Prof.ssa Laura Salvagno

Nella vita di tutti i giorni abbiamo spesso a che fare con il concetto di rapporto, partiamo perciò da alcuni esempi per introdurre l’argomento. Consideriamo tutte le gare combattute dalla nazionale di kendo italiana lo scorso anno: sono 9. Se di queste 9 gare la squadra ne ha vinte 7 diciamo che:

le gare vinte sono state 7 su 9 oppure il rapporto tra gare vinte e gare totali è 7 : 9 o ancora che il rapporto tra gare vinte e gare totali è di 7 a 9

Altro esempio. Consideriamo l’analisi chimica di un certo formaggio. Tale analisi ha determinato che per 9 grammi di proteine ci sono sempre 6 grammi di acqua, ovvero 9:6=1,5 grammi di proteine per ogni grammo d’acqua. Si dice che

Il rapporto proteine-acqua è di 9 a 6 Il rapporto proteine-acqua è 9:6 Il rapporto proteine-acqua è di 1,5

Quindi in matematica la parola rapporto indica un quoziente. Perciò un rapporto può essere indicato da: Una divisione

• 7:9 – il rapporto gare vinte-gare giocate è di 7 a 9

• 9:6 – il rapporto proteine-acqua è di 9 a 6

Una frazione

• – il rapporto gare vinte-gare giocate è sette noni

• – il rapporto proteine-acqua è nove sesti

Un numero (naturale o decimale) • 0,78 – il rapporto gare vinte-gare giocate è di 0,78

• 1,5 – il rapporto proteine-acqua è di 1,5

79

96

DEFINIZIONE: Dati due numeri qualsiasi a e b, con b ≠ 0, si definisce

rapporto tra a e b e si scrive a : b oppure

il quoziente tra il primo numero a e il secondo numero b.

I due numeri sono chiamati termini del rapporto. Il primo è chiamato antecedente il secondo è chiamato conseguente.

ab

a : b

ab

antecedente

conseguente

antecedente

conseguente

DEFINIZIONE: Dato un rapporto , si chiama rapporto inverso il

rapporto che si ottiene scambiando l’antecedente con il conseguente

ovvero il rapporto

ab

ba

Esempio: Dato il rapporto il rapporto inverso è . 56

65

N.B. Come si nota il prodotto tra un rapporto e il suo inverso è pari a 1. Infatti

4 5 15 4× =

N.B.2 Essendo un quoziente vale la proprietà invariantiva (moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un rapporto per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un rapporto equivalente a quello dato) Es. 4 : 5 = 8 : 10 = 12 : 15

x 2 x 3

Ripassiamo il concetto di grandezza e quindi di grandezze omogenee.

DEFINIZIONE: Grandezza è qualunque proprietà della materia che si può misurare. La misurazione si effettua confrontando la grandezza da misurare con una grandezza di riferimento di valore unitario chiamata unità di misura.

DEFINIZIONE: Due grandezze si dicono omogenee se sono confrontabili, ovvero se possono essere espresse con la stessa unità di misura.

Consideriamo due grandezze omogenee, per esempio la lunghezza di due segmenti AB e CD.

Il rapporto tra AB e CD è espresso dal quoziente: Questo significa che il segmento AB è 3 volte il segmento CD.

A B C D

9 33

AB cmCD cm

= =

Consideriamo altre due grandezze omogenee, per esempio le aree di due rettangoli ABCD e EFGH.

Il rapporto tra le aree dei due rettangoli è espresso dal quoziente:

DEFINIZIONE: Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al quoziente tra le loro misure rispetto ad una stessa unità di misura ed è espresso da un numero puro.

21

22

15 56 2

A cmA cm

= =

A B

C D

E F

G H

Se osserviamo gli esempi precedenti possiamo dire che le grandezze osservate sono confrontabili in quanto il loro rapporto è un numero naturale o razionale. In altri casi invece il rapporto non è un numero naturale o razionale ma un numero irrazionale come nel caso del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato

2 1,4142...dl= =

d l

Possiamo dare dunque due definizioni sulle grandezze omogenee:

DEFINIZIONE: Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se il loro rapporto è un numero naturale o razionale

DEFINIZIONE: Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili se il loro rapporto non è un numero razionale

E se le grandezze non sono omogenee? Possiamo definire ancora il rapporto? Per definirlo riprendiamo due esempi presi dalle scienze. Un treno percorre 390 km in 3 ore, qual è la sua velocità media? Ricordiamo che la velocità media è data dal rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo e dunque

390 130 /3

s kmv km ht h

= = =

Perciò la velocità del treno in questione è di 130 km all’ora. Come ci ricordiamo dalle scienze lunghezza (distanza) e tempo sono due grandezze fondamentali e non sono omogenee.

Tale rapporto viene chiamato grandezza derivata in quanto deriva da due grandezze fondamentali.

Il loro rapporto, ossia la velocità media, come notiamo non è un numero puro ma un numero con unità di misura.

Altre grandezze derivate che usiamo nella vita quotidiana sono: Accelerazione (rapporto tra velocità e tempo) Pressione (rapporto tra peso e superficie) Frequenza (rapporto tra numero di giri e tempo unitario) … e molte altre

Un particolare rapporto con cui abbiamo a che fare nella vita quotidiana sono i disegni in scala che possono essere di ingrandimento o di riduzione.

Ad esempio, se vogliamo riprodurre la pianta dell’appartamento o casa in cui abitiamo non possiamo riprodurla con le misure reali e quindi dobbiamo «rimpicciolirla», mentre se vogliamo riprodurre le caratteristiche di una cellula dobbiamo «ingrandirla» .

In questi casi il rapporto si scrive scala 1 : n (si legge 1 a n) dove n è il numero di volte che è stata ridotta Cellula

ingrandita 20 000 volte Tale scrittura sta a significare che 1 unità di misura del

disegno corrisponde a n unità di misura della realtà.

DEFINIZIONE: la scala di riduzione (ingrandimento) è il rapporto fra la misura di una certa distanza sulla carta e la stessa distanza nella realtà.

Cartina del Veneto Scala 1:1 000 000

Piantina di un appartamento Scala 1:200

La scala di riduzione (ingrandimento) indica quante volte la misura reale è stata ridotta (ingrandita) sulla carta.

Hai già visto in geografia i vari tipi di cartine geografiche? Secondo il valore del rapporto di riduzione, esistono: • piante e mappe: scala fino a 1: 10 000 • carte topografiche: scala compresa tra 1 : 10 000 e 1 : 150 000; • carte corografiche: scala compresa tra 1 : 150 000 e 1 : 1 000 000· • carte geografiche: scala compresa tra 1 : 1 000 000 e 1 : 50 000 000· • mappamondi o planisferi: scala maggiore di 1 : 50 000 000.

Carta topografica

Mappamondo

Guardiamo ora i seguenti esempi: Giovanni ha giocato con Luigi 15 partite a tennis e ne ha perse 5. Matteo ha giocato con Luca 9 partite a tennis e ne ha perse 3.

Se esaminiamo i due esempi senza la dovuta attenzione potremmo incappare nell’errore di considerare Matteo più bravo perché ne ha perse «solo» 3. Ma ad un’analisi più attenta, se consideriamo i rispettivi rapporti tra partite giocate e partite perse osserviamo che in realtà sono stati «ugualmente bravi».

Infatti notiamo che in entrambi i casi il rapporto è uguale:

• Il rapporto tra partite perse da Giovanni e partite totali giocate è

• Il rapporto tra partite perse da Matteo e partite totali giocate è

In fondo è come se, in proporzione alle partite giocate, avessero perso solo una partita su 3.

5 15 :1515 3

= =

3 13: 99 3

= =

Possiamo perciò dare la definizione di quanto visto fino ad ora:

DEFINIZIONE: Una proporzione è l’uguaglianza fra due rapporti, Ovvero

a : b = c : d I quattro numeri che formano la proporzione si chiamano termini della proporzione: ∗ Il primo e il quarto numero si chiamano estremi perché si trovano

ai due estremi della proporzione ∗ Il secondo e il terzo numero si chiamano medi perché stanno in

mezzo alla proporzione ∗ Il quarto numero viene anche chiamato quarto proporzionale

Essendo termini di un rapporto, i termini della proporzione prendono anche i nomi già visti per i rapporti: Il primo e il terzo si chiamano antecedenti Il secondo e il quarto si chiamano conseguenti

In formule possiamo scrivere:

a : b = c : d

Antecedente Conseguente

Estremi Medi

Quarto proporzionale

Un tipo particolare di proporzioni è la proporzione continua.

DEFINIZIONE: Una proporzione si dice continua quando i termini medi sono uguali. Il termine medio si chiama medio proporzionale fra gli estremi. L’ultimo termine si chiama terzo proporzionale dopo i primi due.

a : b = b : c

Medio proporzionale

Terzo proporzionale

Oltre all’uguaglianza tra due rapporti (proporzione) è possibile considerare l’uguaglianza fra tre o più rapporti. Tale uguaglianza viene chiamata catena di rapporti.

a : b = c : d = e : f = g : h

Vedremo più avanti come si risolvono