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11/5 PARTICELLE IDENTICHE bozza 07/08 1

PARTICELLE IDENTICHE

Particelle che abbiano le stesse caratteristiche fisiche sono identiche.

Per caratteristiche fisiche di una particella intendiamo le sue proprieta fisiche permanenti

(quali massa, carica, spin, . . . ).

Nota

In realta la distinzione tra proprieta fisiche permanenti e non permanenti

non e cosı netta come appare a prima vista.

Torneremo in seguito su questo punto.

Identita e indistinguibilita

In meccanica classica due o piu particelle identiche sono comunque distinguibili

poiche le traiettorie permettono di identificarle per mezzo delle condizioni iniziali.

In meccanica quantistica le particelle identiche sono in generale indistinguibili

poiche il formalismo non permette di introdurre il concetto di traiettoria.

Definizione di sistema di N particelle identiche

E un sistema per il quale ogni grandezza fisica G ha la proprieta

(1) G(x1, p1, s1, . . . xN , pN , sN ) = G(xp1 , pp1 , sp1 , . . . xpN, ppN

, spN)

per ogni permutazione p1, p2, . . . pN degli indici di particella 1, 2, . . . N .

La condizione (1) deve essere vera in particolare per l’operatore hamiltoniano,

ma non solo, deve essere vera per tutte le grandezze fisiche.

Ruolo degli operatori fondamentali

Gli operatori fondamentali non rappresentano grandezze fisiche!

Anche se non rappresentano grandezze fisiche,

gli operatori fondamentali sono indispensabili per la costruzione del formalismo.

E infatti li abbiamo gia usati nel formulare la stessa condizione (1).

Anche se gli operatori G soddisfano la condizione (1)

essi sono operatori in H = H1 ⊗H2 ⊗ · · · ⊗HN .

Cominciamo quindi la costruzione del formalismo

formando lo spazio H e considerando in questo gli operatori G.


Notazione

Usiamo la seguente notazione sintetica:

ψ(1, 2, . . . , N) sta per ψ(x1,m1,x2,m2, . . . ,xN ,mN )

(dove abbiamo usato la rappresentazione di Schrodinger in ciascuno spazio L 2(R3)

e la rappresentazione standard in ciascuno spazio `2s+1, ma cio e evidentemente irrilevante),

G(1, 2, . . . , N) sta per G(x1, p1, s1, x2, p2, s2, . . . , xN , pN , sN ).

La condizione (1) si riscrive allora

(2) G(1, 2, . . . , N) = G(p1, p2, . . . , pN ).

Nota

Si possono introdurre gli operatori di permutazione definiti da

Up1,p2,...,pNψ(1, 2, . . . , N) = ψ(p1, p2, . . . , pN ).

Essi sono lineari, ovunque definiti, dotati di inverso ovunque definito, isometrici (e quindi unitari).

Risulta subito

Up1,p2,...,pNG(1, 2, . . . , N)U+

p1,p2,...,pN= G(p1, p2, . . . , pN )

La condizione (2) si puo quindi scrivere

[Up1,p2,...,pN

, G]

= 0.


SOTTOSPAZI INVARIANTI

La condizione (2) sulle grandezze fisiche del sistema ha la conseguenza rilevante

che esistono necessariamente sottospazi propri di H invarianti per tutte le grandezze fisiche stesse.

Studiamo questa questione cominciando dai casi semplici N = 2 e N = 3.

Caso N = 2

L’unica permutazione non identica e lo scambio delle due particelle

e la condizione (2) si riduce a

G(1, 2) = G(2, 1).

Consideriamo i seguenti sottospazi di H = H1 ⊗H2:

il sottospazio simmetrico per scambio H+

costituito dagli elementi ψ+(1, 2) di H che hanno la proprieta

ψ+(1, 2) = ψ+(2, 1);

il sottospazio antisimmetrico per scambio H−

costituito dagli elementi ψ−(1, 2) di H che hanno la proprieta

ψ−(1, 2) = −ψ−(2, 1).

Invarianza

Sia H+ che H− sono invarianti sotto l’azione di tutti gli operatori che rappresentano grandezze fisiche.

Infatti posto

φ+(1, 2) = G(1, 2)ψ+(1, 2), φ−(1, 2) = G(1, 2)ψ−(1, 2),

si haG(1, 2) G(1, 2)'& // '& //

φ+(2, 1) = G(2, 1)ψ+(2, 1) = φ+(1, 2), φ−(2, 1) = G(2, 1)ψ−(2, 1) = −φ−(1, 2). ! // ! //ψ+(1, 2) −ψ−(1, 2)

Ortogonalita

I sottospazi H+ e H− sono ortogonali.

Infatti ∫d1d2 ψ∗+(1, 2)ψ−(1, 2) =

∫d1d2 ψ∗+(2, 1)ψ−(2, 1) = −

∫d1d2 ψ∗+(1, 2)ψ−(1, 2).

Completezza

Risulta

H = H+ ⊕H−.

Infatti per ogni ψ(1, 2) di H si ha

ψ(1, 2) = 12

(ψ(1, 2) + ψ(2, 1)

)+ 1

2

(ψ(1, 2)− ψ(2, 1)

)= ψ+(1, 2) + ψ−(1, 2).


Caso N = 3

Consideriamo i seguenti sottospazi di H = H1 ⊗H2 ⊗H3:

il sottospazio completamente simmetrico H+,

costituito dagli elementi ψ+(1, 2, 3) di H che hanno la proprieta

ψ+(1, 2, 3) = ψ+(1, 3, 2), ψ+(1, 2, 3) = ψ+(3, 2, 1), ψ+(1, 2, 3) = ψ+(2, 1, 3),

cioe sono simmetrici per scambio di una qualsiasi coppia di particelle

e quindi sono invarianti per tutte le permutazioni delle particelle;

il sottospazio completamente antisimmetrico H−,

costituito dagli elementi ψ−(1, 2, 3) di H che hanno la proprieta

ψ−(1, 2, 3) = −ψ−(1, 3, 2), ψ−(1, 2, 3) = −ψ−(3, 2, 1), ψ−(1, 2, 3) = −ψ−(2, 1, 3),

cioe sono antisimmetrici per scambio di una qualsiasi coppia di particelle

e quindi sono invarianti per tutte le permutazioni pari

mentre cambiano segno per tutte le permutazioni dispari delle particelle;

il sottospazio H ,

costituito dagli elementi ψ(1, 2, 3) di H che hanno la proprieta

ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2) = 0.

Invarianza

H+, H− e H sono invarianti sotto l’azione di tutti gli operatori che rappresentano grandezze fisiche.

Per esempio, postoφ(1, 2, 3) = G(1, 2, 3) ψ(1, 2, 3),

si haG(1, 2, 3) G(1, 2, 3)'& // '& //

φ(1, 2, 3) + φ(2, 3, 1) + φ(3, 1, 2) = G(1, 2, 3) ψ(1, 2, 3) +G(2, 3, 1) ψ(2, 3, 1) +G(3, 1, 2) ψ(3, 1, 2)

= G(1, 2, 3)(ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)

)= 0.

Ortogonalita

H+, H− e H sono mutuamente ortogonali

Per esempio,

ψ∗−(1, 2, 3) ψ∗−(1, 2, 3)'& // '& //

∫d1d2d3ψ∗−(1, 2, 3) ψ(1, 2, 3)

= 13

∫d1d2d3ψ∗−(1, 2, 3) ψ(1, 2, 3) + 1

3

∫d1d2d3ψ∗−(2, 3, 1) ψ(2, 3, 1) + 1

3

∫d1d2d3ψ∗−(3, 1, 2) ψ(3, 1, 2)

= 13

∫d1d2d3ψ∗−(1, 2, 3)

(ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)

)= 0.


Completezza

Risulta

H = H+ ⊕H− ⊕ H .

Infatti, per ogni ψ(1, 2, 3) di H poniamo

ψ+(1, 2, 3) = 16

(ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2) + ψ(1, 3, 2) + ψ(3, 2, 1) + ψ(2, 1, 3)

),

ψ−(1, 2, 3) = 16

(ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)− ψ(1, 3, 2)− ψ(3, 2, 1)− ψ(2, 1, 3)

),

ψ(1, 2, 3) = ψ(1, 2, 3)− ψ+(1, 2, 3)− ψ−(1, 2, 3).

Si ha ovviamente ψ+(1, 2, 3) ∈H+ e ψ−(1, 2, 3) ∈H−.

Inoltre

ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)

= ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)− ψ+(1, 2, 3)− ψ+(2, 3, 1)− ψ+(3, 1, 2)

− ψ−(1, 2, 3)− ψ−(2, 3, 1)− ψ−(3, 1, 2)

= ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)− 3(ψ+(1, 2, 3) + ψ−(1, 2, 3)

)= ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)− 3 2

6

(ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 3, 1) + ψ(3, 1, 2)

)= 0

e quindi ψ(1, 2, 3) ∈ H .

Poiche ψ(1, 2, 3) = ψ+(1, 2, 3) + ψ−(1, 2, 3) + ψ(1, 2, 3) segue il risultato annunciato.

Esempi

Posto, per tre particelle di spin 12 ,

f(1, 2, 3) = exp(− (x2

1 + x22 + x2

3)/a2)δm1,1/2 δm2,1/2 δm3,1/2

= exp(− (x2

1 + x22 + x2

3)/a2)( 1

0

)1

(10

)2

(10

)3

si ha ad esempio

ψ = f,

ψ+ = f,

ψ− = 0,

ψ = 0

;

ψ = x1f,

ψ+ = 13 (x1 + x2 + x3)f,

ψ− = 0,

ψ =(

23x1 − 1

3x2 − 13x3

)f

;

ψ = x1x2f,

ψ+ = 13 (x1x2 + x2x3 + x3x1)f,

ψ− = 0,

ψ =(

23x1x2 − 1

3x2x3,− 13x3x1

)f

;

ψ = x1(x2 − x3)f,

ψ+ = 0,

ψ− = 0,

ψ = x1(x2 − x3)f

;

ψ = x2

1x2f,

ψ+ = 16

(x2

1(x2 + x3) + x22(x3 + x1) + x2

3(x1 + x2))f,

ψ− = 16

(x2

1(x2 − x3) + x22(x3 − x1) + x2

3(x1 − x2))f,

ψ =(

23x2

1x2 − 13x2

2x3 − 13x2

3x1

)f

.


Caso generale

Per N generale lo spazio H = H1 ⊗H2 ⊗ · · · ⊗HN si puo scomporre nella somma diretta

H = H+ ⊕H− ⊕ H ,

dove H+ e il sottospazio completamente simmetrico,

costituito dagli elementi ψ+(1, 2, . . . , N) di H

simmetrici per scambio di una qualsiasi coppia di particelle

e quindi che godono della proprieta ψ+(p1, p2, . . . , pN ) = ψ+(1, 2, . . . , N),

H− e il sottospazio completamente antisimmetrico,

costituito dagli elementi ψ−(1, 2, . . . , N) di H

antisimmetrici per scambio di una qualsiasi coppia di particelle

e quindi che godono della proprieta ψ−(p1, p2, . . . , pN ) = εpψ−(1, 2, . . . , N),

dove εp e +1 o −1 secondo che la permutazione p e di classe pari o dispari.

I sottospazi H+, H− e H

sono tutti invarianti sotto l’azione degli operatori che rappresentano grandezze fisiche.

Per N > 3, H puo essere ulteriormente scomposto in sottospazi invarianti H1 . . . Hf .


BOSONI E FERMIONI

In base al principio SI di riduzione ai sottospazi invarianti precedentemente enunciato

dobbiamo ora identificare,

in corrispondenza a diverse situazioni fisiche,

quali siano i sottospazi invarianti nei quali effettivamente stanno gli stati del sistema.

Cio si ottiene enunciando il seguente principio che completa i principi E e C gia enunciati.

Principio BF: bosoni e fermioni

Lo spazio di Hilbert di un sistema di N particelle identiche di spin intero,

che si dicono bosoni ,

e il sottospazio completamente simmetrico H+ di H = H1 ⊗H2 ⊗ · · ·HN .

Lo spazio di Hilbert di un sistema di N particelle identiche di spin semidispari,

che si dicono fermioni ,

e il sottospazio completamente antisimmetrico H− di H = H1 ⊗H2 ⊗ · · ·HN .

Lo spazio di Hilbert di un sistema costituito da diverse specie di particelle tra di loro identiche

e il prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert

appropriati a descrivere i sistemi delle particelle di ciascuna specie.

Nota

Nell’ambito della meccanica quantistica ordinaria

la connessione tra il valore dello spin e la simmetria o antisimmetria dello spazio di Hilbert

contenuta nel principio BF

deve essere presa come indotta dalle evidenze sperimentali.

Nell’ambito della teoria relativistica dei campi quantizzati

tale connessione puo essere dimostrata sulla base di assunzioni semplici e ragionevoli.

Nota

Gli spazi H+ e H− hanno struttura profondamente diversa

in termini degli elementi degli spazi di particella singola Hα.

Cio ha conseguenze importanti in meccanica statistica quantistica.

Precisamente, le particelle di spin intero obbediscono alla statistica di Bose–Einstein,

le particelle di spin semidispari obbediscono alla statistica di Fermi–Dirac.

Di qui i nomi attribuiti ai due tipi di particelle.


BARRIERA INVALICABILE

Consideriamo un sistema di particelle identiche

supponendo che nello spazio fisico R3 esista una superficie che le particelle non possono attraversare,

sia per l’evoluzione di Schrodinger sia per la riduzione conseguente a un’eventuale misurazione.

Ad esempio, salvo condizioni eccezionali create ad arte,

gli elettroni contenuti in due distinti oggetti non possono passare da un oggetto all’altro.

Possiamo descrivere simbolicamente una situazione di questo tipo con la figura seguente,

dove la barriera invalicabile e indicata dalla linea spessa verticale

e le semirette contraddistinte dalle lettere L e R rappresentano le regioni di R3 separate dalla barriera.

! "L R

Le particelle in una regione sono distinguibili dalle particelle nell’altra,

essendo distinte le une dalle altre appunto dall’essere nell’una o nell’altra regione.

Siamo quindi indotti a ritenere che il sistema sia correttamente descritto

simmetrizzando o antisimmetrizzando i vettori di stato

limitatamente agli scambi tra particelle nella stessa regione.

Tuttavia il principio generale BF

impone di simmetrizzare o antisimmetrizzare completamente i vettori di stato,

cioe anche rispetto agli scambi tra particelle in regioni diverse.

Si pone quindi il problema di mostrare che le due descrizione sono equivalenti.

Nei fogli seguenti dimostreremo l’equivalenza

limitandoci al caso di solo due particelle identiche, bosoni o fermioni.


Una particella

Se il sistema e costituito da una sola particella, che puo stare nell’una o nell’altra regione,

evidentemente non si pone alcun problema riguardo alla simmetrizzazione o antisimmetrizzazione.

E tuttavia ugualmente interessante

studiare la struttura dello spazio di Hilbert

e stabilire la forma che devono avere gli operatori che rappresentano le grandezze fisiche

a causa dell’esistenza della barriera invalicabile

e discutere le conseguenze di cio.

Spazio di Hilbert

Lo spazio di Hilbert H puo essere scomposto come somma diretta di due sottospazi ortogonali,

(5) H = H L ⊕H R,

dove H L e costituito dalle funzioni d’onda che hanno supporto nella regione L

e H R da quelle che hanno supporto nella regione R.

Grandezze fisiche

Per l’invalicabilita della barriera non possono esistere grandezze fisiche

aventi elementi di matrice non nulli tra un vettore di stato di H L e uno di H R,

cioe tutte le grandezze fisiche sono del tipo

(6) G(1, 2) =∑

iai |uL

i 〉〈uLi |+

∑jbj |uR

j 〉〈uRj | dove |uL

i 〉 ∈H L, |uRj 〉 ∈H R.

Cio e intuitivamente evidente e sara mostrato piu avanti.

Sottospazi invarianti

In conseguenza della proprieta (6)

(7) H L e H R

sono sottospazi invarianti.

Possiamo recuperare l’irriducibilita trattando separatamente i sistemi

particella in L, nello spazio H L,

particella in R, nello spazio H R.

Oppure possiamo trattare il sistema in H

e affermare che agisce una regola di superselezione

tra gli stati di particella in L e gli stati di particella in R,

cioe che uno stato |ϕL〉 ∈H L non puo trasformarsi in uno stato |ϕR〉 ∈H R e viceversa

e che le sovrapposizioni tra vettori di stato |ϕL〉 e |ϕR〉 non sono stati possibili.


Dimostrazione

Poiche H L e H R sono sottospazi invarianti di ogni grandezza fisica del tipo (6)

(e in particolare dell’operatore hamiltoniano),

come mostrato nel fascicolo 11/3, foglio 11,

sia l’evoluzione dinamica che l’evoluzione in seguito a una misurazione

mantengono un vettore di stato appartenente a H L o H R nello stesso sottospazio.

Per mostrare che viceversa non possono esistere grandezze fisiche di tipo diverso

consideriamo, per semplicita, l’operatore

F = f(|uL〉〈uR|+ |uR〉〈uL|

), 〈uL|uL〉 = 1, 〈uR|uR〉 = 1.

Definiamo i vettori di stato

|+〉 = 1√2

(|uL〉+ |uR〉

), |−〉 = 1√

2

(|uL〉 − |uR〉

),

aventi le proprieta 〈+|+〉 = 1, 〈−|−〉 = 1, 〈−|+〉 = 0,

e i proiettori ortogonali con somma 1

P+ = |+〉〈+|, P− = |−〉〈−|, P0 = 1− P+ − P−

che proiettano rispettivamente sui sottospazi

H + (unidimensionale), H − (unidimensionale), H H + H − .

Risulta

F = f P+ − f P− + 0P0 .

Ammesso che F sia una grandezza fisica e sia pertanto possibile misurarla,

indicando con |ψ〉 = |ψL〉 ∈H L e |ψ′〉 i vettori di stato prima e dopo la misurazione,

i risultati possibili sono

f , con |ψ′〉 ∝ P+|ψL〉 = 12 〈uL|ψL〉

(|uL〉+|uR〉

)e probabilita 〈ψL|P+|ψL〉 = 1

2

∣∣〈uL|ψL〉∣∣2,

−f , con |ψ′〉 ∝ P−|ψL〉 = 12 〈uL|ψL〉

(|uL〉−|uR〉

)e probabilita 〈ψL|P−|ψL〉 = 1

2

∣∣〈uL|ψL〉∣∣2,

0, con |ψ′〉 ∈H H + H − e probabilita 〈ψL|P0|ψL〉 = 1−∣∣〈uL|ψL〉

∣∣2.Se 〈uL|ψL〉 6= 0 i risultati f e −f sono possibili e in entrambi i casi |ψ′〉 ha una componente in H R.

Pertanto una misurazione di F puo violare l’invalicabilita della barriera

e F non puo rappresentare una grandezza fisica.


Due particelle identiche

Spazio di Hilbert

Lo spazio di Hilbert del sistema delle due particelle e

(8) H = H (1)⊗H (2).

Ciascuno spazio di particella singola H (α), α = 1, 2,

puo essere scomposto (con ovvio significato dei simboli) come somma diretta di due sottospazi ortogonali

(9) H (α) = H L(α)⊕H R(α).

Allora lo spazio di Hilbert H si puo scrivere come la somma diretta di sottospazi ortogonali

(10) H = H L(1)⊗H L(2)︸︷︷︸ ⊕ H R(1)⊗H R(2)︸︷︷︸ ⊕ H L(1)⊗H R(2)︸︷︷︸ ⊕ H R(1)⊗H L(2)︸︷︷︸ . ! // ! // ! // ! //H LL H RR H LR H RL

Si possono poi effettuare (con ovvio significato dei simboli) le ulteriori scomposizioni in sottospazi ortogonali

(11)

H LL = H +LL ⊕H −

LL,

H RR = H +RR ⊕H −

RR,

H LR ⊕H RL = (H LR ⊕H RL)+ ⊕ (H LR ⊕H RL)−.

Grandezze fisiche

Per l’identita delle due particelle tutte le grandezze fisiche devono avere la proprieta

(12) G(1, 2) = G(2, 1).

Per l’invalicabilita della barriera le grandezze fisiche non possono avere elementi di matrice non nulli

tra vettori di stato appartenenti a sottospazi H LL, H RR, H LR, H RL diversi.


Le condizioni di invalicabilita della barriera

non sono altro che le condizioni di invarianza dei sottospazi

(13) H LL, H RR, H LR, H RL, e quindi anche H LR ⊕H RL.

Per la proprieta di identita delle due particelle sono inoltre invarianti i sottospazi

(14) H +LL, H −

LL, H +RR, H −

RR, (H LR ⊕H RL)+, (H LR ⊕H RL)−.


Descrizione secondo il principio generale di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione

Secondo il principio generale si deve descrivere

il sistema di due bosoni identici nel sottospazio H + di H

e il sistema di due fermioni identici nel sottospazio H − di H .

Poiche valgono le scomposizioni in sottospazi invarianti

H + = H +LL ⊕H +

RR ⊕ (H LR ⊕H RL)+,

H − = H −LL ⊕H −

RR ⊕ (H LR ⊕H RL)−,

il principio generale e compatibile con l’esistenza della barriera invalicabile

e si devono trattare i sistemi

due bosoni in L nel sottospazio H +LL,

due bosoni in R nel sottospazio H +RR,

un bosone in L e uno in R nel sottospazio (H LR ⊕H RL)+,

due fermioni in L nel sottospazio H −LL,

due fermioni in R nel sottospazio H −RR,

un fermione in L e uno in R nel sottospazio (H LR ⊕H RL)−.

Descrizione limitando la simmetrizzazione o l’antisimmetrizzazione

alle particelle identiche nella stessa regione

Secondo questo principio, ispirato alla considerazione del foglio 11,

possiamo trattare i sistemi

due bosoni in L nel sottospazio H +LL di H LL,

due bosoni in R nel sottospazio H +RR di H RR,

due fermioni in L nel sottospazio H −LL di H LL,

due fermioni in R nel sottospazio H −RR di H RR,

particella 1 in L, particella 2 in R nel sottospazio H LR,

particella 1 in R, particella 2 in L nel sottospazio H RL.

In tutti i casi di due particelle identiche nella stessa regione

i due principi sono equivalenti, come ovviamente doveva.

Si pone il problema di dimostrare l’equivalenza nei casi di una particella in ciascuna regione.


Sono casi particolari del sottospazio H ab,

per a = 1, b = 0, H ab = H LR,

per a = 0, b = 1, H ab = H RL,

per a = 1, b = 1, H ab = (H LR ⊕H RL)+,

per a = 1, b = −1, H ab = (H LR ⊕H RL)−.

Tra questi, oltre ad altri, sussistono i seguenti isomorfismi

H LR−−−−→←−−−−T11

T 111

(H LR + H RL)+, H LR−−−−→←−−−−T1 1

T 11 1

(H LR + H RL)−,

H RL−−−−→←−−−−T11T

101

T01T1

11

(H LR + H RL)+, H RL−−−−→←−−−−T1 1T

101

T01T1

1 1

(H LR + H RL)−.

Per ogni operatore G(1, 2) di H LR ⊕H RL che rappresenti una grandezza fisica,

dalla definizione (16) di Tab, e dalla proprieta (12) di G(1, 2) risulta subito che

(17) G(1, 2)Tab |ϕLR(1, 2)〉 = TabG(1, 2) |ϕLR(1, 2)〉

e quindi, dall’invarianza di H LR per G(1, 2), segue che

tutti i sottospazi H ab sono invarianti per G(1, 2).

Dalla (17) segue anche che

(18) T−1ab G(1, 2)Tab = G(1, 2),

cioe l’isomorfismo Tab non muta gli operatori G(1, 2).

Se T = TabT−1a′b′ e l’isomorfismo che porta dallo spazio H a′b′ allo spazio H ab

e Gab(1, 2) sono gli operatori che descrivono le grandezze fisiche nello spazio H ab,

la trattazione del sistema nei due spazi da gli stessi risultati fisici

ove si usino nello spazio H a′b′ gli operatori

T−1Gab(1, 2)T.

Poiche, in conseguenza della (18), T non muta gli operatori Gab(1, 2),

la trattazione del problema di una particella in ciascuna regione

nei diversi H ab con gli stessi operatori G(1, 2) di H LR ⊕H RL da sempre gli stessi risultati.

Le scelte (H LR ⊕H RL)+ e (H LR ⊕H RL)−,

corrispondenti secondo il principio generale

a "un bosone in ciascuna regione" e "un fermione in ciascuna regione",

sono equivalenti

alle scelte H LR e H RL,

corrispondenti secondo il principio di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione limitata

a "particella 1 in L, particella 2 in R"e "particella 1 in R, particella 2 in L".

Nota

Tutte le altre scelte sono possibili, anche se stravaganti.

Ad esmpio possiamo trattare il sistema "un bosone in ciascuna regione" nello spazio (H LR ⊕H RL)−.


Generalizzazione

Un’ovvia generalizzazione del risultato ottenuto nel caso semplice teste discusso

conduce ad affermare il principio che,

in presenza di una o piu barriere invalicabili,

la simmetrizzazione o l’antisimmetrizzazione possono essere limitate

alle perticelle della medesima specie confinate nella medesima regione.


ISOSPIN

Le particelle possono avere, oltre allo spin, altre proprieta interne,

che sono descritte in un ulteriore spazio di Hilbert

che moltiplica tensorialmente lo spazio L2(R3)⊗ `2s+1.

Un esempio di particella cosiffatta e il nucleone,

che si introduce quando l’essere protone e l’essere neutrone

sono considerati stati interni diversi della medesima particella, il nucleone appunto.

Nota

L’utilita dell’introduzione del nucleone discende dal fatto che,

a parte le diverse interazioni elettromagnetiche,

le masse di protone e neutrone sono praticamente uguali

e le rimanenti interazioni (nucleari) sono uguali.

Il discorso che sara fatto per il protone e il neutrone

potrebbe, formalmente, ripetersi anche per due tipi di particelle di spin 12 completamente diversi,

ad esempio il protone e l’elettrone.

Ma sarebbe scarsamente utile.

Un formalismo analogo a quello per il nucleone

puo invece essere introdotto utilmente per altri multipletti di particelle,

ad esempio il tripletto dei pioni, π+, π0, π−.

Sistema di un nucleone

Spazio di Hilbert

Possiamo costruire lo spazio di Hilbert del sistema di un nucleone come somma diretta

dello spazio di Hilbert di un protone H p e dello spazio di Hilbert di un neutrone H n,

(19) H = H p ⊕H n.

! //

! // L 2(R3)⊗ `2L 2(R3)⊗ `2

Costruito H , la sua scomposizione (19) in H p e H n

e analoga alla scomposizione (5) operata nel caso della barriera invalicabile.

Poiche i due termini hanno in questo caso la stessa struttura, possiamo scrivere

H = L 2(R3)⊗ `2 ⊗ `2 = L 2(R3)⊗ `σ2 ⊗ `τ2 ,

dove `τ2 e lo spazio di Hilbert nel quale descriveremo, per mezzo di due stati ortogonali,

la proprieta del nucleone di essere protone o neutrone.


Grandezze fisiche

Se identifichiamo gli stati di protone e di neutrone rispettivamente con i vettori di stato in `τ2

(20)(

10

)e

(01

),

questi sono gli autovettori della terza matrice di Pauli in `τ2

τ3 =(

1 00 −1

)corrispondenti agli autovalori +1 e −1.

Indichiamo con τ3 l’operatore che agisce come l’identita in L 2(R3)⊗ `σ2ed e rappresentato dalla matrice τ3 nella rappresentazione dei vettori (20) in `τ2 .

L’operatore t-3 = 12 τ3 descrive la grandezza fisica del nucleone, detta isospin,

che distingue tra il protone (valore + 12 ) e il neutrone (valore − 1

2 ).

E conveniente introdurre i proiettori sugli stati di protone e neutrone,

che sono rappresentati in `τ2 dalle matrici

Pp =(

1 00 0

)e Pn =

(0 00 1

)e sono le funzioni di τ3

Pp = Pp(τ3) = 12 (1 + τ3) e Pn = Pn(τ3) = 1

2 (1− τ3).

Gli operatori fondamentali del sistema nucleone sono

gli operatori x, p, s, che agiscono nel modo noto in L 2(R3)⊗ `σ2 e sono l’identita in `τ2 ,

e l’operatore di isospin t-3.

Tutte le grandezze fisiche del nucleone sono costruite con questi operatori.

Posto {x, p, s} ≡ A e {A, t-3} ≡ B, sia la grandezza fisica G descritta

dall’operatore Gp(A) nel caso del protone e dall’operatore Gn(A) nel caso del neutrone.

Allora la grandezza G del nucleone e descritta dall’operatore

(20′) G = Gp(A)Pp( t-3) +Gn(A)Pn( t-3) = G(B).

Ad esempio sono grandezze fisiche del nucleone

l’energia, H = HpPp + HnPn,

dove Hp = 12mp

(p− e0

c A(x))2

+ Vp(x, p, s), Hn = 12mn

p2 + Vn(x, p, s),

l’isospin, t-3,

la carica, Q = e0Pp + 0Pn = e0(

12 + t-3

),

il momento magnetico, µ = s (µpPp + µnPn) = s(

12 (µp+ µn) + (µp− µn) t-3

).

Le ultime due erano, prima dell’introduzione del nuovo formalismo,

proprieta del protone e del neutrone differenti per i due;

ora sono grandezze fisiche del nucleone.



Il fatto che l’unico operatore fondamentale agente in `τ2 sia l’operatore diagonale t-3 fa sı che

(21) H p e H n

siano sottospazi invarianti.

L’esistenza dei sottospazi invarianti H p e H n

e analoga all’esistenza dei sottospazi invarianti (7) nel caso della barriera invalicabile.

Introdurre la particella nucleone ovvero introdurre il formalismo dell’isospin

significa mantenere la descrizione in H

nonostante l’esistenza dei sottospazi invarianti.

Naturalmente si perde l’irriducibilita e agisce una regola di superselezione,

cioe gli stati di protone e gli stati di neutrone non possono trasformarsi gli uni negli altri,

ne sono fisicamente possibili stati sovrapposizione di quelli e di questi.

Notiamo l’analogia tra la scomposizione (5) e l’elenco (7) da un lato

e la scomposizione (19) e l’elenco (21) dall’altro.

Osserviamo che, per introdurre il formalismo dell’isospin,

siamo partiti dai due spazi di Hilbert H p e H n e abbiamo costruito lo spazio H = H p ⊕H n.

Nel caso della barriera invalicabile siamo partiti dallo spazio H

e lo abbiamo scomposto scrivendo H = H L ⊕H R.

A parte l’inversione del percorso, le due situazioni sono formalmente identiche.


Sistema di due nucleoni

Spazio di Hilbert

Lo spazio di Hilbert del sistema dei due nucleoni e

(22) H = H (1)⊗H (2).

Ciascuno spazio di nucleone singolo H (α), α = 1, 2,

e la somma diretta di due sottospazi ortogonali

(23) H (α) = H p(α)⊕H n(α).

Allora lo spazio di Hilbert H si puo scrivere come la somma diretta di sottospazi ortogonali

H = H p(1)⊗H p(2)︸︷︷︸ ⊕ H n(1)⊗H n(2)︸︷︷︸ ⊕ H p(1)⊗H n(2)︸︷︷︸ ⊕ H n(1)⊗H p(2)︸︷︷︸ . ! // ! // ! // ! //H pp H nn H pn H np

Si possono poi effettuare (con ovvio significato dei simboli) le ulteriori scomposizioni in sottospazi ortogonali

H pp = H +pp ⊕H −

pp,

H nn = H +nn ⊕H −

nn,

H pn ⊕H np = (H pn ⊕H np)+ ⊕ (H pn ⊕H np)−.

Grandezze fisiche

Indicando con α ≡ Bα ≡ {Aα, t-α3 }, dove Aα ≡ {xα, pα, sα}, gli operatori fondamentali del nucleone α,

gli operatori fondamentali del sistema di due nucleoni sono

{A1, t-13} ≡ B1 ≡ 1, {A2, t-

23} ≡ B2 ≡ 2 .

Tutte le grandezze fisiche del sistema sono costruite con questi operatori.

Posto

Pp(α) = 12

(1 + τα3

), Pn(α) = 1

2

(1− τα3

), con la proprieta Pp(α) + Pn(α) = Iα,

i proiettori sugli stati di due protoni, di due neutroni, di un protone e un neutrone sono rispettivamente

Ppp(1, 2) = Pp(1)Pp(2) = Ppp(2, 1),

Pnn(1, 2) = Pn(1)Pn(2) = Pnn(2, 1),

Ppn(1, 2) = Pp(1)Pn(2) + Pn(1)Pp(2) = Ppn(2, 1),

che proiettano rispettivamente sui sottospazi H pp, H nn e H pn ⊕H np di H .


Sia la grandezza G descritta

per il sistema di due protoni dall’operatore Gpp(A1, A2),

per il sistema di due neutroni dall’operatore Gnn(A1, A2),

che sappiamo avere le proprieta

(24) Gpp(A1, A2) = Gpp(A2, A1), Gnn(A1, A2) = Gnn(A2, A1).

Introducendo il formalismo dell’isospin, la grandezza G e descritta

nel caso di due protoni dall’operatore

(25pp) Gpp(1, 2) = Gpp(A1, A2)Ppp(1, 2) = Gpp(2, 1)

e nel caso di due neutroni dall’operatore

(25nn) Gnn(1, 2) = Gnn(A1, A2)Pnn(1, 2) = Gnn(2, 1).

Nel caso del sistema di un protone e un neutrone,

se quello e la particella 1 e questo la particalla 2,

sia la grandezza G descritta dall’operatore Gpn(A1, A2);

allora se il protone e la particella 2 e il neutrone la particella 1,

la grandezza G e descritta dall’operatore Gpn(A2, A1).

Introducendo il formalismo dell’isospin, la grandezza G e descritta

nel caso di un protone e un neutrone dall’operatore

(25pn) Gpn(1, 2) = Gpn(A1, A2)Pp(1)Pn(2) +Gpn(A2, A1)Pn(1)Pp(2) = Gpn(2, 1).

La grandezza G per il sistema di due nucleoni e descritta dall’operatore

(26) G(1, 2) = Gpp(1, 2) +Gnn(1, 2) +Gpn(1, 2) = G(2, 1).

I due nucleoni sono, per costruzione, identici.

Di norma gli operatori Gpp(A1, A2), Gnn(A1, A2) e Gpn(A1, A2)

sono la somma di un operatore a un corpo e di un operatore a due corpi, cioe

Gpp(A1, A2) = Gp(A1) +Gp(A2) +G(2)pp (A1, A2),

Gnn(A1, A2) = Gn(A1) +Gn(A2) +G(2)nn (A1, A2),

Gpn(A1, A2) = Gp(A1) +Gn(A2) +G(2)pn (A1, A2),

dove Gp(A) e Gn(A) sono le stesse grandezze che compaiono nella (20’).

Sostituendo queste espressioni nelle (25) e (26)


Ad esempio, sono operatori rappresentanti grandezze fisiche del sistema

H(1, 2) = Pp(1)Hp(1) + Pn(1)Hn(1) + Pp(2)Hp(2) + Pn(2)Hn(2)

+ Ppp(1, 2)Vpp(1, 2) + Pnn(1, 2)Vnn(1, 2) + Ppn(1, 2)Vpn(1, 2) = H(2, 1),

Q(1, 2) = e0(Pp(1) + Pp(2)

)= 2e0Ppp(1, 2) + e0Ppn(1, 2) = Q(2, 1),

eccetera.

Il fatto che gli unici operatori fondamentali del sistema di due nucleoni

che agiscono nello spazio `τ2(1)⊗ `τ2(2) siano gli operatori t-13 e t-

23

comporta che le grandezze fisiche G(1, 2) non abbiano elementi di matrice non nulli

tra vettori di stato appartenenti a sottospazi H pp, H nn, H pn, H np diversi.

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