Obiettivi

Conoscere strumento della Fuzzy Logica

Analisi di un progetto

Argomenti, obiettivi- Antefatto: contraddizioni logica classica- Inquadramento storico- Sistemi Fuzzy- Settori (Fisica / Aerodinamica) nei quali tale strumento può essere applicato con successo-Rivedere concetti fondamentali alla base di questo metodo-

•La Logica Fuzzy non si pone l’obiettivo di modificare: •Il modo di ragionare di un uomo•la metodologia usata da un uomo per

- affrontare un problema - per prendere delle decisioni

•La Logica Fuzzy si pone l’obiettivo di trovare : •un metodo semplice e funzionale per codificare(tradurre in un codice utilizzabile da una macchina) il modo di ragionare di un uomo. •un metodo per codificare la conoscenza, •un metodo per catturare l’esperienza

Cosa non è e cosa è la Logica Fuzzy

• Verità logica: gli enunciati che descrivono relazioni logiche o matematiche, come

6-3=3 (vero)8*5=6 (non vero)

sono vere o falso in ogni contesto

• Verità fattuali: enunciati che descrivono fatti o eventi possibili

si deve azionare il postbruciatore fa freddo

sono vere o false a seconda dei casi

Il concetto di verità nella Logica Aristotelica

• La natura delle cose è molto più complessa

- cosa è una montagna? Cos’è una collina?- esiste un passaggio brusco da collina

a montagna? - L’evento misurato è una temperatura?- Che “peso” ha la temperatura nel modello

matematico che descrive il sistema?

Verità fattuali

Teoria classica

X appartiene ad A

f(x)=1X

X

X non appartiene ad A

f(x)=0

Teoria fuzzy

Il grado di appartenenza Di x ad A è definito da una membership functionfA(x)= numero reale [0,1]

1

0

L.A. Zadeh (1965), Dep. Of Ingeneering and Electronics Research Laboratory - Berkeley

Fuzzy Sets

Granularizzazione delle variabili nella logica fuzzy

Osservazione

Ogni ragionamento prevede delle relazioni logiche, “regole”, costituite da:

una premessa e una conclusione(conseguenza)

• la premessa di una regola è un enunciato,proposizione (semplice o composta) - definisce le condizioni in cui la conclusione deve essere applicata

• la conclusione (conseguenza) di una regola - definisce l’azione che deve essere attivata quando

la condizione della premessa è verificata

Ragionamenti basati sulla logica

I ragionamenti nelle due logiche

Se la premessa è vera allora La conclusione (conseguenza) è attivata

Se la premessa non è vera allora La conclusione (conseguenza) non è attivata

Esempio: EQ. di II° grado Se il Δ > 0 allora abbiamo 2 sol. reali distinte

•Se il Δ = 0 allora abbiamo 2 sol. reali coincidenti

•Se il Δ < 0 allora abbiamo 2 sol. complesse coniugate

X1, x2X1= x2

X1 =a+ibX2=a-ib

Logica aristotelica: esempio nella matematica

Tutta la nostra vita si basa su decisioni,azioni legate a dei ragionamenti(consci o inconsci)

Nel mondo reale gli enunciati che definiscono le premesse sono sempre o veri o falsi ? - Se è caldo accendo il condizionatore.

Ma… Cosa vuol dire è caldo ? Ha senso introdurre una soglia per decidere se è caldo ?

Non è forse più sensato attivare il condizionatore proporzionalmente alla sensazione di caldo che proviamo. Detto in modo Fuzzy proporzionalmente a quanto è vera (al grado di verità) la proposizione è caldo.

Si intuisce allora l’opportunità di implementare sulle macchine un “modus operandi” più simile a quello umano. Per far ciò dobbiamo rendere fuzzy i concetti su cui si basano il loro modo di ragionare.

I ragionamenti nel mondo reale

0

1L M H

V49.9 50.1

•If (V is L) then

•If (V is M) then

•If (V is H) then Cons.H

Logica binariaCons. L

Cons.M

0

1L M H

V51.1

Logica fuzzy

•If (V is L) then

•If (V is M) then

•If (V is H) then Cons.H

Cons. L, M

Un altro confronto

Punto di partenza: osservare che nel mondo reale, i processi decisionali, o ragionamenti, hanno semprelo stesso obiettivo:

TROVARE UNA RELAZIONE TRA INGRESSO E USCITA

• Per un fisico equivale a trovare un modello• In generale, il processo decisionale che ci porta a

prendere ogni decisione.

Es. se “fa freddo” allora mi copro.ma QUANTO freddo io stia provando è soggettivo, e “come” mi coprirò è strettamente legato all’ingresso, ossia alla percezione.

L’uscita sarà quindi proporzionale al grado di verità dell’affermazione in ingresso

I/O

Fenomenoreale

L’algoritmo descrive come renderecomputabile un ragionamento basato su un set di regole Fuzzy

OBIETTIVO:

•Individuare le variabili che lo regolano•Stabilire relazione I/O

InputRelazioni

deterministiche di tipo

If…Then

OUTPUT

L’algoritmo Fuzzy

•Definire gli insiemi Fuzzy delle variabili di ingresso e uscita (granularizzazione delle variabili)

•Definire le regole che correlano le variabili di ingresso e uscita (IF ..THEN… rules)

•Precisare come calcolare : - il grado di verità della premessa di ogni regola; - l’inferenza delle singole regole - il contributo di tutte le regole

Come costruire l’Algoritmo Fuzzy ?

•La premessa di una regola (If Premessa THEN Conseguenza)

può essere una proposizione •semplice (x is L)

•Composta (x is L) and (y is M) (x is L) or (y is M)

Come calcolare il grado di verità (Θ) della Premessa

•Proposizione semplice

x is L Θ= αL = 0.6

x is M Θ= αM = 0.4

•Proposizione composta

(x is L) and (y is H) Θ = min (αL , αH ) = 0.4

(x is L) or (y is H) Θ = max (αL , αH ) = 0.6

Calcolo del grado di verità (Θ) della premessa (secondo Zadeh)

0

1L M H

VX

0.60.4

0

1L M H

VX

0.4

0

1L M H

V0.6

Y

Inferenza di un sistema fuzzy(Aggregazione di tre regole)

Il ragionamento fuzzy si basa su:

1. Uso di variabili linguistiche: - variabili che utilizzano parole( aggettivi descritti da insiemi fuzzy) al

posto dei numeri

• Uso di regole fuzzy: - IF premise THEN conclusion

1. Aggregazione dei contributi delle regole (inferenza)

2. Se richiesta, defuzzificazione

Conclusioni

Metodo tradizionale, logica aristotelica

Ragionamento fuzzy, logica fuzzy

-Variabili numeriche

-Relazioni matematiche(esigenza di un modello)

-La conseguenza di una relazione logica è o non è attivata, nella misura in cui la premessa è o non è vera

RIGOROSO MA COMPLESSO

-variabili linguistiche

-regole fuzzy(conoscenza tramite esperto)

-la conseguenza di una regolaè attivata proporzionalmente al grado di verità della premessa

SEMPLICE E FUNZIONALE

• Pendolo inverso

•Approssimazione di funzioni (modello “fuzzy”)

Esempi

•La soluzione classica richiede una equazione differenziale del 4° ordine

•Sono state pubblicate diverse soluzioni fuzzy che richiedono da 9 a 15 regole coinvolgendo θ e dθ/dt

Pendolo Inverso

2Lθ

Pendolo Inverso con liquido(Yamakawa)

2r

v

Y

θ1

θ22L

0

M

m

Confronto tra le regolazioni

Risultati

• Il bicchiere è stabilizzato indipendentemente - dalla quantità di liquido contenuto - dalla lunghezza del supporto (2L)

• Le regole non cambiano al variare di m, r, L ed h

2r

v

Y

θ1

θ2

2L

0

M

m

Il controllo fuzzy è model-free

• La presenza del liquido nel bicchiere può essere modellizzata• Il topo si muove a caso e non può essere modellizzato

IL SISTEMA E’ COMUNQUE STABILE

Approssimazione di funzioni

Approccio classico

Ricerca di un MODELLO,ovvero di un funzione di una relazione matematica del tipo

Y = f(X)

Approccio fuzzy

Scrive le regole:

IF (x is L) THEN (y is L)

IF (x is M) THEN (y is M)

IF (x is H) THEN (y is L)

H

Gradi di verità