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30/03/2020

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento Trave nel piano

Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci

L.Cortese Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2019-2020)

ij

ui

θi

vi vj

θj

Tre gradi di libertà per nodo (nel piano)

Due nodi per elemento

Sei gradi di libertà per elemento

Vettori di elemento: 6x1Matrice di rigidezza di elemento: 6 x 6

uj

x

y

Trave piana

=

Fxi

Fyi

Mzi

Fxj

Fyj

Mzj

ui

vi

θi

uj

vj

θ j

K

Vettore forze nodali

Vettore spostamenti

nodali

Introduzione al calcolo strutturale matriciale

L.Cortese Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2019-2020)

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x′y′

Qui la difficoltà maggiore è identificare la sola matrice di rigidezza [K]. I vettori {F}p e {F}ε0 sicalcolano in maniera molto simile a quanto già visto per l’elemento asta.Per la trave piana, la matrice [K] viene prima calcolata nel sistema di riferimento locale e poiruotata nel sistema di riferimento globale.

i

j

x

y

[K] = matrice di rigidezza nel sistema globale

[K’] = matrice di rigidezza nel sistema locale

[L] = matrice di rotazione

α

Trave piana


Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2019-2020)L.Cortese

Si cerca sempre una relazione di equilibrio di elemento nella forma:

{ } [ ] { } { } { }ee

p

eeeFFdKF

0ε++=

i jui Fxi

A = area della sezione

L = lunghezza

E = Modulo di Young

Fxj

Imponendo lo spostamento nodale ui, mantenendo

vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell’elemento, si generano le forze nodali Fxi ed Fxj

Trave piana, calcolo matrice di rigidezza: componenti assiali



�� =��

�� = −

��

��

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i j ujFxi

=

Fxj

Fxi

Fxj

ui

uj

La relazione tra forze e spostamenti nodali dell’elemento può essere scritta in forma matriciale


Queste sono le Fxi ed Fxj

totali, somma dei contributi dovuti agli spostamenti ui e uj agenti singolarmente:


In modo analogo è possibile trovare sipossono trovare le parti Fxi ed Fxj dovutequesta volta al solo spostamento uj :


�� =��

�� = −

��

��

�� =��

�� = −

��

��

=

Fxi

Fyi

Mzi

Fxj

Fyj

Mzj

ui

vi

θi

uj

vj

θ j

A = area della sezione

L = lunghezza

E = Modulo di Young

i jui Fxi Fxj

La matrice di rigidezza dell’elemento trave, nel piano, ha dimensioni 6x6.

Conviene quindi espandere la matrice 2x2, relativa alle sole componenti assiali, in una matrice 6x6.

I coefficienti non definiti sono per il momento nulli.




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Trave piana, calcolo matrice di rigidezza: componenti flessionali


Per individuare le componenti flessionali si dovrebbe procedere in modo analogo a quantovisto per le componenti assiali: imponendo uno spostamento alla volta si osservano le forzeche si generano conseguentemente. In questo modo è possibile ricavare i coefficienti dellamatrice [K], a patto di risolvere un problema iperstatico..

Mi

Fyi

vii j

Mj

Fyj

Mi

Fyi

θi

i jMj

Fyj

Etc…


=??

??

??

??

��

� �

��

�

Conviene invece applicare più condizioni contemporaneamente su una struttura isostatica e poi usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera all’altro:

L = lunghezza

E = Modulo di Young

J = Momento d’inerzia della sezione

dove:Fyi

vi

Applicando all’estremo libero una forza Fyi , normale all’asse della

trave, si otterrà uno spostamento vi , dato dalla nota relazione:

θi

ed una rotazione θi, data dalla relazione:

Convenzione per momenti e rotazioni:positivi se antiorari



��

��

i

i


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vi

θiMzi

Applicando invece un momento Mzi , i valori dello spostamento

vi e della rotazione θi sono calcolati dalle relazioni:

L = lunghezza

E = Modulo di Young


dove:


Conviene invece applicare più condizioni contemporaneamente su una struttura isostatica e poi usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera all’altro:


� ��

i

� ��i


Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera all’altro.

Fyi

viθiMzi

L = lunghezza

E = Modulo di Young


dove:

Applicando all’estremo libero sia la forza Fyi che il momento Mzi

si ottengono lo spostamento vi e la rotazione θi

Invertendo, mediantesemplici passaggi:



� �

��

�

��

� ��

� ��


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=

Fyi

Mzi

vi

θi

I coefficienti calcolati per il nodo i, relativi ai gradi di libertà vi e θi , possono essere dunque

espressi in forma matriciale:

N.B. Anche in questo caso le forze sono la quota parte dovuta agli spostamenti presi inconsiderazione. Stesso discorso per i calcoli delle diapositive successive. Soltanto quandoverrà considerata la matrice di rigidezza completa le forze saranno quelle totali




La forza ed il momento relativi al nodo j e dipendenti dallo spostamento e dalla rotazione

del nodo i possono essere calcolati utilizzando le equazioni di equilibrio:

da cui si ricava immediatamente che:

Dall’equilibrio dei momenti si ottiene:

�� − � �� =



� �� = −�� = 0

��

−�� = 0


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Quindi i coefficienti calcolati per il nodo j, relativi ai gradi di libertà vi e θi , possono essere

espressi in forma matriciale:

=

Fyj

Mzj

vi

θi




Per il nodo j si procede in modo analogo, a meno del diverso

segno dei momenti e delle rotazioni:

In questo caso, applicando all’estremo libero

sia la forza Fyj che il momento Mzj si ottengono

le seguenti relazioni per lo spostamento vj e la

rotazione θj:

Convenzione per momenti e rotazioni:positivi se antiorari

=

Fyj

Mzj

vj

θj

Operando come nel caso precedente si giunge alla seguente relazione matriciale:


Fyj

vjθjMzj


j

j

��

��

� ��

� �


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Di conseguenza i coefficienti calcolati per il nodo i, relativi ai gradi di libertà vj e θj , possono

essere espressi in forma matriciale:

=

Fyi

Mzi

vj

θj


Sfruttando ancora le condizioni di equilibrio si ha:


� �� = −�� = 0

−�� = 0 �� − � � �=


vj

θj

vi

θi

I coefficienti di rigidezza flessionali possono essere rappresentati in una matrice 4 x 4 come segue

Vyj

Mzj

Fyi

Mzi

=




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uj

Ora sono noti tutti i coefficienti di rigidezza dell’elemento e può essere scritta l’intera matrice di rigidezza dell’elemento.

=

Fxi

Fyi

Mzi

Fxj

Fyj

Mzj

ui

vi

θi

vj

θ j

Trave piana: Matrice di Rigidezza di Elemento, riferimento locale

N.B. i termini nulli indicano che non vi è

accoppiamento tra forze assiali e momento flettente e tra forze

assiali e taglio. Questo è previsto dalla teoria

elementare della trave.



La matrice di rigidezza ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale.

Per calcolare la matrice nel sistema globale è necessario eseguire il prodotto matriciale:

Dove [L] è la matrice di rotazione, che può essere scritta in funzione dell’angolo α che

dipende dalle coordinate nodali dell’elemento, scritte nel sistema globale.

i

j

α

xi

xj

yj

yi

Trasformazioni di coordinate

N.B. Nel caso dell’asta piana ilriferimento locale è ruotato rispettoal globale attorno all’asse z, cheresta comune ai due sistemi



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La matrice di rotazione [L] scritta nel piano, per due gradi di libertà di traslazione

ed uno di rotazione, ha la forma:

La trasposta si ricava molto semplicemente scambiando le righe con le colonne:




Il primo prodotto matriciale:

Abbreviazioni:




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Il secondo prodotto matriciale:

Abbreviazioni:




La matrice di rigidezza 6 x 6 di un elemento trave nel piano è dunque:

Trave piana: Matrice di Rigidezza di Elemento, riferimento globale


A = area della sezioneL = lunghezza

E = Modulo di Young


Per calcolarla è necessario conoscere la caratteristica elastica del materiale e i dati geometrici dell’elemento:


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Una volta ricavata la matrice di rigidezza [K], nell’equazione di equilibrio della trave piana

rimangono da calcolare i vettori nodali equivalenti che equilibrano i carichi distribuiti:

Carico uniformemente distribuito p: in questo caso lo schema è quello di una trave incastrata-incastrata:

{ } [ ] { } { } { }ee

p

eeeFFdKF

0ε++=

Elemento trave piana, effetto dei carichi distribuiti



2

pL2

pL

j

i

p

x

y

��

12

��

12� �

� =��

�

=

−��

2�

��

2�

��

12

−��

2�

��

2�

−��

12 �

�

Le forze nodali che impediscono le deformazioni iniziali sono le stesse già viste per l’asta piana:

x

y

j

i

∆TATEF

ET

c ⋅∆⋅⋅=

=∆=

α

εσαε000

cF

cF

T∆⋅= αε0



Elemento trave piana, effetto dei carichi distribuiti

� �� =

��

�

= ��Δ�

�

�

0

−�

−�

0 ��

�

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Trave piana: stato di tensione e deformazione nell’elemento


Mzi

Fyi Mzj

Fyj

Fxi

Fxj


Nella configurazione di equilibrio, per ogni sezione individuata dall’ascissa x, sono note le caratteristiche di sollecitazione (sforzo normale, taglio e momento flettente) agenti ai nodi, calcolabili tramite la una volta noti gli spostamenti nodali. { } [ ] { } { } { }ee

p

eeeFFdKF

0ε++=

Trascurando l’effetto del taglio, lecito per travi snelle, ai nodi si avrà uno stato di tensionee deformazione monoassiale indotto dalla sovrapposizione degli effetti normali eflessionali. I due punti critici coincidono con la fibra tesa e compressa delle sezioni ainodi, e si avrà:

!��"#$% =

��

!�"#$% =

��

!��&'��

= ±� �

)* !�

&'��= ±

�

)*

!+#+ = !�,- = !"#$% � !&'��

Trave piana: stato di tensione e deformazione nell’elemento


All’interno dell’elemento l’identificazione di tensioni e deformazioni è più complessarispetto di quanto visto ai nodi per la presenza dei carichi distribuiti e delle def. Iniziali.Si avrà quindi in generale {ε}={ε(x)}, {σ}={σ(x)}, con x orientata come l’asse della trave.

E’ comunque possibile identificare gli effetti (in campo elastico vale anche il p.s.e, per cui sipossono valutare un effetto alla volta e poi sommarli), utilizzando la teoria della trave.

Mzi

Fyi Mzj

Fyj

Fxi

Fxj

p


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