Problem solving e didattica laboratoriale

Caterina Scarpaci Centro MatNet

Università di Bergamo

Como 12 dicembre 2014

Affrontare le difficoltà d’apprendimento

(della matematica):

il problem solving e la didattica laboratoriale

in modalità cooperativa

Corso di formazione per insegnanti di matematica

Istituto Comprensivo Leopardi di Como

Cos’è la matematica? È una scienza?

Georg Cantor

L'essenza della matematica risiede nella sua libertà.

la matematica ha reso possibile il nascere della scienza

moderna e la scienza moderna, a sua volta, ha causato il «boom»

della matematica; la matematica è legata e intrecciata alla scienza,

ma ben distinta da essa.

Spunti di riflessione sull’apprendimento-insegnamento della matematica

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La natura del sapere matematico è stabilire le relazioni

necessarie, i nessi logici, tra le proprietà degli oggetti.

Un matematico, come un pittore o un poeta, apre dei sentieri.

Se i suoi durano più dei loro, è perché sono fatti con le idee.

Godfrey

Harold Hardy (1877-1947)

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La matematica intorno a noi

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San Marco a Venezia si riflette nel Canal Grande

La simmetria

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Il quadrato magico

A Barcellona

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Occorre allora rendere la matematica una cosa viva agli occhi dei ragazzi (e non solo), mostrandola per quella che è veramente, non solo un contenitore di regole, numeri e formule da imparare a memoria.

Fin da piccoli i ragazzi possono divertirsi ed emozionarsi rivestendo il ruolo di matematici.

Tobia Ravà 8

Occorre fornire modelli per aiutare l’intuizione, immagini per stimolare la fantasia e per sviluppare la capacità di visualizzazione, doti che i bambini piccoli generalmente hanno e che spesso perdono crescendo.

La scuola ha il compito di insegnare metodi e algoritmi risolutivi, ma non si può rischiare che gli studenti li traducano in automatismi inconsapevoli, quindi anche molto innaturali e spesso immediatamente dimenticati.

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proporre la matematica ad un livello informale pone le basi sia per una scoperta e per una conoscenza più approfondita, sia per gustarla semplicemente, ma con curiosità.

Le frontiere politiche sono impervie alle nostre culture verbali,

mentre la civiltà del gioco, sostanzialmente non verbale,

le attraversa con la libertà felice del vento e delle nuvole.

L’internazionale dei bambini Primo Levi

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Inventiamo dei numeri? - Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei. - È troppo poco. Senti questi: uno strabilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione. - Io allora inventerò una tabellina: tre per uno Trento e Belluno tre per due bistecca di bue tre per tre latte e caffè tre per quattro cioccolato tre per cinque malelingue tre per sei patrizi e plebei tre per sette torta a fette tre per otto piselli e risotto tre per nove scarpe nuove tre per dieci pasta e ceci.

G. Rodari T. Ravà 11

La curiosità è il motore della ricerca scientifica

• Un approccio non rigoristico al ragionamento matematico:

esperienze piacevoli e giochi

• Promuovere l’insegnamento della matematica come

osservazione, scoperta, formalizzazione

• Motivare tutti gli alunni, indipendentemente da conoscenze

e capacità. 12

“C’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema” (G. Polya)

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Obiettivi

• Lo studente al centro, valorizzando errori e intuizioni informali

• Diffusione del metodo collaborativo, della didattica per problemi, di un approccio esplorativo, giocoso e critico

• Consolidamento della rete tra insegnanti, scuole, università

• Confronto costruttivo tra docenti della scuola primaria e di quella secondaria

• Verso una scuola in sintonia con le Indicazioni Nazionali e «a prova di INVALSI»

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Dalle indicazioni nazionali Le conoscenze matematiche e scientifico-tecnologiche consentono di analizzare dati e fatti della realtà e di verificare l’attendibilità delle analisi quantitative e statistiche proposte da altri.

Il possesso di un pensiero razionale consente di affrontare problemi e situazioni

sulla base di elementi certi e di avere consapevolezza dei limiti delle

affermazioni che riguardano questioni complesse che non si prestano

a spiegazioni univoche.

Lo studente possiede un patrimonio di conoscenze e nozioni di base ed è allo

stesso tempo capace di ricercare e di procurarsi velocemente nuove

informazioni ed impegnarsi in nuovi apprendimenti anche in modo

autonomo.

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Continuità ed unitarietà del curricolo L’itinerario scolastico dai tre ai quattordici anni,…., è progressivo e

continuo. La presenza, sempre più diffusa, degli istituti comprensivi

consente la progettazione di un unico curricolo verticale e facilita il

raccordo con il secondo ciclo del sistema di istruzione e formazione.

Nella scuola del primo ciclo la progettazione didattica,

continua a valorizzare le esperienze con approcci

educativi attivi, è finalizzata a guidare i ragazzi lungo

percorsi di conoscenza progressivamente orientati

alle discipline e alla ricerca delle connessioni tra i

diversi saperi.

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L’ambiente di apprendimento

Valorizzare l’esperienza e le conoscenze

degli alunni, per ancorarvi nuovi contenuti.

Attuare interventi adeguati nei riguardi delle

diversità, per fare in modo che non diventino

disuguaglianze. 17

Favorire l’esplorazione e la scoperta, al fine di promuovere il gusto per la

ricerca di nuove conoscenze.

In questa prospettiva, la problematizzazione svolge una funzione insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in

discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste d’indagine, a cercare

soluzioni originali.

Incoraggiare l’apprendimento collaborativo. Imparare non è solo un processo individuale. La dimensione sociale dell’apprendimento svolge un

ruolo significativo. In tal senso, molte sono le forme di interazione e collaborazione che possono

essere introdotte (dall’aiuto reciproco

all’apprendimento cooperativo, all’apprendimento tra pari), sia all’interno della

classe, sia attraverso la formazione di gruppi di lavoro con alunni di classi e di età diverse.

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Promuovere la consapevolezza del proprio modo di

apprendere, al fine di «imparare ad apprendere». Riconoscere le difficoltà incontrate e

le strategie adottate per superarle, prendere atto degli errori commessi, ma anche

comprendere le ragioni di un insuccesso, conoscere i propri punti di forza.

Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire

l’operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività

vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e

occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento.

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In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è

elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo

fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo, formula le

proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e

sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a

raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a

conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle

conoscenze personali e collettive

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Le conoscenze matematiche contribuiscono alla

formazione culturale delle persone e

delle comunità, sviluppando le capacità di mettere

in stretto rapporto il «pensare» e il «fare» e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e

discutere, di argomentare in modo corretto, di

comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli

altri.

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La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e

progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti

vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un

processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede

un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della

pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono

essere intesi come questioni autentiche e significative, legate

alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere

ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente

ricordando una definizione o una regola

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L’alunno analizza le situazioni per tradurle in termini matematici, riconosce

schemi ricorrenti, stabilisce analogie con modelli noti, sceglie le azioni da

compiere (operazioni, costruzioni geometriche, grafici, formalizzazioni, scrittura

e risoluzione di equazioni...) e le concatena in modo efficace al fine di produrre

una risoluzione del problema.

Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.

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L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer deve essere

incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad

esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per

esplorare il mondo dei numeri e delle forme.

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Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata

visione della matematica, non ridotta a un insieme

di regole da memorizzare e applicare, ma

riconosciuta e apprezzata come contesto per

affrontare e porsi problemi significativi e per

esplorare e percepire relazioni e strutture che si

ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni

dell’uomo.

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Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.

Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri. Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri

decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione...).

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Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso

esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti

matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà

L’apprendimento basato sui problemi descrive quel modo di imparare nel quale i problemi guidano l’apprendimento.

L’apprendimento ha inizio con un problema da risolvere che è proposto in modo tale che gli studenti abbiano necessità di acquisire nuove conoscenze prima di poterlo risolvere.

Piuttosto che cercare un’unica risposta corretta, gli studenti interpretano il problema, raccolgono le informazioni necessarie, identificano le possibili soluzioni, valutano le opzioni e presentano le conclusioni.

Il problem solving: la matematica come scoperta

Il triangolo rettangolo ABC ha il cateto minore, AC, lungo 30 cm, e l’ipotenusa, AB, lunga 50 cm. Trova la lunghezza del lato BC.

Domani devo andare in treno a Bologna e ho pochissimi soldi per prendere il biglietto.

Problemi matematici

… quale è un problema matematico? Perché? 29

• Non conosciamo il modo di risolverlo

• Sentiamo una mancanza di informazioni

• Speriamo di trovare una soluzione, non la soluzione

• Cerchiamo confronto

• Avvertiamo il bisogno di idee nuove

• Siamo disposti a metterci in gioco e darci da fare

Quando «abbiamo un problema»…

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• Il problema come punto di inizio

• Collaborare per creare strategie

• Discutere per trasformare le strategie in concetti

• Coinvolgere perché l’apporto di ognuno è fondamentale

• La matematica come esplorazione, scoperta, invenzione, condivisione

Costruire la matematica

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La matematica come scoperta

Il problem solving

Le attività laboratoriali

I gruppi collaborativi

Problem solving e apprendimento

cooperativo

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Struttura della didattica

Preparazione di attività e materiali

Laboratori cooperativi

Confronto e discussione

Coinvolgimento di più figure e competenze: Supervisore, insegnante, tutor (… dirigente, genitori…). Requisiti del problema:

• Favorire interazione e partecipazione • Essere semplice ma difficile • Consentire diverse strategie risolutive

“Ingredienti” del materiale:

• Schede di lavoro • Giochi / situazioni narrative • Oggetti da manipolare

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Pari e diversi con l’apprendimento collaborativo: unico obiettivo disciplinare molteplici ruoli relazionali Sfruttamento delle dinamiche da piccolo gruppo:

• Responsabilizzazione • Valorizzazione delle competenze personali • Potenziamento delle capacità comunicative

“L’apprendimento collaborativo si fa carico sia della dimensione disciplinare che di quella affettivo-relazionale” (A. Pesci)


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1. Condivisione del lavoro di gruppo: • Osservazioni disciplinari • Osservazioni relazionali

2. Discussione coordinata dall’insegnante:

• Confronto/convalida di risultati e strategie

• Costruzione di una soluzione condivisa

• Riflessione sui nodi concettuali • Generalizzazione


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La relazione cooperativa

studente-studente

il gruppo cooperativo

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L’INSEGNAMENTO – APPRENDIMENTO COOPERATIVO

Un modello che si fa carico della dimensione DISCIPLINARE e della dimensione AFFETTIVO - RELAZIONALE

La CONVINZIONE di fondo:

Ogni atto CONOSCITIVO coinvolge in modo GLOBALE le persone, con le loro EMOZIONI, PERCEZIONI, CREDENZE, STORIE, ASPETTATIVE

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La nostra interpretazione

dell’APPRENDIMENTO COOPERATIVO

(collaborativo)

Orientato al GRUPPO

MEMORIA

RELATORE

Orientato al COMPITO

OSSERVATORE

Ogni gruppo è impegnato nello stesso compito disciplinare

(secondo Lino Vianello)

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PROFILO DI RUOLO

Traduce in termini OPERATIVI obiettivi e compito

Fa sì che TUTTE le parti del problema siano analizzate

Prevede sia la riflessione INDIVIDUALE sia la discussione

COLLETTIVA

Fa sì che il gruppo NON SI DISPERDA su aspetti secondari

FA periodicamente IL PUNTO della situazione

Promuove e attiva i momenti DECISIONALI

ORIENTATO AL COMPITO

Il suo obiettivo è far raggiungere al gruppo il miglior risultato in relazione al compito assegnato

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ORIENTATO AL GRUPPO

E’ il responsabile del clima comunicativo

PROFILO DI RUOLO

SOSTIENE con la relazione tutti i partecipanti

Fa sì che TUTTI siano partecipi senza che lo sentano come imposizione

Fa sì che i contributi di tutti siano EQUILIBRATI nel tempo e nel modo

Fa sì che i partecipanti SI RICONOSCANO nel processo e nella produzione di gruppo

SDRAMMATIZZA eventuali conflitti

RIATTIVA i momenti di stasi

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MEMORIA

E’ responsabile della formalizzazione del risultato del lavoro di gruppo

PROFILO DI RUOLO

Durante la sistemazione degli argomenti fa sì che essi risultino EVIDENTI al gruppo: RIPETE le decisioni, CHIEDE conferme, SCRIVE ciò che viene condiviso

Alla fine del processo PERFEZIONA la versione definitiva del prodotto finale (RELAZIONE), d’accordo con il gruppo ed in particolare con il “relatore”

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RELATORE

E’ il responsabile per il gruppo della relazione orale sul lavoro svolto

PROFILO DI RUOLO

COLLABORA con la MEMORIA nel perfezionare la versione DEFINITIVA e SCRITTA del prodotto del lavoro di gruppo

svolge la RELAZIONE orale nella DISCUSSIONE PLENARIA

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OSSERVATORE E’ responsabile del feedback al gruppo su alcuni elementi del processo interattivo

OSSERVA

QUALI/QUANTI partecipanti intervengono

QUANTE VOLTE i partecipanti intervengono

La SCANSIONE TEMPORALE delle fasi di lavoro

AUTOESCLUSIONE di alcuni membri

COPERTURA del RUOLO da parte di ognuno

REGISTRA quanto osservato e lo COMUNICA alla classe durante la discussione finale

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Il ruolo per l’insegnante: IL SUPERVISORE

lavoro FUORI dalla classe:

scelta del COMPITO disciplinare, scelta dei CRITERI di costituzione dei GRUPPI, preparazione del MATERIALE didattico…

in classe, DURANTE il lavoro cooperativo: NON DÀ SUGGERIMENTI sulla soluzione del compito disciplinare

È ATTENTO ai processi RELAZIONALI

COORDINA e REGOLA la DISCUSSIONE finale

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LA CHIAVE di questa struttura organizzativa : il RICONOSCIMENTO di un RUOLO ad una

PERSONA da PARTE degli ALTRI

ognuno sviluppa la propria AUTONOMIA nel PRENDERE DECISIONI, VALUTARE e CONTROLLARE, perché è

AUTORIZZATO a svolgere determinati compiti

la ripartizione di compiti SOCIALI e

DISCIPLINARI nel gruppo secondo i ruoli

favorisce COLLABORAZIONE e

INTERDIPENDENZA, assicura che le abilità

individuali vengano CONDIVISE e RIDUCE la

possibilità che qualcuno si RIFIUTI di cooperare o

tenda a dominare gli altri 45

A proposito di RUOLI …..

Differenza tra

STATUS

RUOLO

(L. Vianello, E. G. Cohen,….)

L’attribuzione di un RUOLO dà l’occasione per superare (o stravolgere) le aspettative di prestazione legate allo STATUS…

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Dalla IMPORTANZA dei RUOLI

È essenziale CONOSCERE i COMPITI relativi ad ogni ruolo: in fase iniziale, questo richiede un po’ di tempo per

DISCUTERE,

CONFRONTARSI e

CIRCOSCRIVERE eventualmente i compiti principali

è essenziale CONOSCERE bene i

compiti per avere COMPETENZA

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Osservazioni finali

Difficoltà iniziali:

• Affiancare ruolo e

compito

• Paura di sbagliare

• Impiego forzato dei

concetti appresi a

scuola

Punti di forza:

• Forte curiosità

• Inaspettate capacità di

astrazione

• Ottime qualità logiche

"informali"

Gli alunni

Da parte degli insegnanti abbiamo riscontrato queste difficoltà:

Accettare di non avere il controllo degli apprendimenti degli studenti attraverso le classiche interrogazioni e verifiche. Si giunge alla convinzione che questo genere di ‘verifica degli apprendimenti’ non restituisce informazioni significative

Accettare di non avere il controllo del programma perché con questo approccio si affrontano concetti e non argomenti, strutture e non tecniche, modelli e non esercizi ripetitivi. Certo, è molto più comodo seguire il libro di testo!

Non farsi influenzare né dallo scetticismo, o addirittura opposizione, dei

colleghi, né dalle pressioni dei genitori

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Osservazioni finali

Abbiamo invece verificato che per gli studenti:

• La matematica diventa una disciplina accessibile e spesso addirittura piacevole

• l’ora di matematica ‘passa in un attimo’ rispetto ad altre materie

(e spesso lo dicono con rammarico)

• parlano di matematica per tutta l’ora

• vincono timidezza e paura di sbagliare

• incontrano punti di vista diversi dai loro e accettano di cambiare idea

• confrontano le diverse strategie risolutive aprendosi ad approcci differenti

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Osservazioni finali

Osservazioni finali

L'approccio "per problemi"

Compiti ricchi e stimolanti

La collaborazione

• Alimenta un costruttivo spirito di squadra

• Rende gli alunni meno insicuri

• Valorizza le capacità di ognuno

• Più interesse e motivazione

• Sviluppo di capacità di

ragionamento e pensiero

critico

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