Progetto di Strutture
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Progetto di Strutture
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile A/A 2012-2013
SLE DI DEFORMAZIONE IN TRAVI DI
CEMENTO ARMATO
SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema)
Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici.La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect). Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di carico.
SLU travi in c.a. - Deformazione
INTRODUZIONE
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)
Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione. Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale.Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione interamente reagente la curvatura è data dalla relazione
IcIE
)x(M)x(''v)x(
Curvatura della sezione
Interamente reagente Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo
spostamento v(x)
dd)(x)0('v)0(v)x(vx
0 0
)'x(v
Calcolo travi in c.a. - Deformazione
Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è, nel caso di strutture isostatiche, far uso del teorema dei lavori virtuali
Sistema reale Sistema Virtuale
dxxxMfx abab 0
)()()()( )()(1
Sistema virtuale
Sistema reale
Ic
aa
IExMx )()(
)()(
dxIE
xMxMfx
Ic
aba 0
)()()( )()(
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Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la deformazione nell’acciaio potrebbe essere espressa come una frazione della deformazione dello stesso al secondo stadio, come era prescritto in passato dal D.M. 09.01.06:
IIs
s
sr
s
ssm E ,
2
1
IId
fII
s
cdsm M
MIE
ydM
2
1)(
Nel caso di
pura flessione
s
I° stadio
II° stadio
M
Fessurazione
Tension Stiffening
II,stadio
< 1
In corrispondenza della condizione Md
=Mf
sussiste una discontinuità in
quanto il valore della sm
non corrisponde a quello relativo al I° stadio
Momento di
fessurazione
yc d
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
ss
ct
s
ssm 2
f1E
Trattazione semplificataNormativa (EC2)
Nel caso di trazione semplice la tensione sr
vale
sctscctsr fA/Af
2
1ss
ct
s
ssm
fE
Forma analoga
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Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)La normativa europea (EC2) tenta di correggere tale discontinuità definendo la deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)
IIsIssm ,, 1
Deformazione media del concio di trave fessurata
secondo
l’Eurocodice 2 e NTC08
c
smm yd
yc d
II,ssm
Deformazione media dell’acciaio
nella sezione fessurata secondo
Il D.M. 9.1.96
dd)(x)0('v)0(v)x(vx
0 0m
IIIm 1
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Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)
Calcolo travi in c.a. - Deformazione
Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così come indicato dall’Eurocodice 2. In alternativa è possibile utilizzare il TLV
IIIm 1 yc d
yc
d
I° stadio
II° stadio
I
II
ddEIMdd1
EIM.I.Cv
x
0 0 IId
x
0 0 Id
m Equazione
Linea
elastica
T.L.V.
dxEI
xMEI
xMxMvx
I
d
I
dIII
0
)0()0()1(, )()1()()(
Momento sist. virtuale
Curvatura media sist. reale
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SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Metodo Alternativo
Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche
L
v
Mfess
a b c
Zona fessurata
(Zona non fessurata)
m
j ia
IIb
jn
i ia
Ib
ia xxMxxMf
1
)()(
1
)()()( )(1)(
dxxxMfx
mba 0
)()( )()(
DISCRETIZZAZIONE
Zona fessurataZona non fessurata
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Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)
IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Metodo Alternativo
Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
Gk,Q
k
6m 3m f ?
Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura utilizzando i dati indicati a lato. Per il
calcolo fare riferimento alle NTC08
Dati
b=20 cm
h=60 cm
As=210=1.57cm2
As’=314=4.62cm2
Cls: Rck 25 Mpa
Acciaio: B450C
Gk = 22 kN
Qk = 10 kN
b
hAs
As’
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori Virtuali:
dx)x()x(Mf1x
0
)a()b()a()b(
Sistema virtuale
Sistema reale
Sistema Reale Sistema Virtuale
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
Calcolo con riferimento al solo II stadio. La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect.
Caratteristiche della sezione:
I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha
yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507cm4
WI=14707 cm3
II° Stadio
- calcolo asse neutro (n=15)
- calcolo momento d’inerzia
cm94.151nAbd21
bnAy
s
GsIIc
cm3.43
'AA'd'AsdAsd
ssG
42IIc
2IIc
3IIcII cm147778)yd(nAs)'dy('nAs3
byJ
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
La normativa Europea prevede il calcolo delle deformazioni per carichi permanenti o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa tipologia di carichi è la seguente:
)al(EJ3
aFEJ3aF
EJ3laFdxx
EJFdxx
lEJaFdxx
EJxFdxx
la
EJ
xlaF
f II
2k
II
3k
II
2k
a
0
2II
kl
0
22II
2k
a
0 IIk
l
0 II
k
824.0720042655.015.011
222
aFWf
MM
k
Ictm
d
fess
kNQGFi
ikikk 24102.0222 Combinazione di carico quasi permanente
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
Calcolo con riferimento al EC2
La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della freccia calcolata con la sezione al II° stadio
cm
alEJ
aFalEJ
aFfff IIk
IkIII
m
328.1824.051.1)824.01(523.0
)(3
)1)((3
122
cmff I 523.0)300600(42650729003
30024 2
cmff II 51.1)300600(
1477782900330024 2
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IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO
xi (cm) dxi (cm) Ej I° (kNcmq) EJ II° kNcmq Mfess (kNcm) Md (kNcm) 1 (1/cm) (1/cm) media (1/cm) M' (kNcm) media*M'*dxi0 50 1220000000 428000000 4260 0 0 1 0 0 0 0 0
50 50 1220000000 428000000 4260 600 0 1 4.92E-07 1.402E-06 4.91803E-07 25 0.000614754100 50 1220000000 428000000 4260 1200 0 1 9.84E-07 2.804E-06 9.83607E-07 50 0.002459016150 50 1220000000 428000000 4260 1800 0 1 1.48E-06 4.206E-06 1.47541E-06 75 0.005532787200 50 1220000000 428000000 4260 2400 0 1 1.97E-06 5.607E-06 1.96721E-06 100 0.009836066250 50 1220000000 428000000 4260 3000 0 1 2.46E-06 7.009E-06 2.45902E-06 125 0.015368852300 50 1220000000 428000000 4260 3600 0 1 2.95E-06 8.411E-06 2.95082E-06 150 0.022131148350 50 1220000000 428000000 4260 4200 0 1 3.44E-06 9.813E-06 3.44262E-06 175 0.030122951400 50 1220000000 428000000 4260 4800 0.606 0.394 3.93E-06 1.121E-05 8.34768E-06 200 0.08347677450 50 1220000000 428000000 4260 5400 0.689 0.311 4.43E-06 1.262E-05 1.00681E-05 225 0.113266489500 50 1220000000 428000000 4260 6000 0.748 0.252 4.92E-06 1.402E-05 1.17249E-05 250 0.146560882550 50 1220000000 428000000 4260 6600 0.792 0.208 5.41E-06 1.542E-05 1.33353E-05 275 0.183359947600 50 1220000000 428000000 4260 7200 0.825 0.175 5.9E-06 1.682E-05 1.49109E-05 300 0.223663685650 50 1220000000 428000000 4260 6000 0.748 0.252 4.92E-06 1.402E-05 1.17249E-05 250 0.146560882700 50 1220000000 428000000 4260 4800 0.606 0.394 3.93E-06 1.121E-05 8.34768E-06 200 0.08347677750 50 1220000000 428000000 4260 3600 0 1 2.95E-06 8.411E-06 2.95082E-06 150 0.022131148800 50 1220000000 428000000 4260 2400 0 1 1.97E-06 5.607E-06 1.96721E-06 100 0.009836066850 50 1220000000 428000000 4260 1200 0 1 9.84E-07 2.804E-06 9.83607E-07 50 0.002459016900 50 1220000000 428000000 4260 0 0 1 0 0 0 0 0
1.100857228
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Calcolo analitico
SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche)
IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Si può ad esempio ricorrere al metodo delle forze per la determinazione delle caratteristiche della sollecitazione ed integrare successivamente l’equazione della linea elastica. In alternativa è possibile integrare l’equazione della linea elastica nella seguente forma:
Dove p è il carico distribuito lungo la trave
L’approccio classico al problema è di tipo numerico-iterativo. pvIE IV
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BIBLIOGRAFIA
Per maggiori approfondimenti consultare
Cap. 14 Aurelio Ghersi – IL CEMENTO ARMATO
Cap. 11 – Progettazione di Strutture in calcestruzzo armato – AICAP
Cap 13 – Renato Giannini - Teoria e Tecnica delle Costruzioni civili
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