Presentazione di...

MATLAB

• MATLAB (MATrix LABoratory) è un linguaggio di

programmazione per applicazioni scientifiche (elaborazione

numerica dei segnali, progetto di simulatori, sintesi di

sistemi di controllo, ecc.)

• MATLAB è un interprete di comandi. I comandi possono

essere forniti interattivamente o contenuti in files su disco

(M-files)

• Comprende un vasto set di funzioni predefinite e numerose

librerie (toolbox) per svariate applicazioni

• Le potenzialità di MATLAB possono essere facilmente

estese (è semplice creare nuovi toolbox)

• E' possibile convertire un programma MATLAB in codice C

e C++ in modo automatico

Come appare Matlab ?

Matlab come Calcolatrice

Definizione Variabili

Workspace • Tutte le variabile definite o calcolate vengono tenute

automaticamente in memoria e posso essere richiamate

successivamente.

Lettura e scrittura dati su FILE

Help “topic”

ALCUNE ISTRUZIONI DI USO COMUNE

• >>help richiama l’help in linea

– help comando visualizza l’help relativo al comando indicato

• >>who/whos elencano le variabili in uso

• >> dir elenca i files contenuti nella directory

corrente

• >>clear all elimina tutte le variabili della sessione

corrente

• >>clear var1 var2 elimina le variabili var1 e var2 dal

workspace

VETTORI

Vettore Colonna

Vettori

Funzioni Standard e costanti

Funzioni con argomenti Vettoriali

Polinomi

Prodotto tra Polinomi

M-FILE

Programma

in M-file

Programmazione in MATLAB

Funzioni

Esempio di funzione che calcola statistica

A line at the top of a function M-file contains the syntax definition. The

name of a function, as defined in the first line of the M-file, should be the

same as the name of the file without the .m extension.

Matrici

WildCard

Estrazione Sottomatrice

La Grafica Matlab

Alcuni parametri dei Grafici

Salvataggio figura su file

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

Control System Toolbox

Da TF a State Space

Da TF a State Space

3 2

160( )

12 300 100

sG s

s s s

>>sys=tf(2,[1 2 2],’InputDelay’,0.5);

0.5

2 2

2

2 2

seG s

s s

Se il modello presenta un ritardo finito, questo può essere

incluso nel modo seguente:

DIAGRAMMI DI BODE

Altra Modalità

1 2

1 2 3

( )* ( )

1 ( )* ( )* ( )

G s G sW s

G s G s G s

Cancellazioni

1( )G s

2 ( )G s

3( )G s

3 ( )aG s

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Response to Initial Conditions

Time (sec)

Am

plit

ude

Risposta Libera

Risposta Forzata

Risposta Forzata

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plit

ude

Risposta Completa

0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plit

ude

Nel caso in cui si voglia valutare la risposa al GRADINO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

2

2

2 2G s

s s

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sys

Peak amplitude: 1.04

Overshoot (%): 4.31

At time (sec): 3.1

E’ possibile visualizzare le caratteristiche principali della

risposta al gradino

0 1 2 3 4 5 6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Nel caso in cui si voglia valutare la risposa all’IMPULSO

Il sistema Lineare può essere assegnato in uno delle 2

forme possibili:

•sys=tf(num,den);

•sys=zpk([zeri],[poli]);

DIAGRAMMI DI BODE

Si stabilisce decide l’intervallo di frequenze per il quale si vuole disegnare

il diagramma di Bode o Nyquist (wmin<w<wmax).

Si definisce un vettore w contenete l’insieme ordinato delle frequenze che

si vogliono graficare con il comando logspace:

ex: 300 punti nell’intevallo :

2 310 10w

w=logspace(-2,3,300)

Calcolo dei residui

3

1.5( 4)

( 2)( 3)( 1)

sG s

s s s

3 51 2 4

2 3( 2) ( 3) ( 1) ( 1) ( 1)

R RR R RG s

s s s s s

Calcolo dei residui

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

0

1

2

3MODI NATURALI

Time (sec)

Am

plit

ude

2 3

0.18 3 2.8 2.62 2.25

( 2) ( 3) ( 1) ( 1) ( 1)G s

s s s s s

ESEMPIO

(s + 1)

W(s)-----------------------------

s^3 + 6 s^2 + 18 s + 20

I coefficienti del numeratore e denominatore ordinati si

memorizzano su opportuni vettori

>> num =[1 1]; den [ 1 6 18 20];

si genera poi il sistema:

>> sys=tf(num,den);

si specifica l’asse delle frequenze:

ad esempio 300 punti nell’intevallo : w=logspace(-2,2,300)

>>bode(sys,w);

2 210 10w

Frequency (rad/sec)

Ph

ase

(d

eg

); M

ag

nitu

de

(d

B)

Bode Diagrams

-80

-60

-40

-20From: U(1)

10-2

10-1

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

50

To:

Y(1

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

45

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

System: sys

Peak gain (dB): -22

At frequency (rad/sec): 2.19

Magnitu

de (

dB

)

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -26 dB (at 1 rad/sec) , Pm = -83.4 deg (at 1.52 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

MARGINI DI STABILITA’

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (

dB

)

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -26 dB (at 1 rad/sec) , Pm = -83.4 deg (at 1.52 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

D. BODE D. NYQUIST

-20 -15 -10 -5 0-15

-10

-5

0

5

10

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

•Se si dispone dei diagrammi di Bode di G(jw) è conveniente utilizzare questi come ausilio

per il tracciamento del diagramma di Nyquist. A tal fine si sceglie sul diagramma di Bode

un insieme di pulsazioni campione, e, facendo riferimento alla forma polare di G(jw), si

riportano sul piano complesso i valori del modulo e della fase letti dai diagrammi d Bode

•Dal diagramma di Bode al diagramma di NyquisT

0.02( )

(1 /10)(1 / 20)(1 /100)w

w w w

G j

j j j• Esempio

-0.01

-0.005

0 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2 x 10

-3

( )G jw

( )G w

Si fissano alcuni

valori sul

diagramma di

bode e si

riportano nel

piano complesso

in modulo e fase Diagramma di Nyquist Diagramma di

Bode

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-100

-50

0

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-270

-180

-90

0

Mo

du

lo d

B

Fase

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 dB0 dB -2 dB

20 dB -20 dB

10 dB

6 dB

-10 dB

4 dB2 dB

-6 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

•Il diagramma di Nyquist può essere tracciato utilizzando il comando: nyquist ( ):

lim

10.1667

K

• Nel caso in cui sia stato disegnato un diagramma di Nyquist Il

comanda grid traccia i luoghi a modulo costante a ciclo chiuso M

( )

1 ( )

F jM

F j

w

w

• Analisi nel dominio del tempo tramite codice MATLAB

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo

y(t)

Risposta al gradino

0 10 20 30 40 50-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

y d(t

)

Risposta al disturbo

Luogo delle radici 1

( 2)( 1)s s

yu

K

( ) 1 ( ) 0ks G s

( )( )

1 ( )cl

kG sW s

kG s

( ) ( ) ( ) 0s D s kN s ( )

( )

n gradoD s

m gradoN s

n m

• (s) al variare di K ha sempre n radici in campo complesso

•Al variare del guadagno K tra 0<k<+ le n radici di (s) partono per K=0 dagli n poli di D(s)

•Per k=, m radici tendono agli gli m zeri di N(s). Le restanti n-m radici vanno all’infinito

• Al variare del guadagno K (reale) da - a + le radici dell’equazione caratteristica (s)

descrivono una curva nel paino complesso S cui si da’ il nome di luogo delle radici.

( ) ( ) ( ) 0i i

n m

s s p k s z

1( ) 1 0

( 1)( 2)s k

s s

2 3 2 0s s k

( 1)( 2) 0s s k

•Esempio 1( )

( 1)( 2)G s

s s

1,2

3 1 4

2

ks

1

( 2)( 1)s s

yu

K

2 1

0.25k

0k 0k

k

k

1.5

( 3)( 2)( 1) 0s s s k

-8 -6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

>>sys=zpk([],[-1 -2 -3],1)

>>rlocus(sys)

1

( 3)( 2)( 1)s s s

yu

K

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

• Il Luogo delle Radici può essere tracciato utilizzando il comando rlocus():

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

>> sys=zpk([],[-1 -2 -3],1);

>> k=0:1:100;

>> rlocus(sys,'r.',k)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Root Locus

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

•Il Luogo negativo

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

•Il Luogo delle Radici può essere tracciato utilizzando il comando rlocus():

Il comando grid() disegna i luoghi a

smorzamento COSTANTE del

sistema del 2° ordine

2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

w

w w

1p

1 *p

wn 21nw

w n

cos

2

1,2

0 1

1n np j

w w

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 4

0.985

0.64

0.985

0.86

0.34

3

0.86

2

0.76

16

0.160.5

0.16

0.76

0.34

0.94

0.50.64

0.94

Root Locus

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

• Con il comando rlocfind(), posizionandosi con il mouse sul plot del luogo delle

radici, è possibile determinare il valore del guadagno K in quel punto del luogo ed il

valore delle radici a ciclo chiuso.

( 10)

( 2)( 1)

s

s s s

yu

K

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

-15

-10

-5

0

5

10

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

( 2)( 1) ( 10) 0s s s sk

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

( 3)

( 2)

s

s s

yu

K

( 2) ( 3) 0ks s s

1

( 2)( 1)s s s

yu

K

>> sys=zpk([],[0 -2 -3],6)

Zero/pole/gain:

6

-------------

s (s+2) (s+3)

>> sisotool

>>

>>sisotool

Analisi con sisitool

( 1)( 2)

K

s s s

yu

•Analizzare al variare del guadagno K il comportamento del sistema:

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitud

e (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

•I margine di fase e di ampiezza possono essere calcolati con l’istruzione:

margin():

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitud

e (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Gm = 15.6 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = 53.4 deg (at 0.446 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

( )( 1)( 2)

Ksys s

s s s

• RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA o POLARE (Nyquist) di G(jw)

•Diagramma polare della funzione complessa G(jw) = luogo di punti del piano complesso ottenuti al variare di 0<w

•Su questa curva è consuetudine porre delle frecce che indicano il verso di percorrenza per valori

crescenti della pulsazione w.

( )( ) ( ) j G jG j G j e ww w

• RAPPRESENTAZIONE POLARE

•Ricordando che: G(-jw)=G(jw)* è possibile tracciare anche il luogo dei punti G(jw) con w0 sul piano

complesso. Tale curva si ottiene come immagine speculare rispetto all’asse reale del diagramma polare

di G(jw) con w>0 .

•Quindi considereremo sempre il diagramma polare o di Nyquist di G(jw) per -<w con sopra

indicato il verso di percorrenza con delle frecce per valori crescenti della pulsazione w.

( )G jw

Re ( ) Im ( )

Re ( ) Im ( )

G G

G G

j j j

j j j

w w

w w

• SIMMETRIA CONIUGATA *( ) ( )G j G jw w

Im G jw

Re G jw

G jw

arg G jw

( )G jw

Sistema di controllo DIGITALE

completo di Strumentazione

SISTEMI A DATI CAMPIONATI • Nello studio dei sistemi a controllo digitale il sottosistema formato dalla connessione in cascata del

MANTENITORE di ordine ZERO, PROCESSO e CAMPIONATORE può essere modellata adeguatamente per

mezzo di un sistema tempo discreto chiamato sistema a dati campionati.

SISTEMA A SEGNALI CAMPIONATI

*( )G z

• Si può dimostrare che il valore dell’uscita y(t) (nei soli istanti di campionamento) del sistema continuo a

dati campionati può essere calcolata per mezzo di un opportuno sistema tempo discreto.

*( )G z *( )y kT*( )u kT

Funzione di Trasferimento di sistemi a dati campionati (approccio nello spazio

degli stati )

H0(s) G(s)

A,B,C,D

( )u t *( )u t

( )y t

*( )y t

( )ru t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

1( ) ( ) W s C SI A B D

( ) ( )

0( ) ( )t

A t to A t

tox t e x e Bu d

( ) ( )

u t u kT

kT t kT T

Poiché si utilizza uno ZOH Il segnale ur(t) in ingresso al sistema e’ costante a tratti

kT<t<(k+1)T. Si calcola l’uscita del sistema nei soli istanti di campionamento:

0

A AT

TF e G e Bd

Si dimostra che negli istanti di campionamento l’uscita del sistema

TEMPO CONTINUO è identica a quella di un opportuno SISTEMA

TEMPO DISCRETO, caratterizzato dalle seguenti matrici: F, G:

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x k Fx k Gu k

y k Cx k Du k

0

A AT

TF e G e Bd

Quindi ad ogni sistema continuo (A,B,C,D) è associata una intera

famiglia di sistema a dati campionati. Le matrici F e G sono infatti

funzione del periodo di campionamento T

0 5 10 15 20

0

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Risposta al Gradino di un sistema tempo continuo e del corrispondente

sistema a dati campionati

Zero-Order

Hold1

Zero-Order

Hold

1

5s+1

Transfer Fcn2

1

s +0.4s+12

Transfer Fcn1

1

s +0.4s+12

Transfer Fcn

Step

Floating

Scope1

Floating

Scope

0.4050z+0.3529]

1.0000z -0.9124z+0.6703]2

Discrete

Transfer Fcn

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ingresso Uscita

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Sistema discreto Sistema continuo

Possibili problemi di intersampling…………………

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