Passaggio sistema riferimento locale-globale

Elemento asta nel piano

L’elemento ha, come detto 2 gdl, nel sistema globale x-y contribuirà con una matrice 4x4

x

y

Rif. globale

Nel riferimento locale, l’equilibrio

dell’elemento si scrive come:

2

1

2221

1211

2

1

f

f

KK

KK

F

F

Chiamando con l, m i coseni direttori

dell’asse locale su quelli globali

y2x22

y1x11

f mf lf

f mf lf

y2

x2

y1

x1

2

1

f

f

f

f

ml00

00ml

f

f

Nel riferimento globale l’elemento ha 4 gdl ! -Il passaggio inverso:

2y2

2x2

1y1

1x1

f mf

f lf

f mf

f lf

; f Tf

2

1

y2

x2

y1

x1

f

f

m0

l0

0m

0l

f

f

f

f

; f TfT

I passaggi svolti per gli spostamenti generalizzati si possono rifare per le forze generalizzate

F T F F T F T

f K F

(Premoltiplicando per TT)

f KT F TTT

f TKT F T

T KTKT

Per l’elemento asta nel piano, la matrice T del coseni direttori è

sencos00

00sencosT

Dove è la rotazione che deve compiere l’asse x globale per sovrapporsi all’x locale

x

x

Elemento asta nello spazio

Nel sistema globale x-y-z ora l’elemento contribuirà con una matrice 6x6

Chiamando con l, m, n i coseni direttori dell’asse locale su quelli globali

z2y2x22

z1y1x11

f nf mf lf

f nf mf lf

nml000

000nmlT

Ricordando che i coseni direttori sono le proiezioni dei versori locali sugli assi globali:

212

2

12

2

12 zzyyxxd

121212

121212

zzyyxx000

000zzyyxx

d

1T

Vale quindi, con la nuova T, il medesimo passaggio Klocale , Kglobale

T KTKT

Elemento trave completa nel piano

La trave completa che qui si considera possiede sia la rigidezza assiale, che quella flessionale

Ci sono quindi 3 gdl per nodo, per complessivi 6 gdl nel riferimento locale

Lo stesso numero di gdl è utilizzato nel riferimento globale e quindi nei due sistemi di

riferimento l’ordine della matrice K sarà il medesimo

Per chiarezza, si rinumerano i gdl in

modo da utilizzarne solo 6

4

3x 5

2

y,

6

1

K

<1> <2> <3> <4>

<1>

<2>

<3>

<4>

<5> <6>

<5>

<6>

Assiale

Flessionale4

3x 5

2

y,

6

1

Per poter scrivere agevolmente la matrice T per il passaggio di riferimento, conviene permutare la

precedente numerazione, facendo in modo di avvicinare i gdl che si riferiscono allo stesso nodo

1 1

2 4

3 2

4 3

5 5

6 6

K compatta T compatta

Pertanto, la matrice di rigidezza della trave nel piano che

si considera è la seguente:

L4L6-L2L6

L6-12L6-12-

L2L6-L4L6

L612-L612

-

22

22

K

<1> <2> <3> <4>

<1>

<2>

<3>

<4>

<5> <6>

<5>

<6>

dove

L

EA

3L

EJ

Facendo, da ora in poi, riferimento a quest’ultima definizione della matrice

di rigidezza della trave nel piano, si può rappresentare la matrice T

x

y

lx

mx

my

ly

Nella figura sono rappresentati i coseni

direttori, secondo la loro definizione

coslx senmx

senly cosmy

100000

0ml000

0ml000

000100

0000ml

0000ml

yy

xx

yy

xx

T

x2x11 m fl ff

y2y12 m fl ff

33 ff

x5x44 m fl ff

y5y45 m fl ff

66 ff

Si riporta di seguito il risultato di TT K T per lo svolgimento esercizi

22

2222

2222

22

2222

2222

L 4c L 6-s L 6L 2c L 6s L 6-

c L 6-c 12s sc 12sc c L 6-c 12s sc 12sc

s L 6sc 12sc s 12c s L 6sc 12sc s 12c -

L 2c L 6-s L 6L 4c L 6s L 6-

c L 6c 12s sc 12sc c L 6c 12s sc 12sc

s L 6-sc 12sc s 12c -s L 6-sc 12sc s 12c

<1> <2> <3> <4> <5> <6>

Dove si sono indicati con

L

EA

3L

EJ cosc sens

Elemento trave completa nello spazio

In questo caso ci sono sia nel riferimento

locale che nel globale 6 gdl per nodo, per

complessivi 12 gdl dell’elemento 8

2

641

x7

y

z

10

11

95

3

12Per avere una T in forma compatta conviene

rinumerare i gdl dell’elemento nel modo

seguente

zzz

yyy

xxx

nml

nml

nml

zzz

yyy

xxx

nml

nml

nml

zzz

yyy

xxx

nml

nml

nml

zzz

yyy

xxx

nml

nml

nml

T=

Discretizzazione e assemblaggio di una struttura

Discretizzare una struttura vuol dire suddividerla in un certo numero di elementi di proprietà

opportune, variamente connessi

Ciascun elemento è caratterizzato da una matrice di rigidezza che viene calcolata nel proprio

sistema di riferimento

Scelto un sistema di riferimento globale, si rielaborano tutte le matrici di rigidezza nel nuovo

sistema, mediante la solita

ii

loc

ii

g T KTKT

elementi n.1i

Si introduce anche un sistema di numerazione globale dei gdl e si dispongono tutte le matrici

degli elementi in tale nuovo sistema (valgono le considerazioni fatte in precedenza circa la

numerazione più opportuna per minimizzare la banda)

i

gK

elementi n.1i

glob Num

i

gK

Ora si può assemblare l’intera matrice, in quanto tutti gli elementi sono uniti solo per i nodi, e

ciascuno aggiunge ai nodi di competenza il suo contributo di rigidezza

La rigidezza globale è la somma di tutte le matrici degli

elementi

n.elementi

1iglob Num

i

gK K

Ripensando al metodo frontale di soluzione, la banda minima possibile sarà tanto più ampia

quanto più un numero elevato di elementi concorrerà su un singolo gdl

Imposizione di vincoli semplici

Imporre un vincolo alla struttura vuol dire costringere alcuni nodi (o meglio gdl) a

rimanere bloccati o muoversi secondo prefissate leggi di moto

Il pedice “v” caratterizza i gdl vincolati

Il pedice “e” caratterizza i gdl non vincolati

Sui nodi “v” sarà definito un vettore fv di valori nulli o diversi zero, in

conseguenza dei carichi esterni ci saranno reazioni vincolari Fv

Sui nodi “e” sarà definito un vettore Fe di valori nulli o diversi zero, in

conseguenza dei carichi esterni ci saranno spostamenti fe

Si può pensare di riorganizzare il sistema in modo da separare i due tipi

v

e

vvve

evee

v

e

f

f

KK

KK

F

F In generale Kev e Kve non sono matrici quadrate,

ma sono uno il trasposto dell’altro

Dal primo gruppo di equazioni:veveeee fKfKF

veve

1

eee f KF Kf

La complessità del calcolo dipende dalla inversione, per cui dal numero di gdl

effettivamente liberi

Se la struttura è labile, la struttura ha la possibilità di avere moti rigidi e la

precedente espressione non è calcolabile (fe tende all’infinito)

Se tutti i vincoli imposti sono nulli, la precedente si semplifica nella

e

1

eee F Kf

Il che identifica una procedura molto veloce per considerare i vincoli: l’eliminazione

dalla K di tutti i gdl vincolati

Il secondo gruppo di equazioni risolve invece il problema

diretto della determinazione delle forze vincolari evevvvv f Kf KF

Imposizione di vincoli di dipendenza

Non sempre un vincolo è esplicabile con un valore assegnato al gdl nel sistema di

riferimento globale, si possono infatti avere:

a) Vincoli inclinati rispetto sistema riferimento globale

b) Vincoli tra gdl esprimibili mediante equazioni lineari

c) Rilascio di gdl tra elementi con nodi comuni (ad esempio due travi connesse con

una cerniera)

Dal punto di vista analitico si possono trattare tali situazioni mediante una matrice di dipendenza D

1y

2x

1R

2y

2R

1x

R2

y2

x2

R1

y1

x1

f

f

f

f

f

f

f

y2

x2

y1

x1

f

f

10

01

f

f

D

solido

solido

beam

1R

2x

3x

(I solidi non hanno

rotazioni definite)

y2

x2

R1

f

f

f

f

x3

x2

R1f

f

ba

1

ba

1f

Da

b

R1x3x2 f

ba

ff

In generale, possiamo suddividere i gdl in tre differenti gruppi e riorganizzare l’intero

sistema secondo tale suddivisione

d gdl dipendenti da altri od anche slave

i gdl indipendenti che forniscono condizioni agli slave, detti master

r Tutti i rimanenti gdl non coinvolti da relazioni di dipendenza

Nella ragionevole ipotesi che nessuno slave sia coinvolto da più di una relazione di

dipendenza lineare, tutte le dipendenze o vincoli si raccolgono

vid ff Df

d

i

r

f

f

f

KKK

KKK

KKK

F

F

F

dddidr

idiiir

rdrirr

d

i

r

Dal primo gruppo di equazioni: ffDKfKfKF virdrirrr ir

irdrirrrvrdrr f DK Kf K f KF F

Dal secondo gruppo di equazioni: ff DKf Kf KF viidiiiriri

iidiirirvidii f DK Kf K f KF F

Dal terzo gruppo di equazioni: ff DKf Kf KF viddidirdrd

idddirdrvdddd f DK Kf K f KF F

N.B. hanno le medesime dimensioni

1

, i vD f f

Eventuali forze applicate ai nodi slave

vanno riportate, tramite la D ai gdl master d

T

ii F DF F

Sostituendo le , in quest’ultima equazione

idddirdr

T

iidiiriri f DK Kf K Df DK Kf KF

idddi

T

idiirdr

T

iri f DK K DDK Kf K DK F

rK i iiK

2

1 2A questo punto si possono utilizzare le dove non compaiono più i gdl slave

che sono stati condensati nelle matrici precedenti

i

rdri

i

r

f

f

DK K DDK KK DK

D KKK

f

f

KK

KK

F

F

dddi

T

idiidr

T

ir

rrr

iiir

rirr

i

r

In taluni casi non si è <interessati allo stato tensionale dell’intera struttura, ma solo di

una sua parte, si può ridurre allora il numero complessivo di gdl condensando i gdl della

parte priva di interesse strutturale

Condensazione statica

Zona da condensareNaturalmente non si potranno

condensare i gdl vincolati o quelli su

cui agiscono carichi esterni

La procedura è del tutto simile a quella esposta in precedenza

c

m

cccm

mcm

f

f

KK

KK

0

F mmSi chiamano master i soli gdl che

rimangono dopo l'avvenuta condensazione

Dal secondo gruppo di equazioni: mcm

1

ccc f K Kf

Sostituita nel I gruppo semplifica il sistema

mcm

1

cccmmm f K KKKF m

condK

Una volta risolto nelle incognite fm si può anche espandere la soluzione ai gdl condensati

La procedura di condensazione statica non comporta perdita precisione

perché, anche se condensati, tutti i gdl influiscono sulla Kcond

Il “costo numerico” dipende dal numero di gdl da condensare (inversione)

Contrariamente alla precedente non fornisce una soluzione esatta, ma solo approssimata (si può

scrivere esatta solo per una frequenza alla volta)

Condensazione dinamica o della matrice di massa

Per tale motivo se ne consiglia l’uso solo per le analisi modali o vibrazionali, ma se ne sconsiglia

l’uso per analisi tensionali dinamiche

Sono state proposte diverse soluzioni, la più comune è quella di Guyan:

cm

1

cccc

1

ccmccm

1

ccmccm

1

ccmcmmcond K K M K KK K MM K KMM

Che può essere utilizzata anche per la matrice di smorzamento

cm

1

cccc

1

ccmccm

1

ccmccm

1

ccmcmmcond K K C K KK K CC K KCC

Sottostrutturazione

Sottostrutturare vuol dire in pratica

condensare una parte o parti della struttura per

maneggiare matrici di calcolo più agevoli

È ad esempio utile quando compaiono più

zone identiche che vengono sostituite dalla

matrice condensata Superelement

È altresì utile quando si vuole risolvere l’intera

struttura a meno di piccole variazioni

La sottomodellazione è l’analisi successiva condotta sulla zona prima condensata, è interessante

notare che in quest’ultima si impongono gli spostamenti al contorno del superelement che però

può anche comportarsi in modo non lineare (si fa l’ipotesi che la non linearità non influisca sul

comportamento globale ma solo localmente)

La sottomodellazione consente di determinare il

comportamento strutturale nel raggio di raccordo

Sottomodellazione

Metodi alternativi per l’imposizione di vincoli

Penalty Functions.

Secondo questa formulazione si inseriscono delle forze tra gradi di libertà da vincolare, il cui

effetto è quello di annullare gli spostamenti

Il vincolo proposto comporta la

condizione u2=u6

Si può immaginare di pensare il vincolo come fornito da un elemento “robusto” aggiuntivo, di

caratteristica W posto tra i punti 2 e 6

7 7 7W u f

7

2 2

76 6

1 1

1 1

u fw

u f

Forze interne aggiuntive

dovute elemento penalty

11 12 1 1

12 22 23 2 2

23 33 34 3 3

34 44 45 4 4

45 55 56 5 5

56 66 67 6 6

67 77 7 7

. . . . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . . . .

K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u fw w

K u f

w w

K

Il sistema si è modificato, ma quale valore

occorre dare a w ?

Esisterà un errore, funzione di w, e(7)= u2-

u6 0 ; w e(7) 1/w

Il penalty va scelto opportunamente (1056 volte la max kij) per non avere: (i) violazioni significative

del vincolo / (ii) matrice K mal condizionata

Altra indicazione generale: max *10

number of digits

ijw k

Come trattare un vincolo più complesso, come ad esempio:2 3 65 2 2u u u

2

3

6

5 1 2 2

u

u

u

Premoltiplicando per

trasposta vettore riga

dei coefficienti

2

3

6

25 -5 -10 10

-5 1 2 2

-10 2 45 4

u

u

u

Il sistema complessivo si modifica nel seguente:

11 12 1 1

12 22 23 2 2

23 33 34 3 3

34 44 45 4 4

45 55 56 5 5

56 66 67 6 6

67 77 7 7

. . . . .

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. .

.

25 5 10 10

5 2 2

1

. . .

0 2 4

.

5 4

K K u f

K K K u f

K K K u

w w w w

w w w w

w

f

K K K u f

K K K u f

K K Kw w u f

K K u f

w

Se ne può dare un’interpretazione anche secondo la formulazione variazionale

Forma quadratica = Energia Potenziale totale + Energia Penalty

Set di equazioni vincolari 1...w p m p pa u b

1 1min

2 2w w

T T T T T

p p p pu K u u f u a a u a b

T T

p p p pK a Wa u f Wa b (W = matrice diagonale di w)

Implementazione semplice e formulazione (cautela numerica) valida anche nel

caso di sistemi non lineari

Eventuali ripetizioni di vincoli (rispetto alla formulazione che diminuisce il

numero di gdl attivi) non rendono mal condizionato il sistema

Il sistema rimane definito positivo, per cui la stazionarietà corrisponde al minimo

potenziale

Associato a metodi iterativi (come ad esempio calcolo autovalori) può provocare

instabilità numerica nelle iterazioni successive

Lagrange Multipliers.

In questo caso si considera di sostituire

il vincolo con forze ±λ capaci di

bloccare gli spostamenti reciproci

11 12 1 1

12 22 23 2 2

23 33 34 3 3

34 44 45 4 4

45 55 56 5 5

56 66 67 6 6

67 77 7 7

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u f

K K K u f

K K u f

1

11 12 1

2

12 22 23 2

3

23 33 34 3

4

34 44 45 4

5

45 55 56 5

6

56 66 67

7

67 77

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

+1

- 1

uK K f

uK K K f

uK K K f

uK K K f

uK K K f

uK K K

uK K

.

.

.

.

. 6

7

f

f

Sistema con 8 incognite e 7 equazioni

Si aggiunge la equazione trasposta, la quale impone la condizione vincolare u2=u6 e rende il sistema

completo e invertibile

11 12

12 22 23

23 33 34

34 44 45

45 55 56

56 66 67

67 77

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . .

+

.

1

-1

+1 - 1

K K

K K K

K K K

K K K

K K K

K K K

K K

.

.

.

.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

. . 0

u f

u f

u f

u f

u f

u f

u f

Per ogni vincolo aggiuntivo si aggiunge in pratica una incognita. Un’equazione di vincolo più complessa da:

2 3 65 2 8u u u

11 12

12 22 23

23 33 34

34 44 45

45 55 56

56 66 67

67 77

+5

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

.

-3

-2

+5 - 3 -2 . .

K K

K K K

K K K

K K K

K K K

K K K

K K

.

.

.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

. . 8

u f

u f

u f

u f

u f

u f

u f

In pratica si aggiunge un moltiplicatore di Lagrange per ciascuna delle equazioni di vincolo considerate

In senso più generale si può dare un’interpretazione esatta ai moltiplicatori di Lagrange

T u fK D

λ bD 0

Si voglia imporre un sistema di vincoli lineari del tipo: D u b

Assemblando come descritto si ha

I vincoli agiscono per mezzo di reazioni vincolari che sono definite dalle

Ossia si possono rimuovere i vincoli se si aggiunge il precedente sistema di forze sostitutivo

T

vincF D λ

Uno svantaggio è che la risoluzione è necessariamente di tipo implicito

Ha il vantaggio di fornire direttamente le reazioni vincolari, ossia le forze necessarie al

rispetto delle condizioni vincolari

Se un vincolo o un insieme di vincoli fornisce condizioni ridondanti il sistema diviene

non invertibile e quindi non risolubile

Si incrementano i gdl complessivi della struttura, uno per ogni vincolo imposto