Prismi e Piramidi

Esempio di programmazione modulare

c.c. A059 Scienze matematiche, chimiche, fisiche e naturali nella scuola media

Prismi e Piramidi

• Introduzione

• Prerequisiti

• Obiettivi

• Unità didattiche

Il prisma

La piramide

Introduzione L’ argomento approfondito in tale tesina può costituire una unità didattica che può considerarsi facente parte di un modulo così

strutturato

 

P O L I E D R I

 C U B O

  

 

 PARALLELE PIPEDO

 P R I S M I EP I R A M I D IU.D. 1

U.D. 2

U.D. 3

-         Definizione di prisma e sua rappresentazione grafica-         Sviluppo, area della superficie e volume del prisma-         Definizione e rappresentazione grafica della piramide-         Area della superficie -         Volume della piramide

CONTENUTI 

   

                         

Prerequisiti

Per lo studio dei contenuti individuati è necessario il possesso dei seguenti prerequisiti:

• -   U.D. 1 : Cubo

• -   U.D. 2 : Parallelepipedo -   -    Prerequisiti necessari allo

studio delle U.D. 1 e 2

Obiettivi

Si ritiene necessario il conseguimento dei seguenti obiettivi specifici:

• -       Saper distinguere i prismi dalle piramidi

• -       Individuare se sono regolari retti, semplicemente retti oppure obliqui

• -       Costruire modelli di prismi equiestesi

• -       Costruire sviluppi piani di prismi e di piramidi

• -       Calcolare il volume e la superficie di prismi e piramidi

Unità didattiche

• Definizione di prisma e sua rappresentazione grafica

• Sviluppo, area della superficie e volume del prisma

• Definizione e rappresentazione grafica della piramide

• Area della superficie della piramide• Volume della piramide 

Definizione di prisma e sua rappresentazione grafica

Sono chiamati prismi quei solidi che hanno la superficie formata da due poligoni di base congruenti e da parallelogrammi laterali, tanti quanti sono i lati del poligono di base Un prisma può avere per base un poligono regolare o un poligono qualsiasi, inoltre i suoi spigoli laterali possono essere perpendicolari ai piani delle basi ma possono anche non esserlo.

Se un prisma ha spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi e queste sono dei poligoni regolari il prisma è detto retto a base regolare , allora le sue facce laterali sono rettangoli congruenti.

A questo punto possiamo far notare ai ragazzi che il cubo e il parallelepipedo che hanno studiato precedentemente sono dei prismi.In particolare i solidi studiati sinora possono essere rappresentati con diagrammi di Venn in questa maniera :

Cubi

Prismi

Parallelepipedi

ParalRetti

Facciamo notare ai ragazzi che è difficile disegnare

su un foglio un prisma, spesso è necessario disegnare le basi un po’ schiacciate per cui è

consigliabile disegnare sempre accanto il poligono di base reale.

nella sua forma

Sviluppo, area della superficie e volume del prisma

Specifichiamo ai ragazzi che solo di ogni prisma retto è possibile disegnare lo sviluppo della superficie sul piano del foglio.Tale sviluppo è formato dalle due basi e dal rettangolo delle facce laterali che ha per base il perimetro della base e per altezza la stessa del prisma. Quindi per trovare l’area della superficie di un prisma devo sommare all’area di base, moltiplicata per 2, il perimetro di base moltiplicato per l’altezza del prisma.

Proponiamo a questo punto un esercizio     

 

  

Individua i prismi la cui superficie ha dato luogo ai due sviluppi rappresentati. Descrivine le proprietà, cerca di disegnarli sul tuo quaderno e,prese le misure necessarie, calcolane l’area della superficie.

Per quanto riguarda il volume possiamo realizzare sperimentalmente prismi con lo stesso numero di cartoncini aventi lo stesso spessore, di forma quadrata o triangolare, ma comunque con la stessa estensione, e metterli a confronto con un parallelepipedo.Avendo i cartoncini lo stesso spessore, i prismi avranno la stessa altezza del parallelepipedo, se poi i cartoncini sono fra loro equiestesi, i prismi avranno le basi della stessa estensione di quella del parallelepipedo e quindi avranno lo stesso volume.Poiché il volume del parallelepipedo è già noto possiamo dire che il volume di un qualsiasi prisma è dato dal prodotto dell’area di base per l’altezza.

Definizione e rappresentazione grafica della piramide

 

Possiamo iniziare la lezione sulla piramide facendo subito degli esempi:

le guglie dei campanili o le piramidi egizie, famose tombe faraoniche.

Diciamo quindi che anche le piramidi sono poliedri, ma a differenza dei prismi hanno una sola base che può essere un poligono qualunque, e le facce laterali sono dei triangoli che hanno un vertice comune : il vertice della piramide.

Facciamo osservare che se la base della piramide è un poligono regolare, il piede dell’altezza coincide col centro del poligono e la piramide è detta retta a base regolare. In questo caso le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti. 

Facciamo notare che anche la piramide non è semplice da disegnare sul foglio e mostriamo qualche sistema per rappresentarla.

 

Limitiamoci a considerare una piramide retta a base quadrata

 

A B

C

D

H K

Fig. 1

  

       

V

Si può dedurre facilmente dalla fig. 1 che l’area della superficie laterale della piramide in questione, si ottiene moltiplicando per 4 l’area di un triangolo costituente una faccia.

Ma per il calcolo di codesta area ci serve un elemento diverso dal lato del quadrato di base e dall’altezza.

Tale elemento è proprio l’altezza della faccia triangolare chiamata apotema della piramide.

 

Vediamo dunque come è possibile ricavare questo elemento.Dalla fig. 1 si può facilmente osservare che l’apotema, indicata con VK, non è altro che l’ipotenusa del triangolo rettangolo VHK i cui cateti sono VH ( altezza della piramide) e HK (metà lato di base).

Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK possiamo dire che

VK = VH2+ HK2

 

Se invece conosci l’apotema e l’altezza come procedi per trovare lo spigolo di base ?

Se conosci lo spigolo di base e lo spigolo laterale, come procedi per trovare l’apotema e poi l’altezza ?

E infine, se conosci lo spigolo laterale e la diagonale di base come fai a conoscere gli altri elementi ?

Dopo aver risolto insieme ai ragazzi il precedente esercizio servendoci della fig. 1 e del teorema di Pitagora applicato più volte opportunamente,si può passare a trovare l’area della superficie della piramide.

Di una piramide retta a base quadrata, supponi di conoscere l’apotema laterale e lo spigolo di base. Come trovare l’altezza ?

Facciamo subito un esempio

Area della superficie della piramide

Immaginiamo di tagliare la piramide considerata precedentemente lungo gli spigoli laterali e di distenderne la superficie sopra il piano: otteniamo il seguente sviluppo 

        

a

l

E’ evidente che l’area della superficie laterale si trova moltiplicando l’area di una faccia per 4 :

Al = (1/2*l*a)*4

Applicando le proprietà commutativa e associativa si ha

Al = ½*l*a*4 = (4*l)*a*1/2 = p*a*1/2

Quindi l’area della superficie laterale si trova moltiplicando il semiperimetro di base per l’apotema.

Chiaramente l’area della superficie della piramide si trova sommando all’area della superficie laterale l’area di base  

E’ importante a questo punto ricavare insieme ai ragazzi le formule inverse.

 

Come applicazione può essere interessante far vedere come si può costruire un particolare sviluppo della piramide usando riga e compasso : 

1.       disegna la base della piramide e una sua faccia laterale

2.     punta il compasso nel vertice della faccia laterale e, con raggio uguale allo spigolo laterale, traccia un arco di circonferenza

3.     inscrivi nell’arco tracciato tanti triangoli congruenti quante sono le facce laterali della piramide

Le facce laterali della piramide formano un poligono che è equiesteso ad un triangolo avente per base il perimetro di base della piramide e

per altezza l’apotema.

L’area di tale triangolo ci dà la superficie laterale e quindi ritroviamo la relazione precedente.

 

V

l

V

l l l l

a

a

4 l

 

         

Volume della piramide

Per il calcolo del volume della piramide, utilizzando dei modellini uguali di piramide retta a base quadrata, si fa vedere che 6 piramidi formano un cubo che ha per spigolo il lato di base della piramide.

Se si indica con l il lato di base e quindi lo spigolo del cubo possiamo dire che il volume della piramide è uguale a 1/6 di quello del cubo di lato l e quindi:

V = 1/6 l3

Facendo delle trasformazioni opportune :

V=1/6l3 =1/3*1/2*l2*l = 1/3*l2*1/2l = 1/3Ab*h

infatti l2 è l’area di base e si può subito verificare che ½ l è l’altezza h della piramide quindi il volume della piramide è dato da 1/3 dell’area di base per l’altezza

Se si indica con l il lato di base e quindi lo spigolo del cubo possiamo dire che il volume della piramide è uguale a 1/6 di quello del cubo di lato l e quindi:

V = 1/6 l3