PROBLEMI NON-LINEARI NEL CALCOLO STRUTTURALE · 1 grado di libertà mediante il METODO DI...

1/ Non-linearità geometrica : spostamenti e deformazioni finiti

PROBLEMI NON-LINEARI NEL CALCOLO STRUTTURALE

2/ Non-linearità materiale : leggecostitutiva non -lineare , plasticità , meccanica del danno , ipoelasticità ,…

RIF: M.Crisfield, Non-linear Finite Element Analysi s of Solids and Structures,

John Wiley & Sons, 1991—Cap 1 e Cap. 91

Soluzione di problemi NON -LINEARi

1 attivazione di una procedura iterativo -incrementale basata sul Metodo diNewton -Raphson

2 scelta della procedure di controllo2 scelta della procedure di controllodell’evoluzione della curva strutturale

2.1 controllo di carico

2.2 controllo di spostamento

2.2 controllo misto carico/spostamento

2

SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE NON-LINEARE

Data la funzionea(x)=b

Essa puo ’ essere espressa come: h(x)=a(x)-b

Risolvere a(x)=b ~ risolvere h(x)=0Risolvere a(x)=b ~ risolvere h(x)=0

In campo nonlineare la risoluzione di h(x)=0 siaffronta con una tecnica iterativa

3

SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE NON-LINEARE

1. Si parte dal valore iniziale x0

2. Si genera una sequenza di valori iterativi xn-1, xn, xn+1 convergenti alla soluzione x*

3. Si itera secondo una procedura iterativa del tipo : x n+1=F(xn)

4

METODO DI NEWTON-RAPHSON

5


Si sostituisce f(x) con la sua

versione linearizzata

iterativafunzione xfdx

xdfxx

xxdx

xdfxfxf

iesTaylor Ser xxdx

xdfxfxf

kk

k1k

kkk

kk

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

1

11

**

*

−−−−++++

++++++++

−−−−====⇒

−−−−++++====

−−−−++++====

Nota: ad ogni step occorre valutare f and f’6

Processo iterativo: ripeti da k = 0 a ….

Fino a convergenza

)()(

1

1 kk

kk xfdx

xdfxx

−−−−++++

−−−−====


DEF: una sequenza iterativa {x(k)} converge con

l’ordine q ad un valore x* se esiste un vettore

norma tale che per ogni k ≥≥≥≥ N:

Fino a convergenza

qkkk xxxx **1 −−−−≤≤≤≤−−−−++++

7

2k*2

2k*

kk* )xx(

dx

)x~(fd)xx(

dx

)x(df)x(f)x(f0 −+−+==

Sappiamo che, se x* e’ la soluzione di f(x)=0, lo sv iluppo in serie nell’intorno di x k diventa


Sappiamo inoltre che in base al Metodo di Newton Raphson

)xx(dx

)x(df)x(f0 k1k

kk −+= +

8

Sottraendo

Moltiplicando per l’inverso del gradiente

22

21 )x(x

dx

)f(xd)x(x

dx)df(x *k

k*k

k

−−−−====−−−−++++

221

1 )()x(x

)f(xdxdf)x(x *k

kk*k −−−−

====−−−−−−−−

++++


Convergenzaquadratica

(((( )))) (((( ))))2**1

2

21

xxKxxallora

Kxdx

fdx

dxdf

Sia

kkk

kkk

−−−−====−−−−

====

++++

−−−−

22

1 )()x(x

dx

)f(xddx

xdf)x(x *k*k −−−−

====−−−−++++

9

Vantaggi:-Convergenza quadratica quando si hanno radici con molteplicita’ semplice ed il gradiente esiste e si parte da una soluzione di tentativo sufficientemente vicina alla soluzione


Svantaggi:-Occorre calcolare il gradiente, ma non sempre esso esiste-Occorre partire da una soluzione di tentativo sufficientemente vicina alla soluzione

10

l’’

Esempio di non -linearità geometrica ad 1 grado di libertà

Equilibrio verticale

l

zwN

l

zwNsinNW

+≅′′+=θ=

11

Deformazione nell’asta


22222 w1wz)lz(l)wz( +−++Deformazione nell’asta supponendo piccolo θθθθottenuta applicando il Teorema di Pitagora

Sforzo nell’asta

12

2

22

2222

l

w

2

1

l

w

l

z

)lz(

)lz(l)wz(

+

≅+

+−++=ε

+

=ε=2

l

w

2

1

l

w

l

zEAEAN

l

zw

l

w

2

1

l

w

l

z

l

zwNW

2 +

+

=+= Componente verticale


)w2

1zw

2

3wz(

l

EAW 322

3++=

3

z

l

EA

W

−

13

z

w−

Esempio di non - linearità geometrica ad 1 grado di libertà con molla

wK)w2

1zw

2

3wz(

l

EAW S

3223

+++=

3

z

l

EA

W

−3

2

S l2

EAz3.1K =

14

zEA

z

w−

3

2

S l2

EAzK =

Risoluzione del problema di non- linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON -

RAPHSON Introduciamo la differenza (detta residuo ) tra la forzainterna , calcolata usando il legame costitutivo N-w, e la forza esterna reale applicata

forza interna forza esterna

0W)w2

1zw

2

3wz(

l

EAg 322

3=−++=

Il nostro obiettivo è soddisfare esattamente l’equazioneg=0, che, tuttavia, è non lineare in w

Se g≠0 l’equazione di equilibrio non risulta soddisfatta

Si supponga ora di adottare una proceduraapprossimata iterativa alla N-R per la soluzionedell’equazione g=0

forza interna forza esterna

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Approssimiamo il residuo valutato nella posizione ‘n’ (new) come polinomio di Taylor nell’intorno della posizione precedente ‘o’ (old) troncato al I ordine

=0

Risoluzione del problema di non - linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante ilMETODO DI NEWTON-RAPHSON

Tangente Calcolata nella posizione old ‘o’

=0

trascurabile

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( )2

20

20

0n wdw

gd

2

1w

dw

dggg δ+δ+≅

Passo 3/ Si pone il residuo valutato nella posizione ‘n’ uguale a 0

Passo 4/ Si risolve l’equazione ottenuta

Risoluzione del problema di non - linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante ilMETODO DI NEWTON-RAPHSON

0====ng

Passo 4/ Si risolve l’equazione ottenuta nell’incremento δδδδw

Passo 5/ si ottiene una nuova stima per lo spostamento w

)( 00

1

00 wg

dwdg

w−−−−

−−−−====δ

001 www δ++++====17

Si riparte quindi dall’inizio con una nuova valutazione:

Fino a convergenza ovvero fino a quando tolg ≤

Risoluzione del problema di non -linearità geometrica ad 1 grado di libertà mediante il METODO DI NEWTON-RAPHSON

)( 11

1

11 wg

dwdg

w−−−−

−−−−====δ

Si osservi che nel nostro caso

Pertanto

Fino a convergenza ovvero fino a quando tolg ≤

RIGIDEZZA

TANGENTE

18

Wl

)wz(Ng −+=

tKl

N

dw

dN

l

)wz(

dw

dg =++=


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METODO DI NEWTON-RAPHSON:problemi connessial calcolo della rigidezza tangente K t

In generale K t può essere >0, =0, <0 oppure può non esistere

Si preferiscono quindi metodi basati non sulla rigidezza tangente ma suapprossimazioni della derivata dg/dw 20

METODO DI NEWTON-RAPHSON modificato secondo la rigidezza di inizio passo

21

METODO DI NEWTON-RAPHSON modificato secondo la rigidezza elastica iniziale

22

NB: errore numerico tra il percorso calcolatoe quello reale

23

a) Controllo di carico :Si procede incrementando il caricoFinora abbiamo adottato questa procedura di incremento dicarico

Tipologie di controllo della rispostastrutturale carico -spostamento

b) Controllo di spostamento :Si procede incrementando lo spostamentoquando non e’ possibile incrementare il carico

24

Controllo di carico

25

Controllo di spostamento

Si procedeincrementandolo spostamento

� Se sicontrollassel’incremento di

26

l’incremento dicarico siperderebbeconvergenza

Controllo di spostamento

Corso di Meccanica delle Strutture- ing. Elena Benve nuti

27

Necessità di tecniche avanzate : presenza disnap back e snap through

Controllo di spostamento e di carico falliscono:

� Arc length 28

Necessità di tecniche avanzate : presenza disnap back e snap through

Controllo di spostamento e di carico falliscono:

� Arc length 29

Necessita ’ di tecniche avanzate : presenza disnap back e snap through

30


31


32

METODO ARC-LENGTH

Si consideri l’equazione di equilibrio seguente

dove:

q (p) : forze interne funzioni del

0q)p(q),p(g efi =λ−=λ

q i(p) : forze interne funzioni del vettore spostamenti p

qef : vettore delle forze nodaliesterne fissate

λλλλ: parametro di carico chemoltiplica q ef

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METODO ARC-LENGTH Si consideri l’equazione di equilibrio

0),( ====−−−−==== efi qqpg λλIl metodo arc-length (Riks 1972-Wempner 1971) si basa sullaricerca dell’intersezione tra la curva del percorso strutturale e l’arco di circonferenza centrato nelpunto iniziale del passo di

Dove ψψψψ e’ un parametro dimensionale necessario per poter calco lareds

punto iniziale del passo diequazione

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∫= dss

efeft22t qqddpdpds ψλ+=

Dato l’arco di raggio costante∆∆∆∆l, si studia la curva diequazione

METODO ARC-LENGTH

0222 ====−−−−++++==== lqqppa efT

efT ∆ψλ∆∆∆

Si tratta di un’equazione non lineare, pertanto la sirisolve con il metodo di N-R facendo sistema con l’equazione di equilibrio

350qq2pp2aa

0qpKgg

pp

ggg

eftef

2t0n

ef100n

=λδλψ∆+δ∆+=

=δλ−δ+=δλλ∂

∂+δ∂∂+=

METODO ARC-LENGTH

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ARC-LENGTH sferico

37

ARC-LENGTH cilindrico

38

ARC-LENGTH ellittico

39

ARC-LENGTH linearizzato

40

Valore di tentativo iniziale

Tecniche per aumentare la velocità diconvergenza

n

dn I

I

====

0

0λ∆λ∆I 0

41

1/ Si applica un incremento di carico/spostamento e si risolve il problema nel passo finito

ANALISI ITERATIVA -INCREMENTALE

2/ Anche il problema incrementale nel passofinito e’ non lineare e pertanto viene risoltocon una procedura non -lineare alla N-R

42

ANALISI ITERATIVA -INCREMENTALE

43

ANALISI ITERATIVA-INCREMENTALE: ciclo

44

Esempio: von Mises truss

45


46


Controllo di carico fallisce47


arc length robusto ed efficiente48


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Esempio : Lee frame

50

Esempio : Lee frame

La convergenza non e’ sempre garantita……

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