Problema E2 -...
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Problema E2 (tratto dagli esempi 5.3 e 5.4 del cap. V del Mazzoldi-Nigro-Voci) Un satellite artificiale di massa m = 10 3 Kg ruota attorno alla Terra de- scrivendo un’orbita circolare di raggio r 1 =6.6 · 10 3 Km. 1. Calcolare il periodo T 1 dell’orbita del satellite [4 punti] Per migliorare la trasmissione tra satellite e Terra, emerge la necessit` a di portare il satellite ad un’orbita circolare diversa. La prima opzione ` e quella di portare il satellite su un’orbita circolare di raggio r 2 =7.1 · 10 3 Km 2. calcolare di quanti minuti e secondi il periodo dell’orbita varia rispetto a quello originaria; [2 punti] 3. calcolare il lavoro che ` e necessario fornire per eseguire tale operazione; [5 punti] Una seconda opzione ` e quella di portare il satellite a descrivere un’orbita circolare di raggio r 0 2 e di periodo T 0 2 pi´ u lungo di 4 minuti rispetto a T 1 . 4. calcolare la differenza di raggio tra le due orbite; [2 punti] 5. calcolare il lavoro che ` e necessario fornire per eseguire tale operazione, e stabilire quale opzione ` e energeticamente pi´ u conveniente. [2 punti] (costante di gravitazione G =6.67 · 10 -11 m 3 Kg s 2 ; massa della Terra M =5.98 · 10 24 Kg) Non cambiare le notazioni del testo ! 1
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Problema E2(tratto dagli esempi 5.3 e 5.4 del cap. V del Mazzoldi-Nigro-Voci)
Un satellite artificiale di massa m = 103 Kg ruota attorno alla Terra de-scrivendo un’orbita circolare di raggio r1 = 6.6 · 103 Km.
1. Calcolare il periodo T1 dell’orbita del satellite [4 punti]
Per migliorare la trasmissione tra satellite e Terra, emerge la necessita diportare il satellite ad un’orbita circolare diversa.La prima opzione e quella di portare il satellite su un’orbita circolare diraggio r2 = 7.1 · 103 Km
2. calcolare di quanti minuti e secondi il periodo dell’orbita varia rispettoa quello originaria; [2 punti]
3. calcolare il lavoro che e necessario fornire per eseguire tale operazione;[5 punti]
Una seconda opzione e quella di portare il satellite a descrivere un’orbitacircolare di raggio r′2 e di periodo T ′2 piu lungo di 4 minuti rispetto a T1.
4. calcolare la differenza di raggio tra le due orbite; [2 punti]
5. calcolare il lavoro che e necessario fornire per eseguire tale operazione,e stabilire quale opzione e energeticamente piu conveniente. [2 punti]
(costante di gravitazione G = 6.67 · 10−11 m3
Kg s2;
massa della Terra M = 5.98 · 1024 Kg)
Non cambiare le notazioni del testo !
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SOLUZIONEDati iniziali:
r1 = 6.6 · 103 Km = 6.6 · 106 m
r2 = 7.1 · 103 Km = 7.1 · 106 m
m = 103 Kg
G = 6.67 · 10−11m3
Kg s2
M = 5.98 · 1024 Kg
Consideriamo un’orbita circolare generica di raggio r. Applicando le equazionidella dinamica al caso della forza gravitazionale otteniamo
GM m
r2= m
v2
r(1)
dove il membro destro e la massa del satellite moltiplicata per l’accelerazionecentripeta. Ricordando che nel moto circolare uniforme
v = ω r =2πr
T(2)
dove T e il periodo dell’orbita, e sostituendo nell’Eq.(1), si ricava
GM
r2= (2π)2
r
T 2(3)
e dunque
T = 2π
√r3
GM(4)
Punto 1.Applicando la formula (4) al caso dell’orbita di raggio r1 si ottiene
T1 = 2π
√r31GM
=
= 2π
√(6.6 · 106 m)3
6.67 · 10−11 m3
Kg s25.98 · 1024 Kg
=
= 5334 s (5)
Punto 2.Applicando la formula (4) al caso dell’orbita di raggio r1 si ottiene
T2 = 2π
√r32GM
=
= 2π
√(7.1 · 106 m)3
6.67 10−11 m3
Kg s25.98 · 1024 Kg
=
= 5952 s (6)
2
e quindi la differenza tra i periodi e
∆T = T2 − T1 = 5952 s− 5334 s = 618 s (7)
ossia∆T = 10 min 18s (8)
Punto 3.L’energia meccanica corrispondente all’orbita i-esima e
Ei =1
2mv2i︸ ︷︷ ︸
cinetica
−GMm
ri︸ ︷︷ ︸pot. gravit.
(9)
Ricordando l’Eq.(1) abbiamo che
v2i = GM
r(10)
Pertanto quando si varia il raggio dell’orbita circolare, si cambia non solol’energia potenziale ma anche l’energia cinetica del satellite. L’energia mec-canica totale relativa ad un satellite su orbita di raggio ri si scrive come
Ei = −GMm
2ri(11)
e dunque, passando da un’orbita ad un’altra, non puo conservarsi. Percambiare orbita e necessario applicare delle forze esterne il cui lavoro e parialla variazione dell’energia meccanica del satellite
Lext = E2 − E1 =
= −GMm
2
(1
r2− 1
r1
)=
= −6.67 10−11m3
Kg s2· 5.98 · 1024 Kg · 103 Kg
2
(1
7.1 · 106 m− 1
6.6 · 106 m
)=
= 2.13 · 109Kg m2
s2=
= 2.13 · 109 J (12)
Si noti che per il teorema dell’energia cinetica il lavoro L e pari alla variazionedell’energia cinetica (non meccanica). Tuttavia tale lavoro L si riferisce alleforze totali, che comprendono sia le forze esterne che quelle gravitazionali.Dato che queste ultime sono conservative, il lavoro Lgrav dovuto ad esse epari alla variazione dell’energia potenziale gravitazionale (con un segno -).Esplicitamente
L = ∆Ekin (13)
3
ossia
Lext + Lgrav = Ekin,2 − Ekin,1 (14)
conLgrav = −∆U = −(U2 − U1) (15)
da cuiLext = ∆Ekin + ∆U = ∆Emec = E2 − E1 (16)
Punto 4.Invertendo la formula (4) in favore del raggio si ottiene
r =
(GMT 2
(2π)2
)1/3
(17)
Un’orbita con un periodo di 4 minuti piu lungo,
T ′2 = T1 + 4× 60 s = 5574 s (18)
ha dunque un raggio
r′2 =
(6.67 · 10−11 m3
Kg s25.98 · 1024 Kg (5574 s)2
(2π)2
)1/3
=
= 6.8 · 106 m =
= 6.8 · 103 Km (19)
e dunque la differenza tra i raggi e
∆r = r′2 − r1 =
= 6.8 · 103 Km− 6.6 · 103 Km =
= 0.2 · 103 Km (20)
Punto 5.Calcoliamo il lavoro come differenza tra le energie meccaniche che competonoalle due orbite, utilizzando l’Eq.(11),
L′ext = E′2 − E1 =
= −GMm
2
(1
r′2− 1
r1
)=
= −6.67 · 10−11m3
Kg s2· 5.98 · 1024 Kg · 103 Kg
2
(1
6.8 · 106 m− 1
6.6 · 106 m
)=
= 0.89 · 109Kg m2
s2=
= 0.89 · 109 J (21)
Questa seconda opzione e energeticamente piu conveniente.
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