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Una proposta per la matematica del Primo Biennio tra contenuti e attivit (scuola sec. di II grado)Pierangela AccomazzoSilvia Beltramino Ercole CastagnolaLuigi TomasiConvegno UMI-CIIM, Salerno 17-18-19 ottobre 2013

Fare matematica nella scuola di tutti dedicato a Emma CastelnuovoS1

Pierangela AccomazzoMarilina AjelloGianpaolo BaruzzoSilvia BeltraminoSebastiano CappuccioMaria Angela ChimettoRossella GarutiRaffaella ManaraPaola RanzaniRiccardo RugantiLuigi TomasiSergio ZoccanteLa Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari di Matematica I BiennioCoordinatore: Ercole CastagnolaSCommissione Italiana per lInsegnamento della Matematica, commissione permanente dellUMI) per dare risposta a una precisa richiesta, da parte di molti docenti del biennio di Scuola Secondaria, di avere indicazioni pi dettagliate e precise sui percorsi didattici da programmare e realizzare allinterno delle proprie classi.

Le linee guida indicate dalla CIIM:Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in vigore sullobbligo scolastico.Continuit con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del Primo Ciclo.Flessibilit delle proposte didattiche per un facile adattamento a ogni corso di studi della Scuola secondaria di II grado.Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilit e gi sperimentati.Particolare attenzione alle novit delle Indicazioni relative agli ambiti Geometria e Dati e previsioni.Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento informatico.Modalit per la realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale.Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.Indicazioni sulle prove di verifica.S3Due proposte di percorso a seconda degli ordini di scuola e degli orari curricolari per la matematicaPercorso sinteticoPercorso analiticoMATEMATICAS4I quadri orari della scuola del riordino: i corsi con Matematica debole

COSA? Quali argomenti sono irrinunciabili? Che cosa considerare gi svolto negli anni precedenti?COME? Con quale profondit, con quali metodologie?COME valutare? Che cosa? Quali argomenti irrinunciabili? Lattenzione a non escludere nuclei tematici importanti (es. Dati e previsioni)Come? Con quale profondit, con quali metodologie? Interpretare la verticalit dellapprendimento: che cosa dare per gi noto? Come valutare?

trattazione approfondita trattazione intuitiva;verticalit della formazione

Le scelte della Commissione:Non penalizzare nessun ambitoEvidenziare i collegamenti tra i vari ambitiin orizzontale (Nuclei diversi) in verticale (primo/secondo Ciclo)Articolare gli argomenti in blocchi tematici, con indicazioni metodologichenumero di ore indicativo Per ogni blocco si suggeriscono una o pi attivit

sUn esempio di attivit di Aritmetica e algebra presente in rete: Il livello del mareSi parte dal sito:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/e si apre la seguente pagina

s7Scendendo lungo la pagina si arriva a Si clicca su m@t.abel e si apre la pagina

s8

Si clicca su NUMERI e si arriva alla paginas9dove sono contenute le attivit m@t.abel attualmentedisponibili per il nucleo NUMERI. Scorrendo lungo lapagina si arriva a

s10Cliccando su IL LIVELLO DEL MAREsi arriva a

s11da cui possibile sia scaricare la versione testuale (zippata) che utilizzare la versione multimediale

s12I parte Aritmetica e algebra

Le Indicazioni/Linee guida (Aritmetica e algebra)Una proposta di percorso (sintetico) per Aritmetica e algebra I biennioUnattivit da fare in classe (Il livello del mare, m@t.abel)Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica e algebra al termine del I biennio?Considerazioni didattiche

s13La suddivisione oraria del primo annoAritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Propriet essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)Percorso sintetico

Aritmetica e algebraS P14Percorso sinteticoAritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5h(R1):Introduzione al concetto di funzione.Raggruppamenti comuni10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni).5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Propriet essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi.

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)Percorso sintetico Primo anno S15Percorso sinteticoPercorso sintetico Secondo annoAritmetica e algebra10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali.

Relazioni e funzioni15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2.Raggruppamenti comuni5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni).5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria).10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria).Geometria20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso largomentazione.Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo).

Dati e previsioni15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilit fino alla prima introduzione della probabilit condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). S16ARITMETICA E ALGEBRANelle Indicazioni nazionali si legge:

il primo biennio sar dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico

[] lo studente acquisir la capacit di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante unequazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica

P Le propriet delle operazioni negli insiemi numerici devono essere interiorizzate e non date per scontate, per arrivare a riconoscere lequivalenza fra formule apparentemente diverse; la decantazione del significato deve poggiare su basi ben solide per poter applicare, quando necessario, la "macchina del calcolo".

stato sottolineato che l'obiettivo dell'insegnamento dell'algebra far s che "gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura segnica. D'altra parte non si tratta di fare cose diverse o in pi rispetto a quelle che di solito si fanno; si tratta solo di farle con una prospettiva, una metodologia e in un contesto diverso".Nel trasformare una formula si pu produrre nuova informazione e rivelare aspetti inconsueti della situazione a cui la formula si riferisce.La sensazione dei simboli guida nella manipolazione di espressioni del linguaggio algebrico, passando a espressioni equivalenti (ossia aventi lo stesso significato), ma pi adeguate a scoprire propriet. (da Algebra, fra tradizione e rinnovamento, MIUR, 2005). n+12 5 - 4+40 Cosa ottieni?77+12(7+12)5(7+12)5 47[(7+12)5 - 47]+40Pensa un numero intero somma ad esso 12 moltiplica il risultato per 5 sottrai 4 volte il numero pensato somma al risultato 40

Che numero hai ottenuto?Prova ora a generalizzare lespressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato

m@t.abelLuso delle lettere non si riduca al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda e serva ad esprimere le propriet dei numeri

Indicazioni del Percorso SinteticoLaritmetica aiuta lalgebra e lalgebra aiuta laritmetica5( n + 12) 4n + 40 = 100 + nP lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

Laritmetica aiuta lalgebra e lalgebra aiuta laritmeticaLa gara di calcolo mentale ovvero altri trucchi magici

Considera il prodotto 1525puoi riscriverlo come (20 5)(20 + 5)quindi per la solita propriet, hai2020 + 205 520 55dopo le semplificazioni ottieni2020 + 205 520 55 Cio202 52.

Prova tu ora a calcolare in questo modo i prodotti seguenti:2832 =97103 =

Interpretare geometricamente lequivalenza di due formuleesprimere con parole e con formule le regolarit osservate

Indicazioni del Percorso SinteticoEseguire operazioni tra numeri a mente con gli usuali algoritmi scritticon strumenti valutando quale strumento pu essere pi opportuno

Indicazioni del Percorso Sintetico

P la Geometria una parte fondamentale del curricolo di matematica ed offre la base intuitiva per una visualizzazione di molti dei concetti matematici che si riscontrano sia nel mondo reale che negli altri ambiti di contenuto Laritmetica aiuta lalgebra e lalgebra aiuta laritmeticaDalla congettura, allargomentazione, alla dimostrazione:i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi

Indicazioni del Percorso Sintetico

Si sa che il prezzo p di un abito ha subto una maggiorazione del 6% e, altres, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, per, se sia avvenuta prima luna o laltra delle operazioni. Che cosa si pu dire del prezzo finale dellabito?

P20Il livello del mare (m@t.abel).L'attivit affronta i problemi legati alle stime degli ordini di grandezza. In effetti, saper stimare correttamente un ordine di grandezza, o saper approssimare dei valori, rappresenta una difficolt diffusa. Proponendo problemi anche legati a situazioni reali, si capisce che in certi casi importante l'ordine di grandezza, mentre il numero di cifre significative diventa secondario. All'inizio dell'attivit si introduce la notazione scientifica per rappresentare i numeri e si discute l'uso di questa scrittura per valutare l'ordine di grandezza. Si tratta di strumenti fondamentali per un cittadino, perch spesso arrivano dai mass media informazioni che vengono accolte con scarsa capacit di analisi e senza un adeguato "senso dei numeri". Analizzando e ragionando su un importante tema d'attualit ("di quanto si innalzerebbe il livello dei mari se tutti i ghiacciai si sciogliessero?"), si affrontano in un caso concreto le diverse problematiche inerenti l'ordine di grandezza, la precisione, l'approssimazione.

m@t.abelIl livello del mare

Un esempio di attivit per il I annoP lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

(5,6 E 5) + (1,4 E 5) (3,6 E 2) + (1,1 E 5) (7,2 E 3) (5,4 E 2)(4 E 2) (1,1 E 5)(4 E 8) (3 E 1)(9,6 E 2) + (1,4 E 0)(3,6 E 2) (1,1 E 5)(3,6 E 2) (1,1 E 4)(3,6 E 2) : (4 E 5) Qual il risultato?

Un punto critico nel trattare le operazioni con la notazione scientifica la propagazione degli errori nel calcolo approssimato.

m@t.abelIl livello del mare

Notazione scientifica dei numeri: precisione e ordine di grandezzaP lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

Consigli e sconsigli importante mantenere forte, soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire allallievo che il calcolo algebrico non fine a se stesso.

Nellaffrontare le tecniche di calcolo algebrico sar opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il senso di una formula in un certo contesto) e labilit sintattica (cio di calcolo formale) che in parte legata alladdestramento. P Da m@t.abel, Numeri:i concetti e le capacit di calcolo siano acquisiti in modo corretto, motivato, e rimangano quindi stabilmente nelle conoscenze e nelle competenze degli alunniindividuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il senso di una formula in un certo contesto) e labilit sintattica (cio di calcolo formale) che in parte legata alladdestramento: la sicurezza nel calcolo si raggiunge anche con la consapevolezza dei procedimenti seguiti

Consigli e sconsigliGli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo

Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a esprimere con parole e con formule le regolarit osservate (eventualmente anche mediante rappresentazioni grafiche), a fare previsioni un utile strumento di lavoro il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici algoritmi implementabili sul calcolatore

P24

Non trasferiscono allambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. Lalgebra non strumento di pensiero Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7Classe II sup. 2011PROVE INVALSI25P Soluzioni:Ordine di grandezza - lordine di grandezza di 10^37 + 10^38 10^38, Raccoglimento a fattor comunese la domanda avesse fornito (anzich l'espressione numerica 1037+1038) l'espressione simbolica x37+x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando cos l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito pi specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le propriet dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare lalgebra come strumento di pensiero. difficile non essere daccordo con quanto riportato sul Quaderno SNVSolo poco pi del 20% degli studenti riconosce che 1037 +1038 = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovrebbero risultare palesemente scorrette in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco. plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anzich l'espressione numerica 1037 + 1038) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando cos l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito pi specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le propriet dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare lalgebra come strumento di pensiero.In ogni caso la presenza di un numero cos rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria, invita a una riflessione sullopportunit didattica di molte attivit di manipolazione simbolica fini a se stesse che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso pi che sufficienti per determinare la risposta corretta).

S26

Classe II sup. 2012

Se il contesto quello delle lettere gli allievi individuano pi facilmente la propriet delle operazioni a cui fare ricorso.I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati.PROVE INVALSIP27Classe II sup. 2012PROVE INVALSIMa gi alla fine del I Ciclo i problemi non mancano![da PN 2012]

P28ConoscenzeAbilitCompetenzeAttivitEquazioni e disequazioniEquazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici Relazioni e funzioni, funzioni lineari Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti.Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa.Impostare e risolvere problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado.Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati.Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con lausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialit offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico1F - Allineamenti esploriamo le funzioni lineari (m@t.abel)Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le propriet qualitative delle funzioni2F - Equazioni e disequazioni di primo grado (m@t.abel) 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono (m@t.abel)Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni4 Fare matematica con i documenti storici equazioni (IPRASE)Documento ricco di spunti e attivit. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi proposti nella storia che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare unequazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo.5F Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito:http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.6F Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)7F Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa)Percorso analitico Aritmetica e algebraS29Un esempio di attivit di Geometria presente in rete: Ombre e proporzionalitSi parte dal sito:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/e si apre la seguente pagina

s30Scendendo lungo la pagina si arriva a

Si clicca su m@t.abel e si apre la paginas31

Si clicca su GEOMETRIA e si arriva alla paginas32dove sono contenute le attivit m@t.abel attualmentedisponibili per il nucleo GEOMETRIA. Scorrendo lungo lapagina si arriva a

s33Cliccando su OMBRE E PROPORZIONALITsi arriva a

s34da cui possibile sia scaricare la versione testuale (zippata) che utilizzare la versione multimediale

s35II parte - Geometria

Le Indicazioni/Linee guida (Geometria)Una proposta di percorso (sintetico) per la Geometria I biennioUnattivit da fare in classe (Ombre e proporzionalit, m@t.abel)Cosa ci dicono le prove INVALSI sulla geometria al termine del I biennio?Considerazioni didattiche

s36La suddivisione oraria del primo annoAritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Propriet essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)Percorso sintetico

Geometria

GeometriaP37Percorso sinteticoAritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5h(R1):Introduzione al concetto di funzione.Raggruppamenti comuni10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni).5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Propriet essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi.

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)Percorso sintetico Primo anno S38Percorso sinteticoPercorso sintetico Secondo annoAritmetica e algebra10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali.

Relazioni e funzioni15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2.Raggruppamenti comuni5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni).5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria).10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria).Geometria20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso largomentazione.Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo).

Dati e previsioni15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilit fino alla prima introduzione della probabilit condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). S39GEOMETRIANelle Indicazioni nazionali si legge:

Il primo biennio avr come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano. lapproccio euclideo non sar ridotto a una formulazione puramente assiomatica.

[] La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sar effettuata sia mediante strumenti tradizionali (riga, compasso,) sia mediante strumenti informatici di geometria.

P Le propriet delle operazioni negli insiemi numerici devono essere interiorizzate e non date per scontate, per arrivare a riconoscere lequivalenza fra formule apparentemente diverse; la decantazione del significato deve poggiare su basi ben solide per poter applicare, quando necessario, la "macchina del calcolo".

stato sottolineato che l'obiettivo dell'insegnamento dell'algebra far s che "gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura segnica. D'altra parte non si tratta di fare cose diverse o in pi rispetto a quelle che di solito si fanno; si tratta solo di farle con una prospettiva, una metodologia e in un contesto diverso".Nel trasformare una formula si pu produrre nuova informazione e rivelare aspetti inconsueti della situazione a cui la formula si riferisce.La sensazione dei simboli guida nella manipolazione di espressioni del linguaggio algebrico, passando a espressioni equivalenti (ossia aventi lo stesso significato), ma pi adeguate a scoprire propriet. (da Algebra, fra tradizione e rinnovamento, MIUR, 2005). Ombre e proporzionalit (m@t.abel).Gli studenti sono coinvolti in situazioni problematiche, in cui devono individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalit diretta,), quindi costruire modelli a partire da dati, utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari,). Infine entrando nello specifico delle similitudini, da un punto di vista teorico, ne analizzano propriet e invarianti, collegandole alle situazioni reali ad esse riconducibili.

m@t.abelSi affronta il nodo concettuale delle similitudini, partendo dallanalisi di situazioni reali fino a giungere al nodo cruciale del teorema di Talete, unitamente alle sue conseguenze nel piano favorendo lacquisizione della consapevolezza del suo ruolo fondamentale nella geometria piana.

Indicazioni del Percorso SinteticoOmbre e proporzionalit

Un esempio di attivit per il II annoP lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

m@t.abelOmbre e proporzionalit

Talete e laltezza della piramideQuanto alto questo lampione?P lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

m@t.abelOmbre e proporzionalit

Bastoncini, gnomoni,obelischi

P lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

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La similitudine: applicazioni ed approfondimenti con un software di geometria dinamica

P lutilizzo delle lettere precede lusuale calcolo algebrico, ed inizialmente finalizzato a generalizzare propriet numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passer allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

giochi di "magia matematica" e sfide di capacit di calcolo mentale sono il cuore di questa attivit in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamoall'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficolt che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono cos situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attivit allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali.

Obiettivi dell'attivit:- comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le propriet che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto pi generale;- saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

Consigli (geometria) Non partire da unimpostazione assiomatica, ma mettere in evidenza limportanza dei teoremi, senza far imparare troppe dimostrazioni; impossibile, non c il tempo e si perderebbe il significato di quelle poche che sono veramente importanti: dimostrare tutto come non dimostrare nulla. Argomentare e congetturare vengono prima di dimostrare

Mantenere la geometria connessa agli altri ambiti e sottolineare continuamente i collegamenti tra di loro La geometria non un formulario per trovare lunghezze, aree e volumi; necessario presentarla come un ambito molto importante per scoprire, sperimentare, visualizzare, argomentare propriet e collegamenti tra una teoria matematica e il mondo realeGEOMETRIAP Da m@t.abel, Numeri:i concetti e le capacit di calcolo siano acquisiti in modo corretto, motivato, e rimangano quindi stabilmente nelle conoscenze e nelle competenze degli alunniindividuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il senso di una formula in un certo contesto) e labilit sintattica (cio di calcolo formale) che in parte legata alladdestramento: la sicurezza nel calcolo si raggiunge anche con la consapevolezza dei procedimenti seguiti

e Sconsigli (geometria)Si sconsiglia di trascurare la geometria: vuol dire privare gli allievi di un ambito estremamente importante per lapprendimento della matematica e tarpare le ali anche agli altri ambiti del sapere matematicoSi sconsiglia di chiedere definizioni imparate solo a memoria; prima occorre capire e costruire i concetti e poi definire; gli allievi comprendono anche se non sanno ancora definire

Si sconsiglia di presentare una dimostrazione in modo dettagliato (mettendo cio in evidenza i vari passi e che cosa si utilizza per giustificarli) se prima non chiaro il significato che ha il dimostrare e che cosa esso presuppone (una teoria, degli assiomi,)

GEOMETRIAP46Classe II sup. 2011GEOMETRIA - PROVE INVALSIDa fare!

ItemMancatarispostaOPZIONIABCDD7_b5,933,130,624,85,747P Soluzioni:Ordine di grandezza - lordine di grandezza di 10^37 + 10^38 10^38, Raccoglimento a fattor comunese la domanda avesse fornito (anzich l'espressione numerica 1037+1038) l'espressione simbolica x37+x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando cos l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito pi specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le propriet dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare lalgebra come strumento di pensiero. Classe II sup. 2012GEOMETRIA - PROVE INVALSI

P48Un cenno al problema della verifica e della valutazioneLattenzione ai comportamenti degli studentiUna griglia per losservazione in laboratorioProve che tendano a verificare la spendibilit delle nozioni apprese in contesti diversi

P49http://www.invalsi.it

s5051Unosservazione importante sul percorso e sulle attivit proposte

Il documento CIIM che abbiamo presentato sardisponibile sul sito CIIM:http://www.umi-ciim.it/

Non tutte le attivit m@t.abel per il secondo bienniosono attualmente disponibili sul sito precedentementeindicato:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/

Poich si tratta di lavori in corso, sar opportunotornare periodicamente su tale sito e controllare leattivit presenti.s51