Principi di Interferometria – I Università Tor Vergata – Corso di Laboratorio di Astrofisica...

Principi di Interferometria – IPrincipi di Interferometria – IUniversità “Tor Vergata” – Corso di Laboratorio di Astrofisica – Prof. BuonannoUniversità “Tor Vergata” – Corso di Laboratorio di Astrofisica – Prof. Buonanno

Dr. Simone Antoniucci, INAF - OARDr. Simone Antoniucci, INAF - OAR

VLAVLA

Principi di Interferometria - I

Perché


Imaging con un telescopio singolo

),(O

),(O),(P),(I

),(P

Sorgente in cielo con distribuzione di luminosità O

PSF dello strumento

Risposta dello strumento


• Sorgente puntiforme all’infinito diffrazione di Fraunhofer

• Apertura circolare figura di Airy

/D

/DJ2)(I 1

: Lambda di osservazione

D : Diametro dell’apertura

J1 : Funzione di Bessel di 1° tipo

DD22.1

• Risoluzione angolare

(criterio di Rayleigh)



Power Spectrum of the PSFOptical Transfer Function

D/

OTF

P~

OTF

f

),(O),(P),(I Risposta del telescopio


• Analizziamo la risposta in termini di frequenze (spaziali)

Trasformata di Fourier

)v,u(O~

)v,u(OTF)v,u(O~

)v,u(P~

)v,u(I~


fmax= D/ = /D

Un singolo telescopio campiona TUTTE le frequenze spaziali tra 0 e D/


• Esiste una frequenza di taglio D/: il singolo telescopio funziona come un filtro passa-basso

• Le basse frequenze sono “pesate” maggiormente nella OTF

Come funziona il campionamento delle frequenze da parte del telescopio?

D/

OTF

f

Specchio primario(pupilla del telescopio)

risoluzione telescopio massima frequenza campionata

alte frequenze spaziali piccole scale spaziali

più piccole scale spaziali campionate dai punti esterni dello specchio del telescopio (a distanza reciproca D)


D/spatial frequency

OTF

D/spatial frequency

OTF

D/spatial frequency

OTF



Risoluzione angolare sarà data da = /B

Un interferometro campiona “UNA” frequenza spaziale (B/) alla volta (B>>D)

Vogliamo incrementare la risoluzione angolare del nostro strumento

B

Oppure, basandoci su quanto detto prima:

Due telescopi: un semplice interferometro

1) Aumentare il diametro D del telescopio

DB

2) posizionare 2 telescopi a distanza reciproca B (baseline)

Risoluzione angolare sarà data da = /D


Esperimento di Young: interferenza

• sorgente schermo con 2 fori osserviamo figura risultante

• sul piano focale si osservano frange di interferenza

cosμII2III 122121

P

I

S1 S2

Φ = differenza di fase

= fattore di coerenza spaziale = /B

B


B

Esperimento di Young con due telescopi :-)

• Sorgente puntiforme all’infinito

• Due telescopi con aperture circolari di diametro D, a distanza B osservo frange di interferenza modulate dalla figura di Airy del singolo telescopio

• Le frange hanno ampiezza = /B


Due telescopi: un semplice interferometro

• Analizziamo la risposta in termini di frequenze (spaziali)

Trasformata di Fourier

Optical Transfer Function

D/

OTF

f

Con la tecnica interferometrica campioniamo alte frequenze spaziali accesso a alte risoluzioni angolari θ ~ λ/B

Più baselines più frequenze più informazioni

B B2B1

B/


Piano focale

Singola apertura

1.22 /D

Diametro D

Ricapitolando…

/B

Baseline B

2 Aperture

Piano focale

D/ spatial frequency

OTF

D/ spatial frequency

OTF

B/


Ricapitolando…

Più baseline più frequenze campionate più informazioni

D/

OTF

f

B B2B1

B/• Un interferometro campiona “UNA” frequenza spaziale (B/) alla volta

= /B B>>D

• Un singolo telescopio campiona TUTTE le frequenze spaziali tra 0 e D/ = /D

Un interferometro è uno strumento per misurare le componenti di Fourier dell’immagine di una sorgente

Un singolo telescopio è un interferometro “perfetto” che osserva su tutte le baseline di lunghezza compresa tra 0 e D


Come(radio)


Principi di osservazione• 2 radiotelescopi fissi a distanza B (baseline)

• sorgente emette onda radio monocromatica, fronti d’onda piani

B

Segnale in uscita

Interferenza costruttiva

B

Segnale in uscita

Interferenza distruttiva

θ

Caso I• Sorgente allo zenit

• Onde arrivano in fase

• Onde combinate interferiscono costruttivamente

Caso II• Sorgente si sposta di un angolo =/2B

• Onde arrivano in controfase

• Onde combinate interferiscono distruttivamente output nullo

B2/

θ

~ B


Principi di osservazione• Al variare di riavrò interferenze costruttive per:

,B/3,B/2,B/

• A seguito della rotazione terrestre il segnale in uscita mostrerà ciclicamente una modulazione forte e debole (nulla).

• La separazione angolare fra 2 posizioni in cui abbiamo interferenza costruttiva è:

B/Esempi:

=1m B=100m =1/100 ≈ 0.5° t ≈ 2 min

=5cm =6GHz B=10km ≈ 1’’ t ≈ 67ms

∆θ≈λ/B

A

B

C

c c cc

Intuitivamente:

• Sorgenti puntiformi (A, B) mostreranno variazioni ampie di segnale attraversando le linee di visibilità

• Sorgenti estese (C) produrranno una modulazione di minore ampiezza (simulatanea presenza di coppie di punti sulla sorgente che interferiscono costruttivamente e distruttivamente)

t

t

t


Esempio I: osservazioni equatoriali

• 2 radiotelescopi all’equatore, baseline in direzione E-W

Polo nord

interferenza costruttiva

∆θ≈λ/B

interferenza distruttiva

λ

sorgenti puntiformi non risolte

sorgente estesa

A

B

C



Equatore celeste

“Ventagli” di visibilità

“Ventagli” di visibilità (visione dall’alto)

Equatore celeste

E W

∆θ≈λ/B N

S

A

B

C

c c cc

• 2 radiotelescopi all’equatore, baseline in direzione E-W


Esempio II: osservazioni polari

Polo nord

interferenza costruttiva

∆θ≈λ/B

interferenza distruttiva

λ

sorgente puntiforme

A

Equatore

polo nord celeste

• 2 radiotelescopi in vicinanza del polo



Polo nordceleste

“Ventagli” di visibilità

• 2 radiotelescopi in vicinanza del polo

NCP


Esempio III: osservazioni generiche

B/ncos n

)/B(n)/B( 1800

• Le linee di visibilità formano dei circoli celesti attorno alla direzione della baseline

nn sin/)B/(d

• 2 radiotelescopi, data baseline e posizione della sorgente

1dn


Ricostruzione ideale di una (pseudo)immagine…

• Abbiamo una serie di misure in cui abbiamo identificato le linee di visibilità

• La sorgente si troverà su una delle linee individuate

• Sovrapponendo le varie osservazioni (set di linee) otteniamo una pseudoimmagine della regione in esame, in cui identifichiamo la posizione della sorgente

• Possiamo anche visualizzare ogni misura ottenuta con una data baseline come un’immagine: osserviamo un pattern di frange nel campo (in direzione normale alla baseline)

sommando i vari pattern otteniamo una “immagine” del campo (shading method)


Quanto


Risposta ad una sorgente puntiforme• Sorgente puntiforme emette radiazione monocromatica di frequenza .

• I due telescopi intercettano i fronti d’onda piani

• Siano E1 e E2 i campi elettrici misurati dai due telescopi.

2

)t(cos

2

)t(tcosE2E 0

tcosEE 01

)tcos(EE 02

/)t(cosB2)t(

)tcos(EtcosEE|E| 00

Campo elettrico risultante

Oscillazione ad alta frequenza modulata da oscillazione a bassa frequenza Φ/2 (battimento)

B

θθ

s

b

Bcos

La differenza di fase Φ è data da


2

)t(cos

2

)t(tcosE2E 0

Oscillazione ad alta frequenza modulata da oscillazione a bassa frequenza Φ/2

Risposta ad una sorgente puntiforme

2

)t(cos

2

)t(tcosE4E 222

02

Potenza dell’onda ( E2)

=5cm, =6GHz, B=10km ≈ 1’’ T() ≈ 17ns T(Φ) ≈ 67ms


Mediando su un periodo T tale che: T() << T << T(Φ) (cos2 ½)

2

)t(cos

2

1E4

2

)t(cos

2

)t(tcosE4 22

0LP222

0

)t(cos1E22

)t(cos1

2

1E4 2

020


Risposta (nel caso di somma dei segnali)


• Eleviamo al quadrato il campo elettrico totale (potenza E2)


2002 )tcos(EtcosEE

))t(cos)tcos(tcos2t(cosEE 2220

2

Termine di interferenza

2/1 2/1

)))t(t2cos()t((cos2

E)tcos(tcosEEE

202

021

media

media

• Per descrivere l’interferenza possiamo allora considerare il prodotto E1E2



)))t(t2cos()t((cos2

E)tcos(tcosEEE

202

021

/)t(cosB2cosE)t(cosE)t(R 20

20PS

)t(cosE2

1)EE(EE)t(R 2

0LP2121PS /)t(cosB2)t(

Risposta (nel caso di moltiplicazione dei segnali)

(è quel che si fa nel caso pratico)


Trattamento del segnale in un radiointerferometro


s)t(B2

cosER 20PS

Pattern di frange per una una sorgente puntiforme

/)t(cosB2cosE)t(R 20PS


B

θθ

s

b

Bcos

VLTIVLTI

“A che tante facelle?” – G. Leopardi

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