OLIMPIADI ITALIANE

DI ASTRONOMIA

Tempo

Mauro Dolci INAF - Osservatorio Astronomico di Teramo

SAIt – Società Astronomica Italiana

Comitato Nazionale per le

Olimpiadi Italiane di Astronomia

Corso di preparazione alle Olimpiadi INAF – Osservatorio Astronomico di Teramo

Scuola Secondaria di I Grado «F. Savini» – Teramo

Elementi di algebra e geometria

PROPORZIONI

a : b = c : d

Proprietà:

1) Conservazione del rapporto degli estremi:

a*d = b*c

2) Proprietà commutativa:

a : b = c : d => a : c = b : d => d : b = c : a …

3) Proprietà distributiva:

a : b = c : d => (a+b) : b = (c+d) : d

Elementi di algebra e geometria

LA MISURA DEGLI ANGOLI

Gli angoli si misurano in gradi e in radianti.

Un grado è la 360ma parte di un angolo giro. Un angolo retto

misura dunque 90°, un angolo piatto 180° e un angolo giro 360°.

Il radiante è l’ampiezza dell’angolo che intercetta un arco di

circonferenza di lunghezza pari al raggio. In generale,

l’ampiezza in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza

dell’arco di circonferenza intercettato dall’angolo, e quella del

raggio della circonferenza stessa :

=

Per un angolo giro la lunghezza dell’arco è ℓ = 2r per cui

l’ampiezza in radianti è 2. Per un angolo piatto è e per un

angolo retto è /2 .

ℓ r

IL TEMPO IN ASTRONOMIA

Fin dall’antichità, il moto apparente della volta celeste, legato

alla rotazione terrestre, è stato riconosciuto come un fenomeno

dotato di tale regolarità da essere direttamente legato allo

scorrere (e quindi ad una MISURA) del tempo. Tra gli oggetti

della sfera celeste visibili ad occhio nudo, però, vanno distinti

il Sole, la Luna, i pianeti e le stelle fisse. Per questi oggetti,

infatti, il moto apparente sulla sfera celeste è diverso.

Il moto apparente dei pianeti non è in realtà regolare (lo è

quello assoluto [vedi Leggi di Keplero]: nel moto apparente, al

prevalente moto in avanti, o progrado, si alternano brevi fasi di

moto all’indietro, o retrogrado) e quindi non è utile per il tempo.

Il moto apparente della Luna è invece regolare ed è servito per

un tipo di misura del tempo che ha portato alla definizione di

mese lunare e, di qui, al “mese” come lo conosciamo oggi. Si

tratta tuttavia di una notazione obsoleta e non la tratteremo.

Vedremo quindi solo il moto apprente delle stelle e del Sole.

MOTO DELLE STELLE: GIORNO SIDERALE

Si definisce GIORNO SIDERALE l’intervallo di tempo tra due

passaggi consecutivi della stessa stella (scelta a caso) al

meridiano centrale del luogo di osservazione

MOTO DEL SOLE: GIORNO SOLARE

Si definisce GIORNO SOLARE l’intervallo di tempo tra due

passaggi consecutivi del Sole al meridiano centrale del luogo

di osservazione

GIORNO SIDERALE E GIORNO SOLARE

Come si vede dai disegni che accompagnano le definizioni, a

causa della rivoluzione terrestre la direzione Terra-Sole cambia

continuamente mentre la direzione Terra-Stella (essendo

quest’ultima a distanza pressoché infinita) rimane fissa.

Ciò fa sì che il giorno solare sia più lungo del giorno siderale.

Per definizione, il giorno solare (medio) dura 24 ore:

1 giorno solare = 24h

Il giorno siderale dura leggermente meno, precisamente:

1 giorno siderale = 23h 56m 04s.1

Il giorno siderale anticipa giornalmente di circa 3m 56s rispetto

al giorno solare. Questo anticipo si accumula nel tempo.

ANNO SIDERALE e ANNO SOLARE

Esercizio. Determinare la durata del giorno siderale, sapendo che un

anno siderale è composto di 365.2564 giorni solari.

Soluzione. Nel suo moto apparente lungo l’eclittica, il Sole effettua un giro

completo in un anno siderale. Questo vuol dire che, rispetto al Sole, è come se

la sfera celeste avesse effettuato, in un anno, una rivoluzione completa intorno

all’asse terrestre. Questa rivoluzione si somma alle 365.2564 rivoluzioni (una

al giorno!) effettuate durante l’anno.

Dunque se ne conclude che in un anno siderale sono contenuti 365.2564

giorni solari e 366.2564 giorni siderali, ovvero:

365.2564 giorni solari = 366.2564 giorni siderali

da cui

1 giorno siderale = = 0.997269… giorni solari

La durata del giorno siderale sarà quindi

1 giorno siderale = 0.997269… * 24 ore = 23.9344721… ore =

= 23h 56m 04s.0996

365.2564

366.2564

IL TEMPO SOLARE

Data la regolarità del moto apparente del Sole dovuto alla

rotazione terrestre (le piccole irregolarità sono legate alla

rivoluzione terrestre per mezzo della II legge di Keplero),

appare naturale non solo definire il giorno solare, ma un

qualsiasi intervallo di tempo come quello impiegato dal Sole a

muoversi di un certo angolo lungo la volta celeste.

Nasce così il TEMPO SOLARE, come il tempo impiegato dal Sole

a percorrere in cielo un’ampiezza angolare (si legge: theta), e

misurato a partire dalla culminazione inferiore del Sole.

Assegnando “ore zero” (mezzanotte locale) a questo punto, è

evidente che la culminazione superiore del Sole (ovvero il

passaggio al meridiano centrale del luogo) corrisponde a “ore

dodici”, ovvero al mezzogiorno locale.

Ovviamente questa notazione dipende dal luogo, ed in

particolare dalla sua longitudine !

IL TEMPO SIDERALE (ST)

Analogamente a quanto visto per il Sole, il moto apparente

delle stelle è altamente regolare ed appare naturale non solo

definire il giorno siderale, ma un qualsiasi intervallo di tempo

come quello impiegato da una stella a muoversi di un certo

angolo lungo la volta celeste.

Nasce così il TEMPO SIDERALE, come il tempo impiegato da

una stella a percorrere in cielo un’ampiezza angolare .

A differenza del caso del Sole, tuttavia, si deve decidere subito

QUALE stella si assume per questa definizione. In caso

contrario, il tempo siderale dipenderebbe dalla stella scelta!

Si conviene pertanto di assegnare TEMPO SIDERALE ZERO

all’istante in cui il punto dell’eclittica passa al meridiano del

luogo.

In tal modo, anche questa notazione dipende solo dal luogo, ed

in particolare dalla sua longitudine !

TEMPI E LONGITUDINE

Sia il tempo solare che il

tempo siderale dipendono

dalla longitudine del luogo.

Infatti, nell’istante in cui il

Sole o il punto passano al

meridiano in un dato luogo, ciò

sarà già successo per tutti i

luoghi che si trovano ad est del

luogo considerato.

Invece dovrà ancora accadere

per quei luoghi che si trovano

ad ovest del luogo considerato.

EST OVEST

Asse terrestre

Qui mezzogiorno è già passato

Qui è mezzogiorno !

Qui mezzogiorno deve ancora

arrivare

(TERRA VISTA DAL POLO NORD CELESTE)

TEMPI E LONGITUDINE

Sia il tempo solare che il

tempo siderale dipendono

dalla longitudine del luogo.

Infatti, nell’istante in cui il

Sole o il punto passano al

meridiano in un dato luogo, ciò

sarà già successo per tutti i

luoghi che si trovano ad est del

luogo considerato.

Invece dovrà ancora accadere

per quei luoghi che si trovano

ad ovest del luogo considerato.

EST OVEST

Asse terrestre

Qui mezzanotte siderale è già passata

Qui è mezzanotte siderale !

Qui mezzanotte siderale deve

ancora arrivare

(TERRA VISTA DAL POLO NORD CELESTE)

TEMPI E LONGITUDINE

Le differenze di orario sono

direttamente proporzionali alle

corrispondenti differenze di

longitudine. La proporzionalità

è espressa dalle proporzioni:

t : = 1 g. sol. : 360o

(per il tempo solare)

e

t : = 1 g. sid. : 360o

(per il tempo siderale).

Dunque:

tSOL = (24h / 360o) *

tSID = (23h56m04s.1 / 360o) *

EST OVEST

Asse terrestre

(TERRA VISTA DAL POLO NORD CELESTE)

1,2

t1,2

t2

t1= t2 + t1,2

1

2

t3 = t2 + t2,3

3

t2,3

2,3

TEMPI E LONGITUDINE

Problema. Quanto tempo passa tra il mezzogiorno solare vero (ovvero il

passaggio del Sole al meridiano) fra Parigi ( = 2o 21’ 07” Est) e Roma

( = 12o 28’ 58” Est) ?

Soluzione. Roma si trova più ad Est di Parigi, quindi il mezzogiorno solare

vero avverrà prima. La differenza di longitudine tra le due città è

= ROMA – PARIGI = 12o28’58” – 02o21’07” = 10o07’51”

Per trovare l’intervallo di tempo, dobbiamo prima convertire tutto in gradi:

= 10o07’51” = 10o.131

Abbiamo quindi

t = (24h / 360o) * 10o.131 = 0.6754h = 40m 31s.44

Il mezzogiorno solare vero a Parigi avviene circa 40 minuti e mezzo dopo

quello di Roma.

TEMPI E LONGITUDINE

Problema. Se in un certo istante a Roma ( = 12o 28’ 58” Est) il tempo

siderale è zero, quanto sarà il tempo siderale, in quell’istante, a

Parigi ( = 2o 21’ 07” Est)?

Soluzione. Nell’istante considerato a Roma si verifica la mezzanotte siderale.

A Parigi, trovandosi più ad Ovest, questa dovrà ancora arrivare. Consideriamo

di nuovo la differenza di longitudine tra le due città:

= ROMA – PARIGI = 12o28’58” – 02o21’07” = 10o07’51”

Convertendo tutto in gradi, = 10o07’51” = 10o.131, possiamo calcolare

l’intervallo di tempo siderale (dobbiamo convertire anche il giorno siderale in

ore: 23h56m04s.1 = 23h.9345):

t = (23h.9345 / 360o) * 10o.131 = 0.6736h = 40m 24s.80

La mezzanotte siderale a Parigi avviene 40m 24s.80 dopo quella di Roma.

Pertanto nell’istante considerato a Parigi il tempo siderale vale

STPARIGI = 23h 56m 04s.1 – 40m 24s.80 = 23h 15m 39s.3

TEMPI E LONGITUDINE Problema. Se in un certo istante a Roma ( = 12o 28’ 58” Est) il tempo

siderale è ST = 10h, a quale longitudine si starà verificando la

mezzanotte siderale?

Soluzione. Il problema qui è inverso. Abbiamo infatti i due tempi (10h e 0h) e

quindi partiamo dall’intervallo di tempo t = STROMA – STx = 10h .

Dobbiamo ricavare allora l’intervallo di longitudine, invertendo la proporzione:

= (360o / 23h.9345 ) * t = (360o / 23h.9345 ) * 10h =

= 150o.4105 = 150o 24’ 37”.78

Ora possiamo ricavare la longitudine del luogo “x” in cui sta avvenendo la

mezzanote, ma con qualche prudenza. Infatti, visto che a Roma la mezzanotte

è già avvenuta da 10 ore, essa si trova ad Est del luogo considerato. Pertanto,

nel ricavare la longitudine x del luogo “x”, ricaveremo senz’altro un valore

“negativo EST”, che va letto come “positivo OVEST”:

ROMA – x = x = ROMA – = 12o 28’ 58” – 150o 24’ 37”.78 =

= – 137o 55’ 39”.78 Est = 137o 55’ 39”.78 Ovest

TEMPO SIDERALE VS TEMPO SOLARE

In ogni data località, il tempo siderale ed il tempo solare non

coincidono mai, ad eccezione dell’istante iniziale.

Questo istante è quello in cui simultaneamente il punto passa

al meridiano ed il Sole è all’antimeridiano: si verifica quindi a

mezzanotte solare del giorno in cui il Sole si trova nel punto

opposto al punto .

Noi sappiamo che il Sole si trova nel punto il giorno

dell’equinozio di primavera: dunque esso si troverà nel punto

opposto il giorno dell’equinozio d’autunno.

Se ne conclude che:

TEMPO SOLARE E TEMPO SIDERALE COINCIDONO SOLO

NELL’ISTANTE INZIALE, OVVERO TSIDERALE = TSOLARE= 0,

ALLA MEZZANOTTE SOLARE DELL’EQUINOZIO

D’AUTUNNO (21 settembre).

IL TEMPO UNIVERSALE (UT)

Se per gli usi civili il tempo civile va bene, per quelli scientifici

(dove è necessario spesso confrontare fenomeni osservati in

luoghi diversi) ancora questa notazione non va bene. Ci vuole un

UNICO tempo per tutti i punti della Terra !

Questo tempo è il TEMPO UNIVERSALE, definito nel seguente

modo:

TEMPO UNIVERSALE (UT)= TEMPO SOLARE MEDIO DI GREENWICH

Con questa definizione, sapendo che Greenwich si trova per

definizione a longitudine = 0, si applicano le stesse formule e

gli stessi procedimenti già visti per passare dal tempo solare a

quello siderale e per calcolare il tempo siderale in una data

località, quando sia noto in un’altra località, di modo da

calcolare, per ogni punto della Terra, ad ogni istante di tempo

universale, il tempo siderale.

Esercizio. Calcolare il tempo siderale alle 22h UT del 12 febbraio

a Roma ( = 12o 28’ 58” Est).

Soluzione. Partiamo dalla considerazione che alle 0h UT del 21 settembre, a Greenwich il tempo

siderale è ST = 0h. Con un po’ di pazienza, contiamo il numero di giorni che passano tra il 21 settembre

ed il 12 febbraio:

21 settembre 30 settembre = 10 giorni (il 23 è incluso!)

1 ottobre 11 febbraio = 31+30+31+31+11 giorni (il 12 non va incluso!)

Totale: 10d+31d+30d+31d+31d+11d= 144d

Sapendo che ogni giorno la mezzanotte siderale anticipa di 3m56s, avremo a Greenwich un anticipo

complessivo pari a:

STGREENWICH = 3m56s * 144 = 566m.40 = 9h 26m 24s

Ora, alle 22 UT del 12 febbraio, sarà trascorso dalla mezzanotte (dello stesso giorno) un tempo siderale

leggermente inferiore a 22 ore, e precisamente quello dato dalla proporzione

22h : 24h = x : 23h.9345 x = 21h.9396 = 21h 56m 23s.85

quindi complessivamente il tempo siderale di Greenwich in quel momento sarà

STGREENWICH (22UT, 12/02)= 9h 26m 24s + 21h 56m 23s.85 = 31h 22m 47s.85

che naturalmente va riportato nell’ambito delle 24 ore sottraendo 24:

STGREENWICH(22UT, 12/02)= 7h 22m 47s.85

A questo punto, nota la differenza in longitudine = 12o 28’ 58”, si ottiene finalmente il tempo

siderale di Roma, alle 22 UT del 12 febbraio:

STROMA(22UT, 12/02)= 7h 22m 47s.85 + (23h 56m 04s.1 / 360o) * 12o 28’ 58” =

= 7h 22m 47s.85 + 0h 49m 47s.69 = 8h 12m 35s.54