Passo... battito cardiaco... traffico... condurre una vita... forma... gara... 1.
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passo ...battito cardiaco ...traffico ...condurre una vita ...forma ...gara ... 1
uali di queste sensazioni ti ispirail termine ?
BelloRipetitivo
SuperficialePiacevoleMonotonoNegativo
SquadratoPositivo 2
Quotidianamente usiamo termini di cui non abbiamo
MAI letto lama sappiamo cosa
significano ( o no? )
3
Sai dare una definizione “precisa” dei seguenti TERMINI:
brutto
bello
malvagio
buono
saggio
4
5
Nelle due diapositive seguenti
? ** ? ** ? **
? ** ? ! **B
A
C
6
E
D
F
7
veniamo
alla
Secondo te, quali figure tra quelle che seguono sono poligoni regolari?
8
9
10
Nella vita quotidiana usiamo tranquillamente, senza conoscerne
la , molti termini!
In matematica, purtroppo ( o per fortuna?) non è così! E’ difficile che si riesca a dimostrare che un poligono è regolare se non si conosce la definizione di poligono regolare! 11
Sei sicuro di ricordare la definizione
corretta di poligono regolare ?
Si No
12
DEFINIZIONE
di
un poligono piano con i lati e gli angoli uguali, ovvero sia equilatero
sia equiangolo.
ECCOLA!
13
Cosa significa che due lati sono uguali uguali ?
che se sovrapposti gli estremi coincidono che hanno la stessa lunghezza che sono paralleli che hanno gli stessi estremi
Cosa significa che due angoli sono uguali uguali ?
che sono simili
che sono complementari
che sono esattamente sovrapponibili
che hanno la stessa ampiezza
ABCD
EFGH 14
ccidenti, sempre problemi
di !
Comunque aver risposto che due lati (segmenti) o due angoli sono uguali se sono sovrapponibili è stata sicuramente un’ottima risposta
Ma non l’unica! 15
Tornando ai poligoni regolari:
esistono poligoni regolari di nn lati, qualunque sia il numero naturale nn, purché nn sia 3.
Infatti per ottenere
un poligono regolare con nn lati
è sufficiente suddividere una circonferenza in n archi uguali,
e poi collegare gli estremi.
16
Ma
come
è possibile
suddividere
una circonferenza
in nn parti
uguali? 17
Con la riga e con il compasso?
1) Segna con una croce i poligoni regolari che ti ricordi di avere disegnato con riga e compasso durante la tua “lunga” carriera scolastica:
quadrato 4 lati ettagono 7 lati
esagono 6 lati ottagono 8 lati
2) Si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari … o no?
18
A B
C D
aPPProposito:
Secondo te
* in una circonferenza
* si possono inscrivere
* solo poligoni regolari?
NONOSISI19
?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!
Gli antichi Greci sapevano che una circonferenza può essere divisa con riga e compasso in 3, 5,15 archi uguali
o in n archi uguali dove n è una potenza del 2 moltiplicata per 3, 5,15 come per esempio, 4=22 6=23 8=2
312=2
23 20=2
25
30=215 ...
?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?
20
21
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dopo “poco più” di 1500 anni
GAUSS (1777-1855)
offreoffre
la risoluzione completa al problema. 22
Una circonferenza può essere divisa con riga e compasso:
in 3, 5, 15, 257 …
4, 6, 8, 10 12 … parti uguali
MA
NON
in 7, 11, 13, 14, 19, 22 ... parti uguali 23
Da dove arrivano tutti questi numeri? …
Facciamo qualche conto:
220
= 2 224 = 65536
221 = 4 225
= 4294967296
Fanne qualcuno tu!
A: 222
= ? B: 223 = ? 24
La regola di Gauss
Affinché un poligono regolare di n lati sia costruibile con riga e compasso occorre che n sia:
o un numero primo della forma 22h
+1 (primi di Fermat)dove h è un numero naturale.
Es. 220 +1=3, 221
+1=5, 222 +1=17,
223
+1=257, …
Non tutti i numeri del tipo 22h+1 sono primi:
… 225 +1 non è primo, è divisibile per 641!
Non tutti i numeri primi sono del tipo 22h
+1: … 11 non va bene, 13 neppure.
25
o una potenza di 2 eventualmente moltiplicata per numeri del tipo precedente non ripetuti.
Es:4=22, 6=2·3, 8=23, 10=2·5, 12= 22 ·3,
attenzione 18=2·3·3 non va bene
PERCHÉ ?
A: 18 non è primo B: 3 è ripetuto
C: non è una potenza del 226
sappiamo già che se una circonferenza è divisa in n archi uguali (n>2), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare n=6
MA è anche regolare il poligono i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti
n=6 27
I poligoni nello spazio diventano
POLIEDRI.
I poligoni nello spazio diventano
POLIEDRI.E i poligoni regolari
POLIEDRI
REGOLARI
E i poligoni regolari
POLIEDRI
REGOLARI28
SI NO
Un poliedro è qualcosa di questo tipo:
Conoscete, per caso, dei poliedri
regolari ?
29
alcuni !
Prendi il foglio A ed usa gli occhialini
N.B: la lente verde deve essere appoggiata sull’occhio destro.
30
I poliedri regolari che vedi sono:
31
Ma CoS’ è un
POLIEDRO REGOLARE? Sappiamo già che nel piano un poligono
regolare è un poligono con i lati e gli angoli uguali.
Potremmo allora pensare di formulare una definizione analoga nel seguente modo: un è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari tutti uguali i cui angoli solidi sono anch’essi tutti uguali.
32
Già, ma cos’è un ?Lo sai? -No?
Non importa, tanto non ci sogniamo di definirlo;
già è difficile definire un angolo piano, figurati un angolo solido.
33
Un poligono regolare si può sovrapporre a se stesso mediante
un movimento rigido (che non deforma la figura) in modo da
portare… un vertice qualsiasi su un
qualsiasi altro vertice, oppure … un lato qualsiasi su un qualsiasi
altro lato34
Sostanzialmente: in un poligono regolare
ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice
ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato
35
Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni regolari. Nota bene che devono valere
entrambe le proprietà perché il poligono sia regolare.
…Segna a fianco quali proprietà valgono per le seguenti figure geometriche piane:
rettangolo
rombo
qua drato 36
… Dunque un poligono regolare è un poligono che soddisfa le due proprietà precedenti.
Un poliedro regolare si può sovrapporre a se stesso , mediante un movimento rigido (che non deforma la figura), in modo tale da portare:
1) un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, o 2) uno spigolo qualsiasi su un qualsiasi altro spigolo, o 3) una faccia qualsiasi su una qualsiasi altra faccia
37
Sostanzialmente: in un poliedro regolare
ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice
ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato
ogni faccia è indistinguibile da ogni altra faccia
38
39
40
41
42
43
E44
A
B
C
D
.
.È possibile definire gli iperpoliedri o polítopi regolari in uno spazio di dimensione qualsiasi!!!
Ebbene nello spazio di dimensione 4 esistono 6 tipi di iperpoliedri regolari
(tra questi il famoso ipercubo). Ma dalla dimensione 5 in poi esistono solo più 3 tipi! Si tratta dei tre iperpoliedri che
corrispondono al tetraedro, al cubo ed all’ottaedro. In dimensione 4, come abbiamo
già detto, esistono altri tre tipi di iperpoliedri che hanno rispettivamente 24, 120, 600 vertici !
45
L’ipertetraedro, l’ipercubo
in dimensione 4 hanno rispettivamente
5, 16 vertici e
5, 8 facce tridimensionali.
Cerchiamo di capire come sono fatti.46
Per capire meglio, partiamo dal tetraedro e dal cubo di dimensione 3.
Ecco le loro proiezioni sul piano:
tetraedro cubo
le facce sono rispettivamente 4 triangoli equilateri e 6
quadrati. Una delle facce la vedi colorata
47
Ecco le proiezioni sul piano dell’ipertetraedro e dell’ ipercubo di dimensione 4
48
Le facce tridimensionali dell’ipertetraedro sono 5 tetraedri, quelle dell’ ipercubo sono 8 cubi.
Una delle facce la vedi colorata 49
Sai trovare le altre facce?