La teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella

matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni

fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le funzioni) e

delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato

anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico

nelle dimostrazioni.. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e

promuovono diversi approcci ai fondamenti della matematica.

I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un

insieme è pensato come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri)

dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici

qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Quindi si parla dell'insieme N dei

numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e dell'insieme delle

funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,

dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva"

degli insiemi. L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo

campo di studio, è stata quella di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso

numero di elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A

con gli elementi di B.

Dagli assiomi iniziali della teoria degli insiemi è possibile costruire tutti gli altri

concetti e oggetti matematici: numero, continuo, ordine, relazione, funzione,

Ad esempio, mentre gli elementi di un insieme non hanno un ordine intrinseco, è

possibile costruire modelli di liste ordinate. Il passo fondamentale è la capacità di

modellare la coppia ordinata ( a, b ) che rappresenta l'appaiamento di due oggetti

nell'ordine dato. la proprietà che definisce una coppia ordinata è ( a, b ) = ( c, d ) se e

solo se a = c e b = d. L'approccio fondamentalmente è quello di specificare i due

elementi e indicare quale è il primo, usando la costruzione:

Poiché le relazioni, e in particolare le funzioni sono definite come insiemi di coppie

ordinate, ed esistono costruzioni progressive degli interi, razionali, reali e numeri

complessi a partire dall'insieme dei numeri naturali.

INCLUSIONE

Nella teoria degli insiemi l'inclusione

tale che gli elementi della relazione appartengono ad entrambi gli insiemi.

In simboli, dati due insiemi A

B è contenuto o incluso in A solo se, pero ogni elemento x, se appartiene a B allora x

appartiene ad A

SOTTOINSIEME

Nella teoria degli insiemi si

in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme

di A se tutti gli elementi contenuti in

ELABORATO DA: GR

,1SD,2013-2014

inclusione è una relazione tra gli elementi di due

tale che gli elementi della relazione appartengono ad entrambi gli insiemi.

A e B: oppure a parole:

uso in A solo se, pero ogni elemento x, se appartiene a B allora x

si definisce con sottoinsieme un insieme

in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B

contenuti in B sono anche contenuti in A

ELABORATO DA: GRETA BOTTONI E CLAUDIA CAMPAGNA

tra gli elementi di due insiemi,

tale che gli elementi della relazione appartengono ad entrambi gli insiemi.

uso in A solo se, pero ogni elemento x, se appartiene a B allora x

insieme che è contenuto

B è un sottoinsieme

E CLAUDIA CAMPAGNA

La teoria degli insieme. Di aurora cesandri ϑ

La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX

secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica

moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i

numeri o le funzioni) e delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato anche un ruolo

fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico nelle dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria

degli insiemi sono usati ovunque in matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero relativamente

piccolo di matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono diversi approcci ai

fondamenti della matematica.

In pratica la teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti,

chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in

particolare possono essere insiemi. perciò si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali,

e dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio, dell'insieme { 0, 2, N } che ha

come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

Le origini degli insiemi:

L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella di affermare che due

insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli elementi

di B. Quindi l'insieme N dei numeri naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono

detti numerabili), anche se N è un sottoinsieme proprio di Q. D'altra parte, l'insieme R dei numeri reali non ha la stessa cardinalità

di N o Q, ma una maggiore (è detto non numerabile). Cantor fornì due dimostrazioni della non numerabilità di R, e la seconda di

queste, che sfrutta quella che è nota come costruzione diagonale, ha avuto una straordinaria influenza e innumerevoli applicazioni

in matematica e logica.

Cantor andò oltre e costruì una gerarchia infinita di insiemi infiniti, i numeri ordinali e cardinali. Questo procedimento era

controverso ai suoi tempi, e aveva l'opposizione del finitista Leopold Kronecker, ma oggi non c'è disaccordo significativo fra i

matematici sulla correttezza delle idee di Cantor.

Cantor sviluppò la teoria degli insiemi ancora in termini "ingenui", nel senso che non aveva una precisa assiomatizzazione in mente.

In retrospettiva, possiamo dire che Cantor usava implicitamente l'assioma di estensionalità, l'assioma dell'infinito e l'assioma di

comprensione. Tuttavia l'ultimo porta direttamente al paradosso di Russell, mediante la costruzione dell'insieme S := {A : A non è

in A} degli insiemi che non appartengono a sé stessi. (Se S appartiene a sé stesso, allora non vi appartiene, portando a

una contraddizione, così S non può appartenere a sé stesso. Ma allora S dovrebbe appartenere a sé stesso, portando ad un

assurdo.) Quindi gli insiemisti furono costretti ad abbandonare o la logica classica o la comprensione illimitata, e la seconda scelta

fu considerata molto più ragionevole. (Benché l'intuizionismoabbia un notevole seguito, il paradosso continua a valere anche

nella logica intuizionistica.

Teoria degli insiemi (ZFC) come fondamento della matematica:

Dagli assiomi iniziali della teoria degli insiemi è possibile costruire tutti gli altri concetti e oggetti

matematici: numero, continuo, ordine, relazione, funzione, etc.

Ad esempio, mentre gli elementi di un insieme non hanno un ordine intrinseco, è possibile costruire

modelli di liste ordinate. Il passo fondamentale è la capacità di modellare la coppia ordinata ( a, b )

che rappresenta l'appaiamento di due oggetti nell'ordine dato. La proprietà che definisce una coppia

ordinata è ( a, b ) = ( c, d ) se e solo se a = c e b = d. L'approccio fondamentalmente è quello di

specificare i due elementi e indicare quale è il primo, usando la costruzione:

( a, b ) = { { a, b }, { a } }.

Le liste ordinate di lunghezza maggiore possono essere costruite induttivamente:

( a, b, c ) = ( ( a, b ), c )

( a, b, c, d ) = ( ( a, b, c ), d )

...Un altro esempio è una costruzione minimale per i numeri naturali, principalmente basata

sull'assioma dell'infinito, dovuta a von Neumann. Abbiamo bisogno di produrre una successione

infinita di insiemi, dotata di una relazione di 'successore', come modello degli assiomi di Peano.

Questa procedura fornisce una rappresentazione canonica per il numero N, come particolare scelta

di un insieme contenente esattamente N elementi distinti.

Procediamo induttivamente:

0 = {}

1 = { 0 } = { {} }

2 = { 0, 1 } = { {}, { {} } }

3 = { 0, 1, 2 } = { {}, { {} }, { {}, { {} } } }

...ad ogni passo costruiamo un nuovo insieme di N elementi come l'insieme degli elementi (già

definiti) 0, 1, 2, ..., N - 1. Più formalmente, ad ogni passo il successore di N è N ∪ { N }. In questo

modo si ottiene un modello adeguato per l'intero insieme dei numeri naturali.

Poiché le relazioni, e in particolare le funzioni sono definite come insiemi di coppie ordinate, ed

esistono costruzioni progressive degli interi, razionali, reali e numeri complessi a partire

dall'insieme dei numeri naturali, siamo in grado di modellare essenzialmente tutte le strutture

familiari della matematica.

Spesso si afferma che la teoria assiomatica degli insiemi è un fondamento adeguato per la

matematica moderna, nel senso che in principio tutte le dimostrazioni possono essere scritte

formalmente in termini di teoria degli insiemi. Tuttavia in generale non c'è nessun vantaggio nel

fare questo, perché le differenze nei risultati rispetto alla pratica usuale sono minime. Un'area in cui

può apparire uno scarto fra la pratica e la formalizzazione è la teoria delle categorie, dove ad

esempio un concetto come 'la categoria di tutte le categorie' richiede un trattamento insiemistico

particolarmente accurato.

La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal

matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX secolo. La teoria degli insiemi

svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca

nell'ambito della logica matematica.Teoria degli insiemi dovrebbe essere la base di

tutte le matematiche: e' la disciplina che va studiata prima di tutte le altre che

dovrebbero avvantaggiarsi del suo linguaggio e dei suoi concetti .Purtroppo, dopo

l'entusiasmo inziale, dagli inizi del 1900 l'importanza di teoria degli insiemi e' stata

molto ridimensionata.

Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti primitivi della matematica ognuno di

noi dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo stesso per ciascuno di noi. Comunque

intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli oggetti se riusciamo a considerarli collegati

tra loro allora abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che

compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme

stesso. Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti (elementi) di un

insieme:a,b,c,d….

L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di

studio, è stata quella di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di

elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli

elementi di B.

Gaia De Luca 1°sD ϑ

Georg Cantor è stato un matematico tedesco, diede

origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Cantor ha

allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo

interno i concetti di numeri transfiniti, numeri

cardinali e ordinali. Inizialmente controversa, la teoria degli

insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria

fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una

teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo

all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le

funzioni) e delle loro proprietà.

Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei

concetti primitivi della matematica ognuno di noi

dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo

stesso per ciascuno di noi. Comunque intuitivamente si

puo' dire che quando abbiamo degli oggetti se riusciamo a

considerarli collegati tra loro allora abbiamo un insieme. La

prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che

compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti

prima ancora di considerare l'insieme stesso.

Benedetta Ferrazza

La Teoria Degli Insiemi Teoria assiomatica degli insiemi

Cantor nel XIX secolo. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor è stato un

famoso matematico tedesco, nacque a S

all’università dove sviluppò la teoria degli insiemi

contestarono il modo di pensare di Cantor

teoria degli insiemi sono le parole "insieme" e "appartenenza". Un insieme

è composto da elementi, gli elementi sono oggetti

insiemi sono divisi in: Insieme

insieme Q = { m/n : mZ, nZ e n 0},

3 , 4…} , insieme che non contiene nessun numero

essere rappresentati nelle loro operazioni con i diagrammi di Eulero

Ogni insieme di appartiene infatti:

sottoinsieme di A e A contiene gli elementi di

e si indica con: . Quando

con gli insiemi si possono fare operazioni.

degli insiemi (1874-1884).[3] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti

possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi

insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamat

l'insieme potenza di A

Gabbiati Sara

La Teoria Degli Insiemi Teoria assiomatica degli insiemi è stata creata dal matematico George

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor è stato un

famoso matematico tedesco, nacque a San Pietro Burgo, studiò

dove sviluppò la teoria degli insiemi, ma alcuni matematici

contestarono il modo di pensare di Cantor .I concetti essenziali della

teoria degli insiemi sono le parole "insieme" e "appartenenza". Un insieme

è composto da elementi, gli elementi sono oggetti matematici qualsiasi. Gli

insiemi sono divisi in: Insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... },

= { m/n : mZ, nZ e n 0}, insieme Z Z = {..., -3,

che non contiene nessun numero . Gli insiemi possono

essere rappresentati nelle loro operazioni con i diagrammi di Eulero

Ogni insieme di appartiene infatti:

contiene gli elementi di B, quinidi A

. Quando A è unito in B si indica con

iemi si possono fare operazioni. Cantor diede origine alla teoria

1884).[3] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti

possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi

insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamat

è stata creata dal matematico George

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor è stato un

an Pietro Burgo, studiò

, ma alcuni matematici

I concetti essenziali della

teoria degli insiemi sono le parole "insieme" e "appartenenza". Un insieme

matematici qualsiasi. Gli

dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... },

3, -2, -1, 0, 1 , 2 ,

. Gli insiemi possono

essere rappresentati nelle loro operazioni con i diagrammi di Eulero-Venn.

B è

A è transito di B

si indica con . Anche

Cantor diede origine alla teoria

1884).[3] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti

possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi

insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato

Unione (insiemistica)

Nella teoria degli insiemi esiste un'operazione detta

insiemi A e B, la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli

• al solo insieme A,

• al solo insieme B,

• a entrambi.

L'unione è una operazione binaria

corrisponde alla disgiunzione.

• 1 Definizione

• 2 Esempi

• 3 Proprietà

• 4 Voci correlate

• 5 Altri progetti

Definizione

L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con "

se, e solo se, x è un elemento di almeno uno degli insiemi

L'unione di due o più insiemi è detta

data una arbitraria famiglia

a cui un elemento x appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli

Esempi

Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di

elementi: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che

appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

• A l'insieme dei numeri interi

• B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6.

è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e/o per 6.

Unione (insiemistica)

esiste un'operazione detta unione (simbolo ) di insiemi

a loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore

Indice

[nascondi]

si denota comunemente con " ". x è un elemento di

è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi hanno intersezione

di insiemi, l'unione è definita come l'insieme

appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli

Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di

= {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che

appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

.

o è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

numeri interi divisibili per 4,

l'insieme dei numeri interi divisibili per 6.

l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e/o per 6.

insiemi. Dati due

che appartengono:

corrisponde all'operatore OR; in logica,

è un elemento di

intersezione vuota. In generale,

di insiemi, l'unione è definita come l'insieme

.

Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di

= {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che

o è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

Proprietà

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa

Infatti

L'unione è un'operazione associativa

Infatti

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi,

scrivendo A U B U C.

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

operazione commutativa, in simboli:

operazione associativa:

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi,

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi,

Cantor

Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor

Halle il 6 gennaio del 1918) viene considerato il padre della

nell’ambito della matematica generale, ha relazioni con l’algebra, l’analisi, la

A dire il vero il concetto di insieme era già presente nella matemat

corrispondenza biunivoca tra insiemi finiti o infiniti

infiniti.

A lui si deve anche l’idea che esistono vari gradi di infinito

interi che possono essere ordinati, anche gli infiniti non sono tutti uguali.

La teoria degli insiemi elaborata da Contor, nonostante le critiche, rimane an

delle proprietà degli insiemi infiniti. Va ricordato, che proprio i rifiuti del mondo accademico, compromisero la

sua salute mentale tanto da portarlo alla depressione.

A cura di Galieti Michela Maria

Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (nato a San Pietroburgo il 3 marzo del 1845

) viene considerato il padre della teoria degli insiemi

nell’ambito della matematica generale, ha relazioni con l’algebra, l’analisi, la geometria

A dire il vero il concetto di insieme era già presente nella matematica, ma Cantor sviluppò quello di

insiemi finiti o infiniti giungendo così alla definizione di numeri cardinali

esistono vari gradi di infinito. Egli dimostrò che, come accade per i numeri

interi che possono essere ordinati, anche gli infiniti non sono tutti uguali.

La teoria degli insiemi elaborata da Contor, nonostante le critiche, rimane ancora oggi alla base dello studio

delle proprietà degli insiemi infiniti. Va ricordato, che proprio i rifiuti del mondo accademico, compromisero la

sua salute mentale tanto da portarlo alla depressione.

3 marzo del 1845 e morto ad

teoria degli insiemi. Quest’ultima, studiata

geometria.

ica, ma Cantor sviluppò quello di

giungendo così alla definizione di numeri cardinali

. Egli dimostrò che, come accade per i numeri

cora oggi alla base dello studio

delle proprietà degli insiemi infiniti. Va ricordato, che proprio i rifiuti del mondo accademico, compromisero la

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi dovrebbe essere la base di tutte le matematiche: e' la disciplina che va studiata

prima di tutte le altre che dovrebbero avvantaggiarsi del suo linguaggio e dei suoi concetti.

Non e' possibile definire l'insieme essendo uno dei concetti primitivi della matematica.

Simboli

Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti (elementi) di un insieme

a b c d . . . . . . . Useremo le lettere maiuscole per indicare un insieme, ad esempio

A sara' l'insieme A

Per indicare un insieme utilizzeremo talvolta le parentesi graffe, come ad esempio

{ a , b } insieme formato dagli elementi a e b

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo il simbolo

a A l'elemento a appartiene all'insieme A

Rappresentazione di un insieme

Possiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme.

Possiamo avere:

• Rappresentazione tabulare

• Rappresentazione mediante grafico

• Rappresentazione mediante caratteristica

Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli oggetti entro parentesi graffe;

esempio:

voglio considerare l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali

1 2 3 4 posso scrivere

A = { 1, 2, 3, 4 } Rappresentazione mediante grafici

(grafici di Eulero-Venn)

Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa continua e non intrecciata

come dalla figura qui a fianco che rappresenta sempre l'insieme A composto dai primi quattro

numeri naturali

1 2 3 4

Rappresentazione mediante caratteristica

Possiamo anche rappresentare l'insieme enunciando la caratteristica che tiene

"assieme" gli oggetti: ad esempio posso caratterizzare l'insieme A delle pagine

precedenti come l'insieme dei numeri naturali minori di 5

A = { x N : x < 5 }

A e' l'insieme degli elementi appartenenti ad N tali che l' elemento sia minore di 5

Intersezione fra insiemi

L'intersezione fra due insiemi e' l'operazione che associa ai due insiemi l'insieme i cui elementi

appartengono contemporaneamente al primo e al secondo insieme

Si indica come

A B (si legge A intersezione B)

Vediamo un esempio,

in rappresentazione tabulare.

Dati gli insiemi:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4, 5, 6 }

A B = { 3, 4 } devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e contemporaneamente appartengono a B.

Mediante i diagrammi

in azzurro l'insieme intersezione

Mediante caratteristica

A = { x N : x < 5 }

B = { x N : 2 < x < 7 }

A B = { x N : x < 5 e contemporaneamente 2 < x < 7 } =

= { x N : 2 < x < 5 } Differenza

Si definisce differenza fra due insiemi l'insieme degli elementi del primo insieme che non

appartengono al secondo insieme;

Si indica come A \ B od anche A-B

si legge differenza fra A e B

Abbiamo due casi

• il secondo insieme non e' contenuto completamente nel primo insieme;

in tal caso si parla semplicemente di differenza

esempio: Dati gli insiemi

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4, 5, 6 }

A \ B = A-B = { 1, 2 } devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e non appartengono a B

in diagrammi di Eulero-Venn

l'insieme differenza e' in azzurro

• il secondo insieme e' contenuto nel primo insieme B A ;

in tal caso si parla di differenza complementare

esempio: Dati gli insiemi

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4 }

A \ B = A-B = { 1, 2 } devo prendere tutti gli elementi di A che non appartengono a B

in diagrammi di Eulero-Venn

l'insieme differenza e' in azzurro

Chiara Gatta 1SD

STORIA DELL’ INSIEMISTICALa figura di Cantor (1845 - 1918) è particolare nella storia della matematica. Con una

semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere introdotto

"la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo

In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor ha

sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta alla

definizione dei numeri cardinali infiniti.

La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono diversi

gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

Concetti fondamentaliI concetti basilari della teoria degli insiemi sono "i

come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli

elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.

Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e

dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,

dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'

L’ idea centrale della teoria di Canton L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella

di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di

accoppiare esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri

STORIA DELL’ INSIEMISTICA1918) è particolare nella storia della matematica. Con una

semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere introdotto

"la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo tempo.

In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor ha

sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta alla

definizione dei numeri cardinali infiniti.

ra porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono diversi

gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

Concetti fondamentali I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato

come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli

elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.

dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e

dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,

dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

L’ idea centrale della teoria di Canton L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella

di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di

re esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri

STORIA DELL’ INSIEMISTICA 1918) è particolare nella storia della matematica. Con una

semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere introdotto

In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor ha

sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta alla

ra porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono diversi

gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

nsieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato

come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli

elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.

dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e

dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,

L’ idea centrale della teoria di Canton L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella

di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di

re esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri

naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),

anche se N è un sottoinsieme proprio di Q.

Elementes de MLa teoria degli insiemi viene presa come linguaggio fondante negli "Eléments de Mathématique" di

Bourbaki (dagli anni '30 in poi). Entra prepotentemente nella didattica negli anni '60. Si tratta di un

linguaggio con cui si vuole permeare tutta

campo pedagogico allo strutturalismo (Piaget). Il titolo degli "Eléments de Mathématique" sembra

modesto, in realtà è ambizioso perché si riferisce agli elementi di Euclide.

Nel primo libro degli “ Eléments de Mathématique” si introducono concetti diventati poi di uso

corrente, come unione, intersezione, funzione (iniettiva e suriettiva), relazione di equivalenza.

Si tratta di un libro senza figure, questo è un fatto da sottolineare. Le figure con cui gli i

entrano nella didattica sono abbastanza povere dal punto di vista concettuale (si pensi ai diagrammi

di Eulero-Venn), ma hanno un valore didattico importante. Ricordiamo che il concetto di relazione

di equivalenza è alla base della classificazione d

motori principali su cui si fonda il nostro pensiero.

naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),

anche se N è un sottoinsieme proprio di Q.

Elementes de MathematiqueLa teoria degli insiemi viene presa come linguaggio fondante negli "Eléments de Mathématique" di

Bourbaki (dagli anni '30 in poi). Entra prepotentemente nella didattica negli anni '60. Si tratta di un

linguaggio con cui si vuole permeare tutta la matematica dalle fondamenta, che corrisponde in

campo pedagogico allo strutturalismo (Piaget). Il titolo degli "Eléments de Mathématique" sembra

modesto, in realtà è ambizioso perché si riferisce agli elementi di Euclide.

s de Mathématique” si introducono concetti diventati poi di uso

corrente, come unione, intersezione, funzione (iniettiva e suriettiva), relazione di equivalenza.

Si tratta di un libro senza figure, questo è un fatto da sottolineare. Le figure con cui gli i

entrano nella didattica sono abbastanza povere dal punto di vista concettuale (si pensi ai diagrammi

Venn), ma hanno un valore didattico importante. Ricordiamo che il concetto di relazione

di equivalenza è alla base della classificazione di oggetti rispetto a certe proprietà, che è uno dei

motori principali su cui si fonda il nostro pensiero.

Michela Izzo 1SD

naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),

athematique La teoria degli insiemi viene presa come linguaggio fondante negli "Eléments de Mathématique" di

Bourbaki (dagli anni '30 in poi). Entra prepotentemente nella didattica negli anni '60. Si tratta di un

la matematica dalle fondamenta, che corrisponde in

campo pedagogico allo strutturalismo (Piaget). Il titolo degli "Eléments de Mathématique" sembra

s de Mathématique” si introducono concetti diventati poi di uso

corrente, come unione, intersezione, funzione (iniettiva e suriettiva), relazione di equivalenza.

Si tratta di un libro senza figure, questo è un fatto da sottolineare. Le figure con cui gli insiemi

entrano nella didattica sono abbastanza povere dal punto di vista concettuale (si pensi ai diagrammi

Venn), ma hanno un valore didattico importante. Ricordiamo che il concetto di relazione

i oggetti rispetto a certe proprietà, che è uno dei

Michela Izzo 1SD

La storia dell’ insiemistica

DEFINIZIONE: L’ insieme un raggruppamento di oggetti con una stessa

caratteristica, che deve essere un criterio oggettivo che permetta di

stabilire se un elemento appartiene o non appartiene all'insieme Insieme

vuoto Insieme Finito Un insieme può essere finito o Infinito. L'insieme si

dice finito quando è costituito da un numero finito di elementi. Si dice

infinito quando è costituito da un numero infinito di elementi. Si dice

insieme vuoto un insieme che non ha elementi.

LA STORIA: Fino a tempi relativamente recenti, il concetto di insieme , era trattato in modo intuitivo. Fu invece il matematico tedesco Georg Cantor a costruire una teoria vera e propria degli insiemi, alla fine del XIX secolo. La teoria di Cantor, poi integrata e migliorata da matematici successivi, si basa su due concetti fondamentali: quello di insieme e quello di appartenenza. L'insieme è una “collezione di elementi”, e un elemento matematico può essere qualunque cosa, anche un insieme stesso.

Mancinelli

Simbolo Nome

N Insieme dei numeri naturali

Z Insieme dei numeri interi

Q Insieme dei numeri razionali Unione Intersezione

Inclusione

Inclusione e uguale Appartenenza

Non appartenenza

Insieme vuoto

Un breve cenno storico sulla nascita degli insiemi e il loro uso in Matematica.

Nella seconda metà del XIX secolo era in corso una ampia

discussione su natura, definizione ed

esistenza dei numeri reali, come ultimo passo di un processo più

ampio noto sotto il nome di

Aritmetizzazione dell'Analisi, cioè il tentativo di ricondurre le

proprietà di enti e concetti usati

ormai da tempo in Analisi matematica (i numeri reali, le funzioni,

la continuità, infiniti ed

infinitesimi, …) ai veri numeri, cioè i numeri naturali, considerati

assieme alle loro proprietà

aritmetiche. In verità ci si "accontentava" di ricondurre l'Analisi

all'aritmetica di Q ai cui elementi

si riconosceva, in modo abbastanza generale, la natura di

numero.

Il concetto di insieme

Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti

primitivi della matematica ognuno di noi dovrebbe possederlo e

tale concetto dovrebbe essere lo stesso per ciascuno di noi.

Comunque intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli

oggetti se riusciamo a considerarli collegati tra loro allora

abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti

(elementi) che compongono l'insieme devono sempre essere ben

definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.

vediamo un po' di nomenclatura

Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti

(elementi) di un insieme

Useremo le lettere maiuscole per indicare un insieme, ad

Per indicare un insieme utili

{ a , b } insieme formato dagli elementi a e b

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo

a A l'elemento a appartiene all'insieme A

vediamo un po' di nomenclatura

(simboli)

Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti

(elementi) di un insieme

a b c d . . . . . . .

Useremo le lettere maiuscole per indicare un insieme, ad

esempio

A sara' l'insieme A

Per indicare un insieme utilizzeremo talvolta le parentesi graffe,

come ad esempio

insieme formato dagli elementi a e b

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo

il simbolo

l'elemento a appartiene all'insieme A

vediamo un po' di nomenclatura

Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti

Useremo le lettere maiuscole per indicare un insieme, ad

zzeremo talvolta le parentesi graffe,

insieme formato dagli elementi a e b

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo

l'elemento a appartiene all'insieme A

Rappresentazione di un Possiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme: Possiamo

rappresentazione tabulare

Rappresentazione mediante grafico .

Rappresentazione tabulareLa rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli

voglio considerare l'insieme

Rappresentazione mediante grafici

(grafici di Eulero

Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa

continua e non intrecciata come dalla figura qui a fianco che rappresenta

sempre l'insieme A

Rappresentazione di un insiemePossiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme: Possiamo

avere

rappresentazione tabulare

Rappresentazione mediante grafico .

Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli

parentesi graffe;

esempio:

voglio considerare l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali

1 2 3 4

posso scrivere

A = { 1, 2, 3, 4 }

Rappresentazione mediante grafici

(grafici di Eulero-Venn)

Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa

continua e non intrecciata come dalla figura qui a fianco che rappresenta

A composto dai primi quattro numeri naturali

1 2 3 4.

Sophia

insieme Possiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme: Possiamo

La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli oggetti entro

composto dai primi quattro numeri naturali

Rappresentazione mediante grafici

Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa

continua e non intrecciata come dalla figura qui a fianco che rappresenta

composto dai primi quattro numeri naturali

STORIA DELL’INSIEMISTICA

Nella seconda metà del XIX secolo era in corso una ampia discussione su natura, definizione ed

esistenza dei numeri reali, come ultimo passo di un processo più ampio noto sotto il nome di

Aritmetizzazione dell'Analisi, cioè il tentativo di ricondurre le proprietà di enti e concetti usati ormai da tempo in Analisi matematica (i numeri reali, le funzioni, la continuità, infiniti ed

infinitesimi, …) ai veri numeri, cioè i numeri naturali, considerati assieme alle loro proprietà aritmetiche. In verità ci si "accontentava" di ricondurre l'Analisi all'aritmetica di _, ai cui

elementi si riconosceva, in modo abbastanza generale, la natura di numero.

Le proposte più importanti, quelle di Weierstrass, di Cantor e di Dedekind, dei primi anni '70

del

XIX secolo, usavano già costruzioni riconducibili agli insiemi. L'opera di Frege poi, mostra il posto fondamentale della nozione di insieme.

Gli insiemi sono presenti nei programmi didattici odierni, spesso accompagnati da distinguo e

cautele (ad esempio nei programmi per le scuole elementari). La ragione di ciò è forse da

ricercarsi nel fatto che per un decennio, a partire dal 1960 si era ritenuto, a ragione o a torto, che

l'insegnamento esplicito della Insiemistica avrebbe promosso la comprensione anche di altri concetti Per alcuni testi ed estensori di programma, l'Insiemistica è parte integrante della Logica (MPI,1985).

Per questo chi tratta gli argomenti riguardo agli insiemi ritiene di avere svolto la parte di

Logica. Così non è, o almeno, questo è un modo assai riduttivo e storicamente scorretto di

interpretare il tema. L'idea ambiziosa che mi propongo qui è di contribuire a chiarire punti non sempre presi in

considerazione

dalle pubblicazioni didattiche e divulgative di Teoria degli Insiemi e che spesso generano

confusioni e incomprensioni sia nei docenti che nei discenti e, nel contempo, di fornire

informazioni

su teorie di grande interesse sia matematico che metodologico. Il docente accorto può

sicuramente evitare le precisazioni che propongo, non deve però ritenerle superflue perché deve essere

pronto, in caso di difficoltà da parte del discente a comprendere l'origine di tali difficoltà.to

esplicito della Insiemistica avrebbe promosso la comprensione anche di altri concetti.Serve la teoria degli insiemi? Molta matematica, anche universitaria, sembra farne a meno. Quello

che è assai diffuso nella presentazione odierna della Matematica è il

degli

insiemi. Ad esempio in testi di Geometria (che per sua natura trovano

spesso affermazioni quali: una retta è un insieme di punti, un punto appartiene ad una retta,

affermazioni talvolta presentate mediante il simbolismo specifico degli insiemi.

Ormai la Teoria degli insiemi, o peggio l'italiana, a partire dalla fascia dell'obbligo, come prevedono i programmi per la Scuola Primaria.

I

motivi di ciò si possono ricollegare a svariate ragioni didattiche e storiche. Il mio

intendimento è di proporre una riflessione spero interessante, sulla Teoria degli Insiemi e nel contempo di

puntualizzare

alcuni aspetti collegati alle scritture scelte.Molto spesso si legge sui testi scolastici, anche universitari, che gli insiemi sono

oggetti

e su questa strada poi ci si muove per introdurre in modo abbastanza elementare le più

semplici collezioni in senso intuitivo, salvo precisarne poi l'uso. Manca spesso la precisazione che

si considerano le collezioni di

dall'insieme.

E' questo l'approccio originale che trae origine dalle ricerche di Cantor. In esso convergono idee

più antiche provenienti dalla filosofia greca. In sostanza la definizione cantoriana di insieme

discende dal principio di comprensioneunivocamente una collezione, quella di tutti e soli gli elementi che soddisfano la proprietà

La figura di Cantor (1845 - semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere

introdotto "la teoria degli insiemiIn realtà il concetto di insieme è presente da sempre nell

confusioni e incomprensioni sia nei docenti che nei discenti e, nel contempo, di fornire

su teorie di grande interesse sia matematico che metodologico. Il docente accorto può

che propongo, non deve però ritenerle superflue perché deve essere

pronto, in caso di difficoltà da parte del discente a comprendere l'origine di tali difficoltà.to

avrebbe promosso la comprensione anche di altri concetti.

e la teoria degli insiemi? Molta matematica, anche universitaria, sembra farne a meno.

che è assai diffuso nella presentazione odierna della Matematica è il linguaggio

insiemi. Ad esempio in testi di Geometria (che per sua natura potrebbe farne a meno!) si

spesso affermazioni quali: una retta è un insieme di punti, un punto appartiene ad una retta,

affermazioni talvolta presentate mediante il simbolismo specifico degli insiemi.

Ormai la Teoria degli insiemi, o peggio l'Insiemistica, è divenuta bagaglio comune nella scuolaitaliana, a partire dalla fascia dell'obbligo, come prevedono i programmi per la Scuola Primaria.

motivi di ciò si possono ricollegare a svariate ragioni didattiche e storiche. Il mio

oporre una riflessione spero interessante, sulla Teoria degli Insiemi e nel contempo di

alcuni aspetti collegati alle scritture scelte. Molto spesso si legge sui testi scolastici, anche universitari, che gli insiemi sono

e su questa strada poi ci si muove per introdurre in modo abbastanza elementare le più

semplici collezioni in senso intuitivo, salvo precisarne poi l'uso. Manca spesso la precisazione

si considerano le collezioni di tutti e soli gli oggetti di un certo tipo, precisato appunto

E' questo l'approccio originale che trae origine dalle ricerche di Cantor. In esso convergono

più antiche provenienti dalla filosofia greca. In sostanza la definizione cantoriana di insieme

o di comprensione, vale a dire l’affermazione che una proprietà univocamente una collezione, quella di tutti e soli gli elementi che soddisfano la proprietà

CANTOR

1918) è particolare nella storia della matematica. Con una semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere

la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo tempo. In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor

confusioni e incomprensioni sia nei docenti che nei discenti e, nel contempo, di fornire

su teorie di grande interesse sia matematico che metodologico. Il docente accorto può

che propongo, non deve però ritenerle superflue perché deve essere

pronto, in caso di difficoltà da parte del discente a comprendere l'origine di tali difficoltà.to

avrebbe promosso la comprensione anche di altri concetti.

e la teoria degli insiemi? Molta matematica, anche universitaria, sembra farne a meno.

linguaggio della Teoria

potrebbe farne a meno!) si

spesso affermazioni quali: una retta è un insieme di punti, un punto appartiene ad una retta,

affermazioni talvolta presentate mediante il simbolismo specifico degli insiemi.

, è divenuta bagaglio comune nella scuola italiana, a partire dalla fascia dell'obbligo, come prevedono i programmi per la Scuola Primaria.

motivi di ciò si possono ricollegare a svariate ragioni didattiche e storiche. Il mio

oporre una riflessione spero interessante, sulla Teoria degli Insiemi e nel contempo di

Molto spesso si legge sui testi scolastici, anche universitari, che gli insiemi sono collezioni di

e su questa strada poi ci si muove per introdurre in modo abbastanza elementare le più

semplici collezioni in senso intuitivo, salvo precisarne poi l'uso. Manca spesso la precisazione

o tipo, precisato appunto

E' questo l'approccio originale che trae origine dalle ricerche di Cantor. In esso convergono

più antiche provenienti dalla filosofia greca. In sostanza la definizione cantoriana di insieme

, vale a dire l’affermazione che una proprietà j individui

univocamente una collezione, quella di tutti e soli gli elementi che soddisfano la proprietà j.

matematica. Con una semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere

", e per essere stato poco compreso nel suo tempo.

a matematica. Precisamente Cantor

ha sviluppato il concetto di corrispondenza biunivocaalla definizione dei numeri cardinali infiniti

La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più important

diversi gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

Occorre subito sfatare il mito che il linguaggio della teoria degli insiemi porti con sè

immediatamente dei nuovi contenuti interessanti. O meglio, i contenuti interessanti ci sono, ma occorre fare parecchia strada per apprezzarli. Spieghiamoci meglio: il linguaggio con cui si

esprimono i risultati più rivoluzionari di Cantor (si veda in segu

degli insiemi. Si può quindi credere a prima vista che con l’introduzione didattica degli insiemi

si possano far intravedere agli studenti risultati interessanti, che altrimenti non sarebbero stati alla loro portata. In realtà negli esempi elementari si trattano soprattutto insiemi finiti,

e si corre il rischio di studiare il linguaggio come fine a se stesso, senza applicazioni

stimolanti. Ad esempio, approfondire le funzioni Col nome di matematica moderna che, è bene

intendersi, è ormai desueto, si intendeva una fondazione formale basata sulla teoria degli insiemi, su cui si sviluppano le relazioni (d’ordine, d’equivalenza), le funzioni, l’algebra astratta

e poi la geometria e l’analisi. A titolo d’esempio riportiamo come

piano E in un manuale per il liceo francese del 1971, senza alcuna figura.

A cura di Marta Popolo,

corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta numeri cardinali infiniti.

La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più important

. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

LA MATEMATICA MODERNA

Occorre subito sfatare il mito che il linguaggio della teoria degli insiemi porti con sè

immediatamente dei nuovi contenuti interessanti. O meglio, i contenuti interessanti ci sono, ma occorre fare parecchia strada per apprezzarli. Spieghiamoci meglio: il linguaggio con cui si

esprimono i risultati più rivoluzionari di Cantor (si veda in seguito) è proprio quello della teoria

degli insiemi. Si può quindi credere a prima vista che con l’introduzione didattica degli insiemi

si possano far intravedere agli studenti risultati interessanti, che altrimenti non sarebbero ealtà negli esempi elementari si trattano soprattutto insiemi finiti,

e si corre il rischio di studiare il linguaggio come fine a se stesso, senza applicazioni

stimolanti. Ad esempio, approfondire le funzioni Col nome di matematica moderna che, è bene

ndersi, è ormai desueto, si intendeva una fondazione formale basata sulla teoria degli insiemi, su cui si sviluppano le relazioni (d’ordine, d’equivalenza), le funzioni, l’algebra astratta

e poi la geometria e l’analisi. A titolo d’esempio riportiamo come veniva definito un angolo nel

in un manuale per il liceo francese del 1971, senza alcuna figura.

cura di Marta Popolo,1°SD 2013-2014

tra insiemi (finiti o infiniti), che porta

La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono

. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

Occorre subito sfatare il mito che il linguaggio della teoria degli insiemi porti con sè

immediatamente dei nuovi contenuti interessanti. O meglio, i contenuti interessanti ci sono, ma occorre fare parecchia strada per apprezzarli. Spieghiamoci meglio: il linguaggio con cui si

ito) è proprio quello della teoria

degli insiemi. Si può quindi credere a prima vista che con l’introduzione didattica degli insiemi

si possano far intravedere agli studenti risultati interessanti, che altrimenti non sarebbero ealtà negli esempi elementari si trattano soprattutto insiemi finiti,

e si corre il rischio di studiare il linguaggio come fine a se stesso, senza applicazioni

stimolanti. Ad esempio, approfondire le funzioni Col nome di matematica moderna che, è bene

ndersi, è ormai desueto, si intendeva una fondazione formale basata sulla teoria degli insiemi, su cui si sviluppano le relazioni (d’ordine, d’equivalenza), le funzioni, l’algebra astratta

veniva definito un angolo nel

Storia degli insiemi

La teoria degli insiemi ha introdotto una matematica sganciata da ciò di cui prevalentemente si occupa: numeri ed enti geometrici. Noi ci chiediamo come mai, nell' arco dei tempi, alcuni illustri matematici sono stati spinti verso questo studio. La risposta la possiamo trovare tornando indietro nel tempo, esattamente nella seconda metà dell' ottocento, quando il progredire di tutte le scienze in generale causò, nei vari settori, una crescita di interessi di vastissime dimensioni. Nella matematica questo progresso portò ad un frazionamento in varie parti che si svilupparono in maniera autonoma e che quindi risultarono sganciate le une dalle altre. Bisognava trovare una teoria generale che riuscisse a fondere tutti i risultati ottenuti nei singoli campi di interesse e che creasse, contemporaneamente, un rapporto rigoroso fra leggi matematiche e leggi del pensiero logico. A questa esigenza rispose la mente geniale di un grande matematico, George Cantor, con la sua Teoria degli insiemi. Altri due grandi matematici, Leonard Euler (Eulero) e John Venn, hanno dato un notevole contributo agli studi sulla teoria degli insiemi interessandosi, in particolar modo, alla loro rappresentazione. La teoria degli insiemi è universalmente considerata, nella sua concezione e impostazione alla fine

dell'Ottocento, opera di una sola persona, Georg Cantor.

Nel 1900 è pubblicata la prima esposizione sistematica generale della teoria.

Quando nel mondo occidentale impazzava 'l’insiemistica' a partire dalla scuola primaria, in Italia esisteva

solo qualche equilibrata iniziativa. Oggi, proprio quando in tutto il mondo si riconosce l’inadeguatezza

didattica della ‘insiemistica a tutti i costi’, fra gli insegnanti italiani si diffonde l’abitudine di iniziare l’anno

scolastico con la teoria degli insiemi.

Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti primitivi della matematica

ognuno di noi dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo stesso per

ciascuno di noi. Comunque intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli

oggetti se riusciamo a considerarli collegati tra loro allora abbiamo un insieme. La

prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che compongono l'insieme devono

sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.

Elisa Ramaccia ISD

Storia dell’insiemistica La teoria degli insiemi è arrivata ad essere una teoria fondamentale alla fine del XIX secolo dalla

scoperta del matematico tedesco Georg Cantor. I concetti basilari della teoria degli insiemi sono

"insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti,

chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti

matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Inizialmente fu sviluppata quella che

ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva". Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire

qualsiasi operazione sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di

Russell. Per affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con

un approccio assiomatico.

Inoltre gli insiemi anche se non accorgendoci fanno parte della nostra vita e quotidianamente ci

servono per dividere oggetti,persone e molte altre cose in vari settori per questo possiamo dire che

la teoria dell’insiemistica è fondamentale per tutti noi e per la società.

ROTTIGNI

La storia dell’insiemistica

La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal matematico tedesco

Georg Cantor alla fine del XIX secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad

avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per

giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le

funzioni) e delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato

anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico nelle

dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria degli insiemi sono usati ovunque in

matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero relativamente piccolo di

matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono

diversi approcci ai fondamenti della matematica.

I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato

come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli

elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.

Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e

dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,

dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva" degli insiemi

(vedi teoria ingenua degli insiemi). Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire qualsiasi

operazione sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di Russell. Per

affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con un

approccio assiomatico.

Le origini della teoria rigorosa degli insiemi

L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella

di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di

appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri

naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),

anche se N è un sottoinsieme proprio di Q. D'altra parte, l'insieme R dei numeri reali non ha la

stessa cardinalità di N o Q, ma una maggiore (è detto non numerabile). Cantor fornì due

dimostrazioni della non numerabilità di R, e la seconda di queste, che sfrutta quella che è nota come

costruzione diagonale, ha avuto una straordinaria influenza e innumerevoli applicazioni in

matematica e logica.

Cantor andò oltre e costruì una gerarchia infinita di insiemi infiniti, i numeri ordinali e cardinali.

Questo procedimento era controverso ai suoi tempi, e aveva l'opposizione del finitista Leopold

Kronecker, ma oggi non c'è disaccordo significativo fra i matematici sulla correttezza delle idee di

Cantor.

Cantor sviluppò la teoria degli insiemi ancora in termini "ingenui", nel senso che non aveva una

precisa assiomatizzazione in mente. In retrospettiva, possiamo dire che Cantor usava implicitamente

l'assioma di estensionalità, l'assioma dell'infinito e l'assioma di comprensione. Tuttavia l'ultimo

porta direttamente al paradosso di Russell, mediante la costruzione dell'insieme S := {A : A non è in

A} degli insiemi che non appartengono a sé stessi. (Se S appartiene a sé stesso, allora non vi

appartiene, portando a una contraddizione, così S non può appartenere a sé stesso. Ma allora S

dovrebbe appartenere a sé stesso, portando ad un assurdo.) Quindi gli insiemisti furono costretti ad

abbandonare o la logica classica o la comprensione illimitata, e la seconda scelta fu considerata

molto più ragionevole. (Benché l'intuizionismo abbia un notevole seguito, il paradosso continua a

valere anche nella logica intuizionistica. Non c'è paradosso nella logica brasiliana, ma questa era del

tutto sconosciuta al tempo.)

Allo scopo di evitare questo paradosso e paradossi simili, Ernst Zermelo fece uso di un sistema di

assiomi per la teoria degli insiemi nel 1908. Incluse in questo sistema l'assioma della scelta, molto

controverso, che gli fu necessario per la dimostrazione del teorema del buon ordinamento (o

teorema di Zermelo). Questo sistema è stato successivamente raffinato da Adolf Fraenkel e Thoralf

Skolem, portando agli assiomi ora utilizzati.

Sabatini

Storia dell’insiemistica La teoria degli insiemi è arrivata ad essere una teoria fondamentale alla fine del XIX secolo dalla scoperta del matematico tedesco Georg Cantor. I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere

insiemi. Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva". Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire qualsiasi operazione sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di Russell. Per affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con un approccio assiomatico.

Inoltre gli insiemi anche se non accorgendoci fanno parte della nostra vita e quotidianamente ci servono per dividere oggetti,persone e molte altre cose in

vari settori per questo possiamo dire che la teoria dell’insiemistica è

fondamentale per tutti noi e per la società. La lettera del 29 Giugno 1877 è

rimasta famosa proprio per il passo: “Lo vedo ma non lo credo”.

Attraverso questa discussione entriamo in pieno a comprendere cosa

è lo strutturalismo in matematica e in pedagogia. In quest’ottica

(Klein) ci sono strutture ricche e strutture povere. Gli insiemi sono la

struttura più povera di tutte! Come matematici questo ci aiuta a

capire il concetto stesso di strutturalismo. Infatti siamo abituati che

per capire un concetto, lo si porta alle sue estreme conseguenze. Così,

tra tutte le strutture, un insieme da solo significa: nessuna struttura!

Questa lettura storica serve anche a capire come non sia affatto

naturale parlare di insiemi più qualcosa, cioè proporsi di arricchire la

struttura di insieme. Infatti la difficoltà incontrata nell'Ottocento ad

immaginare il piano come insieme, era che si sapeva già cosa è il

piano, e si doveva impoverirlo, cioè l'insieme era dato da una struttura

(già nota) meno qualcosa! L’incredulità dei contemporanei di Cantor,

e dello stesso Cantor, a credere che il piano sia in corrispondenza

biunivoca con la retta è dovuta al fatto che la continuità di una

funzione era data per scontata. Ed infatti non deve meravigliarci che

ancora oggi la continuità è un concetto che crea difficoltà

nell’apprendimento.