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Principi dell’Ingegneria Chimica

Appello del 14 Gennaio 2004

Il compito va risolto senza l’ausilio di libri né di appunti. È consentita la consultazione delle

formule scritte su un foglio di carta A4.

Il tempo impiegato non deve superare le 2 ore e mezzo.

Ogni tipo di comunicazione durante l’esame è proibito, pena l’espulsione e l’esclusione dagli

appelli successivi.

1. (5 punti) Un gomito ad angolo retto collega due tubi rettilinei dello stesso diametro in cui scorre

un fluido con numero di Reynolds Re = 105. Sperimentalmente, sappiamo che le perdite di

carico nel gomito sono uguali all’energia cinetica specifica, ½ v2, moltiplicata per una

costante, k=0.16. Identica perdita è anche dovuta al flusso lungo una certa lunghezza di tubo, L.

Si determini L/D, dove D è il diametro interno del tubo.

2. (10 punti) Si vuole scaldare 40 kg/s di glicerina da 20 a 34C, facendola passare all’interno di

tubi che vengono lambiti da un flusso di acqua, la quale si raffredda da 80 a 48C. Le velocità

dell’acqua è tale che il coefficiente di scambio termico esterno (riferito al diametro interno dei

tubi) è ho = 300W/m2K. Lo scambiatore è del tipo shell&tube, composto da 75 tubi ad U a 8

passaggi, ognuno del diametro di ¾ inch; dunque lnTFShQ tot , dove S è la superficie di

scambio, Tln è la differenza di temperatura logaritmica media, htot è il coefficiente di scambio

termico totale, mentre F è un fattore correttivo che in questo caso è F = 0.94. Si determini: a) Il

calore scambiato; b) la portata dell’acqua; c) la lunghezza dei tubi. Dati: diametro interno dei

tubi D = 1.66 cm; calori specifici della glicerina e dell’acqua: ct = 2385 J/kgK e cs = 4187

j/kgK. [Nel punto c) occorre calcolare il coefficiente di scambio termico interno, hi (la resistenza

termica del tubo è trascurabile). Per farlo, una volta dimostrato che il flusso della glicerina è

laminare (lo si faccia), si utilizzi la relazione h = k Nu/D, dove k è la conducibilità termica della

glicerina, Nu è il numero di Nusselt, che nel caso di moto laminare è una costante, Nu=4.36 e D

è il diametro interno dei tubi. Ne risulta che hi = 73.5 W/m2K].

3. (15 punti) Una gocciolina d’acqua cade con velocità U (gR)1/2

(g è l’accelerazione di gravità e

R il raggio) in una atmosfera di aria secca. Facendo tutte le ipotesi necessarie, si valuti il tempo

necessario all’evaporazione di una gocciolina con raggio iniziale R0. [si ricordi che il

coefficiente di scambio massico kM è uguale a D Sh/R, dove D è la diffusività (di che cosa e in

una atmosfera composta da che cosa?), R è il raggio (che diminuisce nel tempo) e Sh è il

numero di Sherwood, definito in base al raggio.]


Correzione del compito di esame dell’appello del 14 Gennaio 2004

1) Poiché per le perdite distribuite sono p = 2fv2L/D, dove f è il fattore di attrito (o di

Fanning), otteniamo: (L/D) = k/4f. Ora, f = 0.08/Re1/4

= 4.5 10-3

, dunque L/D = 8.9.

2) Abbiamo: Ts,in = 80C; Ts,out = 48C; Tt,in = 20C; Tt,out = 34C; tm = 40 kg/s.

a) WTTcmQ intoutttt

6

,, 1034.1 .

b) skgTTcQm outsinsss /0.10/ ,, .

c) Detto N=75 il numero di tubi e L la loro lunghezza, la superficie di scambio (riferita al diametro

interno) è S = NDL. Sappiamo che lnTFShQ tot . Qui

KTTTT

TTTT

TT

TTT

intoutsouttins

intoutsouttins

lm 3.36lnln ,,,,

,,,,

21

21

.

Inoltre, R = (Ts,in – Ts,out)/(Tt,out-Tt,in) = 2.29; P = (Tt,out – Tt,in)/(Ts,in-Tt,out) = 0.23 e dunque dal

grafico vediamo che F = 0.94.

Adesso dobbiamo calcolare htot, considerando che, trascurando gli effetti di curvatura e la resistenza

del metallo nei tubi:

htot = 1 / (1/hi + 1/ho).

Sappiamo che ho = 300W/m2K. Per calcolare hi, ci serve il Re del flusso di glicerina. Considerando

che la portata in ogni tubo è Nm / , otteniamo: 8.474

Re D

mt

. Dunque il flusso è laminare e,

poiché il flusso termico è circa costante (negli scambiatori a correnti opposte la differenza di

temperatura tra i due fluidi si mantiene all’incirca uniforme), otteniamo: Nu = 4.36, da cui: hi =

Nu k/D = 73.5 W/m2K.

Infine: htot = 59 W/m2K e da ciò otteniamo: mTFDhNQL tot 171/ ln . Dunque, poiché ogni

tubo compie 8 passaggi, la lunghezza dello scambiatore è di circa L/8 = 21.4m.

3) Da un bilancio molare sulla gocciolina otteniamo: V

AMA

L

A ckNdtdRc / , dove cAL e

cAV sono, rispettivamente, la concentrazione dell’acqua nella gocciolina e quella di saturazione

nell’atmosfera, a contatto con il liquido. Per valutare il coefficiente di scambio massico kM

supponiamo di essere in condizioni quasi-stazionarie. In questo caso, è ragionevole supporre che

Re>>1 e Sc>>1 e dunque: 4/16/1

4/13/23/12/11

R

gDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,

dove a è una costante adimensionale di O(1). Infine, integrando dtc

cgDadRR

L

A

V

A

6/1

4/13/24/1

tra t=0, quando R=R0 e t=, quando R=0, otteniamo: V

A

L

A

c

c

gD

R

a 4/13/2

6/14/5

0

5

4 .

La condizione di quasi stazionarietà è soddisfatta quando è molto maggiore del tempo necessario

per raggiungere lo stato stazionario, ss M2/D M/Sh dove M è lo spessore dello strato limite

massico, M R/Sh. Dunque: 110

L

A

V

A

M

MssV

A

L

A

M c

c

Shkc

c

k

R .


Appello del 2 Febbraio 2004





appelli successivi.

1. (10 punti) Un fluido newtoniano con viscosità scorre in un canale di altezza H. Al pelo

libero, per z=0, si trascuri la resistenza dell’aria. La parete z=L, invece, è composta di un

mezzo poroso e la velocità del fluido alla parete, vw, è uguale alla cosiddetta “slip velocity”,

che in questo caso è proporzionale al gradiente di velocità alla parete, vw=a(dv/dz)w, dove a

è la dimensione dei pori. Si determini il profilo di velocità e la velocità massima.

2. (10 punti) Si consideri uno scaldabagno sferico di raggio R. L'acqua dello scaldabagno viene

riscaldata con una resistenza elettrica di potenza S (energia/tempo), mentre perde calore con

l'aria circostante, avente temperatura T0. Supponendo di conoscere il coefficiente di scambio

termico h, 1) si scriva l'equazione differenziale che descrive l'evoluzione temporale della

temperatura T dell'acqua; 2) si determini la temperatura finale raggiunta alla stazionario.

3. (10 punti) Immergendo un tubo capillare di raggio R = 0.1 mm in una bacinella riempita

con un liquido di densità = 1 g/cm3, vediamo che il liquido risale fino ad una altezza h =

15 cm dal pelo libero. Supponendo che l’angolo di raccordo sia di 0 (si spieghi che cosa

significa), si determini la tensione superficiale del liquido. Nota: non basta applicare la

formula (ammesso che l’abbiate scritta da qualche parte), occorre ricavarla.


Correzione del compito di esame dell’appello del 02 Febbraio 2004

1. Partiamo dall’equazione di Navier-Stokes,

dp/dx = d2v/dz

2, per 0<z<H

dove dp/dz = -p/L = cost.., da risolversi con le seguenti condizioni al contorno:

dv/dz(0)=0; dv/dz(H)=av(H).

Integriamo una prima volta l’equazione di N.S.: -(p/L)z=dv/dz+C1, dove C1=0 poiché

dv/dz(0)=0. Integriamo ancora: -(p/L)(z2/2)=v+C2, dove, applicando la seconda condizione al

contorno:

C2 = -(p/L)(H2/2)-vw = -(p/L)(H

2/2)-a(dv/dz)w = -(p/L)(H

2/2)-a(pH/L).

Dunque otteniamo:

v(z) = (pH2/2L)[1 + 2(a/H) – (z/H)

2]

Ovviamente, quando a=0, otteniamo il solito profilo.

2. Bilancio di energia: (dT/dt)c(4/3)R3 = S - h (T-T0)4R

2.

Dunque: d/dt = -/ + , dove = T-T0; = (cR)/(3h); = (3S)/(c4R3).

Soluzione: (t) = (t) e-t/

; (d/dt) = et/

, da risolversi con condizione iniziale (0)=0.

Dunque: (t) = (et/ - 1), da cui: T(t) = T0 + (1-e

-t/).

La soluzione allo stazionario si può ottenere da qui, per t, e dunque: T = T0 + S/(4R2h).

Ovviamente, questo risultato si può ottenere direttamente da un bilancio termico allo stazionario:

S = h (T-T0)4R2.

3. Procedendo come nel paragrafo 1.4, otteniamo: h/Dc = 4/Bo, dove Dc =2R è il diametro del

capillare e Bo= Dc2g/ è il numero di Bond. Dunque = hRg/2 = 0.072 N/m, che è la

tensione superficiale dell’acqua.







appelli successivi.

1. (10 punti) Un flusso d'acqua viene pompato nel

dispositivo rappresentato in figura, in cui tutti i tratti di

tubo (1-2, 2-3, 2-4 e 3-5) hanno sezione circolare di

diametro D e lunghezza L. Si noti che i tratti 1-2 e 2-3

sono orizzontali mentre quelli 2-4 e 3-5 sono verticali. Le

pressioni p4 e p5 sono uguali alla pressione atmosferica.

Supponendo che L = 1 m e D = 1 cm, e che la velocità in

ingresso (cioè nel tratto 1-2) sia uguale a 1 m/s, si

determini il rapporto tra le portate volumetriche nei tratti 3-5 e 2-4.

(Le perdite per attrito in un tubo circolare di diametro D e lungo L sono uguali a (2L/D) f v2, dove

e v sono la densità e la velocità media del fluido, mentre f = 0.079/Re1/4

, con Re uguale al numero

di Reynolds.)

2. (10 punti) Si consideri un elemento di combustibile nucleare di forma sferica con raggio R, con

una densità di potenza termica S. La sfera è raffreddata da un fluido mantenuto a temperatura

T0, con cui scambia calore con coefficiente di scambio termico h. Si determini il flusso di

calore uscente dalla sfera (perché non dipende da k?) e la temperatura massima raggiunta

all'interno della sfera. Si esaminino i casi limite per numero di Biot molto grande o molto

piccolo.

3. (10 punti) Un nucleo sferico di sale (A) sta sospeso in una soluzione sovrassatura di acqua (B) e

sale. Ciò significa che la concentrazione di sale nella soluzione lontano dal nucleo è uguale a c

> csat, dove csat è la concentrazione di saturazione, uguale a quella della soluzione a contatto con

il nucleo. Detto Ri il raggio iniziale del nucleo, si calcoli il tempo impiegato dal nucleo per

raddoppiare il suo raggio, supponendo che il flusso sia esclusivamente diffusivo. Si enuncino

chiaramente tutte le ipotesi del caso.

1

2 3

4 5

L L

LD



1.

Siamo in regime turbolento (Re = 104) e dunque, in genere, le perdite per attrito sono dello stesso

ordine di quelle idrostatiche. Le equazioni sono le seguenti:

p1 – p2 = Cv127/4

; C = 0.158 1/4 L / D

5/4

p2 – p4 = Cv247/4

+ gL

p2 – p5 = 2Cv257/4

+ gL

v12 = v24 + v25.

Dalle ultime tre equazioni otteniamo:

v247/4

= 2 v257/4

, cioè v24 = 1.48 v25.

Siccome le sezioni dei tubi sono costanti, la stessa relazione vale anche per le portate volumetriche.

2.

Procedendo come nel paragrafo 9.1.3, troviamo il flusso J = Sr/3 e la distribuzione di temperatura

() = -2/6 + C, dove e sono definiti in 8.3.2 e C è una costante. Dalla condizione al contorno

J(R)=h[T(R)-T0], otteniamo: () = (1/6) [1 - 2 + 2/Bi], dove Bi=hR/k è il numero di Biot.

Dunque la temperatura massima è:

Tmax = T(0) = T0 + (SR2)/(6k) [1 + 2/Bi].

Si noti che per Bi>>1, Tmax-T0 = (SR2)/(6k) e dunque è indipendente ha h, mentre dipende da R

2.

Invece, per Bi<<1, Tmax-T0 = (SR)/(3h) e dunque è indipendente da k e dipende da R. Il flusso si

calcola facilmente come JQ = -k(dT/dr)R = SR / 3. Ovviamente, allo stazionario, il prodotto del

flusso JQ per l’area 4R2 deve essere uguale al calore prodotto, S(4R

3/3), e dunque JQ risulta

indipendente da h, cioè da quanto efficacemente il calore viene disperso.

3.

Da un bilancio molare sul nucleo otteniamo: A

S

A NdtdRc / , dove cAS è la concentrazione del

sale solido nel nucleo, mentre NA è il flusso di sale che raggiunge l'interfaccia nucleo-soluzione

relativo alla velocità di crescita dR/dt. Supponendo che il sale in soluzione sia diluito (cioè xA<<1),

NA si può approssimare come uguale al flusso assoluto (vedi libro di testo, par. 15.2) e dunque,

nell'ipotesi di quasi stazionarietà, NA = D (c)/R, dove c = c - csat, mentre D è la diffusività del

sale in acqua. Integrando si ottiene:

R2 - Ri

2 = 2D (c/cA

S) t e dunque il tempo necessario perché il raggio raddoppi è:

t2 = (3Ri2)/(2D) (cA

S/c).

L'ipotesi di quasi stazionarietà è valida quando t2>>tss=Ri2/D, cioè quando cA

S >> c.


Appello del 07 Giugno 2004





appelli successivi.

1) (10 punti) Si consideri il sistema della figura qui accanto, in cui

l’acqua di un serbatoio (di altezza HR=10 cm e diametro DR =

50 cm) viene convogliata, tramite un tubo a gomito, in un

capillare, da cui fuoriesce con velocità v3 = 30 m/s . I 3 tubi

hanno diametri D1 = D2 = 1 cm, D3 = 3 mm e lunghezze L1 = L2

=0.2 m, L3 =6 cm. Si calcoli la pressione p che deve essere

esercitata sull’acqua del serbatoio. Si tratta di una pressione

assoluta o relativa e, se relativa, relativa a che cosa?

Dati: le perdite di carico localizzate si calcolano assumendo: hf = k

v2/2, dove v è la velocità a valle, mentre a) nel gomito kg=0.16; b)

nelle contrazioni kc = 0.45 (1-), dove =(area piccola) / (area

grande). Le perdite di carico distribuite si calcolano usando: hf = 2 f (L/D) v2, dove f = 0.0791 /

Re1/4

.

2) (10 punti) Si consideri una parete di spessore L e conducibilità termica k. Da un lato, per z=0, la

parete è isolata, mentre dall'altro, per z=L, scambia calore con un fluido refrigerante a

temperatura T0, con coefficiente di scambio termico h. Sapendo che nella parete si genera una

quantità di calore S per unità di volume,

a) si scriva l’equazione del calore e condizioni al contorno allo stazionario in forma

adimensionale, con = (T-T0)/(SL2/k).

b) Supponendo che lo scambio di calore con il fluido refrigerante sia molto efficiente (cosa

vuol dire, in termini di numeri adimensionali?) si trovi T(z=0).

3) Una fibra di carbonio, di forma cilindrica (raggio R e lunghezza L>>R) brucia, investita da

un flusso d'aria con velocità U. Si valuti il tempo necessario alla combustione, supponendo

che il raggio iniziale sia Ro e che il coefficiente di scambio massico dell'ossigeno sia km =

(D/R) Sh, dove Sh = a Re1/2

Sc1/3

è il numero di Sherwood, Re = UR/ il numero di

Reynolds (e Sc cos'è?) e a è una costante nota.

p

L1,D1

L2,D2

L3,D3

v3

HR,D3


Correzione del compito di esame dell’appello del 07 Giugno 2004

1. Equazione di Bernoulli:

(v12 – v2

2) / 2 + g(z1 – z2) + (p1 – p2) / = hf.

Scegliamo le due superfici di controllo 1 e 2 come il pelo dell’acqua e l’uscita del capillare.

Qui p1-p2 = p, pari alla pressione relativa dell’aria nel serbatoio, rispetto alla pressione

atmosferica. Inoltre, z1-z2 =0.3 m, v1 = 0 e v2 = v3 = 30 m/s, mentre =103 kg/m

3.

Il termine hf e’ uguale alla somma di tre termini con le perdite di carico distribuite, più il termine

concentrato nel gomito, più le due contrazioni. Queste ultime sono la contrazione serbatoio-D1, con

0 e quella D2-D3, con = D32/D2

2 = 0.09. Inoltre vi = v2 = v3 D3

2/D2

2 = 2.7 m/s, da cui Re1=

Re2=2.7 104 e f1 = f2 = 0.006, mentre Re3=9 10

4 e f3 = 0.0045. In totale:

hf = (2L1/D1)v12 + (2L2/D2)v2

2+ (2L3/D3)v3

2 + kg v1

2/2 + 0.45 v1

2/2 + 0.45 (1-0.09) v3

2/2=

1.74 + 1.74 + 163 + 0.6 + 1.6 + 180 = 349

Dunque i due termini di gran lunga più importanti si riferiscono al capillare: le perdite distribuite e

la perdita all’ingresso. L’equazione di Bernoulli ci dà:

(p/) = ½ (30)2 – (9.8)(0.3)+ 349 = 796 m

2/s

2.

Dunque: p = (1000) (796) = 8 105 Pa.

2. Equazione del trasporto di calore:

Sdz

Tdk

2

2

; con B.C.: 00 dz

dT e 0TLThL

dz

dTk

a) In termini adimensionali:

12

2

d

d con B.C. 00

d

d e 11

Bi

d

d

,

dove = (T-T0)/(SL2/k), = r/L e Bi = hL / k.

b) Quando Bi >> 1, la seconda condizione al contorno diventa: T(L)=T0, cioè 01 .

Soluzione: d/d = - + A e = --2/2 + A + B. Dalle B.C.: A = 0 e B = 1/2. Dunque:

T(0) = T0 + SL2/2k

3) Da un bilancio molare sul carbonio, considerando che il flusso di carbonio C è equimolare

con quello di ossigeno A, otteniamo:

AMA

S

C ckNdtdRc / , dove cCS e cA

sono,

rispettivamente, la concentrazione di carbonio (solido) nella particella e quella di ossigeno al

di fuori dello strato limite molare.

Poiché Re>>1 e Sc>>1, si ha: 2/16/1

2/13/23/12/11

R

UDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,

da cui, integrando dtc

cUDadRR

S

C

A

6/1

2/13/22/1

, tra t=0, quando R=R0 e t=, quando R=0,

A

S

C

c

c

UD

R

a 2/13/2

6/12/3

0

3

2 .



massico, M R0/kM. Dunque: 110

S

C

A

M

Mss

A

S

C

M c

c

Shkc

c

k

R .







appelli successivi.

1. (10 punti) Si vuole far circolare 1 lt/s di acqua a

20C tra i serbatoi aperti 1 e 2 (vedi figura), pompando il

liquido tra il serbatoio 1 e quello 2 e usando due tubi

identici lunghi L = 10 m e con diametro D = 4 cm.

Assumendo che il sistema sia a regime, si determini:

a) la differenza H=H2-H1 tra i livelli dell’acqua nei

due serbatoi;

b) la potenza della pompa.

2. (10 punti) Una sferetta di raggio R = 1 cm composta da una lega di rame (ks = 400 W/ms; s =

104 kg/m

3; cs = 400 J / kgK) e avente temperatura iniziale Ti, viene immersa nell’acqua (k = 0.6

W/ms; = 103 kg/m

3; cs = 4.2 10

3 J / kgK; = 10

-3 kg/ms)) di un calorimetro, avente volume V

molto maggiore di quello della sferetta e temperatura T0, con Ti>T0).

a. Supponendo che l’acqua si muova con velocità di circa 1 cm/s, si valuti l’ordine di

grandezza del coefficiente di scambio termico h tra l’acqua e la sferetta. (3 punti)

b. Supponendo che h = 103 W/m

2K, si valuti il tempo caratteristico con cui si raffredda la

sferetta. Si può applicare l’approssimazione di quasi stazionarietà? (4 punti)

c. Se la sferetta fosse una patata (ks = 0.1 W/ms; s = 103 kg/m

3; cs = 10

3 J / kgK), quanto

sarebbe , all’incirca? (3 punti)

3. (10 punti) Alla superficie z = 0 di particelle catalitiche ha luogo una reazione di

polimerizzazione 2AA2. Supponiamo che sia A che B=A2 siano dei gas e che attorno alla

particella vi sia un film di gas stagnante di spessore , al di fuori della quale il monomero A sia

mantenuto con una frazione molare xA0 costante. Si calcoli il flusso di A, supponendo che la velocità

di reazione sia molto elevata, così da poter assumere che A reagisce non appena arriva alla parete;

inoltre, sia molto minore delle dimensioni lineari della particella, così che la geometria del

problema si possa considerare come piana.

P

H1 H2



1. Le equazioni di Bernoulli applicate ai due condotti sono le seguenti:

wp - gH = hf ,

gH = hf

dove hf = 2 (L/D) f v2, con f = 0.0791 / Re

1/4; Re = vD/ e v = (4V)/(D

2).

Otteniamo: v = 0.8 m/s, Re = 32. 103, f = 0.06; hf = 1.91 m

2/s

2.

a) Dalla seconda equazione otteniamo: H = hf/g = 0.2 m.

b) Dalla prima equazione otteniamo: wp = 2gH = 3.8 m2/s

2, e dunque la potenza della pompa

è Wp = V wp = 3.8 W.

2. a) h = Nu k / R. Il numero di Nusselt, Nu, dipende dai numeri di Reynolds, Re, e di Prandtl,

Pr. Qui, Re = vR/ = 1 cm/s 1 cm / 0.01 cm2/s = 100, mentre Pr = / = 7 ( = k/c = 0.14 10

-2)

e dunque Nu ~ Re1/2

Pr1/3

~ 20. Dunque h = 20 0.6 W/ms / 10-2

m ~ 103 W/m

2K.

b) Dal bilancio Vscs dTs/dt = -hS (Ts-T0), si valuta:

(scsV)/(Sh) scsR/h 104 Kg/m

3 400 W/mK 10

-2 m / 10

3 W/m

2K = 40s.

La appross. di Q.S. si può applicare perchè Bi = h R / ks ~ 0.025. Oppure,

ss = R2 / s = 1 cm

2 / 1 cm

2/s = 1 s << 40 s = .

c) Qui Bi = h R / ks ~ 100: Dunque . = ss = R2 / s = 1 cm

2 / 10

-3 cm

2/s = 10

3 s ~ 15 min.

3. Un bilancio molare dà NA = costante e NB = costante. NB alla parete (e dunque ovunque,

perché NB è costante) non è zero: per ogni 2 moli di A che arrivano, ce ne è una di B che se ne va.

Dunque:

AAB NNn

N21

1 . ` (14.2.1)

Di conseguenza otteniamo:

.2

1*

c

NNN

cv A

BA . (14.2.2)

A questo punto il flusso di A è il seguente:

1

212

1*

1K

dz

dx

x

cDN

dz

dxcDNx

dz

dxcDvcN A

A

AA

AAA

AA

. (14.2.3)

Integrando tra 0 e con le condizioni al contorno seguenti:

0 e 00 AAA xzxzx , (14.2.4)

otteniamo:

21ln2 0AA

xcDN

. (14.2.5)

Si noti che quando il flusso molare tende a zero.







appelli successivi.

1. (10 punti) Si vuol pompare 20 Kg/s di acqua

(a temperatura ambiente) tra i due serbatoi in figura

posti a 10 metri di altezza l'uno rispetto all’altro (vedi

figura, dove L è la lunghezza complessiva dei tubi e

D il diametro). Si calcoli potenza della pompa

necessaria, assumendo un'efficienza del 70%,

evidenziando il contributo di energia potenziale e

attrito.

2. (10 punti) Si consideri una piastra di spessore L e conducibilità termica k. La parete z=0 è

tenuta a temperatura T0, mentre la parete z=L è tenuta a temperatura 2T0. Inoltre, nella

piastra c'è una generazione uniforme di calore 2

0 / LkTq (in watt/m3). Si calcoli il flusso

uscente (o entrante) dalle due pareti.. Si può risolvere il problema utilizzando il principio di

sovrapposizione? Se si, indicare come si fa.

3. (10 punti) In una soluzione composta da una lega binaria A+B si sta formando un nucleo

sferico di puro B. La soluzione è stagnante, diluita in A e dunque il moto di A e B avviene

solo per via diffusiva. Detto R il raggio del nucleo, sappiamo che per r>>R la

concentrazione di A è costante e uguale a cA, mentre alla superficie del nucleo, per r=R, la

concentrazione dipende dal raggio R in accordo con l’equazione di Kelvin, R

ccc

S

BA

R

A

,

dove è una costante che indica una tipica distanza intermolecolare, mentre S

Bc è la

concentrazione di B nel nucleo. a) Partendo da un bilancio di massa sul nucleo di B e

considerando che BA cc costante, si mostri che il raggio del nucleo cresce come 3/1t .

b) Si determini quando si può applicare l’approssimazione di quasi stazionarietà. NOTA 1:

Allo stazionario il profilo di concentrazione attorno ad una sfera è del tipo c(r) = K1 + K2/r,

dove K1 e K2 sono due costanti da determinare in base alle condizioni ad contorno. NOTA

2: si supponga che inizialmente 0)0( 0 RtR .

10 m

WD = 100 mm

L = 100 m



1. Prendendo come sezioni di riferimento i peli liberi dei due serbatoi e applicando l’equazione

di Bernoulli otteniamo:

(v12 – v2

2) / 2 + g(z1 – z2) + (p1 – p2) / + wp = hf,

e la potenza della pompa è pwmW . Qui v1 = v2, p1 = p2 , per cui wp = gz + hf . In questa

espressione, gz = 98 m2/s

2, mentre hf = 2 f (L/D) v

2, dove f = 0.0791 / Re

1/4, mentre

smDmv /55.2)/(4 2 . Dunque Re = vD/ = 2.55 105 , f = 3.5 10

-3 e hf = 45.5 m

2/s

2. Da

qui vediamo che il contributo dell'energia potenziale alla potenza della pompa è circa il doppio di

quello dell’attrito. Concludendo: wp = 205 m2/s

2 e dunque W = 4.1 KW.

2. Il principio di sovrapposizione si può applicare perché il problema è lineare. I flussi dovuti

alle temperature imposte alle pareti sono JU (0) = JU (L) = -kT0/L. I flussi dovuti alla generazione

di calore si trovano da un bilancio globale: SJSLq U2 , dove qui JU è il flusso uscente (negativo

in z=0 e positivo in z=L). Dunque JU (0) = -kT0/2L e JU (L) = kT0/2L Dunque, in totale, JU (0) = -

3kT0/2L, mentre JU (L) = -kT0/2L .

In alternativa, risolvendo 2

0

22 /// LTkqdzTd , con T(0) = T0 e T(L) = 2T0, si ottiene:

][)(2

21

0 BATzTLz

Lz , con B=1 e A=3/2. Da qui, si trova il risultato visto sopra.

3. a) Da un bilancio molare sul nucleo di B otteniamo: RcDNNdtdRc AAB

S

B // ,

dove NA è il flusso uscente di A, di natura diffusiva, mentre Rcccc S

BA

R

AA / . Dunque

otteniamo: dtDdRR 2 e tDR 33 . b) La condizione di quasi stazionarietà si può applicare

quando DRDRss // 32 , cioè quando R .


Appello Straordinario del 07 Aprile 2011





appelli successivi.

1. (10 punti) Il serbatoio cilindrico di raggio R (vedi

figura) è inizialmente riempito con un fluido di

viscosità e si svuota attraverso un tubo circolare di

raggio r<<R. Supponendo flusso laminare nel tubo e

trascurando le perdite concentrate e il termine cinetico,

si determini il tempo necessario per svuotare il

serbatoio (non il tubo).

2. (10 punti) Gli enteropneusti sono dei vermi marini, di

forma cilindrica. Il loro corpo può essere

schematizzato come composto di una materiale

omogeneo, con conducibilità termica di 1 W/mK e

quando si muovono dissipano una quantità di energia

di circa 1 W/cm3. Vivono sui fondali marini, vicino a

riva, in acque con temperature di circa 15C.

Supponendo che la temperatura massima raggiungibile

dal loro corpo sia di 40C, si determini il loro raggio massimo.

3. (10 punti) Una pasticca si consuma mentre discende, lentamente, nell’intestino. Dopo

aver valutato (a meno di una costante) il coefficiente di scambio massico, supponendo

che Re<<1 e Pe>>1, a) si valuti il tempo necessario alla digestione di una sferetta di

raggio iniziale R0 e b) si indichi quando si può applicare la condizione di quasi

stazionarietà.

H0

L

2R

2r

H


Correzione del compito di esame dell’appello straordinario del 07 Aprile 2011

1. Prendendo come sezioni di riferimento il pelo libero del serbatoio e l’uscita del tubo,

entrambe a pressione atmosferica, applicando l’equazione di Bernoulli otteniamo:

g(L+H) = hf = 2 f (L/D) v2 , dove f = 16 / Re = 16/vD, dove D = 2r.

Dunque, v = R2g (H+L) / (8L).

Da un bilancio di massa si trova: R2 dH/dt = - r

2v, cioè dH/(H+L) = - (r

4g) / (8LR

2) dt.

Integrando con H(0) = H0 e H(t) = 0 troviamo:

t = (8LR2) / (r

4g) ln(1 + (H/L)).

2. k

RqT

4

2

max

(vedi par. 9.1.2). 224

36

2 110/10

25/144cmm

mW

KmKW

q

TkR

Dunque il raggio massimo è di 1 cm.

3. a) Come nei problemi degli appelli precedenti, otteniamo: ckNdtdRc MA

S

P / , dove cPS è la

concentrazione nella pasticca della sostanza A che diffonde e c è la differenza di concentrazione di A a cavallo dello

strato limite massico. Dunque c = cPL-cP, dove cP

L è la concentrazione di A alla parete, a contatto con la pasticca (in

genere, il rapporto di partizione cPL/cP

S dipende dalla solubilità di A), mentre cP è la concentrazione di A nel corpo e

dunque cP=0. Sappiamo che Re < 1 e Pe >> 1 e dunque:

3/2

3/13/23/1

R

UDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,


cUaDdRR

S

A

A

3/13/23/2,

tra t=0, quando R=R0 e t=, quando R=0, otteniamo:

A

S

A

c

c

UD

R

a 3/13/2

3/5

0

5

3 .

b) La condizione di quasi stazionarietà è soddisfatta quando è molto maggiore del tempo necessario per raggiungere

lo stato stazionario, ss M2/D M/kM dove M è lo spessore dello strato limite massico, M R0/Sh. Dunque:

110

A

S

A

M

Mss

A

S

A

M c

c

Shkc

c

k

R .


Appello del 05 Maggio 2011





appelli successivi.

1. (10 punti) Si consideri il sistema della figura, costituito da un

serbatoio cilindrico di sezione S, inizialmente riempito d'acqua

per un'altezza uguale a h0. Il serbatoio scarica attraverso un tubo

verticale di diametro d e lunghezza H e viene alimentato con

acqua avente una portata pari all' 80% di quella in uscita dal

tubo verticale. a) Si determini (senza risolverla) l'equazione che

consente di determinare la velocità dell'acqua u in uscita

[perdite concentrate: k=0.45(1-), dove è il rapporto tra l'area

del tubo e quella della sezione del serbatoio]; b) si risolva

l'equazione precedente per moto laminare, determinando la

velocità del fluido in uscita u nell'ipotesi che h<<H e che si le perdite per attrito siano quelle

dominanti (cioè si trascurino le perdite concentrate e quelle cinetiche); c) si determini il tempo

di svuotamento . Come varia se si raddoppia h0 o se si raddoppia d?


(g è l’accelerazione di gravità e

R il raggio) in una atmosfera di aria secca. Facendo tutte le ipotesi necessarie, si valuti il tempo

necessario all’evaporazione di una gocciolina con raggio iniziale R0. [si ricordi che il

coefficiente di scambio massico kM è uguale a D Sh/R, dove D è la diffusività (di che cosa e in

una atmosfera composta da che cosa?), R è il raggio (che diminuisce nel tempo) e Sh è il

numero di Sherwood, definito in base al raggio.]

3. (10 punti) Due fluidi newtoniani con viscosità e

2 scorrono in un canale orizzontale (dunque con

pressione costante), in cui una parete è ferma mentre

l'altra viene tenuta in movimento con velocità V (vedi

figura). Si determini la forza per unità di superficie

necessaria a mantenere in moto la parete superiore.

H

u

h

V

V=0

2H/2

H/2


Correzione del compito di esame dell’appello del 24 giugno 2006

1. a) Prendendo come sezioni di riferimento il pelo libero del serbatoio e applicando

l’equazione di Bernoulli otteniamo:

g (h+H) = ( 4fH/d + k + 1) u2/2,

dove k=0.45(1-) e =d2/D

2.

b) Nelle ipotesi considerate, f=16/Re, con Re=ud/ e fH/d>>1. Dunque,

gH = 4 (16/ud) (H/d) u2/2, da cui: u = gd

2 / 32. Nota: u non dipende da H.

c) Da un bilancio di massa otteniamo: dV/dt = S dh/dt = - 0.2 u( d2/4), con h(t=0) = h0.

Dunque: ts = (160 / ) (Sh0/gd4).

2. Da un bilancio molare sulla gocciolina otteniamo: V

AMA

L






4/13/23/12/11

R

gDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,


cgDadRR

L

A

V

A

6/1

4/13/24/1


A

L

A

c

c

gD

R

a 4/13/2

6/14/5

0

5

4 .




L

A

V

A

M

MssV

A

L

A

M c

c

Shkc

c

k

R .

3) La forza per unità di superficie è lo sforzo di taglio alla parete, w. Da un bilancio di forze si

vede che =w=cost.. e dunque il profilo di velocità è lineare, con pendenza diversa nelle due

regioni. Infatti: w = dv1/dy = 2 dv2/dy, dove i pedici 1 e 2 si riferiscono alla parte inferiore e

superiore del condotto. Da qui si trova che le velocità per y=H/2 e y=H sono v(H/2) = (w/)(H/2) e

v(H) = v(H/2) + (w/2)(H/2) = (3H/2) (w/). Dunque, poiché v(H) = V, troviamo: w = (4/3)

V/H.


Appello del 27 Giugno 2011





appelli successivi.


dispositivo rappresentato in figura, in cui tutti i tratti di tubo

(1-2, 2-3, 2-4 e 3-5) hanno sezione circolare di diametro D e

lunghezza L e 2L. Si noti che i tratti 1-2 e 2-3 sono

orizzontali mentre quelli 2-4 e 3-5 sono verticali. Le



ingresso (cioè nel tratto 1-2) sia uguale a 1 m/s, si determini

il rapporto tra le portate volumetriche nei tratti 3-5 e 2-4.

(Le perdite per attrito in un tubo circolare di diametro D e

lungo L sono uguali a (2L/D) f v2, dove e v sono la densità e la velocità media del fluido, mentre

f = 0.079/Re1/4

, con Re uguale al numero di Reynolds.)

2. (10 punti) Si abbiano due serbatoi chiusi di volume V1=V e V2=V, separati da una membrana

porosa di spessore d, sezione S e porosità , contenenti una miscela A-B ben miscelata. Il

componente A abbia inizialmente una frazione molare xA0(1)

nel volume V1 maggiore di

quella, xA0(2)

, nel volume V2. Supponendo di misurare le concentrazioni xA(1)

e xA(2)

nei due

volumi ad un certo istante t, si determini una espressione della diffusività D in funzione di

quantità note.


(g è l’accelerazione di

gravità e R il raggio) in una atmosfera di aria secca. Facendo tutte le ipotesi necessarie, si

valuti il tempo necessario all’evaporazione di una gocciolina con raggio iniziale R0. [si

ricordi che il coefficiente di scambio massico kM è uguale a D Sh/R, dove D è la diffusività

(di che cosa e in una atmosfera composta da che cosa?), R è il raggio (che diminuisce nel

tempo) e Sh è il numero di Sherwood, definito in base al raggio.]

1

2 3

4 5

L L

2L D


Correzione del compito di esame dell’appello del 27 Giugno 2011

1) Siamo in regime turbolento (Re = 104) e dunque, in genere, le perdite per attrito sono dello

stesso ordine di quelle idrostatiche. Le equazioni sono le seguenti:

p1 – p2 = Cv127/4

; C = 0.158 1/4 L / D

5/4

p2 – p4 = 2Cv247/4

+ gL

p2 – p5 = 3Cv257/4

+ gL

v12 = v24 + v25.


2v247/4

= 3 v257/4

, cioè v24 = 1.26 v25.


2) Questo esercizio è stato svolto in classe. Da un bilancio molare sui due volumi otteniamo:

d/dt(cA1V) = -NA1 S e d/dt(cA2V) = -NA2 S, dove N1A = -N2A = -cD dxA/dz = D (cA1-cA2)/d, dove

abbiamo supposto che il processo sia quasi stazionario. Sottraendo le due equazioni otteniamo:

dc/dt = - (2SD/Vd)c, dove c=cA1-cA2, da cui: ln(c/c0) = -2SDt/Vd. Dunque: D =

ln(c0/c)Vd / (2St). L’ipotesi di quasi stazionarietà è soddisfatta quando il tempo necessario per

raggiungere uno stato stazionario, 1 d2/D, è molto minore di quello caratteristico del

cambiamento di cA, 2 cAV/(NAS) Vd/(DS) e dunque quando d<<V/S.

3) Da un bilancio molare sulla gocciolina otteniamo: V

AMA

L






4/13/23/12/11

R

gDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,


cgDadRR

L

A

V

A

6/1

4/13/24/1


A

L

A

c

c

gD

R

a 4/13/2

6/14/5

0

5

4 .




L

A

V

A

M

MssV

A

L

A

M c

c

Shkc

c

k

R .


Appello del 15 Luglio 2011





appelli successivi.

1. (10 punti) Un fluido molto viscoso viene

pompato nel dispositivo in figura, con una

portata volumetrica V2 data, in modo da

sostenere il peso Mg di una lastra. Si determini

lo spessore H:

a. per flussi laminari. (si supponga che 2

1 // HvCLP , dove v è la velocità

media)

b. Per flussi turbolenti. (si supponga che

HvCLP // 2

2 ).

2. Un cubo di lato L è diviso in due parti, costituite da materiali con conducibilità termica k

e 10k. Si calcoli la potenze termica (cioè il calore per unità di tempo) che passa

attraverso il cubo quando si applica una differenza di temperatura T a) in serie e b) in

parallelo.

3. (10 punti) Si abbiano due serbatoi di uguale volume V,

separati da una membrana porosa di sezione S=V/L, porosità e

spessore (vedi figura a fianco). I due serbatoi sono

perfettamente miscelati e contengono una miscela A-B; la frazione

molare di A, inizialmente, sia xA10 e xA20 < xA10 , rispettivamente.

Vogliamo determinare come la differenza tra le frazioni molari xA1

e xA2 vari nel tempo, in modo da poter determinare il coefficiente

di diffusione D.

V,

xA1

V,

xA2

Figura 15.1.1

LL

2B

2H

L

M

Figura 4.2P

pa

p0

p0

pa

H<<L,W

W

H

L

W


Correzione del compito di esame dell’appello del 15 Luglio 2011

1. In generale, la forza verso l’alto esercitata dal fluido su un elementino di area Wdz della

piastra è uguale a pWdz. Questa forza deve bilanciare il peso della piastra più l’effetto della

pressione atmosferica e dunque, considerando che p decresce linearmente con z, otteniamo:

PWLpWLdzzpWMg

L

~2~2

0

.

a) 3

2

121

2 1

H

VLC

HHW

VCWLPWLMg

, da cui: 3

2

1

Mg

VLCH

.

b) WH

VLC

HHW

VCWLPWLMg

3

22

2

2

2

2 1

, da cui: 3

22

2

MgW

VLCH

.

2. a) Q = k (T1/L/2) L2 = 10 k (T2/L/2) L

2, con T1+ T2 = T. Dunque:

T1 = (10/11) T e Q = (20/11) kL T.

b) Q1 = k (T/L) (L2/2) e Q2 = 10k (T/L) (L

2/2), con Q = Q1 + Q2. Dunque:

Q = (11/2) kL T.

3. Procedendo come nel paragrafo 15.1, otteniamo:

2 /00

2ln 2 eqt

eq

x D tt x x e

x L

; eq

A

cV L

N S D

.





Il tempo impiegato non deve superare le 2 ore.


appelli successivi.

1. Un fluido viene pompato nel dispositivo rappresentato in figura 1, in cui tutti i tratti di tubo

(1-2, 2-3, 2-4 e 3-5) hanno sezione circolare di diametro D e lunghezza L. Si noti che i tratti

1-2 e 2-3 sono orizzontali mentre quelli 2-4 e 3-5 sono verticali. Le pressioni p4 e p5 sono

uguali alla pressione atmosferica. Supponendo che il fluido abbia viscosità = 10 Poise e

densità = 1 g/cm3, con L = 1 m e D = 1 cm, e

che la portata volumetrica in ingresso (cioè nel

tratto 1-2) sia uguale a 10-3

m3/s, si determini:

a) Le equazioni che consentono di determinare l;e perdite

di carico e le portate (5 punti).

b) il rapporto tra le portate volumetriche nei tratti 3-5 e

2-4 (5 punti).

c) la pressione di ingresso p1 (5 punti).

d) Ora, supponendo di usare lo stesso dispositivo (cioè

stessi L e D) per pompare acqua a 20C con la stessa

portata volumetrica di 10-3

m3/s, scrivere le equazioni che ci consentono di determinare la

pressione in ingresso, evidenziando le differenze rispetto al caso precedente (5 punti).

2. Si consideri l’esperimento seguente, volto a misurare la diffusività D di A in B, dove A e B

sono entrambi dei gas che possiamo assumere

ideali. In un tubo capillare di lunghezza L,

l’estremità z=0 viene posta a contatto con un

grosso serbatoio contenente A puro, mentre

l’altra estremità, z=L, viene chiusa con un

catalizzatore, sul quale ha luogo la reazione

irreversibile (cioè molto rapida) A2B con

costante di equilibrio K = cB2/cA (vedi figura

2). A questo punto, si determini la dipendenza

di D dal flusso NA (che si suppone

misurabile), pressione P e temperatura T (10 punti).

1

2 3

4 5

L L

LD

Figura 1

L

xA=1A2B

Figura 2



1. Anzitutto notiamo che, poichè Re100, siamo ampiamente in regime laminare. Inoltre, le

perdite di carico idrostatiche, gL104Pa, sono molto minori di quelle per attrito. Queste sono pari,

indicativamente, a 2(L/D)fv2, dove f=16/Re, in cui Re=v12D/ e v12=(4V)/(D

2), dunque uguali a

circa 3 105 Pa.

Applicando Bernoulli tra 1 e 2, 2 e 4 e 2 e 5, otteniamo:

p1 – p2 = Cv12; C = 32 L / D2)

p2 – p4 = Cv24 + gL

p2 – p5 = 2Cv25 + gL

v12 = v24 + v25.

(l’ultima equazione esprime la conservazione della massa al nodo 2). Considerando che p4 = p5 =

patm e3 che v12 è noto, abbiamo 4 incognite (p1, p2, v24 e v25) e 4 equazioni; dunque il problema è ben

posto.

a) Dalle ultime tre equazioni otteniamo:

v24 = 2 v25 = (2/3) v12, dove v12 =(4V)/(D2) = 12.7 m/s.

b) Dalle prime due equazioni otteniamo, trascurando la pressione idrostatica:

p1 – pa = (5/3) C v12 = (160 L v12 / 3 D2) = 6.8 10

5 Pa.

c) Adesso il numero di Reynolds è circa 1000 volte maggiore, e dunque siamo in regime

turbolento. Inoltre, le perdite per attrito sono dello stesso ordine di quelle idrostatiche, poichè,

rispetto al caso precedente, f è 100 volte più piccolo. Le equazioni si modificano nel modo

seguente:

p1 – p2 = Cv127/4

; C = 32 L / D2)

p2 – p4 = Cv247/4

+ gL

p2 – p5 = 2Cv257/4

+ gL

v12 = v24 + v25.


v247/4

= 2 v257/4

, cioè v24 = 1.48 v25.

2. In questo caso, NB = -2NA e dunque otteniamo (vedi equazione (14.2.3) con =-1):

NA = - [cD/(1+xA)] dxA/dz = cost., con: xA(z=0) = 1 e xA(z=L) = xAL, dove xAL si determina

conoscendo la costante di equilibrio, come vediamo in seguito.

Integrando l’equazione appena scritta tra z=0 e z=l, otteniamo:

AL

A

x

A

A

L

A

xL

cDNdx

xdz

cD

N AL

1

2ln

1

1

10

A questo punto, non resta che determinare xAL. Da:

K = cB2(L) / cA(L) = c(1-xAL)

2/xAL,

vediamo che xAL soddisfa la seguente equazione algebrica di secondo grado:

xAL2 – 2kxAL + 1 = 0, dove k = 1+K/2c > 1 è una costante nota.

Dunque si ottiene:

xAL = k - (k2-1)

(si noti che abbiamo scartato l’altra soluzione perché risulta maggiore di 1).


Appello del 15 Settembre 2011





appelli successivi.


dispositivo rappresentato in figura, in cui tutti i tratti di

tubo (1-2, 2-3, 2-4 e 3-5) hanno sezione circolare di

diametro D e lunghezza L. Si noti che i tratti 1-2 e 2-3




ingresso (cioè nel tratto 1-2) sia uguale a 1 m/s, si

determini il rapporto tra le portate volumetriche nei tratti 3-5 e 2-4.

(Le perdite per attrito in un tubo circolare di diametro D e lungo L sono uguali a (2L/D) f v2, dove

e v sono la densità e la velocità media del fluido, mentre f = 0.079/Re1/4

, con Re uguale al numero

di Reynolds.)

2. (10 punti) Si consideri un elemento di combustibile nucleare di forma sferica con raggio R, con

una densità di potenza termica S. La sfera è raffreddata da un fluido mantenuto a temperatura

T0, con cui scambia calore con coefficiente di scambio termico h. Si determini il flusso di

calore uscente dalla sfera (perché non dipende da k?) e la temperatura massima raggiunta

all'interno della sfera. Si esaminino i casi limite per numero di Biot molto grande o molto

piccolo.

3. (10 punti) Un nucleo sferico di sale (A) sta sospeso in una soluzione sovrassatura di acqua (B) e

sale. Ciò significa che la concentrazione di sale nella soluzione lontano dal nucleo è uguale a c

> csat, dove csat è la concentrazione di saturazione, uguale a quella della soluzione a contatto con

il nucleo. Detto Ri il raggio iniziale del nucleo, si calcoli il tempo impiegato dal nucleo per

raddoppiare il suo raggio, supponendo che il flusso sia esclusivamente diffusivo. Si enuncino

chiaramente tutte le ipotesi del caso.

1

2 3

4 5

L L

LD


Correzione del compito di esame dell’appello del 15 Settembre 2011

1.

Siamo in regime turbolento (Re = 104) e dunque, in genere, le perdite per attrito sono dello stesso

ordine di quelle idrostatiche. Le equazioni sono le seguenti:

p1 – p2 = Cv127/4

; C = 0.158 1/4 L / D

5/4

p2 – p4 = Cv247/4

+ gL

p2 – p5 = 2Cv257/4

+ gL

v12 = v24 + v25.


v247/4

= 2 v257/4

, cioè v24 = 1.48 v25.


2.

Procedendo come nel paragrafo 9.1.3, troviamo il flusso J = Sr/3 e la distribuzione di temperatura

() = -2/6 + C, dove e sono definiti in 8.3.2 e C è una costante. Dalla condizione al contorno

J(R)=h[T(R)-T0], otteniamo: () = (1/6) [1 - 2 + 2/Bi], dove Bi=hR/k è il numero di Biot.

Dunque la temperatura massima è:

Tmax = T(0) = T0 + (SR2)/(6k) [1 + 2/Bi].

Si noti che per Bi>>1, Tmax-T0 = (SR2)/(6k) e dunque è indipendente ha h, mentre dipende da R

2.

Invece, per Bi<<1, Tmax-T0 = (SR)/(3h) e dunque è indipendente da k e dipende da R. Il flusso si

calcola facilmente come JQ = -k(dT/dr)R = SR / 3. Ovviamente, allo stazionario, il prodotto del

flusso JQ per l’area 4R2 deve essere uguale al calore prodotto, S(4R

3/3), e dunque JQ risulta

indipendente da h, cioè da quanto efficacemente il calore viene disperso.

3.

Da un bilancio molare sul nucleo otteniamo: A

S

A NdtdRc / , dove cAS è la concentrazione del

sale solido nel nucleo, mentre NA è il flusso di sale che raggiunge l'interfaccia nucleo-soluzione

relativo alla velocità di crescita dR/dt. Supponendo che il sale in soluzione sia diluito (cioè xA<<1),

NA si può approssimare come uguale al flusso assoluto (vedi libro di testo, par. 15.2) e dunque,

nell'ipotesi di quasi stazionarietà, NA = D (c)/R, dove c = c - csat, mentre D è la diffusività del

sale in acqua. Integrando si ottiene:

R2 - Ri

2 = 2D (c/cA

S) t e dunque il tempo necessario perché il raggio raddoppi è:

t2 = (3Ri2)/(2D) (cA

S/c).

L'ipotesi di quasi stazionarietà è valida quando t2>>tss=Ri2/D, cioè quando cA

S >> c.


Appello del 16 Novembre 2011





appelli successivi.

1. (10 punti) Un fluido molto viscoso viene pompato nel dispositivo in figura, con una portata

volumetrica V2 data, in modo da sostenere il peso Mg di una lastra. Si determini lo

spessore H:


1 // HvCLP , dove v è la velocità media)

b. Per flussi turbolenti. (si supponga che HvCLP // 2

2 ).

2. (10 punti) Si consideri una piastra di spessore L e conducibilità termica k. Da un lato, per

z=0, la parete è isolata, mentre dall'altro, per z=L, scambia calore con un fluido

refrigerante a temperatura T0, con coefficiente di scambio termico h. Sapendo che nella

parete si genera una quantità di calore S per unità di volume, si trovi T(z=0). Qual è il

numero adimensionale che indica l’efficienza del fluido refrigerante?

3. (10 punti) Si abbiano due serbatoi di uguale volume V, separati da una membrana porosa di

sezione S=V/L, porosità e spessore (vedi figura a fianco). I due

serbatoi sono perfettamente miscelati e contengono una miscela A-

B; la frazione molare di A, inizialmente, sia xA10 e xA20 < xA10 ,

rispettivamente. Vogliamo determinare come la differenza tra le

frazioni molari xA1 e xA2 vari nel tempo, in modo da poter

determinare il coefficiente di diffusione D.

2B

2H

L

M

Figura 4.2P

pa

p0

p0

pa

H<<B,W

W

H

L

W

V,

xA1

V,

xA2

Figura 15.1.1

LL


Correzione del compito di esame dell’appello del 16 Novembre 2011




PWLpWLdzzpWMg

L

~2~2

0

.

a) 3

2

121

2 1

H

VLC

HHW

VCWLPWLMg

, da cui: 3

2

1

Mg

VLCH

.

b) WH

VLC

HHW

VCWLPWLMg

3

22

2

2

2

2 1

, da cui: 3

22

2

MgW

VLCH

.

2. Da un bilancio di energia otteniamo: JU(z) = Sz, dove JU è il flusso uscente e abbiamo

considerato che JU(0) = 0. Quando z=L si ha: JU(L) =h[T(L) – T0], da cui: T(L) = T0 + SL/h.

Quando invece z<L, JU(z) = Sz = - k dT/dz, da cui, integrando tra 0 e L otteniamo:

T(0) = T(L) + SL2/2k = T0 + SL

2/2k ( 1 + 2/Bi), dove Bi = hL/k è il numero di Biot, che

esprime quanto efficacemente il refrigerante raffreddi la parete.


2 /00

2ln 2 eqt

eq

x D tt x x e

x L

;

eq

A

cV L

N S D

.


Appello Straordinario del 17 Gennaio 2012





appelli successivi.





















stazionarietà.

H0

L

2R

2r

H


Correzione del compito di esame dell’appello straordinario del 17 gennaio 2012







4g) / (8LR

2) dt.


t = (8LR2) / (r

4g) ln(1 + (H/L)).

2. k

RqT

4

2

max

(vedi par. 9.1.2). 224

36

2 110/10

25/144cmm

mW

KmKW

q

TkR



S








3/2

3/13/23/1

R

UDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,


cUaDdRR

S

A

A

3/13/23/2,


A

S

A

c

c

UD

R

a 3/13/2

3/5

0

5

3 .



110

A

S

A

M

Mss

A

S

A

M c

c

Shkc

c

k

R .







appelli successivi.


dispositivo rappresentato in figura, in cui tutti i tratti di tubo

(1-2, 2-3, 2-4 e 3-5-6) hanno sezione circolare di diametro

D e lunghezza L (>>D). Si noti che i tratti 1-2, 2-3 e 5-6




ingresso (cioè nel tratto 1-2) sia uguale a 1 m/s, si determini

il rapporto tra le portate volumetriche nei tratti 3-5 e 2-4. (Le perdite per attrito in un tubo circolare

di diametro D e lungo L sono uguali a (2L/D) f v2, dove e v sono la densità e la velocità media

del fluido, mentre f = 0.079/Re1/4

, con Re uguale al numero di Reynolds.)

2. (10 punti) Si abbiano due serbatoi chiusi di volume V1=V e V2=V, separati da una membrana

porosa di spessore d, sezione S e porosità , contenenti una miscela A-B ben miscelata. Il

componente A abbia inizialmente una frazione molare xA0(1)

nel volume V1 maggiore di

quella, xA0(2)

, nel volume V2. Supponendo di misurare le concentrazioni xA(1)

e xA(2)

nei due

volumi ad un certo istante t, si determini una espressione della diffusività D in funzione di

quantità note.

3. (10 punti) Un granello di sale sedimenta in acqua con velocità U = a gR2/doveg è

l’accelerazione di gravità, la viscosità cinematica dell’acqua e R il raggio del granello.

Supponendo che Re 1, facendo tutte le ipotesi necessarie, si valuti il tempo necessario allo

scioglimento di un granello con raggio iniziale R0. [si ricordi che il coefficiente di scambio

massico kM è uguale a D Sh/R, dove D è la diffusività, R è il raggio (che diminuisce nel

tempo) e Sh è il numero di Sherwood, definito in base al raggio.]

1

2 3

4

5

L L

D

L/2

L/2

6



1) Siamo in regime turbolento (Re = 104) e dunque, in genere, le perdite per attrito sono dello

stesso ordine di quelle idrostatiche. Le equazioni sono le seguenti:

p1 – p2 = Cv127/4

; C = 0.158 1/4 L / D

5/4

p2 – p4 = 1/2 Cv247/4

+ gL/2

p2 – p5 = 2Cv257/4

+ gL/2

v12 = v24 + v25.


v247/4

= 4 v257/4

, cioè v24 = 2.2 v25.


2) Questo esercizio è stato svolto in classe. Da un bilancio molare sui due volumi otteniamo:

d/dt(cA1V) = -NA1 S e d/dt(cA2V) = -NA2 S, dove N1A = -N2A = -cD dxA/dz = D (cA1-cA2)/d, dove

abbiamo supposto che il processo sia quasi stazionario. Sottraendo le due equazioni otteniamo:

dc/dt = - (2SD/Vd)c, dove c=cA1-cA2, da cui: ln(c/c0) = -2SDt/Vd. Dunque: D =

ln(c0/c)Vd / (2St). L’ipotesi di quasi stazionarietà è soddisfatta quando il tempo necessario per

raggiungere uno stato stazionario, 1 d2/D, è molto minore di quello caratteristico del

cambiamento di cA, 2 cAV/(NAS) Vd/(DS) e dunque quando d<<V/S.

3) Da un bilancio molare sul granello otteniamo: sat

AMA

S

A ckNdtdRc / , dove cAS e

cAsat

sono, rispettivamente, la concentrazione di sale nel granello e quella di saturazione nell’acqua,

a contatto con il granello. Per valutare il coefficiente di scambio massico kM supponiamo di essere

in condizioni quasi-stazionarie. In questo caso, poiché Sc >> 1, sappiamo che Sh Pe1/3

, e

dunque kM è una costante, 3/1

3/13/23/1

gDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

, dove a è una costante

adimensionale di O(1). Infine, integrando dtc

ckdR

S

A

sat

AM tra t=0, quando R=R0 e t=,

quando R=0, otteniamo: sat

A

S

A

M c

c

k

1 .




L

A

V

A

M

MssV

A

L

A

M c

c

Shkc

c

k

R .







appelli successivi.



spessore H:




2 ).


z=0, la parete è isolata, mentre dall'altro, per z=L, scambia calore con un fluido refrigerante

a temperatura T0, con coefficiente di scambio termico h. Sapendo che nella parete si genera

una quantità di calore S per unità di volume, si trovi T(z=0). Qual è il numero adimensionale

che indica l’efficienza del fluido refrigerante?

5. (10 punti) Una pasticca si consuma mentre precipita per gravità, molto lentamente, in un

fluido viscoso. Sapendo che la velocità di caduta è U = K R2, dove R è il raggio (K è una

costante dimensionale che dipende da densità, viscosità e accelerazione di gravità) e che il

numero di Peclet è molto grande, Pe>>1 (ma Re<1), e dunque che, come sempre in questi

casi il numero di Sherwood è Sh = a Pe1/3

, dove a è una costante numerica, si valuti il

tempo necessario al consumo di una sferetta di raggio iniziale R0.

2B

2H

L

M

Figura 4.2P

pa

p0

p0

pa

H<<B,W

W

H

L

W



1. In generale, la forza verso l’alto esercitata dal fluido su un elementino di area Wdz della piastra

è uguale a pWdz. Questa forza deve bilanciare il peso della piastra più l’effetto della pressione

atmosferica e dunque, considerando che p decresce linearmente con z, otteniamo:

PWLpWLdzzpWMg

L

~2~2

0

.

a) 3

2

121

2 1

H

VLC

HHW

VCWLPWLMg

, da cui: 3

2

1

Mg

VLCH

.

b) WH

VLC

HHW

VCWLPWLMg

3

22

2

2

2

2 1

, da cui: 3

22

2

MgW

VLCH

.


considerato che JU(0) = 0. Quando z=L si ha: JU(L) =h[T(L) – T0], da cui: T(L) = T0 +

SL/h. Quando invece z<L, JU(z) = Sz = - k dT/dz, da cui, integrando tra 0 e L otteniamo:

T(0) = T(L) + SL2/2k = T0 + SL



3. dR/dt = -(1/cs) J = - D (c

sat/c

s) (1/R) Sh = = - Da (c

sat/c

s) (K/D)

1/3 = - V costante. Dunque:

= R0 / V.


Appello del 20 Settembre 2012





appelli successivi.





















stazionarietà.

H0

L

2R

2r

H


Correzione del compito di esame dell’appello del 20 settembre 2012







4g) / (8LR

2) dt.


t = (8LR2) / (r

4g) ln(1 + (H/L)).

2. k

RqT

4

2

max

(vedi par. 9.1.2). 224

36

2 110/10

25/144cmm

mW

KmKW

q

TkR



S








3/2

3/13/23/1

R

UDa

D

UR

R

DaSh

R

DkM

,


cUaDdRR

S

A

A

3/13/23/2,


A

S

A

c

c

UD

R

a 3/13/2

3/5

0

5

3 .



110

A

S

A

M

Mss

A

S

A

M c

c

Shkc

c

k

R .


Appello del 08 Novembre 2012





appelli successivi.

6. (10 punti) Un fluido molto viscoso viene

pompato nel dispositivo in figura, con una

portata volumetrica V2 data, in modo da

sostenere il peso Mg di una lastra. Si

determini lo spessore H:


1 // HvCLP , dove v è la velocità

media)

b. Per flussi turbolenti. (si supponga che

HvCLP // 2

2 ).


z=0, la parete è isolata, mentre dall'altro, per z=L, scambia calore con un fluido

refrigerante a temperatura T0, con coefficiente di scambio termico h. Sapendo che nella

parete si genera una quantità di calore S per unità di volume, si trovi T(z=0). Qual è il

numero adimensionale che indica l’efficienza del fluido refrigerante?

3. (10 punti) Si abbiano due serbatoi di uguale volume V,

separati da una membrana porosa di sezione S=V/L, porosità e

spessore (vedi figura a fianco). I due serbatoi sono

perfettamente miscelati e contengono una miscela A-B; la frazione

molare di A, inizialmente, sia xA10 e xA20 < xA10 , rispettivamente.

Vogliamo determinare come la differenza tra le frazioni molari xA1

e xA2 vari nel tempo, in modo da poter determinare il coefficiente

di diffusione D.

V,

xA1

V,

xA2

Figura 15.1.1

LL

2B

2H

L

M

Figura 4.2P

pa

p0

p0

pa

H<<B,W

W

H

L

W


Correzione del compito di esame dell’appello del 08 Novembre 2012




PWLpWLdzzpWMg

L

~2~2

0

.

a) 3

2

121

2 1

H

VLC

HHW

VCWLPWLMg

, da cui: 3

2

1

Mg

VLCH

.

b) WH

VLC

HHW

VCWLPWLMg

3

22

2

2

2

2 1

, da cui: 3

22

2

MgW

VLCH

.


considerato che JU(0) = 0. Quando z=L si ha: JU(L) =h[T(L) – T0], da cui: T(L) = T0 + SL/h.

Quando invece z<L, JU(z) = Sz = - k dT/dz, da cui, integrando tra 0 e L otteniamo:

T(0) = T(L) + SL2/2k = T0 + SL




2 /00

2ln 2 eqt

eq

x D tt x x e

x L

;

eq

A

cV L

N S D

.

rincipi dell’Ingegneria Chimica

Appello del 15 Gennaio 2013





appelli successivi.



spessore H:




2 ).

2. (10 punti) Un letto fisso è attraversato da un fluido con velocità V costante (flusso a pistone)

lungo la direzione x (vedi figura in alto a destra). Il letto è mantenuto a temperatura a T0 per x<0 e a

temperatura TL per x>L. a) Si calcoli il profilo di temperatura T(x) e il flusso termico JU per x=L,

analizzando i due casi limite Pe<<1 e Pe>>1.

3. (10 punti) Si abbiano due serbatoi di uguale volume V, separati da una membrana porosa di

sezione S=V/L, porosità e spessore (vedi figura a fianco). I due

serbatoi sono perfettamente miscelati e contengono una miscela A-

B; la frazione molare di A, inizialmente, sia xA10 e xA20 < xA10 ,

rispettivamente. Vogliamo determinare come la differenza tra le

frazioni molari xA1 e xA2 vari nel tempo, in modo da poter

determinare il coefficiente di diffusione D.

2B

2H

L

M

Figura 4.2P

pa

p0

p0

pa

H<<B,W

W

H

L

W

V

x=0 x=L

T0 TL

Figura 12.1P

V,

xA1

V,

xA2

Figura 15.1.1

LL


Correzione del compito di esame dell’appello del 15 Gennaio 2013 1. In generale, la forza verso l’alto esercitata dal fluido su un elementino di area Wdz della piastra è uguale a

pWdz. Questa forza deve bilanciare il peso della piastra più l’effetto della pressione atmosferica e dunque, considerando

che p decresce linearmente con z, otteniamo:

PWLpWLdzzpWMg

L

~2~2

0

.

a) 3

2

121

2 1

H

VLC

HHW

VCWLPWLMg

, da cui: 3

2

1

Mg

VLCH

.

b) WH

VLC

HHW

VCWLPWLMg

3

22

2

2

2

2 1

, da cui: 3

22

2

MgW

VLCH

.

2. Si tratta del problema 16.1. La temperatura è una funzione della sola coordinata x, con 0<x<L e soddisfa la

seguente equazione e condizioni al contorno:

LTLTTTdx

Td

dx

dTV ;0; 02

2

,

mentre il flusso termico JU(L) che ci interessa trovare è il seguente:

Ldx

dTTLTcVLJU 0

.

Si noti che, oltre che da una componente diffusiva, il flusso termico per x =

L è composto anche da una componente convettiva, che nel flusso alle pareti è in

genere assente, perché la velocità lì è uguale a zero. In termini adimensionali,

definendo

c~ = (T-T0)/(TL-T0), = x/L e Pe=VL/ ,

otteniamo:

1)1(~;0)0(~;~~

2

2

ccd

cd

d

cdPe

.

Inoltre, si conviene esprimere il flusso termico in funzione del numero di Nusselt,

definito come Nu = JU / JU,cond , dove JU,cond è il flusso termico dovuto alla sola

conduzione. Nel nostro caso, JU,cond = -(TL-T0)/L e dunque si ottiene con facili

passaggi:

Ped

cd

J

LJNu

condU

UL )1(

~)(

, .

L’equazione sopra ammette l’integrale generale 1 2

Pec C e C e

determinando le costanti C1 e C2 in base alle condizioni al contorno, otteniamo la soluzione: 1

1

Pe

Pe

ec

e

, da

cui: 1

PeL

e

PeNu . Dunque 1LNu quando 1Pe e 0LNu quando 1Pe . In quest’ultmo

caso, convezione e diffusione si annullano.


2 /00

2ln 2 eqt

eq

x D tt x x e

x L

;

eq

A

cV L

N S D

.

c

1 0

Pe

NuL

Pe

1

1 2 0

Figura 16.1.2

Principi dell’Ingegneria Chimica - DICCISM Staff · Principi dell’Ingegneria Chimica Appello...

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