IL GIARDINO DI ARCHIMEDE                                        unmuseo        perla[matematica]

                                                                                                                                             

PROGRAMMA LEONARDO TOI

PROGETTO PIT.AGORA’Codice CUP : G12F10000140006.

Laboratori matematici 

Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza 

araba e la rinascita della matematica in Occidente

Indicazioni sull'uso della mostra . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 

Letture dal Liber abaci . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .1 L’aritmetica                                                                              3  1.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3  1.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3  1.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4       1.3.1 Moltiplicazione con sostituzione . . .     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4       1.3.2 Moltiplicazione per gelosia . . . . . .    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5       1.3.3 Moltiplicazione per crocetta o casella     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5       1.3.4 Moltiplicazione per quadrilatero . . .     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6  1.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Problemi dal Liber abaci                                                                    8   2.1 Problemi risolti con la regola del tre . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . .  8   2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto . . . . . . .     . . . . . . . . . . 11   2.3 Problemi sulla divisione degli utili . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 14   2.4 Problemi sulla fusione delle monete . . . . . . . . . . . . .     . . . . . . . . . . 16   2.5 Problemi risolti con la falsa posizione . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . 18   2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione . . . . . . . .    . . . . . . . . . . 20   2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la     scacchiera   . . . . 213 Algebra e almucabala                                                                       22   3.1 Censo e radici uguali a numero (x2  + bx = c) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 22   3.2 Radici e numero uguali a censo (x2  = bx + c) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 24   3.3 Censo e numero uguali a radici (x2  + c = bx) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 25   3.4 Un problema da risolvere con le regole precedenti      . . . . .  . . . . . . . . . . 26Indicazioni per il lavoro in classe                                                          28

Indicazioni sull'uso della mostra

Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la  rinascita della matematica in Occidente

Queste note intendono fornire suggerimenti per l’utilizzo della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente” nella sua versione in 15 pannelli pensata per le attività di laboratorio nelle scuole.

La mostra  Un ponte sul Mediterraneo  nella versione integrale è  stata realizzata nel 2002, in occasione dell’ottocentesimo anniversario della composizione della prima versione del Liber abaci di Leonardo Pisano, noto anche come Leonardo Fibonacci. Non sono molte le opere matematiche che, oltre ad avere indirizzato lo sviluppo degli studi successivi,  hanno al contempo lasciato un segno cosí profondo e duraturo nella pratica comune, e il Liber abaci è senz’altro una di queste. Il nostro modo stesso di scrivere i numeri e di fare i conti, insieme a un nuovo mondo di parole ­ come cifra, zero, radice, virgola, algebra, algoritmo... ­ ci arriva grazie al contributo fondamentale del Liber abaci. A tal punto certi usi sono per noi divenuti familiari che quella che all’epoca fu una profonda e radicale innovazione rischia, agli occhi di un moderno, di non apparire in tutta la sua importanza.

Con la mostra si intende presentare all’attenzione degli studenti quest’opera, il suo autore e la matematica e società del suo tempo. La mostra offre infatti anche una ricostruzione del contesto storico scientifico e sociale  in cui egli  operò:  da una panoramica sulla matematica e la scienza araba, alla vita quotidiana nella Pisa del XII e XIII secolo e gli scambi commerciali che la legarono al mondo arabo, al fiorire delle scuole d’abaco che ebbero a modello l’insegnamento di Fibonacci.

La mostra contiene anche una prima presentazione dei contenuti matematici del Liber abaci. Per un   più   approfondito   lavoro   nelle   classi   si   è   predisposta   una   scelta   di   passi   con   traduzione   e commento. Tali materiali sono raccolti in schede di lavoro dal titolo “Letture dal  Liber abaci” e seguono queste note sulla mostra. 

Nelle  esperienze effettuate  da Il  Giardino di Archimede si  sono effettuate  visite  guidate  per gruppi scolastici di ogni ordine e grado, a partire dai cinque anni della materna, fino alle superiori. Per   i   bambini   piccoli   ovviamente   il   percorso   viene   notevolmente   semplificato,   gli   argomenti selezionati e il linguaggio adattato al loro livello. In queste note ci riferiamo a un percorso standard.

Per   approfondire   i   contenuti   si   rimanda   ai   saggi   della   pubblicazione   associata   curata   da   Il Giardino di Archimede, Un ponte sul Mediterraneo, ed. Polistampa, 2002. Questi gli aspetti presenti nella mostra stessa e sviluppati nei saggi:­ M. Tangheroni, Pisa e il Mediterraneo all’epoca di Fibonacci. ­ S. Roero, Algebra e Aritmetica nel Medioevo islamico.­ L. Pepe, La riscoperta di Leonardo Pisano. ­ E. Ulivi, Scuole e maestri d’abaco in Italia tra Medioevo e Rinascimento.− E. Giusti, Matematica e commercio nel Liber Abaci.

L’inizioPer la visita guidata: pannello introduttivo. 

Si   può   iniziare   la   visita   raccogliendosi   attorno   alla   riproduzione   della   statua   di   Fibonacci riprodotta nel pannello iniziale, statua che fu commissionata a metà Ottocento dal governo toscano, presieduto   da   Bettino   Ricasoli,   allo   scultore   fiorentino   Paganucci;   fu   collocata   nel   Cimitero monumentale di Pisa, dove ancora oggi, dopo vari spostamenti, si può vedere. Qui si può invitare a formulare ipotesi sull’identità, l’epoca e i contributi del personaggio che vi è raffigurato, arrivando a anticipare una breve risposta per poi iniziare il percorso della mostra che porterà a scoprire più nel dettaglio perché Fibonacci è cosí importante per noi.

Uno sguardo storicoPer la visita guidata: pannelli 1­4.

Al tempo in cui Leonardo nasceva ­ attorno al 1170, data peraltro solo ricostruita ­ la matematica e, più in generale, tutta la scienza nel mondo occidentale si trovava ancora nello stato di decadenza che aveva caratterizzato  i  secoli  seguenti  alla  caduta dell’Impero romano.  L’insegnamento della geometria  e  dell’aritmetica,  che con  l’astronomia  e   la  musica  componevano  il  quadrivium,  era basato su compendi sempre più semplificati modellati su trattati tardo greco­romani. Nei conventi e, dopo la riforma carolingia, anche al di fuori, si insegnava essenzialmente a far di conto con le dita e con l’abaco, uno strumento che aiutava nei calcoli resi piuttosto complessi dal fatto che si utilizzava la numerazione romana. Per estensione poi “abaco” indicava tutto il complesso delle tecniche di calcolo,   alle   quali,   per   completare   l’istruzione,   si   aggiungeva   qualche   rudimento   riguardante proporzioni e geometria euclidea. Le grandi opere dei classici, conservate e ricopiate nei monasteri, rimanevano di fatto pressoché sconosciute.

Contemporaneamente invece la parte del mondo riunita sotto la religione musulmana e la lingua araba   conosceva   il   suo   massimo   splendore.   Dopo   una   prima   breve   fase   bellicosa   di   rapida espansione che, in meno di un secolo, aveva portato i confini dell’impero ad estendersi dalla Spagna all’India, grazie anche al contatto con popoli diversi, alla tolleranza e la curiosità intellettuale, dar al­Islam, l’ecumene islamica, vede il costituirsi di una raffinatissima civiltà  in cui gli studi e le attività   culturali   conoscono   un   intenso   sviluppo.   In   particolare,   a   partire   dalla   seconda   metà dell’VIII secolo, gli arabi riscoprono il sapere classico dimenticato nell’occidente. Nel campo della matematica, grazie a un imponente lavoro di traduzione e commento, questo porta ad una profonda assimilazione dei più   importanti matematici greci,  quali Euclide,  Archimede, Apollonio.  D’altro canto la conoscenza diretta della matematica indiana costituisce una importantissima fonte dalla quale  gli   arabi  attingono ad  esempio   l’uso  del   sistema decimale  posizionale  che  ben  presto   si diffonde in tutti i territori dell’Islam. Tutto ciò  si fonde in una sintesi originale da cui nasce un nuovo sapere matematico che ben presto raggiunge e supera i suoi modelli. Tra i suoi rappresentanti spiccano   scienziati   quali   al­Khwarizmi,   Abu   Kamil,   Abu’l   Wafa,   al­Biruni,   al­Haytam,   Omar Khayyam, forse più noto come poeta.

Particolarmente   importanti  per   le   influenze  su  Fibonacci   sono al­Khwārizmī,   il   cui  nome è all’origine della nostra parola “algoritmo”, e Abu Kamil.

Pisa e LeonardoPer la visita guidata: pannelli 5­6.

I contributi sviluppati dagli arabi ebbero tutt’altro che facile ed immediata diffusione nel mondo cristiano occidentale. Anche quando, con la Reconquista, si costituí in Spagna un gruppo di studiosi che  intraprese la  traduzione in   latino di  testi  arabi originali  o a  loro volta  traduzioni arabe dei classici, l’eco che se ne ebbe fu scarsissima. 

La via che doveva aprire le porte dell’occidente alle novità  della matematica araba fu invece quella  dei  commerci.  E Leonardo,  che con  la  sua opera ebbe un ruolo fondamentale   in  questa acquisizione, non per pura coincidenza era pisano. Pisa infatti aveva allora un ruolo di primo piano nei commerci in tutto il Mediterraneo, che gestiva mediante una rete organizzativa capillare. In varie città,   in   quartieri   riservati   all’esercizio   delle   attività   mercantili   ­   i   fondaci,   risiedevano   i   suoi rappresentanti che controllavano e tutelavano gli scambi tra Pisa e le popolazioni locali.

Attorno al 1180 il padre di Leonardo, Gulielmo, era appunto notaio e rappresentante del comune di Pisa presso uno di questi centri, la città di Bugia, sulla costa dell’odierna Algeria. Bugia, o anche Bugea o Bucea in latino, Bejaia in arabo, era stata fondata nel 1067 come capitale del regno degli Hammaditi, dinastia vassalla dell’importante califfato che i Fatimidi avevano costituito in Egitto. Alla fine del XII secolo, Bugia era invece uno dei capoluoghi dell’impero degli Almohadi che, con capitale Marrakech, si estendeva dal Marocco a tutta l’Africa settentrionale e a parte della Spagna islamica. Bugia era uno dei centri commerciali più importanti del Maghreb, trovandosi allo sbocco sul mare della regione africana migliore produttrice di cereali, tanto che nelle fonti arabe medievali è definita granaio dell’Ifriqya.

Dopo un iniziale periodo di aperti conflitti caratterizzati da reciproche azioni di pirateria, negli anni in cui il padre di Leonardo opera qui, i rapporti commerciali tra Pisa e Bugia sono stabili e intensi.  Qui   si   acquistano   in   particolare   pellami,   lana,   allume   e   scorze   tanniche   ­   usate   nelle industrie conciarie ­ ma anche datteri e frutta secca. Molto famosa era poi la produzione locale di cera: con “bugia”, appunto dal nome della città, si indica tuttora un tipo di basse candele cilindriche.

Probabilmente attraverso i contatti commerciali con la popolazione locale il padre di Leonardo aveva potuto constatare l’efficienza e la superiorità delle tecniche di calcolo là utilizzate e dunque, resosi conto dell’utilità e dei vantaggi che ne sarebbero potuti derivare, volle che il figlio in giovane età ­ “in pueritia mea”, secondo quanto Leonardo stesso racconta ­ lo raggiungesse a Bugia e qui fosse istruito nello studio del calcolo.

Sulla vita di Leonardo si conosce in realtà ben poco altro rispetto alle notizie che egli stesso inserisce nell’introduzione del Liber abaci, ritenendole evidentemente significativa premessa alla nascita della sua opera scientifica.

Egli   racconta che dopo aver  appreso  l’abaco a  Bugia,  continuò  a  studiare  e  approfondire   la conoscenza della matematica araba ad ogni occasione nel corso delle sue mete per viaggi di affari, tra cui ricorda l’Egitto, la Siria, Bisanzio, la Sicilia ­ allora in parte sotto il diretto dominio arabo, e la Provenza. Probabilmente a tale carattere girovago è dovuto l’appellativo, con il quale Leonardo è ricordato in alcuni documenti, di “Bigollo” termine di etimologia incerta che ­ come “bighellone” per vagabondo, ma con accezione positiva ­ può essere interpretato nel senso di giramondo.

Leonardo rimase cosí impressionato dalla “mirabile arte” degli arabi da ritenere quasi un errore l’aritmetica   che   tradizionalmente   si   insegnava   nel   mondo   occidentale.   Si   propose   dunque   di diffondere presso i popoli latini, che fino ad allora ne erano rimasti all’oscuro, quanto aveva appreso nel corso delle sue peregrinazioni, senza tralasciare integrazioni attinte dal sapere classico e sue elaborazioni, e fornendo non solo i risultati ma anche, con vizio da matematico, le dimostrazioni. E cosí nasce il Liber abaci.

Il Liber abaciPer la visita guidata: pannelli 6­7.

Tutta la prima parte dell’opera è dedicata dunque ai fondamenti dell’aritmetica e all’introduzione del sistema di numerazione indo­arabico.Leonardo  presenta   subito  quelle   che  chiama “le  nove   figure  degli   Indi”   e   che,   con   successive trasformazioni  e   infine trovando con la  stampa la   loro forma canonica,  hanno dato origine alle nostre cifre 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Passa poi ad illustrare uno dei primi vantaggi del nuovo sistema e cioè la possibilità di scrivere 

un   numero   qualunque,   cosa   che   con   le   cifre   romane   diviene   impraticabile   per   numeri   alti, servendosi di queste nove cifre più un ulteriore segno, lo 0, che non aveva corrispondente nella numerazione romana. È  peraltro  Leonardo a  battezzare  il  nuovo segno,   lo  0,  come “zephirum”,  che successivamente contratto  in “zerum” darà   il  nostro “zero”.  Il   termine,  modellato su “zephirus”, viene scelto da Leonardo per assonanza al termine arabo “sifr” che indicava il cerchietto con cui nella notazione posizionale era necessario segnalare un eventuale posto vuoto nella scrittura di numero. E dallo stesso termine “sifr” per estensione agli altri simboli deriva la nostra parola “cifra”.

Familiarizzato il lettore con la scrittura dei numeri, il Liber abaci prosegue con la spiegazione dei procedimenti per l’esecuzione delle quattro operazioni, a iniziare dalla moltiplicazione, con esempi di complessità crescente. Proprio da questi algoritmi ­ altra parola di origine araba che deriva dal nome del matematico al­Khwarizmi ­ per evoluzioni e raffinamenti successivi, discendono quelli che ancora oggi ci vengono insegnati nella scuola di base.

Con il numero 6 s’inizia una serie di pannelli sul contenuto del Liber abaci, che si prestano a introdurre nella visita momenti di partecipazione diretta dei ragazzi. Il pannello 7 è particolarmente importante, soprattutto per i più piccoli, poiché accenna a come si scrivevano i numeri prima del sistema  arabo­indiano,   diffuso   in   occidente  da  Fibonacci.  Nel   pannello  è   riprodotto   il   numero duecentotré nella scrittura geroglifica, cuneiforme (si può provare a far indovinare ai ragazzi come funziona,  sapendo che il  numero scritto è  appunto duecentotré),  alfabetica greca,  romana,  indo­arabica.  Volendo ci  si  può   soffermare  a   lungo sui  sistemi di   scrittura numerica,  eventualmente riprendendo l’argomento in classe, o nel corso della visita munendosi di lavagnetta cancellabile. 

Dopo aver spiegato come si scrivono i numeri, Fibonacci illustra come eseguire le operazioni. Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono ritrovare le diverse tecniche per addizione, sottrazione, e moltiplicazione e riprorre diversi esercizi con queste. Si veda in particolare la crocetta (anche se nel Liber abaci non viene chiamata cosí e non compare l’ausilio grafico delle linee che si intrecciano) e a quadrilatero, utilizzate da Fibonacci. Si osservi che l’algoritmo che utilizziamo normalmente oggi compare solo in trattati successivi.

Il Liber abaci: matematica e commercioPer la visita guidata: pannelli 8 e 12.

Appresi i fondamenti della scrittura numerica e del calcolo il lettore dal Liber abaci è a questo punto pronto ad utilizzare le tecniche nella risoluzione di questioni che intervengono nella pratica quotidiana dei commerci e convincersi cosí della loro superiorità rispetto al più familiare sistema in numeri romani.Segue dunque la presentazione di numerosi problemi sulle più svariate questioni di mercatura: dai calcoli  relativi  ai  prezzi delle merci,  ai  guadagni,  agli   interessi,  ai  cambi fra monete e unità  di misura,   ai   baratti   e   alle   società,   insomma   quasi   un   vero   e   proprio   manuale   di   ragioneria commerciale. Questa è la parte più ampia e consistente del “Liber abaci”, di cui è difficile dar conto in modo completo.

Nel pannello  8 si  propone un primo semplice problema risolvibile  con  la  regola del   tre,  un procedimento schematico, che ha avuto una lunga tradizione nella didattica, per trovare la quarta di tre   date   grandezze   in   proporzione.   Moltissimi   sono   i   problemi   in   cui   viene   applicata:   nelle trasformazioni delle unità di misura, che allora spesso variavano di città in città, nel calcolo dei prezzi, etc. Nelle “Letture dal Liber abaci” si ne trova una ampia scelta di altri esempi da proporre.Il cantare e il rotulo sono unità di misura per pesi in uso a Pisa nel XIII secolo. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano anche altre unità di misura. I problemi risolti con la regola del tre sono solo i primi e più semplici che si trovano Liber abaci. A questa ci si riduce ad esempio tramite la “falsa posizione”, un procedimento piuttosto intuitivo in cui si cerca di “indovinare” la risposta ossia per 

scoprirla si fa un’ipotesi, che presumibilmente risulterà falsa ma che sarebbe stata corretta rispetto a un certo dato iniziale; si trova allora la risposta corretta considerando la proporzione tra il dato iniziale effettivo e quello dato dall’ipotesi falsa. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano il testo del problema dell’albero e vari altri.

Per i più grandicelli e per i più interessati all’aspetto commerciale del Liber abaci nelle “Letture dal Liber abaci” si riportano altri esempi, più complessi, di problemi: un esempio di problema da risolversi con la regola del “tre composto”, usata ad esempio per barattare due diverse merci; esempi di come si calcoli la divisione dei utili tra soci; esempi che riguarda la fusione delle monete, il cui valore dipendeva dal peso e dalla percentuale di argento.

Il problema dei conigli e altre curiositàPer la visita guidata: pannelli 9­11.

Lo spirito più astratto e ludico del matematico riemerge nel capitolo 12, il più ampio del Liber abaci,   che   raccoglie   problemi   di   vario   tipo,   per   lo   più   senza   applicazione   pratica   e   piuttosto artificiali   e   curiosi,   che   richiedono   tecniche   di   risoluzione   più   o   meno   complesse,   tra   cui   il cosiddetto metodo di doppia falsa posizione.

Tra questi problemi si trova il problema dei conigli. Leonardo si chiede quante coppie di conigli discenderanno in un anno a partire da una sola coppia, posta in un luogo completamente circondato da pareti, supponendo che per natura ciascuna coppia in un mese generi un’altra coppia e che inizi a riprodursi a partire dal secondo mese di vita. Dunque a partire da 1 coppia, ne avremo ancora 1 sola nel primo mese, 2 nel secondo ­ quando la prima avrà figliato, 3 nel terzo ­ quando la prima avrà figliato ancora, 5 nel quarto ­ quando sia la prima che la seconda avranno figliato, 8 nel quinto,..., 377 nel dodicesimo mese, cioè dopo che un anno è trascorso; ma cosí via, volendo, per un numero qualsiasi di mesi, senza fine. Mese per mese il numero dei conigli è dato dai numeri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e cosí via, in cui ogni numero si ottiene sommando i due che lo precedono.Questi  numeri  sono noti  “numeri  di  Fibonacci”,  da quando,  molto  tempo dopo, ossia  nel  1877 Eduard Lucas pubblica un un articolo matematico in cui, per alcuni risultati sui numeri primi, si serve di proprietà di questa successione di numeri indicandola con il nome di Fibonacci. Da quel momento si registra l’inizio di una sterminata attività di studio sulle proprietà di tale successione che inaspettatamente ricompare in diverse situazioni, matematiche ma anche non, ad esempio in natura e arte.  Basti  pensare che dal  1963 viene pubblicata  una rivista  matematica,   il  Fibonacci Quarterly, interamente dedicata alle sue proprietà. 

I pannelli 9 e 10 sono dedicati alla successione di Fibonacci. Si tratta di un argomento che in genere incuriosisce e ben si presta a vari sviluppi ad ogni livello. Ai più piccoli si può proporre, oltre che di riprodurre il problema dei conigli e quello analogo della nascita delle api (si veda ad esempio   la  pubblicazione  già   ricordata),  di   ritrovare   i  numeri  di  Fibonacci  nelle  pigne,  cavoli, girasoli, ma anche carciofi, margherite, ananas, piante grasse, e tante altre cose da scoprire; si può proporre di disegnare e trovare in natura le spirali di Fibonacci. Per più grandi ci si potrà soffermare sulla sezione aurea e invitarli a scoprirne ricorrenze e applicazioni.

Il pannello 11 riporta un altro famoso problema. Questo richiede di lavorare con numeri molto grandi, che diventano trattabili con il nuovo sistema di rappresentazione dei numeri. Il problema consiste   essenzialmente   nel   sommare   una   progressione   geometrica   può   essere   uno   spunto   per presentarla in modo semplice ai più piccoli, entrando nei dettagli della soluzione con i più grandi. Il testo del problema della scacchiera e la soluzione proposta da Fibonacci per semplificare il calcolo della somma è riproposto nelle “Letture dal Liber abaci”.

L’algebraPer la visita guidata: pannello 4

Gli  ultimi  due  capitoli   contengono  questioni   sempre  più   astratte   fino  a   comprendere   alcuni aspetti di quella nuova disciplina che rappresenta forse il maggior contributo lasciato dagli arabi alla matematica, l’algebra, che troverà più tardi in occidente degni prosecutori. È ancora grazie all’opera di Leonardo che dall’arabo al­jabr questo termine,  a noi oggi ben noto,  fa una delle sue prime comparse nelle nostre terre. Insieme ad algebra vengono introdotti nella nostra lingua molti altri termini,   traduzioni  dall’arabo,  che caratterizzeranno gli  sviluppi  di  questa disciplina nel  mondo latino; fra questi radice per l’incognita, termine giunto fino a noi, e censo per il suo quadrato, caduto invece più tardi in disuso.

Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono trovare i passi che si riferiscono alla classificazione e risoluzione delle equazioni di secondo grado.

L’insegnamento del Liber abaci e le scuole d’abacoPer la visita guidata: pannelli 13­15.

A dispetto di quanto questa descrizione sommaria può aver comunicato, il Liber abaci è tutt’altro che una opera di semplice e familiare lettura, e la realizzazione del proposito di Leonardo di mettere a parte delle nuove tecniche la gens latina risultò non proprio diretta e immediata. Le resistenze di parte della classe mercantile rispetto all’uso nelle nuove cifre, dovettero però infine cadere a seguito dell’ingrandirsi   delle   stesse   attività   commerciali.   Passando   da   gestioni   di   carattere   familiare   a società   più   complesse,   la   contabilità   richiese   la   padronanza   di   procedimenti   matematici   più sofisticati e la vecchia numerazione si mostrò presto inadeguata.

Per esercitare il commercio era necessario saper leggere,  scrivere e far di  conto con estrema abilità  e per  coloro che volevano dedicarsi  alla mercatura era dunque necessaria  una  istruzione mirata.   Questa   veniva   impartita   nelle   cosiddette   “scuole   d’abaco”,   frequentate   anche   da   chi intendeva entrare nelle botteghe artigiane per diventare architetto, pittore o scultore. In molte città della   Toscana,   dell’Umbria,   del   Veneto,   della   Lombardia,   dal   successivo   secolo   XIV,   la   loro presenza è ben documentata. Si trattava spesso di scuole istituite e sovvenzionate dai Comuni, ma ad esempio a Firenze, dove vi era un gran numero di studenti, erano tutte private. Qui la più famosa scuola   d’abaco   si   trovava   di   fronte   alla   Chiesa   di   Santa   Trinita   e   fu   fondata   forse   da   Paolo dell’Abaco, matematico, astonomo, astrologo di grande fama a cui succedette Maestro Antonio de’ Mazzinghi da Peretola e poi Maestro Giovanni di Bartolo che partecipò  alla progettazione della cupola di S. Maria del Fiore.

Ciò che si imparava nelle scuole d’abaco era derivato fondamentalmente dall’opera di Leonardo. È possibile che Leonardo stesso tornato a Pisa, dove fu attivo come esperto contabile del Comune, si sia qui dedicato anche all’insegnamento formando direttamente una prima generazione di esperti d’abaco che contribuirono alla diffusione del Liber abaci anche in altre regioni. Per ovviare alle difficoltà dovute sia alla complessità dell’opera e che alla lingua in cui questa era stata scritta, il latino, i Maestri d’abaco composero però trattati e manuali semplificati e redatti in lingua volgare sui quali basavano il loro insegnamento, alcuni dei quali contenenti anche sviluppi originali.

Il fenomeno delle scuole d’abaco fu senza pari nell’Europa del tempo. A testimonianza di ciò resta il notevole numero di trattati d’abaco oggi conosciuti, circa trecento. Ma con la comparsa della stampa le modalità di diffusione del sapere subirono grandi cambiamenti: tali trattati manoscritti furono   dimenticati   e   sostituiti   da   altri,   pochi   ma   disponibili   in   maggior   numero   di   copie.   In particolare la Summa di Luca Pacioli,  divenne, almeno in Italia, un nuovo punto di riferimento. Anche   il   Liber   abaci   seguí   lo   stesso   destino   dei   libri   d’abaco   di   cui   era   capostipite   e, contemporaneamente, la memoria di Leonardo si fece sempre più confusa.

Si deve arrivare all’Ottocento perché l’opera di Leonardo sia riscoperta e rivalutata. Storici come Pietro Cossali, Guglielmo Libri e Baldassarre Boncompagni, il quale tra l’altro nel 1857 pubblicò la prima e ad oggi unica versione a stampa del Liber abaci, ricollocarono nel giusto contesto storico il matematico pisano.

Anche presso le istituzioni si risvegliò l’interesse per Leonardo: una lapide che riproduce il testo di una delibera del 1233 con cui il Comune di Pisa, riconoscendo l’onore derivante alla città dalla dottrina del  maestro,  decreta  la  concessione di  un salario  annuo per  la  prosecuzione dell’opera prestata nell’amministrazione pubblica, fu collocata nell’Archivio di Stato di Pisa. E negli stessi anni fu commissionata la statua con la quale abbiamo iniziato e con la quale concludiamo il nostro percorso attraverso la mostra.

Per la fortuna del Liber abaci e del suo insegnamento ci si riferirà ai pannelli dal 13 alla fine. Nel presentare le scuole d’abaco si può riferirsi al documento riprodotto nel pannello 14 che illustra il programma di una scuola d’abaco di due secoli e mezzo successiva al Liber abaci. Si osservi che la tavola è  il  supporto sul quale si scriveva, il libretto o librettine sono le tabelline, i rotti sono le frazioni, le ragioni di cui si parla alla fine sono le lezioni da fare, doppi in caso di vacanza! 

             

              Letture dal Liber abaci

                         Raccogliamo qui alcuni materiali relativi al Liber abaci che possono essere utilizzati acomplemento della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza arabae la rinascita della matematica in Occidente”, ai cui pannelli si fa riferimento.Si tratta di una sorta di piccola antologia che vuole essere uno strumento di accesso direttoal Liber abaci nel lavoro in classe.La prima parte, pensata per il più piccoli, raccoglie materiali relativi alle quattro operazioni.Qui si spiega come vengono presentate nel Liber abaci e, in alcuni casi, più in generale nellatradizione abachistica.La seconda parte è una scelta di problemi tratti dai diversi capitoli, di cui si riporta iltesto latino dell’edizione a stampa di Boncompagni, una traduzione e la trascrizione dellasoluzione indicata da Fibonacci.La terza parte attinge alla trattazione delle equazioni di secondo grado presente nell’ultimocapitolo del Liber abaci.

Notazione. Per evitare ambiguità abbiamo utilizzato sempre la notazione attuale per lefrazioni. Questo vale anche per le citazioni dal Liber abaci: le espressioni contenenti frazioni sono state dunque riadattate e espresse nella forma attuale.

1 L’aritmetica

All’introduzione della notazione posizionale (Pannello n. 7) segue nel Liber abaci e nella tra-dizione delle scuole d’abaco successive (Pannello n. 13 e n. 14) l’illustrazione degli algoritmiper eseguire le operazioni.

1.1 Addizione

I procedimenti di addizione fra numeri scritti nel nostro sistema di rappresentazione sonotutti molto simili tra loro. Nei trattati arabi e nei primi trattati d’abaco medievali, la sommaveniva scritta generalmente al di sopra degli addendi, invece che al di sotto come oggi usuale.Proprio dal fatto che il risultato si trovava al livello piu alto (summus in latino) deriva laparola “somma”.

Ecco un esempio dal Liber Abaci. Per trovare la somma tra 25 e 49 si scrivono i duenumeri in colonna, unita sotto unita e decine sotto decine. Si somma il 9 con il 5, che fa 14:il 4 si scrive sopra la colonna delle unita e l’1 si “tiene in mano” e si somma con il 4 e il 2delle decine; si ottiene 7 che si scrive sopra la colonna delle decine. Si legge il risultato: 74.

25

49

74

Se si sommano quantita non decimali il procedimento e lo stesso, ma il riporto va effettuatoin maniera opportuna. Ad esempio, fra le unita monetarie, abbiamo lire, soldi e denari; unalira vale 20 soldi e 1 soldo 12 denari. Per sommare 4 lire 8 soldi e 6 denari con 3 lire 13 soldie 7 denari, procedo cosı. Sommo i denari: 6 e 7 fa 13 denari, cioe 1 soldo e 1 denaro; scrivo1 denaro e riporto 1 soldo. Sommo i soldi: 13 + 8 + 1 fa 22 soldi, cioe 1 lira e due soldi;scrivo 2 soldi e riporto 1 lira. Sommo le lire: 3 + 4 + 1 fa 8.

7 denari

4 lire

3 lire

6 denari

13 soldi

8 soldi

1 denari2 soldi8 lire

1.2 Sottrazione

Alcuni metodi presentano delle differenze rispetto al nostro usuale, soprattutto nel caso incui sia necessario effettuare il “prestito”.

Un esempio dal Liber abaci: 85− 39. Si scrivono i due numeri in colonna. Si deve togliere9 da 5, che e impossibile. Si aggiunge allora 10 a 5, fa 15, da qui si toglie 9: rimane 6 che si

3

scrive in alto (come nella somma). Per il 10 che si e aggiunto si tiene 1 in mano e si aggiungea 3; fa 4, il 4 si toglie da 8, fa 4 che si scrive in alto.

85

39

46

Un diverso procedimento prevede di calcolare il complemento a 10 della cifra da sottrarre.Ecco un esempio dalla Summa di Pacioli. Per calcolare 8621− 6432 si scrivono i due numeriin colonna. Si dovrebbe sottrarre 2 da 1, che non si puo fare. Si calcola allora “quel chemanca a andare in 10” da 2, cioe 8; l’8 si somma con l’1, fa 9 che si scrive sotto e si tienea mente che si e gia “fornito una decina, le quali sempre in queste pratiche si tengono amente” e questa decina si aggiunge alle 3 che seguono, e fa 4. Ora si deve togliere 4 da 2, enon si puo fare. Si calcola allora quel che manca al 10, 6, e si aggiunge al 2: 8, che si scrive.Il 4 diventa 5; si calcola 6 − 5 e si scrive 1. Si calcola infine 8 − 6 e si scrive 2.

8621

6432

2189

1.3 Moltiplicazione

Fra le operazioni aritmetiche, la moltiplicazione e quella che presenta una maggior varietadi algoritmi. Nel Liber abaci se ne trovano due, qui indicati come “per crocetta” e “perquadrilatero”. Accanto a questi ne presentiamo alcuni altri.

1.3.1 Moltiplicazione con sostituzione

Presso gli indiani i calcoli venivano eseguiti su tavolette ricoperte di sabbia, dove cifree segni potevano essere facilmente cancellati e sostituiti. Passando al supporto cartaceole cifre da canellare vengono barrate e i nuovi valori si scrivono vicino. Si tratta di unprocedimento introdotto gia nei primi testi arabi (es. al-Uqlidisi ca. 950).

Esempio: 325x641. Si dispongono i fattori uno sull’altro come in figura. Fase 1: si iniziamoltiplicando il 3 rispettivamente per 6, 4, 1, (barrando queste cifre via via che si sonomoltiplicate) e scrivendo in alto i risultati, eventualmente correggendo i risultati parziali seintervengono i riporti; conclusi questi prodotti si barra il 3. Fase 2: si trasla il 641 di unposto verso destra e si procede con i prodotti del 2 per 6, 4, 1, sommando con i risultatigia presenti dal passo precedente e scrivendo i nuovi parziali al di sopra dei vecchi; conclusi

4

questi prodotti si barra il 2. Fase 3: si trasla il 641 di un posto verso destra e si procede coni prodotti del 5 per 6, 4, 1. Si legge il risultato: 208325.

2 5

46 1

81 32

39 2 581 32

392 4 2

0 5 1

6 14 1

6 4

2 581 32

392 4 2

0 5 1

6 14 1

6 4

8 3

5

1

4

6

1.3.2 Moltiplicazione per gelosia

E usato dagli arabi a partire dal XIII secolo. Molto diffuso in trattati d’abaco.

Procedimento: si disegna una griglia di m quadretti per n quadretti, dove m e n sono ilnumero di cifre del primo e del secondo fattore. Ogni quadretto e diviso in due triangolitracciando una diagonale. Si dispongono i due fattori attorno alla griglia (vedi figura). Inogni quadretto si inserisce il risultato del prodotto delle cifre dei fattori che identificano lariga e la colonna del quadretto stesso, ponendo le unita nel triangolo basso, le decine in quelloalto. Per ottenere il risultato si somma lungo le diagonali a iniziare da destra, con eventualiriporti nella diagonale successiva. Esempio (dalla Summa di Luca Pacioli): 987x987.

9

9

8 7

8

794

56

63

56

64

72

63

72

81

1 6 94

7

9

1.3.3 Moltiplicazione per crocetta o casella

Se dobbiamo moltiplicare un numero di tre cifre per un numero di tre cifre come primo passosi scrivono le unita della moltiplicazione della prima cifra da destra per la prima da destra;le decine si tengono in mano e vanno ad aggiungersi al passo successivo; si scrivono le unitadel risultato ottenuto sommando il riporto con il prodotto della seconda cifra per la prima ela prima per la seconda nei due numeri, le decine ancora in mano; al terzo passo si sommanoi prodotti della seconda per seconda cifra, terza per prima e prima per terza, sempre tenendoconto dei riporti; al quarto terza per seconda e seconda per terza; al quinto terza per terza.

5

Se si deve moltiplicare 123 con 456, si scrivono uno sotto l’altro (unita sotto le unita,decine sotto le decine, centinaia sotto le centinaia), e si moltiplica 3 per 6, fa 18, simette 8 e tiene 1, si moltiplica 3 per 5, fa 15 che sommato a 1 che si teneva fa 16,e 6 per 2, che sommato a 16 fa 28; si mette 8 e si tiene 2; si moltiplica 3 per 4, 6per 1 e 2 per 5, e si sommano con il 2 che tenevo, fa 30, si mette 0 e si tiene 3; simoltiplica 2 per 4 e 5 per 1 e si somma con il 3 che tenevo, fa 16, si mette 6 e si tiene1 che sommato al prodotto di 1 per 4 fa 5 che si mette e si avra come risultato dellamoltiplicazione 56088.

5 6 0 8 81 2 34 5 6

Aiutandosi con uno schema, non presente in Fibonacci ma presente in successivi libri diaritmetica, si scrivono i due fattori incolonnati spaziando un po’ le cifre; si uniscono a duea due le cifre in alto con quelle in basso: questo creera una serie di “incroci”; si consideranole intersezioni con la linea mediana (in rosso); moltiplicando n cifre per m cifre gli incrociintersecano la linea mediana in n+m-1 punti; in corrispondenza di ciascuno di questi puntisi considerano i prodotti delle cifre agli estremi dei segmenti che convergono in quel punto(in rosso nell’esempio) e si scrive sotto ogni incrocio la cifra delle unita del numero che siottiene sommando i prodotti di quell’incrocio (in blu nell’esempio); le decine si riportano alpunto successivo. Un esempio dalla Summa di Luca Pacioli: 456 per 456.

5 64

5 64

25 3616 303024 24

2020

639720

Si noti che nel procedimento descritto nei libri d’abaco i prodotti parziali non si scrivono:tutti i calcoli si eseguono mentalmente e si scrive direttamente il risultato. Per questo edetta anche “fulminea”.

1.3.4 Moltiplicazione per quadrilatero

Nel Liber abaci viene presentata come alternativa piu semplice ad un procedimento di tipocrocetta: “Est enim alius modus valde laudabilis, maxime in multiplicandis magnis numeris”

Procedimento: si disegna una scacchiera di m+1 quadretti per n quadretti, dove m e n sonoil numero di cifre del primo e del secondo fattore. Si dispongono i due fattori attorno allagriglia (vedi figura). In corrispondenza di ogni quadretto si inserisce il risultato del prodottodelle cifre dei fattori che identificano la riga e la colonna del quadretto stesso, ponendo le

6

unita nel quadrato e riportando le decine in quello alla sua sinistra. Per ottenere il risultatosi sommano i quadretti lungo le diagonali (con eventuali riporti) iniziando da destra in alto,come in figura. Esempio di Fibonacci: 4321x567:

1.4 Divisione

Nel Liber abaci la parte dedicata alla divisione spiega come primo passo come dividere pernumeri a una cifra. Si passa poi a divisioni per numeri a due cifre. Ecco uno degli esempiproposti: 18456:17. Come nel nostro procedimento si prendono le prime due cifre e si divide18 per 17. Risultati e resti si scrivono come nello schema; si procede con i numeri che viavia si formano con i resti e le successive cifre del dividendo. Per calcolare ad esempio 145:17,che compare in uno dei passaggi, Fibonacci prescrive di portare il divisore alla decina piuprossima; nel nostro esempio 17 diventa 20. Si calcola ora 145:20 facendo 14:2. Si scrive ilrisultato di questa divisione, oppure il risultato aumentato di 1. Se per raggiungere la decinapiu vicina avessimo dovuto diminuire il divisore avremmo da scrivere il risultato oppure ilrisultato diminuito di 1. Nel nostro caso il risultato e 7, e dunque il numero da scrivere e 7oppure 8 (poiche 17 e piu piccolo di 20 e dunque 1

17di 145 e piu grande di 1

20di 145). Qui

dobbiamo scrivere 8. In generale per sapere quale cifra e da scrivere Fibonacci prescrive dimoltiplicare il risultato trovato per il divisore originario e confrontarlo con il dividendo.Se vi e un resto nell’ultimo passaggio, questo si aggiunge al risultato come nell’esempio 11

17.

10851117

18456

17

96: 17= 5 resto 11

145:17=8 resto 9

18:17=1 resto 1

14:17=0 resto 14

149

1085

7

2 Problemi dal Liber abaci

In questa sezione riportiamo alcuni problemi tratti dai diversi capitoli del Liber abaci.

2.1 Problemi risolti con la regola del tre

La regola del tre (Pannello n. 8) e lo strumento base per risolvere problemi relativi allatrasformazione tra unita di misura diverse. Ecco alcuni altri esempi con misure di peso.Ricordiamo che un cantare pisano si compone di cento parti, ciascuna delle quali e dettarotolo; i rotoli sono composti di 12 once.

• Item rotuli 100 per libras 40; quot rotulos habuero per libras 2.

◦ Se un cantare, cioe 100 rotoli, si vende per 40 lire, quanti rotoli avro per 2 lire?

Soluzione.Tra i tre numeri dati due sono dello stesso genere (le 40 lire e le 2 lire) e l’altro e unpeso. Scrivi su una stessa riga i 100 rotoli e a sinistra il loro prezzo, cioe 40 lire; poiscrivi 2 lire sotto le 40 lire, poiche numeri dello stesso genere vanno uno sotto l’altro.Moltiplica ora in diagonale i numeri che si trovano agli estremi, cioe 100 e 2, che fa200. Dividi poi per 40. Viene 5 rotuli.

l. R.40 100

ր2 5

• Item cantare venditur pro libris 13; quantum valent rotuli 27.

◦ Se un cantare, cioe 100 rotuli, si vende per 13 lire, quanto valgono 27 rotoli?

Da ricordare: 1 lira vale 20 soldi e 1 soldo vale 12 denari.

Soluzione.Scrivi i 100 rotoli e le 13 lire sulla stessa riga e i 27 rotoli sotto i 100. Moltiplica 13per 27, che fa 351, e dividi per 100. Viene 3 e 51

100. Se vuoi sapere che parte di una

lira siamo moltiplica 51 per 20 e dividi per 100. Viene 10 che sono i soldi e resta 1

5.

Moltiplica 1

5per 12. Viene 2 e 2

5che sono i denari. Dunque 3 lire 10 soldi e 2 e 2

5di

denari.l. R.13 100

տ27

Anche per i cambi di monete si utilizza la regola del tre.

8

• Si soldus imperialium, scilicet denarii 12, aut cuiuslibet aliae monetae, vendaturpro denariis 31 pisaninis, vel pro aliis quibulibet; et queratur quot denarios pisaninosquis pro imperialibubs 11 habuerit: describer questionem ...

◦ Se un soldo, cioe 12 denari, di monete imperiali o di qualunque altra moneta, sicambia con 31 denari pisani, quanti denari pisani si hanno per 11 denari imperiali?

d. pis. d. imp.31 12

տ28 + 5

1211

Soluzione.Scrivi il primo termine, 12 denari imperiali, e sulla stessa riga scrivi quanto valgono,cioe 31 denari pisani; sotto i 12 denari imperiali metti 11, come si vede nello schema;moltiplicherai i numeri opposti, cioe 11 per 31, che fara 341, e questi dividili per 12;verra 28 + 5

12denari.

• Rursum soldus imperialium valet 31 pisaninis, ut predixiums; et queratur quotimperiales quis pro pisaninis 11 habuerit.

◦ Se un soldo, cioe 12 denari, di monete imperiali vale 31 denari pisani, quantiimperiali si hanno per 11 pisani?

Soluzione.Scrivi l’11 sotto il 31. Moltiplica 11 per 12, che fa 132, e dividi per 31. Verra 4 + 8

31

di imperiali.

d. pis. d. imp.31 12

ր11 4 + 8

31

I valori delle monete possono essere riferiti anche alla quantita di metallo prezioso che con-tengono. Ricordiamo che la libbra o lira era anche un’unita di peso. Una libbra era divisain 12 once.

• Si libra argenti, hoc est unciae 12, vendatur pro libris 7; et queratur quantum valentunciae 2.

◦ Una libbra d’argento, cioe 12 once, si vende a 7 lire e si chiede quanto valgono 2once.

Soluzione.Scrivi le once sotto le once cioe 2 sotto 12, moltiplica 2 per 7, che si trovano agliopposti, dividi per 12 e verra 1 + 1

6, cioe 20 soldi + 20 + 1

6soldi, cioe 20+3 soldi +

2 + 1

6soldi, cioe 23 soldi + 2 · 12 + 1

6denari, cioe 23 soldi e 4 denari.

9

l. unc.31 12

տ1 + 1

62

• Rursus si proponatur quod libra argenti, hoc est unciae 12, valent libras 8; etqueratur quantum argentum quis habuerit pro libris 5 denariorum.

◦ Se una libbra d’argento, cioe 12 once, si vende a 8 lire, quanto argento si avra per5 lire?

Soluzione.Scrivi 5 sotto 8, moltiplica 5 per 12 e dividi per 8. Viene 7 once e 1

2.

l. unc.8 12

ր5 7 + 1

2

Esempi con misure di lunghezza. Ricordiamo che 1 canna pisana vale 4 braccia.

• Si canna pisana, que est brachia 4 cuiuslibet panni vendatur pro soldis 7 et queraturquantum valet brachium 1.

◦ Se una canna pisana, cioe 4 braccia, di una certa stoffa si vende per 7 soldi quantocosta 1 braccio?

Soluzione.Moltiplicando in croce e dividendo per 4 si ottiene 1 soldo e 3

4, ossia 1 soldo e 9

denari.

s. br.7 4

տ1 + 3

41

• Item canna venditur pro soldis 46 et denari 5, hoc est soldis 46 + 5

12, quantum

valent ergo brachia 3.

◦ Se una canna pisana, cioe 4 braccia, si vende per 46 soldi e 5 denari, cioe a 46+ 5

12

soldi, quanto valgono 3 braccia?

Soluzione.Moltiplicando 46 per 12 e aggiungendo 5 si ottengono 557 denari. Moltiplicali per 3e dividi per 4 e poi per 12 per ottenere i soldi. Viene 417+ 3

4denari, cioe 34+ 9

12+ 3

4·12

soldi.

10

s. br.557 4

տ417 + 3

43

2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto

La regola del tre semplice corrisponde a proporzionalita semplice del tipo A : a = Z : z. Sepero ad esempio si scambiano tra loro due tipi di merci, ognuna con la sua quantita e conil suo prezzo, lo schema si complica. Se una quantita A di una prima merce vale Z e unaquantita B di una seconda merce vale V , qual e la quantita b della seconda merce che possoottenere in cambio di una quantita a della prima? Per rispondere potrei applicare due voltela proporzionalita diretta trovando prima il valore z della quantita a da A : a = Z : z e poib da B : b = V : z, ossia b = B×Z×a

V ×A. Questo si racchiude nello schema della regola del tre

composto che prevede di disporre in tre colonne le quantita della stessa natura, moltiplicarein diagonale le tre note, dividere per la altre due.

Z Aտ

b z aւ

B V

b Z Aւ տ

B V a

Esempi con baratto tra due tipi di merci.

• Verbi gratia brachia 20 panni valeant libras 3 pisaninorum, et rotuli 42 cotonisvaleant 5 similiter pisaninorum; queritur pro brachiis 50 panni quot rotuli cotonishabebuntur.

◦ Ad esempio, 20 braccia di panno valgano 3 lire di pisani, e 42 rotuli di cotonevalgano 5 lire di pisani. Si chiede quanti rotuli di cotone si avranno per 50 bracciadi panno.

Soluzione.Scrivi dunque sulla tavola 20 braccia, e accanto scrivi 3 lire, cioe il loro prezzo, sottole quali scrivi 5 lire, e a fianco di queste scrivi 42 rotuli. Scrivi poi 50 braccia sotto20 braccia, e moltiplica 50 per 3, che stanno diagonalmente, fa 150 che moltiplicaper 42 posto diagonalmente, e quello che viene dividilo per gli altri numeri, cioe per20 e per 5, cioe per 100. Il risultato e 63, e tanti rotuli di cotone si avranno per 50braccia di panno.

R. l. br.63 3 20

ւ տ42 5 50

11

• Item si proponatur quod rotuli 7 piperis valeant 4 berzi et libre 9 zaffarani valentberzi 11; et queratur quantum zaffranum quis de rotulis 23 piperis habuerit.

◦ Se 7 rotuli di pepe valgono 4 berzi e 9 libbre di zafferano valgono 11 berzi, si chiedequanto zafferano si avra per 23 rotuli di pepe.

Soluzione.Moltiplica 23 per 4 per 9 e dividi per 7 e per 11. Viene 828 da dividere per 77,cioe 10 con resto 58. Osservando che 58 = 8 · 7 + 2 il risultato si puo scrivere come10 + 8

11+ 2

11·7.

zafr. lib. b. pip. R.4 7

ւ տ9 11 23

• Nam si eadem ratione de libris 23 zaffarani piper habere volueris, describesquestione ut docet, hoc est similem mercem sub simili merce.

◦ Se, come prima, 7 rotuli di pepe valgono 4 berzi e 9 libbre di zafferano valgono 11berzi, quanto pepe si avra per 23 libbre di zafferano?

Soluzione.Moltiplica 23 per 7 per 11 e dividi per 4 e per 9. Verra 1771 da dividere per 36.Viene 49 e resta 7. Osservando che 7 = 2 · 3 + 1 e 36 = 3 · 12 si ha 49 + 2

12+ 1

3

1

12,

cioe 49 rotuli e 2 once e 1/3 di pepe.

zafr. lib. b. pip. R.23 4 7

ց ր9 11

Lo stesso schema si usa nei cambi tra due o piu tipi di monete.

• Item si proponitur quod soldus imperialium valeat pisaninos 31 et soldus ianui-norum valeat pisaninos 22 et queratur quot ianuinos valeant imperiales 7; describequestionem ...

◦ Se un soldo di imperiali vale 31 (denari) di pisanini e un soldo di genovini vale 22(denari) pisanini, quanti (denari) genovini valgono 7 imperiali?

Soluzione.Dovresti moltiplicare 7 per 31 e per 12 genovini; dividere per 12 e per 22. Tralasciainvece di moltiplicare per 12 genovini e non dividere per 12 imperiali: dunque mol-tiplica 7 per 31 e dividi per 22. Verranno 9 + 9

11+ 1

2

1

11genovini. Infatti 7 per 31 fa

217 che diviso 22 fa 9 e resto 19; 19

22= 9·2+1

11·2= 9

11+ 1

2

1

11.

12

d. gen. d. pis. d. imp.31 12

ւ տ12 22 7

• Imperiales 12 valent pisaninos 31 et soldus ianuinorum valet pisaninos 23 et soldusturnensium valet ianuinos 13 et soldus barcellonensium valet turnenses 11; queriturde imperialibus 15 quot barcellonense valeant.

◦ 12 imperiali valgono 31 pisanini, un soldo di genovini (cioe 12 genovini) vale 23pisanini, un soldo di tornesi vale 13 genovini e un soldo di barcellonesi vale 11 tornesi.Quanti barcellonesi valgono 15 imperiali?

Soluzione.Procedendo nel modo comune si trova quanti pisani valgono 15 imperiali, poi qunatigenovini valgono questi pisani, poi quanti tornesi valgono questi genovini e infinequanti barcellonesi valgono questi tornesi.

Ad arte metti le monete prescritte in due linee in ordine, cioe sopra 12 imperiali,31 pisanini e sotto 12 genovini e 23 pisanini in modo che i pisanini siano sotto ipisanini; [..] cosı da avere sulla riga superiore 12 imperiali, 31 pisanini, 13 genovinie 12 tornesi; nella inferiore 23 pisanini, 12 genovini, 11 tornesi e 12 barcellonesi.Moltiplica i 15 imperiali da cambiare, scritti sotto i 12, per 13 pisanini poi per 12genovini poi per 12 tornesi poi per 12 barcellonesi; dividi il tutto per 12 imperiali,per 23 pisanini, per 13 genovini e per 11 tornesi. Verra 20+ 8

23+ 2

13

1

23+ 10

11

1

13

1

23, infatti

15·31·12·12·��12

��12·23·13·11= 66960

3289= 20·3289+1180

23·13·11e 1180

23·13·11= 8·13·11+2·13+10

23·13·11, cioe, come dice Leonardo,

poco piu di 20 + 1

3.

barc. tor. gen. pis. imp.12 13 31 12

/ \ / \12 11 12 23 15

Altri problemi risolti con la regola del tre composto.

• Quinque equi comedunt sextaria 6 ordei in diebus 9; queritur in quot dies eademratione decem equi comedent sextaria 16.

◦ Cinque cavalieri consumano 6 sestari di orzo in 9 giorni; si domanda in quantigiorni 10 cavalieri consumano 16 sestari di orzo.

Soluzione.Scrivi su una riga 5 cavalieri, 6 sestari, 9 giorni (iniziando da destra); poi sotto 5scrivi 10 cavalieri e sotto 6 scrivi 16 sestari. Moltiplica 5 per 16 per 9, che fa 720;dividi per 10 e per 6, viene 12.

13

dies ordeum. equit.9 6 5

/ \12 16 10

Altro modo: se 5 cavalieri consumano 6 sestari in 9 giorni, 10 cavalieri, che e ildoppio, comsumano 12 sestari in 9 giorni. Dunque, secondo la proporzione, 10cavalieri consumano 16 sestari in 16×9

12= 12.

• In quadam planitie quidam rex misit homines 30 ut plantarent arbores in ea, quiplantaverunt ibi arbores 1000 in diebus 9; et queratur de hominibus 36 in quot diebusplantaverunt arbores 4400.

◦ In una valle un re mise 30 uomini a piantare alberi; questi piantarono 1000 alberiin 9 giorni. In quanti giorni 36 uomini pianteranno 4400 alberi?

Soluzione.Scrivi 36 uomini sotto 30 uomini, 4400 alberi sotto 1000. Moltiplica 30 per 4400 per9 e dividi per 36 e per 1000. Verra 33.

dies arbores homines9 1000 30

\ /33 4400 36

• Si econtra queratur de hominibus 36 quot arbores suprascripta ratione plantaveruntin diebus 33 [...] exibunt arbores 4400.

Item si queratur quot homines plantaverunt suprascripta ratione arbores 4400 indiebus 33 [...] exibunt homines 36, ut oportet.

◦ Se al contrario si chiede quanti alberi pianteranno 36 uomini in 33 giorni [...] verra4400.

E se si chiede quanti uomini pianteranno 4400 alberi in 33 giorni [...] verra 36.

dies arbores homines9 1000 30

33 4400 36

2.3 Problemi sulla divisione degli utili

Come devono essere divisi gli utili se ogni socio partecipa con un capitale diverso? La rispostadi Fibonacci e che ad ogni socio tocca tanta parte dell’utile totale quanto il suo capitale eparte del capitale totale.

14

Qualora si trattasse di soci che hanno fatto societa insieme, dei quali ciascuno hamesso una parte diversa nella societa, e con questa societa si fosse guadagnata unacerta quantita, e questa quantita volessero dividere secondo le parti; se si vuole saperequanto del profitto tocchi a ciascuno, scrivi la parte del primo socio all’estremitadestra della tavola, poi sulla stessa linea scrivi ordinatamente verso sinistra le partidegli altri soci, e all’altra estremita poni il profitto; poi somma tutti i capitali in uno,e metti da parte la somma, per la quale dividerai il prodotto del capitale di ogni socioper il profitto. In questo modo avrai quanto dell’utile totale tocca a ciascuno.

I soci possono essere due o piu. Si ricorda che 1 lira vale 20 soldi e 1 soldo 12 denari.

• Si proponatur de duobus hominibus, qui societatem insimul fecerunt, quorum unusmisit in prescripta societate libras 18 alicuius monete, et alter misit in eadem li-bras 25, et lucrati fuerunt inde libras 7; et queratur quot unicuique de ispis libris 7contingerit, sic facies.

◦ Se due uomini fanno insieme una societa, e uno mette 18 lire di una certa moneta,l’altro 25, e si guadagnano 7 lire; se si vuole sapere quanto di queste 7 lire tocchi aognuno, fai cosı:

Soluzione.Scrivi a partire da destra la parte del primo socio, del secondo e il guadagno: 18,25, 7. Somma 18 con 25: viene 43 che metterai a denominatore a 18 e a 25. Oramoltiplica il 7 del guadagno per 18 e dividi per 43 e troverai quanto del guadagnotocca al primo socio. Viene 2 + 40

43, cioe 2 lire, 18 soldi e 7 + 11

43di denari. Il resto

tocca all’altro. Puoi anche trovarlo moltiplicando 7 per 25 e dividendo per 43.

25 187 43 43

4 + 3

432 + 40

43

• Tres homines societatem fecerunt quorum primus misit libras 17, secundus libras29 tertius libras 42; et lucrati fuerunt libras 100.

◦ Tre uomini si misero in societa. Il primo mise 17 lire, il secondo 29 e il terzo 42.Furono guadagnate 100 lire. Quanto spetta a ciascuno?

Soluzione.Somma le tre parti: 17, 29 e 42; viene 88. Moltiplica il guadagno per ciascuna partee dividi per 88. Verra 19 lire 6 soldi e 4 + 4

11di denari per il primo; 32 lire 19 soldi

e 1 + 1

11di denari per il secondo; 47 lire 14 soldi e 6 + 6

11di denari per il terzo.

15

42 29 17100 88 88 88

47 + 14

20+ 6

20·12+ 6

11·12·2032 + 19

20+ 1

20·12+ 1

11·12·2019 + 6

20+ 4

20·12+ 4

11·12·20

2.4 Problemi sulla fusione delle monete

Il titolo di una moneta e un numero compreso tra 0 e 12, che esprime le once d’argentoin una libbra di moneta. Il problema che si pone e quello della fusione (consolamen) dellemonete, cioe di come ottenere monete di un certo titolo, a partire da argento, rame e davarie monete di titolo dato. Fibonacci distingue tre situazioni principali: quando si fondonouna certa quantita di rame e di argento, quando si fondono insieme monete di titolo dato piucerte quantita di rame o di argento o di entrambi, e infine quando si fondono solo monete divari titoli, senza aggiunta di metallo. Ricordiamo che 1 libbra sono 12 once.

• Quidam habet libras 7 argenti, ex quibus vult facere monetam ad uncias 2 argentiin libra; et vult scire quantitatem totius consolaminis, nec non et eris iunctionem.

◦ Un tale ha 7 libbre di argento, dalle quali vuol fare monete a 2 once per libbra; sivuole sapere la quantita da fondere e il bronzo da aggiungere.

Soluzione.Di queste 7 libbre d’argento fanne once, e saranno 84. Dato che in ogni libbra dimoneta ci sono 2 once d’argento, quante volte 2 once entrano in 84, tante volte sipu fondere una libbra di monete da queste once d’argento. Ma in 84 once due onceentrano 42 volte; dunque da 84 once d’argento si possono fondere 42 libbre di monete.Dalle quali, tolte le 7 libbre d’argento, rimangono 35 libbre di bronzo da aggiungere.

Altra soluzione. Poiche in ogni libbra devono esserci 2 once d’argento il resto delleonce, cioe 10, per ogni libbra sara di rame. Dunque per ogni 2 once di argento che sihanno bisogna prenderne 10 di rame. Scrivi allora 2 libbre di argento e 10 di ramesu una riga e 7 libbre di argento sotto l’argento, come nello schema. Moltiplica 7 per10 e dividi per 2: vengono 35 libbre di rame.

rame arg.10 2

տ35 7

• Item proponatur quod quidam habeat libras 8 et uncias 7 + 1

4argenti ex quibus vult

facere monetam ad uncias 2 + 1

3in libra; et queritur summa consolaminis nec non

eris adiuncto.

◦ Se si hanno 8 libbre e 7+ 1

4once d’argento e si vogliono fare delle monete con 2+ 1

3

once d’argento per libbra, quanto rame si deve aggiungere e quante libbre in totalesi ottengono?

16

Soluzione.Togli 2+ 1

3da 12: si ottiene 9+ 2

3, cioe quanto rame occorre per ogni libbra. Moltiplica

9 + 2

3per 103 + 1

4once, cioe 8 libbre e 7 + 1

4once, e dividi per 2 + 1

3. Verra 427 + 3

4

di once di rame, cioe 35 libbre e 7 + 3

4once di rame da aggiungere. Aggiunte alle 8

libbre e 7 + 1

4once di argento danno la somma di tutte le monete, cioe 44 libbre e 3

once.

rame arg.9 + 2

32 + 1

3

տ103 + 1

4

• Item si habueris libras 7 ad uncias 5 unius monete et libras 9 ad uncias 4 alteriuset volueris ex eis monetam ad uncias 3 cuprum addendo conformare; et quesierisiunctionem cupri nec non et totius consolaminis quantitatem sic facies.

◦ Si hanno 7 libbre di alcune monete a 5 once d’argento ciascuna e 9 libbre di altremonete a 4 once e se ne vuole fare una moneta a 3 once aggiungendo del rame.Quanto rame si deve aggiugnere e qual e il totale delle monete fuse?

Soluzione.Moltiplica 7 per 5, viene 35, e 9 per 4, viene 36, somma: viene 71, che e il totaledell’argento contenuto nelle monete. Dividi per 3, viene 23 + 2

3, che sono le libbre

totali di monete che verranno. Togli le libbre di rame delle monete iniziali e troveraila quantita di rame da aggiungere, cioe 7 + 2

3libbre.

Quando si tratta di coniare delle monete con un dato titolo fondendo due tipi di monete contitoli diversi, senza aggiungere argento o rame, ci si riconduce alla proporzione che le duemonete di partenza devono avere per ottenere il titolo voluto. Problemi simili si risolvonoanche con il metodo della doppia falsa posizione.

Se si hanno due tipi di monete, una con titolo maggiore e l’altra con titolo minoredella moneta che si vuole ottenere si puo fare la fusione senza aggiungere bronzoo argento se dei due tipi di moneta si prendono quantita in proporzione scambiataalla differenza fra le once di argento della moneta da ottenere e quelle delle monetestesse.

Se per esempio si hanno delle monete a 2 once d’argento per libbra e della monete a9 once d’argento per libbra e si vogliono fare monete a 5 once d’argento per libbra,scrivi 2 e 9 sulla stessa riga e sotto, fra loro, il 5, come nello schema. La differenzafra 9 e 5, 4, scrivila sopra il 2, e la differenza fra 2 e 5, 3, scrivila sopra il 9. Si avraallora che per 4 parti della moneta di titolo minore occorrono 3 parti della monetadi titolo maggiore.

17

3 49 2

5

• Unde si ex ipso consolamine tantum uncias 12 consolare volueris [...] exibunt demaiori moneta uncie 6 + 6

7et de minori uncie 5 + 1

7.

◦ Si hanno delle monete a 2 once d’argento per libbra e della monete a 9 onced’argento per libbra e si vogliono fare monete a 5 once d’argento per libbra fondendoin tutto 12 libbre di monete. Quanto della prima moneta e quanto della seconda sideve fondere?

Soluzione.Secondo quanto detto prima per 4 parti della moneta di titolo minore occorrono 3parti della moneta di titolo maggiore, cioe 4

7e 3

7del totale. Dunque occorrono 3

7di

12, cioe 5 + 1

7libbre della moneta a 9 once, e occorrono 4

7di 12, cioe 6 + 6

7libbre

della moneta a 2 once.

• Rursus si de minori moneta habueris libras 10 multiplica eas per 3 que sunt supra9 et divide per 4 que sunt super 2, exhibunt libre 7 + 1

2de maiori moneta.

◦ E se invece si hanno 10 libbre di moneta a 2 once d’argento per libbra, quante dellemonete a 9 once bisogna aggiungere per ottenere monete a 5 once?

Soluzione.Secondo quanto detto prima per 4 parti della moneta di titolo minore occorrono 3parti della moneta di titolo maggiore. Dunque dividi 10 per 4 e moltiplica per 3.Verranno 7 + 1

2libbre che e la quantita necessaria della seconda moneta.

2.5 Problemi risolti con la falsa posizione

Il metodo prende questo nome perche si introduce un’ipotesi iniziale arbitraria, e dunque ingenere falsa. Con questa ci si riduce a un problema di proporzionalita risolubile applicandola regola del tre.

• Est arbor cuius 1

4

1

3latet sub terra; et sunt palmi 21; queritur quanta sit arboris

illius longitudo.

◦ C’e un albero, di cui 1

3e 1

4stanno sotto terra e sono 21 palmi. Si chiede quale sia

la lunghezza dell’albero.

Soluzione.Supponiamo che la lunghezza dell’albero sia 12 (scelto perche e divisibile sia per 3che per 4). Prendiamo 1

3e 1

4del 12 che abbiamo supposto come lunghezza. Si ottiene

7. Se avessimo ottenuto 21 avremmo a caso trovato che l’albero era 12 palmi. Ma

18

poiche 7 non e 21 avremo che 7 sta a 21 come la lunghezza ipotizzata dell’albero,cioe 12, sta a quella da trovare. In altre parole: se per 12 che suppongo trovo 7, cosadevo prendere per ottere 21? Secondo la regola delle tre cose moltiplica gli estremi,cioe 12 e 21, e dividi per l’altro numero, cioe 7. Si ottiene 36.

12 36տ

7 21

• Item est arbor cuius 1

4

1

3latet sub terra. Residuum vero quod est super terram est

palmi 21.

◦ C’e un albero, di cui 1

3e 1

4stanno sotto terra. Il rimanente, che sta sopra la terra,

e 21 palmi. Si chiede quale sia la lunghezza dell’albero.

Soluzione.Poniamo che l’albero sia 12 palmi, da cui, tolti 1

3e 1

4, cioe 7, restano sopra la terra

5 palmi. Dunque dirai: per 12 che ho posto, viene 5; cosa devo porre perche venga21? Moltiplica allora gli estremi, cioe 12 per 21, e dividi per il medio 5; verra 50 e2/5 .

12 50 + 2

5

տ5 21

• Item si dixerit quod addita 1

4

1

3ipsius arboris super arborem erunt 38.

◦ Se a un albero si aggiungono i suoi 1

3e 1

4l’albero diviene alto 38 palmi. Si chiede

quale sia la lunghezza dell’albero.

Soluzione.Poniamo che l’albero sia 12 palmi, a cui aggiunti 1

3e 1

4, cioe 7, verrebbe 19 palmi.

Poiche si vorrebbe fossero 38, si dice: per 12 che ho preso trovo 19, che devo prendereper trovare 38? Moltiplica 12 per 38 e dividi per 19: si trova 24.

12 24տ

19 38

• Iterum est arbor de quo acceptis 4

5

3

4et de collecta quantitate si extraxeris

quantitatem illius arboris remanent 33; queritur rursum quanta sit illius arborislongitudo.

◦ C’e un albero del quale, se prendo i 4

5e 3

4e tolta da questi la lunghezza di tutto

l’albero, rimangono 33 palmi. Si chiede quale sia la lunghezza dell’albero.

19

Soluzione.Poniamo che l’albero sia 20 palmi. I 4

5e 3

4sono 31 palmi, da cui tolgo la lunghezza

20 e resta 11 palmi. Si dice allora: per 20 che ho preso ho trovato 11. Quanto devoprendere per ottenere 33? Moltiplica 20 per 33 e dividi per 11: si trova 60.

20 60տ

11 33

2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione

Si tratta di utilizzare ora due ipotesi arbitrarie per trovare la quantita desiderata. Anchequi ci si riconduce a una proporzionalita che ci dica di quanto cambiare ancora l’ipotesi perazzerare l’errore. Il metodo e noto anche come “regula elcataym” o del cattaino.

• Quidam habuit monetam que erat ad uncias 3 et aliam monetam que erat ad uncias6; et voluit ex eis facere libram 15 monete que essent ad uncias 5; et queritur quantumde una quaque moneta in predicto consolamine mittere debuit.

◦ Un tale ha delle monete a 3 once d’argento e altre a 6 once d’argento per libbra.Vuole con queste fare 15 libbre di monete a 5 once d’argento. Quante monete diciascun tipo deve fondere?

Soluzione.Per 15 libbre a 5 once d’argento occorrono in tutto 75 once d’argento.Supponiamo di prendere 3 libbre della prima moneta. Abbiamo allora 3× 3 = 9 on-ce d’argento dalla prima moneta e dalle 12 libbre che mancano e che devo prenderedella seconda moneta ottengo altre 12 × 6 = 72 once d’argento. In totale 81 once;dunque in questa prima ipotesi ho un errore di 6 once.Supponiamo ora di prendere 4 libbre della prima moneta. Abbiamo allora 4×3 = 12once d’argento dalla prima moneta e dalle 11 libbre che mancano e che devo prenderedella seconda moneta ottengo altre 11 × 6 = 66 once d’argento. In totale 78 once;dunque in questa seconda ipotesi ho un errore di 3 once.Dunque aumentando di una libbra la prima moneta ho diminuito di 3 l’errore. Quan-to allora devo aumentare ancora la prima moneta per diminuire ancora di 3 once?Moltiplica 1 per 3 e dividi per 3. Viene 1, e dunque dovro usare 5 libbre della primamoneta e 10 della seconda.

libbre primo tipo 3 4

err. 6 3

diff. ip. 1 1տ

diff. err. 3 3

• Quidam ivit negotiando Lucam, deinde Florentia et reversus est Pisas; et fecit

20

in unaquaque civitate duplum et in unaquaque expendidit denarios 12 et in fine nilremansit ei. Queritur quot in principio habuit.

◦ Un tale ando per affari a Lucca poi a Firenze e torno a Pisa e in ciscuna cittaraddoppio il suo denaro e spese ogni volta 12 denari e alla fine niente gli rimase. Sichiede con quanto era partito.

Soluzione.Supponiamo dapprima che fosse partito con 12 denari; in questo caso gli resterebbero12 denari. Se invece fosse partito con 11 denari, rimarrebbe a Lucca con 22-12=10,a Firenze con 20-12=8 e infine a Pisa con 16-12=4 denari. Una diminuzione di uno(da 12 a 11) nella supposizione iniziale ha portato dunque a una diminuzione di 8(da 12 a 4) nel risultato finale. Si dira allora: per 1 che ho diminuito del capitale,mi sono avvicinato di 8; quanto dovro ancora diminuire per avvicinarmi di altri 4?Si moltiplica 4 per 1, e si divide per 8; verra 1

2denaro, che tolto da 11 denari dara

per il capitale iniziale 10 denari e 1

2.

denari iniziali 3 4

err. 12 4

diff. ip. 1 10 + 1

2

տdiff. err. 8 4

2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la scacchiera

Si tratta di problemi di matematica ricreativa tratti dalla nona parte del capitolo 12, lostesso che contiene il problema dei conigli (Pannello n. 9) e della scacchiera (Pannello n. 11).

• Septem vetule vadunt Romam quarum quelibet habet burdones 7, et in quolibetburdone sunt saculi 7 et in quolibet saculo panes 7 et in quilibet panis habet cultellos7 et quilibet cultellus habet vaginas 7. Queritur summa omnium predictorum.

◦ Sette vecchie vanno a Roma; ognuna ha sette muli, ogni mulo ha sette sacchi, inogni sacco ci sono sette pani, ogni pane ha sette coltelli, ogni coltello sette guaine.Si chiede la somma di tutti.

Soluzione.Moltiplica il numero delle vecchie, 7, per il numero dei muli, 7; viene 49. Moltiplica49 per i 7 sacchi, viene 343. Moltiplica per 7 pani; viene 2401. Moltiplica per 7coltelli; viene 16807. Moltiplica per 7 guaine; viene 117649. Sommando tutto viene137256.

• Est arbor que habet ramos 100, et in quolibet ramo sunt nidi 100; et in quolibetnido sunt ova 100; et in quolibet ovo sunt aves 100.

◦ Un albero ha 100 rami, in ogni ramo ci sono 100 nidi, in ogni nido 100 uova e inogni uovo 100 uccelli. Qual e la somma di tutti?

21

Soluzione.Prendi i 100 rami e aggiungi due zeri per avere i nidi, viene 10000. Metti altri duezeri per le uova, viene 1000000. Metti altri due zeri per gli uccelli, viene 100000000.Per sommare metti un 1 al posto del terzo, del quinto e del settimo zero. Viene101010100.

3 Algebra e almucabala

Il Liber abaci si chiude riprendendo la parte piu innovativa della matematica araba (Pannellon. 4), l’algebra. Seguendo al-Kharizmi, Fibonacci affronta equazioni di primo e secondogrado, dapprima discutendone le forme e illustrando le regole per la loro soluzione, poipresentando e risolvendo un centinaio di problemi.

I termini delle equazioni sono costituiti da numeri, radici (corrispondenti alla nostraincognita) e censi (corrispondenti al quadrato dell’incognita). Nelle equazioni questi terminipossono essere legati tra loro in sei modi (che corrispondono alle equazioni indicate a fiancocon b > 0 e c > 0):

semplici

• censo uguale a radici (x2 = bx)

• censo uguale a numero (x2 = c)

• radici uguali a numero (bx = c)

composti

• censo e radici uguali a numero (x2 + bx = c)

• censo uguale a radici e numero (x2 = bx + c)

• censo e numero uguali a radici (x2 + c = bx)

Tutte le equazioni che coinvolgano censi, radici e numeri si riconducono a una di questetre forme. Eventuali termini negativi si eliminano tramite la “restauratio” (ricomposizione,in arabo “al-jabr”), termini simili nei due membri si semplificano tramite la “oppositio”(bilanciamento, in arabo “al-muqabala”). I censi, cioe i quadrati incogniti, vengono sempreridotti ad avere coefficiente uno tramite la trasformazione nota in arabo come “al-hatt”.

3.1 Censo e radici uguali a numero (x2 + bx = c)

• Sic facias: accipe quadratum medietatis radicum et adde eum super numerumdatum; et eius quod provenerit radicem accipe; de qua numerum medietatis radicumtolle; et quod remanserit erit radix quesiti census.Verbi gratia: census et decem radices equentur 39. Dimidium itaque ex radicibus est5; quibus in se multiplicatis faciunt 25; quibus additis cum 39 faciunt 64; de quorumradice que est 8 si auferatur medietas radicum, scilicet 5, remanebunt 3 pro radicequesiti census. Quare census est 9, et ipsius decem radices sunt 30; et sic census etdecem radicem equantur 39.

22

◦ Fai cosı: prendi il quadrato della meta delle radici e aggiungilo al numero dato; diquello che viene prendi la radice; da questa togli meta delle radici.Esempio: un censo e dieci radici siano uguali a 39. La meta delle radici e 5 chemoltiplicato per se stesso fa 25; questo aggiunto a 39 fa 64; dalla cui radice, che e 8,se si toglie meta delle radici, cioe 5, rimarra 3 che da la radice del censo richiesto.Quindi il censo e 9, e le sue dieci radici sono 30; e cosı il censo con le dieci radicifanno 39.

Il motivo di questa regola viene spiegato attraverso due costruzioni geometriche.Nella prima si costruisce un quadrato il cui lato sia 5 (in nero), la meta delle radici, piu

un pezzetto incognito (in rosso tratteggiato). Il quadrato verde chiaro rappresenta il censoe il suo lato una radice. La superficie di un rettangolo verde e pari a 5 radici. La superficiein verde, formata dal quadrato e dai due rettangoli, e dunque nota e pari a 39. La superficiedel quadrato azzurro e 25. Se allora si somma 25 a 39 si trova tutto il quadrato grande, 64.Estraendo la radice si trova il suo lato, cioe 8. E togliendo la parte in nero, pari a meta delleradici, cioe 5, Si trova il lato del quadrato incognito, cioe 3.

La seconda costruzione geometrica e basata sulla Prop. VI del II libro degli Elementidi Euclide: se si divide un segmento in parti uguali e ad una parte si aggiunge un altrosegmento, il rettangolo costruito con l’intero segmento piu il secondo segmento e con ilsecondo segmento insieme con il quadrato della meta e uguale al quadrato costruito sulsecondo segmento piu meta del primo. Questo corrisponde alla seguente figura e all’identitaalgebrica (s + x)s + ( s

2)2 = ( s

2+ x)2:

Ecco la costruzione: per il censo incognito si costruisce un quadrato qualsiasi (in verdechiaro), su un suo lato si costruisce un rettangolo che abbia l’altro lato pari a 10 (in verdepiu scuro). Questa superficie sara pari a 39 (un censo piu dieci radici). Aggiungiamo unquadrato di lato pari a meta radici. La superficie sara ora 39+25, cioe 64. Per la proposizioneprecedente questa superficie e pari al grande quadrato col bordo in viola, di lato pari a metadelle radici piu il lato del censo. Dunque questo lato e 8. Sottraendo 5 si ottiene che laradice del censo e 3 e il censo e 9.

23

Osserviamo che la regola corrisponde alla formula√

( b

2

2) + c − b

2. Le radici considerate

sono sempre solo quelle positive. Cosı qui delle due radici dell’equazione x2 + bx− c = 0 con

b, c > 0, ossia − b

2+

√

( b

2

2) + c e − b

2−

√

( b

2

2) + c si costruisce solo la prima.

3.2 Radici e numero uguali a censo (x2 = bx + c)

• Tunc quadratum medietatis radicum addes super numerum; et super radicem eius,quod provenerit, adde numerum medietatis radicum; et habebis radicem quesiti cen-sus.Verbi gratia: census equetur decem radicibus et denariis 39. Addam siquidem qua-dratum medietatis radicum, scilicet 25, super 39; erunt 64; quorum radici, scilicet8, superadde 5, scilicet medietatem radicum; provenient 13 pro radice quesiti census.Quare census est 169.

◦ Allora aggiungi il quadrato di meta radici al numero; alla sua radice aggiungi ilnumero di meta radici; avrai la radice del censo cercato.Esempio: un censo sia uguale a dieci radici e 39 denari. Aggiungi dunque il quadratodi meta radici, cioe 25, a 39; fara 64; alla cui radice, che e 8, aggiungi 5, cioe metaradici; verra 13 che da la radice del censo richiesto. Quindi il censo e 169.

Questa la costruzione geometrica a spiegazione del procedimento. Si costruisce il quadratopari al censo con lato incognito (in rosso tratteggiato) maggiore di 10. Su uno dei suoilati si costruisce un rettangolo con l’altro lato pari a 10 (in giallo). poiche la superficiedel rettangolo giallo e pari a 10 radici, il rettangolo verde che resta deve essere pari a 39.Costruiamo ora un quadrato su meta del lato di 10. Questo quadrato piu la striscia verde(cioe la superficie con il bordo azzurro), per la stessa proposizione Elem. II, VI, e pari alquadrato col bordo viola, che e dunque 64. Aggiungendo al suo lato, 8, meta del lato di 10,si ottiene il lato del censo, 13, e dunque il censo, 169.

Osserviamo che la regola qui corrisponde alla formula√

( b

2

2) + c + b

2. Anche qui delle due

radici dell’equazione x2 − bx − c = 0 con b, c > 0, ossia b

2+

√

( b

2

2) + c e b

2−

√

( b

2

2) + c si

costruisce solo la prima, quella positiva.

24

3.3 Censo e numero uguali a radici (x2 + c = bx)

• Et cum occurrerit quod census et numerus equentur radicibus scias hoc fieri nonposse nisi numerus fiat equalis vel minor quadrato medietatis radicum: qui si equalisfuerit habebitur pro radice census numerus medietatis radicum; et si numerus quicum censu equatur radicibus fuerit minus quadrato medietatis radicum, extrahe ip-sum numerum ex ipso quadrato et eius quod remanserit radicem extrahe ex numeromedietatis radicum; et si quod remanserit non erit radix quesiti census tunc addes idquod extraxisti super numerum de quo extraxisti et habebis radicem quesiti census.Verbi gratia: census et 40 equantur 14 radicibus. Dimidiatis siquidem radicibus ve-niunt 7; de quorum quadrato, scilicet 49, extrahe 40, remanent 9; quorum radicem,que est 3, exthrae de mediate radicum, scilicet de 7, remanebunt 4 pro radice quesiticensus, census est 16; quibus additis cum 40 faciunt 56 que sunt radices 14 eiusdemcensus, cum ex ducta radice de 16 in 14 venient 56.Vel radicem de 9 adde super 7, erunt 10 pro radice questiti census; et sic censuserit 100 quo addito cum 40 faciunt 140 que sunt radices 14 de 100; cum ex multi-plicatione radicis de 100 in 14 provenient 140; et sic cum non solvetur questio cumdiminutione, solvetur sine dubio cum additatione.

◦ E se capitasse che censo e numero siano uguali a radici sappi che questo non puoessere a meno che il numero sia minore o uguale al quadrato di meta radici. Se fosseuguale si avrebbe per radice del censo il numero di meta radici. E se il numero checon il censo e uguale a radici fosse meno del quadrato di meta radici, sottrailo daquel quadrato e sottrai la radice di cio che resta dal numero di meta radici.

Esempio: un censo e 40 uguale a 14 radici. Dimezzando le radici si ha 7, dal loroquadrato, cioe 49, togli 40, rimane 9; sottrai la sua radice, cioe 3, da meta delle radici,cioe 7; rimarra 4 come radice del censo cercato e il censo e 16; questo sommato con40 fa 56 che sono 14 radici dello stesso censo, poiche moltiplicando la radice di 16per 14 viene 56.Oppure somma la radice di 9 con 7, verra 10 come radice del censo cercato; e cosı ilcenso sara 100 che sommato a 40 fa 140 che sono 14 radici di 100 poiche dal prodottodella radice di 100 per 14 viene 140. E cosı se non si risolvesse la questione con lasottrazione, si risolvera senza dubbio con l’addizione.

La costruzione geometrica che spiega la regola si serve della Prop. V del libro II degliElementi: se si divide un segmento in parti uguali e in parti disuguali, il rettangolo delle partidisuguali, piu il quadrato della differenza tra la parte maggiore e la meta della linea, e ugualeal quadrato della meta. Questo corrisponde alla seguente figura (la parte in verde scuropiu il quadrato azzurro sono uguali al quadrato con il bordo viola) e all’identita algebrica:(s − x)x + ( s

2− x)2 = ( s

2)2.

25

Ecco la costruzione. Si traccia un segmento lungo 14 e su una parte si costruisce il censo(quadrato verde chiaro). Ci sono due casi: il lato del censo e minore della meta di 14 oppuree maggiore. In ogni caso si completa il rettangolo che ha come lati 14 e il lato del censo(parte in verde scura e verde chiara). Questo rettangolo sara pari a 14 radici. Poiche ilquadrato verde chiaro e il censo, la parte rimanente (verde scuro) sara 40. Questa sommataal quadrato azzurro e, per la prop. V del libro II, uguale al quadrato con il bordo viola, cioe49. Dunque il quadrato azzurro e 9 e il suo lato e 3.

Primo caso: il lato del censo (rosso tratteggiato) e minore della meta. Per ottenere il latodel censo da 7 tolgo 3. Secondo caso: il lato del censo (rosso tratteggiato) e maggiore dellameta. Per ottenere il lato del censo a 7 aggiungo 3.

3.4 Un problema da risolvere con le regole precedenti

Si tratta del primo dei problemi che conducono a uno dei casi composti.

• Divisi in duas partes 12 et multiplicavi unam earum per 27; et quod provenit fuitequale quadrato alterius partis.Sic facies: pone rem pro una partium, remanebunt 12, minus re pro alia; quibusmultiplicatis per 27 faciunt 324 minus 27 rebus; et multiplica rem in re, scilicet

26

prima partem in se, proveniet census qui equatur denariis 324 minus 27 rebus; quibusrebus additis utrique parti veniet census et 27 res que equantur denariis 324; et sicreducta est hec questio ad unam ex tribus compositis regulis, ad eam videlicet inqua census et radices equantur numero. Unde ut procedas secundum ipsam regulammultiplica 13 + 1

2, scilicet dimidium radicum in se, erunt 182 + 1

4que adde cum

324 erunt 506 + 1

4; quibus radicem invenias sic: fac quartas ex eis, erunt 2025, cui

numero radicem invenias, eritque 45; que divide per radicem de 4, que sunt sub virga,scilicet per 2, exibunt 22 + 1

2, de quibus extrahe medietatem radicum, remanebunt 9

per radicem census, que sunt una pars: a quibus usque in 12 desunt 3 pro secundaparte.

◦ Ho diviso in due parti 12 e ho moltiplicato una delle due parti per 27; quel che evenuto era uguale al quadrato dell’altra parte.Fa’ cosı: prendi la cosa come una delle due parti; rimarranno 12 meno la cosa perl’altra; moltiplicati questi per 27 viene 324 meno 27 cose; moltiplica la cosa per lacosa, cioe la prima parte per se stessa; viene il censo che e uguale a 324 denari meno27 cose.(restauratio) Aggiungendo queste (27) cose da entrambe le parti viene che il censo e27 cose sono uguali a 324 denari; e cosı questa questione si e ridotta a una delle treregole composte, a quella cioe in cui censo e radici sono uguali a numero.(regola) Dunque per procedere secondo quella regola moltiplica 13 + 1

2, cioe meta

radici, in se, saranno 182 + 1

4; sommale con 324, saranno 506 + 1

4, la cui radice trova

cosı: fanne quarti, saranno 2025, e a questo numero trova la radice, sara 45; dividilaper la radice di 4, che sta sotto il segno di frazione, cioe per 2, verra 22+ 1

2, di questo

estrai la meta delle radici, rimarra 9 per la radice del censo che e una parte; a questaper arrivare a 12 manca 3, che e la seconda parte.

27

Indicazioni per il lavoro in classe

Scuola Primaria (classi III, IV, V)

La parte che si puo piu facilmente proporre ai bambini di questa eta e quella delle quattrooperazioni. I diversi algoritmi possono evidenziare come non vi sia un unico modo di eseguireun’operazione. L’addizione puo essere un primo modo per presentare l’evoluzione storicadella matematica attraverso l’origine di alcuni termini. La sottrazione mostra un altromodo di affrontare la difficolta del prestito. I diversi metodi di moltiplicazione hanno variesfaccettature. Per la sua semplicita di calcolo e per il fatto di separare la difficolta del ricordodelle tabelline da quello dell’esecuzione delle somme nei prodotti parziali, il procedimento pergelosia e adatto anche ad essere presentato prima dell’introduzione dell’algoritmo comune,a chi ancora non e familiare con il procedimento usuale. In modo abbastanza naturale sitrasforma in quello per quadrilatero. Il nostro poi si riconosce in questo se si rialleneano lerighe in modo da non dover sommare in diagonale, ma in verticale. La crocetta si prestabene al calcolo mentale, magari proponendo esempi di prodotti di numeri a due cifre pernumeri a due cifre.

L’esame del procedimento di divisione puo consentire di discutere alcuni aspetti del nostro.L’arrotondamento alla decina inferiore del divisore rende ragione del perche delle nostre“prove” considerando una sola cifra del divisore; quello alla decina superiore puo essere unaltro modo per raggiungere piu velocemente il quoziente parziale ricercato.

Scuola Secondaria Inferiore

Gli algoritmi per le operazioni, con le osservazioni precedenti, possono essere proposti conesempi di diversa difficolta anche in questa fascia di eta.

I vari problemi, nella loro traduzione, sono un ricco materiale di lavoro. Si trovano raccoltinell’ordine con cui sono presentati nel Liber abaci, ma tale ordine e anche generalmente unordine di crescente complessita.

Nell’affrontarli si potra stimolare la ricerca di una soluzione autonoma e poi (o in alterna-tiva) si potranno presentare le soluzioni indicate da Fibonacci. I primi problemi si risolvonoutilizzando la regola del tre. Questa costituisce un efficace strumento di risoluzione di pro-blemi di proporzionalita semplice: date tre quantita trovare la quarta proporzionale. Laregola di risoluzione prevede di costruire uno schema che risutla un aiuto mnemonico moltoutile. Le quantita di una stessa merce si mettono una sotto l’altra e i valori corrispondentia fianco (Pannello n.8). Una volta sistemati i valori noti si trovera quello mancante mol-tiplicando in diagonale e dividendo per il terzo valore. Questo strumento matematico eramolto importante e permetteva al mercante di risolvere moltissime questioni riguardanti lapratica. E lo strumento base e vi si ricorre anche in problemi che richiedono soluzioni piuarticolate.

28

Un po’ piu complessi sono i problemi del paragrafo successivo, da risolvere con la regoladel tre composto. Il nuovo schema, costruito secondo le indicazioni di Fibonacci, anche inquesto caso indica in modo immediato le operazioni da seguire. Per dare una giustificazionedella regola si puo ricorrere alle due proporzioni che legano i dati. Piu immediatamente sipotranno utilizzare i due corrispondenti schemi della regola del tre semplice, come mostratonell’introduzione del paragrafo stesso.

Nei problemi di ripartizione degli utili non si richiama direttamente la regola del tre. Ilcalcolo delle parti che toccano a ciascuno si puo vedere come il calcolo di una frazione maanche come applicazione della regola del tre. Nel primo problema, ad esempio, per calcolarequanto tocca al primo socio si moltiplica il 7 del guadagno per 18 e si divide per 43. Questosi puo vedere come il calcolo dei 18

43di 7 (ricorrendo alle frazioni), ma si puo anche leggere

come regola delle tre cose nello schema18-

7 43

Un altro basilare strumento nella soluzione dei problemi medievali e la regola della falsaposizione. Si tratta di un procedimento piuttosto intuitivo dato il suo carattere euristico.Si tratta infatti di provare ad assegnare un valore all’incognita cercata e ricavare il valorecorrispondente per uno dei dati del problema. A questo punto utilizzando la “falsa” ipotesi, ildato ricavato e il dato assegnato, si ricava con la regola del tre l’ipotesi “vera”, cioe l’incognitacercata. Questo procedimento funziona nel caso di problemi riconducibili ad un’equazionedel tipo ax = b, la cui soluzione e dunque x = b/a. Visti attraverso il nostro formalismotali problemi sembrerebbero di immediata soluzione. Ma la mancanza di una notazioneletterale rende difficile riconoscere la stessa struttura in problemi diversi. Si noti per altroche i termini dell’equazione generalmente non sono direttamente forniti dal problema, madovrebbero essere ricavati a loro volta dai dati. Cosı il procedimento algoritmico e il calcoloeffettivo possono risultare non immediati. La falsa posizione viceversa spesso risulta la viapiu piana, nei calcoli e nel susseguirsi delle operazioni, per giungere alla soluzione. Quantodetto per l’artimetica medievale vale anche per chi, come i ragazzi della scuola secondaria,non ha dimestichezza con il calcolo letterale. E dunque anche per loro puo risultare piu facileseguire la via del “tentativo” da aggiustare.

Nel caso in cui il problema sia riconducibile a un’equazione di tipo ax + b = c, dove possoassegnare valori arbitrari ad x e ricavare valori corrispondenti di c, la falsa posizione non sipuo applicare direttamente. Se per X1 che pongo ottengo C1, non riesco poi ad applicarela regola del tre per poter ricavare la x, poiche X1 non si semplifica proprio a causa di b.Allora procedo con due “false” posizioni aX1 + b = C1 e aX2 + b = C2. Confronto ora ladifferenza delle ipotesi a(X1 − X2) = C1 − C2 per poter ora stabilire con la regola del tredi quanto ancora diminuire (o incrementare) la prima per poter avere il dato c.

29

Scuola Secondaria Superiore

Di tutti i problemi abbiamo riportato il testo latino perche puo essere istruttivo tentare unalettura diretta per quegli indirizzi che studiano anche questa lingua.

Se alcuni dei problemi precedenti possono essere proposti anche alle classi delle ScuoleSuperiori come introduzione al linguaggio e ai metodi della matematica medievale, altrihanno anche un interesse matematico piu rilevante di per se.

In alcuni casi potra essere istruttivo confrontare le soluzioni proposte dai ragazzi e lasoluzione proposta da Fibonacci. Si potra mettere l’accento sul ruolo che l’utilizzo del calcololetterale nella risoluzione dei problemi assume rispetto a procedimenti descritti verbalmente.In particolare la doppia falsa posizione, discussa sopra, puo ben prestarsi a questo generedi lavoro. Si puo ad esempio seguire la soluzione data da Fibonacci e cercare di tradurla informule, per evidenziare la comune natura dei problemi.

Interessanti anche perche molto legati ad aspetti economici dell’epoca sono i problemilegati alle monete.

I problemi di matematica ricreativa forniscono spunti vari. Da citare ovviamente primadi tutti il problema dei conigli (pannello 9) che da modo di introdurre la successione diFibonacci. I problemi del paragrafo 2.7 di queste schede riguardano progressioni geometriche.A questi va aggiunto il piu noto e complesso problema della scacchiera (che viene descrittonel pannello 11 della mostra). In questo problema si ha una progressione geometrica diragione due e si da un metodo per determinarne la somma.

L’ultima parte, dedicata alle equazioni di secondo grado, puo essere affrontata da piu puntidi vista. Se le equazioni di secondo grado sono gia state introdotte si potra lavorare al rico-noscimento delle forme e delle formule risolutive, discutendo sulla necessita di distinguere icasi e riflettendo sulla generalita del significato dei simboli letterali rispetto a quelli dell’al-gebra retorica. Da osservare anche come ci si pone nei confronti della doppia soluzione neivari casi.

La traduzione in termini di algebra letterale, familiare per gli studenti, potra riguardarenon solo gli enunciati e le regole risolutive espresse verbalmente da Fibonacci, ma anche lecostruzioni geometriche che spiegano i procedimenti risolutivi. Nei due momenti il calcololetterale trova dunque un’interpretazione dal duplice aspetto: algebrico e goemetrico.

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