Università degli Studi della Basilicata

Facoltà di Ingegneria Ingegneria Meccanica

Piani sperimentali

Complementi di probabilità e statistica

Docente Studente Di Nardo Elvira Cataldo Debora

Matr. 22604

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1. Introduzione

Quando si è interessati a testare una ipotesi statistica, è possibile effettuare degli

esperimenti che ci diano dei dati che manipolati offrano una risposta al nostro

problema, ovvero che ci dicano se l’ipotesi fatta possa essere o meno accettata.

Rilevante, quindi, risulta essere il problema inerente la sperimentazione stessa e

l’estrapolazione dei dati che deve essere tale da poter far ritenere attendibili le

misurazioni effettuate e le conseguenze da esse ricavate.

Per tale motivo è sorto un settore della statistica denominato Piani sperimentali o

Disegni sperimentali che studia proprio le metodologie di registrazione dei risultati

degli esperimenti.

Nel testare una ipotesi si è spesso in presenza di un fattore che può assumere vari

livelli (=valori) tra cui bisogna scegliere il ‘migliore’ in relazione alle caratteristiche

del nostro problema.

Per effettuare ciò, vengono scelte tra l’intera popolazione, attraverso determinati

algoritmi definiti piani di campionamento, n opportune unità sperimentali che

vengono sottoposte ai vari trattamenti di prova (=ai vari livelli assegnati al fattore nel

corso dell’esperimento). Vengono così osservati gli effetti del fattore, ovvero i

cambiamenti indotti nella sperimentazione da una variazione di livello del fattore, e

registrati i dati che saranno successivamente interpretarti mediante opportune

tecniche statistiche quali l’ ANOVA.

In generale è possibile dover studiare più fattori contemporaneamente ognuno con

diversi livelli e in tal caso il trattamento di prova per ogni unità sarà costituito dalla

combinazione dei vari trattamenti di prova ottenuti considerando un fattore per volta.

Sempre in questo ultimo caso vi è da sottolineare che diviene importante

comprendere, non solo gli effetti dei singoli fattori, ma anche le eventuali interazioni

e dipendenze tra i vari fattori.

Possiamo riportare un esempio che illustri meglio quanto fin qui detto: ipotizziamo di

voler testare l’ipotesi per cui lo stile di guida di una autovettura influenzi

3

l’inquinamento atmosferico prodotto dalla vettura stessa, e che si sia scelto di

effettuare le sperimentazioni tutti su una unica vettura che sarà guidata da diversi

piloti.

In tale esempio possiamo individuare due fattori: lo stile di guida e l’ inquinamento

atmosferico i cui rispettivi livelli sono determinati dallo stile di guida di ogni pilota e

dalle prestazioni dell’auto. L’unità sperimentale è la macchina scelta e il trattamento

è quello di utilizzare diversi piloti che hanno, quindi, una tecnica di guida diversa.

4

2. Il quadrato latino

Se ipotizzassimo, per l’esempio precedente, un piano di campionamento così

definito: ogni giorno per 5 giorni vengono provati tutti e 5 i piloti su una stessa

autovettura in ordine casuale; allora avremmo un piano definito quadrato latino.

Quindi, se 1 2 3 4 5 sono le prove per ogni giorno, Lu Ma Me Gi Ve sono i giorni di

prova e A B C D E i piloti; un possibile quadrato latino è il seguente:

Lu Ma Me Gi Ve

1 A D E B C

2 E B C D A

3 C A D E B

4 B E A C D

5 D C B A E

Fig. 2.1

Ovviamente, affinché i risultati siano il più attendibile possibile, è necessario un

algoritmo per la generazione di elementi casuali che ci fornisca le combinazioni di

piloti per ogni giorno.

Infine possiamo considerare un altro esempio:

ipotizziamo di voler testare l’effetto di cinque modelli di un propulsore a razzo usato

nel sistema di scarico dell’aria sulla velocità di combustione. I possibili modelli del

razzo sono 5 e corrispondono a diversi insiemi di materie prime. Inoltre, tali modelli

sono preparati da diversi operatori con una sostanziale differenza dovuta alla diversa

esperienza. Esistono, cioè, due fattori che devono essere controllati durante

l’esperimento: l’insieme delle materie prime e gli operatori. Per fare questo un

corretto piano di campionamento risulta essere quello di testare tutti i modelli per

5

ogni insieme di materie prime e per ogni operatore che preparare tutti quelli possibili.

Avremo, cioè, un quadrato latino di questo tipo:

OPERATORE

Fig. 2.2

In cui le varie lettere dell’alfabeto A -E indicano i diversi modelli.

Possiamo notare che il piano ha una disposizione a quadrato ed usa le lettere

dell’alfabeto latino A -E ed è per questo ha assunto il nome di quadrato latino.

Questo piano di campionamento, dunque, è usato per controllare due possibili cause

di disturbo per la variabilità di un esperimento, possiamo dire che le righe e le

colonne rappresentano due restrizioni sulla randomizzazione dell’esperimento.

In generale, possiamo avere un quadrato latino con p fattori e quindi un quadrato con

p colonne e altrettante righe. Ognuna delle p2 celle contiene una delle p lettere

dell’alfabeto che corrisponde al trattamento e ogni lettera è presente una sola volta in

ogni riga e in ogni colonna.

Un quadrato latino nel quale la prima riga e la prima colonna contengono le lettere

scritte in ordine alfabetico è chiamato quadrato latino standard.

1 2 3 4 5

1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24

2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36

3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21

4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22

5 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

MATERIE PRIME

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3. Piani fattoriali

3.1 Introduzione ai piani fattoriali

Dalla trattazione fin qui fatta si può evincere come fondamentale risulti essere la

scelta dei livelli del fattore che vogliamo esaminare. Tale passo è precedente alla

scelta del piano di campionamento e, soprattutto, dipende fortemente dalla natura del

fenomeno in interesse, dalla natura del fattore e da scelte arbitrarie di chi gestisce la

sperimentazione stessa.

In particolare, la scelta dei livelli del fattore può avvenire in due modi:

1. i livelli sono già specificati dallo sperimentatore. In questo caso è possibile

effettuare un test sulle medie utilizzando un modello ad effetti fissi in quanto

gli effetti del trattamento sono ritenuti costanti. Ma lo svantaggio di tale

metodo è che le conclusioni ottenute non possono essere estese a trattamenti o

livelli che non sono stati considerati nell’analisi effettuata.

2. i livelli sono scelti tra una popolazione più larga. In tal caso si utilizza un

modello ad effetti casuali in cui gli effetti dei trattamenti sono considerate

variabili aleatorie indipendenti. In tal caso si effettua un test sulla variabilità tra

i livelli il cui limite è il fatto che la conoscenza di quelli sotto indagine non è

estremamente importante.

Se siamo in presenza di un solo fattore con k livelli è sufficiente analizzare n*k=N

unità sperimentali. Tali unità saranno sottoposte ad un piano che può essere:

a. completamente casualizzato, ovvero ogni unità sperimentale è sottoposta ad

uno solo dei vari trattamenti.

b. casualizzato a blocchi, in cui le varie unità sperimentali sono sottoposte a tutti i

livelli dei fattori.

7

Naturalmente a seconda dei due casi e dei livelli del fattore, i dati verranno

interpretati con tecniche statistiche diverse, in particolare possiamo considerare il

seguente schema:

Fig.3.1.1 Il problema insorge se aumentiamo il numero dei fattori ed in questo caso non

possiamo più lavorare così semplicemente ma sono necessarie ulteriori

considerazioni.

In tale evenienza possiamo pensare di agire in due modi differenti: possiamo

cambiare i vari fattori uno per volta, e in tal caso avremmo un approccio classico al

problema, oppure potremmo fare un test sperimentale su ogni trattamento ovvero su

ogni combinazioni di livelli, e in tal caso avremmo quello che si definisce un

approccio statistico.

Per capire meglio la filosofia alla base dell’approccio classico, ipotizziamo che un

ingegnere chimico voglia, in un determinato processo chimico, valutare gli effetti del

tempo e della temperatura di reazione, e ipotizziamo che da ricerche teoriche abbia

precedentemente stabilito che risultano essere significativi due livelli per il tempo (1

ora e 1,5 ore) e due per la temperatura ( 120 F e 150 F).

Seguendo l’approccio classico al problema si può pensare di fissare inizialmente la

temperatura a 120 F e misurare l’effetto dopo un ora e dopo un’ora e mezza e

successivamente portare la temperatura a 150 F, si ha in tal caso uno schema del tipo:

Fig. 3.1.2

Livelli A Blocchi Su Unità

2 T-student Anova ad un fattore

>2 Anova ad un fattore

A blocchi

Anova ad un fattore

120 F 150 F

1 h x(1) x(3)

1.5 h x(2) x(4)

8

In cui le x(i) rappresentano le osservazioni effettuate in quel preciso ordine.

Per comprendere meglio, invece, le differenze tra i due approcci consideriamo il caso

in cui si voglia determinare gli effetti di due fattori A e B su una prestazione x, e

ipotizziamo di voler ottenere stime basate su quattro osservazioni sperimentali.

Utilizzando un approccio classico, potrei pensare di far partire gli esperimenti con

una combinazione dei livelli del fattore A1 e B1 per poi cambiare il livello di A

portandolo ad A2, successivamente si potrebbe cambiare anche il fattore B per

portarlo a B2 e valutare tutti i vari effetti; avremmo una situazione del tipo:

Fig. 3.1.3

Con k=1,2,3,4 le xijk sono le quattro osservazioni per ogni combinazioni di livelli e le

frecce indicano il verso dei cambiamenti dei fattori avvenuti, rigorosamente, uno per

volta.

Da notare che in tutto avremmo bisogno di 12 osservazioni.

L’effetto del fattore A è dato da:

Similmente, per il fattore B:

B1 B2

A1 x11k

A2 x21k x22k

9

In un approccio statistico, invece, si deve prevedere la sperimentazione per ogni

coppia di livelli. In questo caso sono sufficienti solo due osservazioni per coppia, per

un totale di 8 osservazioni, per ottenere la media su quattro unità sperimentali.

Si avrà, dunque, una situazione di questo tipo:

fig. 3.1.4

Anche in questo caso possiamo calcolarci l’effetto dei due fattori:

Ma si può calcolare anche l’effetto dell’interazione tra i due fattori:

Nel caso in cui siano presenti non più due, ma tre fattori A, B, C, ognuno dei quali

con due livelli: A1, A2; B1, B2; C1, C2. si può agire considerando separatamente i

B1 B2

A1 x11k x12k

A2 x21k x22k

10

due livelli del fattore C, in modo tale da ricondursi a due casi come quello dell’

esempio precedente:

Fig.3.1.5

L’effetto del fattore A, in questo caso, sarà dato da: effetto A= x11+ x12+ y11 +y12 _ x21+ x22+ y21 +y22 4 4 E per B: effetto B= x11+ x21+ y11 +y21 _ x12+ x22+ y12 +y22 4 4 Invece l’interazione sarà data da: effetto AB= x11+ x22+ y11 +y22 _ x12+ x21+ y12 +y21 4 4

Da notare il fatto che anche in questo ultimo esempio è stata mantenuta l’idea che gli

effetti dei fattori debbano essere calcolati utilizzando 4 unità.

Consideriamo degli esempi numerici:

Fig. 3.1.6

C1 B1 B2

A1 x11 x12

A2 x21 x22

C2 B1 B2

A1 y11 y12

A2 y21 y22

Alto Basso

Alto 10 20

Basso 30 40

Fattore B

Fattore A

11

effetto A= 30+40 _ 10+20 = 20

2 2 effetto B= 20+40 _ 10+30 = 10

2 2 effetto AB= 20+30 _ 10+40 = 0

2 2

Ovvero l’effetto di A non dipende dal livello scelto di B.

Possiamo graficare tale situazione in questo modo:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

B basso B alto

A alto

A basso

Fig.3.1.7

Le due rette corrispondenti ai valori di A alto e A basso sono tra loro parallele e

questo si verifica ogni qualvolta siamo in presenza di fattori la cui interazione è nulla.

12

Se variassimo uno solo dei dati dell’ esperimento come segue

Fig.3.1.8

La situazione varierebbe molto, infatti:

effetto A= 30+ 0 _ 10+20 = 0

2 2 effetto B= 20+ 0 _ 10+30 = -10

2 2 effetto AB= 20+30 _ 10+0 = 20

2 2

Vi è interazione tra i fattori A e B. Per capire il significato di questa ultima

affermazione calcoliamo il valore di A al livello alto di B, che risulta essere 30-

10=20, e il valore di A al livello basso di B, 0-20=-20, è facile notare che i due valori

sono diversi e questo indica che l’effetto di A è influenzato dal valore del livello

scelto per il fattore B.

Graficando, come prima, questi dati ci accorgiamo che le rette rappresentate non sono

più tra loro parallele ma si intersecano in un punto:

Alto Basso

Alto 10 20

Basso 30 0

Fattore A

Fattore B

13

0

5

10

15

20

25

30

35

B basso B alto

A alto

A basso

Fig. 3.1.9

Per concludere possiamo affermare che i vantaggi dell’ approccio statistico rispetto a

quello classico sono di duplice natura.

Innanzitutto, come appena visto, una sperimentazione di tipo statistico, offrendo la

possibilità di avere dati ottenuti in presenza di tutte la varie combinazioni di livelli

dei fattori, permette di analizzare non solo gli effetti dei singoli fattori ma anche delle

loro interazioni. Questo punto è cruciale poiché evita di confondere l’effetto del

fattore in esame con quello dovuto invece all’interazione del livello con un altro

fattore.

E infine, calcolando gli effetti dei fattori su delle medie, come sottolineato nell’

esempio, saranno necessari un numero di osservazioni minori nell’ approccio

statistico rispetto ad un classico ( nell’esempio si avevano 8 osservazioni anziché 12).

14

3.2 Pani fattoriali 2k completi

Un caso particolare, è quello dei piani fattoriali in cui vi è la presenza di k fattori

ognuno dei quali ha due livelli generalmente indicati con alto (+1) o basso (-1).

Questi livelli possono rappresentare quantità (misure di tempo, temperatura,

pressione…) oppure qualità (operatore, macchinari…) o, ancora, la presenza o

assenza di un fattore. Un piano fattoriale completo di questa situazione prevede

2*2*…*2=2k osservazioni e da qui l’origine del suo nome.

Il caso più semplice è quello di due fattori con due livelli, ovvero un piano 22 .

Ad esempio, ipotizziamo di voler investigare l’effetto della concentrazione del

reagente e della quantità di catalizzatore sulla resa di un processo chimico.

Chiamiamo A la concentrazione del reagente che può assumere due livelli 15-20%, e

B la quantità di catalizzatore che può essere o alta (2 pound) o basso (1 pound).

Ipotizziamo di ripetere l’esperimento per tre volte, otterremo, ad esempio, tali dati:

Fig.3.2.1 fig.3.2.2

1 p. 2p.

15 % 28;25;27 18;19;23

20% 36;32;32 31;30;29

A B 1 2 3 Totale

-1 -1 28 25 27 80

+1 -1 36 32 32 100

-1 +1 18 19 23 60

+1 +1 31 30 29 90

15

Rappresentabili, geometricamente, da un quadrato:

fig. 3.2.3

Dove è stata usata la convenzione per cui i livelli alti dei fattori, in ogni combinazioni

di trattamenti, sono rappresentati dalla corrispondente lettera minuscola, i livelli

bassi, invece, dall’assenza della lettera.

Per ciò che riguarda, numericamente, gli effetti del fattore avremo:

effetto A= (36+32+32+31+30+29) _ (28+25+27+18+19+23) = 8.33

6 6

effetto B= (18+19+23+31+30+29) _ (28+25+27+36+32+32) = -5

6 6

effetto AB= (28+25+27+31+30+29) _ (36+32+32+19+18+23) = 1.67

6 6

Questa analisi indica che l’aumento del livello A dal 15 al 20% aumenta la resa del

processo, infatti l’effetto di A è positivo. Viceversa l’ef fetto di B è negativo quindi

l’aumento della quantità di catalizzatore diminuisce la resa del processo. Infine

l’effetto dell’interazione risulta essere piccola rispetto ai valori dei singoli fattori.

16

Quello fin qui detto è estendibile a più di due fattori; un caso interessante per la sua

rappresentazione geometrica è quello di 23 ovvero di un piano fattoriale

comprendente tre fattori ognuno dei quali con due livelli, infatti le otto combinazioni

di trattamenti possono essere disposte come un cubo.

Dato, infatti, tale piano fattoriale:

Fig.3.2.4

La sua rappresentazione geometrica, usando sempre la convenzione prima esposta è:

Fig.3.2.5

A B C Convenzione

T1 -1 -1 -1 (1)

T2 +1 -1 -1 a

T3 -1 +1 -1 b

T4 +1 +1 -1 ab

T5 -1 -1 +1 C

T6 +1 -1 +1 ac

T7 -1 +1 +1 bc

T8 +1 +1 +1 abc

Fattore C

Fattore B

Fattore A

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In un piano fattoriale siffatto ci sono sette gradi di libertà di cui tre sono associati agli

effetti dei singoli fattori (A,B,C), quattro all’interazione tra due fattori (AB,BC,AC) e

uno all’interazione di tutti e tre i fattori (ABC).

Consideriamo gli effetti dei vari fattori:

effetto A= (a+ab+ac+abc) _ ((1)+b+c+bc)

8 8

Questa formula rappresenta una differenza tra le medie delle quattro combinazioni di

trattamenti presenti sulla faccia destra del cubo precedente, e quella sul lato sinistro;

come riportato nella seguente figura.

Fig. 3.2.6

Dato che tale effetto risulta essere calcolato su un numero pari di valori ottenuti in

presenza del livello -1 e +1 di B, la stima non risulta influenzata dal fattore B stesso.

In maniera del tutto analoga per B e C:

effetto B= (b+ab+bc+abc) _ ((1)+a+c+ac)

8 8

Fig. 3.2.7

effetto C= (c+bc+ac+abc) _ ((1)+b+a+ab)

8 8

18

Fig.3.2.8

Per ciò che riguarda gli effetti dell’ interazione tra due fattori, essi possono essere

facilmente computati tramite delle differenze. L’effetto AB, ad esempio, è dato dalla

differenza tra la media dell’ef fetto di A ai due livelli di B:

effettoAB= (c+ab+(1)+abc) _ (b+a+bc+ac)

8 8

In questa formula, l’interazione tra A e B è facilmente paragonabile alla differenza

delle medie dei trattamenti sulle diagonali del cubo:

Fig.3.2.9

Analogamente per BC e AC:

effettoAC= (b+ac+(1)+abc) _ (c+a+bc+ab)

8 8

19

Fig. 3.2.10

effettoBC= (a+bc+(1)+abc) _ (c+a+ac+ab)

8 8

Fig. 3.2.11

Infine, l’interazione tra ABC è data dalla differenza tra la media dell’interazione AB

per i due diversi livelli di C:

effettoABC= (a+b+c+abc) _ (bc+ac+ab+(1))

8 8

Che rappresenta i vertici dei tetraedri interni al cubo:

Fig.3.2.12

Dove = +1

= - 1

20

Un esempio di piano fattoriale 23 è il seguente:

ipotizziamo che una azienda di imbottigliamento di bevande è interessata ad ottenere

una maggiore uniformità del livello di liquido all’interno delle bottiglie prodotte dal

suo processo produttivo. Le macchine rompitrici, teoricamente, dovrebbero riempire

le bottiglie fino ad un corretto livello, ma in pratica vi è una variazione intorno a

questo target e il produttore vuole capirne quale sia la causa e ridurla. Individua, così,

tre variabili che possono essere controllate durante il processo: la percentuale di

anidride carbonica (A), la pressione del dispositivo di riempimento (B), e la quantità

di bottiglie prodotte in un minuto ovvero la velocità della linea (C). Si scelgono come

significativi due livelli di A (10-12%), due di B (25-30 psi) e due per C (200-250

bottiglie al minuto). Sono effettuate due sperimentazioni per ogni trattamento e i

risultati ottenuti sono i seguenti:

Fig.3.2.13

Trattamenti A B C 1aprova 2aprova

T1 -1 -1 -1 -3 -1

T2 +1 -1 -1 0 1

T3 -1 +1 -1 -1 0

T4 +1 +1 -1 2 3

T5 -1 -1 +1 -1 0

T6 +1 -1 +1 2 1

T7 -1 +1 +1 1 1

T8 +1 +1 +1 6 5

21

Tali dati hanno una rappresentazione geometrica di questo tipo:

Fig. 3.2.14

Per quello che riguarda il valore degli effetti dei fattori e delle loro interazione si ha:

A = (1+5+3+11) _ ( -4-1-1+2) = 3.00

8 8

B = (-1+5+2+11) _ ( -4-1+1+3) = 2.25

8 8

C = (3+2-1+11) _ (-4+1-1+5) = 1.75

8 8

AB = (-4+5-1+11) _ ( 1-1+2+3) = 0.75

8 8

AC = (-4-1+3+11) _ ( 1+5-1+2) = 0.25

8 8

BC = (-4+1+2+11) _ (-1+5-1+3) = 0.50

8 8

ABC = (-1-1+1+11) _ (2+3+5-4) = 0.50

8 8

22

I fattori che maggiormente influiscono sulla deviazione dal target di riempimento

sono, dunque, la percentuale di anidride carbonica, la pressione, la velocità e

l’interazione tra i fattori A e B. Viceversa le al tre interazioni non hanno un effetto

importante su tale deviazione.

23

3.3 Pani fattoriali 2k ortogonali

Il piano fattoriale 23 riportato nella seguente figura:

Fig. 3.3.1

In particolare, possiede delle caratteristiche molto importanti quali:

• Ogni coppia di colonne del piano sperimentale compare lo stesso numero di

volte.

• La scelta di livelli di ciascun fattore non è correlata con la scelta dei livelli di

nessuno dei rimanenti.

• Le colonne sono tra loro ortogonali.

Questa ultima condizione è molto importante, infatti essa indica che non ci sono

interazioni tra i vari fattori, geometricamente parlando significa che i piani sono tra

loro ortogonali, come già visto per l’esempio in figura 3.2.4.

In questo caso particolare, di un piano fattoriale con 3 fattori e piani tra loro

ortogonali, il modello matematico di riferimento è il seguente:

xijk = ì + ái + âj + ãk + åijk con i,j,k = 1,2

ì = media totale del campione (parametro comune)

ái = effetto dell’i -imo livello del fattore A

âj = effetto del j-imo livello del fattore B

Trattamenti A B C

T1 -1 -1 -1

T2 -1 -1 +1

T3 -1 +1 -1

T4 -1 +1 +1

T5 +1 -1 -1

T6 +1 -1 +1

T7 +1 +1 -1

T8 +1 +1 +1

24

ãk= effetto del k-imo livello del fattore C

åijk = componente dovuto ad errori random

Ovviamente se non fossimo stati in condizioni di ortogonalità avremmo dovuto

aggiungere gli effetti dovuti alle varie interazioni.

La condizione di ortogonalità è importantissima poiché, ogni qual volta siamo in

presenza di piani fattoriali siffatti, risulta possibile aggiungere un nuovo fattore, a due

livelli, in modo tale da poter arrivare ad un piano 2n partendo da uno 2(n-1) ortogonale.

Per capire come effettuare tale passaggio consideriamo il caso in cui vogliamo

passare da un piano 23 con otto trattamenti ad un piano 24 con 16 trattamenti.

Per prima cosa bisogna ‘allungare’ le colonne dei fattori già presenti ricopiando al di

sotto di ognuna esattamente la stessa colonna, in modo da passare da otto a sedici

righe (=trattamenti) e successivamente aggiungere una quarta colonna,

corrispondente al fattore D, utilizzando la regola del prodotto. Tale regola afferma

che per ogni trattamento il valore di D sarà +1 o -1 in base al prodotto dei valori degli

altri fattori in quello stesso livello.

Questa regola si applica solo alle prime 8 colonne; le successive 8, invece, avranno

come valore del livello di D esattamente il contrario di quello assunto dallo stesso

nelle prime righe seguendo, ovviamente, lo stesso ordine.

Consideriamo, ad esempio, il seguente piano fattoriale a tre fattori:

Fig. 3.3.2

A B C T1 -1 -1 -1

T2 -1 -1 +1

T3 -1 +1 -1

T4 -1 +1 +1

T5 +1 -1 -1

T6 +1 -1 +1

T7 +1 +1 -1

T8 +1 +1 +1

25

Con:

A questo, corrisponderà un piano 24 siffatto:

Fig. 3.3.3

A B C D T1 -1 -1 -1 -1

T2 -1 -1 +1 +1

T3 -1 +1 -1 +1

T4 -1 +1 +1 -1

T5 +1 -1 -1 +1

T6 +1 -1 +1 -1

T7 +1 +1 -1 -1

T8 +1 +1 +1 +1

T9 -1 -1 -1 +1

T10 -1 -1 +1 -1

T11 -1 +1 -1 -1

T12 -1 +1 +1 +1

T13 + -1 -1 -1

T14 +1 -1 +1 +1

T15 +1 +1 -1 +1

T16 +1 +1 +1 -1

26

Il procedimento qui adottato può estendersi a qualsiasi piano fattoriale 2n+1 costruito

partendo da uno 2n.

Un piano fattoriale 2k costruito come enunciato in questi ultimi due paragrafi e che,

quindi, riporti tutte le combinazioni possibili da sperimentare è definito piano

fattoriale completo.

27

3.4 Pani fattoriali incompleti

Possiamo, però, pensare di utilizzare l’idea dell’estensione dei piani fattoriali al

contrario, ovvero se ho un esperimento corrispondente ad un piano fattoriale 2k posso

lavorare, per semplicità, ad un piano 2k-1 a cui avevamo aggiunto una colonna con la

regola del prodotto. Il piano fattoriale 2k-1 da usare sarà ottenuto utilizzando solo le

righe del piano 2k la cui ultima colonna soddisfa la regola del prodotto. Questo tipo di

semplificazione si può fare fin ad un numero di fattori k=7.

Per chiarire ulteriormente il passaggio ipotizziamo di voler passare da un piano

fattoriale 23 completo ad uno 22 o anche definito 23 incompleto.

Allora prendiamo il seguente piano completo:

Fig.3.4.1

Se non voglio o non posso effettuare otto sperimentazioni posso pensare di usarne

solo quattro eliminando tutte quelle righe la cui ultima colonna non soddisfa la regola

del prodotto ovvero T1, T4, T6, T7. Il nuovo piano fattoriale che utilizzerò per le

sperimentazioni sarà, quindi, il seguente:

A B C

T1 -1 -1 -1

T2 +1 -1 -1

T3 -1 +1 -1

T4 +1 +1 -1

T5 -1 -1 +1

T6 +1 -1 +1

T7 -1 +1 +1

T8 +1 +1 +1

28

Fig.3.3.2

Effettuare il passaggio da un piano fattoriale 23 completo ad uno incompleto

significa, dal punto di vista geometrico, proiettare su un sistema di assi cartesiani

(A,B,C) le facce del cubo rappresentato dal piano completo. Quindi, la

rappresentazione del piano incompleto sarà data dall’unione delle tre proiezioni

ortogonali, come rappresentato nella seguente figura:

fig. 3.3.3

Questo discorso è valido solo quando i vari fattori in gioco non interagiscono tra di

loro, ovvero sono ortogonali ed è per questo motivo che si possono rintracciare anche

piani di diversi da quelli riportati nella figura precedente, ma purché essi stessi siano

tra loro ortogonali

A B C

T2 +1 -1 -1

T3 -1 +1 -1

T5 -1 -1 +1

T8 +1 +1 +1

29

Il vantaggio nell’utilizzo dei piano incompleti è quello che se scopriamo, con questo

tipo di piano fattoriale, che almeno due fattori danno un effetto consistente sulla

sperimentazione, allora avrò comunque già rappresentato la coppia e potrò andare ad

indagare all’i nterno della coppia risparmiando sul numero di sperimentazioni

effettuate.

Questo vantaggio è gia molto più visibili sui piani 23 che possono essere estesi fino

ad un massimo di 7 fattori mantenendo la condizione di ortogonalità. Se si è

interessati, ovviamente, solo ai fattori e non agli effetti incrociati, questo piano

permette di eseguire solo 8 sperimentazioni al posto delle 128 del piano fattoriale

completo 27.

Riportiamo di seguito il piano 27 incompleto:

Fig.3.3.4

È necessario, però, tener presente la possibilità che utilizzando un piano fattoriale

incompleto si possa far confusione tra la stima dell’interazione tra A e B e la stima

dell’effetto C, pertanto se si ritiene che l’interazione tra A e B sia forte, non

dobbiamo allargare il loro piano, ovvero non dobbiamo assegnare nessun livello a C.

A B C D E F G

T1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1

T2 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1

T3 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

T4 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1

T5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

T6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1

T7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1

T8 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1

30

3.5 Cenni per pani fattoriali nk

Per concludere il discorso, possiamo fare un accenno ai piani fattoriali con k fattori a

n livelli (nk).Avremo, quindi, una situazione in cui si hanno n livelli per i fattori A, B,

C, D, …, K.

Il modello matematico più generale sarà il seguente:

yijklm = ì + ái +âj+ ãk + ôl + …+(áâ)ij + (áã)ik + (âã)jk+ (áô)il + (âô)jl + (ãô)kl + (áâã)ijk +

+ (áâô)ijl + (áãô)ikl + (âãô)jkl+…+ (áâãô)ijkl + … +åijklm…

con i,j,k,l,… = 1,2….n

ì = media totale del campione (parametro comune)

ái = effetto dell’i -imo livello del fattore A

âj = effetto del j-imo livello del fattore B

ãk= effetto del k-imo livello del fattore C

ôl = effetto del l-imo livello del fattore D

.

.

(áâ)ij = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A e il j-imo di B

.

.

(áâã)ijk = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A, il j-imo di B e il k-imo di C

.

.

(áâãô…)ijkl… = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A, il j-imo livello di B, il

k-imo livello di C, l’l -imo livello di D … …

å.ijk = componente dovuto ad errori random

Anche in questo caso, se i vari fattori sono tra loro indipendenti gli effetti delle varie

interazioni a due, tre, quattro…. fattori sono nulli.

31

Quando siamo in presenza di questi tipi di piani possiamo effettuare un analisi del

tipo Anova calcolando gli effetti dei singoli fattori e delle loro interazioni e

applicando un Fisher test.

Ma si può effettuare anche un’analisi cosiddetta informale che ci indichi quali siano i

fattori più importanti nella nostra sperimentazione. Per fare ciò occorre costruire una

tabella le cui righe siano i fattori, le colonne i livelli e le varie celle sono le medie

della risposta del sistema alla particolare combinazione dei livelli dei fattori ad essa

corrispondente. Successivamente si aggiunge una colonna indicante la differenza tra

il massimo e il minimo di ogni riga. Fatto ciò, si ordinano le righe in base ai valori di

questa nuova colonna in maniera decrescente. In tal modo si hanno i fattori ordinati in

base alla loro importanza all’interno dell’esperimento.

32

4. Pani incrociati

Nella teoria della progettazione robusta proposta dal Taguchi, assumono particolare

importanza i piani incrociati.

In tale teoria si cerca di studiare non solo gli effetti dei fattori principali ma anche di

eventuali fattori di disturbo che possono portare ad una diminuzione della qualità del

prodotto sotto esame nella sperimentazione. Scopo ultimo della teoria è quello di

trovare la configurazione più robusta del prodotto, ovvero quella configurazione che

renda l’oggetto in esame il meno sensibile possibile agli effetti dei fattori di disturbo.

Quindi, da questo accenno alla teoria della robustezza, è facilmente intuibile che i

piani sperimentali usati siano diversi da semplici piani fattoriali. In particolare i piani

incrociati derivano dall’aggiunta, ad un normale piano fattoriale, di alcuni trattamenti

che tengano conto dei fattori di disturbo. I trattamenti associati a questi ultimi, però,

non sono tutte le loro possibili configurazioni, ma solo quelle che degli esperti, prima

della sperimentazione stessa, hanno deciso essere le più importanti ed influenti.

Consideriamo, ad esempio, un utensile di lavoro la cui prestazione principale è la sua

vita utile x, alla cui lunghezza possono contribuire due fattori controllabili: il

trattamento termico (A) e il tipo di metallo (B). e due fattori ambientali che sono la

durezza del materiale da lavorare (C) e la velocità da taglio (D).

Il piano incrociato corrispondente a tale esempio è il seguente:

Fig.4.1

C1 C2

-1 -1 C

A B +1 -1 D

T1 -1 -1 TC11 TC12

T2 -1 +1 TC21 TC22

T3 +1 -1 TC32 TC33

T4 +1 +1 TC43 TC44

33

Ovvero:

Fig.4.2

Altro esempio è il seguente:

ipotizziamo di voler sviluppare il progetto di un aereo di carta, la cui prestazione

principale è la lunghezza di volo in metri misurando la distanza tra il punto in cui si

lancia e quello in cui la sua punta anteriore arriva al suolo. Per tale esperimento

vengono utilizzati quattro lanciatori che operano in maniera standard (ovvero la mano

libera tiene il gomito fermo ed aderente al busto). Gli esperimenti si svolgono in un

locale ampio, senza correnti d’aria e con pavimentazione liscia ed uniforme.

Come fattori controllabili e corrispondenti livelli vengono scelti:

• A distribuzione dei pesi.

1. a1 peso verso prua

2. a2 peso verso il centro

3. a3 peso verso poppa

• D superficie dei flap

1. b1 piccola

2. b2 intermedia

A B C D

TC11 -1 -1 -1 +1

TC12 -1 -1 -1 -1

TC21 -1 +1 -1 +1

TC22 -1 +1 -1 -1

TC32 +1 -1 -1 +1

TC33 +1 -1 -1 -1

TC43 +1 +1 -1 +1

TC44 +1 +1 -1 -1

34

3. b3 grande

• C superficie alare

1. c1 grande

2. c2 intermedia

3. c3 piccola

• D incidenza degli alettoni

1. d1 verso il basso

2. d2 orizzontale

3. d3 verso l’alto

Invece come fattori incontrollabili di disturbo sono stati scelti i seguenti:

• Angolo di stacco

a. 0 oC

b. 45 oC

• Altezza di lancio

a. posizione ‘seduto’

b. posizione ‘in piedi’

• Forza impressa

a. persona 1

b. persona2

c. persona3

d. persona4

Per costruire un piano incrociato bisogna costruire il piano fattoriale completo sui

fattori controllabili:

35

Fig.4.3

Invece, per i fattori incontrollabili, altezza e angolo di lancio, posso scegliere di

effettuare un lancio per ogni livello di fattore di disturbo:

Fig.4.4

Prove Peso

A

Flap

B

Ala

C

Alettoni

D

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2

3 1 3 3 3

4 2 1 2 3

5 2 2 3 1

6 2 3 1 2

7 3 1 3 2

8 3 2 1 3

9 3 3 2 1

Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4

Seduto

00

Seduto

450

Piedi

00

Piedi

450

d a b c

b c d a

c b a d

a d c b

d a b c

b c d a

c b a d

a d c b

d a b c

36

Il piano incrociato risultante sarà:

Fig. 4.5

Dove sono stati riportati anche i risultati di alcune sperimentazioni.

Attraverso il metodo di Taguchi è possibile effettuare l’intera sperimentazione con

solo nove aerei ognuno dei quali sottoposto a quattro prove con un totale di trentasei

Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4

Seduto

00

Seduto

450

Piedi

00

Piedi

450

d a b c

b c d a

c b a d

a d c b

d a b c

b c d a

c b a d

a d c b

d a b c

8.09 3.33 3.84 4.07

2.91 3.24 3.92 2.86

2.64 2.72 2.92 2.99

3.49 2.41 3.25 3.66

3.31 3.41 3.93 3.76

3.92 6.08 5.24 4.83

2.50 3.41 3.64 3.21

2.45 3.94 3.31 4.15

3.09 4.97 4.32 4.98

Prove Peso

A

Flap

B

Ala

C

Alettoni

D

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2

3 1 3 3 3

4 2 1 2 3

5 2 2 3 1

6 2 3 1 2

7 3 1 3 2

8 3 2 1 3

9 3 3 2 1

37

prove. Se avessimo voluto usare una sperimentazione tradizionale, ad esempio

usando l’ANOVA, che tenesse conto anche dei fattori incontrollabili di disturbo,

avremmo avuto bisogno di 34 aerei ognuno dei quali sottoposto a quattro prove, per

un totale di 244 prove. E proprio in questo consiste il vantaggio dell’utilizzo dei piani

incrociati su piani fattoriali completi; risulta ovvio che, affinché il metodo di Taguchi

porti effettivamente alla scelta della configurazione più robusta del prodotto, è

necessario un corretto studio del problema a monte della sperimentazione per

effettuare una giusta scelta delle combinazioni dei livelli dei fattori di disturbo da

considerare a discapito di quelle da scartare.