero centrale diminuiscail momento angolare in modo da cadere nel buco nero.

L’emissione che si osserva provenire dal disco e dovuta proprio alla materia incaduta; infatti mentre meta dell’energia potenziale si trasforma in energia termicae il gas viene riscaldato, l’altra meta viene irradiata. Si deve inoltre tenere contodell’energia dissipata nel disco dalle forze viscose.

L’emissione risultante si avra nella regione dello spettro corrispondente allelunghezze d’onda dell’ottico e dell’UV; si osservano inoltre emissioni nella bandaX, che si pensa siano dovute all’interazione dei fotoni UV dal disco con elettroni piuenergetici presenti nella materia circostante attraverso il Compton inverso.

I fotoni X uscenti dallo scattering Compton vengono emessi in maniera isotropa;una parte di questi fotoni arrivera dunque all’osservatore costituendo la parte con-

25

Figura 2.6: Rappresentazione schematica della teoria di unificazione degli AGN

tinua dello spettro X.I fotoni che investono nuovamente il disco potranno subire diversi processi, tra

cui l’assorbimento fotoelettrico se hanno energie < 10 keV, un nuovo scatteringCompton, oppure possono essere assorbiti e successivamente emettere grazie al pro-cesso della fluorescenza.

La riga K* del Fe a 6.4 keV e la piu forte di queste righe di emissione; studian-do il profilo di questa riga e possibile avere informazioni sulla geometria e su altreproprieta del disco di accrescimento nelle zone piu interne vicine al buco nero.

Sono presenti inoltre delle nubi di materia, sedi dell’emissione di righe ‘larghe’ o‘strette’ (Broad Line Regions, Narrow Line Regions).

La struttura toroidale descritta sopra potrebbe quindi nascondere, da alcunedirezioni, le Broad Line Regions, per cui lo spettro che risulta dalle osservazionipossiede solo righe ‘strette’ e l’oggetto viene classificato come Sy2. Se invece l’assedi rotazione dell’AGN e in linea con il punto di osservazione, la regione del toro nonoscurera le Broad Line Regions, quindi l’oggetto viene classificato come Sy1.

I jets che si osservano in alcuni AGN sono probabilmente associati a shock

26

relativistici che, come discusso precedentemente, si possono considerare sede diaccelerazione di raggi cosmici.

2.2.2 Accelerazione in AGN

L’ipotesi dei nuclei galattici attivi come sorgenti di raggi cosmici e sostenuta dalfatto che in questi oggetti e disponibile un enorme quantitativo di energia grazieall’accrescimento della materia attorno al buco nero centrale.

Al momento attuale non esiste peo una conoscenza approfondita degli AGN dalpunto di vista dell’accelerazione. Sono stati infatti proposti diversi meccanismi cheutilizzano diverse regioni e proprieta di questi oggetti per accelerare raggi cosmici;in questa sezione analizzeremo alcune delle teorie attuali, ma come si potra vedere iprocedimenti utilizzati per stimare il parametro che ci interessera in seguito, ovverol’energia massima di accelerazione dei raggi cosmici in questi siti, sono molteplici enon si puo definire con certezza un valore univoco per l’energia massima. Discuter-emo il meccanismo dell’accelerazione da shock nei getti delle galassie radio e unmeccanismo alternativo all’accelerazione da shock basato sul campo elettrico ([14]).

In particolare, nell’ambito dell’accelerazione da shock sono state proposte diverseregioni dell’AGN in cui puo avvenire il meccanismo; nel seguente paragrafo si anal-izza il caso dell’accelerazione in hot spots, ovvero nelle zone finali dei radio lobi dialcune galassie radio ([12]).

Si parla inoltre della radio galassia denominata Centaurus A, dove l’accelerazionepotrebbe avvvenire proprio nei radio lobi; in questo caso e possibile fornire un valoreper l’energia massima dei protoni iniettati nello spazio intergalattico ([13]).

Accelerazione in hot spots

Gli hot spots nelle radio galassie fortemente estese (galassie FR II) sono identi-ficati come le parti finali dei getti espulsi dai nuclei delle galassie stesse nel mezzoextragalattico; lo spettro di emissione radio puo essere spiegato come radiazione disincrotrone da particelle accelerate in shock forti tramite il meccanismo dell’accel-erazione di Fermi al I ordine.

La restrizione alla classe delle FR II come acceleratori di raggi cosmici e dovutaal fatto che particelle cariche altamente energetiche prodotte all’interno di strutturegalattiche risentiranno di sostanziali perdite adiabatiche di energia nel loro motoverso il mezzo extragalattico; questo problema si puo applicare a molte possibilisorgenti di raggi cosmici ma non alle macchie calde delle FR II, dal momento chequeste sono posizionate sulla zona finale dei radio lobi estesi e le particelle possonofacilmente passare nel mezzo extragalattico.

Protoni e altri nuclei piu pesanti possono essere accelerati in onde d’urto; questinuclei energetici hanno perdite di energia abbastanza basse e si possono quindiconsiderare i primi messaggeri della transizione in arrivo nella zona upstream.

27

Figura 2.7: Spettro dell’emissione di sincrotrone; x = !/!c, con !c frequenza di cut-o!dell’emissione.

Il moto relativistico del jet comporta la formazione di un’onda di shock in zonein cui un ostacolo o una perturbazione del flusso crea un improvviso salto di velocita.Lo shock piu forte e solitamente quello che si forma proprio alla superficie finale deljet.

Analizziamo quindi la produzione di particelle di alta energia nelle superfici finalidi getti in oggetti extragalattici; in generale, quando si ha uno shock, il meccanismodi accelerazione che ha luogo e l’accelerazione di Fermi al primo ordine.

Sia per gli elettroni che per i protoni il tempo in cui una particella di"onde, cioela durata di un ciclo del meccanismo di accelerazione, si puo definire come:

tdiff = -D

u2jet

(2.7)

dove ujet e la velocita del getto e - = 3(r2 + r)/(r%1) (r e il fattore di compressionedello shock).

Scriviamo il coe!ciente di di"usione D nella forma generale, come riportato inAppendice A:

D =1

3lcv

!rL

lc

"2"%

(2.8)

dove lc e la scala massima della turbolenza del campo magnetico, rL il raggio diLarmor della particella e v la sua velocita; con * e indicato invece l’indice spettraledello spettro di turbolenza (* = 5/3 per la teoria di Kolmogorov e 3/2 per quella diKraichnan).

E’ utile in questo caso inserire nel coe!ciente di di"usione un contributo chetenga conto della forza della turbolenza; scriviamo &T in questo modo:

&T =,.B2-

B20 + ,.B2- , (2.9)

28

dove B0 e .B sono rispettivamente la parte imperturbata e la parte turbolenta delcampo magnetico. Si avra che 0 # &T # 1 e il coe!ciente di di"usione per shockparalleli (cioe il campo magnetico e parallelo alla normale allo shock) si puo scriverequindi:

D =1

3

lcc

&T

!rL

lc

"2"%

, (2.10)

dove abbiamo gia preso la velocita della particella v $ c.

Le osservazioni radio forniscono, come detto precedentemente, uno spettro chesuggerisce che la radiazione e dovuta all’emissione di sincrotrone di particelle accel-erate; il meccanismo di emissione da parte degli elettroni risulta essere piu e!cienterispetto all’emissione di sincrotrone da protoni in quanto la potenza di emissione eP ' m"2.

Lo spettro radio che si osserva si riferisce quindi all’emissione da parte di elet-troni; cerchiamo quindi di capire quale possa essere l’energia massima a cui possonoessere accelerati gli elettroni nell’onda d’urto considerando le perdite di energiadovute all’emissione, per trarre informazioni utili sull’energia massima raggiungibiledai raggi cosmici.

Confrontando il tempo scala dell’accelerazione di Fermi al I ordine con il temposcala di sincrotrone si puo calcolare l’energia massima alla quale vengono acceleratigli elettroni nello shock finale del jet.Imponiamo quindi che il tempo scala dell’emissione di sincrotrone dato da:

tsync =E

Psync, Psync =

4

3/T c

#v

c

$$2)B, (2.11)

dove )B e la densita di energia del campo magnetico e /T la sezione d’urto Thomsonper l’elettrone, superi la durata di un ciclo di accelerazione. Otteneniamo:

)e,max = 9.6! 104

!&T '2

jet

-

"3/4 !B

0.1mG

""5/4 !lc

1kpc

""1/2

GeV (2.12)

dove 'jet = ujet/c. Nei calcoli qui riportati si utilizza il valore * = 5/3 (Kolmogorov),in quanto in questo caso D ' E1/3.

In corrispondenza dell’energia massima dell’elettrone sappiamo che lo spettrodi sincrotrone mostra un massimo dopo il quale lo spettro viene esponenzialmentetagliato; la frequenza corrispondente al cut-o" sara:

h,c = 16.8

!&T '2

jet

-

"3/2 !B

0.1mG

""3/2 !lc

1kpc

""1

keV (2.13)

che corrisponde ai fotoni a piu alta energia prodotti dagli elettroni relativistici at-traverso il meccanismo di sincrotrone.

29

Il cut-o" dello spettro dipende in questo modello da quantita che riguardano lahot spot; immaginando il caso di shock forte (- = 20) con velocita del jet pari a0.2÷0.5c e con la scala massima di turbolenza lc comparabile con le dimensioni dellahot spot (10"1 ÷ 1kpc), si ottengono valori del cut-o" di sincrotrone pari a 1÷ 100eV !(&T /B0.1)3/2.

Da questo risultato si vede quindi che il livello di turbolenza e il campo magneti-co sono i parametri piu importanti per delimitare l’energia di cut-o" del sincrotrone;da notare che minore e il campo magnetico, maggiore sara l’energia di cut-o".

L’informazione fornita dallo spettro degli elettroni deve essere ora utilizzata perstimare l’energia massima dei protoni accelerati nelle stesse onde d’urto; contrari-amente agli elettroni il meccanismo principale di perdita di energia e la fuga delleparticelle dalla macchia calda.

In generale, il tempo di fuga di una particella da una regione asimmetrica e datoda:

tesc = mink

!L2

k

4Dk

"(2.14)

dove l’indice k sta per le dimensioni dell’oggetto nelle varie direzioni. Considerandole hot spots, prendiamo le stesse dimensioni LHS in ogni direzione e quindi: tesc =mink(L2

HS/4Dk); eguagliando i tempi scala dell’accelerazione di Fermi al I ordine equello di fuga dalla regione accelerante si trova l’energia massima che i raggi cosmicipossono raggiungere:

)CR,max

Z1021eV= 1.53

!&T '2

jet

-1/2

"3 !B

0.1mG

"!lc

1kpc

"!LHS

lc

"3

(2.15)

Da questa espressione si vede che anche in questo caso l’energia massima raggiungi-bile puo essere scritta in termini di quantita che riguardano le caratteristiche dellahot spots, cosı come e stato fatto per l’energia massima degli elettroni e per la fre-quenza di cut-o".

Essendo nota quindi la frequenza di cut-o" dell’emissione di sincrotrone deglielettroni, il valore dell’energia massima dei raggi cosmici si puo riscrivere:

)CR,max

Z1021eV= 1.53

!h,c

16.8keV

"2 !-3/2

'3jet

"!B

0.1mG

"4 !LHS

1kpc

"3

(2.16)

In questo modo le relazioni trovate sono indipendenti dalle caratteristiche localidella turbolenza (&T o lc); la misura dell’intensita del campo magnetico e moltoimportante poiche, insieme al cut-o" osservato del sincrotrone da una stima direttadell’energia massima raggiungibile, sempre che si abbia un’idea della velocita del jet.

La conclusione principale e che i migliori candidati per l’accelerazione di raggicosmici sono galassie radio con hot spots estese (LHS & 1 kpc) in cui siano presenticampi magnetici molto alti (B & 0.1 mG); l’energia di cut-o" per l’emissione disincrotrone deve essere almeno nella banda ottica.

30

Il caso migliore e quello della galassia radio 3C 273 A, una galassia a redshift z =0.158, che mostra un’energia di cut-o" pari a 1.74 eV e valori osservativi di campomagnetico e velocita del getto pari rispettivamente a 0.35 mG e 0.27c; prendendoinoltre - = 20 e LHS = 1.9 kpc si ottiene )CR,max " 7! 1019 eV.

In questa teoria la radiazione di sincrotrone emessa dagli elettroni relativistici ela principale fonte di informazioni che abbiamo sulle particelle relativistiche nei jets;la luminosita totale proveniente dall’emissione di sincrotrone ci permette di averedelle stime sulla densita di energia trasportata da protoni e elettroni e dal campomagnetico.

In ogni caso l’incognita che rimane e l’e!cienza della conversione della potenzadel jet in densita di energia di nuclei relativistici.

L’applicazione del ‘classico’ meccanismo di accelerazione da shock alla produzionedi particelle UHE nei jets extragalattici incontra pero alcune di!colta; a causa delleridotte dimensioni spaziali della hot spot, la fuga delle particelle dovuta alla di"u-sione puo costituire un limite per il raggiungimento di energie oltre 1020 eV.

Inoltre la presenza di eventuali campi magnetici obliqui rispetto alla normale alloshock potrebbero contribuire all’aumento del numero di particelle che fuoriesconodalla regione accelerante causando dei moti di deriva lungo la superficie dello shock.

E’ stato osservato che anche una discontinuita tangenziale del campo di velocitapuo costituire un e!ciente sito si accelerazione di raggi cosmici se la di"erenza trale velocita e relativistica e e presente una turbolenza su entrambi i fronti [11].

Centaurus A

Centaurus A e una sorgente radio estremamente potente identificata nella bandaottica con la galassia NGC 5128; e la galassia radio piu vicina (3.5 Mpc). Osser-vazioni radio in diverse lunghezze d’onda mostrano una struttura composta da uncore compatto, un jet e alcuni lobi esterni e interni; questa morfologia suggerisce laclassificazione di questo oggetto come galassia radio attiva con un jet che forma unpiccolo angolo con la linea di vista.

Il jet e responsabile della formazione dei lobi radio denominati Northern MiddleLobe e Northern Inner Lobe interagendo rispettivamente con il mezzo intergalatticoe con quello interstellare; in particolare il Northern Middle Lobe puo essere consid-erato come la zona in cui vengono prodotti forti shocks dalle collisioni del plasma,cioe si puo vedere come una ‘macchia’ piu calda della galassia.

L’accelerazione di particelle nella ‘macchia’ e il risultato dei ripetuti scatteringsavanti e indietro attraverso il fronte dello shock in un campo magnetico turbolento.

Il processo di accelerazione sara e!ciente finche non diventano dominanti leperdite di energia per emissione di sincrotrone e per interazioni p$.

31

Il tempo scala dell’accelerazione puo essere scritto in questo modo [13]:

Ep

!dEp

dt

""1

ACC

$ 40

"c'"2

jetuL2/3HS

Ep

eB, (2.17)

dove 'jet e la velocita del getto, u e il rapporto tra la densita di energia del campomagnetico turbolento e la densita del campo magnetico regolare nella hot spot (diraggio LHS) e B e l’intensita del campo magnetico totale.

I protoni piu energetici iniettati nel mezzo intergalattico avranno un’energia chesi puo stimare bilanciando le perdite di energia e i guadagni; il tempo scala delleperdite di energia per interazioni p$ si stima essere:

Ep

!dEp

dt

""1

LOSS

$6"m4

pc3

/T m2eB

2(1 + aA)E"1

p , (2.18)

dove a sta per il rapporto tra la densita di energia in fotoni e la densita di energia delcampo magnetico, /T e la sezione d’urto Thomson e A da la misura dell’importanzadelle interazioni p$ rispetto all’emissione di sincrotrone (e stato stimato A " 200).

Si trova quindi

Ep,max = 103 c e1/4'3/2jet

!u

/T

"3/4 m2p

m3/2e

L"1/2HS B"5/4(1 + aA)"3/4 MeV. (2.19)

Nel caso di Cen A si puo stimare u dall’indice spettrale dell’emissione di sin-crotrone nel Northern Middle Lobe e si ottiene u $ 0.4; e possibile inoltre misuraredirettamente le dimensioni della hot spot dalla mappa radio della galassia trovandoLHS " 1.75 kpc.

Il campo magnetico totale B e dell’ordine di 50µG, mentre per 'jet si assume 0.3,valore tipico trovato per altre sorgenti simili; con questi valori l’energia massima deiprotoni iniettati nello spazio intergalattico e di circa 2.7! 1021 eV.

Per questa sorgente e stato inoltre possibile dedurre l’indice della legge di poten-za dello spettro dalle osservazioni alle varie lunghezze d’onda dela radiazione disincrotrone prodotta dalla componente leptonica delle particelle accelerate (p = 2.2).

Accelerazione induttiva

Il processo di di"usione finora considerato per l’accelerazione di raggi cosmiciconsiste nella di"usione della particella non termica a causa del campo magnetico;ipotesi alternative per l’accelerazione di UHECR nei jets di galassie attive prendonoinvece in considerazione il campo elettrico iduttivo.

Il modello qui riassunto presenta alcune similitudini con la teoria dell’accel-erazione da shock in onde d’urto non parallele; se infatti il campo magnetico none esattamente parallelo alla direzione di moto dello shock puo esistere un campoelettrico parallelo alla superficie. Non e detto, pero, che l’origine del campo elettrico

32

sia sempre dovuta alla presenza di un’onda d’urto.In ambito astrofisico, ci aspettiamo comunque che i campi elettrici non contino

piu dei campi magnetici. In questo contesto il rate di accelerazione piu alto possibilee dato dall’inverso della frequenza di Larmor, " $/Z0B, dove Z e la carica dellaparticella e 0B = eB/mc.

Se si parametrizza il campo elettrico E in modo che E = '0B e se la regione accel-erante ha dimensioni tipiche R, il potenziale disponibile e dato da & " RE " '0RBe l’energia di una particella che attraversi questo potenziale:

E = Ze'0BR. (2.20)

Il fatto che '0 " 1 implica che il raggio di Larmor della particella sia minore diR; quindi in questo caso il sistema sarebbe in grado di accelerare particelle finoall’energia massima con cui puo confinarle. Essendo BR una misura della correntetotale nel sistema, l’equazione sopra puo essere riscritta in questo modo (assumendo'0 " 1):

& = '02I

c; (2.21)

questo determina il potenziale elettrico massimo e la corrispondente energia E =Ze& alla quale un sistema che trasporti una corrente I puo accelerare delle particelle.

Analizziamo il flusso di Poynting nel sistema; poiche la luminosita di Poyntingnon puo essere maggiore della luminosita totale di una data sorgente, e assumendoun’espansione sferica troviamo:

L = 4"R2 1 + *

*

EB

4"c " 1 + *

*R2B2'0c =

1 + *

*

1

'012c, (2.22)

dove * e il rapporto tra il flusso di Poynting e il flusso di particelle.A questo punto, assumendo '0 " 1,

L =1 + *

*I&. (2.23)

L’equazione sopra mette in relazione il potenziale massimo disponibile alla lumi-nosita della sorgente; assumendo che gli UHECR siano protoni, si possono se-lezionare possibili candidati per l’accelerazione di UHECR in base alla loro lumi-nosita: per raggiungere 3! 1020 eV sono necessarie luminosita L & 1046 erg/s.

Da qui si puo ipotizzare che possibili sorgenti di UHECR siano rappresentate daradio-galassie di tipo FR I e FR II, quasars che emettono nel radio e Gamma RayBursts.

Un’altra richiesta che il sito di accelerazione deve soddisfare e che le perdite ra-diative della particella non dovrebbero degradare l’energia della stessa; si possonoderivare dei limiti sulla possibile collocazione dell’accelerazione di raggi cosmici dal

33

bilanciamento dell’accelerazione piu e!ciente (E " B) e delle perdite radiative.Confrontando il tasso massimo di guadagno di energia con le perdite radiative

si puo quindi ottenere una seconda richiesta sul sito di accelerazione di particelle; sitrovano infatti dei valori limite per il campo magnetico e le dimensioni della regioneaccelerante.

Da qui si trova che i raggi cosmici a energie piu alte vengono accelerati meglio agrandi distanze; i jets degli AGN, che si propagano per distanze di piu di 100 kpc,sono quindi da considerarsi possibili siti di accelerazione.

Inoltre ha che finche il jet rimane relativistico, il potenziale induttivo e approssi-mativamente conservato, quindi la particella puo essere accelerata anche dopo uncerto tempo, senza che la sua energia sia sostanzialmente dissipata.

Dunque gli UHECR possono essere accelerati all’interno del jet a distanze difrazioni di parsec fino a centinaia di kpc, finche il jet rimane relativistico e possiedeun grande potenziale induttivo.

34

Capitolo 3

Propagazione di raggi cosmici

In questo capitolo si analizza la propagazione dei raggi cosmici dalla sorgentefino alla rivelazione; si parla inizialmente delle varie perdite di energia che subisconoi protoni, per poi spiegare come queste contribuiscano a determinare la forma dellospettro in energia, insieme all’iniezione.

Si riportano inoltre i procedimenti per il calcolo del flusso da una singola sor-gente e da una distribuzione di sorgenti, considerando il contributo dell’espansionedell’universo sull’espressione del flusso.

Queste formule verranno poi richiamate nell’ultimo capitolo per il calcolo delflusso da un insieme di sorgenti discrete (come somma di flussi da singole sorgenti)e da una distribuzione omogenea di sorgenti.

3.1 Perdite di energia

La perdita di energia da parte di protoni energie oltre 1018 eV e dominata daiseguenti processi:

• Perdita adiabatica di energia per espansione dell’universo;

• Interazione con la radiazione cosmica di fondo (CMBR).

Nel caso della perdita adiabatica di energia si avra:

% 1

E

dE

dt= H0 (3.1)

con H0 = 7.7! 10"11y"1.

Le perdite di energia continue di protoni UHE per unita di tempo dovute alleinterazioni con fotoni a bassa energia sono date da ([17]):

% 1

E

dE

dt=

c

2$2

#/

#th

d)r/()r)f()r))r

#/

#r/2!

d)n&())

)2, (3.2)

35

-12

-11

-10

-9

-8

-7

17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21

log[β

(y-1

)]

log[E (eV)]

Perdite di energia dei protoni

pair production e π productionperdite adiabatiche

Figura 3.1: Perdite di energia dei protoni a z = 0; la linea tratteggiata rappresenta leperdite adiabatiche.

dove $ e il fattore di Lorentz del protone di energia E, )r l’energia del fotone difondo nel sistema di riferimento in cui il protone e a riposo, )th la soglia dellareazione considerata (sempre nel riferimento in cui il protone e a riposo), /()r) lasezione d’urto, f()r) la frazione media di energia persa dal protone in una collisionep$ nel sistema del laboratorio e n&()) la densita dei fotoni di fondo.

Tale relazione, usando la n()) dei fotoni della CMBR (che hanno temperaturaT )

n()) =1

"2(!c)3

)2

exp()/kT )% 1(3.3)

diventa:

% 1

E

dE

dt=

ckT

2"2$2(!c)3

#/

#th

d)r/()r)f()r))r

0% ln

-1% exp

#% )r

2$T

$.1. (3.4)

L’interazione con la CMBR comportera delle perdite di energia dovute a creazionedi coppie:

p + $CMBR ( p + e+e" (3.5)

o a fotoproduzione di ":p + $CMBR ( N + " (3.6)

Analizziamo le energie di soglia dei due processi; nel caso della produzione di coppiasi ha:

(Ep + E&)2 % (!pp + !p&)

2 = (mp + 2me)2 (3.7)

36

ovvero

Ep =(mp + 2me)

2 %m2p

2E& (1% cos #)(3.8)

L’energia minima del protone per avere produzione di coppia si avra nel caso in cui# = ", per cui

Ethp (E& = kT, # = ") =

me

kT(me + mp) $

memp

kT$ 2.5! 1018eV. (3.9)

A energie E . memp

kT (ovvero quando la reazione avviene con i fotoni della CMBRche hanno energie piu alte, ) / kT ), la frazione di energia persa da un protone inuna collisione e la sezione d’urto sono determinati dai valori di soglia:

fth $2me

mp, /th $

"

12*r2

0

!)r

me% 2

"3

. (3.10)

Si puo quindi calcolare la perdita di energia:

!% 1

E

dE

dt

"

p e+e!=

16c

"

me

mp*r2

0

!kT

!c

"3 !$kT

mec2

"2

e"mec2

!kT , (3.11)

dove * = 1137 e r0 il raggio classico dell’elettrone.

A energie piu alte comincia a contribuire la reazione di fotoproduzione di ";analizziamo anche in questo caso l’energia di soglia del processo:

(Ep + E&)2 % (!pp + !p&)

2 = (mN + m')2 (3.12)

ovvero

Ep =(mN + m')2 %m2

p

2E& (1% cos #). (3.13)

Prendendo di nuovo # = ", E& = kT e mN = mp si trova l’energia di soglia:

Ethp (E& = kT, # = ") =

2mpm' + m2'

4kT$ 7! 1019eV. (3.14)

Anche in questo caso, per E . 2mpm#+m2#

4kT , i protoni interagiscono con i fotonia energie piu alte e quindi il processo e poco e!ciente; per le perdite di energiasaranno quindi anche qui dominanti i contributi di f()r) e /()r) intorno alla soglia)th:

fth =)r

mpc2

1 + m2#c4

2#rmpc2

1 + 2#rmpc2

, /th = /!()r % )0). (3.15)

Le perdite di energia dei protoni con energie minori di 3! 1020 eV si possono quindiapprossimare con: !

% 1

E

dE

dt

"

p'

=2

"2

(kT )3/!)20

c4!3mpe"

!02!kT , (3.16)

37

dove )0 = m'

#1 + m#

2mp

$e la soglia della reazione nel sistema di riferimento del

protone e /! $ 6.8 ! 10"36cm2/eV. A energie molto piu alte (E / 2mpm#+m2#

4kT ) lasezione d’urto diventa /()r) $ 10"28cm2 e f $ 0.5, quindi le perdite di energiasaranno:

% 1

E

dE

dt$ cf/n $ 1.8! 10"8y"1. (3.17)

Dobbiamo infine precisare che l’approssimazione di perdite continue di energiafatta inizialmente e giustificata dal fatto che le fluttuazioni nel processo di fotopro-duzione di " modificano debolmente lo spettro (con qualsiasi indice spettrale) finoalle energie che ci interessano (1021 eV).

3.1.1 Caratteristiche dell’interazione tra protoni e CMBR

E"etto GZK

La sezione d’urto della reazione di fotoproduzione di " vicino alla soglia ha un val-ore di circa 2!10"28 cm2, mentre la densita dei fotoni della CMBR e 400 fotoni cm"3;quindi una stima della lunghezza di interazione sara data da:

+ =1

%/$ 1025cm $ 5Mpc. (3.18)

La perdita di energia per un protone in una reazione di fotoproduzione di " e dicirca il 10%; da qui si puo vedere che protoni con energie iniziali dell’ordine di 1022

eV, dopo 50÷ 100 Mpc vanno sotto soglia. Per questo motivo, ad energie superioria EGZK $ 7 ! 1019 eV, si prevede una soppressione del flusso osservato (e"ettoGreisen-Zatsepin-Kuz’min).

Si avra quindi che il cut-o" GZK per una singola sorgente dipendera dalla dis-tanza della sorgente stessa. Per convenzione, la soppressione GZK si definisce, peril flusso da una distribuzione uniforme di sorgenti, come l’energia (4 ! 1019 eV) acui comincia il ripido aumento nelle perdite di energia; in corrispondenza a questovalore, la distanza a cui cominciano le perdite di energia per un protone a causadella fotoproduzione di " e data da (E"1dE/cdt)"1 $ 1.3! 103 Mpc.

Bump

Immaginiamo una sorgente di protoni UHE con uno spettro di"erenziale a leggedi potenza, a distanza r dalla terra; i protoni si propaghino inoltre in modo rettilineo,con un tempo di volo pari a 2 = r/c. L’energia dei protoni che hanno inizialmenteE > Eb (Eb energia di cut-o") diminuisce; poiche, al diminuire dell’energia, leperdite di energia per fotoproduzione di " si abbassano molto rapidamente, i protoninon verranno portati a energie troppo piu basse e a"olleranno quindi un intervallodi energie nei pressi di Eb. Questa ’gobba’ e ben visibile nello spettro di singolasorgente, se questo viene moltiplicato per un fattore E3, come si vede in figura 3.2.

38

1013

1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

1017 1018 1019 1020 1021

E3 J(E

), eV

2 m-2

s-1

energia osservata, eV

Flusso da singola sorgente

d=10Mpc3050

100200500

1000

Figura 3.2: Spettro di singole sorgenti a diverse distanze. I calcoli sono stati fatti conEmax = 1022 eV.

Dip

Mentre la forma del GZK risulta essere fortemente dipendente dal modello uti-lizzato, la forma del ‘dip’ non lo e; questa struttura e rappresentata dalla parte dellospettro compresa tra energie di " 1018 eV e " 4! 1019 eV. Per protoni con energieminori di " 4 ! 1019 eV, le perdite di energia sono dominate dalla produzione dicoppia; quindi i protoni che vanno a costituire questa parte dello spettro provengonoda distanze oltre 1000 Mpc.

Per distanze maggiori di questa, l’assunzione di universo uniforme e sicura-mente giustificata; possiamo infatti immaginare di vedere a queste distanze unadistribuzione uniforme di sorgenti.

Quindi ci possiamo aspettare che la forma dello spettro a energie minori di" 4! 1019 eV non sia influenzata dalla densita delle sorgenti, come si puo vedere infigura 3.3; per energie maggiori, i protoni che vanno a costituire questa parte dellospettro provengono da distanze minori di 1000 Mpc, quindi in questo caso l’assun-zione di distribuzione uniforme non puo essere altrettanto giustificata.

Inoltre la soppressione del flusso che da origine all’e"etto GZK e influenzata an-che dall’energia massima di accelerazione, e questi due fattori talvolta possono nonessere distinguibili.

Una discussione sull’e"etto combinato dei due fattori citati sara fornita nell’ul-timo capitolo.

39

Figura 3.3: Spettro di protoni da sorgenti discrete, collocate ai vertici di una griglia cubicaa diverse distanze d [18].

3.2 Evoluzione cosmologica

Riportiamo ora alcune informazioni sull’evoluzione cosmologica che ci servirannoin seguito per il calcolo del flusso di raggi cosmici da sorgenti poste a distanzecosmologiche.

La metrica che si puo utilizzare in un universo omogeneo e isotropo in espansionee quella di Robertson-Walker:

ds2 = dt2 % c2R2(t)

!dr2

1% kr2+ r2

%d#2 + sin2 #d12

&", (3.19)

dove le coordinate (t, r, #,1) sono co-moving; inoltre la coordinata r e adimensionalee 0 # r # 1 mentre il fattore di scala R(t), essendo l’universo spazialmente omogeneoe isotropo, dipende solo dal tempo e ha le dimensioni di una lunghezza. Il parametrok individua la curvatura dell’universo: k > 0 (% > 1) indica un universo chiuso,k < 0 (% < 1) un universo in continua espansione e k = 0 (% = 1) un universopiatto. Nel seguito si considerera sempre % = %m + %" = 1, quindi k = 0.

Studiando la propagazione della luce in un universo descritto dalla metrica diRW, si vede che se la sorgente emette un fotone con lunghezza d’onda +1 all’istantet1 che viene ricevuto con lunghezza d’onda +0 all’istante t0, vale la relazione:

+1

+0=

R(t1)

R(t0)(3.20)

Poiche la lunghezza d’onda del fotone che si osserva risulta aumentata, l’e"etto chesi ottiene e quello di un redshift, detto redshift cosmologico.Il parametro di redshift z e definito da:

z =#+

+0=

+0

+1% 1 (3.21)

40

e percio

1 + z =+0

+1=

R(t0)

R(t1). (3.22)

Consideriamo quindi una sorgente avente luminosita assoluta L (cioe la potenzatotale irraggiata nel proprio riferimento locale di quiete) e introduciamo la distanzadL in modo che sia:

d2L =

L

4"&, (3.23)

cioe si intende per dL la distanza che si ricaverebbe, per una sorgente di tale lumi-nosita, se valesse la geometria euclidea e la legge 1/r2 per l’intensita della luce (& eil flusso misurato); nel caso generale quindi dL non coincide con r.

Per esprimere dL in funzione di z si puo procedere nel seguente modo: poichenel caso delle sorgenti che stiamo considerando si ha che t0 non di"erisce molto dat1 (cioe le sorgenti che ci interessano sono oggetti gia formati), si puo sviluppare ilrapporto tra i fattori di scala cosmologici in serie di (t1 % t0):

R(t1)

R(t0)=

R(t0) + (t1 % t0)R(t0) + 12(t1 % t0)2R(t0) + . . .

R(t0)

$ 1 + H0 (t1 % t0) (3.24)

dove H0 e la costante di Hubble (H0 = R(t0)R(t0)

).Quindi nel caso generale la distanza dL diventa:

dL = R(t)r =R(t0)r

1 + z; (3.25)

Studiando ancora la propagazione radiale della luce (ds2 = 0) e avendo preso k = 0si ottiene la relazione che lega la distanza co-moving r al parametro di scala:

r =

t0/

t

cdt

R(t)=

0/

z

dzc

R(t0)(1 + z)

dt

dz; (3.26)

dunque

rR(t0) = c

0/

z

dzdt

dz(1 + z); (3.27)

Nel caso che stiamo considerando (% = %m + %" = 1) la quantita dtdz si scrive:

!dt

dz

""1

= %H0(1 + z)2

(1 + z)3%m + %" (3.28)

quindi, essendo zg il redshift della sorgente:

rR(t0) =c

H0

zg/

0

dz2(1 + z)3%m + %"

. (3.29)

41

3.3 Spettro degli UHECR

Si definisce Qinj(E) lo spettro di iniezione, ovvero il numero di particelle iniettatealla sorgente per unita di energia e nell’unita di tempo; la luminosita della sorgente(cioe l’energia emessa in raggi cosmici dalla sorgente nell’unita di tempo) sara dataquindi da:

LCR =

Emax/

Emin

dE E Qinj(E) (3.30)

dove con Emin e Emax si indicano le energie minima e massima dei raggi cosmici allasorgente; avendo preso lo spettro di iniezione con un andamento a legge di potenza,si puo normalizzare lo spettro dei raggi cosmici in termini della luminosita L0 dellasorgente:

Qinj(E) = Q0

!E

Emin

""&

=L0k($)

E2min

!E

Emin

""&

(3.31)

dove

k($) =

3 -ln

#EmaxEmin

$."1

$ = 2

$ % 2 $ > 2(3.32)

Quindi:Emax/

Emin

dE E Qinj(E) = L0. (3.33)

3.3.1 Spettro di singola sorgente

Prendiamo inizialmente una sorgente di CR posta a distanza r dall’osservatoree trascuriamo gli e"etti della cosmologia.

Vogliamo calcolare il flusso a terra di questa sorgente; per farlo dobbiamo consid-erare il numero di particelle che, per unita di energia, passano attraverso l’unita disuperficie nell’unita di tempo. Chiamando Eg l’energia con cui le particelle vengonoiniettate alla sorgente, il flusso a terra I(E, r) sara dato da:

I(E, r)dE =Q(Eg)

4"r2dEg (3.34)

e riscrivendolo per unita di angolo solido (J = 14'I) si ha:

J(E, r) =1

(4")2

Qinj(Eg(E, r))

r2

dEg(E, r)

dE(3.35)

Dobbiamo quindi trovare l’espressione di Eg (energia con cui la particella e stataprodotta) e della sua derivata rispetto a E (energia con cui la particella viene riv-elata a terra). Definiamo b(Eg) * dEg

dt * Eg'(Eg) e scriviamo quindi l’equazione

42

di"erenziale:dEg

dr=

1

c

dEg

dt=

1

cb(Eg) =

Eg

c'(Eg); (3.36)

risolvendo tale equazione con la condizione iniziale Eg(r = 0) = E si avra la funzioneEg(E, r).

Trascurando l’evoluzione cosmologica, la derivata di Eg si puo calcolare in questomodo:

dEg(E, r)

dE=

dEg(E, r)

dt

!dE

dt

""1

=b(Eg(E, r))

b(E)(3.37)

e lo spettro dei RC osservato a terra sara:

J(E, r) =1

(4")2

Qinj(Eg(E, r))

r2

b(Eg(E, r))

b(E)(3.38)

Spettro di singola sorgente posta a distanze cosmologiche

Analizziamo dunque il caso di una sorgente posta a distanza cosmologica, aventeredshift pari a zg e cerchiamo l’espressione del flusso osservato a terra. Dobbiamopero considerare il fatto che l’energia rivelata e indebolita, a causa dell’espansione,per e"etto del redshift cosmologico sui singoli fotoni; questo ridurra il flusso per unfattore 1 + z, quindi l’espressione sara:

I(E, zg)dE =Q(Eg)

(1 + zg)4"(R(t0)r)2dEg (3.39)

e il flusso per unita di angolo solido:

J(E, z) =1

(4")2

Qinj(Eg(E, z))

(1 + z)(R(t0)r)2

dEg(E, z)

dE. (3.40)

Per calcolare il flusso dobbiamo ora considerare le perdite di energia; analizziamoinnanzitutto l’interazione con la CMBR osservando che la densita e l’energia deifotoni della CMBR aumentano con il redshift in questo modo:

n( (1 + z)3n

E ( (1 + z)E (3.41)

e che quindi le perdite di energia possono essere valutate a qualsiasi z:

' ( (1 + z)3'; (3.42)

percio se '0(E) sono le perdite di energia a z = 0 segue che:

'(E, z) = (1 + z)3'0((1 + z)E). (3.43)

43

Riscriviamo ora l’equazione di"erenziale per Eg:

% 1

Eg

dEg

dt= % 1

Eg

dEg

dz

dz

dt= (1 + z)3'0((1 + z)Eg) (3.44)

e quindi:dEg

dz= %(1 + z)3Eg

dt

dz'0((1 + z)Eg). (3.45)

Per completare l’equazione di"erenziale per Eg bisogna aggiungere le perdite adi-abatiche di energia dovute all’espansione dell’universo; se non si considerasse l’es-pansione si avrebbe semplicemente 'ad = H0. Ora invece dobbiamo prendere inconsiderazione la dipendenza di H dal tempo (e quindi da z); scriviamo quindi inmodo generico:

'ad(E, z) = % 1

E

dE

dz

!dt

dz

""1

. (3.46)

Abbiamo visto che la variazione dell’energia a causa della sola espansione dell’uni-verso e data da E(z) = (1 + z)E0 e dunque si avra:

'ad(E, z) = % 1

E0(1 + z)E0

!dt

dz

""1

= H0

2(1 + z)3%m + %". (3.47)

Infine, sommando i due contributi ed esplicitando dtdz si ottiene:

dEg

dz= Eg

3(1 + z)2'0((1 + z)Eg)

H0

2(1 + z)3%m + %"

+1

1 + z

4(3.48)

con la condizione iniziale Eg(z = 0) = E.Resta quindi da scrivere l’espressione generale della derivata dEg

dE ; per farlo,scriviamo prima di tutto l’energia di un protone all’epoca z:

Eg(z) = E +

t0/

t

dt

5!dE

dt

"

ad

+

!dE

dt

"

CMBR

6. (3.49)

Utilizzando dz = %H(z)(1 + z)dt e l’equazione:

b(E, z) = %dE

dt= (1 + z)2b0 [(1 + z)E] , (3.50)

l’energia diventa:

Eg(z) = E +

0/

z

dz!

1 + z!Eg(z

!) +

0/

z

dz!1 + z!

H(z!)b0 [(1 + z!)Eg(z

!)] . (3.51)

44

Di"erenziando rispetto a E si ottiene il fattore di dilatazione dell’intervallo di energiay(z) = dEg(z)/dE:

y(z) = 1 +

0/

z

dz!

1 + z!y(z!) +

0/

z

dz!(1 + z!)2

H(z!)y(z!)

db0(E !)

dE ! , (3.52)

dove E ! = (1 + z!)Eg(z!); la corrispondente equazione di"erenziale e:

1

y(z)

dy(z)

dz=

1

1 + z+

(1 + z!)2

H(z!)

db0(E !)

dE ! . (3.53)

La soluzione dell’equazione scritta sopra e proprio l’espressione generale della deriva-ta dEg

dE :

y(z) * dEg(z)

dE= (1 + z) exp

7

8 1

H0

z/

0

dz!(1 + z!)2

2%m(1 + z!)3 + %"

db0(E !)

dE !

9

: ,

dove Eg e l’energia all’epoca z.

Nelle figure che seguono si possono vedere gli andamenti di Eg (figura 3.4) edEg/dE (figura 3.5) in funzione dell’energia osservata per una singola sorgente adiverse distanze.

Confrontando il grafico della figura 3.4 con le perdite di energia dei protoni (figura3.1) si puo vedere che per z molto piccoli l’energia di generazione delle particelle diraggi cosmici rimane praticamente inalterata.

La distanza della sorgente puo essere vista come R(z) $ (E"1dE/dt)"1c = '"1c,per cui ad un certo z si puo associare un valore iniziale per la perdita di energia; nelcaso delle sorgenti piu distanti (per esempio z = 0.5) si osservano due cambiamenti dipendenza nell’energia di generazione corrispondenti ai due cambiamenti di pendenzanel grafico di ', mentre per sorgenti piu vicine si vede solo la perdita di energiadovuta alla produzione di ".

3.3.2 Spettro da distribuzioni di sorgenti

Prendiamo ora il caso di una distribuzione uniforme di sorgenti con densitacostante n0 e stessa iniezione Qinj(Eg) e calcoliamo il flusso a terra in questo modo:

Jtot(E) =n0

4"

/dr 4"r2 Qinj(Eg(E, r))

4"r2

b(Eg(E, r))

b(E)

=1

4"

/dr Qinj(Eg(E, r))

b(Eg(E, r))

b(E)(3.54)

45

1017

1018

1019

1020

1021

1022

1017 1018 1019 1020 1021

E g [

eV]

E [eV]

z=0.0010.0050.010.05

0.10.5

Figura 3.4: Energia con cui le particelle vengono iniettate alla sorgente in funzionedell’energia di osservazione E.

100

102

104

106

108

1010

1012

1014

1016

1017 1018 1019 1020 1021

dEg/d

E

E [eV]

z=0.0010.0050.010.05

0.10.5

Figura 3.5: Andamento di dEg/dE in funzione dell’energia di osservazione delle particelle.

46

avendo posto Q = n0Q; sostituendo l’espressione per b(Eg) e assumendo particellerelativistiche (dr = cdt) il flusso totale diventa:

Jtot(E) =c

4"

/dt Qinj(Eg(E, r))

b(Eg(E, r))

b(E)

=c

4"

1

b(E)

/dEg Qinj(Eg(E, r)) (3.55)

e per la densita di CR a terra si avra:

n(E) =4"

cJ(E) =

n0

b(E)

/dEg Qinj(Eg(E, r)). (3.56)

Nel caso generale si deve considerare il fatto che la densita stessa delle sorgentidipende da z e che l’elemento di volume su cui si integra e in evoluzione cosmologica:

1

4"

dV

dz= (1 + z)3cd2

L

;;;;dt

dz

;;;; . (3.57)

Se quindi il flusso totale per unita di angolo solido e:

Jtot(E) =1

4"

/dV

Q(Eg, z)

(1 + z)4"(rR(t0))2

dEg

dE; (3.58)

sostituendo la definizione di dL si avra:

Jtot(E) =1

4"

/dV

4"

Q(Eg(E, z), z)

(1 + z)3d2L

dEg(E, z)

dE; (3.59)

tenendo conto infine della variazione dell’elemento di volume con z:

Jtot(E) =1

4"

zmax/

0

dz1

4"

dV

dz

Q(Eg(E, z), z)

(1 + z)3d2L

dEg(E, z)

dE

=c

4"

zmax/

0

dz

;;;;dt

dz

;;;; Q(Eg(E, z), z)dEg

dE. (3.60)

Esplicitando dtdz si ottiene quindi:

Jtot(E) =c

4"

zmax/

0

dz(1 + z)"1Q(Eg(E, z), z)

H0

2(1 + z)3%m + %"

dEg(E, z)

dE(3.61)

47

Evoluzione cosmologica delle sorgenti

L’evoluzione cosmologica delle sorgenti, ovvero l’aumento della luminosita dellasorgente o della densita comovente con il redshift z, viene osservata in alcune classidi oggetti astrofisici, per esempio nel caso della formazione delle stelle in galassienormali.Nel caso che ci interessa per l’accelerazione dei raggi cosmici, consideriamo i nucleigalattici attivi; questi oggetti mostrano un’evoluzione rilevante nelle bande radio,ottica e X.

L’evoluzione degli AGN osservata nella radiazione X puo essere descritta in ter-mini del fattore (1 + z)m fino a z = 1.2, con m = 2.7 [19]; nell’equazione 3.31abbiamo definito il numero di particelle iniettate alla sorgente per unita di energiae nell’unita di tempo: nel caso in cui consideriamo l’evoluzione cosmologica dellesorgenti la 3.31 sara moltiplicata per il fattore (1 + z)m:

L0 ( L0(1 + z)m. (3.62)

Le espressioni trovate per il calcolo del flusso da una singola sorgente e da unadistribuzione uniforme saranno utilizzate in seguito per il calcolo dello spettro daun insieme di sorgenti discrete e una distribuzione uniforme di sorgenti.

48

Capitolo 4

Esperimenti

In questo capitolo si riportano le caratteristiche principali di un raggio cosmicoprimario, a partire dallo studio degli e"etti dell’interazione di questo con un nucleopresente in atmosfera. Infatti nel caso di raggi cosmici a energie oltre 1014 eV ilflusso incidente in atmosfera e troppo basso per essere rivelato, quindi vengono uti-lizzate tecniche indirette che permettono di risalire, dall’osservazione dello sciamedi particelle generato, alle quantita relative al primario: energia, composizione edirezione di arrivo.

Informazioni importanti riguardo, per esempio, alla composizione chimica delprimario si possono trarre dalla componente muonica della cascata, mentre l’ener-gia del primario e legata alla profondita in atmosfera a cui corrisponde il massimosviluppo della cascata.

Gli esperimenti che studiano i raggi cosmici a energie ultra-alte utilizzano varietecniche sperimentali per la rivelazione di questi eventi; per esempio, nel caso diHiRes si osserva simultaneamente lo stesso sciame da due diversi rivelatori (osser-vazione stereo). Nel caso di Auger si utilizzano invece i rivelatori di superficie insiemeai rivelatori di fluorescenza.

4.1 Air Showers

Un Air Shower (si puo tardurre ‘sciame’) e una cascata di particelle generatadall’interazione di un raggio cosmico primario ad alta energia al top dell’atmosfera.Il numero di particelle all’inizio si moltiplica, poi raggiunge un massimo e si attenuanel momento in cui le particelle scendono sotto la soglia per la produzione di ulte-riori particelle.

Lo sciame e composto da tre componenti: adronica, muonica e elettromagnetica.Se la particella primaria e nucleone o un nucleo, la cascata comincia con un’inter-azione adronica tra questo e, per esempio, i nuclei di ossigeno o azoto presenti inatmosfera:

(Z, A) + p %( (Z !, A!) + (Z !!, A!!) + k p + q n + "±,0 (4.1)

49

Figura 4.1: Rappresentazione schematica dello sviluppo di uno sciame.

quindi ad ogni interazione il numero di adroni cresce.Si ha inoltre che, ad ogni interazione, circa il 30% dell’energia viene trasferita

alla cascata elettromagnetica dal rapido decadimento dei mesoni neutri "0:

"0 %( 2$, 2'0 $ 10"16s (4.2)

4.1.1 Composizione

Componente elettromagnetica

La cascata elettromagnetica costituisce il 99.9% di tutte le particelle dello sciame;osservando lo sciame a terra, circa il 90% sono fotoni, mentre il restante 10% ecostituito da elettroni e positroni.

La componente eletromagnetica viene alimentata quindi sia dai fotoni provenientidal decadimento del "0 che fanno produzione di coppia interagendo con un nucleoatmosferico:

$ + (Z, A) %( (Z, A) + e+e", (4.3)

sia dai fotoni prodotti dalla bremsstrahlung di elettroni e positroni:

e" + (Z, A) %( e" + (Z, A) + $. (4.4)

Successivamente, quando il tasso di energia persa per bremsstrahlung eguaglia laperdita dovuta alla ionizzazione, l’elettrone comincia a perdere energia ionizzandol’atmosfera.

50

Componente adronica

Il nucleone (o nucleo) uscente dalla reazione di spallazione (4.1) vista prece-dentemente trasporta la maggior parte dell’energia, e interagira di nuovo nel suocammino.

Se, per esempio, riferendoci ad un protone, approssimiamo la sua lunghezza diinterazione in aria con il valore di 80 g/cm2, si avra che, per una particella che en-tra verticalmente in atmosfera, il numero medio di interazioni del nucleone uscenteprima di raggiungere il livello del mare e circa 12.

La fluttuazione di questo numero e una delle maggiori cause delle di"erenze chesi osservano tra sciami prodotti da particelle con la stessa energia del primario.

Componente muonica

I pioni carichi, prodotti nelle collisioni tra il nucleone uscente o il raggio cosmicoprimario con un nucleone di un atomo di azoto o ossigeno, potranno di nuovo inter-agire o decadere ("± %( µ± + ,µ(,µ)).

Il fatto che un pione possa decadere prima di interagire di nuovo dipende dalladensita dell’aria e dal fattore di Lorentz del pione; quando la distanza percorsa primadell’interazione eguaglia la distanza coperta prima del decadimento, le probabilitadei due processi sono uguali:

$2c =+

%, (4.5)

dove $ e il fattore di Lorentz del pione, che ha un tempo di decadimento pari a2 $ 2 ! 10"8s, + e la lunghezza di interazione e % la densita dell’aria. Quindi seprendiamo % = 5 ! 10"4g/cm3 (per un’altitudine di circa 5000 m), il fattore diLorentz per cui si ha l’uguaglianza e circa 380, che corrisponde ad un’energia delpione di circa 50 GeV. Per energie del " ancora maggiori i due processi avrannoprobabilita uguali per valori piu piccoli di % e quindi ad altitudini maggiori il "tendera a interagire piuttosto che a decadere.

I muoni prodotti nei decadimenti perdono quindi lentamente energia per ioniz-zazione nel loro tragitto, a di"erenza di elettroni e positroni, la cui quantita declinarapidamente dopo aver raggiunto un valore massimo, a causa dei processi di pro-duzione di coppia e di bremsstrahlung che portano l’energia verso un valore criticooltre cui l’energia rimanente viene persa per ionizzazione.

Il numero dei muoni in uno sciame si attenua dunque molto lentamente e lamisura della componente muonica dello sciame puo quindi essere utilizzata perstudiarne le caratteristiche.

4.1.2 Struttura spaziale

Le principali caratteristiche dell’air shower sono date dal suo sviluppo longitu-dinale, da cui si puo vedere il numero di particelle create lungo l’asse dello sciame,

51

e dal profilo laterale, che descrive la distribuzione di particelle che arrivano a terrain funzione della distanza dall’asse.

Sviluppo longitudinale

Lo sviluppo longitudinale dipende dalla quantita di atmosfera attraversata dallosciame, che si esprime come profondita atmosferica verticale Xv in unita di g/cm2 esi scrive:

Xv(h) =

#/

h

%(h)dh, (4.6)

dove %(h) e la densita dell’atmosfera all’altitudine h.Trascurando gli e"etti della curvatura terrestre, la profondita per gli sciami inclinaticon angolo # rispetto allo zenith e:

X(h, #) =Xv(h)

cos #. (4.7)

Per analizzare lo sviluppo della cascata e utile descrivere le caratteristiche delToy Model sviluppato da Heitler (1949); questo modello e stato inizialmente propos-to per le cascate elettromagnetiche, ma puo essere applicato anche a cascate iniziateda adroni.

Infatti, come abbiamo visto sopra, ad ogni step dello sviluppo dello sciame in-iziato da un adrone si avra uno sciame elettromagnetico a causa del decadimento deipioni neutri prodotti nell’interazione tra l’adrone iniziale e un nucleo dell’atmosfera.

Assumiamo che dopo una lunghezza di interazione + (che prendiamo uguale alcammino libero medio per la produzione di coppia), venga creata una coppia e+e", eche ogni particella prenda meta dell’energia iniziale E0. Approssimando il camminolibero medio per la bremsstrahlung a quello per la produzione di coppia, possiamoassumere che i processi di bremsstrahlung avvengano per ogni elettrone dopo chequesto ha percorso una distanza +. La cascata continua e l’energia viene dimezzataad ogni ‘nodo’, finche le perdite di energia per bremsstrahlung non eguagliano quelleper ionizzazione (cioe finche l’energia dell’elettrone non raggiunge un valore di sogliaEc).

Supponiamo che questo succeda ad una profondita X, per cui il numero di ‘nodi’sara N(X) = X/+; il numero di elettroni e fotoni alla profondita X e dato da:

N(X) = 2X/( (4.8)

e l’energia per particella:

E(X) =E0

N(X). (4.9)

Dunque il numero di elettroni e fotoni al massimo della cascata sara N(Xmax) =E0/Ec e la profondita a cui questo avviene:

Xmax = +ln(E0/Ec)

ln 2. (4.10)

52

Figura 4.2: Rappresentazione grafica del modello di Heitler.

Generalizzando questo modello, si puo immaginare che dopo una lunghezza di in-terazione + legata ad un certo processo, le particelle si moltiplichino a causa diinterazioni varie, con un numero n di particelle prodotte ad ogni moltiplicazione;supponiamo inoltre che l’energia si distribuisca equamente tra le n particelle.

Con queste ipotesi si puo immaginare di calcolare il numero di adroni presentiin uno sciame iniziato appunto da adroni, pensando che alla prima interazione conun nucleo atmosferico si avranno in uscita un numero n tra nucleoni e nuclei residuidella spallazione, che dopo una lunghezza di interazione + potranno di nuovo inter-agire.

Quindi come prima si puo calcolare il numero di particelle prodotte ad una certaprofondita X:

nk =E0

E(X), (4.11)

dove k e il numero di suddivisioni alla profondita X. Analogamente,la profonditadel massimo si trovera a:

Xmax = +ln(E0/Ec)

ln n. (4.12)

Sviluppo laterale

L’allargamento dello sciame e dovuto a due fattori: il primo e un fattore intrin-seco, in quanto e legato al fatto stesso che la particella primaria interagisce e chele particelle secondarie non vengono prodotte in avanti; l’altro fattore e dovuto alloscattering coulombiano multiplo delle particelle secondarie con le particelle dell’at-mosfera.

Durante lo sviluppo della cascata le particelle vengono di"use lateralmente acausa dell’e"etto combinato dei contributi spiegati sopra.

53

Per lo scattering multiplo coulombiano si ha:

<.#2

==

!Es

E

"2

.t, (4.13)

dove Es = m2ec

2(4"/*)1/2 $ 21MeV. L’unita di Moliere, che caratterizza l’allarga-mento dello sciame per particelle a bassa energia e:

r =Es

EcX0 $ 9.3g/cm2, (4.14)

che per l’aria risulta essere " 0.25 lunghezze di radiazione, ovvero " 78 m al livellodel mare.

Considerando un piano normale alla direzione dello sciame, la densita di particellea distanza r su tale piano dall’asse dello sciame e:

%(r, t) =Ne(t)

r21

f(x) (4.15)

con x = r/r1 e la parametrizzazione di f(x) data da:

xf(x) ' xs"1(1 + x)s"4.5; (4.16)

dove s e l’eta dello sciame; questo parametro vale zero all’inizio dello sciame e di-venta 1 al massimo dello sciame.

La parametrizzazione scritta sopra vale per sciami con s > 1, cioe sciami cheabbiano superato il massimo; in e"etti, quando la cascata raggiunge la superficieterrestre, ha gia oltrepassato Xmax, ovvero la profondita oltre la quale prevalgonole perdite di energia per ionizzazione. Quindi il legame accennato precedentementetra l’energia E0 del primario e il numero massimo di particelle nella cascata non puoessere direttamente sfruttato poiche cio che e"ettivamente si misura e Ne(t) e nonNmax = E0/Ec.

4.1.3 Struttura temporale

Abbiamo visto che le particelle, lungo lo sviluppo dello sciame, possono esserescatterate e quindi si allontanano dall’asse dello sciame stesso, che prosegue nel suosviluppo presentando un fronte curvo di particelle verso i rivelatori a terra. Possiamoquindi immaginare la geometria laterale dello sciame come quella di un cono, e leparticelle che si trovano sulla superficie di questo arriveranno dunque con un certoritardo rispetto a quelle piu vicine all’asse.Il tempo di ritardo sara proporzionale alla distanza dall’asse: trit ' r; poiche si ha

che la lunghezza della cascata aumenta all’aumentare di Xmax, il tempo di ritardopermette di distinguere le cascate conoscendo Xmax.

54

Figura 4.3: Rappresentazione di uno sciame incidente su un array di rivelatori di superficie.

4.1.4 Direzione

La direzione di arrivo della cascata viene derivata dalle misurazioni dei tempirelativi di arrivo del fronte dello sciame sui rivelatori di superficie; si puo assumereche il fronte dello sciame, che quando arriva a terra ha uno spessore di alcuni metri,si muova in atmosfera alla velocita della luce e che sia costituito da un piano per-pendicolare alla direzione della particella incidente. Misurando il ritardo temporaletra l’arrivo del segnale nel rivelatore i e nel rivelatore j, e conoscendo la distanzatra i rivelatori, si puo calcolare l’ampiezza dell’angolo che la direzione dello sciameforma con lo zenith.

Nel caso di rivelatori di fluorescenza, i fotomoltiplicatori registrano la sequenzatemporale di arrivo della luce; il piano individuato dall’asse dello sciame e dal rive-latore viene ricostruito dalla sequenza dei fotomoltiplicatori illuminati.

Se la cascata viene osservata da due rivelatori di fluorescenza, si puo determinareun piano sciame-rivelatore per ogni rivelatore e l’intersezione di questi determinadirettamente la direzione senza bisogno di informazioni temporali.

55

Figura 4.4: Simulazioni della distribuzione di Xmax per sciami iniziati rispettivamente danuclei di ferro e da protoni con energia 1019 eV.

4.2 Caratteristiche del raggio cosmico primario

4.2.1 Composizione chimica

La profondita del massimo dello sciame riflette la composizione chimica del pri-mario; infatti, se consideriamo il modello di sovrapposizione per i nuclei, vediamoche ogni nucleone si comporta in media come se fosse indipendente dai restanti A-1nucleoni. Quindi se la cascata e iniziata da un nucleo con A nucleoni, questa puoessere vista come un numero A di cascate cominciate da protoni o neutroni, la cuienergia iniziale e data da E0/A, con E0 l’energia del nucleo.

A questo punto la profondita del massimo sara data da:

XAmax(E) = Xp

max(E

A) = Xp

max(E)% ln A < Xpmax(E) (4.17)

quindi a parita di energia iniziale, uno sciame iniziato da un nucleo e piu corto diuno iniziato da un protone.

Il valore di Xmax(E) trovato e da intendersi come valore medio; infatti, comesi vede in figura 4.4, queste misure sono fortemente a"ette da fluttuazioni dovuteprincipalmente alla profondita e alle caratteristiche della prima interazione. Le flut-tuazioni nelle interazioni successive sono mediate su un numero molto grande diparticelle e quindi non sono importanti.

Un altro fattore importante per lo studio della natura del primario e, comedetto in precedenza, la componente muonica dello sciame. Poiche il contenuto dimuoni si attenua piu lentamente rispetto a quello degli elettroni, la piattezza delladistribuzione del numero di muoni sara meno a"etta da fluttuazioni, e dunque inquesto caso la misura dell’energia del primario risultera migliore.

56

Un problema legato alla rivelazione dei muoni riguarda proprio il fatto che laloro quantita non si moltiplica, e quindi il numero di muoni in uno sciame e minoredi quello degli elettroni e positroni.

Considerando l’approssimazione di sovrapposizione descritta sopra, per uno sci-ame iniziato da un nucleo ci si puo aspettare di avere un contenuto di muoni maggiorerispetto ad uno sciame iniziato da un protone con la stessa energia; questo perchel’energia media dei pioni creati nelle collisioni e piu bassa nello sciame iniziato dalnucleo che in quello iniziato dal protone perche l’energia per nucleone e piu bassa.

La forma generale (ottenuta da simulazioni) del numero totale di muoni a basseenergie in uno sciame e la seguente:

Nµ(> 1GeV) ' A

!E0

A

"%

(4.18)

dove si prende * = 0.86; quindi a parita di energia del primario, uno sciame iniziatoda un nucleo di ferro (A=56) avra circa il 75% di muoni in piu rispetto ad unoiniziato da un protone.

4.2.2 Energia

Abbiamo visto che il numero di particelle in uno sciame e in relazione con l’ener-gia della particella primaria; si puo quindi pensare di misurare il numero di particelleche arrivano a terra ad una distanza fissata dall’asse dello sciame. Questo e il pro-cedimento che viene adottato nel caso dei rivelatori di superficie.

E’ necessario quindi conoscere la funzione di distribuzione laterale dello sciame,che mette in relazione il numero Ne di elettroni nella cascata con la densita dellastessa ad una certa distanza dall’asse; la misura del numero di particelle e pero ilrisultato di un campionamento, in quanto l’area sensibile dell’esperimento e minoredell’area totale disponibile, ovvero i rivelatori di superficie non potranno intercettaretutte le particelle che arrivano a terra.

Per un array di rivelatori, simulazioni Monte Carlo hanno dimostrato che ladensita di particelle a distanze 400-1200 m dal core e proporzionale all’energia delprimario:

E0 ' %(r). (4.19)

La quantita totale della luce di fluorescenza generata in atmosfera durante losviluppo di uno sciame puo essere sfruttata come misura calorimetrica dell’energiadella cascata elettromagnetica e quindi del raggio cosmico primario.

I rivelatori di fluorescenza guardano le tracce di luce rilasciate in atmosfera dalleparticelle secondarie che collidono con molecole dell’aria (per esempio molecole diazoto) eccitandole; le molecole si diseccitano poi riemettendo radiazione nell’UV,che viene quindi raccolta dai rivelatori di fluorescenza. L’intensita della luce di fluo-rescenza e praticamente proporzionale al numero di particelle cariche che eccitano le

57

molecole dell’atmosfera, ma poiche si ha anche che il numero di e+, e" e dominante,si puo considerare l’intensita della radiazione di fluorescenza proporzionale a Ne(x).

L’energia totale della componente elettromagnetica si determina dunque inte-grando il profilo longitudinale dello sciame:

EEM =

/dx

!dE

dx

"

ion

Ne(x) (4.20)

e, poiche le particelle viaggiano a velocita v $ c, l’energia diventa:

EEM $ 2 MeV

g/cm2

/dx Ne(x) (4.21)

Per descrivere la forma di Ne(x) si utilizza una funzione empirica del tipo:

Ne(x) = Nm

!X %X0

Xm %X0

"(Xm"X0)/(

exp(Xm"X0)/(, (4.22)

(Gaisser-Hillas), dove X e la profondita atmosferica, X0 e la profondita della primainterazione, Xm e la profondita quando lo sciame ha raggiunto il numero massimodi particelle (Nm).

L’energia della componente elettromagnetica rappresenta un limite inferiore perl’energia del primario; sono infatti da considerare le quantita di energia che vanno inmuoni e neutrini atmosferici, il cui numero dipende dalla natura della particella cheinizia la cascata, e anche la luce Cerenkov diretta e scatterata prodotta durante losviluppo dello sciame. Quest’ultima deve essere stimata e sottratta dal flusso totale,cosı come devono essere stimati i fenomeni di attenuazione e di scattering subiti daifotoni in atmosfera.

4.3 Accettanza

Le caratteristiche degli apparati di misura a terra determinano la possibilitadi misurare una certa parte dello spettro in energia dei raggi cosmici; i conteggie"ettuati dall’apparato dipendono dal flusso di raggi cosmici all’energia dello sciameconsiderato e dall’apertura e"ettiva dell’apparato. L’apertura e"ettiva del rivelatoresara data da:

Aeff = AT. (4.23)

L’apertura A del rivelatore si puo scrivere come A = S" sin2 #, dove S e la superficiedell’array di rivelatori nel caso dei rivelatori di superficie o l’area dello specchio nelcaso di un rivelatore di fluorescenza e # e l’angolo massimo, rispetto allo zenith,di sensibilita del rivelatore; il duty cycle T e la frazione di tempo durante la qualel’apparato puo essere e"ettivamente utilizzato.

Il numero di conteggi del rivelatore per unita di tempo R sara quindi:

R = &Aeff , (4.24)

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dove & indica il numero di particelle per unita di tempo, angolo solido e superficie.

4.4 Esperimenti

Per investigare sull’origine e i meccanismi di produzione dei raggi cosmici, gliesperimenti nelle regioni a energie piu alte misurano tre quantita: energia del pri-mario, composizione e direzione di arrivo.

La misura diretta delle caratteristiche del primario risulta impossibile a energiemaggiori di 1014 eV, dove il flusso di raggi cosmici incidente sull’atmosfera e moltobasso per essere rivelato; a queste energie, quindi, gli esperimenti utilizzano delletecniche indirette che permettono di risalire, misurando i parametri della cascataprodotta, alle quantita elencate sopra.

I rivelatori di superficie raccolgono le particelle che arrivano a terra, determinan-do l’energia del primario dalla densita di particelle, la direzione di arrivo dai tempidi trigger del rivelatore, e possono studiare la natura del primario dal rapporto trala componente muonica e quella elettronica.

I rivelatori di fluorescenza, come gia accennato precedentemente, raccolgono laluce di fluorescenza prodotta in atmosfera; con questi si puo quindi studiare il profilolongitudinale dello sciame.

4.4.1 AGASA

L’Akeno Giant Air Shower Array (AGASA) si trova presso l’osservatorio diAkeno in giappone; l’array consiste di 111 scintillatori di 2.2 m2 collocati in su-perficie per misurare la densita di particelle cariche e di 27 rivelatori posti sottomateriali assorbenti per misurare la componente muonica dello sciame. L’area to-tale coperta da AGASA e di 100 km2.

Questo esperimento e rimasto operativo fino al gennaio del 2004.

4.4.2 Fly’s Eye e HiRes

Il rivelatore Fly’s Eye e collocato a Dugway, nello Utah; consiste di due array dispecchi parabolici, ognuno con dei fototubi nel piano focale. Gli specchi sono postiin modo tale da coprire tutto il cielo notturno, con ogni fototubo che ne guarda unaporzione esagonale.

I fototubi raccolgono la luce di fluorescenza dell’azoto e la luce Cerenkov; men-tre la luce Cerenkov e fortemente direzionale, poiche emessa entro un angolo bendefinito rispetto alla traiettoria dell’elettrone, la luce di fluorescenza proviene da unmeccanismo di diseccitazione delle molecole, e viene emessa isotropicamente. Perquesto motivo, la rivelazione dello sciame puo avvenire anche a grandi distanze.

E’ necessario, quindi, conoscere l’e!cienza della fluorescenza, ovvero il numero

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Figura 4.5: Mappa del sito dell’osservatorio Pierre Auger in Argentina.

di fotoni prodotti per particella carica per unita di tragitto percorso in atmosfera;oltre a questo, bisogna considerare il fatto che sia la luce di fluorescenza che la luceCerenkov possono subire scattering e essere assorbite.

Come detto precedentemente, servendosi di osservazioni simultanee dello stessosciame dai due diversi rivelatori (osservazione stereo), la geometria dell’EAS puoessere determinata piu precisamente calcolando l’intersezione dei due piani sciame-rivelatore.

L’osservatorio HiRes (High Resolution Fly’s Eye) e lo stadio successivo dell’es-perimento Fly’s Eye, che e rimasto operativo fino a aprile 2006.

4.4.3 Auger

L’osservatorio Pierre Auger e collocato nei pressi della citta di Malargue in Ar-gentina; la latitudine di 35° permettera una copertura completa quando sara com-binato con il sito nell’emisfero nord; inoltre il luogo scelto ha un’area pianeggiantedi piu di 3000 km2, superficie necessaria per la rivelazione di circa 2500 eventi oltre1019 eV e di circa 120 eventi sopra 1019.5 eV per anno. Si puo calcolare che se nonesistesse la soppressione del flusso di raggi cosmici ultra-energetici prevista dall’ef-fetto GZK, l’Osservatorio Pierre Auger sarebbe in grado di rivelare circa 50 eventiall’anno per energie superiori a 1020 eV; finora e stato osservato un solo evento oltrequesta energia.

L’altitudine di 1400 m sul livello del mare pone il sito vicino al massimo dellosviluppo per uno sciame verticale di energia 1018 eV. Per quanto riguarda le con-dizioni atmosferiche e climatiche, la copertura nuvolosa del cielo notturno assicurarendimenti ragionevoli per i rivelatori di fluorescenza, mentre la visibilita e buona,non essendo significativamente presente l’inquinamento luminoso.

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I rivelatori di fluorescenza sono situati ai 4 lati dell’array di rivelatori di super-ficie; ogni FD contiene 6 telescopi ottici di tipo Schmidt, ognuno con un campo divista di 30°!30°: di conseguenza utilizzando 6 telescopi da ogni postazione sonovisibili 180° in azimuth.

I telescopi consistono di specchi sferici che focalizzano la luce di fluorescenza inuna camera, rappresentata da una una griglia di 440 fotomoltiplicatori in config-urazione esagonale posta nel piano focale. Ogni pixel osserva un angolo solido di1.5°!1.5°.

Davanti ai telescopi sono presenti dei filtri ottici per rimuovere la maggior partedella luce al di fuori della banda di fluorescenza dell’azoto; inoltre i telescopi hannoun’incertezza di 0.1° rispetto alla direzione nominale verso cui puntano.

Ad ogni camera e attaccato un sistema di acquisizione dati che registra il segnaledei fotomoltiplicatori, che viene campionato a intervalli di 100 ns.

Per quanto riguarda il processo di ricostruzione, la luce raccolta dal telescopiodeve essere trasformata nel quantitativo di luce emessa lungo l’asse dello sciame infunzione della profondita. A questo scopo, e necessario conoscere accuratamentele condizioni atmosferiche locali; si devono quindi conoscere la distribuzione degliaerosols e la densita dell’atmosfera a diverse altitudini.

Poiche gli FD possono essere utilizzati soltanto in notti senza luna, in presenzadi buone condizioni atmosferiche, il rendimento dei rivelatori di fluorescenza e del10%.

La quantita di luce emessa lungo lo sviluppo dello sciame viene calcolata utiliz-zando la geometria dello sciame, le condizioni atmosferiche, lo spettro della luce e larelativa risposta del detector; si deve inoltre tener conto della luce Cerenkov direttae scatterata misurata dall’FD. Dalla luce di fluorescenza si risale quindi all’energiadepositata dallo sciame conoscendo il prodotto di fluorescenza in funzione della pro-fondita.

I rivelatori di superficie dell’osservatorio Pierre Auger consistono di 1600 con-tenitori riempiti con 12 t di acqua purificata per la rivelazione della luce Cerenkov adistanza di 1.5 km l’uno dall’altro e organizzati in una griglia triangolare su un’areadi 3000 km2; i contenitori hanno forma cilindrica (3.6 m di diametro e 1.2 m dialtezza), con una superficie superiore di 10 m2.

L’area del contenitore e appositamente scelta per le densita attese di particelle(" 1/m2 a 1 km dall’asse dello sciame) e l’altezza dell’acqua (1.2 m), corrispondentea 3.5 lunghezze di radiazione dell’elettrone, e stata scelta per assorbire almeno il90% delle particelle elettromagnetiche incidenti. Ogni contenitore e osservato da 3fotomoltiplicatori posti a intervalli di 120°.

La tecnica utilizzata dll’SD permette una ricostruzione piu accurata della ge-ometria dello sciame, se si confronta con il metodo dell’FD. Inoltre se si considerail fatto che i rivelatori di fluorescenza funzionano solo in determinate condizioni, ilnumero di eventi registrati con gli SD a parita di area e molto piu grande.

Lo svantaggio in questo caso e legato al fatto che le caratteristiche dello sciame

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Figura 4.6: Esempio di due EAS visti dall’SD; la grandezza dei cerchi rappresenta la densitadi particelle misurata nei rivelatori.

possono essere investigate soltanto attraverso simulazioni Monte-Carlo.Attraverso l’utilizzo della tecnica ibrida, gli svantaggi che comporta l’utilizzo in-

dividuale di ogni metodo vengono compensati dai vantaggi dell’altro.

Nella figura 4.6 sono mostrati alcuni esempi degli EAS visti dall’SD; il diametrodei cerchi indica la densita delle particelle rivelate nei rispettivi tanks; l’energia e laposizione dell’asse sono ricostruite da un fit della funzione di distribuzione laterale(LDF) rispetto alla densita delle particelle vista nei diversi rivelatori. Per esempio,nella figura 4.7 si vede la LDF ricostruita per l’EAS della figura 4.6 in basso.

Simulazioni sugli EAS hanno mostrato che l’energia del primario, nell’intervallodi energie considerato, e determinata al meglio dal valore della LDF a distanze di1000 m dall’asse dello sciame; questo numero, generalmente chiamato S(1000), e ilvalore meno a"etto dalle fluttuazioni causate sia dallo sviluppo longitudinale dellosciame che dalla massa della particella primaria.

Oltre alla densita delle particelle ricostruita dai segnali integrati nei rivelatoridi superficie, si possono trarre informazioni importanti anche dalle caratteristichetemporali delle tracce dei segnali registrati. Infatti in sciami molto inclinati la com-ponente elettromagnetica risulta essere assorbita in parte molto maggiore rispetto asciami verticali, dove si possono osservare molti elettroni con un profilo temporalepiu allargato.

Nei rivelatori di fluorescenza, gli sciami di raggi cosmici sono visti come unasequenza di pixels illuminati nella camera. Un esempio di un evento che si propagain due telescopi adiacenti si puo vedere in figura 4.8. Il primo passo nell’analisi

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Figura 4.7: Funzione di distribuzione laterale ricostruita per l’EAS di 4.6

Figura 4.8: Traccia di luce rilasciata da un evento in due camere adiacenti; i diversi coloriindicano la progressione temporale di accensione dei pixels nelle rispettive camere.

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Figura 4.9: Geometria della traiettoria di un EAS.

di un evento nell’FD e la determinazione del piano sciame-rivelatore (SDP) ricostru-ito dalla direzione di vista dei pixels della camera; l’asse dello sciame che giace nelSDP e definito dal parametro d’impatto Rp e dall’angolo rispetto all’orizzontale 30.Successivamente, le informazioni temporali vengono utilizzate per ricostruire l’assedello sciame entro il piano SDP.

Per una data geometria, il tempo di arrivo ti della luce al pixel i e dato da:

ti = t0 +Rp

ctan [(30 % 3i)/2] . (4.25)

L’incertezza dei tre parametri dipende dalla particolare geometria dell’evento e dallalunghezza della traccia osservata, e questa incertezza si traduce in incertezza nellaricostruzione dell’energia dello sciame.

Un modo per migliorare la ricostruzione dell’energia dello sciame e quello dicombinare le informazioni date dai rivelatori di superficie con quelle dei rivelatoridi fluorescenza (ricostruzione ibrida); con l’ausilio delle informazioni temporali deirivelatori di superficie e possibile ridurre le incertezze nella ricostruzione dell’assedi 50 m nella posizione del core e 0.5° nell’orientazione dell’asse. Le informazionitemporali tGND da una stazione colpita a terra possono essere messe in relazionecon il tempo t0 a cui lo sciame raggiunge la posizione di massimo avvicinamento altelescopio:

t0 = tGND % (!RGND · S)/c. (4.26)

Qui !RGND denota la direzione della stazione colpita e S il vettore unitario dell’assedello sciame.

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Dal momento che l’SD opera al 100% del suo rendimento, molti degli eventi os-servati dall’FD sono di fatto eventi ibridi, con l’eccezione di quelli a basse energie. Intali analisi la sincronizzazione temporale tra i diversi rivelatori e molto importante;per controllare la procedura di ricostruzione vengono generati eventi artificiali dallacental laser facility.

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Capitolo 5

Anisotropia

Lo spettro di raggi cosmici risulta essere essenzialmente isotropo fino a energie dicirca 1018 eV; per energie piu alte ci si aspetta di osservare e"etti legati all’anisotropiadelle sorgenti di raggi cosmici, in quanto il campo magnetico galattico non e piu ingrado di deviare le traiettorie delle particelle in modo abbastanza significativo darendere isotropa la distribuzione delle direzioni di arrivo.

Se i raggi cosmici a energie piu alte sono per lo piu protoni e nuclei, solo lesorgenti che sono piu vicine di 200 Mpc possono contribuire al flusso osservato sopra6!1019 eV; protoni a energie piu alte interagiscono con la radiazione cosmica di fondoproducendo pioni, processo che provocherebbe un’attenuazione del flusso provenienteda sorgenti piu distanti.

Nei modelli top-down il problema dell’energia e risolto postulando l’esistenza diparticelle X di materia oscura con massa mX & 1012 GeV e vita media 2X & 1010

anni; dal decadimento di tali particelle potrebbe avere origine lo spettro di UHECR,dominato in questo caso da fotoni ad alta energia.

L’ipotesi che gli UHECR siano di origine locale nella nostra galassia sarebbesostenibile nel caso in cui la concentrazione di materia oscura fosse abbastanza altanell’alone della galassia; in questo modo si potrebbe spiegare l’eccesso di AGASA,ovvero 11 eventi con energie maggiori di 1020 eV.

Nel caso in cui raggi cosmici ad energie cosı alte siano prodotti all’interno dellagalassia non ci si puo aspettare di vedere l’e"etto GZK.

L’osservazione di tale attenuazione nello spettro di Auger e di HiRes mette insecondo piano le teorie top-down rispetto alle bottom-up, secondo cui l’origine degliUHECR e legata a meccanismi astrofisici e non al decadimento di particelle di ma-teria oscura.

D’altra parte, l’attenuazione che si osserva nel flusso non basta da sola comeverifica della previsione GZK; una diminuzione del flusso di raggi cosmici analoga aquella che si avrebbe grazie all’e"etto GZK, si potrebbe osservare nel caso in cui lesorgenti stesse non fossero in grado di accelerare particelle oltre una certa energia.

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Anche in questo caso, quindi, lo spettro mostrerebbe un cut-o".L’evidenza fornita dalla soppressione del flusso deve dunque essere supportata

dalla conoscenza delle sorgenti acceleranti; nel caso in cui si possa dimostrare chei raggi cosmici giungano da un certo tipo di oggetti con caratteristiche tali da per-mettere l’accelerazione fino alle energie piu alte, l’insieme di queste informazionicostituirebbe una verifica della previsione dell’e"etto GZK.

Se ipotizziamo che i raggi cosmici piu energetici provengano da sorgenti relativa-mente vicine e distributite in modo non uniforme, ci possiamo aspettare di osservareun’anisotropia nelle direzioni di arrivo degli eventi, nel caso in cui questi siano ab-bastanza energetici da non subire in modo significativo la deflessione del campomagnetico galattico. Questa anisotropia viene e"ettivamente osservata, sia tramitel’osservazione di eventi con direzioni di arrivo molto ravvicinate, sia con la corre-lazione delle direzioni di arrivo con un certo tipo di oggetti astronomici.

L’esperimento Auger dimostra l’anisotropia sulla base della correlazione tra ledirezioni di arrivo dei raggi cosmici con le energie piu alte misurate dall’Osservato-rio e le posizioni dei nuclei galattici attivi (AGN) piu vicini, tratte dalla dodicesimaedizione del catalogo di quasars e nuclei attivi di Veron-Cetty e Veron (VCV).

Con lo stesso metodo di ricerca delle correlazioni utilizzato in Auger sono stateanalizzate le correlazioni anche nell’esperimento HiRes, concludendo pero che nonesiste una correlazione significativa tra i dati di HiRes e gli AGN del catalogo VCV.

In questo capitolo si analizzano alcuni dettagli sul metodo utilizzato per lo stu-dio dell’anisotropia in Auger e inoltre si discutono alcune possibili implicazioni delsegnale di correlazione osservato.

Si riportano infine alcune proposte per l’utilizzo di cataloghi alternativi a VCV.

5.1 Evidenze di anisotropia degli UHECR

Nelle sezioni che seguono si riportano alcune evidenze dell’anisotropia nelle di-rezioni di arrivo dei raggi cosmici a energie ultra alte; nel paragrafo 5.1.1 si analizzala correlazione trovata dall’esperimento Auger con le posizioni dei nuclei galatticiattivi del catalogo Veron-Cetty e Veron (VCV), spiegando i criteri utilizzati nellaricerca.

Nel paragrafo 5.1.2 si spiega la possibilita di dimostrare l’anisotropia attraversola misura dell’intensita dei raggi cosmici da diverse direzioni nel cielo.

Nel paragrafo 5.1.3 si analizza un metodo per costruire, a partire da un catalogodi sorgenti, una mappa di probabilita delle direzioni di arrivo dei raggi cosmici oltreuna certa energia.

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Figura 5.1: Proiezione della sfera celeste in coordinate galattiche con finestre circolari cen-trate nelle posizioni dei 442 AGN (292 entro il campo di vista di Auger) con z < 0.017 dalcatalogo VCV. La probabilita p e data dalla frazione di cielo accessibile all’osservazioneda Auger, coperta da finestre circolari di ampiezza " centrate sulle sorgenti selezionate.

5.1.1 Correlazione con Nuclei Galattici Attivi

Gli AGN sono da lungo tempo considerati possibili siti per la produzione diparticelle energetiche, dove protoni e nuclei potrebbero essere accelerati fino alle piualte energie misurate.

Immaginando di mettere una finestra di alcuni gradi attorno ad ogni AGN notoentro 100 Mpc, si vede che viene ricoperta una significativa frazione di cielo, ma nonla maggior parte di esso. Da qui la motivazione per la ricerca di un eccesso di raggicosmici, rispetto a cio che ci si aspetterebbe se il flusso fosse isotropo, con direzionidi arrivo vicine alle posizioni degli AGN.

La parte sud dell’osservatorio Pierre Auger e situata a Malargue, in Argentina,alla latitudine 35.2° S, longitudine 69.5° W, ad un’altitudine media di 1400 m sullivello del mare. Il set di dati analizzati per lo studio delle correlazioni consiste dieventi registrati all’osservatorio dal 1 gennaio 2004 al 31 agosto 2007; durante questoperiodo, il numero di rivelatori di superficie e aumentato da 154 a 1388.

Si considerano eventi la cui energia ricostruita e di 40 EeV e il cui angolo dizenith e minore di 60°.

Metodo di ricerca della correlazione in Auger

Assumendo l’ipotesi di isotropia delle direzioni di arrivo dei raggi cosmici, pos-siamo calcolare la probabilita che un dato raggio cosmico arrivi per caso entro unadistanza angolare fissata da un qualsiasi AGN.

La probabilita p che un evento da una distribuzione isotropa abbia per caso una

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direzione di arrivo piu vicina di una certa distanza angolare da un qualsiasi membrodi un insieme di candidati a sorgenti puntiformi e data dalla frazione del cielo acces-sibile all’osservazione da Auger, coperta da finestre circolari di ampiezza 4 centratesulle sorgenti selezionate.

Ad alte energie l’esposizione dei rivelatori di superficie di Auger dipende soltan-to dalla declinazione, quindi questa probabilita puo essere calcolata integrando lafunzione di esposizione (Appendice C) su tutte le direzioni nel cielo che diano unacorrelazione positiva:

p =

/

A

0(.) cos(.)d.d* (5.1)

dove * e . si riferiscono alle coordinate celesti, 0 e la funzione di esposizione e l’areaA e la frazione di cielo coperta dalle finestre circolari centrate sulle sorgenti.

La probabilita che un numero k di eventi su un totale di N da un flusso isotropoabbiano direzioni di arrivo entro 4 rispetto alle sorgenti candidate e data dalladistribuzione binomiale cumulativa:

P =N>

j=k

!Nj

"pj(1% p)N"j. (5.2)

Per questa analisi sono stati considerati come candidati a sorgenti di raggi cosmicigli AGN presenti nella 12a edizione del catalogo di quasars e nuclei attivi di Veron-Cetty e Veron (VCV) [6]. Questo catalogo non contiene tutti gli AGN esistenti,ma risulta dall’insieme di tutti gli oggetti presenti in letteratura; contiene 85221quasars, 1122 BL Lac e 21737 galassie attive.

Tra questi oggetti, 694 hanno redshift z # 0.024, un valore corrispondente adistanze minori di circa 100 Mpc. A distanze maggiori di questa il catalogo diventasempre piu incompleto e disomogeneo; inoltre risulta incompleto sul piano galattico.Questo non e un ostacolo per la dimostrazione dell’esistenza dell’anisotropia, mapuo influire sull’identificazione non ambigua del tipo di sorgenti acceleranti.

Il grado di correlazione tra UHECR e AGN e funzione di tre parametri: il redshiftmassimo dell’AGN zmax, la separazione angolare massima 4 e la soglia in energiaper i raggi cosmici Eth; la scansione in energia e motivata dall’assunzione che i raggicosmici piu energetici siano quelli che vengono meno deflessi dai campi magnetici eche hanno probabilita minore di giungere da sorgenti molto distanti a causa dell’ef-fetto GZK. Questa selezione in energia viene quindi fatta cominciando dall’eventopiu energetico e aggiungendo uno ad uno gli eventi con energia decrescente.

Con i dati raccolti tra il 1 gennaio 2004 e il 27 maggio 2006 e stata fatta unaricerca esplorativa di correlazione; la probabilita minima Pmin e stata trovata incorrispondenza del set di parametri: zmax = 0.018 (corrispondente ad una distanzamassima di 75 Mpc), Eth = 56 EeV e 4 = 3.1, con 12 eventi su 15 correlati conalmeno un AGN selezionato. Per questo set di parametri, la correlazione casuale e

69

Figura 5.2: Proiezione della sfera celeste in coordinate galattiche con cerchi di 3.2° centratinelle direzioni di arrivo dei 27 raggi cosmici rivelati dall’osservatorio Pierre Auger conenergie E > 57 EeV. Le posizioni dei 442 AGN (292 entro il campo di vista di Auger) conz < 0.017 dal catalogo VCV sono indicate con asterischi. La linea continua rappresenta ilconfine del campo di vista dell’Osservatorio (con angolo di zenith minore di 60°); la lineatratteggiata delimita il piano supergalattico. L’aumento nell’intensita del colore indicauna maggiore esposizione relativa. [32]

data da p = 0.21, quindi se il flusso fosse isotropo ci potremmo aspettare solo 3.2eventi in correlazione casuale.

La probabilita Pmin trovata nella ricerca esplorativa e pari a 2! 10"6; in realtaquesto valore deve essere corretto a causa del numero di tentativi fatti per trovare laprobabilita minima a posteriori, e la probabilita minima risultera dunque piu alta.Per evitare questo si ricorre ad una procedura di analisi definita a priori.

La correlazione osservata nella ricerca esplorativa ha motivato la costruzione diuno specifico test per rigettare o accettare l’ipotesi di isotropia con parametri spec-ificati a priori su un set di dati indipendente.

L’ipotesi zero e data in questo caso dall’isotropia della distribuzione delle di-rezioni di arrivo; si definiscono due tipi di errori, che consistono nel rigettare er-roneamente l’ipotesi zero (errore di tipo I), ovvero e la probabilita * di dichiarareil set di dati indipendenti anisotropo quando non lo e, ed e stata scelta * = 1%.L’errore di tipo II e la probabilita di accettare incorretamente l’ipotesi nulla, ovverola probabilita ' di dichiarare isotropo il set di dati indipendenti quando non lo e (edetta anche potenza del test), ed e stata scelta ' = 5%.

Per mantenere una potenza del test al livello desiderato (' = 5%), si definisceil periodo della prescrizione come il tempo necessario per la rivelazione di un certonumero di eventi che superino i criteri di selezione. Dal momento che non si puoprevedere quanti eventi sarebbero richiesti per confermare i risultati ad un livellostatisticamente significativo per per la ricerca esplorativa, e stata adottata una pre-scrizione continuativa (running prescription) per condurre un’analisi sequenziale.

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N 4 6 8 10 12 . . . 30 31 33 34kmin 4 5 6 7 8 . . . 14 14 15 15

Tabella 5.1: Criteri per la running prescription; N corrisponde al numero di eventi conE > 56 EeV osservati durante l’analisi sequenziale e kmin e il numero minimo di eventientro la finestra angolare (" = 3.1) e massimo redshift degli AGN (zmax = 0.018) richiestiper rigettare l’ipotesi di isotropia con un livello di confidenza di almeno il 99%. Questaprescrizione, applicata sui dati registrati dopo il 27 maggio 2006, e stata soddisfatta conN = 8 e k = 6 il 25 maggio 2007.

Poiche si applica un test dopo ogni rivelazione, la soglia di ogni test individ-uale deve essere minore della soglia di prescrizione globale *. In pratica questosignifica che si annuncia l’evidenza di una correlazione al momento della rivelazionedell’evento n se il numero di eventi k che correlano con gli AGN tra questi n da unaprobabilita cumulativa P minore di un certo valore.

La prescrizione applicata ai dati collezionati dopo il 27 maggio 2006 e stata sod-disfatta il 25 maggio 2007 con N = 8 e k = 6 (tabella 5.1).

Avendo stabilito che esiste un’anisotropia in accordo con una ricerca a priori suun sottoinsieme dei dati di Auger, consideriamo ora i risultati utilizzando l’interoset di dati di Auger (1 gennaio 2004 - 31 agosto 2007), che permette di ottenere mis-ure piu accurate del segnale di correlazione; utilizzando lo stesso metodo descrittosopra si trova che la probabilita minima per l’ipotesi di distribuzione isotropa delledirezioni di arrivo corrisponde al set di parametri: zmax = 0.017 (Dmax $ 75 Mpc),Eth = 57 EeV e 4 = 3.2.

Con questi parametri, si trova che 20 dei 27 eventi piu energetici sono in cor-relazione con almeno uno dei 442 AGN selezionati (sono le sorgenti nel catalogocon z # 0.017, e di queste 292 sono nel campo di vista dell’osservatorio), mentrene sarebbero previsti 5.6 in media se il flusso fosse isotropo (p=0.21). La rispetti-va probabilita cumulativa di raggiungere questo livello di correlazione da un flussoisotropo e data da Pmin = 4.6!10"9. Di nuovo, la Pmin trovata deve essere corretta,come nel caso della ricerca esplorativa, per il numero di tentativi fatti per trovarela probabilita minima a posteriori; considerando queste correzioni, Pmin diventadell’ordine di 10"5.

5.1.2 Angular power spectrum

Come accennato in precedenza, l’anisotropia dei raggi cosmici puo essere di-mostrata analizzando le deviazioni dall’isotropia nella distribuzione delle direzionidi arrivo.

Per un qualsiasi set di dati di direzioni di arrivo (con un’esposizione a tuttocielo), l’anisotropia puo essere caratterizzata da un set di coe!cienti a)m dati da:

a)m =

/I(#, 1)Y)m(#, 1)d% (5.3)

71

dove le Y)m(#, 1) sono le armoniche sferiche e I(#,1) e l’intensita dei raggi cosmiciin una data direzione.

Per un numero N discreto di direzioni di arrivo con un’esposizione relativa 0(!u)non uniforme, la stima per i coe!cienti e data da:

a)m =1

N

N>

i=1

1

0iY)m(!u(i)) (5.4)

dove 0i e l’esposizione relativa nella direzione di arrivo !u(i) e N e la somma dei pesi1*i

.L’angular power spectrum e il valor medio di a2

)m in funzione di 5:

C) =1

25 + 1

)>

m=")

a2)m, (5.5)

quindi la potenza nel modo 5 = 1/# e sensibile a variazioni di flusso su una scalaangolare di # radianti. Per studiare l’anisotropia dei raggi cosmici si considerano imodi da 5 = 1 (termine di dipolo) a 5 " 60, essendo gli ordini piu alti irrilevanti perla sensibilita dei rivelatori; per i raggi cosmici carichi la di"usione dovuta ai campimagnetici complica le cose.

Analizzando i primi modi, possiamo vedere che una distribuzione di intensitache contiene solo il termine di monopolo e equivalente alla distribuzione isotropa; lamisura dell’anisotropia e data proprio dall’intensita degli altri termini di multipolorelativamente a quello di monopolo.

Una distribuzione puramente dipolare non e possibile perche l’intensita dei raggicosmici non puo essere negativa in meta del cielo; quando si parla di termine didipolo si intende quindi una deviazione dipolare dall’isotropia. Cio si potrebbeavere se le sorgenti fossero distribuite in un alone attorno alla Galassia, e in questocaso il vettore di dipolo punterebbe verso il centro galattico.

Una approssimativa deviazione dipolare dall’isotropia si puo avere nel caso diuna sola sorgente forte, se la di"usione magnetica distribuisce quelle direzioni diarrivo sulla gran parte del cielo.

Per una deviazione dipolare dall’isotropia, l’intensita dei raggi cosmici varia nelcielo in questo modo:

I(!u) =N

4"(1 + *!D · !u). (5.6)

Qui !u e il vettore unitario che definisce la direzione celeste, N4' e l’intensita media,

!D e il vettore unitario che definisce la direzione del dipolo e * e la sua ampiezza, ilcui valore da una misura dell’anisotropia:

* =Imax % Imin

Imax + Imin. (5.7)

72

L’applicazione di questo metodo alle direzioni di arrivo degli eventi rivelati daAuger con energie oltre 50 EeV mostra che e necessario un ordine di multipolo paria 5 per descriverne la distribuzione con un livello di confidenza pari al 99%.

5.1.3 Mappe di densita

La correlazione trovata da Auger indica che gli AGN sono potenziali sorgenti diUHECR, ma non costituisce una prova certa. Sappiamo infatti che la distribuzionedi materia nell’universo locale (entro 100 Mpc) e fortemente non uniforme, e che gliAGN sono correlati con questa disomogeneita.

E’ quindi ragionevole cercare di capire se i dati che abbiamo costituiscano un’in-formazione su!ciente per determinare se il segnale di correlazione si puo associarein modo non ambiguo con gli AGN o se invece la correlazione esista con un altroinsieme di sorgenti con distribuzione simile a quella degli AGN.

Nel caso del catalogo VCV utilizzato nella ricerca di correlazione in Auger, siutilizza il metodo descritto nel paragrafo 5.1.1, che ha come punto di partenza laprobabilita p vista come frazione del cielo accessibile all’osservazione da Auger, cop-erta da finestre circolari di una certa ampiezza centrate sulle posizioni degli AGN.

Questo e possibile poiche, nel caso degli AGN, la frazione di cielo coperta nonriempie la maggior parte del cielo; se per esempio si volesse studiare la correlazionecon le galassie normali, che sono molto piu numerose, questo metodo non sarebbedirettamente applicabile.

Una tecnica alternativa consiste nella costruzione, da un catalogo di sorgentidiscreto, di una mappa continua di probabilita delle direzioni di arrivo dei raggicosmici oltre una certa energia.

La mappa viene costruita a partire dalle posizioni degli oggetti specificate nelcatalogo, attraverso la sovrapposizione di distribuzioni gaussiane di larghezza fissata/ (una scala angolare di alcuni gradi riferita alla deflessione tipica attesa per i raggicosmici).

Il fattore peso tiene conto della funzione di selezione del catalogo 1(z), delladistanza di luminosita della sorgente dL(z) e dell’attenuazione del flusso dovutoall’e"etto GZK:

w(z, Eth) =1

4"d2L(z)1(z)

+#/

Ei(z,Eth)

E"sdE, (5.8)

dove Ei(z, Eth) e l’energia iniziale minima richiesta per un raggio cosmico a redshiftz per raggiungere la terra con energia maggiore di Eth.

Nessun catalogo di galassie e completo e quindi sono necessarie delle stime sullacompletezza del catalogo dagli e"etti di selezione; la quantita rilevante da derivaree la frazione di galassie realmente osservate ai vari redshift, detta appunto funzionedi selezione. Un modo conveniente per esprimerla e in termini della distribuzione

73

della luminosita delle galassie 1(L):

1(z) =

)#Lmin(z)

dL1(L))#

0 dL1(L), (5.9)

dove Lmin(z) e l’intensita minima rivelata in funzione del redshift.La probabilita di osservare un evento da una particolare direzione nel cielo e pro-

porzionale alla corrispondente densita nella mappa; per quantificare la correlazionetra un set di dati e una data mappa si costruisce quindi la log-likelihood media perevento:

logL =1

N

N>

i=1

log(p(li, bi)) (5.10)

dove N e il numero di eventi nel set di dati e p(li, bi) e il valore della densita (ed equindi indice della probabilita di correlazione) nella direzione (li, bi).

Generando dei sets di dati simulati distribuiti secondo le densita delle diversemappe con lo stesso numero di eventi presenti nei dati e confrontando i valori di Lper i dati con i valori attesi per i diversi scenari e possibile discriminare tra i variscenari.

In particolare si possono simulare eventi provenienti da una distribuzione isotropadi sorgenti; a questo punto, utilizzando le varie mappe costruite con il procedimentospiegato sopra, si possono calcolare le densita delle mappe stesse in direzione di ognievento, ottenendo quindi un insieme di valori per L. Si procede quindi confrontandoi valori di L per le simulazioni con il valore di L dei dati; il fatto che non sia statatrovata compatibilita tra questi valori indica quindi che molti degli eventi simulaticadono in regioni di bassa densita mentre molti degli eventi reali rientrano in regioniad alta densita, confermando quindi l’ipotesi di anisotropia delle direzioni di arrivo.

E’ possibile ripetere lo stesso procedimento con simulazioni di eventi provenientida distribuzioni che ricalcano le mappe di densita costruite sui diversi cataloghi; inquesto modo si possono distinguere i diversi modelli di distribuzione delle sorgentidi UHECR.

5.2 Discussione sui risultati di Auger

Il fatto che le direzioni di arrivo degli eventi piu energetici siano correlate conle posizioni degli AGN non implica direttamente che questi siano le reali sorgentidei raggi cosmici; infatti si potrebbe avere che la distribuzione stessa deli AGN siacorrelata con la distribuzione di altre potenziali sorgenti, come per esempio i GammaRay Bursts.

Se la statistica fosse maggiore, si potrebbero immaginare dei metodi diretti perl’identificazione di sorgenti, ma avendo, a energie cosı alte, uno o al piu due eventiche sembrano provenire dalla stessa sorgente, si puo solo utilizzare la distribuzione

74

Figura 5.3: Confronto tra logL per evento in diversi intervalli di energia tra i dati e gli eventisimulati (in blu i valori relativi ai dati simulati provenienti da una distribuzione isotropa,in rosso i valori relativi ai dati simulati provenienti da una distribuzione anisotropa, inparticolare una distribuzione che ricalca quella degli AGN del catalogo VCV con unafinestra angolare di 2° da ogni AGN). I dati sono compatibili con una distribuzione chesegue quella degli AGN ad alte energie con una transizione verso una distribuzione isotropaa energie piu basse. [32]

globale nel cielo per analizzare le diverse ipotesi sulla natura delle sorgenti.

La correlazione osservata e consistente con l’ipotesi che i raggi cosmici con leenergie piu alte che arrivano a terra siano prodotti in AGN relativamente vicini,entro la distanza oltre cui l’e"etto GZK non attenua il loro flusso in modo signi-ficativo. L’orizzonte GZK puo essere definito come la distanza dalla terra entro cuisono contenute le sorgenti che producono il 90% dei protoni che arrivano con energieoltre una data soglia. Ipotizzando le sorgenti come uniformemente distribuite e conuguale luminosita intrinseca in raggi cosmici, l’orizzonte e circa 90 Mpc per protoniche arrivano con energie oltre 80 EeV e circa 200 Mpc per energie oltre 60 EeV.

Il valore minimo della probabilita che gli eventi giungano da una distribuzioneisotropa corrisponde a correlazioni con AGN a distanze minori di 71 Mpc, per raggicosmici con energie oltre 57 EeV; si trovano comunque valori molto piccoli per laprobabilita in un intervallo di distanze che va da 50 a 100 Mpc.

Ci aspettiamo che la distanza massima Dmax degli AGN sia confrontabile con lascala dell’orizzonte, ma la relazione tra queste due quantita puo essere influenzatada alcuni fattori. Una correlazione accidentale con un AGN vicino diverso dalla verasorgente puo indurre degli errori nel valore di Dmax; a questo si deve aggiungere ilfatto che l’incompletezza del catalogo VCV impedisce l’esplorazione oltre 100 Mpc.Inoltre la stima della scala dell’orizzonte dipende anche da quanto la distribuzionedelle sorgenti sia lontana dall’essere unforme (una grande densita locale di sorgentipotrebbe ridurre la distanza dell’orizzonte) e anche dalla distribuzione delle lumi-

75

nosita intrinseche.

La scala angolare della correlazione e consistente con la deflessione che ci siaspetta dal campo magnetico galattico sui protoni; un raggio cosmico con carica Zeche attraversa una distanza D in un campo magnetico !B viene deflesso di un angolo. dato da:

. "= 2.760EeV

E/Z

;;;;;;

D/

0

d!x

kpc!

!B

3µG

;;;;;;. (5.11)

Se si prende il campo magnetico galattico dell’intensita di qualche µG con una scaladell’ordine di " 1 kpc, ci si aspetta una deflessione di alcuni gradi per protoni conE > 60 EeV.

La scala angolare della correlazione osservata implica inoltre che i campi mag-netici intergalattici presenti lungo la linea di vista delle sorgenti non possano deviarele traiettorie dei raggi cosmici per piu di qualche grado. Possono verificarsi deglierrori nella determinazione della scala angolare della deflessione; non e detto chel’AGN piu vicino alla direzione di arrivo di un raggio cosmico ne sia la sorgente.Questo fattore puo quindi implicare una sottostima della deflessione; d’altra parte,l’AGN correlato ad un particolare evento potrebbe essere piu lontano dalla direzionedi arrivo, e questo porterebbe ad una sovrastima dell’angolo di deflessione.

I siti di accelerazione nelle galassie attive che sono in correlazione con eventi oltre57 EeV sono sorgenti candidate di raggi cosmici di alte energie, ma con la presentestatistica non possono essere esclusi altri possibili candidati.Le correlazioni osservate escludono modelli che attribuiscono l’origine dei raggi cos-mici a oggetti compatti nella nostra galassia, come stelle di neutroni, pulsars e buchineri, e a gamma ray bursts.

La distribuzione di materia nell’universo a grande scala, rappresentata dallegalassie normali, e molto simile alla distribuzione degli AGN piu vicini. Quindial momento non possono essere esclusi siti di accelerazione in galassie normali ne inoggetti compatti extragalattici, in resti di quasar o in gamma ray bursts extragalat-tici.

Gli AGN vengono considerati da tempo dei possibili siti di accelerazione di rag-gi cosmici, e sono stati proposti diversi meccanismi che sfruttano di"erenti regioni(dalle zone centrali ai getti e ai radio lobi) di questi oggetti per l’accelerazione.AGN con radio lobes prominenti sono rari e non seguono la distribuzione spazialedegli AGN in correlazione; l’unica eccezione e Cen A, a soli 3.4 Mpc, che ha dueeventi in correlazione e altri nelle vicinanze dell’estensione del lobo radio lungo ilpiano galattico.

L’aumento della statistica contribuira alla distinzione tra le due diverse ipotesidegli AGN come sorgenti di raggi cosmici o indicatori delle sorgenti; se i dati futurieleggeranno gli AGN come ospiti degli acceleratori di raggi cosmici, il tipo di AGN

76

Figura 5.4: Mappa degli eventi UHECR (cerchi rossi) e AGN BAT entro 100 Mpc (cerchiblu) in coordinate supergalattiche.

selezionato aiutera a distinguere tra i diversi meccanismi di accelerazione proposti.

5.3 Cataloghi alternativi

5.3.1 Swift BAT AGN Catalog

La correlazione degli eventi misurati da Auger con le sorgenti extragalattichee basata sul catalogo VCV, che risulta dall’insieme di diverse campagne di osser-vazione e contiene tutti i nuclei attivi e i quasars esistenti in letteratura, che sonostati osservati nella banda ottica.

Nel lavoro di George et al. [34] si studia la correlazione delle direzioni di arrivodegli UHECR di Auger con la posizione degli AGN presi dal catalogo Swift BATdei nuclei galattici attivi che emettono radiazione X; infatti i cataloghi selezionatidal punto di vista ottico di!cilmente includono i nuclei oscurati degli AGN.

Essendo le osservazioni nell’X duro meno sensibili all’oscuramento, possono dareinformazioni piu precise sull’accrescimento e sulla luminosita intrinseca di un AGN.

Entro il campo di vista di Auger a distanze minori di 100 Mpc il catalogo VCVcontiene 410 oggetti, mentre le sorgenti catalogate da Swift con le stesse caratteris-tiche sono 57 e 6 di queste non sono presenti in VCV.

Nel lavoro citato sopra sono state inizialmente confrontate le posizioni degli AGNcon le direzioni di arrivo degli UHECR; successivamente le posizioni sono state pe-sate con il prodotto del flusso X per la relativa esposizione di Auger.

Restringendo il catalogo BAT alle zone in cui risulta completo e a quelle incui l’esposizione di Auger e diversa da zero rimangono 138 AGN e 19 UHECR; conquesta lista, la probabilita di avere correlazione e del 50%. La probabilita raggiungeil 98% dopo aver pesato le coordinate degli AGN con il flusso X della sorgente e con

77

la relativa esposizione di Auger.Restringendo ancora il catalogo alle 57 sorgenti con distanze minori di 57 Mpc

si trova una probabilita non pesata dell’84%; il valore pesato sul flusso non varia,e questo puo indicare il fatto che la correlazione e dominata da sorgenti vicine emolto luminose. Con lo stesso taglio nel catalogo VCV George et al. ottengono unacorrelazione del 55%.

Sono stati fatti dei tests analoghi sulla dipendenza della probabilita dalla lu-minosita delle sorgenti ed e stato osservato che, considerando l’intero catalogo, lacorrelazione e minore per le sorgenti piu luminose che per quelle piu deboli; e possi-bile infatti che la radiazione che circonda gli AGN interferisca con la propagazionedegli UHECR. Al contrario, restringendosi a distanze minori di 100 Mpc sono lesorgenti piu luminose a correlare meglio. Questi risultati implicherebbero che il flus-so dei raggi cosmici sia collegato alla luminosita degli AGN e che le lunghezze dipropagazione su scale di 100 Mpc inteferiscano con questo e"etto.

La correlazione trovata con il catalogo BAT con le direzioni degli UHECR e piualta di quella trovata con il catalogo VCV dagli stessi autori; da questa sola infor-mazione, si potrebbe ipotizzare che sia un altro tipo di sorgenti con una distribuzionelocale simile a quella degli AGN ad essere responsabile dell’accelerazione degli UHE-CR. Ma e stato visto anche che pesando le coordinate degli AGN con il flusso Xo selezionando le sorgenti vicine piu luminose, la correlazione aumenta; quindi unaclasse alternativa di sorgenti responsabili dell’accelerazione dovrebbe ricalcare sia ladistribuzione spaziale locale che la distribuzione delle luminosita degli AGN.

Se gli AGN sono identificati con le sorgenti di UHECR, l’altro risultato impor-tante di questo lavoro e la diminuzione della correlazione a distanze dell’ordine di100 Mpc, oltre cui l’e"etto GZK sopprime il flusso di raggi cosmici.

5.3.2 Correzioni al catalogo VCV

Nell’analisi originaria di Auger, senza tagli sul piano galattico, sono presenti 27UHECR oltre 57 EeV, 20 dei quali sono in correlazione con una galassia del catalogoVCV piu vicina di z = 0.018; i 20 eventi sono correlati con 21 galassie VCV.

Nel lavoro di Zaw, Farrar & Greene [36] sono stati analizzati gli spettri di questioggetti e ne e stata data una classificazione alternativa, basata sui diagrammi di-agnostici BPT (Baldwin et al, 1981) che utilizzano dei criteri legati all’intensita dialcune righe proibite negli spettri di emissione in cui siano presenti righe ‘strette’.Utilizzando certi criteri si possono quindi di"erenziare le Seyfert da regioni di emis-sione nucleare a bassa ionizzazione (LINERs) che non mostrano segni di attivitacome gli AGN; infatti l’emissione di righe ‘strette’ puo essere anche indice di for-mazione stellare.

Con questi criteri, 14 delle 21 galassie VCV, correlate con 14 UHECR, risultanoessere AGN.

78

La luminosita bolometrica (Appendice D) degli AGN correlati rappresenta untest per le teorie sull’accelerazione di UHECR.

Sia R la dimensione caratteristica della regione accelerante nel sistema di riferi-mento del jet, con un campo magnetico di intensita B. A!nche la turbolenza acceleriun raggio cosmico ad una certa energia, la regione accelerante deve confinare il rag-gio comico stesso, cioe il raggio di Larmor della particella (0.1MpcE20/ZBµG) deveessere minore di R:

RB > 3! 1017$"1E20 G cm, (5.12)

dove $ e il fattore di Lorentz del jet.La luminosita di Poynting del jet e data da L " 1

6c$4B2R2; questo flusso di

energia e alimentato proprio dalla rimozione di momento angolare lungo l’asse per-pedicolare al disco di accrescimento del buco nero supermassivo al centro dell’AGN,e rappresenta un’importante caratteristica del processo di accelerazione.

In questo lavoro si pone infatti come limite per l’accelerazione di un raggio cos-mico di E * E201020 eV una luminosita bolometrica della sorgente superiore a quelladi Poynting: Lbol > 1045$2E2

20 erg/s.Per definizione, la luminosita bolometrica di un oggetto e quella che si otterrebbe

raccogliendo l’emissione in tutte le lunghezze d’onda; in questo lavoro tale quantitae stata calcolata utilizzando dei fattori di conversione tra, per esempio, la luminositaX e quella bolometrica, o riscalando il flusso misurato in alcune particolari lunghezzed’onda o di alcune righe di emissione.

Per ogni coppia di AGN-UHECR e stato quindi calcolato il parametro +bol *Lbol10"45E"2

20 , e si puo vedere che solo in un caso si ha +bol > 1, mentre in altricasi questo parametro resta di poco inferiore al limite; nel modello degli AGN flarestutto cio sarebbe plausibile.

Secondo questo modello infatti gli UHECR sarebbero accelerati in lampi relati-vamente brevi (della durata di un mese o meno), durante i quali il limite richiestoper la luminosita e superato, mentre al di fuori di questi periodi si osserverebbesemplicemente un AGN in accrescimento. Questi brillamenti avrebbero inizio nelmomento in cui una instabilita del disco di accrescimento o la distruzione di unastella a causa delle forze di marea riscalda il disco stesso.

Un altro aspetto interessante della correlazione osservata da Auger e la mancan-za di UHECR dall’ammasso di Virgo; cio puo apparire strano, a causa della suavicinanza e del grande numero di galassie VCV in Virgo. In questo lavoro sono stateanalizzate 30 galassie VCV che si trovano nell’ammasso entro un certo redshift eentro una certa distanza dal centro; le loro luminosita bolometriche risultano esseresistematicamente piu basse rispetto a quelle degli AGN correlati con gli UHECR(che vanno da 5! 1042 a 1! 1046 erg/s).Se gli UHECR sono preferibilmente accelerati da AGN oltre la soglia di luminositaconsiderata sopra, ci si potrebbe aspettare una correlazione ridotta tra UHECR os-servati da esperimenti nell’emisfero nord e galassie VCV rispetto a quella vista daAuger nell’emisfero sud; questo proprio perche una sostanziale frazione degli AGN

79

nell’emisfero nord sono LLAGN (Low Luminosity AGN), a causa della sensibilitadelle osservazioni spettroscopiche di Palomar delle galassie vicine.

HiRes ha recentemente ripetuto le analisi di correlazione fatte da Auger trovando2 eventi in correlazione dei 13 eventi osservati.

Una luminosita bolometrica minima richiesta per le galassie che accelerano UHE-CR potrebbe spiegare sia l’assenza di UHECR correlati con AGN nell’ammasso diVirgo sia la relativamente bassa correlazione riportata da HiRes, poiche esisterebbeuna propozione maggiore di AGN a bassa luminosita nel catalogo VCV nel campodi vista di HiRes rispetto al campo di vista di Auger.

80

Capitolo 6

Risultati

Gli esperimenti Auger e HiRes misurano lo spettro dei raggi cosmici ad alteenergie, mostrando l’esistenza di una attenuazione del flusso a energie intorno a1019.5 eV.

Il cut-o" osservato in entrambi gli esperimenti puo essere giustificato con unargomento che riguarda le caratteristiche dell’interazione tra i protoni e la radiazionecosmica di fondo; l’e"etto GZK prevede infatti una soppressione del flusso di raggicosmici prodotti ad una certa distanza dall’osservatore a causa della reazione difotoproduzione di pioni (come spiegato nel capitolo 3).

L’osservazione di questa caratteristica dello spettro prevista nell’ambito delleteorie bottom-up permette di mettere in secondo piano le teorie top-down per laproduzione di raggi cosmici, introdotte per spiegare dal punto di vista teorico l’osser-vazione di un eccesso nel flusso misurato dall’esperimento AGASA.

Nell’ambito di queste teorie si ipotizza la provenienza dei raggi cosmici da sor-genti astrofisiche galattiche e extragalattiche con opportune dimensioni della regioneaccelerante e opportuni valori del campo magnetico.

In aggiunta alla misura del flusso, nell’esperimento Auger, come spiegato nelcapitolo precedente, e stato possibile confrontare le direzioni di arrivo dei raggi cos-mici con le posizioni dei nuclei galattici attivi trovando una correlazione positiva.

Avendo quindi delle informazioni sulle possibili sorgenti, e interessante calcolareil flusso di raggi cosmici proveniente da questi oggetti. A questo calcolo seguiraquindi il confronto con il flusso misurato da Auger.

Questo lavoro di Tesi, grazie al confronto tra i due spettri, rappresenta un pun-to di collegamento tra le evidenze osservative che o"re Auger; in questo capitolosi analizza il confronto tra lo spettro sperimentale misurato da Auger e lo spettroteorico da noi calcolato. Si elencano inoltre i parametri che rientrano nei calcoli e levariazioni alcuni di questi determinano sullo spettro teorico.

Riportiamo innanzi tutto delle informazioni sulla misura del flusso in Auger;spieghiamo quindi il procedimento utilizzato per il calcolo del flusso teorico e discu-

81

Figura 6.1: Spettro misurato da HiRes-1 e HiRes-2 singolarmente e spettro misurato dalrivelatore di superficie di Auger [39].

tiamo infine le scelte fatte per i parametri utilizzati nei calcoli. Rimandiamo infinealla parte sulle Conclusioni per una discussione completa sui parametri utilizzati neicalcoli e sulle conseguenze che la scelta di questi ha comportato sul confronto con ilflusso sperimentale; discutiamo inoltre nelle Conclusioni gli obbiettivi raggiunti conquesto lavoro di Tesi e i possibili sviluppi di questo lavoro.

6.1 Spettro di Auger

Lo sviluppo longitudinale dello sciame in atmosfera viene misurato utilizzandoi rivelatori di fluorescenza; la luce prodotta viene rivelata come una serie di pixelsilluminati in una o piu camere. La posizione di questi pixels e il tempo di arrivodella luce determinano la direzione dello sciame.

Il segnale, dopo le correzioni per l’attenuazione dovuta allo scattering Rayleighe allo scattering degli aerosol, e proporzionale al numero di fotoni di fluorescenzaemessi nel campo di vista del pixel; si deve inoltre tenere conto della contaminazionedata dalla luce di fluorescenza prodotta ad angoli vicini all’asse dello sciame e chepuo essere scatterata verso i pixels.

Utilizzando la funzione di Gaisser-Hillas (equazione 4.22) si puo quindi ricostruireil profilo dello sciame che da una misura dell’energia dell’EAS rilasciata in atmosfera;per derivare l’energia del primario viene fatta una stima dell’energia trasportata damuoni e neutrini basandosi sulle assunzioni circa la massa del raggio cosmico pri-mario. L’incertezza sistematica e del 4%.

E’ necessario inoltre stimare gli errori sistematici nella misura dell’energia del-l’FD. Le incertezze maggiori si trovano nel prodotto di fluorescenza (14%), nella

82

calibrazione assoluta dei telescopi (10%) e nel metodo di ricostruzione (10%); glierrori proventienti dagli aerosols atmosferici, la dipendenza dello spettro di fluo-rescenza dalla temperatura e dall’umidita arrivano entrambi al 5%.

Considerando quindi tutti i contributi, si trova un errore sistematico del 22%nella determinazione dell’energia.

Lo spettro in energia basato su 20000 eventi e mostrato in figura 6.2; e fittatoda una funzione con energia di soppressione a 4!1019 eV, definita come l’energia incorrispondenza della quale il flusso diminuisce del 50% rispetto alla legge di potenzaestrapolata.

Per esaminare la forma spettrale alle energie piu alte, lo spettro e stato fittato conuna funzione a legge di potenza (J ' E"&) tra 4! 1018 eV e 4! 1019 eV, ottenendo$ = 2.69 ± 0.02(stat)±0.06(sist), dove l’incertezza sistematica viene dalla curva dicalibrazione. L’indice spettrale oltre 4! 1019 eV e $ = 4.2± 0.4(stat)±0.06(sist); estato inoltre utilizzato un metodo indipendente dall’indice $ per rigettare l’ipotesidi singola legge di potenza oltre 4 ! 1018 eV con una significativita maggiore di 6deviazioni standard.

In figura 6.2 si puo vedere la di"erenza rispetto ad un flusso assunto di E"2.69; idati di HiRes I mostrano uno spettro piu soft dove l’indice dello spettro di Auger e2.69, mentre la posizione della soppressione e in accordo tra i due esperimenti, entrol’incertezza sistematica.

Il fatto che sia stata rigettata l’ipotesi che lo spettro di raggi cosmici continuicon una pendenza costante oltre 4! 1019 eV, con una significativita di 6 deviazionistandard e un risultato molto importante, se considerato insieme al fatto che laricerca di correlazione fatta da Auger con sorgenti extragalattiche ha dato esitipositivi.

Questi risultati presi insieme possono essere infatti interpretati come la verificadella previsione GZK riguardo ai motivi della soppressione del flusso.

6.2 Spettro teorico

I dati di Auger mostrano evidenza di un’anisotropia nelle direzioni di arrivo deiraggi cosmici alle energie piu alte; nel capitolo precedente sono state riportate alcuneinformazioni sul confronto tra le direzioni degli eventi e le posizioni degli AGN e lacorrelazione positiva annunciata da Auger.

Avendo a disposizione in letteratura le luminosita delle sorgenti trovate in corre-lazione e possibile calcolare il flusso di raggi cosmici da esse provenienti, ipotizzandouno spettro di iniezione alla sorgente a legge di potenza; lo spettro in energia chene risulta rappresenta il punto di collegamento tra le informazioni fornite dalla cor-relazione trovata da Auger e lo spettro misurato.

Nel calcolo dello spettro teorico entrano diversi parametri; al variare di questie possibile riprodurre lo spettro misurato, ottenendo quindi delle informazioni sugli

83

Figura 6.2: Parte superiore: Flusso di!erenziale J in funzione dell’energia, con le incertezzestatistiche. Parte inferiore: di!erenza tra i dati di Auger e HiRes I confrontati con unospettro con un indice 2.69 [42].

oggetti candidati a sorgenti di raggi cosmici.Dato l’esiguo numero delle sorgenti correlate e data la bassa statistica delle mis-

ure di Auger non e possibile trarre delle conclusioni sulla classe di sorgenti chepossono accelerare raggi cosmici; si puo comunque vedere come varia lo spettro cal-colato ad alte energie a seconda delle sorgenti che si includono nel calcolo.

Nei paragrafi che seguono si riportano i procedimenti per il calcolo del flussoteorico; questo sara la somma del flusso proveniente dalle sorgenti trovate in corre-lazione e del flusso proveniente da una distribuzione uniforme di sorgenti per redshiftoltre 0.017.

In generale i cataloghi di AGN risultano incompleti sul piano galattico, dovel’estinzione dovuta alla polvere nella Galassia riduce la sensibilita delle osservazioni;in particolare il catalogo VCV risulta dalla somma di varie campagne di osservazione,per cui alcune zone del cielo risultano meno esplorate di altre. Il catalogo si puocomunque considerare completo ai fini della ricerca delle correlazioni entro 100 Mpc.

All’aumentare della distanza le sorgenti rivelate nelle varie campagne di osser-vazione saranno solo le piu luminose, quindi il catalogo risulta sempre piu disomo-geneo.

Al contrario, se fossimo in grado di rivelare tutte le sorgenti, per distanze mag-giori di 100 Mpc ci possiamo aspettare di osservare un universo con una distribuzioneuniforme di sorgenti; poiche non esiste un catalogo completo da questo punto di

84

vista, utilizziamo da redshift 0.018 in poi una distribuzione uniforme di sorgenti.Lo spettro totale sara quindi la somma dei due contributi descritti sopra; da

notare che in questo procedimento avremo che ad alte energie contribuira solo lacomponente discreta, in quanto quella della distribuzione uniforme andra a zero perl’e"etto combinato della soppressione del flusso data dal GZK e dell’energia massimaa cui possono essere accelerate particelle utilizzata nel calcolo. A energie piu bassesi avranno invece entrambi i contributi.

6.2.1 Calcolo del flusso da sorgenti discrete

Per calcolare lo spettro di emissione delle sorgenti correlate con gli eventi di Augerdobbiamo calcolare il flusso di ogni singola sorgente con la propria luminosita; comegia visto nel capitolo 3 il flusso da una singola sorgente e dato da:

J(E, z) =1

(4")2

Qinj(Eg(E, z))

(1 + z)(R(t0)r)2

dEg(E, z)

dE. (6.1)

dove R(t0)r e dato daR(t0)r = R(t)r(1 + z); (6.2)

rR(t0) = c

0/

z

dzdt

dz(1 + z) =

c

H0

zg/

0

dz2(1 + z)3%m + %"

(6.3)

avendo preso !dt

dz

""1

= %H0(1 + z)2

(1 + z)3%m + %". (6.4)

Per avere lo spettro totale delle sorgenti in questione bastera quindi sommare ognisingolo contributo.

Per quanto riguarda l’espressione dello spettro di iniezione, si avra:

Qinj(E) =

3Q0

#E

Emin

$"&

= L0(&"2)E2

min

#E

Emin

$"&

E # Emax

0 E > Emax

(6.5)

e L0 e proprio la luminosita assoluta della sorgente considerata; nel caso della dis-tribuzione uniforme di sorgenti si utilizzera la stessa espressione per l’iniezione, convalori di L0 determinati come spiegato nel prossimo paragrafo.

Nel catalogo VCV vengono fornite per ogni oggetto le magnitudini nelle bande B,U, V e la magnitudine assoluta M , che si riferisce alla magnitudine apparente nellabanda B. Dalla magnitudine assoluta si puo ricavare la luminosita di ogni oggettocome spiegato in Appendice D.1.

85

Costruzione della lista di sorgenti

Il segnale di correlazione annunciato da Auger si basa sul fatto che dei 27 eventiregistrati da Auger dal 1 gennaio 2004 al 31 agosto 2007 con energia oltre 57 EeVsi hanno 20 eventi che correlano entro 3.2° con AGN con redshift z # 0.017; questaricerca e stata fatta utilizzando la 12a edizione del catalogo di nuclei attivi e quasars(catalogo VCV, [6].

Cio significa che, all’interno delle finestre circolari di 3.2° centrate sulla direzionedi arrivo dell’evento, per 20 dei 27 eventi piu energetici sono stati trovati degli oggettiche nel catalogo VCV vengono calssificati come BL Lac, AGN o Quasars.

Catalogo VCV. Ai fini del calcolo del flusso teorico da sorgenti extragalattiche,e stato quindi necessario selezionare una lista di sorgenti dal catalogo VCV; cio estato fatto prendendo l’intero catalogo VCV contenente 21737 galassie attive, 1122BL Lac e 85221 quasars e selezionando l’oggetto (o gli oggetti) con z # 0.017 e entro3.2° dalla direzione dell’evento considerato.

Quello che abbiamo ottenuto e una lista di 30 sorgenti; in alcuni casi si puo avereinfatti che un evento ha piu di una sorgente entro 3.2° dalla sua direzione.

Questo significa che, se ho un numero n di sorgenti entro l’apertura angolareprescelta, n% 1 delle correlazioni che ne risultano saranno casuali e quindi solo unadi queste sorgenti dovra rientrare nel calcolo del flusso.

Dalla lista di sorgenti non e possibile distinguere dei criteri che favoriscano lascelta di una sorgente all’interno della finestra angolare piuttosto che un’altra, cioedalle caratteristiche degli AGN non si deducono dei motivi per preferire un AGN adun altro come sito di provenienza dei raggi cosmici.

Come criterio di scelta si puo quindi utilizzare un semplice fatto legato allapotenza della sorgente, prendendo quindi l’oggetto con luminosita piu alta; si puoanche pensare di prendere la sorgente la cui posizione abbia minore distanza angolaredall’evento corrispondente, pensando quindi che il campo magnetico galattico nonsia in grado di deflettere significativamente la direzione dell’evento di UHECR.

Dall’unica lista iniziale con 30 sorgenti sono state quindi costruite due liste;per gli eventi con piu di un oggetto entro 3.2° sono stati scelti in una prima lista,gli oggetti piu luminosi (Lista 1), nell’altra gli oggetti piu vicini (Lista 2). Lemagnitudini riportate nel catalogo per le sorgenti in correlazione vanno da un minimodi -14.4 (Centaurus A) a -21.9, che corrispondono rispettivamente a luminosita dicirca 1041 erg/s e 1044 erg/s.

In figura 6.3 si puo vedere un confronto tra i flussi teorici nelle due liste; si puonotare che ad alte energie conta di piu il contributo della lista contenente le sorgenticon distanza angolare minore dall’evento; cio e dovuto al fatto che in generale lesorgenti piu luminose presenti nell’altra lista sono quelle piu lontane e quindi dannoun maggiore contributo al flusso a basse energie.

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1017

1018

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

Lista 1Lista 2

Figura 6.3: Confronto tra i flussi teorici dagli AGN di Lista 1 e Lista 2 dal catalogo VCV,calcolati con le luminosita assolute proprie di ogni sorgente e con iniezione # = 2.7, energiamassima Emax = 1021 eV, evoluzione delle sorgenti m = 0.

In figura 6.4 si puo vedere il contributo delle sorgenti della Lista 1 suddivisein tre intervalli di redshift; il contributo delle sorgenti nell’intervallo piu vicino nonmostra attenuazione del flusso. Inoltre si puo vedere che il contributo maggiore alflusso viene dato dalle sorgenti oltre redshift 0.012, sia perche in questo intervallosi trovano la maggior parte delle sorgenti in correlazione, sia perche queste sono lesorgenti piu luminose.

Correzioni al catalogo VCV. Nel lavoro di Zaw et al. [36] sono stati analizzati glispettri degli AGN appartenenti al catalogo VCV trovati in correlazione da Auger;secondo i criteri qui utilizzati e stato trovato che soltanto 15 delle sorgenti in corre-lazione con gli UHECR di Auger risultano essere AGN, mentre le altre non mostranosegni di attivita. Le luminosita stimate per questi oggetti sono 5! 1042 ÷ 1! 1046

erg/s.Procediamo quindi anche in questo caso alla compilazione di due diverse liste;

come prima, per gli eventi con piu di un oggetto entro 3.2° sono stati scelti in unaprima lista, gli oggetti piu luminosi (Lista 1b), nell’altra gli oggetti piu vicini (Lista2b). In questo caso le due liste di"eriscono pero per due soli oggetti di luminositasimile e, come si puo vedere in figura 6.5, cio non influisce sul flusso in modo signi-ficativo.

Catalogo Swift BAT. Come riportato nel capitolo 5, sappiamo che da osservazioninella banda X possiamo avere informazioni piu precise sull’accrescimento e la lumi-nosita intrinseca di un AGN rispetto alle osservazioni nella banda ottica.

E’ utile quindi, con lo stesso procedimento applicato sul catalogo VCV, se-

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1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

0<z<0.0030.003<z<0.0120.012<z<0.018

Figura 6.4: Confronto tra i flussi teorici dagli AGN della Lista 1, suddivisa in tre intervallidi redshift, calcolati con le luminosita assolute proprie di ogni sorgente e con iniezione# = 2.1, energia massima Emax = 1021 eV, evoluzione delle sorgenti m = 0.

1019

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

Lista 1bLista 2b

Figura 6.5: Confronto tra i flussi teorici dagli AGN di Lista 1b e Lista 2b dal catalogoVCV corretto, calcolati con le luminosita bolometriche proprie di ogni sorgente e coniniezione # = 2.7, energia massima Emax = 1021 eV, evoluzione delle sorgenti m = 0.

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1018

1019

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

sorgenti X

Figura 6.6: Flusso teorico dagli AGN nella Lista X, calcolato con le luminosita nellabanda X proprie di ogni sorgente e con iniezione # = 2.7, energia massima Emax = 1021

eV, evoluzione delle sorgenti m = 0.

lezionare dal catalogo in esame, le sorgenti entro 3.2° da ogni evento di Auger percui sia stata trovata una correlazione positiva.

Non e stato possibile utilizzare il catalogo completo cui si fa riferimento in [34]perche non ancora pubblicato, ma e stato applicato il procedimento sopra descrit-to al catalogo parziale riferito ai primi 9 mesi di raccolta dati della campagna diosservazione di nuclei galattici attivi di Swift BAT nella banda 14 ÷ 195 keV, cheraccoglie 154 AGN [35].

Sono stati trovati solo 5 AGN di questo catalogo che si trovano entro 3.2° rispet-to agli eventi di Auger e il flusso e riportato in figura 6.6; le luminosita di questi 5oggetti vanno da circa 1042 erg/s a 3! 1045 erg/s.

6.2.2 Calcolo del flusso da distribuzione uniforme

Calcoliamo il flusso da distribuzione uniforme di sorgenti come spiegato nelcapitolo 3:

Jtot(E) =c

4"

zmax/

0

dz(1 + z)"1Q(Eg(E, z), z)

H0

2(1 + z)3%m + %"

dEg(E, z)

dE; (6.6)

come prima, prendiamo Q = n0Q, e n0 e la densita di sorgenti per unita di volume.Abbiamo inoltre preso zmax come soluzione di Eg(E, z) = Emax.

Nel caso di una distribuzione uniforme di sorgenti non si definisce una luminositaper ogni sorgente ma si prende un valore della luminosita per unita di volume.

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1017 1018 1019 1020 1021

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

Augerγ=2.7

2.42.1

Figura 6.7: Spettro da distribuzione uniforme, calcolato per diversi parametri di iniezione#, a confronto con lo spettro misurato da Auger. Nei calcoli e stato preso Emax = 1021

eV, m = 0.

Utilizziamo un valore della densita di sorgenti pari a n0 = 10"5 Mpc"3; questovalore e suggerito dall’osservazione del clustering a piccoli angoli nelle direzioni diarrivo dei raggi cosmici con energie oltre 4 ! 1019 eV in AGASA, che ha trovatoun certo numero di doppietti negli eventi; la densita delle sorgenti necessaria perspiegare il numero di doppietti osservati sarebbe appunto n0 = (1÷4)!10"5 Mpc"3,come riportato in [43]. Questo valore e inoltre in accordo con la densita stimata diAGN nell’universo.

La quantita che si utilizza e quindi la luminosita per unita di volume: L0 = L0n0.Calcolando i flussi teorici con diversi valori dell’indice $ e confrontandoli con i

dati di Auger (figura 6.7) si trovano i seguenti valori per le luminosita:

• L0($ = 2.7) = 8.48! 1048 erg/s

• L0($ = 2.4) = 8.40! 1045 erg/s

• L0($ = 2.1) = 1.86! 1043 erg/s

e dunque la luminosita per unita di volume sara:

• L0($ = 2.7) = 8.48! 1043 erg/(s Mpc3)

• L0($ = 2.4) = 8.40! 1040 erg/(s Mpc3)

• L0($ = 2.1) = 1.86! 1038 erg/(s Mpc3)

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1025

1017 1018 1019 1020 1021

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

zmin=00.018

0.050.10.30.5

Figura 6.8: Esempio di spettri da distribuzione uniforme calcolati per # = 2.7 e con L0 =8.48! 1048 erg/s, al variare del redshift minimo.

6.3 Parametri del flusso

I parametri che entrano nel calcolo dello spettro in energia sono:

• zmin, il redshift minimo a partire dal quale si utilizza una distribuzione uni-forme di sorgenti;

• $, lo spettro di iniezione alla sorgente;

• L0, la luminosita in raggi cosmici delle distribuzioni di sorgenti;

• Emax, l’energia massima a cui possono essere accelerati raggi cosmici allasorgente;

• m, l’evoluzione cosmologica delle sorgenti.

Analizziamo nel dettaglio i parametri elencati, mostrando con delle figure come varialo spettro al variare di essi.

Redshift

Nel caso dell’utilizzo del catalogo VCV abbiamo visto che per redshift oltre0.018 il catalogo non e completo; quindi il parametro zmin non potra essere inferiorea questo valore.

91

Spettro di iniezione

L’utilizzo di una funzione a legge di potenza per lo spettro di iniezione degliUHECR e motivata dai modelli dell’accelerazione da shock; questi modelli prevedonoun esponente tipico $ $ 2.0÷ 2.2.

In figura 6.7 si puo invece vedere che uno spettro di iniezione con $ = 2.7 siavvicina molto meglio allo spettro misurato da Auger che non quello con $ = 2.1.

Finora abbiamo assunto che la distribuzione uniforme di sorgenti sia composta dasorgenti con le stesse caratteristiche, ovvero la stessa luminosita e la stessa energiamassima a cui vengono accelerati i raggi cosmici alla sorgente.

Sappiamo pero che l’energia di accelerazione di una certa sorgente dipende daparametri che variano da sorgente a sorgente, come l’intensita del campo magneticoe le dimensioni della regione accelerante; quindi ci si puo aspettare che Emax siadiversa a seconda della sorgente presa in esame.

E’ stato dimostrato che la sovrapposizione di spettri con iniezione 2.0 ÷ 2.2 disingole sorgenti poste a diverse distanze e con diversi valori per Emax puo produrreuno spettro da distribuzione uniforme con un indice $ maggiore di quello che siavrebbe nel caso di singola sorgente [44].

Nei calcoli abbiamo quindi utilizzato diversi valori dell’indice di iniezione $ perla componente discreta e per quella uniforme.

Il valore di $ per la parte uniforme e, per i motivi detti sopra, maggiore di quellopreso per la parte discreta; infatti il contributo da distribuzione uniforme si estendefino alle energie piu basse e permette quindi di sommare i contributi delle sorgentifino a redshift molto alti.

Il risultato netto sara quindi quello di avere un $ e"ettivo piu alto di quello checi si puo apettare dall’accelerazione di Fermi.

Nella parte dello spettro alle energie piu alte, a causa delle perdite di energiaconsiderate, l’universo visibile e ristretto ad un raggio di circa 100 Mpc e quindi ladistribuzione di sorgenti non sara uniforme; l’insieme di sorgenti discrete che stiamoconsiderando contribuisce quindi ad un valore netto dello spettro di iniezione piuvicino all’esponente dello spettro del modello dell’accelerazione da shock.

Luminosita

Un altro importante parametro che fissa lo spettro atteso e la luminosita dellesorgenti e, per la distribuzione uniforme, la densita delle stesse. La densita dellesorgenti nella distribuzione uniforme si e assunta pari a n0 = 10"5 Mpc"3, checorrisponde alla densita’ di AGN stimata fino ad alto redshift. Fissata la den-sita, si puo stimare l’emissivita come spiegato nel paragrafo precedente, trovandoL0 = 1038 ÷ 1043erg/(sMpc3).

Nel caso delle sorgenti discrete il parametro che entra nella determinazione dellospettro e la luminosita in raggi cosmici L0. Nei cataloghi utilizzati si avevano adisposizione le luminosita in fotoni per fissate bande dello spettro. In questo caso,dunque, si e assunto la luminosita in protoni UHE proporzionale alla luminosita

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1017

1018

1017 1018 1019 1020 1021

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax=1020eVEmax=1021eVEmax=1022eV

Figura 6.9: Confronto tra i flussi teorici dalla Lista 1 per diversi valori di Emax. Nei calcolisono stati presi # = 2.7, m = 0.

osservata in fotoni, determinando il coe!ciente di proporzionalita dal confronto conlo spettro di Auger, come si spiega nel paragrafo successivo.

In questo contesto e’ stata fatta un’ulteriore semplificazione assumendo che l’-e!cienza di conversione della potenza della sorgente in luminosita di raggi cosmicisia la stessa per ogni sorgente da catalogo. In una situazione piu realistica, questae!cienza sara diversa da sorgente a sorgente.

Energia massima

Il valore dell’energia massima a cui possono essere accelerati i raggi cosmici allasorgente influenza il flusso degli UHECR oltre " 5 ! 1019 eV, mentre il flusso aenergie piu basse e indipendente da Emax, come si puo vedere sia nel caso dellesorgenti discrete (6.9), che nel caso della distribuzione uniforme (6.10).

Da notare che, nel caso di un valore dell’energia massima pari a 1022 eV ladi"erenza con il caso di Emax = 1021 eV e data soltanto dal fatto che nel secondocaso il flusso va a zero intorno a 7 ! 1020 eV, ma la struttura del GZK prevale inentrambi. Invece per energie massime minori, la soppressione del flusso sara datada una combinazione dell’energia massima scelta e dell’e"etto GZK.

93

1023

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1017 1018 1019 1020 1021

E3 J(E

) [e

V2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax=8x1019eV1020

1021

1022Auger

Figura 6.10: Confronto tra i flussi teorici da distribuzione uniforme per diversi valori diEmax. Nei calcoli sono stati presi # = 2.7, m = 0.

Evoluzione cosmologica delle sorgenti

Nel capitolo 3 abbiamo visto come si modifica lo spettro di iniezione Qinj se siassume un’evoluzione cosmologica delle sorgenti diversa da zero:

L0 ( L0(1 + z)m. (6.7)

Questa modifica del flusso si puo avere sia nel caso di sorgenti individuali che nel casodi una distribuzione; in particolare, nel nostro caso l’evoluzione contribuira ad unavariazione del flusso solo nel caso della distribuzione uniforme di sorgenti in quantole sorgenti discrete hanno redshift molto piccoli e la variazione della luminosita conz non e rilevante.

6.4 Calcolo del flusso teorico totale

Tenendo conto dei parametri coinvolti nel calcolo del flusso di raggi cosmici daicontributi delle due distribuzioni di sorgenti considerate, procediamo ora alla som-ma dei due contributi. Questa e stata fatta utilizzando il seguente procedimento, incui riportiamo i parametri utilizzati per la realizzazione dei grafici nelle figure 6.11,6.13 e 6.14. Per quanto riguarda i grafici che seguono, discutiamo in seguito i diversivalori di energia massima e di evoluzione cosmologica delle sorgenti utilizzati.

Nel calcolo del flusso totale (per le prime tre figure citate sopra) da entram-bi i contributi e stato preso un valore dell’energia massima pari a 2 ! 1020 eV el’evoluzione cosmologica delle sorgenti e stata presa sempre uguale a zero.

E’ stato calcolato il flusso da una distribuzione uniforme di sorgenti con zmin = 0

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1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 1distr.uniforme

Figura 6.11: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.6, L0 = 8.56 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista 1 (# = 2.1, $ = 1.36).

e zmax = 4 e questo flusso e stato confrontato con il flusso misurato da Auger, trovan-do un certo valore per la luminosita per unita di volume.

Questo valore per la luminosita e stato dunque utilizzato per calcolare il flussoda una distribuzione uniforme di sorgenti con zmin = 0.018 e zmax = 4:

J0.018(E) =c

4"

4/

0.018

dz(1 + z)"1Q(Eg(E, z), z)

H0

2(1 + z)3%m + %"

dEg(E, z)

dE, (6.8)

dove in Q ho la luminosita della distribuzione totale di sorgenti.Il flusso totale Jtot sara dunque il risultato della somma della componente uni-

forme fino a z = 0.018 e della componente discreta JAGN (che arriva fino a z = 0.001),con un certo peso:

Jtot = J0.018 + &JAGN ; (6.9)

il fattore & si determina quindi confrontando la somma con i dati di Auger; il valoretrovato per la luminosita in protoni delle sorgenti discrete sara allora dato da:

Lp,i = &L0,i. (6.10)

Gli esempi relativi ai vari cataloghi utilizzati sono rappresentati nelle figure cheseguono, con i valori trovati per il fattore di conversione & che, come detto prece-dentemente, viene preso uguale per ogni sorgente discreta.

Un primo commento da fare e relativo alla figura 6.12, il cui grafico e ottenuto conil contributo della Lista 2 (le sorgenti in correlazione piu luminose, come spiegato

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1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 2distr.uniforme

Figura 6.12: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.6, L0 = 8.56 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista 2 (# = 2.1, $ = 1.15).

1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 1bdist. uniforme

Figura 6.13: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.6, L0 = 8.56 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista 1b (# = 2.1, $ = 3.42! 10"2).

96

1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=Emax,AGN=2x1020 eV

Augersum

AGN Lista Xdist.uniforme

Figura 6.14: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.6, L0 = 8.56 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista X (# = 2.1, $ = 2.03! 10"1).

nel paragrafo relativo alla costruzione delle liste); come si puo vedere, per i valoridi E3J(E) che ci interessano, le di"erenze osservate nel flusso delle sorgenti delledue diverse liste (come si vede nella figura 6.3) non influiscono nel calcolo del flussototale. Nel seguito riportiamo quindi i risultati relativi alla Lista 1.

Osserviamo inoltre, nella figura 6.13, una risalita del flusso alle energie dove con-tribuisce soltanto la distribuzione discreta di sorgenti; per commentare tale strutturadobbiamo premettere che tra le sorgenti trovate in correlazione con gli eventi piuenergetici di UHECR ci sono due sorgenti molto vicine. Una di queste e proprioCentaurus A (descritta nel capitolo 2), che si trova a redshift 0.001; l’altra e unasorgente anch’essa molto vicina, avente redshift 0.002, denominata NGC 4945. Nelcalcolo del flusso avremo che Centaurus A da un contributo doppio in quanto correlacon due eventi di UHECR registrati da Auger; questo equivale ad avere 3 sorgentimolto vicine.

Queste 3 sorgenti sono presenti sia nella Lista 1 ottenuta dal catalogo VCV chenella Lista 1b ottenuta dalle correzioni al catalogo VCV che contiene le luminositabolometriche. Nel caso dello spettro ottenuto con il contributo delle sorgenti nellaLista 1 non si osserva pero una tale risalita; cio e dovuto al fatto che in quest’ultimalista le tre sorgenti hanno luminosita pari a circa 1041 erg/s, mentre nella lista ot-tenuta con le luminosita bolometriche Centaurus A ha L " 1043 erg/s mentre NGC4945 ha luminosita pari a 2 ! 1044 erg/s. Data la potenza maggiore delle sorgentivicine in questa lista, e possibile osservare il loro peculiare contributo al flusso aaltissime energie poiche, data la vicinanza, si trovano all’interno della sfera GZK eil flusso di raggi cosmici da esse provenienti non viene attenuato. Tale contributonon attenuato dal GZK sara presente anche nell’esempio fatto con la Lista 1, ma

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1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=8x1019 eV Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 1dist.uniforme

Figura 6.15: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.5, L0 = 1.06 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista 1 (# = 2.1, $ = 1.62).

date le luminosita piu basse contera meno nel flusso e non sara quindi visibile incorrispondenza dei valori di E3J(E) che ci interessano.

Discutiamo ora le scelte e"ettuate per il parametro Emax; la scelta iniziale diun unico valore (2! 1020 eV) per l’energia massima a cui possono essere acceleratiraggi cosmici da sorgenti della distribuzione uniforme e della distribuzione discretae dettata dal fatto che stiamo considerando un’unica classe di candidati a sorgentidi raggi cosmici.

Come si puo vedere nelle figure 6.15, 6.16 e 6.17, nel caso in cui le sorgenti delladistribuzione uniforme accelerassero particelle fino ad una energia massima minoredi quella delle sorgenti discrete, il contributo al flusso totale sarebbe minore e lastruttura visibile nello spettro di Auger sarebbe riprodotta in maniera migliore.

Questo risultato puo essere analogamente ottenuto scegliendo lo stesso valoreper l’energia massima di accelerazione per le distribuzioni e un valore piu alto delredshift minimo per la distribuzione uniforme.

Si puo inoltre vedere (figura 6.18) che lo stesso risultato della figura 6.15 sipuo ottenere abbassando il valore dell’iniezione $ della distribuzione uniforme eprendendo un valore dell’evoluzione cosmologica diversa da zero poiche questo fa sıche aumenti il contributo delle sorgenti ad alto redshift.

Da questa discussione segue che i parametri che rientrano nei calcoli si riflettononello spettro in energia; i parametri piu importanti ai fini del lavoro svolto in questaTesi sono l’energia massima e il redshift minimo da cui contribuisce la distribuzioneuniforme di sorgenti, in quanto questi determinano la presenza una struttura bendefinita nello spettro, visibile come una discontinuita, che ci possiamo aspettare di

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1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=8x1019 eV, Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 1bdist. uniforme

Figura 6.16: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.5, L0 = 1.06 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista 1b (# = 2.1, $ = 4.07! 10"2).

1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=8x1019 eV, Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista Xdist.uniforme

Figura 6.17: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.5, L0 = 1.06 ! 1042

erg/(s Mpc3)) e dello spettro delle sorgenti della Lista X (# = 2.1, $ = 2.14"1).

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1024

1017 1018 1019 1020

E3 J(E

) [eV

2 m-2

s-1

]

E [eV]

Emax,uni=8x1019 eV Emax,AGN=2x1020 eV

Augersomma

AGN Lista 1dist.uniforme

Figura 6.18: Somma dello spettro da distribuzione uniforme (# = 2.4, L0 = 9.92 ! 1040

erg/(s Mpc3), m = 2.5) e dello spettro delle sorgenti della Lista 1 (# = 2.1, $ = 1.62).

osservare in futuro nello spettro sperimentale. Questo sara possibile con l’aumentodella statistica in Auger.

La presenza o meno di tale struttura limitera quindi lo spazio dei parametriattualmente a nostra disposizione consentendoci di aumentare le informazioni innostro possesso riguardo alle sorgenti di raggi cosmici ultra-energetici.

Nelle conclusioni che seguono si riporta una discussione globale riguardo allescelte fatte per i parametri da utilizzare nei calcoli, evidenziando appunto la parti-colare importanza dell’energia massima e del redshift minimo.

100

Conclusioni e sviluppi futuri

Il presente lavoro di Tesi si basa sulle osservazioni dell’esperimento Auger. Inparticolare, abbiamo concentrato la nostra attenzione sulle osservazioni relative alflusso dei raggi cosmici di altissima energia ed alle direzioni di arrivo di tali parti-celle. Nel capitolo 5 abbiamo discusso i risultati di Auger relativi alle direzioni diarrivo degli eventi di piu alta energia (E > 3 ! 1019 eV). Tale studio ha permessoun’analisi della correlazione delle direzioni di arrivo degli UHECR con le posizionidi oggetti astrofisici candidati ad essere sorgenti di raggi cosmici.

Lo spettro in energia mostra una soppressione del flusso a energie di circa 4!1019

eV; questo e in accordo con la previsione di Greisen, Zatsepin e Kuz’min (1966) (det-ta e"etto GZK) secondo i quali se i raggi cosmici di altissima energia sono costituitiprevalentemente da protoni il flusso mostrera una soppressione intorno a 5!1019 eVa causa delle perdite di energia subite dai protoni per l’interazione con la radiazionecosmica di fondo (CMBR).

Dallo studio delle direzioni di arrivo degli UHECR in combinazione con le po-sizioni di sorgenti astrofisiche, Auger ha determinato una correlazione positiva trale direzioni di arrivo dei raggi cosmici con energie maggiori di 6! 1019 eV ed alcuninuclei galattici attivi posti a distanze minori di 75 Mpc. Tale risultato e un’ulterioreconferma dell’anisotropia nelle direzioni di arrivo dei raggi cosmici ad alte energiecome segue dallo studio della dipendenza dall’energia della correlazione del set didati con gli AGN del catalogo VCV. I dati di Auger sono compatibili con una dis-tribuzione di sorgenti che segue quella degli AGN ad alte energie con una transizioneverso una distribuzione isotropa a energie minori di 6! 1019.

La soppressione del flusso dovuta all’interazione dei raggi cosmici con la CMBRe’ attesa per energie superiori all’energia di soglia della reazione di fotoproduzionedi ". Come discusso nel capitolo 3, un protone con energia iniziale di 1022 eV perdeenergia a causa dell’interazione con la CMBR arrivando ad energie minori dellasoglia per la reazione considerata dopo aver percorso circa 50÷ 100 Mpc. Dunque,la rivelazione di raggi cosmici ad energie superiori a 0 5 ! 1019 eV sarebbe indicedella presenza di sorgenti entro le distanze citate. Ci possiamo quindi aspettaredi osservare una transizione nella ditribuzione di sorgenti ad energie dell’ordine diquella prevista dall’e"etto GZK.

Le osservazioni di Auger ci o"rono, dunque, due evidenze sperimentali: da una

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parte lo spettro in energia dei raggi cosmici, dall’altra alcune indicazioni sui possibilisiti di accelerazione di raggi cosmici. Lo scopo di questa Tesi e’ proprio la ricercadi un punto di collegamento tra i fatti osservativi riportati sopra. Cerchiamo in-fatti di capire se e possibile individuare nello spettro il segnale della transizione tradue distinte distribuzioni di sorgenti: una isotropa, che ha rilevanza nello spettro dibassa energia (E < 2 ÷ 3 ! 1019 eV), ed una anisotropa dominante ad alta energia(E > 2÷ 3! 1019 eV), costituita dagli AGN posti entro 50÷ 100 Mpc per i quali sihanno informazioni da catalogo.

Per calcolare lo spettro teorico ci siamo serviti di alcune assunzioni; innanzitutto abbiamo considerato solo protoni ed abbiamo utilizzato l’approssimazione diperdite continue di energia. Le perdite di energia che subiscono i protoni nellapropagazione dalla sorgente all’osservatore sono dovute all’espansione dell’universoed all’interazione con la CMBR, da cui si ha produzione di coppie e± e ", quest’ul-tima dominante oltre 4! 1019 eV. L’approssimazione di perdite continue di energiae giustificata dal fatto che le fluttuazioni nel processo di fotoproduzione di " modif-icano solo debolmente lo spettro atteso, al livello del %, fino alle energie piu elevate(E > 1021 eV).

Nel calcolo dello spettro degli UHECR occorre introdurre anche alcune ipotesisulla distribuzione di sorgenti. La ricerca delle correlazioni eseguita da Auger si basasu un catalogo di nuclei galattici attivi e quasars che puo essere considerato comple-to solo entro distanze dell’ordine di 100 Mpc (corrispondente a redshift 0.024), perproblemi legati alla compilazione stessa del catalogo. Inotre, le correlazioni trovateda Auger sono con sorgenti entro 75 Mpc, distanza corrispondente a redshift di circa0.017.

Queste osservazioni suggeriscono il calcolo del flusso atteso assumendo sorgen-ti da catalogo entro una distanza (redshift) dell’ordine dei 100 Mpc ed una dis-tribuzione omogenea ed uniforme di sorgenti per distanze superiori. Il redshiftminimo al di sopra del quale si assume una distribuzione omogenea ed uniformedi sorgenti costituisce dunque un parametro da cui dipendera il calcolo del flussoteorico.

Un’altra importante caratteristica delle sorgenti da cui dipende il calcolo delflusso atteso a Terra e l’iniezione, ovvero il numero di raggi cosmici prodotti dal-la sorgente nell’unita di tempo. Come discusso nel capitolo 3 tale quantita ha unandamento in energia tipo legge a potenza con indice spettrale $. Se consideriamoi nuclei galattici attivi come possibili sorgenti di raggi cosmici, possiamo immag-inare che l’accelerazione avvenga in onde d’urto che si generano, per esempio, nelleregioni finali dei getti espulsi dai nuclei delle galassie stesse nel mezzo extragalatti-co. Lo spettro in energia che ne risulta e una legge a potenza e l’indice previsto e’$ = 2.0÷ 2.2.

Come discusso nel capitolo 6, lo spettro di Auger viene meglio descritto, fin dallepiu basse energie, se si assume uno spettro di protoni con iniezione $ = 2.7. Questaapparente contraddizione con le previsioni teoriche del modello di Fermi al I ordinepuo essere spiegata pensando lo spettro totale della distribuzione uniforme come

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sovrapposizione di spettri di iniezione $ 2.0÷ 2.2 di singole sorgenti poste a diversedistanze e capaci di accelerare particelle a diversi valori massimi di energia. Talesovrapposizione, come dimostrato in [44], produce uno spettro e!cace di iniezionecon indice spettrale $ > 2.5.

Questo risultato ha un particolare interesse nel nostro studio poiche ci permettedi distinguere due diversi classi di iniezione: la prima associata alla distribuzioneomogenea ed uniforme di sorgenti, per la quale useremo un indice spettrale $ > 2.5,e la seconda relativa alle sorgenti vicine (entro 100 Mpc) per le quali useremo leinformazioni da catalogo e che, essendo sparse, mostrano ognuna la propria pecu-liare iniezione con indice spettrale $ < 2.4, come segue dal meccanismo di Fermi alsecondo ordine.

Un altro importante parametro che fissa lo spettro atteso e la luminosita dellesorgenti e, per la distribuzione uniforme, la densita delle stesse. La densita dellesorgenti nella distribuzione uniforme si e assunta pari a n0 = 10"5 Mpc"3, che cor-risponde alla densita di AGN stimata fino ad alto redshift. Fissata la densita, si puostimare l’emissivita L0 = n0L0 confrontando lo spettro teorico con quello sperimen-tale, fissando in tal modo la luminosita L0. Nel caso di una distribuzione uniformedi sorgenti troviamo questi valori: L0 = 1038 ÷ 1043erg/(sMpc3).

Nel caso delle sorgenti discrete il parametro che entra nella determinazione dellospettro e la luminosita in raggi cosmici L0. Nei cataloghi utilizzati si avevano adisposizione le luminosita in fotoni per fissate bande dello spettro. In questo caso,dunque, si e assunto la luminosita in protoni UHE proporzionale alla luminositaosservata in fotoni, determinando il coe!ciente di proporzionalita dal confronto conlo spettro di Auger.

In queto contesto e’ stata fatta un’ulteriore semplificazione assumendo che l’ef-ficienza di conversione della potenza della sorgente in luminosita di raggi cosmicisia la stessa per ogni sorgente da catalogo. In una situazione piu realistica, questae!cienza sara diversa da sorgente a sorgente.

Un parametro cruciale legato anch’esso alle caratteristiche dell’acceleratore as-trofisico e’ l’energia massima a cui tale oggetto e in grado di accelerare raggi cosmici;questa dipendera dalle dimensioni della regione accelerante, dall’intensita del cam-po magnetico presente e dalle perdite di energia cui e soggetta una particella moltoenergetica nel sito di accelerazione, come per esempio l’emissione di sincrotrone o laperdita di energia per interazioni p$.

Non esiste al momento una conoscenza approfondita dei nuclei galattici attivicome siti di accelerazione di raggi cosmici; il valore dell’energia massima rimanequindi un parametro libero, la cui scelta ha delle conseguenze molto importantisulle strutture che si manifestano nello spettro, insieme alla scelta del redshift min-imo oltre il quale si considera un universo con distribuzione omogenea ed uniformedi sorgenti.

Come segue dai risultati del capitolo 6, la scelta di tagliare la distribuzione uni-forme ad un certo redshift fa sı che il flusso di questa componente venga soppressoin modo molto ripido; l’energia a cui corrisponde questo cut-o" non e pero univoca,

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una volta scelto zmin. Infatti per diverse scelte dell’energia massima a cui possonoessere accelerati i raggi cosmici nella distribuzione isotropa si avranno diversi valoridell’energia a cui avviene la soppressione del flusso di questa componente.

La scelta dei due parametri zmin ed Emax relativi alla distribuzione uniforme disorgenti fissa la presenza di strutture nello spettro dovute alla transizione tra dis-tribuzione isotropa ed anisotropa; infatti, come abbiamo gia fatto notare, mentrelo spettro delle sorgenti piu vicine si estende anche nella parte a basse energie, ilcut-o" nello spettro della distribuzione uniforme si manifestera nello spettro totalecome una discontinuita.

Per cio che concerne le sorgenti vicine il parametro fondamentale che fissa even-tuali strutture nello spettro e l’energia massima di iniezione ed in particolare ilrapporto di questa quantita Emax,AGN con l’energia massima Emax,uni associataalla distribuzione omogenea ed uniforme di sorgenti. Come discusso nel capitolo6, nel caso in cui l’energia massima delle due distribuzioni venga presa uguale a2 ! 1020 eV, il contributo della componente uniforme e dominante sulle sorgentivicine. Per valori piu’ alti dell’energia massima nelle due distribuzioni (prendendoancora Emax,uni = Emax,AGN) la situazione peggiora ulteriormente. Questo caso sem-brerebbe in contraddizione con le correlazioni osservate da Auger. Per evidenziare lapresenza di strutture nello spettro dovute all’e"etto delle due distinte popolazioni disorgenti occorre assumere Emax,uni < Emax,AGN . Nel caso di Emax,uni = 8! 1019eVe Emax,AGN = 2! 1020 eV si ha il segnale piu forte nello spettro compatibile con leosservazioni di Auger.

Ricordiamo che in questo lavoro abbiamo trattato la parte dello spettro a en-ergie piu alte; il problema principale legato a questa parte di spettro e la scarsastatistica. Come gia discusso nel capitolo relativo agli esperimenti sui raggi cosmici,l’estensione dell’esperimento Auger consentirebbe la rivelazione di circa 50 eventiall’anno oltre 1020 eV; l’esistenza del cut-o" GZK fa sı che il numero di eventi aqueste energie sia invece molto piu basso. L’esperimento Auger ha infatti rivelatoun solo evento a energie oltre 1020 eV.

Possiamo quindi giustificare il fatto che lo spettro osservato non mostri chiarestrutture dovute alla transizione tra distribuzione isotropa e distribuzione anisotropadi sorgenti come conseguenza della scarsa statistica di cui si dispone alle piu’ alteenergie E > 6! 1019 eV, dove ci aspetteremmo di vedere tale transizione.

D’altra parte questa transizione, come abbiamo dimostrato in questo lavoro, puoprodurre delle strutture nello spettro; con l’aumento della statistica in Auger sarapossibile avere delle informazioni piu precise sullo spettro ad altissime energie. Siavra quindi la possibilita di stabilire o meno la presenza di tali strutture limitandoin tal modo lo spazio dei parametri del problema.

Questo avra’ conseguenze molto importanti sulla conoscenza degli oggetti can-didati a sorgenti di raggi cosmici in quanto si potranno avere delle indicazioni piu’precise su quei parametri fondamentali per la determinazione delle strutture nellospettro, primo tra tutti Emax, ma anche zmin.

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Abbiamo quindi raggiunto una importante conclusione, ovvero il fatto che dallospettro in energia dei raggi cosmici ultra-energetici possiamo avere delle informazionisulla distribuzione delle sorgenti e sulle caratteristiche dell’accelerazione. Al momen-to attuale queste informazioni sono ancora nascoste dal basso numero di eventi adaltissime energie, ma con l’aumento della statistica sara possibile trarle dallo spet-tro.

In questo lavoro abbiamo considerato lo spettro osservato da Auger, confrontan-dolo con il flusso di raggi cosmici ultra-energetici atteso a Terra; abbiamo inoltretenuto conto dei risultati di Auger sulla correlazione degli eventi di UHECR con leposizioni di alcuni AGN come evidenza di anisotropia nelle direzioni di arrivo.

Nel capitolo 5 abbiamo discusso come l’anisotropia puo essere studiata con-frontando la misura dell’intensita’ dei raggi cosmici da diverse direzioni nel cielo;per fare cio e necessario conoscere l’esposizione del rivelatore, ovvero l’area e"et-tiva integrata sul tempo per la rivelazione del flusso da una qualsiasi direzione nelcielo (Appendice C). Nota l’esposizione, e possibile fare delle previsioni sul numero dieventi attesi da una particolare direzione; nel nostro caso, sceglieremo delle direzionidi arrivo coincidenti, entro un certo angolo, con le posizioni dei nuclei galattici attivitrovati in correlazione. La stima del tempo necessario per rivelare un certo numerodi eventi da una precisa sorgente rappresenta quindi un possibile sviluppo di questaTesi.

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Appendice A

Coe!ciente di di"usione

Descriviamo in questa appendice l’interazione tra i raggi cosmici e le turbolenzedel campo magnetico; esistono diverse situazioni in cui si possono avere fluttuazioniturbolente del campo magnetico, e possono riguardare diverse scale di distanza.

In generale, se il campo magnetico fosse omogeneo, ogni particella di raggi cos-mici si muoverebbe lungo il campo magnetico avvitandosi attrono alla direzione delcampo; poiche le linee del campo sono trascinate dal fluido nel suo moto, la parti-cella verra anch’essa trascinata con il fluido.

La presenza di campi magnetici disomogenei cambia la situazione in quantoquesto e"etto genera una deriva della particella non termica da una linea di campomagnetico all’altra causando il fenomeno della di"usione.

Questo fenomeno e presente su scala galattica ed e dimostrato dal fatto che iraggi cosmici di basse energie sembrano risiedere all’interno della galassia per tempimolto maggiori di quelli caratteristici galattici, che sono paragonabili alle dimensionidel disco e al tempo necessario per attraversarlo.

La struttura della galassia e composta da un disco di raggio 15 kpc e uno spessoredi 200÷ 300 pc in corrispondenza della posizione della Terra, che dista 8.5 kpc dalcentro; esiste inoltre una struttura a densita minore del disco che costituisce l’alonegalattico.

Una stima del tempo di fuoriuscita dalla galassia per una particella relativisticapuo essere dato da:

2gal =rgal

c(A.1)

dove con rgal si indica il raggio del disco; da questa stima si ottiene un valore di2gal $ 5! 104 anni.

Questo valore e in contrasto con il tempo di residenza stimato dalle abbon-danze dei nuclei leggeri (soprattutto Li, Be, B) nei raggi cosmici, che risulta essere2res $ 3.9! 106 anni per densita tipiche del disco galattico e 2res $ 2! 107 anni perdensita tipiche dell’alone.

Da qui risulta quindi che i raggi cosmici vengono confinati all’interno della galas-sia; l’esistenza di un campo magnetico galattico permette quindi di pensare che leparticelle cariche vengano intrappolate proprio dall’interazione con tale campo.

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Per valutare il coe!ciente di di"usione galattica si puo scrivere:

2res =r2gal

Dgal(A.2)

dove Dgal e il coe!ciente di di"usione galattica; utilizzando 2res $ 3.9! 106 anni ele dimensioni del disco galattico si trova una stima per il coe!ciente di di"usione:Dgal $ 3! 1029cm2/s.

Per capire a quale energia massima possano arrivare i raggi cosmici accelerati inambiente galattico, confrontiamo il tempo di di"usione, ovvero il tempo necessarioper compiere una ciclo down-up-down:

2d =r2

D=

u22 2d

D%( 2d =

D

u2(A.3)

con il tempo di vita della regione acccelerante (in questo caso consideriamo parti-celle accelerate in resti di supernovae, quindi 2SNR " 103 anni). Nell’espressioneprecedente r e la distanza che l’onda d’urto copre in 2d e u la velocita dell’onda.

A!nche si verifichi il meccanismo ciclico si deve avere 2d < 2SNR (utilizziamoinoltre un valore della velocita dell’onda d’urto u pari a 103 km/s).

Utilizzando il coe!ciente di di"usione galattica troviamo pero valori dell’energiamassima pari a circa 1 GeV, in contraddizione con le osservazioni sperimantali cheindicano la presenza di protoni di origine galattica fino a energie di 1015 eV.

La soluzione di questo problema e data dall’utilizzo di un coe!ciente di di"usioneminore di quello galattico, che spieghi le turbolenze locali del campo magnetico inresti di supernovae a scale minori di quelle considerate finora.

Si scrive quindi una forma generale del coe!ciente di di"usione in questo modo:

D(E) =1

3lcv

!rL(E)

lc

"2"%

(A.4)

dove v e la velocita della particella, rL(E) il suo raggio di Larmor e lc la scalamassima della turbolenza del campo magnetico.

Prendendo * = 1 si ottiene il coe!ciente di di"usione alla Bohm:

D(E) =1

3rL(E)c, (A.5)

dove la velocita della particella e stata presa uguale a c. Scrivendo il raggio diLarmor in questo modo: rL = 10"6EGeVB"1

µ pc e prendendo lc = 1 pc (quindi unascala piu piccola della turbolenza rispetto a quella considerata finora) la di"usionealla Bohm si puo esprimere cosı:

D(E) $ 1022B"1µ EGeVcm2/s. (A.6)

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Prendendo invece * = 3/2 e lc = 100 pc si ritrova il caso della di"usione galattica;questo tipo di di"usione e detto di"usione alla Kraichnan.

Un altro regime di di"usione e la di"usione alla Kolmogorov (* = 5/3, D 'E1/3).

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Appendice B

Coordinate galattiche

Lo studio dell’anisotropia dei raggi cosmici di energie ultra-alte necessita dell’u-tilizzo di un sistema di coordinate con cui si possano descrivere le posizioni di oggettiextragalattici; si utilizzano quindi le coordinate galattiche, per la cui definizione enecessario partire dalla definizione delle coordinate equatoriali equinoziali.

Le coordinate equinoziali hanno come cerchio base l’equatore terrestre e comepolo il Polo Nord celeste; prendono origine dal punto d’Ariete (il punto d’incontrotra l’eclittica e l’equatore terrestre) e sono orientate in senso diretto (cioe verso est).La coordinata . (declinazione) e l’angolo misurato sull’arco meridiano per il polo esull’equatore si misura invece l’ascensione retta (in unita di tempo).

Per studiare i corpi al di fuori del sistema solare vengono invece utilizzate le co-ordinate galattiche; il piano di simmetria utilizzato e quello dell’equatore galattico.Poiche tale piano non e ben individuato, si procede per convenzione. Si fissano lecoordinate equinoziali del polo galattico: *G = 12h51m * 192.84, .G = 27.07!.7 *27.13, da cui seguono l’ascensione retta del nodo ascendente dell’equatore galatticosull’equatore celeste *G = 18h49m e l’inclinazione i = 62.6. L’origine sul piano equa-toriale e fissata in modo che la longitudine galattica del nodo ascendente sia lG = 33,cio che fisicamente corrisponde a scegliere la direzione del centro della Galassia. Lecoordinate equatoriali del centro galattico risultano allora *GC 0 17h45m.6 * 266.41,.GC 0 %2856!.2 * %28.94. A questo punto si possono definire nel modo usuale lalongitudine l e la latitudine b galattiche.

Il legame tra i due sistemi di coordinate e dato dal sistema di equazioni:*+

,

cos b sin(#GC % l) = cos . sin(*% *GC)cos b cos(#GC % l) = cos .G sin . % sin .G cos . cos(*% *G)sin b = sin .G sin . + cos .G cos . cos(*% *G)

(B.1)

dove #GC e l’angolo di posizione e vale 123°.

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Figura B.1: Rappresentazione schematica della sfera celeste vista in coordinate galattiche.

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Appendice C

Esposizione

Per un osservatorio di raggi cosmici, l’esposizione e una funzione delle coordi-nate celesti. Misurata in unita di km2·anno, da l’area e"ettiva integrata sul tempoper la rivelazione del flusso da una qualsiasi posizione nel cielo. Piu spesso si usal’esposizione relativa 0, ovvero una funzione adimensionale data dal valore dell’es-posizione in un punto divisa per l’esposizione totale nel cielo.

Si puo quindi calcolare l’esposizione per un rivelatore che opera in modo con-tinuo; in questo caso, la funzione di esposizione sara costante nell’ascensione retta.Supponiamo che il rivelatore si trovi alla latitudine terrestre a0 e che sia completa-mente e!ciente per particelle che arrivano con angoli # rispetto allo zenith minoridel valore massimo #m; l’esposizione sara quindi funzione della sola declinazione .:

0(.) = 00(cos(a0) cos(.) sin(*m) + *m sin(a0) sin(.)), (C.1)

dove *m e data da:

*m =

*+

,

0 se ((.) > 1" se ((.) < %1arccos(((.)) altrimenti

(C.2)

e:

((.) =cos(#m)% sin(a0) sin(.)

cos(a0) cos(.); (C.3)

00 e una costante di normalizzazione ricavabile dalla condizione:

) +max

+min0(.)d. = 1

.min = l % #max

.max = l + #max

(C.4)

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Appendice D

Magnitudine e Luminosita

D.1 Luminosita assoluta

La magnitudine apparente e definita in questo modo (formula di Pogson):

m = %2.5 log10 &% c (D.1)

dove & e il flusso di radiazione di una stella e c e una costante che dipende dallascelta dello zero di riferimento.

Da questa definizione si puo introdurre il concetto di magnitudine assoluta:

M = m% 5 log10

D

10pc, (D.2)

ovvero la magnitudine che avrebbe una stella se posta ad una distanza di 10 pcdall’osservatore.

La magnitudine assoluta e quindi legata alla luminosita intrinseca della stellasecondo l’equazione:

L

L%= 10

M"!M

2.5 ; (D.3)

Per quanto riguarda le galassie, e possibile utilizzare la stessa forma delle equazioniscritte sopra, tenendo presente che la luminosita viene trovata integrando il profilodi brillanza.

La brillanza e definita come il flusso per unita di angolo solido:

I =&

#%(D.4)

e la brillanza per unita di magnitudine:

µ = %2.5 log10 I. (D.5)

Se I(r, #) e la brillanza superficiale nel punto (r, #), la luminosita totale della galassiae:

2'/

0

#/

0

I(r, #)rdrd# (D.6)

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e la magnitudine totale:m = %2.5 log10 L + c, (D.7)

stessa forma con cui si definisce la magnitudine di una stella.A questo punto, e possibile calcolare la luminosita totale della galassia conoscen-

do la sua magnitudine dalla formula D.3 trovata per le stelle.Le formula scritte sopra sono relative alla radiazione monocromatica di una certa

lunghezza d’onda, quindi ogni definizione di magnitudine e luminosita si riferisce aduna particolare banda di osservazione.

La sensibilita del rivelatore e infatti dipendente dalla lunghezza d’onda della ra-diazione in arrivo; tra i numerosi sistemi fotometrici il piu usato e il sistema UBV,basato su due filtri le cui curve di risposta corrispondono qualitativamente a quellavisuale V, a quella fotografica B (e centrata tra 4000 e 4500 A) e a quella centratanell’ultravioletto vicino U.

D.2 Luminosita bolometrica

La magnitudine bolometrica da una misura di quanto la stella irraggia su tutto lospettro; e quindi possibile porre in relazione la magnitudine assoluta bolometrica conla luminosita di una stella, definita come potenza elettromagnetica totale irraggiata.Si prende di solito come campione la luminosita del Sole: L% = 3.8 ! 1033 erg/s;dato che per il Sole Mbol = 4.75 si ha:

Mbol = 4.75% 2.5 log10

L

L%(D.8)

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