GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICAGEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA

PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI

PARALLELISMO TRA RETTE

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio FragassiIl materiale può essere riprodotto citando la fonte

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci

Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009

Da Di Blasio Giada della classe 3°C

del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline grafico-

geometriche”

Insegnante: Prof. Elio Fragassi

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Cominciamo l’analisi sul parallelismo iniziando con l’ “ INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ”

Ricordando gli specifici elementi geometrico descrittivi, come caratterizzati nella tabella riassuntiva della presentazione n° 1, ed escludendo il punto, quindi anche le "tracce" della retta -per quanto detto nella presentazione n°1-, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due o più rette necessita definire lo specifico rapporto descrittivo concreto tra le "proiezioni“ delle rette, che geometricamente si caratterizzano come "rette“.

Possiamo, allora, avere un caso come quello graficizzato nell’immagine di sopra (Fig. 01)

PARALLELISMO TRA RETTEPARALLELISMO TRA RETTEINDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)

In questa circostanza, considerando le rispettive proiezioni delle due rette accade che:

s’ r’ P’

ed anche

s” r” P”

Stante questo rapporto, definito, concreto,costante e continuo tra gli stessi elementi rappresentativi della retta r e della retta s, si può dedurre che le due rette reali, collocate nello spazio fisico, sono anch'esse parallele.

La formalizzazione esplicativa può

essere così espressa:

P’

P’’

P r // s

r’ // s’

r’’ // s’’

Mentre e' possibile enunciare la seguente definizione geometrico-descrittiva:Se le omonime proiezioni di due rette distinte sono parallele,

allora, e solo allora, possiamo asserire che tali sono le rette reali

Ampliando la definizione con il concetto del punto improprio si ha la seguente forma sintetica:

r s P r//s

che possiamo enunciare nel modo seguente

Se le intersezioni delle omonime proiezioni di due rette distinte determinano le proiezioni di un punto improprio, allora, e solo allora, possiamo asserire che le due rette reali sono parallele

PARALLELISMO TRA RETTEINDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2)(2)

Se la condizione geometrica deve essere imposta tra due o più rette, è necessario operare, nel corso dell’elaborazione, in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso prima. Pertanto, volendo costruire due rette parallele è necessario imporre che le omonime proiezioni siano tali. Avremo quindi, con riferimento ai caratteri geometrici, la seguente definizione:

Perché due, o più rette, siano parallele tra loro è necessario che tali siano le rispettive omonime proiezioni

Ampliando la ricerca con il concetto di punto improprio è necessario fare sì che le loro intersezioni determinino le proiezioni di un punto improprio. Conseguentemente possiamo esprimere la seguente formalizzazione impositiva o applicativa:

dove

dove

r" s”

r’ s’

r // s r s P

P’

P"

'R r'

'S s'

''R 'r'

''S 's'

dove gli elementi R ed S delle sommatorie individuano i punti dinamici che

muovendosi secondo una direzione assegnata generano le rette reali r ed

sLa definizione verbale può essere sintetizzata ed espressa nel modo seguente:

Perché due rette siano parallele è necessario che le rispettive intersezioni delle due proiezioni determinino le proiezioni di un punto improprio

Che, sinteticamente, in forma insiemistico-descrittiva può essere espressa nel modo seguente:

r // s [(r’ s’) P’; (r” s”) P’’]

Rett

a

r

Rett

a

s

Ele

mento

g

eom

etr

ico

CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE RETTE

Did

asc

alia

ele

men

toD

idasc

alia

ele

men

to

rappre

senta

tivo

T1r 1a traccia Punto

RealeT2r 2a traccia Punto

Reale

Nom

encl

atu

ra

dell'

ele

mento

ra

ppre

senta

tivo

r’’

1a proiezione o

1a immagine Rett

aRett

a

Virtuale

Virtuale 2a proiezione

o2a immagine

r’

T1s 1a traccia Punto

RealeT2s 2a traccia Punto

Reale

s’’

1a proiezione o

1a immagine Retta

Retta

Virtuale

Virtuale 2a proiezione

o2a immagine

s’

Defin

izio

ne

geom

etr

ica

ele

men

to

rapp

rsenta

tivo

Defin

izio

ne fi

sica

d

ell'

ele

mento

ra

pp

rsen

tati

vo

Definizione grafica degli elementi geometrici

Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra

rette

Formalizzazione esplicativa

Formalizzazione applicativa

r'//s'

r"//s"

r//s P

r//s

r' s'

r" s"

P'

P"

P

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri

Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato

r’’ // s’’ P’’

r’ // s’ P’

P

Dato Risultato

Poiché le estensioni di (a’, b’) e (a”, b”) generano rispettivamente P ’ , P ” si deduce che le due rette sono parallele perché la loro intersezione genera il punto improprio P

Spiegazione

Dato Risultato

P’P”

Le estensioni delle proiezioni generano due punti (P’ = a’ b’) e P” = a” b”) reali.Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti.Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri.

Spiegazione

Dato Risultato

Le proiezioni a’ e b’ delle due rette orizzontali nel quarto diedro essendo parallele si intersecano nel punto P’ . Le proiezioni a” e b”, essendo coincidenti, non specificano alcun rapporto di parallelismo. Mancando la possibilità di identificare l’intersezione di a” e b” non è chiaro se le due proiezioni determinano un punto reale o un punto impropio. In questo caso ci si affida solo alle prime proiezioni per cui essendo P’ improprio si deduce che le due rette sono parallele.

Spiegazione

Dato Risultato

P”

P’

Anche se le proiezioni delle due rette si presentano graficamente parallele, le estensioni delle proiezioni generano due punti reali (P’ = a’ b’) e P” = a” b”).Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti.Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri.

Spiegazione

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri

Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato

Dato Risultato

r’//s’ P’

r”//s’’ P” r//s

b’

b”

T1bT2b

Data la collocazione del punto A(A’; A”) mentre (b’// a’) sono due proiezioni distinte, (b”//a”) sono due proiezioni oltre che parallele

anche coincidenti.Si è completata la definizione della retta b -retta generica nel quarto

diedro- anche con la definizione delle due tracce T1b e T2b.

Spiegazione

Dato Risultatoc’ c”

T1c

T2c

Considerando la collocazione e la tipologia del punto B (B’ B”) e le proiezioni della retta b (b’; b”), le proiezioni della retta c//b (c’//b’; c”//b”) si caratterizzano come due rette coincidenti passanti per il punto B (B’ B”) con le tracce coincidenti sulla lt.La retta c//b è, quindi, una retta generica incidente la lt.

Spiegazione

Dato Risultato

y’Y”

T1y

T2yx’

x”

T1x

T2x

Definite le proiezioni della retta y (y’; y”) passante per i due punti A(A’; A”) e B(B’; B”) si determinano le tracce che, analizzate, individuano y come una retta generica nel primo diedro.Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per C’ e C” due proiezioni della retta x tali che siano (x’//y’) e (x”//y”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro come esplicitano le posizioni

spaziali delle relative tracce T1x e T2x.

Spiegazione

Dato Risultato

m’

m”

T1m T2m

T1n

T2n

n’

n”

La particolare tipologia dei punti X(X’X”) e Y(Y’ Y”) determina una retta avente le proiezioni coincidenti tale che m(m’m”). La rappresentazione di m si completa con le due tracce T1m e T2m coincidenti sulla lt.Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per A’ e A” due proiezioni della retta n tali che siano (n’//m’) e (n”//m”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro.

Spiegazione

Esercizio Risoluzione

A’

r’

r”

T1r

T2r

s’

s”

T1s

T2s

r’

r”

T1 r

T2 r

B”

Esercizio Risoluzione

r’

r”

s’

s”

T1s

T1r

T2 r

T2 s

s’

s”

T1s T2sr’

r”

T1r

T2r

Esercizio Risoluzione

s’

s”

T1s

s’

s”

T1sT2s

T1rT2r

Esercizio Risoluzione

s’

s”

T1s

T2s

s’

s”

r’

r”

T1s

T2r

T1r

T2s

1. Dati i punti A(A'=4; A"=3), B(B'=6; B"=1), C(C'=1;C"=5) definire e rappresentare la retta x(A,B) quindi la retta (yC)//x.

2. Dati i punti X(X'=1;X"=2), Y(Y'=-2;Y"=4), Z(Z'=-3;Z"=-5), W(W'=2;W"=-1) definire e rappresentare quattro rette a//b//c//d ciascuna contenente un punto di quelli assegnati.3. Dati la seguente retta a(T1a=4; T2a=1) ed il seguente punto A(A'=1;A"=4) definire e rappresentare una retta (bA)// a.

4. Dati i punti D(D'=-3; D"=6), E(E'=6; E"=-3) definire e rappresentare la retta a(D,E), quindi, a scelta dell'allievo una qualsiasi retta b che sia b//a.

1. Data la retta r(T1r=3; T2r=8) definire e rappresentare una retta s collocata nel secondo diedro tale che sia s//r.

2. Data la retta a(T1a=3;T2a=7) e la retta b(T1b=-3), completare la rappresentazione della retta b facendo in modo che sia b//a.

3. Dati la retta a(T1a=0; T2a=0) ed un punto B(B'=-4; B"=-6)a, definire e rappresentare una retta b//a contenente il punto A(A'=6; A"=4).

4. Dati la retta r(T1r=-3;T2r=5) ed il punto A(A'=-6;A"=6), definire e rappresentare la retta (sA)//r

1. Definire e rappresentare le seguenti rette [(a//b//c)1+2

+] W I D

2. Definire e rappresentare le seguenti rette [(d//e//f)1-//2

+] W II D

3. Definire e rappresentare le seguenti rette [(g//h//i)//1-2

-] W III D

4. Definire e rappresentare le seguenti rette [(l//m//n)1+2

-] IV D

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHEOgni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:

1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche

Elementi della valutazione

Valutazioni Punti

1

4

3

2

PUNTEGGIO TOTALE

0,00 0,50 1,000,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

2,50

2,50

2,50

2,50

10,00

Test Eserc.

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito

http://www.webalice.it/eliofragassi