Problema 28 - people.unica.it · 2017. 5. 31. · Problema 28.1 Un protone (m-= 1.67 10 27 Kg)...

Problema 28.1 Un protone (m = 1.67 10-27 Kg) entra in un campo magnetico d’intensità B =2.6 mT con velocità v orientata con angolo di 23° rispetto al campo magnetico; il protone subisce una forza F = 6.510-17 N. 1) Indicare direzione e verso della forza 2) Calcolare il modulo della velocità 3) Calcolare l’energia cinetica Assumiamo un riferimento cartesiano,

con B diretto lungo l’asse x e v nel piano (x,y). La forza è:

zqvBBvqF o ˆ23sin

sm

mTC

N

qB

Fv

oo

5

19

17

10423sin6.2106.1

105.6

23sin

eVJs

mKgmvEk

217

2

5272 103.81036.131041067.12

1

2

1

o23

B

v

x̂

ŷ

BF

ẑ

Problema 28.2 Una particella a (carica q=2e, massa m=6.67 10-27 Kg) attraversa con velocità di modulo v = 550 m/s un campo magnetico d’intensità B =0.045 T; velocità e campo magnetico formano un angolo di 52°. 1) Modulo, direzione e verso della forza di Lorentz 2) Calcolare l’accelerazione dovuta alla forza 3) Come varia il modulo della velocità nel campo magnetico?

zqvBBvqF o ˆ52sin

NTs

mCF o 1719 1062.052sin045.0550102.3

2

8

27

17

103.91067.6

1062.0

s

m

Kg

N

m

Fa

Il modulo della velocità non varia a causa della forza di Lorentz

o52

B

v

x̂

ŷ

BF

ẑ

Assumiamo un riferimento cartesiano, con B diretto lungo l’asse x e v nel piano (x,y). La forza è:

Problema 28.3 Un elettrone attraversa un campo magnetico

Essendo date le componenti, conviene calcolare la forza dalla formula generale del prodotto vettore:

ys

mx

s

mv ˆ103ˆ102 66

zTs

mzBvBv

BB

vv

zyx

Bv xyyx

yx

yxˆ1039.0ˆ

0

0

ˆˆˆ6

La direzione della forza è perpendicolare alla pagina con verso entrante. Nel caso di un protone al posto dell’elettrone, cambia il segno della carica, per cui la forza è uguale in modulo e direzione ma il verso è entrante nella pagina

yTxTB ˆ15.0ˆ03.0

1) Calcolare modulo, direzione e verso della forza di Lorentz 2) Ricalcolare la forza in caso di un protone

zNzTs

mCzBvBveF xyyx ˆ10624.0ˆ1039.0106.1ˆ

13619

B

v

x̂

ŷ

BF

ẑ

Problema 28.4 Un campo elettrico ed un campo magnetico agiscono su un elettrone in moto; le due forze si annullano reciprocamente. Calcolare la velocità minima dell’elettrone compatibile con la condizione di forza totale nulla.

BF

v

x̂

ŷ

yvBBvE ˆsin a

La velocità minima che soddisfa l’annullamento della forza è per sin(a)=1, per cui:

TBm

kVE 4.0;5.1

La forza magnetica è perpendicolare alla velocità; la forza elettrica deve avere stessa direzione e verso opposto. La condizione di forza totale nulla è:

s

m

Tm

kV

B

Ev 31075.3

4.0

5.1

EF

Problema 28.10 Un elettrone fermo (m =9.11 10-31 Kg, q = -1.6 10-19 C) è accelerato da una d.d.p. V=350 V, e dopo un tratto L entra in un campo magnetico uniforme B = 200 mT, perpendicolare al moto dell’elettrone. Calcolare la velocità dell’elettrone ed il raggio della traiettoria circolare nella regione del campo magnetico.

m

qVaL

L

VqqEma

Nel tratto L l’elettrone subisce un’accelerazione costante, per cui velocità e spostamento sono date da:

Il raggio della traiettoria nel campo magnetico è: qB

mvr

Di questa formula ci manca la velocità d’ingresso dell’elettrone nel campo magnetico. Dobbiamo calcolare la cinematica dell’elettrone nella regione in cui è accelerato dal potenziale elettrico. Eguagliando le formula di Newton e di Coulomb si ha:

a

xtatx

2

2

1 2 xaatv 2

L

0v

Problema 28.10 Un elettrone fermo (m =9.11 10-31 Kg, q = -1.6 10-19 C) è accelerato da una d.d.p. V=350 V, e dopo un tratto L entra in un campo magnetico uniforme B = 200 mT, perpendicolare al moto dell’elettrone. Calcolare la velocità dell’elettrone ed il raggio della traiettoria circolare nella regione del campo magnetico.

mmTC

s

mKg

qB

mvr 3

19

731

1031.0200106.1

1011.11011.9

Nel punto d’ingresso al campo magnetico (x=L):

m

VqLav

22

L

0v

s

m

Kg

VsC 731

19

1011.11011.9

350106.12

Problema 28.16 Una particella (un protone m = 1.67 10-27 Kg o un elettrone m = 9.11 10-31 Kg) entra in una regione di campo magnetico diretto perpendicolarmente alla pagina in verso uscente. Il tempo di transito nel campo è di 130 ns; q = 1.6 10-19 C. a) Determinare di quale particella si tratta. b) Determinare l’intensità del campo

a) Dalla regola della mano destra risulta che la particella è un protone

Bq

m

v

r

b) La particella compie un semicerchi nella regione del campo, dunque il tempo di transito equivale alla metà del periodo. Dal moto circolare uniforme abbiamo:

Tr

v

T

rv

22

TnsC

Kg

Tq

mB

Tm

Bq25.0

)1302(106.1

1067.122219

27

Problema 28.16 Una particella (un protone m = 1.67 10-27 Kg o un elettrone m = 9.11 10-31 Kg) entra in una regione di campo magnetico diretto perpendicolarmente alla pagina in verso uscente. Il tempo di transito nel campo è di 130 ns; q = 1.6 10-19 C. c) Se l’energia cinetica della particella entrante nel

campo viene raddoppiata, quale sarà il tempo di percorrenza?

Bq

m

v

r

v

r

'

'

Dalla formula dell’energia cinetica si vede che raddoppiano l’energia cinetica, il modulo della velocità aumenta di un fattore 2; Ma il rapporto tra raggio e velocità rimane costante, per cui anche il raggio deve aumentare della stessa quantità:

Bq

mT

v

r

2

vvm

Ev k 2'

2

Concludiamo che il periodo non cambia col modulo della velocità,e dunque non cambia neppure il tempo di percorrenza t=130 ns

Poiché

Problema 28.20 Un filo rettilineo lungo L=1.8 m conduce una corrente di 13 A, e forma un angolo di 35° con la direzione di un campo magnetico uniforme d’intensità B = 1.5 T. Calcolare modulo, direzione, e verso della forza magnetica agente sul filo

In alternativa, disponendo i vettori in una terna di assi cartesiani, possiamo sempre calcolare la forza dalla formula generale del prodotto vettore. Per esempio, prendendo il campo magnetico parallelo ad x si ottiene:

ziLBzBLiB

LL

zyx

iBLiF oxy

x

yxˆ)35sin(ˆ

00

0

ˆˆˆ

Se disponiamo L e B nel piano (x,y) la forza è diretta lungo z, nel verso negativo. In modulo:

BLiFB

)35sin( oB LBiF

NTmA 2057.05.18.113

o35

B

L

x̂

ŷi

BF

ẑ

Problema 28.21 Un cavo conduttore orizzontale di una linea elettrica è percorso da una corrente di 5000 A, in direzione sud-nord; il campo magnetico terrestre nelle vicinanze della linea vale B = 60 mT, ed è orientato verso nord, inclinato di 70° verso il basso rispetto al filo. Si determini direzione, verso, ed intensità della forza magnetica che agisce su 100 m di cavo

In alternativa, disponendo i vettori nel riferimento cartesiano come in figura, calcolo il prodotto vettore:

zLBzBLBB

L

zyx

BL oyx

yx

xˆ)70sin(ˆ

0

00

ˆˆˆ

Orientiamo il cavo lungo l’asse x, ed il campo magnetico nel piano (x,y), inclinato di 70° rispetto ad x; la forza è quindi orientata verso l’asse z negativo, ovvero se la corrente procede da sud a nord, la forza è diretta verso ovest

)70sin( oB LBiF

NTmA 2.2894.0601005000 m

o70

B

L

x̂

ŷ

iBF

ẑ

Problema 28.22 Il filo in figura è percorso da una corrente di 2 A, e giace in un campo magnetico uniforme B = 4 T, orientato perpendicolarmente alla pagina in verso uscente. Ciascuna sezione retta del filo è lunga L=2 m, e forma un angolo di 60° con l’asse x. Calcolare la forza magnetica agente sul filo in notazione vettoriale F=(Fx, Fy, Fz)

Metodo 1, analisi geometrica: Le forze di Lorentz su ciascun segmento di filo giacciono nel piano x,y, sono perpendicolari alla direzione del filo ed orientate come in figura. Essendo anche uguali in modulo, è evidente che la loro somma ha solo la componente lungo l’asse y diversa da zero:

LBiFF 211F

2F

)cos(21 iLBFF yy

Modulo:

Componenti lungo y:

Forza totale: yNyiLBF ˆ16ˆ)cos(2

Problema 28.22 Il filo in figura è percorso da una corrente di 2 A, e giace in un campo magnetico uniforme B = 4 T, orientato perpendicolarmente alla pagina in verso uscente. Ciascuna sezione retta del filo è lunga L=2 m, e forma un angolo di 60° con l’asse x. Calcolare la forza magnetica agente sul filo in notazione vettoriale F=(Fx, Fy, Fz)

yBLixBLiB

LL

zyx

iF xyyx ˆˆ

00

0

ˆˆˆ

11111

Metodo 2, prodotto vettore:

1F

2F

yNyiLBF ˆ16ˆ)cos(2

yBLixBLiB

LL

zyx

iF xyyx ˆˆ

00

0

ˆˆˆ

22222

)cos(; 2121 LLLLL xxyy

Problema 28.26 In figura vediamo una bobina rettangolare , incernierata lungo l’asse y, con N=20 spire, lati lunghi 10 cm e 5 cm, percorsa da corrente i=0.1 A il cui verso è indicato in figura; il piano della bobina forma un angolo di 30° con la direzione del campo magnetico d’intensità B=0.5 T. Calcolare il momento torcente esercitato dal campo sulla bobina, in notazione vettoriale t = (tx, ty, tz)

JTmAiNABy324 103.4866.05.01050201.030cos t

yByB

BB

zyx

B xzxz

zx

zˆˆ

0

00

ˆˆˆ

mmmmt

ziNAniNA ˆˆ m

Dalla regola della mano destra, segue che il versore normale al piano della spira è orientato lungo l’asse z negativo, per cui il momento di dipolo della bobina è:

iNAz m

ox BB 30cos

Problema 28.35 Una spira circolare di raggio r=8 cm è percorsa da una corrente i=0.2 A, e immersa in un campo magnetico uniforme. Il versore perpendicolare al piano della spira ed il campo magnetico sono:

JTrABiAn zyx42 1065.93.08.0)(2.0 t

zBiAnyBiAnxBiAn

BB

nn

zyx

iAB xyzxzy

zx

yxˆˆˆ

0

0

ˆˆˆ

mt

niA ˆm

yxn ˆ8.0ˆ6.0ˆ zTxTB ˆ3.0ˆ25.0

ẑ

x̂

ŷ

n̂ B

a) calcolare il momento torcente esercitato sulla spira, in notazione vettoriale t = (tx, ty, tz)

JTrABiAn zxy42 1024.73.06.0)(2.0 t

JTrABiAn xyz42 1004.825.08.0)(2.0 t

Problema 28.35 Una spira circolare di raggio r=8 cm è percorsa da una corrente i=0.2 A, e immersa in un campo magnetico uniforme. Il versore perpendicolare al piano della spira ed il campo magnetico sono:

JTrAU 42 1003.625.06.0)(2.0

xxxxzzyyxx BiAnBBBBBU mmmmm

yxn ˆ8.0ˆ6.0ˆ zTxTB ˆ3.0ˆ25.0

ẑ

x̂

ŷ

n̂ B

b) calcolare l’energia potenziale magnetica della spira

Problema 29.2 Un conduttore rettilineo percorso da corrente si divide in 2 rami semicircolari come mostrato in figura. Calcolare il campo magnetico nel centro del cerchio.

Applichiamo il principio di sovrapposizione, e calcoliamo separatamente il campo generato da 4 elementi di circuito: i 2 tratti rettilinei, e i 2 semicerchi che compongono il cerchio.

3

0

4 r

rsdiBd

mI due tratti rettilinei danno contributo nullo; infatti per la legge di Biot-Savart:

0rsd

Ma nel punto C evidentemente è sempre:

Problema 29.2 Un conduttore rettilineo percorso da corrente si divide in 2 rami semicircolari come mostrato in figura. Calcolare il campo magnetico nel centro del cerchio.

zR

iBz

R

iB scsc ˆ

4

)2/(;ˆ

4

)2/( 02

01

mm

Chiamiamo sc1 e sc2 i semicerchi superiore ed inferiore. La corrente si divide in parti uguali nei due semicerchi (essendo identici), per cui se R è il raggio, Il campo generato da ciascun semicerchio è dato da (supponiamo che l’asse z sia perpendicolare alla pagina):

021 scsc BB

R

iB

m

4

0

Ricordiamo la formula del campo generato nel centro di curvatura da una arco di angolo sotteso :

Problema 29.5 Due fili rettilinei paralleli distano d = 8 cm, e sono percorsi da una corrente di uguale intensità; calcolare intensità e verso della corrente necessaria a generare un campo magnetico B= 300 mT in un punto P equidistante tra i fili.

Per la regola della mano destra, la corrente nei due fili deve scorrere in senso opposto, altrimenti i campi generati dai fili sarebbero uguali e discordi ed il campo totale nullo.

d

i

d

iB

m

m 00 2

)2/(22

P

d

Il campo generato da ciascun filo in P è perpendicolare alla pagina ed entrante in verso; a distanza d/2 il modulo è dato da (considerando la somma dei due):

A

A

Tm

mTdBi 30

1042

108300

2 7

2

0

m

m

Problema 29.5 Due fili rettilinei paralleli distano d = 16 cm, e sono percorsi da correnti concordi ed uscenti dalla pagina i1=3.61 mA, i2 =3i1; Stabilire in quale punto dell’asse x il campo magnetico totale è nullo.

Chiamiamo x1 ed x2 le posizioni dei due fili lungo x; consideriamo 3 regioni distinte: x > x1 : i campi generati dai 2 fili sono concordi in direzione e verso:

yxx

i

xx

iy

xx

iy

xx

iB ˆ

2ˆ

)(2ˆ

)(2 2

2

1

10

2

20

1

10

m

m

mx > x2 : i campi generati dai 2 fili sono concordi in verso:

x < x1 : i campi generati dai 2 fili sono concordi in verso:

yxx

i

xx

iy

xx

iy

xx

iB ˆ

2ˆ

2ˆ

2 2

2

1

10

2

20

1

10

m

m

m

Problema 29.5 Due fili rettilinei paralleli distano d = 16 cm, e sono percorsi da correnti concordi ed uscenti dalla pagina i1=3.61 mA, i2 =3i1; Stabilire in quale punto dell’asse x il campo magnetico totale è nullo.

x1 > x > x2 : i campi generati dai 2 fili sono discordi:

La condizione di annullamento del campo è:

yxx

i

xx

iy

xx

iy

xx

iB ˆ

2ˆ

2ˆ

2 2

2

1

10

2

20

1

10

m

m

m

2

2

1

1

xx

i

xx

i

cmcmii

idx

i

id

i

ix

i

xd

i

x4

4

1161

21

1

2

1

2

1

21

Possiamo porre x1 = 0, |x-x2| = d-x:

Problema 29.8

Essendo correnti e distanze dal centro uguali per i 4 fili, anche i moduli dei campi sono tutti uguali:

La direzione dei 4 campi è sempre perpendicolare al vettore distanza dal filo, e dunque parallela alle diagonali del quadrato; il verso è dato dalla regola della mano destra:

yBxBBB oo ˆ)45cos(ˆ)45cos(31

4 fili rettilinei perpendicolari al piano, distanti a = 20 cm, sono percorsi da uguale corrente i=20 A di verso uscente per i fili 1 e 4, entrante nella pagina per 2 e 3. Calcolare in notazione vettoriale il campo totale nel centro del quadrato.

2/;2

0 arr

iB

m

yBxBBB oo ˆ)45cos(ˆ)45cos(42

3,1B4,2B

Problema 29.8

La componente del campo totale lungo x si annulla; dunque il campo totale in modulo è:

4 fili rettilinei perpendicolari al piano, distanti a = 20 cm, sono percorsi da uguale corrente i=20 A di verso uscente per i fili 1 e 4, entrante nella pagina per 2 e 3. Calcolare in notazione vettoriale il campo totale nel centro del quadrato.

Tcm

A

A

Tm

a

iBB ootot

570 10820

20108)45cos(2

2)45cos(4

m

3,1B4,2B

2/;2

0 arr

iB

m

yTBtot ˆ1085

In notazione vettoriale:

Problema 29.16

Consideriamo che:

Il campo totale generato da 2,3,4:

xa

iBy

a

iB ˆ

2;ˆ

2

04

02

m

m

yd

ix

d

iB oo ˆ)45cos(

2ˆ)45cos(

2

003

m

m

adad

o

2

1)45cos(2

I campi generati da 2,3,4 nel punto 1 sono:

yxa

iy

a

ix

a

iB ˆˆ

4

3ˆ

2

11

2ˆ

2

11

2

000234

m

m

m

4B

2B

3B

4 fili rettilinei perpendicolari al piano, distanti a = 8.5 cm, sono percorsi da correnti i=15 A, tutte di verso uscente. Calcolare in notazione vettoriale: a) il campo totale generato dai fili 2,3,4 nel punto del piano su cui giace il filo 1; b) La forza con cui il campo generato da 2,3,4 agisce su un tratto lungo L1 =1 m del filo 1.

Problema 29.16

La forza è diretta lungo la diagonale del quadrato, verso il filo 3; in modulo:

24

3 0234

a

iB

m

1F

234B

4 fili rettilinei perpendicolari al piano, distanti a = 8.5 cm, sono percorsi da correnti i=15 A, tutte di verso uscente. Calcolare in notazione vettoriale: a) il campo totale generato dai fili 2,3,4 nel punto del piano su cui giace il filo 1; b) La forza con cui il campo generato da 2,3,4 agisce su un tratto lungo L1 =1 m del filo 1.

234123411 BiLBLiF

N

Am

ATmm

a

iLF 3

2

272

011 1012.1

105.822

1510413

22

3

m

Problema 29.17

Consideriamo che:

Il campo totale generato da 1,2,3:

ya

iBx

a

iB ˆ

2;ˆ

2

03

01

m

m

yd

ix

d

iB oo ˆ)45cos(

2ˆ)45cos(

2

002

m

m

adad

o

2

1)45cos(2

ya

ix

a

iy

a

ix

a

iB ˆ

4

3ˆ

4ˆ

2

11

2ˆ

2

11

2

0000123

m

m

m

m

2B 3

B

1B

4 fili rettilinei perpendicolari al piano, distanti a = 13.5 cm, sono percorsi da correnti i=7.5 A, di cui 1 e 4 di verso uscente, 2 e 3 di verso entrante nella pagina. Calcolare in notazione vettoriale: a) il campo totale generato dai fili 1,2,3 nel punto del piano su cui giace il filo 4; b) La forza con cui il campo generato da 2,3,4 agisce su un tratto lungo L =1 m del filo 4.

Problema 29.17

La forza è diretta nel piano, perpendicolarmente al campo; poiché non ha una direzione semplice da individuare, calcoliamola con la formula del prodotto vettore (per brevità omettiamo l’indice 123 del campo magnetico):

104

0123

a

iB

m

1F

123B


1234 BLiF

N

Am

ATmm

a

iLF 5

2

272

044 102.13

105.134

5.7104110

4

10

m

ya

Lix

a

LiyLBixLBi

BB

L

zyx

iBLiF xy

yx

ˆ4

ˆ4

3ˆˆ

0

00

ˆˆˆ2

0

2

04

m

m

Problema 29.17

1F

123B


N

Am

AmTm

a

LiF x

5

2

272

04 105.12

105.13

5.71103

4

3

m

ya

Lix

a

LiF ˆ

4ˆ

4

3 202

04

m

m

N

Am

AmTm

a

LiF y

5

2

272

04 1016.4

105.13

5.7110

4

m

Esercizio 1 Consideriamo un filo rettilineo in cui scorre corrente i1 = 30 A e una spira rettangolare percorsa da una corrente i2 = 20 A. Calcolare la forza risultante che agisce sulla spira. Si assuma a = 1 cm, b = 8 cm, L = 30 cm.

r

iB

m

2

0

B è perpendicolare alla pagina e diretto in verso entrante. Calcoliamo la forza che B esercita sui 4 lati della spira:

Il campo generato dal filo su un punto qualunque della spira distante r dal filo è dato da:

BLiF

2

Le forze sui 2 lati verticali sono uguali in modulo ed opposte in verso, per cui la loro risultante sulla spira è nulla; di contro le forze sui lati orizzontali sono opposte in verso ma diverse in modulo, poiché i lati hanno distanze diverse dal filo. Ci aspettiamo quindi una forza risultante in direzione delle y positive

Esercizio 1

1F

Consideriamo un filo rettilineo in cui scorre corrente i1 = 30 A e una spira rettangolare percorsa da una corrente i2 = 20 A. Calcolare la forza risultante che agisce sulla spira. Si assuma a = 1 cm, b = 8 cm, L = 30 cm.

Siano 1 e 2 i lati orizzontali della spira; le forze agenti sui due lati sono:

ya

LiiyLBiF ˆ

2ˆ 210

121

m

Dunque, la forza risultante è:

yba

LiiyLBiF ˆ

)(2ˆ 210

222

m

yNy

Acm

AcmTmy

ba

a

a

LiiF ˆ1032ˆ

9

810630102ˆ1

2

4227

210

m

2F

Esercizio 2 Consideriamo tre fili conduttori perpendicolari alla pagina con correnti i1 = 30 A, i2 = 20 A, i3 = 15 A, il cui verso è indicato in figura; sia a = 3 cm, b = 2 cm. a) Calcolare le componenti del campo

magnetico generato dai 3 fili nell’origine del riferimento.

b) Consideriamo un quarto filo, percorso da corrente i4 = 30 A, posto nell’origine. Calcolare le componenti della forza che agisce su una sezione L= 2 m di questo filo

c) Della stessa forza, calcolare l’angolo che la forza forma con l’asse x.

x̂

ŷ

X

1i

3i

2i

a a

b

x̂

ŷ

X

1i

3i

2i

a a

b

X 4i

Esercizio 2

o

x

y

F

F3.56arctan

4

4

aNTmAF x

34

4 10610230

xb

iBy

a

iBy

a

iB ˆ

2;ˆ

2;ˆ

2

303

202

101

m

m

m

y

a

iix

b

iB ˆ

2ˆ

2

21030

m

m

T

cm

AATmBx

47

105.12

15)/(102

Tcm

AATmBy

47

103

15)/(102

yLBixLBiBB

L

zyx

iBLiF xy

yx

ˆˆ

0

00

ˆˆˆ

44444

NTmAF y34

4 109105.1230

4F

x̂

ŷ

X

1i

3i

2i

a a

b

X 4i a

Problema 29.21

ra

irB

2

0

2)(

m

In figura è mostrata la sezione di un lungo conduttore cilindrico di raggio a = 2 cm, in cui scorre una corrente uniforme i=170 A. Calcolare il modulo del campo magnetico B generato dal cilindro nei punti: r=0, r=1 cm, r=2 cm, r=4 cm.

r

iBirBsdB int0int0

2)2(

mm

Dalla legge di Ampére applicata ad una circonferenza di raggio r interna al cilindro si ha:

Ove iint è la corrente interna al cilindro di raggio r; poiché la corrente è uniforme in tutto il cilindro, la densità di corrente J è costante:

2

22

int2 a

rirJi

a

iJ

Per un raggio r esterno al cilindro:

r

irBirBsdB

mm

2)()2( 00

Problema 29.21

ra

irBar

2

0

2)(

m

In figura è mostrata la sezione di un lungo conduttore cilindrico di raggio a = 2 cm, in cui scorre una corrente uniforme i=170 A. Calcolare il modulo del campo magnetico B generato dal cilindro nei punti: r=0, r=1 cm, r=2 cm, r=4 cm.

Tm

m

AATmBcmr 42

24

7

105.8101104

170)/(1021

r

irBar

m

2)( 0

TBcmr 410172

00 Br

T

m

AATmBcmr 4

2

7

105.8104

170)/(1024

Problema In figura è mostrata la sezione di un lungo cilindro cavo conduttore di raggio interno a = 2 cm, ed esterno b = 4 cm in cui scorre una corrente uniforme iC = 18 A. Spostato di d = 8 cm lungo l’asse y vi è un filo conduttore in cui scorre una corrente iF =16 A. Calcolare in notazione vettoriale il campo magnetico totale generato dai due conduttori nei punti: P0 = (x=0,y=0) P1 = (x=0, y=3cm) P2 = (x=0, y=6cm) P3 = (x= -8cm, y=0)

x̂

ŷ

X

1P

Ci

Fid

a

b

45

X

X

X

X

X X

X

X

X X X

0P

2P

3P

Problema

x̂

ŷ

X

1P

Ci

Fid

a

b

45

X

X

X

X

X X

X

X

X X X

0P

2P

3P

Utilizziamo il principio di sovrapposizione: in ogni punto il campo totale è la somma dei campi generati dal cilindro e dal filo; chiamiamo BC e BF questi due campi.

P0 = (x=0,y=0): Applicando la legge di Ampère, si trova facilmente che il campo generato dal cilindro è nullo in tutti i punti interni alla cavità

xd

iBB FF ˆ

2

0

m

xTx

m

AATmˆ104ˆ

108

16)/(102 52

7

P2 = (x=0, y=6cm): Fuori dal cilindro, applicando Ampère si trova che il campo del cilindro è uguale a quello di un filo posto sull’asse del cilindro di uguale corrente.

xTx

m

AAATmx

cm

i

cm

iBBB FCFC ˆ10ˆ

10

)83()/(102ˆ

)2(2)6(2

4

2

7

00

m

m

Problema P3 = (x= -8cm, y=0):

yd

iB CC ˆ

2

0

m

T

m

AATmBx

5

2

7

102108

16)/(10

T

m

ATm

d

i

d

iB FCy

5

2

7

00 105.6108

)1636()/(10

44

2

m

m

)2(2

0

d

iB FF

m

yBxBB oFo

FFˆ)45sin(ˆ)45cos(

2

1)45sin()45cos( oo

yd

ix

d

iB FFF ˆ

4ˆ

4

00

m

m

x̂

ŷ

X

1P

Ci

Fid

a

b

45

X

X

X

X

X X

X

X

X X X

0P

2P

3P

Problema P1 = (x=0, y=3cm)

xab

ar

r

iB CC ˆ

2 22

22

0

m

T

m

AATm

cm

i

cm

iB FCx

5

2

7

00 104.110

7.0)/(102

)5(2416

49

)3(2

m

m

xcm

iB FF ˆ

)5(4

0

m

x̂

ŷ

X

1P

Ci

Fid

a

b

45

X

X

X

X

X X

X

X

X X X

0P

2P

3P

r

iBirBsdB CCC

int0int0

2)2(

mm

Per il campo del cilindro in un punto interno al cilindro applichiamo Ampère su una circonferenza di raggio r

2222

int22 ab

arii

ab

iJ C

C

Problema 30.1

V

sm

AmATmAinm

3

2

267

00 1019.010

21228.1108.6854)/(104

mE

xtinxniB ˆ)sin(ˆ 000 mm

Una piccola spira di area A=6.8 mm2 è inserita all’interno del solenoide, con l’asse coincidente con quello del solenoide; il solenoide ha n=854 spire/cm, e corrente e corrente i=i0 sin(t), con 212 rad/s, ed i0=1.28 A. Calcolare l’ampiezza massima della f.e.m. indotta nella spira.

)cos()cos(00 ttAindt

dm

Bi m EE

BAAdBA

B

Problema 30.2 Consideriamo una spira immersa in un campo magnetico uniforme, perpendicolare ed uscente dal foglio. Il flusso magnetico varia nel tempo secondo la legge B = (6t

2+7t) mWb; a) Calcolare l’intensità della f.e.m. nella spira all’istante t=2 s. b) Determinare il verso della corrente che scorre attraverso R

mVs

Wbt

dt

d Bi 3110)712(

3

E

Il campo magnetico è uscente dalla pagina, e la sua variazione nel tempo è positiva: dunque dB è uscente dalla pagina; dalla legge di Lenz segue che la risposta della corrente indotta deve essere generare un campo indotto perpendicolare entrante nella pagina, dunque la corrente indotta percorre la spira in senso orario.

Problema 30.3 Una spira circolare di raggio r = 12 cm è immersa in un campo magnetico uniforme perpendicolare ed uscente dalla pagina; il campo varia nel tempo come mostrato in figura; si calcoli la f.e.m. ed il verso della corrente indotta nella spira nei 4 intervalli: a) t < 2 s b) 2 s < t < 4 s c) 4 s < t < 6 s d) t > 6 s

mVs

Tm

s

Tr

dt

dBA

dt

d Bi 3.11

4

)12.0(

2

5.0 22

Ea) B lineare crescente nel tempo:

La corrente indotta scorre in verso orario

b) e d) B costante nel tempo: 0iE

c) B lineare decrescente nel tempo: mVs

Tr

dt

dBA

dt

d Bi 3.11

2

5.02

E

La corrente indotta scorre in verso antiorario

Problema 30.5

mAV

Ri iin 30

3.5

16.0

E

B è diverso da zero solo all’interno del solenoide, per cui A è l’area della sezione del solenoide.

Una bobina di raggio r=1.8 cm è formata da N=120 avvolgimenti, con resistenza complessiva R =5.3 ; la bobina circonda un solenoide coassiale avente n=220 spire/cm, percorso da corrente i0=1.5 A, di diametro d=3.2 cm; la corrente nel solenoide viene diminuita con progressione costante fino a diventare nulla dopo un tempo t=25 ms. Calcolare modulo e verso della corrente indotta nella bobina.

xniB ˆ0m

ctiti 0)( ti

t

i

t

ic

00 ;

V

sm

AmATm

t

iANn

dt

dN Bi 16.0

102510

5.104.82.22.1)/(10432

27

00

mE

22

04.84

; cmd

ABAB

La corrente nel solenoide decresce col tempo, per cui la corrente indotta nella bobina ha lo stesso verso, in modo da compensarne la riduzione.

Problema 30.7

Poiché B decresce nel tempo, la f.e.m. indotta genera una corrente che compensa questa riduzione, dunque di verso antiorario; la f.e.m. è anch’essa antioraria.

Consideriamo una spira quadrata di lato a = 2 m parzialmente immersa in un campo magnetico uniforme, perpendicolare uscente dalla pagina. La spira contiene una batteria con f.e.m. uguale a 20 V, e resistenza interna trascurabile. Il campo magnetico varia nel tempo secondo la legge B = (0.042 – 0.87t)T. a) Calcolare la f.e.m. totale del circuito b) Calcolare la direzione della corrente totale

Vibattot 74.21 EEE

Vs

Tm

dt

dBa

dt

daB BiB 74.187.0

2

4

2;

2

222

E

Problema 30.13

Durante la rotazione, il flusso magnetico attraverso l’area della bobina è dato da:

Un generatore di corrente alternata è composto da una bobina rettangolare con N=100 spire, di lati a = 50 cm e b = 30 cm, immersa in un campo magnetico uniforme di intensità B=3.5 T; inizialmente il sistema è in equilibrio, col campo magnetico parallelo alla normale del piano della spira. La spira viene poi messa in rotazione attorno ad un asse perpendicolare al campo con frequenza di 1000 giri al minuto. Calcolare la massima f.e.m. indotta nella bobina.

)sin( tNabBdt

dN Bi

E

)cos(BAAdBA

B

Una rotazione con velocità angolare costante implica che: tt 2

La f.e.m. massima si ha quando sin()=1, ovvero quando campo e versore della spira sono perpendicolari

kVs

TmNabBm 5.560

100025.315.0100 2 E

Problema 30.15

Nelle ipotesi date possiamo approssimare il campo generato dalla spira grande come il campo di un dipolo magnetico lungo l’asse:

Consideriamo 2 spire parallele coassiali, di cui una molto più piccola dell’altra, cosicché il campo generato dalla spira grande possa essere considerato uniforme in tutti i punti dell’area della piccola; le due spire sono a distanza x >> R; supponiamo di allontanare le due spire con velocità v costante, in modo che x vari linearmente nel tempo (x = vt). a) Determinare il flusso attraverso la spira piccola in funzione di x b) Calcolare la f.e.m. ed il verso della corrente indotta nella spira piccola

4

22

0

43

22

04

3

3

3 2

3

2

33

x

vriR

tv

riRt

v

ct

dt

d

v

c

dt

d Bi

mm

E

Poiché le spire si allontanano, il flusso magnetico diminuisce, per cui la corrente indotta nella spira piccola ha lo stesso verso della corrente nella grande

xiAx

xB ˆ;2

)(3

0 mm

m

33

22

0

2 x

c

x

rRiAdB

A

B m

Problema 30.20

Per il calcolo del flusso conviene adottare un riferimento cartesiano (x,y) nel piano; chiaramente il campo generato dal filo è perpendicolare entrante nella pagina, e in modulo dipende dalla distanza dal filo, ovvero dalla coordinata y

Consideriamo una spira rettangolare di lati a = 2.2 cm e b = 0.8 cm e resistenza R =0.4 m, posta vicino ad un lungo filo conduttore in cui scorre una corrente i = 4.7 A; r = 1.5b; a) Calcolare l’intensità del flusso magnetico attraverso la spira b) Calcolare la corrente indotta nella spira quando questa si allontana dal filo con

velocità v= 3.2 mm/s

Il flusso in funzione della distanza r della spira dal filo è:

y

iyB

m

2)( 0

2/

2/ln

2

1

2

1

2

0

0

2/

2/

00

br

bra

idy

ydx

idydx

y

iAdB

a br

brAA

B

m

m

m

x̂

ŷ

Problema 30.20

Per r = 1.5b:

2/

2/ln

2/

2/ln

2

0

br

brc

br

bra

iB

m

x̂

ŷ

WbmAATmB 827 10427.169.0102.27.4)/(102

22 )2/(2/

1

2/

12/ln2/ln

br

cvb

brbrcvbrbr

dt

dc

dt

d B

Per r che aumenta con velocità v costante:

La corrente indotta nella spira è quindi: 22

0

)2/(

1

2 brR

ivab

Ri iin

mE

Per r = 1.5b: Aiin510

Problema 30.21

Vs

Tm

s

mTl

dt

dBr

dt

d Bi

4222

2 10210

16

10

4

E

Calcolare la potenza termica dissipata in 50 cm di filo di rame, di diametro d = 1 mm, immersa in un campo magnetico uniforme che aumenta nel tempo di 10 mT/s. La resistività del rame è 1.69 10-8 /m

Calcoliamo la resistenza dalla resistività del rame:

cmrl 502

2

26

8 1008.11078.0

5.01069.1

m

mm

A

lR

22

78.04

mmd

A

AV

Ri i 2

2

4

1085.11008.1

102

E

WVAiP i642 1070.31021085.1 E

Problema 30.22 In figura vediamo una spira di raggio a = 6 cm, concentrica e coassiale con un solenoide di raggio b = 2 cm con n = 8000 spire/m; La corrente nel solenoide varia nel tempo come riportato nel grafico; l’energia termica dissipata nella spira varia nel tempo come mostrato nel grafico. Calcolare la resistenza della spira.

Possiamo calcolare la f.e.m. indotta nella spira, e dalla derivata dell’energia termica, la potenza dissipata nella spira; da queste poi si ricava facilmente la resistenza cmrl 502

22

78.04

mmd

A

AV

Ri i 2

2

4

1085.11008.1

102

E

WVAiP i642 1070.31021085.1 E

La corrente cresce linearmente nel tempo, con una derivata uguale a 0.5 A/s

niB 0m

V

sm

AmATm

dt

diAn

dt

d Bi

524372

0 10631.05.010108)/(10)4(

mE

24; cmABAB

nWs

nJ

dt

dEP th 40

2

80

s

A

s

A

dt

di5.0

2

1

Problema 30.22 In figura vediamo una spira di raggio a = 6 cm, concentrica e coassiale con un solenoide di raggio b = 2 cm con n = 8000 spire/m; La corrente nel solenoide varia nel tempo come riportato nel grafico; l’energia termica dissipata nella spira varia nel tempo come mostrato nel grafico. Calcolare la resistenza della spira.

cmrl 502

22

78.04

mmd

A

AV

Ri i 2

2

4

1085.11008.1

102

E

321022

1040

10631.0

nW

VR

RP i

E

V

sm

AmATm

dt

diAn

dt

d Bi

524372

0 10631.05.010108)/(10)4(

mE

nWs

nJ

dt

dEP th 40

2

80

s

A

s

A

dt

di5.0

2

1

Problema 30.30 Si consideri una bobina di raggio r = 30 cm, con N= 30 spire; perpendicolarmente al piano della bobina vi è un campo magnetico esterno uniforme B=2.6 mT; a) Calcolare il flusso concatenato con la bobina. b) Se facciamo circolare una corrente uguale ad i = 3.8 A, otteniamo che il flusso

magnetico totale attraverso la bobina si annulla; calcolare l’induttanza della bobina

mWbrNBN B 45.22 Il flusso concatenato dovuto al campo esterno è:

L’induttanza è il rapporto tra flusso magnetico generato dall’induttore e corrente nell’induttore; se per la corrente data il flusso si annulla, significa che il flusso generato dalla bobina è uguale e contrario a quello esterno; dunque deve essere:

mHA

mWb

i

NL B 64.0

8.3

45.2

Problema 30.31 Consideriamo una bobina con N= 400 spire, e induttanza L = 8 mH; calcolare il flusso magnetico attraverso la bobina quando nella bobina scorre una corrente di 5 mA.

WbmAmH

N

Li

i

NL B

B 710400

58

Problema 30.34 Consideriamo un’induttanza in cui f.e.m. e corrente sono orientate come in figura. a) La corrente sta aumentando o diminuendo ? b) La f.e.m. è di 17 V e la corrente varia di 25 kA/s; calcolare l’induttanza

La f.e.m. è orientata in modo tale da generare una corrente concorde con i, compensando così il decremento di i; dunque i decresce.

mHkA

Vs

dtdiL

dt

diL LL 68.0

25

17

)/(

EE

Problema 30.36 La corrente che scorre in un’induttanza di L = 4.6 H varia nel tempo come mostrato in figura. L’induttanza ha una resistenza R=12 . Calcolare la f.e.m. indotta negli intervalli: a) 0 < t < 2 ms b) 2 ms < t < 5 ms c) 5 ms < t < 6 ms

Vs

AH

dt

diLL

43 106.1105.36.4 Es

A

ms

A

dt

di 3105.32

7

s

A

ms

A

dt

di 31066.03

2

s

A

ms

A

dt

di 31051

5

0 < t < 2 ms

2 ms < t < 5 ms

5 ms < t < 6 ms

Vs

AHL

33 1004.31066.06.4 E

Vs

AHL

43 103.21056.4 E

Problema 30.37 Due induttanze L1 e L2 sono collegate in serie. Dimostrare che l’induttanza equivalente è la somma delle singole induttanze.

1L 2L

21212121 LLLdt

diLL

dt

diL

dt

diLVVV eq

La d.d.p. ai capi della serie è ovviamente la somma elle due d.d.p. ai capi delle singole induttanze; dunque:

Problema 30.38 Due induttanze L1 e L2 sono collegate in parallelo. Calcolare l’induttanza equivalente.

dt

diL

dt

diLV 22

11

La d.d.p. ai capi di ciascuna induttanza è ovviamente la stessa, mentre la corrente è diversa, per cui:

1L 2L

2

2

1

1 ;L

V

dt

di

L

V

dt

di

21

2121 11

LLV

dt

diii

dt

d

dt

di

dt

di

21

111

LLLeq

Problema 30.39 Sia L1 = 30 mH, L2 = 50 mH, L3 = 20 mH, L4 = 15 mH; calcolare l’induttanza equivalente del circuito.

4231 LLLLeq

32

3223

LL

LLL

Problema 30.42 Consideriamo il circuito in figura, con:

HLR

RRV

230

2010100

3

21

E

Calcolare: a) i1 e i2 subito dopo la chiusura del circuito b) i1 e i2 nel regime stazionario c) i1 e i2 subito dopo la riapertura del circuito d) i1 e i2 molto dopo la riapertura del circuito

3,123,12

,3

/

,33 ;~

;1)(R

L

Rieiti L

t L

tt E

Lt

L et

iLV

t/3 ~

E

Equazioni generali delle 3 maglie:

Dopo varie sostituzioni si ricava una singola equazioni per la corrente i3:

Lteitit/

0)(

Lt

L eRidt

diLtv

t/

0)(

3i

0;;; 223

333

33112211321 Ridt

diLRi

dt

diLRiRiRiRiiii EE

3123,12

21

233,123 ;

~;

~RRR

RR

R

dt

diLRi

EEE


HLR

RRV

230

2010100

3

21

E


AV

RRiRRiii 33.3

30

100;

21

121121

E

E

Subito dopo la chiusura, L è un circuito aperto:

3i


HLR

RRV

230

2010100

3

21

E


Nel regime stazionario L è un circuito chiuso:

AAiRiRi 72.220

1254.4223122

AV

RiRi 54.4

22

100

123

11231

E

E

22;1250

302012323 RR

Aiii 82.1213


HLR

RRV

230

2010100

3

21

E


AiiAiii 82.1;82.1)0(;0 32331

Subito dopo l’apertura i1 =0 ed i2 si estinguerebbe immediatamente sulla resistenza R2 se non fosse che i3 attraversando l’induttore, riceve un contributo compensativo tale da generare un decadimento esponenziale. In particolare all’istante iniziale i3 è esattamente uguale al suo valore stazionario; per la legge di continuità della corrente nella maglia deve quindi esserci la stessa corrente attraverso R2; dunque:

E

3i


HLR

RRV

230

2010100

3

21

E


0;0;0 231 iii

In seguito, corrente e potenziale ai capi dell’induttanza proseguiranno verso l’estinzione con andamento esponenziale:

E

3i

Lteitit/

33 )0()(

Lt

L eRRitvt/

323 ))(0()(

Per tempi lunghi rispetto alla costante di tempo caratteristica:

Problema 30.44 Consideriamo il circuito in figura, con una batteria che fornisce una f.e.m. variabile nel tempo che genera una corrente nel circuito variabile nel tempo di forma nota. Calcolare la f.e.m. della batteria in funzione del tempo

HLRAti 64;)53(

Applicando Kirchoff: Poiché la corrente cresce, il potenziale dell’induttanza deve opporsi al verso della batteria.

dt

diLiR E

VtVVts

AHAt )2042(30)2012(564)53( E

Problema 30.48 Consideriamo il circuito in figura, con

HLRV 5.57.6;10 E

Per questo circuito semplice la corrente a regime è il rapporto tra f.e.m. della batteria e resistenza:

a) Calcolare l’energia fornita dalla batteria durante i primi 2 s

b) Determinare quanta di questa energia è immagazzinata nell’induttanza e quanta dissipata nella resistenza.

dt

diLiR E Lte

Rti

t/1)(

E

La potenza istantanea erogata dalla batteria è: LteR

titPt/

2

1)()(

E

E

Poiché questa per definizione è la derivata dell’energia erogata rispetto al tempo, per passare dalla potenza all’energia è necessario integrare:

sR

LL 82.0t

1'1)( /2

0

/'2

LLt

L

tt

etR

dteR

tEtt t

EE


HLRV 5.57.6;10 E

a) Calcolare l’energia fornita dalla batteria durante i primi 2 s

b) Determinare quanta di questa energia è immagazzinata nell’induttanza e quanta dissipata nella resistenza.

JeR

LtiLtU Lt

L 1.512

1)(

2

1)(

2/

2

2

tE

Dopo un tempo t=2 s l’energia erogata è quindi:

JessVetR

E Lt

L 67.18182.027.6

1001 82.0/2

2/

2

tt

E

L’energia immagazzinata nell’induttanza è:

JtiLtEtU gR 57.13)(2

1)()( 2

La differenza delle due dà l’energia dissipata sulla resistenza:


HLRRV 5;105;10 21 E

a) Nel caso di circuito appena chiuso, calcolare i1, i2, iS (corrente attraverso l’interruttore), V2, VL, di2/dt.

b) Ricalcolare le stesse quantità nel tempo lungo

La batteria applica una tensione parallela tra i punti a e b ai due rami resistivi del circuito; le equazioni dei due rami sono:

dt

diLRiRi 22211 ; EE

Dunque, nel primo ramo scorre una corrente costante:

a

b

Il secondo ramo è una singola maglia con induttanza, la cui soluzione è nota:

1

1R

iE

22

,2

/

,22 ;1)(R

L

Rieiti L

t L

tt E

LL t

L

tetVe

Ldt

di tt //2 )(;

EE

Problema 30.65

Risultati:

HLRRV 5;105;10 21 E

a) Nel caso di circuito appena chiuso, calcolare i1, i2, iS (corrente attraverso l’interruttore), V2, VL, di2/dt.

b) Ricalcolare le stesse quantità nel tempo lungo

AiiiAiRi S 2;0;2 12111 E

0222 RiVVVL 10 E

a

b

s

A

H

V

Ldt

di2

5

102 Ea)

b) AiiiAiRiAiRi S 3;1;2 21222111 EE

VRiV 10222 0LV 02

dt

di


mHLkRkRV 50;2020;40 21 E

a) Determinare la corrente iS che scorre attraverso l’interruttore e la derivata dis/dt immediatamente dopo la chiusura del circuito. b) Determinare iS e dis/dt all’istante t = 3 μs. c) Determinare iS e dis/dt molto tempo dopo la chiusura del circuito

a regime L è un cortocircuito, per cui

Ltss eiti t/, 1)( LLt

L

st

LL eLi

eVVtt

t

/,/)0(

In chiusura di circuito (formule generali)

12

,R

isE

A t=0 l’induttanza deve fornire una d.d.p. che compensa esattamente la d.d.p. della batteria:

12

,)0(R

LLiV L

L

s

L t

tE

Lt

L

ss ei

dt

tdi t

t

/,)(

Lts eR

tit/

12

1)(

E Lts e

Ldt

tdi t/)( E

Problema 30.90

Risultati:

mHLkRkRV 50;2020;40 21 E

Lts eR

tit/

12

1)(

E

Lts eLdt

di t/E

;0)(:0 tit ss

A

mH

V

Ldt

dis 3108.050

40

E

010410

40: 3

12

dt

diA

k

V

Rit ss

E

mAeR

ist s 8.11:35/3

12

E

m

sk

mHkR L mt 5

10

50;1012

s

Ae

s

A

dt

dis 35/33 1044.0108.0

Problema 28 - people.unica.it · 2017. 5. 31. · Problema 28.1 Un protone (m-= 1.67 10 27 Kg)...

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