ISSN 0393-0998 Marzo 2012 Anno XXXIX, N. 3

NOTIZIARIO DELLA

UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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Il presente Notiziario viene distribuito gratuitamente ai Soci e non è in vendita. Quota associativa UMI per l’anno 2012 € 60,00, di cui ai soli fini postali € 0,50 per l’invio in abbonamento della rivista «Il Notiziario della Unione Matematica Italiana».

LA PRESENTE RIVISTA VIENE STAMPATA CON UN CONTRIBUTO FINANZIARIO DEL MINISTERO DELL’ISTRUZIONE, DELL’UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA.

Autorizzazione n. 4462 del Tribunale di Bologna in data 13 luglio 1976 Monograf - Via Collamarini, 5 - 40138 Bologna (Italia)

Marzo 2012

Marzo 2012 Anno XXXIX, N. 3

NOTIZIARIO DELLA

UNIONE MATEMATICA ITALIANA

Direttore Responsabile: GIUSEPPE ANICHINI

Comitato di Redazione: MASSIMO FERRI

PIERLUIGI PAPINI ELISABETTA VELABRI

MILENA TANSINI PAGANI

Ufficio di Presidenza dell’UMI (2009-2012):

Presidente Franco Brezzi Vice Presidente Graziano Gentili Segretario Giuseppe Anichini Amministratore-Tesoriere Barbara Lazzari

EDIZIONI DELL’UNIONE MATEMATICA ITALIANA

Indice

AvvisiFascicolo dedicato alle tesi di dottorato 3

Annunci di Corsi, Convegni, Congressi e SeminariInternational meeting on Nonlinear Elliptic

and Parabolic Problems 4ACAT Advanced School - CTIC 2012 46ECM - Sesto congresso dell’EMS 5

DidatticaConferenze della CIIM (Anna Baccaglini-Frank, Claudio Bernardi,

Paolo Boero, Francesca Morselli) 6Convegno della Mathesis su valutazione esterna 31Matematica nella scuola secondaria: in Italia ed in USA 31TFA: Tirocinio Formativo Attivo 32

Notizie VariePremio in memoria di Luciana Picco Botta 35

LettereInsegnamento della Matematica: la Matematica

del cittadino (Francesco Aprea) 37

Agenda ConvegniAgenda Convegni 41

Hanno collaborato a questo numero: Francesco Aprea, AnnaBaccaglini-Frank, Claudio Bernardi, Paolo Boero, Paola Gario, AntonioGreco, Francesca Morselli.

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Avvisi

Fascicolo dedicato alle tesi di dottorato

La rivista La Matematica nella societa e nella cultura pubblichera anchenel 2012 una raccolta di estratti di tesi di dottorato di interesse matematico.Le note relative alle tesi di dottorato discusse nel corso dell’anno solare 2011saranno accettate ed incluse nel fascicolo 2012 solo se presentate entro il 31Marzo 2012. Le modalita per la sottoposizione delle note sono consultabilial link:http://umi.dm.unibo.it/fascicolo dedicato alle tesi di dottorato–87.htmlPer informazioni si puo scrivere all’indirizzo: andrea.bacciotti@polito.it

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Corsi, Convegni, Congressi e Seminari

International meeting onNonlinear Elliptic and Parabolic Problems

Riportiamo alcune notizie relative ad un Convegno che si terra a Cagliarinei giorni 28 e 29 giugno 2012, in occasione del settantesimo compleannodel Prof. Giovanni Porru.Sono annunciati come conferenzieri: C. BANDLE (Basel), N. GAROFALO(Purdue), E. GIARRUSSO (Naples), B. KAWOHL (Cologne), R. MAGNA-NINI (Florence), G. PHILIPPIN (Quebec), S. POLIDORO (Modena), G.TALENTI (Florence), V. VESPRI (Florence).Ulteriori informazioni si possono trovare sul sito:

http://riemann.unica.it/Porru(ag)

ACAT Advanced School - CTIC 2012

A causa dell’emergenza meteorologica in Emilia Romagna la ScuolaAvanzata ACAT (Applied and Computational Algebraic Topology) e il con-vegno CTIC 2012 (quarta edizione dell’International Workshop on Compu-tational Topology in Image Context) sono stati rinviati alle seguenti date:ACAT Advanced School 25-26 maggio 2012, Dip. di Matematica, Univ.di Bologna CTIC 2012 28-30 maggio, Centro Residenziale Universitario,Bertinoro (FC).Per informazioni: http://acat2012.dm.unibo.it/ http://ctic2012.dm.unibo.it/

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6ECM - Sesto congresso dell’EMS

Ricordiamo che a fine marzo c’e la prima scadenza per iscriversi al Con-gresso EMS che si terra a Cracovia nella prima settimana di luglio. Ripor-tiamo ancora qualche riga su tale Congresso.

The 6ECM is getting its final shape. We are pleased to send you theSecond Announcement with the most recent information on the scientificprogramme, general activities and practical matters. We are very muchlooking forward to a large participation at this very exciting event, one ofthe most important scientific activities in mathematics in Europe in 2012.We will appreciate your help with disseminating this announcement in yoursociety, your department or institute, and among your colleagues.Let us bring your attention to the early registration deadline March 31.Per ulteriori informazioni www.6ecm.pl

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Didattica

Conferenze della CIIM

Come di consueto pubblichiamo sul Notiziario le conferenze di 30 minutitenute durante il XIX Congresso dell’Unione Matematica Italiana da con-ferenzieri invitati dalla CIIM.

Le Conferenze del Congresso di settembre 2011 sono state le seguenti:

– Anna Baccaglini-Frank: Micromondi e “Mathematical Habits of Mind”;– Claudio Bernardi: La dimostrazione nelle matematiche elementari:

tipologie ed esempi;– Paolo Boero: I “comportamenti razionali” secondo Habermas in

matematica e in altri ambiti culturali;– Francesca Morselli: Argomentare e dimostrare nella scuola secon-

daria di primo grado: teoria e pratica.

Micromondi e “Mathematical Habits of Mind”Anna Baccaglini-Frank1

Negli ultimi quarant’anni la ricerca in educazione matematica ha sot-tolineato l’importanza di sviluppare “mathematical habits of mind” [1]come obiettivo didattico, in quanto funzionale all’apprendimento di “formalmathematical topics” [2]. Possono fornire contesti adatti allo sviluppo dimathematical habits of mind particolari ambienti informatici, di ispirazionecostruttivista, chiamati micromondi. Dunque chi progetta (o l’insegnanteche usa in classe) un micromondo ha in mente (o progetta) (a) tipologiedi attivita che si possono svolgere al suo interno e (b) obiettivi didattici- formulabili in termini di sviluppo di mathematical habits of mind - chepossono essere raggiunti svolgendo quelle attivita. Mentre lavora all’internodel micromondo lo studente sviluppera habits of mind utili per risolvere iproblemi proposti, e significati, entrambi collegati alle attivita svolte nel

1Dipartimento di Educazione e Scienze Umane - Universita di Modena e Reggio Emilia- anna.baccaglini@unimore.it

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micromondo (in tal senso sono detti situati). Ma qual e la relazione traquesti habits of mind e questi significati situati e i mathematical habits ofmind o i significati matematici che erano l’obiettivo didattico con il quale ilmicromondo era stato progettato (o usato dall’insegnante)? Attraverso dueesempi emergera il problema della possibile distanza tra significati situati esignificati matematici, che ha portato all’esigenza di integrare ed ampliareil quadro di riferimento iniziale, per tener conto del ruolo dell’insegnante,non solo come organizzatore dell’ambiente di apprendimento per lo stu-dente, ma anche come co-attore nel processo collettivo di insegnamento-apprendimento.

1. LA GENESI DEL TERMINE “MICROMONDO”La genesi del termine micromondo risale alla ricerca nel campo dell’in-

telligenza artificiale con l’obiettivo di descrivere oggetti ed attivita con essi,con le parole di Weir “to describe a small, coherent domain of objects andactivities implemented in the form of a computer program and correspon-ding to an interesting part of the real world” (Weir, 1987, in [3])

In particolare, Papert spiega che l’obiettivo era descrivere la soluzionedi un problema all’interno di una parte di mondo nella quale esso avevasenso “we see solving a problem often as getting to know one’s way arounda microworld in which the problem exists (Minsky & Papert, 1971, in [4]).In seguito Papert apportera una lieve ma significativa modifica alla de-scrizione di micromondo: il dominio semplice e ristretto diviene parte diun dominio di conoscenza con un marcato valore epistemologico. SecondoPapert, per imparare la matematica, gli studenti hanno bisogno di svilup-pare modi di pensare matematici, e questi possono essere insegnati solo inparticolari contesti“Mathematical Ways of Thinking can only be taught by using particulartopics as vehicles” ([5], p. 251).L’obiettivo si sposta dall’insegnare ai computers a risolvere problemi, alcostruire ambienti che usino questi topics come veicoli in modo che gli stu-denti possano sviluppare mathematical ways of thinking2 . Piu recente-

2Questa e l’idea base del suo libro “Mindstorms” [6], libro che fu un vero e proprio best-

seller negli anni ’80 divenendo molto popolare tra psicologi ed educatori di matematica.Il libro tratta in particolare del micromondo Logo.

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mente Cuoco, Goldenberg e Mark [1] hanno ripreso questa idea di Papertdescrivendo come lo sviluppo di mathematical habits of mind possa esserefunzionale all’apprendimento di formal mathematical topics [2].

A partire dagli anni ’80 sono stati progettati diversi micromondi conl’intento di fornire ambienti per attivita di problem-solving. Secondo unparadigma costruttivista, l’ipotesi principale alla quale si ispirava l’idea dimicromondo riguardava le potenzialita offerte da particolari ambienti distimolare una genuina attivita di problem-solving, attraveso la quale glistudenti potevano sviluppare autonomamente idee e modi di pensare mate-matici senza un’esplicita presentazione formale della matematica. Il com-puter non viene visto piu come soltanto potente risorsa per portare a ter-mine un’attivita, ma anche come strumento capace di trasformare l’attivitastessa, e contemporaneamente di trasformare la relazione dello studente conil sapere di riferimento [7].

2. DUE ESEMPI DI MICROMONDI

Presentiamo ora alcune attivita in due diversi micromondi, Focus onBee-Bot e Cabri, sviluppati principalmente per la geometria nella scuolamedia inferiore e superiore, rispettivamente per sviluppare le abilita di pia-nificazione e per favorire l’appropriazione di un linguaggio formale nellascuola primaria.2.1 Focus on Bee-BotIn questo ambiente un’ape virtuale3 si trova alla partenza di una griglia cherappresenta un percorso ad ostacoli. Lo studente puo interagire con l’apeattraverso sei comandi che rappresentano le seguenti azioni: passo avanti(di lunghezza predefinita), passo indietro (della stessa lunghezza), rotazionein senso orario (di 90◦), rotazione in senso anti orario (di 90◦), pausa (didurata predefinita), cancella la sequenza in memoria. I comandi appaionocome bottoni cliccabili sulla pagina (gli stessi che si possono premere sullaschiena di bee-bot reale) e vengono inseriti in una sequenza a mano a manoche lo studente li seleziona. Per i comandi passo avanti/indietro e giro insenso orario/antiorario ai bottoni sono associate delle icone. E possibilemodificare la prospettiva da cui si guarda il percorso semplicemente clic-

3Il bee-bot esiste anche come robot reale. Si veda: www.bee-bot.co.uk

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cando e trascinando l’immagine in modo da ruotarla a piacere. Chi conosceil funzionamento del Logo ne riconoscera in Focus on Bee-Bot una versionesemplificata. Sottolineiamo, pero, varie restrizioni poste dall’ambiente (adesempio rispetto al micromondo Logo): il numero dei quadrati della grigliasu cui bee-bot si puo muovere, e il tipo di comandi (quantita e qualita) chesi possono utilizzare. Queste restrizioni condizionano le attivita che pos-sono essere proposte nel micromondo rendendone la varieta relativamentelimitata.

Consideriamo le seguenti due attivita:1) Progetta il percorso per arrivare ad un certo punto evitando gli

ostacoli sulla griglia e programma bee-bot. Controlla se il progettoe corretto.

2) Poi progetta un percorso perche bee-bot torni al punto di partenzaseguendo lo stesso percorso. Programma bee-bot e descrivi somi-glianze e differenze tra le sequenze di comandi ottenute per ciascunpercorso progettato.

Mathematical habits of mind e significati matematici con cui queste attivitapossono essere messe in relazione sono: la progettazione di una strategiarisolutiva, il controllo e la correzione (debugging) di una strategia risolutiva,l’uso di un linguaggio formale e condiviso, una nozione di “inverso”.2.2 Cabri Geometre

In Cabri Geometre4 gli elementi e le relazioni tra questi sono definitiusando i comandi disponibili nei menu. Le relazioni sono proprieta tipichedella geometria euclidea e le “nuove” relazioni che e possibile scoprire sonoconseguenze (nella Teoria della Geometria Euclidea) delle proprieta di co-struzione della figura considerata. Le modalita fondamentali di azione inCabri sono il trascinamento e la costruzione di nuovi elementi dipendentida quelli definiti/costruiti. In un ambiente di questo tipo la varieta diattivita progettabili e molto piu ampia rispetto a quella disponibile in unmicromondo come Focus on Bee-Bot.

4Si veda: www.cabri.com

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Consideriamo le seguenti due attivita:1) Costruisci un triangolo e i suoi assi. Che cosa noti trascinando i

vertici del triangolo?2) Costruisci la figura descritta dai seguenti passi: A, M, K punti base,

B simmetrico di A rispetto ad M, C simmetrico di A rispetto a K,parallela a BC per A, perpendicolare a questa retta per C, D inter-sezione di queste perpendicolari. Considera il quadrilatero ABCD,trascina i punti liberi e fai congetture sui tipi di quadrilatero cheABCD puo diventare.

La prima attivita appartiene ad una tipologia relativamente diffusa tra chiabitualmente usa ambienti di geometria dinamica come Cabri nella scuolasecondaria. In particolare questa consegna e stata usata durante uno studiodi Holzl in Germania [8]. La seconda attivita5 e un esempio di “problemaaperto” in cui la parte importante della soluzione consiste nella formulazionedi una o piu congetture. Questa particolare consegna e stata usata in unostudio recente [9, 10].

Il dominio matematico di riferimento di Cabri e la Teoria della Geome-tria Euclidea con significati matematici quali: teorema, assioma, elementiprimitivi, proprieta geometrica, classe di figure, enunciato condizionale, con-gettura, premessa, conclusione; e con mathematical habits of mind quali:formulare congetture, dimostrare, cercare proprieta invarianti e relazioniinvarianti, cercare e descrivere regolarita, ecc.2.3 Produzioni “situate”

Ritorniamo ora agli esempi di attivita proposte nei due micromondi econsideriamo le produzioni degli studenti. In Focus on Bee-Bot rispostetipiche sono programmazioni di sequenze di passi corrispondenti a percorsidel bee-bot. In particolare, la descrizione del percorso inverso viene dataattraverso rappresentazioni dei comandi dati a bee-bot e che lo riportano,come richiesto, al punto di partenza. In questo senso lo studente ha mododi controllare da solo le sue produzioni. Da solo costruisce significati situati,e un modo operativo di capire il problema e rispondere in modo efficace aciascuna richiesta.5Lavoro svolto nell’ambito della tesi di dottorato presso l’Universita degli Studi di Sienae la University of New Hampshire (USA), [9].

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In Cabri, in risposta alla prima attivita, Holzl trovo negli studenti tede-schi caratteristiche simili rispetto a quelli statunitensi e inglesi che avevanoprecedentemente lavorato ad attivita dello stesso tipo (al posto degli assi sierano usate le altezze) [11]: nessuno studente noto che i tre assi sono con-correnti. Addirittura uno studente propose che gli assi s’incontravano “nelmezzo” e quando l’insegnante scrisse alla lavagna, credendo di parafrasarela congettura, che i tre assi si incontravano in un punto e il punto si trova“nel mezzo”, lo studente lo corresse e disse che la sua congettura riguardavasoltanto “l’incontro nel mezzo” [8]. Alcune congetture proposte durante laseconda attivita trovate in [9] e [10] sono: “e sempre un trapezio”; “Possotrascinare A, M, o K. Se trascino A, BC e costante”; “Quando gli angolisono tutti retti e un rettangolo”; “Puo essere un quadrato, quando i latisono tutti uguali”; “Non puo essere un rombo non quadrato”.

Considerando questi esempi di produzione emergono alcune questioni,ad esempio, perche gli studenti non notano quello che l’insegnante si aspet-terebbe? Quali possono essere considerate “buone” osservazioni? Piu ingenerale, che cos’e una congettura? in quali modi e utile trascinare puntiper individuare regolarita della figura? Qual e una “buona” costruzione diun triangolo con le sue tre altezze? Quanto spesso il sapere di riferimentorimane soltanto negli occhi dell’insegnante? Infine, che relazione c’e tra ihabits of mind e i significati sviluppati dagli studenti e i mathematical habitsof mind e i significati matematici che erano stati posti come obiettivi di-dattici? Ovviamente e molto difficile rispondere a quest’ultima domanda,ma da vari studi sui processi cognitivi legati all’apprendimento degli stu-denti in relazione alle attivita svolte in particolari micromondi emerge chei significati costruiti sono parziali e situati nell’ambiente in cui sono staticostruiti.

3. ATTIVITA DI MEDIAZIONE SEMIOTICA

Dunque la sola interazione studente-micromondo puo agevolare la for-mazione di significati situati, ma questo non e sufficiente perche lo studentesi appropri di significati matematici di riferimento, che fanno parte di unsapere matematico socialmente condiviso. Si pone il problema della decon-testualizzazione dei significati e la loro evoluzione verso i significati matema-tici che costituiscono lo specifico obiettivo didattico. Un ramo della ricerca

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in didattica della matematica si occupa proprio di come l’insegnante possafavorire tali processi di decontestualizzazione ed evoluzione attraverso unuso consapevole di artefatti (di cui un micromondo puo essere un esempio)come strumenti di mediazione semiotica.

Secondo la teoria della mediazione semiotica [12], il micromondo diventauno strumento per un’attivita di mediazione in cui l’azione dell’insegnantee fondamentale. In una prima fase, l’insegnante sceglie e progetta at-tivita per gli studenti ponendole in relazione con i significati matematiciche sono di riferimento per il micromondo scelto e che vuole trattare inclasse. Durante una seconda fase, a partire dalle produzioni individualidegli studenti di “testi situati” (che riguardano il “fare” o il “saper fare”nel micromondo), l’insegnante favorisce la produzione collettiva di “testimatematici” attraverso attivita di verbalizzazione. Dunque non e tantol’interazione studente-micromondo quanto l’intera attivita di mediazionesemiotica, di cui e responsabile l’insegnante, che come esperto consapevoledelle potenzialita didattiche del mcromondo, puo gestire il processo di me-diazione semiotica e favorire lo sviluppo di significati matematici e mathe-matical habits of mind che sono obiettivo dell’insegnamento-apprendimento.

BIBLIOGRAFIA[1] Cuoco A., Goldenberg E. & Mark J. (1996): Habits of mind: An or-ganizing principle for mathematics curriculum. Journal of MathematicalBehavior, 15 (4), 375-402.[2] Goldenberg P., Mark J. & Cuoco, A. (2010): An algebraic-habits-of-mindperspective on elementary school. Teaching Children Mathematics, 16 (9),548-556.[3] Hoyles C. (1993): Microworlds/schoolworlds: The transformation of aninnovation, Keitel, C. & Ruthven K., Learning from computers: Mathema-tics Education and Technology, NATO ASI Series, Springer-Verlag.[4] Noss R., & Hoyles C. (1996): Windows on Mathematical Meanings Lear-ning Cultures and Computers. Kluwer Academic Publishers.[5] Papert S. (1972): Teaching Children to Be Mathematicians vs. TeachingAbout Mathematics. International Journal of Mathematics Educa-tion and Science Technology, 3 (33), 249-262.

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[6] Papert S. (1980): Mindstorms. Children, computers, and powerful ideas.New York: Basic Books.[7] Mariotti M.A. (2002): Influence of technologies advances on students’math learning. Chapter 29 in L.D. English (Ed.), Handbook of Interna-tional Research in Mathematics Education. Lawrence Erlbaum Associatespublishers, Mahwah, New Jersey, 757-786.[8] Holzl R. (2001): Using dynamic geometry software to add contrast togeometric situations-A case study. International Journal of Computers forMathematical Learning, 6(1), 63-86.[9] Baccaglini-Frank, A., & Mariotti, M.A. (2010): Generating Conjecturesthrough Dragging in Dynamic Geometry: the Maintaining Dragging Model.International Journal of Computers for Mathematical Learning, 15(3), 225-253.[10] Baccaglini-Frank A. (2010): Conjecturing in Dynamic Geometry: AModel for Conjecture-Generation through Maintaining Dragging. Doctoraldissertation. University of New Hampshire, Durham, NH.[11] Goldenberg E. P. & Cuoco A. (1998): What is dynamic geometry?In R. Lehrer and D. Chazan (Eds.), Designing Learning Environments forDeveloping Understanding of Geometry and Space. Mahwah, NJ: Erlbaum,351-367.[12] Bartolini Bussi M. G., & Mariotti M. A. (2008): Semiotic mediationin the mathematics classroom: artifacts and signs after a Vygotskian per-spective. In Handbook of International Research in MathematicsEducation (2nd ed.). Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates Publi-shers, 746-783.

La dimostrazione nelle matematiche elementari: tipologie ed esempi

Claudio Bernardi Dipartimento di Matematica, Sapienza - Università di Roma

La dimostrazione è uno dei punti caratteristici dell’attività matematica, tanto a livello di ricerca quanto sul piano didattico. Spesso si sentono lamentele da parte di docenti, sia delle Superiori sia universitari, sulla scarsa familiarità che molti studenti sembrano avere con l’idea stessa di dimostrazione. Tuttavia, non è facile precisare che cosa noi docenti vorremmo che gli studenti sapessero riguardo alla dimostrazione in generale; del resto, non è nemmeno facile spiegare che cos’è una dimostrazione. La domanda di partenza di questo intervento è proprio: quando una dimostrazione è rigorosa? In proposito sono stati scritti dialoghi divertenti ([DH], [D], [H]), in cui studenti chiedono inutilmente a matematici esperti risposte chiare alla domanda precedente. Piuttosto che discutere il problema in generale, ritengo più interessante trovare esempi in cui ci possono essere differenze di opinioni nel riconoscere la correttezza di una dimostrazione. In quest'ottica, vedremo esempi di dimostrazioni in matematica elementare con strutture diverse: dimostrazioni "senza parole", dimostrazioni con "metafora", dimostrazioni "concrete", dimostrazioni "a ritroso". Anche se questo intervento non vuole essere una proposta didattica, disporre di strategie e di metodi diversi di dimostrazione risulta utile, a mio parere, in vari momenti della pratica dell'insegnamento, sia per facilitare la comprensione degli studenti (un docente che sa spiegare in un solo modo non è un buon docente), sia per capire un errore o il procedimento di chi ha iniziato una risoluzione ma non è arrivato in fondo. dimostrazioni senza parole Una figura o uno schema aiutano molto spesso nel corso di un ragionamento, ma in alcuni casi una figura opportuna è addirittura sufficiente per arrivare alla conclusione. Nei due libri di Nelsen [N1, N2] sono riportati molti esempi, alcuni dei quali complessi ed eleganti; qui ci limitiamo a poche semplici figure, che tuttavia offrono lo spunto per discutere alcuni aspetti di questa tipologia. È facile verificare che

1+2+1 = 4 = 22 , 1+2+3+2+1 = 32 , 1+2+3+4+3+2+1 = 42 .Per dimostrare in generale l'uguaglianza

1 + 2 +…+ (n–1) + n + (n–1) +…+ 1 = n2 si può procedere per induzione. Oppure, si può dividere un quadrato in n2 quadratini. Pensiamo il quadrato composto da "colonne" parallele ad una diagonale come nella figura a fianco: le colonne contengono rispettivamente 1, 2, …, n, …, 2, 1 quadratini. Otteniamo direttamente l'uguaglianza.

Questa figura è accettabile come dimostrazione? Ci possono essere diverse opinioni, ma la mia risposta è sì. È chiaro che si fa riferimento solo a un caso particolare, ma l'uguaglianza si stabilisce non contando i quadretti, ma controllando una struttura generale.

La seconda figura illustra il fatto che la somma dei primi n numeri dispari è n2, cioè 1 + 3 + 5 + ... + (2n–1) = n2. Proprio osservando queste figure e i vari modi in cui si può scomporre un quadrato, si può affermare che ci sono poche altre somme ragionevolmente semplici con risultato n2 (figure meno naturali corrispondono ad espressioni aritmetiche o algebriche più artificiose).

Per situazioni analoghe nello spazio (e in dimensioni superiori), rimando a [Ba]: il discorso diventa più complesso, ma molto interessante.

Vediamo un altro esempio. Per dimostrare l'uguaglianza

43

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basta osservare le due parti in cui è scomposto l'angolo in B del triangolo rettangolo isoscele ABC.

A

B

C La stessa uguaglianza di dimostra applicando la formula che fornisce la tangente di una somma: quest'ultimo calcolo (più formale) è forse più facile da ripetere, mentre la dimostrazione visiva è più convincente e più facile da ricordare; inoltre si generalizza in modo spontaneo. dimostrazioni per metafora Sono convinto che una metafora azzeccata sia didatticamente più efficace della pretesa concretezza di certi problemi. Consideriamo il classico teorema sulla somma degli angoli di un triangolo; nella dimostrazione usuale si applica l'assioma delle parallele (e così si collega l'argomento alle rette parallele - in effetti, nelle geometrie non euclidee il teorema non vale). Procediamo in un modo diverso. Ricorrendo alla metafora del volante, dimostriamo che la somma degli angoli esterni di un poligono convesso P è uguale a un angolo giro. Immaginiamo di percorrere il contorno di P: in ogni vertice di P dobbiamo "girare il volante", ruotando di un angolo (orientato) uguale all'angolo esterno in quel vertice. Quando torniamo al punto di partenza, abbiamo fatto un giro completo: la somma degli angoli esterni è un angolo giro (2 angoli piatti). Di conseguenza, visto che la somma di tutti gli angoli interni ed esterni è n piatti, la somma degli angoli interni è uguale a n−2 angoli piatti. La dimostrazione non è formale, ma è convincente per la sua immediatezza visiva. Il ragionamento si applica anche a poligoni concavi (il tal caso qualche angolo esterno va considerato negativo) e a poligoni "intrecciati". Per esempio, per calcolare la somma degli angoli nelle 5 punte della stella a fianco, basta osservare che, percorrendo il contorno della stella, si fanno 2 giri che corrispondono alla somma degli angoli esterni. Si conclude facilmente che la somma richiesta è un angolo piatto.

Fino a che punto le dimostrazioni viste sono accettabili come dimostrazioni? Un mio criterio è il seguente: una dimostrazione è "accettabile" quando la si può formalizzare, anche se formalizzandola si perde l'immediatezza percettiva, o la suggestione di una metafora. dimostrazioni concrete In questo caso, proporrò una dimostrazione sbagliata, proprio per sottolineare la necessità di una cautela particolare quando si ha a che fare con dimostrazioni non standard. Fin dalle Scuole Medie si dimostra che ci sono solo 5 poliedri regolari, a meno di similitudine; tuttavia, con la dimostrazione usuale (richiesta anche in un quesito all'esame di Stato dello Scientifico pochi anni fa) si conclude solo che esistono al più 5 poliedri. Per costruire effettivamente i 5 poliedri, un metodo semplice consiste nel considerare gli sviluppi e controllare l'uguaglianza delle coppie dei lati che devono essere "incollati" fra loro. Consideriamo ora il problema seguente: sono dati 4 triangoli uguali; è possibile costruire un tetraedro che abbia per facce i triangoli dati? Il problema non è affatto facile. Anche limitandosi a triangoli isosceli, sembra che la risposta sia negativa (tranne che nel caso particolare dei triangoli equilateri). La figura chiave per arrivare alla risposta si ottiene unendo i punti medi dei lati di un triangolo: è ben noto che il triangolo è così scomposto in 4 triangoli uguali. Tutto allora diventa semplice: la figura, pensata come sviluppo di un tetraedro, "si chiude" sempre, perché le coppie di lati da incollare sono ovviamente uguali. Si conclude che la risposta alla domanda iniziale è sempre positiva: comunque siano dati 4 triangoli uguali, è possibile costruire un tetraedro con quei triangoli. Il guaio è che ... non è vero; o, meglio, che la costruzione è possibile se e solo se i 4 triangoli sono acutangoli. La precedente "dimostrazione" è sbagliata: si tratta dello sviluppo di un tetraedro solo se sono rispettate certe condizioni sugli angoloidi. Ma è molto più convincente un semplice modellino di carta, che non si chiude in presenza di un angolo ottuso. dimostrazioni a ritroso In quest'ultima tipologia di dimostrazione si parte ... dalla fine. È uno stile ad alto rischio, nel senso che è facile commettere errori logici. Vediamo, come primo esempio, come si dimostra a ritroso che ogni triangolo è inscrivibile in un cerchio. Invece che partire da un triangolo ... si parte da un cerchio e si costruiscono tre angoli al centro di ampiezze 2α, 2β, 2γ (con α + β + γ = angolo piatto). Congiungendo gli estremi dei raggi si trova un triangolo con gli angoli di ampiezza α, β, γ.

2!

2"

2#

Abbiamo così inscritto in un cerchio un triangolo di angoli α, β, γ. Per similitudine, il ragionamento si applica a tutti i triangoli.

La dimostrazione è molto semplice. Forse lascia un po' insoddisfatti perché non ci dice come costruire il centro del cerchio (che invece si trova con la dimostrazione usuale), ma fornisce direttamente altre informazioni: per esempio, il circocentro è esterno al triangolo se e solo se il triangolo è ottusangolo. Passiamo ad un altro dei punti "notevoli" dei triangoli. Vogliamo dimostrare che in ogni triangolo le tre rette che contengono le altezze si incontrano in un punto (ortocentro).

A

B C

pn

m

Partiamo da tre rette m, n, p che passano per uno stesso punto e pensiamo che si tratti appunto delle rette su cui giacciono le altezze di un triangolo ABC. Si tratta ora di ricostruire i lati del triangolo: fissato a piacere il vertice A ad esempio sulla retta p, tracciamo la perpendicolare da A ad m fino ad incontrare la retta n in un punto B; quindi tracciamo la perpendicolare da B a p fino ad incontrare la retta m in un punto C e, infine, la perpen-dicolare da C ad n.

Per concludere la dimostrazione occorre dimostrare due cose: - l'ultima perpendicolare tracciata incontra p nel punto A, ossia il triangolo "si chiude"; - per questa via si ottengono tutti i triangoli (la cosa non è affatto scontata, perché abbiamo supposto fin dall'inizio che le rette delle altezze concorrano in un punto). Il primo fatto si dimostra a partire dall'osservazione che i sei triangoli rettangoli che si vengono a formare sono simili a due a due (per i dettagli rimando a [Be2]). Per quanto riguarda il secondo punto, detti α, β, γ gli angoli di un qualsiasi triangolo T, disegniamo le tre rette m, n, p in modo che formino angoli uguali ad α, β, γ (la somma è un angolo piatto!); con la costruzione vista troviamo un triangolo ABC che ha gli angoli uguali a quelli di T e, quindi, è simile a T. Ora, le tre altezze di ABC passano per uno stesso punto (le abbiamo costruite così!); ma T è simile ad ABC e, di conseguenza, la stessa conclusione vale per T. Spesso un teorema dice che: se si parte da un certo oggetto F (figura, numero, ecc.) che gode di certe proprietà e si eseguono certe costruzioni (operazioni, ecc.), si trova un oggetto G per cui valgono altre proprietà. L'idea generale di una dimostrazione a ritroso è che, invece di partire da F, si parte da un oggetto G che ha già le proprietà volute e si ricostruisce F; naturalmente (e questo è un punto caratteristico) si deve dimostrare che si ritrovano tutti i possibili F. Per inciso, osservo che, da un punto di vista strettamente didattico, una dimostrazione passo per passo e priva di idee originali, talvolta è noiosa, ma spesso è più efficace di una dimostrazione con un'idea brillante. Vediamo un altro esempio di carattere aritmetico. Dimostriamo che il prodotto di 4 interi consecutivi, aumentato di 1, è un quadrato. In altre parole, si tratta di mostrare che l'espressione n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 è un quadrato. La cosa non è difficile, ma non è nemmeno immediata, anche perché qualche esempio non aiuta a capire il legame fra i 4 numeri consecutivi e la base del quadrato. Procediamo a ritroso. Prima di iniziare, vorrei sottolineare che l'enunciato è del tipo «per ogni n esiste un a tale che ... ». Il procedimento usuale consiste nel trovare a partendo da n; ma è più facile ricostruire n partendo da a (dimostrazione a ritroso), anche se non è vero che per

ogni a esiste un n nelle condizioni descritte. Il procedimento a ritroso non corrisponde a dimostrare il teorema inverso: del resto, in questo caso, il teorema inverso non vale, perché non è vero che ogni quadrato è delle forma considerata. Partiamo dunque dalla fine, cioè da un quadrato a2 e togliamo 1: abbiamo a2 − 1, che è facile scomporre nel prodotto (a−1) (a+1). Supponiamo ora che a+1 sia il prodotto di due numeri consecutivi: (n+1)(n+2) = n2 + 3n +2; ma se a + 1 = n2 + 3n +2, allora a − 1 = n2 + 3n = n(n+3). In definitiva, possiamo scrivere:

a2 − 1 = (a−1) (a+1) = n(n+3)(n+1)(n+2). L'ultima uguaglianza vale ovviamente per ogni n, il che conclude la dimostrazione. La dimostrazione a ritroso fornisce suggerimenti per trovare altri enunciati analoghi: per esempio, una semplice generalizzazione è «il prodotto di 4 numeri in progressione aritmetica, di differenza h, sommato ad h4 è un quadrato». Vari altri teoremi si possono dimostrare a ritroso: alludo sia a teoremi semplici (come il fatto che ogni triangolo sia circoscrivibile), sia a teoremi più complessi (come il teorema di Morley). Spesso si dimostra a ritroso la formula di Eulero per i poliedri: si parte da un punto (per il quale vale la relazione v − s + f = 1) e poi si costruisce il poliedro; ma, al solito, è necessaria molta attenzione (ho visto spesso "dimostrazioni" in cui non si considerano tutti i casi). Fra i teoremi che si possono dimostrare a ritroso cito, infine, il teorema di Napoleone: dato un qualunque triangolo ABC, i centri dei triangoli equilateri costruiti esternamente sui lati di ABC, sono i vertici di un triangolo equilatero. Bibliografia [A] F. ARZARELLO, Provare se, vedere che, sapere perché: la dimostrazione in classe, Atti del XIX Congresso UMI, in corso di stampa [Ba] M. BARRA, Insegnamento dinamico del calcolo delle probabilità seguendo le indicazioni di Bruno de Finetti, XXVI Convegno UMI – CIIM, 2006, pubblicato in rete in www.ciim26.unimore.it/abstract/abs_barra.pdf [Be1] C. BERNARDI, How formal should a proof be in teaching mathematics?, Bulletin of the Belgian Mathematical Society, suppl. vol. 5, n. 5 (november 1998), pag. 7-18 [Be2] C. BERNARDI, Un problema da discutere – L'ortocentro di un triangolo, Archimede, LXI (2009), pag. 28-34 [C] H.S.M. COXETER, S.L. GREITZER, Geometry revisited, The Mathematical Association of America, 1967 [DH] P.J. DAVIS, R. HERSCH, L'esperienza matematica, (trad. ital.), Edizioni di Comunità, 1985 [D] K. DEVLIN, Computers and Mathematics, Notices of the AMS, vol. 39 (1992), pag. 1065-1066 [F] P. FRANCINI, Cercare, mostrare, dimostrare, Archimede, LXII (2010), pag. 67-73 [H] R. HERSH, Dialogo fra un Matematico di Successo e uno Studente Testardo, (trad. ital.), Archimede, LXII (2010), n. 4 [N] R.B. NELSEN, Proofs without words I, II, The Mathematical Association of America, 1993 - 2000

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I “comportamenti razionali” secondo Habermasin matematica e in altri ambiti culturali

Paolo BoeroDipartimento di Matematica, Universita degli Studi di Genova

Introduzione

Che cosa distingue le attivita (degli studenti, ma anche degli esperti) inambito geometrico da quelle in ambito algebrico, o in ambito probabili-stico? E quelle in ambito matematico da quelle nelle scienze sperimen-tali, o in ambito grammaticale? Il mio intervento riguarda un adatta-mento del costrutto teorico di Habermas del “comportamento razionale” perfornire alcune risposte a tali domande, nella prospettiva della progettazionee dell’analisi didattica in campo matematico con attenzione ad apertureinterdisciplinari.

L’elaborazione di Habermas sulla razionalita e il suo adattamento

Habermas (2001) ha proposto una caratterizzazione operativa della razio-nalita come “comportamento razionale” in una attivita discorsiva, secondotre componenti (dialetticamente connesse tra loro):

– Epistemica, riguardante la validazione consapevole degli enunciati conriferimento a criteri e principi condivisi– Teleologica, riguardante la scelta consapevole dei mezzi per raggiungerelo scopo– Comunicativa, riguardante la scelta consapevole dei mezzi di comuni-cazione in un dato contesto sociale

Dal 2003 nel mio gruppo di ricerca abbiamo cominciato a esplorare lepossibilita di utilizzare il costrutto teorico della “razionalita” come stru-mento analitico per studiare processi complessi della matematica, come ildimostrare e il modellizzare, superando la “separatezza” degli studi correnti(nei quali, in particolare, la dimostrazione e analizzata come prodotto se-condo i canoni della logica e dell’epistemologia, separatamente dal processodi produzione, oggetto di ricerche nell’ambito del problem solving).Gradualmente ci siamo resi conto che si tratta di uno strumento polivalentegrazie al fatto che consente analisi secondo livelli di dettaglio e focalizzazioni

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diverse. Consente infatti di:- confrontare, con analisi molto dettagliate, il comportamento reale deglistudenti con il comportamento “ideale” ipotizzato dall’insegnante (e trarneconseguenze per il lavoro in classe): Boero (2006); Boero&Morselli (2008);- progettare attivita didattiche per l’accesso alla “cultura dei teoremi” (Boero,Douek, Morselli & Pedemonte, 2010);- confrontare le attivita (in particolare, dimostrative) in ambiti diversi dellamatematica.- confrontare i “comportamenti razionali” in matematica con i comporta-menti in altri ambiti disciplinari (o, piu in generale, culturali).Tutto cio puo risultare utile ai fini dell’insegnamento della matematica inquanto puo:- rendere consapevoli gli insegnanti della varieta dell’esperienza matematica;- individuare possibili sinergie (anche inaspettate, o non scontate) tra lamatematica e altri ambiti culturali- trovare una collocazione precisa e ben motivata per la matematica nell’of-ferta formativa della scuola.Rivisitiamo allora la “razionalita” di Habermas con un occhio attento allespecificita della matematica:• Razionalita (R-) Epistemica: riguarda i criteri, consapevoli e socialmentedeterminati, di validazione degli enunciati (cioe le necessita a cui fare riferi-mento per stabilirne la verita), ma riguarda anche (nelle attivita di model-lizzazione interna o esterna) il controllo della corrispondenza tra modello esituazione modellizzata;• R-Teleologica: riguarda (in stretto collegamento con la R-epistemica) lestrategie consapevolmente scelte e messe in opera per raggiungere lo scopodell’attivita (ad esempio, la dimostrazione di un teorema o la modelliz-zazione efficace di un fenomeno);• R-Comunicativa: riguarda, in stretta relazione con le altre due, la sceltaconsapevole dei mezzi per comunicare con gli altri e con se stessi.

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La razionalita della matematica in contesti storici e sociali diversie in ambiti diversi

Le necessita inerenti la razionalita epistemica variano, per un dato ambitodella matematica, a seconda dei periodi storici e dei principi espistemologicidi riferimento: la necessita legata all’evidenza visiva era importante comecriterio di verita nella sistemazione di Euclide della geometria, mentre con-serva solo un valore euristico nella sistemazione di Hilbert. Variano anche, inun dato periodo, a seconda del contesto sociale di riferimento, come nel casodi necessita di carattere visivo-intuitivo spesso accettate nell’analisi mate-matica del liceo e non piu accettate nell’analisi matematica dei corsi dellalaurea in matematica. Conseguentemente variano le strategie per costruireuna dimostrazione (R-teleologica) e i mezzi per comunicare con se stessi econ gli altri (R-comunicativa)Ma a mio avviso il confronto piu interessante riguarda ambiti e metodidiversi della matematica. Consideriamo le dimostrazioni realizzate median-te trattamento algebrico dei problemi geometrici e in geometria analitica,con collegate necessita riguardanti equazioni e disequazioni (R-Epistemica).Cio non ha corrispettivo in geometria euclidea, in cui la maggior parte dellestrategie dimostrative consistono nella costruzione di una catena di affer-mazioni verbali (lingua naturale nel registro matematico) secondo gli schemidella dimostrazione diretta e delle dimostrazioni cosidette “per assurdo”, ein cui le “necessita” fanno riferimento ad assiomi o teoremi precedentementedimostrati.Se andiamo piu a fondo nel confronto (cfr studi storici sull’affermarsi del“metodo dell’analisi” nel Seicento), vediamo come in geometria analitica (enel trattamento di questioni di geometria con metodi algebrici) la model-lizzazione algebrica della situazione geometrica comporta necessariamentel’ipotesi che l’espressione algebrica prodotta esprima gia, in forma implicita,quella soluzione del problema, che le trasformazioni algebriche consenti-ranno, insieme, di esplicitare e “verificare”. La necessita insita nei risul-tati delle equazioni e delle disequazioni algebriche diventa necessita per laverita dell’enunciato geometrico da dimostrare grazie a un triplice controlloepistemico sulla “messa in equazione” (o disequazione), sulla corretta ef-fettuazione delle trasformazioni algebriche secondo le regole sintattiche del

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linguaggio algebrico e sull’interpretazione dei risultati. R-Epistemica e R-Teleologica (e R-Comunicativa associata) assumono caratteri ancora diversiin Analisi Matematica, in Algebra Moderna, in Statistica Inferenziale, ecc.

La razionalita nel confronto con altre discipline

Passando al confronto con altre discipline, nel lavoro svolto per tre annicon il Progetto Argomentazione (uno dei sotto-progetti genovesi di PLS(Piano Lauree Scientifiche)) nella scuola primaria ci siamo resi conto sulcampo della distanza che separa il comportamento razionale in matema-tica da quello perseguito nell’insegnamento delle scienze empiriche (osser-vazione −− > ipotesi −− > verifica sperimentale), e delle analogie (parzialima significative) che invece sussistono con il comportamento razionale nelleattivita di approccio alla grammatica e nelle attivita sulla costruzione diun sistema di regole per la vita della classe. Ne scaturiscono nuove ipotesidi lavoro interdisciplinare tra ambiti culturali abitualmente considerati di-stanti tra loro (ipotesi peraltro non in contrasto con alcune delle ipotesisulle origini della matematica greca - Szabo, 1978). Mi limitero ad un e-sempio riguardante il lavoro sulle regolarita della lingua in una classe IVPrimaria. Si esamina la frase: “Anna e Bill ripresero a giocare insieme: leiera contenta di avere ritrovato un amico, e a lui non pareva vero di sot-trarsi per qualche tempo alla solitudine della sua casa”. Una delle regoledella concordanza di genere messe precedentemente a fuoco dai bambini conl’aiuto dell’insegnante da luogo a frasi dei bambini di questo tipo: “lei e unpronome al femminile e quindi si riferisce ad Anna, nome al femminile,perche nella nostra lingua il pronome al femminile si riferisce a un sostan-tivo al femminile”, secondo uno schema argomentativo vicino allo schemache si realizza nella frase (I “media”) “nel numero 27 la somma delle cifre edivisibile per 3, e quindi 27 e divisibile per 3 poiche se la somma delle cifredi un numero e divisibile per 3, quel numero e divisibile per 3”...La successiva discussione puo andare anche oltre:• “lei e un pronome al femminile e quindi si riferisce ad Anna, nome alfemminile, perche nella nostra lingua il pronome al femminile si riferisce aun sostantivo al femminile”,• ... pero se non dici anche che il pronome al femminile non puo riferirsia un nome al maschile il tuo ragionamento non e completo

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• No, e completo perche “si riferisce a” esclude che possa riferirsi a qualcosad’altro• Non sono d’accordo, abbiamo visto che dire che “un numero pari e divi-sibile per 2” non esclude che possa essere divisibile per 3 o per 5• Ma “e divisibile” non ha lo stesso significato di “si riferisce”, “si riferisce”vuol dire che si riferisce a una cosa e basta, quella che viene detta dopo. Eun po’ come “indicare con il dito”Riferimenti bibliografici essenziali

Boero, P. (2006). Habermas’ theory of rationality as a comprehensive framefor conjecturing and proving in school. Proc. of PME-XXX, Vol. 2, pp.185-192. Prague: PME.Boero P., Douek N., Morselli F., Pedemonte B. (2010). Argumentationand proof: A contribution to theoretical perspectives and their classroomimplementation. Proc. of PME-34. Vol. 1, pp. 179-205. Belo Horizonte:PME.Boero, P. & Morselli, F. (2009). Towards a comprehensive frame for theuse of algebraic language in mathematical modelling and proving. Proc. ofPME 33, vol. 2, pp. 185-192. Thessaloniki, Greece: PME.Habermas, J. ( 2001). Verita e giustificazione. Bari, Editori Laterza).Szabo, A. (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Dordrecht: Rei-del Publishing Company. 1978.

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Argomentare e dimostrare nella scuola secondariadi primo grado: teoria e pratica

Francesca MorselliDipartimento di Matematica. Universita degli Studi di Genova

Introduzione

Il ruolo cruciale dell’argomentazione e l’approccio alla dimostrazione mate-matica sono un tema di ricerca quanto mai attuale in didattica della mate-matica. L’importanza dell’argomentazione come competenza centrale nelleattivita matematiche e, piu in generale, come obiettivo importante dellaformazione intellettuale del cittadino e anche riconosciuta nelle recenti “in-dicazioni per il curricolo” (Anichini et al., 2003).Il presente contributo presenta un percorso a lungo termine di avvio alladimostrazione nella scuola secondaria di primo grado, e discute il ruolo delcostrutto teorico di comportamento razionale, ripreso e adattato dalla teoriadi Habermas (1999), nella messa a punto, gestione e analisi a posteriori ditale percorso.

L’avvio alla dimostrazione come approccio alla razionalita mate-matica

Balacheff (1982) afferma che, nell’insegnamento della dimostrazione, e im-portante da un lato portare gli studenti a comprendere che cosa e una di-mostrazione, dall’altro rendere gli studenti in grado di produrre delle di-mostrazioni in prima persona. Questo corrisponde, a mio avviso, a tenerconto delle due dimensioni della dimostrazione: oggetto (un prodotto chedeve conformarsi alle regole epistemiche e communicative della comunitadi riferimento) e processo (dimostrazione come problem solving: processovolto alla costruzione del prodotto-dimostrazione).

Il modello di razionalita proposto da Habermas (1999), opportunamenteadattato, fornisce un quadro comprensivo per meglio comprendere la com-plessita dei processi di insegnamento-apprendimento dell’argomentazione edimostrazione. Secondo Habermas, esistono tre criteri di razionalita di uncomportamento in una pratica discorsiva: la razionalita epistemica, rela-tiva alla giustificazione delle affermazioni, la razionalita teleologica, rela-tiva alla scelta consapevole dei mezzi in relazione allo scopo dell’attivita,

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la razionalita comunicativa, relativa alla scelta consapevole dei mezzi dicomunicazione socialmente piu efficaci. Adattando tale costrutto al casoparticolare della dimostrazione matematica, intesa come comportamentodiscorsivo, individuiamo tre componenti della razionalita: la razionalitaepistemica, relativa alla validazione delle affermazioni a partire da premesseaccettate e utilizzando regole di ragionamento corrette, la razionalita teleo-logica, relativa alle scelte strategiche in relazione allo scopo (dimostrazionecome problem solving), la razionalita comunicativa (relativa alla conformitaalle regole di produzione e presentazione del prodotto condivise all’internodella comunita di riferimento). Il costrutto cosı riadattato dalla teoria diHabermas consente di cogliere al tempo stesso la dimensione personale equella sociale della dimostrazione, nonche le sue dimensioni di processo eprodotto.

I primi risultati di ricerca rigurdano l’adattamento del modello di Haber-mas al caso della congettura e dimostrazione (Morselli & Boero, 2009)e l’utilizzo dello stesso modello per analizzare aspetti specifici della di-mostraizone, quali l’utilizzo del linguaggio algebrico (Morselli & Boero,2011).

Un’ulteriore evoluzione riguarda l’utilizzo del modello per la gestionedelle attivita di classe (con particolare riferimento alle discussioni matema-tiche) e per la pianificazione di teaching experiment. A tal fine, e stataproposta un’integrazione tra il modello di razionalita di Habermas e il mo-dello di Toulmin per l’argomentazione (Boero et al., 2010). In tale modellointegrato sono distinti due livelli di argomentazione: il livello contenuto,in cui si producono argomentazioni a sostegno di un’afferma di caratterematematico, e il livello metamatematico, in cui si argomenta sul modo stessodi condurre una dimostrazione. Per “discorso metamatematico” si intendeil discorso “sulla dimostrazione”, sul modo di costruirla e di presentarla.Fanno parte del discorso meta considerazioni sulle “tecniche dimostrative”,sulla scelta delle rappresentazioni, su tutto quel che fa parte della “culturamatematica” dell’esperto. L’ingresso degli studenti nella “cultura dei teo-remi” va allora inteso come il processo a lungo termine mediante il qualel’insegnante porta gli studenti a accompagnare la propria argomentazione dilivello contenuto con un’argomentazione di livello metamatematico, in cuisono esplicitate, e quindi rese consapevoli, le necessita epistemiche, teleo-

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logiche e comunicative della dimostrazione.

Dalla teoria alla pratica: percorsi per la scuola secondaria di primogrado

I riferimenti presentati nel paragrafo precedente costituiscono il quadro diriferimento per la progettazione, gestione e analisi a posteriori di percorsivolti a favorire l’attivita argomentativa nella scuola secondaria di primogrado. Tali percorsi si inseriscono nel progetto “Linguaggio e argomen-tazione nello studio della matematica dalla scuola primaria all’Universita”,avviato nel 2008 dal Dipartimento di Matematica dell’Universita di Genovae tuttora in corso nel quadro del Piano Lauree Scientifiche. Il progetto,sviluppato ha come scopo quello di mettere a punto e proporre in classepercorsi ed attivita ad ampio respiro attorno al “nodo” dell’argomentazionein campo matematico.Tali percorsi sono caratterizzati da attivita ad alta componente argomen-tativa (confronto di ipotesi, confronto di strategie, confronto di testi, pro-duzione di argomentazioni a supporto di un’ipotesi). Le attivita vedonol’alternarsi di lavoro individuale, lavoro in piccoli gruppi e discussioni col-lettive. Il progetto e rivolto agli insegnanti, in quanto mira alla diffusione dibuone pratiche, e agli studenti, che attraverso i percorsi proposti dovrebberosviluppare un atteggiamento argomentativo e arrivare a cogliere le preroga-tive dell’argomentazione in campo matematico. Istituto di riferimento peril progetto e l’Istituto Comprensivo di Carcare (SV).Nel seguito, si illustra un esempio di utilizzo del modello integrato Toulmin-Habermas per la gestione in itinere del teaching experiment.Un percorso per le classi prime: “Pensa un numero”Il percorso ha un doppio scopo: da un lato, promuovere un atteggiamentoargomentativo, in cui ogni affermazione e motivata, dall’altro, presentarel’algebra come strumento privilegiato per l’argomentazione in matemati-ca. Il percorso approfondisce le proprieta dei numeri primi e promuovealcune riflessioni di carattere metamatematico sui concetti di teorema, di-mostrazione, esempio, controesempio. Elemento unificante del percorso eil ricorso all’algebra come strumento di pensiero. Nella prima parte, aglistudenti e proposto un gioco numerico: “L’insegnante ti propone il seguentegioco: “Pensa ad un numero, moltiplicalo per due, aggiungi cinque, togli

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il numero che hai pensato, aggiungi otto, togli due, togli il numero chehai pensato, togli uno”. Secondo te, e possibile che l’insegnante, pur nonconoscendo il numero che tu hai pensato, indovini il tuo risultato? Sesı in quale modo?”. La prima domanda concerne la possibilita, da partedell’insegnante, di indovinare il risultato della sequenza di operazioni, senzaconoscere il numero pensato. Attraverso un’esplorazione su esempi nu-merici, gli studenti osservano che il risultato non cambia (e sempre 10,qualsiasi sia il numero pensato), per cui l’insegnante puo effettivamenteindovinare a priori il risultato. Momento cruciale e quello in cui gli stu-denti passano dalla constatazione del fatto che il risultato non cambia, allaricerca delle motivazioni per cui il risultato non cambia. La ricerca di mo-tivazioni e favorita dalla richiesta di rappresentare il problema in forma diespressione, rappresentazione che consente di “vedere” che i contributi re-lativi al numero pensato si annullano e quindi non influiscono sul risultatofinale (seconda domanda: Pensi che sia un mago l’insegnante che ha in-dovinato il risultato che avete ottenuto? Scrivi sotto forma di espressionela sequenza dei calcoli del gioco, utilizzando un colore diverso per il nu-mero pensato. Prova a scrivere una espressione che vada bene per qualsiasinumero abbiate pensato). Scrivendo il gioco in forma di espressione, gli stu-denti iniziano ad utilizzare l’algebra come strumento dimostrativo. Si notiche per gli studenti si tratta di una delle prime esperienze di scrittura diespressioni in cui compaiono anche delle lettere. Nel corso della discussionedi bilancio, emergono diversi modi di rappresentare il gioco (studente Tor,rappresentazione di tipo relazionale, in forma di espressione; studente Ric,rappresentazione di tipo procedurale, in forma di sequenza di operazioni: nx 2 = n; n + 5 = n; n− n = n; n + 8 = n; n− 2 = n; n− n = n; n− 1 = 10”nell’originale scritti in colonna). un primo utilizzo del modello di Haber-mas concerne l’analisi delle produzioni individuali. Si potrebbe dire chenella rappresentazione di Tor i requisiti di razionalita epistemica non sonosoddisfatti, perche la stessa lettera n e utilizzata per rappresentare i risul-tati di ciascun passaggio di calcolo. Tuttavia, si sottolinea che la “diagnosi,in termini di razionalita, deve tenere conto del livello di concettualizzazionedello studente. Nel caso in oggetto, si sottolinea che gli studenti sono alleprime armi con l’utilizzo delle lettere, che precedentemente erano state uti-lizzate solo per le formule geometriche. Pertanto, piu che di “mancanza” di

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razionalita si preferisce parlare di razionalita “a cui si mira”, che deve esserel’obiettivo dell’azione dell’insegnante. A fronte di tale obiettivo, la strategiamessa in atto si puo inquadrare nel modello integrato Habermas-Toulmin:si promuove una discussione matematica sul confronto tra le soluzioni indi-viduali. Gli studenti sono chiamati a confrontare le due rappresentazioni.Per promuovere il confronto tra le due rappresentazioni, l’insegnante ponela seguente domanda: quale tra le espressioni proposte sarebbe scelta da unmatematico? E Perche? In questo modo, si promuove una discussione dilivello metamatematico avente come oggetto non piu la soluzione del pro-blema, ma il modo di rappresentare il problema per giungere alla soluzione.Alcuni studenti scelgono la “modalita Tor”, ritenuta di piu facile esecuzione(“... perche e piu schematica e qualsiasi persona, che abbia sei anni, che...di qualsiasi eta la puo capire”), altri scelgono la “modalita Ric” perche piuveloce, piu sintetica (“Avrei scelto quella di Ric perche era piu sempliceda capire e piu... [...] piu veloce”). Le motivazioni (garanzie) addottedagli stduenti si legano alla razionalita comunicativa (comprensibilita) oalla razionalita teleologica, legata pero a una finalita (fare in fretta il gioco,arrivare in fretta al risultato) diversa da quella iniziale (comprendere perchel’insegnante puo sempre indovinare il numero pensato; in senso lato, com-prendere perche il gioco da sempre 10 come risultato). L’intervento di Ash(“Io sceglierei quella di Ric perche N sta a indicare sempre lo stesso nu-mero, a differenza di quella di Tor, che N significa sia il numero che sie pensato sia i risultati delle operazioni”) porta invece una motivazionelegata alla razionalita epistemica (correttezza della rappresentazione), chee subito accettata dalla classe: la rappresentazione di Tor e corretta allalavagna; la nuova rappresentazione e NX2 = A; A + 5 = B; B − N =C; C + 8 = D; D − 2 = E; E − N = F ; F − 1 = 10. A questo punto, ledue rappresentazioni sono corrette, e la questione diventa: come far com-prendere agli studenti che un matematico sceglierebbe la modalita di Ric?Questo punto e affrontato nel corso della lezione successiva. Il modello diHabermas suggerisce che occorre focalizzare la discussione sulla dimensioneteleologica: le due modalita, benche siano entrambe formalmente corrette,hanno un’utilita diversa in relazione allo scopo dell’esercizio (stabilire sel’insegnante e in grado di indovinare il risultato senza conoscere il numerodi partenza). Gli interventi dell’insegnante e dell’osservatrice (presente in

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classe) durante la successiva lezione sono proprio volti a sottolineare che lascelta della rappresentazione e fatta non solo sulla base della correttezza edella comprensibilita, ma anche in base all’utilita ai fini del problema (“Perovi ricordate quale era la domanda che vi avevamo fatto l’altra volta?” Nonera “dimmi il risultato”, ma “la prof e in grado di indovinare il risultato?”).In questo caso, la modalita di Ric e preferibile perche, se lo scopo e rispon-dere alla domanda iniziale (Secondo te, e possibile che l’insegnante, pur nonconoscendo il numero che tu hai pensato, indovini il tuo risultato? Se sıin quale modo?), tale modalita, grazie alla sua struttura non proceduralema relazionale, consente di cogliere che i contributi del numero pensatosi annullano e, dunque, non influenzano il risultato finale. Gli interventimirati dell’insegnante sono efficaci, come dimostrano le successive rispostedegli studenti (“Riesci a capire che il numero pensato non serve”, “Riescoa vedere meglio che il numero poi se ne va”).L’episodio riportato mostra che il modello di Habermas, integrato con quellodi Toulmin, permette di analizzare la singola produzione di uno studente,di mettere in evidenza quali sono gli elementi di razionalita su cui deveconcentrarsi l’azione dell’insegnante, di guidare conseguentemente l’azioneeffettiva dell’insegnante (interventi nella discussione).La ricerca in corso e volta da un lato a studiare il complesso intrecciar-si dei due livelli di argomentazione (livello contenuto e livello meta) nellediscussioni matematiche, dall’altro a progettare e sperimentare strategieinnovative per promuovere il discorso metamatematico.

Bibliografia

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Balacheff, N. (1982). Preuve et demonstration en mathematiques au college.Recherches en Didactiques des Mathematiques, vol.3, pp. 261-304.Habermas, J.: 1999, Warheit und Rechtfertigung, Frankfurt, SuhrkampVerlag (trad. it.: 2001, Verita e giustificazione, Laterza, Bari).Boero, P., Douek, N., Morselli, F. & Pedemonte, B. (2010). Argumentationand proof: a contribution to theoretical perspectives and their classroomimplementation. Proceedings of the 34th Conference of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, pp. 179-209.Belo Horizonte, Brazil: PME.Morselli, F. & Boero, P. (2009). Habermas’ construct of rational behaviouras a comprehensive frame for research on the teaching and learning of proof.In Lin, Hsieh, Hanna & De Villiers (Eds.), Proceedings of the ICMI Study 19Conference: Proof and proving in mathematics education. The Departmentof Mathematics, National Taiwan Normal University, Taipei, Taiwan, vol.2, pp. 100-105.Morselli, F. & Boero, P. (2011). Using Habermas’ theory of rationality togain insight into students’ understanding of algebraic language. In Cai, J.& Knuth, E. (Eds.), Early algebrization. A global dialogue from multipleperspectives, pp. 453-481. Springer.

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Convegno della Mathesis su valutazione esterna

La Sezione di Milano della Mathesis organizza nella giornata del 29marzo 2012 il Convegno dal titolo “Prove di valutazione esterna, prove diingresso e prove in uscita”. Ulteriori informazioni in:https://sites.google.com/site/mateunimilano/attivita-2011-2012/convegno-29-marzo.

(pg)

Matematica nella scuola secondaria: in Italia ed in USA

Il Presidente degli USA Obama intende assumere iniziative concrete asostegno delle scuole per dare ai giovani la preparazione giusta fin dai primianni. Durante lo svolgimento della Fiera delle Scienze, ospitata alla CasaBianca, ha, infatti, annunciato di volere “centomila insegnanti di matema-tica nelle nostre scuole, saranno loro a rendere piu competitiva l’America”.

La sfida lanciata da Obama ha tra gli ispiratori lo scienziato Prya Na-tarian, docente all’Universita di Yale, che in piu occasioni ha sottolineatoche il sistema scolastico del paese “non sta preparando un numero suffi-ciente di futuri scienziati o laureati in discipline tecnologico-matematico-ingegneristiche”.

Per il sistema USA e possibile – ed e stato annunciato dallo stesso Obama– una serie di incentivi economici per i docenti di tali discipline.

In Italia, la questione di fondo e costituita dal fatto che molti laure-ati, oggi, in assenza di qualsiasi procedura di selezione, arrivano al mondodella scuola privi di abilitazione, con un bagaglio di competenze non sempreadatto, ma soprattutto con un bagaglio minimo di esperienze lavorative.

In particolare per le Scienze matematiche, per la scuola media per laclasse di concorso A059 (matematica, chimica, fisica naturale) in 80 province,per il conferimento delle supplenze annuali e delle supplenze fino al terminedelle lezioni, si e fatto ricorso alla graduatoria d’istituto di III fascia (cioe inon abilitati).

Ancora piu grave si presenta la situazione per la scuola secondaria su-periore. Tutte le regioni per alcune significative classi di concorso dell’area

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tecnico-scientifico hanno fatto ricorso alle graduatorie d’istituto di III fa-scia dei non abilitati. Particolarmente critica la situazione della classe A047matematica e A049 matematica e fisica per le quali il ricorso alle graduatoried’istituto ha una dimensione consistente in particolare per oltre 20 provincedel Nord Italia.

Laddove si e fatto ricorso alla graduatoria d’istituto dei non abilitatiossia ai (solo) laureati per attribuire incarichi d’insegnamento annuali ofino al termine delle lezioni significa che proprio per gli insegnamenti piusignificativi per la comprensione della realta sociali, della competitivita in-ternazionale, non si sono create le condizioni migliori e determinati i pre-requisiti per l’erogazione ottimale del servizio scolastico.

TFA: Tirocinio Formativo Attivo

ll Ministero dell’Istruzione, dell’Universita e della Ricerca rende noto,dopo aver acquisito i pareri favorevoli del Ministero per la Pubblica ammi-nistrazione e semplificazione e del Mef, il numero dei posti disponibili perle immatricolazioni al Tirocinio Formativo Attivo per la scuola secondariadi primo e secondo grado.

Il TFA e un corso di preparazione all’insegnamento di durata annualeistituito dalle universita che attribuisce all’esito di un esame finale, il titolodi abilitazione all’insegnamento in una delle classi di concorso previste dald.m. n. 39/1998.

Per la matematica si ha:– 47/A —- Matematica– 48/A —- Matematica applicata– 49/A —- Matematica e fisica– 59/A — Scienze matematiche, chimiche, fisiche e naturali nella scuola

media

Il Miur prevede di avviare le prove di accesso al TFA entro e non oltregiugno 2012.

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I NUMERIScuola secondaria di primo grado

Per l’anno accademico 2011/2012 i posti disponibili per le immatricolazionial TFA per l’insegnamento nella scuola secondaria di primo grado sono4.275, definiti in ambito regionale per ciascun ateneo.

Scuola secondaria di secondo gradoPer le immatricolazioni al TFA per l’insegnamento nella scuola secon-

daria di secondo grado invece, i posti disponibili sono 15.792.

CHI PUO PARTECIPAREPossono partecipare alle selezioni per l’accesso ai primi bandi al Tirocinio

Formativo Attivo coloro che entro la data di presentazione della domandadi iscrizione al test nazionale sono in possesso:

– di una laurea del vecchio ordinamento riconosciuta dal d.m. 39/98e degli eventuali esami richiesti per poter avere accesso all’insegna-mento;

– di una laurea del nuovo ordinamento specialistica o magistrale ri-conosciuta dal d.m. n. 22/2005 e degli eventuali crediti formativiper poter avere accesso all’insegnamento;

– del diploma ISEF, gia valido per l’accesso all’insegnamento di edu-cazione fisica, per i TFA di Scienze Motorie.

E importante chiarire due punti che sono stati oggetto di numerosi que-siti:

Chi, entro l’anno accademico 2010/2011, era in possesso di una delle laureepreviste, ma non ha ancora completato il percorso con gli esami o i creditirichiesti, potra, senza limiti di anno accademico, acquisire i crediti o gliesami necessari per poi partecipare alle prove di accesso al TFA che sarannobandite di anno in anno.

Allo stesso modo, chi, nell’anno accademico 2010/2011, era iscritto a unodei percorsi di laurea previsti, potra partecipare alle prove di accesso al TFAuna volta in possesso dei requisiti necessari (laurea e crediti o esami).

Si ricorda inoltre che, ai sensi del decreto 11 novembre 2011, “Sono ammessiin soprannumero ai percorsi di Tirocinio Formativo Attivo, senza dover

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sostenere alcuna prova, i soggetti di cui all’articolo 15, comma 17 del De-creto (“congelati SSIS”), ivi compresi coloro i quali fossero risultati idonei ein posizione utile in graduatoria ai fini di una seconda abilitazione da con-seguirsi attraverso la frequenza di un secondo biennio di specializzazione odi uno o piu semestri aggiuntivi.”

E disponibile sul sito del MIUR una sezione apposita dove reperire idecreti pienamente vigenti sul TFA e ulteriori chiarimenti sulle modalita diaccesso ai primi bandi.

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Notizie Varie

Premio in memoria di Luciana Picco Botta

In occasione del Convegno “Geometria sulle varieta algebriche” dedicatoad Alberto Conte in occasione del suo settantesimo compleanno che si terraa Torino dal 21 al 23 marzo, sara anche consegnato il Premio in memoriadi Luciana Picco Botta per la miglior tesi di dottorato in geometria. Ri-portiamo a tal proposito un breve stralcio del verbale di assegnazione delpremio.

La Commissione, costituita dai proff. Alberto Conte, Mirella Manaresie Alessandro Verra si e riunita a Bologna il 13 settembre 2011 in occasionedel Convegno dell’Unione Matematica Italiana e ha esaminato la documen-tazione inviata dai candidati.

FRANCESCO BASTIANELLINato a Chiaravalle (Ancona) nel 1979, ha conseguito la Laurea Magistrale inMatematica nell’aprile 2005 presso l’Universita di Milano (relatore della tesiil Prof. Lambertus van Geemen) e il Dottorato di Ricerca in Matematicae Statistica nel giugno 2009 presso l’Universita degli Studi di Pavia con latesi The geometry of second symmetric products of curves (relatore il Prof.Gian Pietro Pirola).

CRISTINA BERTONENata a Biella (BI) nel 1982, ha conseguito la Laurea Magistrale in Ma-tematica nel luglio 2006 presso l’Universita di Torino (relatore della tesila Prof. Margherita Roggero), il Dottorato di Ricerca in Scienza e AltaTecnologia, indirizzo Matematica, presso l’Universita degli Studi di Torinoe il titolo di Docteur en Sciences Fondamentales et Appliquees, specialitaMathematiques, Universite de Nice-Sophia Antipolis (Francia), con la tesi“Polynomial Factorization and Curve Decomposition Algorithms”, relatorii proff. Margherita Roggero e Andre Galligo nel marzo 2010.

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CHIARA CAMERENata nel 1983, ha conseguito la Laurea Magistrale in Matematica nel 2006presso l’Universita di Genova, il Master 2 Recherche Mathematiques nel2007 e il titolo di Docteur en Sciences, Specialite Mathematiques, pressol’Universita di Nizza nel 2010, con una tesi dal titolo “Stabilite des ima-ges inverses des fibres tangents et involutions des varietes symplectiques”,relatore il Prof. Arnaud Beauville.

La Commissione ha rilevato con soddisfazione che la produzione dei trecandidati e di notevole livello e che tutti sarebbero meritevoli di esserepremiati.

Dopo un’attenta valutazione comparativa, la Commissione, all’unanimi-ta, ha giudicato meritevole del premio la Dott.ssa Cristina BERTONE pergli interessanti e significativi risultati ottenuti nella sua Tesi di Dottoratosulla fattorizzazione assoluta di polinomi in piu variabili.

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Lettere

Insegnamento della Matematica:la Matematica del cittadino

Gentile Direttore,non posso fare a meno di condividere le mie impressioni, che sono per-

lopiu un invito alla riflessione, in questo periodo dell’anno in cui noi inse-gnanti veniamo sommersi dalle nuove edizioni dei libri di testo.

E certamente vero che la riforma della scuola secondaria assegna piuore all’insegnamento della Matematica, e mi riferisco in particolare al liceoscientifico, e che i testi si rinnovano allo scopo di prevedere una piu estesaesposizione di argomenti, ma e sempre piu evidente come la materia trat-tata si stia allontanando sostanzialmente dalla Matematica. I testi piu “au-torevoli”, perche maggiormente adottati, tendono sempre piu a ridurre unqualunque approccio teorico favorendo una visione operativa che forniscealgoritmi precostitutiti allo studente. Oramai, in alcuni casi, “classiche”dimostrazioni che prescindevano dal “calcolo” e dalle applicazioni, ma ave-vano l’indiscutibile valore di avvicinare ad un’idea piu realistica della nostradisciplina, vengono al piu “raccontate”, lasciando invece ampio spazio alladisamina dei tipi possibili di esercizi e all’elenco delle diverse pratiche riso-lutive. Si potra obiettare che almeno, in questo modo, dall’esperienza delliceo lo studente ricavera un bagaglio di capacita operative su cui potra, inseguito e se fara scelte adatte, riflettere in maniera critica, ma si deve tenerconto, nella pratica, che anche molti corsi universitari prevedono un esamefinale che consta solo di una prova scritta e che valuta quindi l’acquisizionedi una capacita di applicare algoritmi e procedure: anche in questo casonon ci si occupa della trasmissione di un’idea di Matematica piu conformeal vero.

Sempre piu frequenti sono gli inviti delle case editrici a delegare al testo,al software, alle risorse in rete la didattica liceale e sempre piu colleghiaderiscono cedendo parte della propria indipendenza in nome di una piuefficace azione didattica, di una piu rigorosa misurazione degli esiti, di unamaggiore professionalita.

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Credo sia fondamentale fermare le infinite analisi su quanto funzioniciascuna metodologia didattica per iniziare a porci la domanda: cosa stiamoinsegnando?

La famosa “Matematica per il cittadino”, male interpretata, si sta tra-ducendo in un infinito libro di ricette che viene propinato, nella migliore delleipotesi, a degli esecutori cittadini che, invitati a trovare triangoli isosceli neitralicci dell’alta tensione, diventano sempre piu bravi ma sempre meno cri-tici, sempre piu lontani dal nostro scopo. In questo momento e grande ladistanza tra la didattica dei convegni e delle riviste e la pratica quotidianadi noi tutti: quest’ultima sta rischiando di seguire obiettivi ben diversi dallaprima.

Scriveva Lucio Russo nel ’98: “i nuovi fini della scuola di massa possonoessere conseguiti solo mediante una profonda trasformazione dei contenutie dei metodi didattici. Gli strumenti concettuali teorici, considerati ormaitroppo difficili, sono eliminati dall’insegnamento che viene ridotto alla de-scrizione di meri fatti e a elenchi di prescrizioni.” Descriveva una scuola cheperseguiva il celato scopo di produrre consumatori e non quello di formareuna vera classe dirigente, ed oggi, dopo quattordici anni, dobbiamo con-statare che stiamo ancora percorrendo la stessa strada. La ringrazio e lasaluto,

(Francesco Aprea)

Il Notiziario ringrazia il prof. Aprea per aver posto in evidenza un ar-gomento che potra portare anche ad una discussione molto articolata. Leargomentazioni contenute nella lettera possono essere confutate o accettate(magari anche solo parzialmente): non c’e dubbio pero che esse tocchinoalcuni dei problemi reali della scuola. Altri interventi in merito, purcheconcisi ed equilibrati, saranno volentieri ospitati dal Notiziario. Nella sualettera il prof. Aprea cita la “Matematica del cittadino” e, giustamente,cerca di sottolineare gli squilibri conseguenti ad una cattiva interpretazionedella stessa: per tale motivo riportiamo qui sotto alcuni periodi, tratti dal vo-lume Matematica 2003, nella parte di Introduzione a due nuclei di processo,per evidenziarne invece un aspetto che dovrebbe condurre ad una “buona”interpretazione. (g.anichini)

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(da “Argomentare, congetturare, dimostrare”)

.........................................................................

Il primo aspetto riguarda principalmente le definizioni dei concetti, il se-condo le relazioni tra queste. La matematica e costituita da enunciati incui sono coinvolti continuamente i due aspetti. Comprendere la matematicasignifica possedere queste due funzioni del discorso.

.........................................................................

Sono obiettivi da perseguire nella scuola superiore:– consolidare le due funzioni del discorso sopra descritte, che si con-

figurano come abilita specifiche;– supportare gli studenti nella delicata evoluzione che li porta dall’ar-

gomentare al dimostrare, cioe dal discorso piu o meno informale eintuitivo alla esplicitazione della relazione di conseguenza logica chelega le varie proposizioni di una dimostrazione: anche queste sonodescritte nelle indicazioni programmatiche come abilita specifiche;

– dare agli studenti gli elementi conoscitivi tecnici essenziali per en-trare dentro agli aspetti fondamentali del ragionamento matematico(dimostrazioni per assurdo, per induzione, ..):

.........................................................................

(da “Risolvere e Porsi problemi”)

.........................................................................

La matematica ha molti aspetti: agli occhi di molti studenti apparetalvolta come un insieme di rigide “ricette” da imparare solo per prendereun voto all’esame, ma da dimenticare subito dopo; agli occhi di alcuni in-segnanti puo anche apparire come un insieme di dimostrazioni “rigorose”che, spesso in classe, si risolvono in incomprensibili litanie; ad un “mate-matico” appare quasi sempre come una sfida intellettuale, un misto fra unacongettura ed un tentativo di sperimentazione.Nessuno fra i matematici che hanno fatto la storia della disciplina ha maienunciato e dimostrato un teorema senza prima averne congetturato la tesi,cambiato e ricambiato le ipotesi, scritto e riscritto la dimostrazione. Il pro-

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fano non trova affatto sorprendente pensare che un geologo od un astronomolavorino in questo modo; e probabilmente non si sorprenderebbe neppure disapere che anche un matematico opera cosı (se solo sapesse come opera unmatematico!). Allora, se le cose stanno cosı e tutti sono consapevoli che lecose stanno veramente cosı ce necessita di creare spazio al risolvere e porsiproblemi all’interno dell’insegnamento della matematica. La vita quotidianae le proposte dei mezzi di comunicazione offrono sempre piu l’opportunitadi motivare gli studenti ad affrontare problemi. Lo studente piu motivatosi aspetta una soluzione ed e forse in grado lui stesso di prospettarne unaprima, ancorche grossolana, risposta: in tal caso l’insegnante che gli haspalancato il mondo dei problemi si rendera conto che il terreno su cui haseminato inizia a dare frutti. Ma anche allo studente annoiato dalle cosedella matematica, portato quindi a dare risposte casuali e forse insensate,l’insegnante potra far capire che le risposte che si danno ad un problema(anche non di matematica) devono essere ragionevoli, rispettose del buonsenso: anche questo studente dovra dunque iniziare a prendersi carico dellaresponsabilita delle proprie risposte.

..............................................................

L’insegnante potra utilmente sfruttare la curiosita innata degli studentiper far loro meditare su dati ed informazioni riguardo a problemi che li pos-sono coinvolgere direttamente, anche se tali argomenti possono intrecciarsicon argomenti di fisica, di economia, o di altre discipline. Operare in con-testi che interessano, perche derivanti da fenomeni in parte conosciuti, puoessere un attivo strumento di lavoro e di stimolo per passare dalla realtaalla sua astrazione simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio dellamatematica, in modo che gli studenti arrivino a percepire che le formule nonappaiono piu come ricette, ma sono parte fondamentale di un linguaggio cheha il vantaggio della concisione e della non equivocita.

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Agenda Convegni

AGENDA CONVEGNI

Riportiamo, come pro-memoria, alcune notizie su convegni di grande ri-levanza internazionale programmati nel (prossimo) futuro. L’agenda deiconvegni sara aggiornata ad ogni uscita del Notiziario.

2012– Fourth International Conference on Mathematical Sciences,ICM2012 March 11–14 UAE University, Al-Ain, United Arab Emirates.

Information: http://icm.uaeu.ac.ae.ae

– Conference on Partial Differential Equations and ApplicationsMarch 25–28 Vietnam National University, Hanoi, Vietnam.

Information: http://www.amath.washington.edu/events/vietnam2012/

– Ischia Group Theory 2012 March 26–29 Grand Hotel delle Terme ReFerdinando, Ischia, Naples, Italy.

Information: http://www.dipmat.unisa.it/ischiagrouptheory.

– Workshop on Convexity and Asymptotic Geometric AnalysisApril 16–20 Centre de recherches mathematiques, Universite de Montreal,Pavillon Andre-Aisenstadt, 2920, Chemin de la tour, 5th floor Montreal(Quebec), H3T 1J4 Canada.

Information:http://www.crm.umontreal.ca/Convexity12/index e.php

– 2nd International Conference on E-Learning and KnowledgeManagement Technology (ICEKMT 2012) April 16–17 Hotel Corus,Kuala Lumpur, Malaysia.

Information: http://www.icekm.com

– Workshop on Geometric PDE April 23–27 Centre de recherches ma-thematiques, Universite de Montreal, Pavillon Andre-Aisenstadt, 2920, Che-min de la tour, 5th floor Montreal (Quebec), H3T 1J4 Canada.

Information: http://www.crm.umontrel.ca/2012/EDP12/index e.php

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– Variational Analysis and its applications April 22–28 Paseky nadJizerou, Czech Republic.Information: e-mail: pasejune@karlin.mff.cuni.cz– Hausdorff Trimester Program: ”Mathematical challenges of ma-terials science and condensed matter physics: From quantum me-chanics through statistical mechanics to nonlinear pde” May - Au-gust 2012 Hausdorff Research Institute for Mathematics (HIM), BonnContact: Prof. Dr. Wolfgang Luck (application-mc@him.uni-bonn.de– International Conference on Functional Equations and Geome-tric Functions and Applications (ICFGA 2012) May 10–12 Depart-ment of Mathematics, Payame Noor University, Tabriz, Iran.Information: http://www.icfga2012pnu.ir/– Young Women in PDEs May 10–12 Department of Applied Mathe-matics, University of Bonn, Bonn, Germany.Information: http://www.iam.uni-bonn.de/ywipde.– 7th European Conference on Elliptic and Parabolic ProblemsMay 20–25 Gaeta, Italy.Information: http://www.math.uzh.ch/gaeta2012– Workshop on Semigroups 2012 May 23–25 Caul, Lisbon, Portugal.Information: http://caul.cii.fc.ul.pt/WS2012/.– 4th International Workshop on Computational Topology in Ima-ge Context (CTIC 2012) May 28-30 Centro Residenziale UniversitarioBertinoroInformation: http://ctic2012.dm.unibo.it– Workshop on Nonlinear Partial Differential Equations on theoccasion of the sixtieth birthday of Patrizia Pucci May 28–June 1Perugia, Italy.Information:e-mail: pucci2012@dmi.unipg.it; http://www.dmi.unipg.it/pucci2012

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– Geometric and Analytic Techniques in Calculus of Variationsand Partial Differential Equations June 1–July 31 Centro di RicercaMatematica “Ennio De Giorgi”, Pisa, Italy.Information: http://www.crm.sns.it/event/233/index.html#title– International meeting on “Statistical analysis: Theory and Ap-plications” (JIASTA2012) June 4–6 Mohamed first University, Facultyof Science, Oujda, Morocco.Information: http://sciences1.ump.ma/JIASTA2012/– Workshop on Parameter Estimation for Dynamical Systems June4–6 Eurandom, Eindhoven, The Netherlands.Information: http://www.few.vu.nl/ shota/peds2.php– Probability, Control and Finance June 4–8 Columbia University, NewYork, New York.Information: http://math.columbia.edu/procofin/.– Stochastic Methods in Fluid Mechanics July 2-6, 2012 Udine, Inter-national Centre for Mechanical Sciences (CISM)Information: http://www.cism.it/courses/C1206/.– Analysis, Modeling and Simulation of Collective Dynamics fromBacteria to Crowds July 9-13, 2012 Udine, International Centre for Me-chanical Sciences (CISM)Information: http://www.cism.it/courses/C1207/.– Banach Spaces Workshop June 6–9 University of Birmingham, Bir-mingham, United Kingdom.Information: http://tinyurl.com/banach-workshop– “The Incomputable” - A workshop of the 6-month Isaac New-ton Institute programme - “Semantics and Syntax: A Legacy ofAlan Turing”(SAS) June 12–15 Kavli Royal Society International Centre,Chicheley Hall, Newport Pagnell MK16 9JJ, United Kingdom.Information: http://www.mathcomp.leeds.ac.uk/turing2012/inc/

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– Probability and Analysis June 10–16 Mathematical Research and Con-ference Center of the Polish Academy of Sciences, Bedlewo, Poland.Information: http://www.mimuw.edu.pl/˜probanal/– BIOMATH 2012: International Conference on MathematicalMethods and Models in Biosciences June 17–22 Bulgarian Academyof Sciences, Sofia, Bulgaria.Information: http://www.biomath.bg/2012/– Turing Centenary Conference (CiE 2012): How the World Com-putes June 18–23 University of Cambridge, Cambridge, United Kingdom.Contact: e-mail: anuj.dawar@cl.cam.ac.uk.Information: http://www.cie2012.eu– International Conference on Applied Analysis and Algebra(ICAAA2012) June 20–24 Davutpasa Campus, Yildiz Technical Univer-sity, Istanbul, Turkey.Information: http://www.ica12.yildiz.edu.tr– The Fourteenth International Conference on “Hyperbolic Pro-blems: Theory, Numerics, Applications” (HYP2012) June 25–29Universita di Padova, Italy.Information: http://www.hyp2012.eu– IVth Workshop on Coverings, Selections, and Games in Topolo-gy June 25–30 Department of Mathematics, Seconda Universita di Napoli,Caserta, Italy.Information: http://u.cs.biu.ac.il/˜tsaban/spmc12– The 2012 International Conference of Applied and EngineeringMathematics July 4–6 Imperial College London, London, United King-dom.Information: http://www.iaeng.org/WCE2012/ICAEM2012.html– The 10th International Conference on Fixed Point Theory andits Applications (ICFPTA-2012) July 9–15 Faculty of Mathematics andComputer Science, Babes, Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.Information: http://www.cs.ubbcluj.ro/˜fptac/

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– Semigroups and Applications August 29–September 2 Department ofMathematics, Uppsala University, Uppsala, Sweden.Contact: e-mail: semi2012@math.uu.se

Collana Opere dei Grandi Matematici Italiani

Francesco Giacomo Tricomi

OPERE SCELTE

Vol. I Vol. II

Unione Matematica Italiana 2011

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PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA UNIONE MATEMATICA ITALIANA

Massimo Gobbino

Schede Olimpiche

per la preparazione alle Olimpiadi della Matematica

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2012

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Descrizione  

Il  Fibonacci  è  una  raccolta  di  nove  ‘fogli’  creati  tra  il  1990  e  il  2004  da  

Franco   Conti,   talvolta   assieme   ad   alcuni   collaboratori,   in   occasione  della   finale   nazionale   delle   Olimpiadi   della   Matematica.   Ciascun  

foglio,   concepito   come  un   ‘breve  viaggio   fra   curiosità  matematiche’,  contiene   curiosità,   idee,   problemi   (spesso   aperti!)   e   aneddoti   di  

carattere   matematico;   si   propone   ‘di   stimolare   curiosità   su   aspetti  insoliti   o   nascosti   della   matematica   e   si   rivolge   a   tutti   coloro   che  

trovano  gusto  nell'affrontare  problemi  matematici,  anche  complessi’.  In   realtà,   in   molti   casi   sono   sufficienti   conoscenze   matematiche  

relativamente   elementari   per   seguire   la   discussione   o   risolvere   i  quesiti:   intuito   e   creatività   risultano   pertanto   essere   i   migliori  

compagni   per   questo   “viaggio”   (ma   attenzione,   perché   non   manca  qualche   quesito   particolarmente   impegnativo).   Inoltre,   la  

composizione   dei   fogli   è   particolarmente   curata   dal   punto   di   vista  estetico  e  sono  molti  i  riferimenti  ad  ambiti  applicativi  (dalla  botanica  

all'architettura,  dalla  grafica  computerizzata  alla  meccanica,  …  fino  ad  alcuni  oggetti  di  uso  quotidiano);   il   tutto   rispecchia   l’attenzione   e   la  

cura  dedicata  da  Conti  -­‐al  tempo  professore  presso  la  Scuola  Normale  Superiore  di  Pisa-­‐  alla  divulgazione  della  matematica.  

Il   libro   raccoglie   i  nove   fogli  originali   (a  nostra   conoscenza,   la   serie   completa  non  è  più   reperibile),   risolvendo   tutti   i  

quesiti  posti  e  commentando  alcuni  temi  in  essi  trattati  in  modo  più  o  meno  approfondito.  In  particolare,  contiene  100  soluzioni/commenti  (che  si  aggiungono  ai  98  punti  dei  fogli)  e  61  illustrazioni,  per  vivacizzare  la  discussione  (arrivando  

quasi   a   sostituirla  nel   caso  di   alcune  “dimostrazioni   senza   parole”).   Gli   argomenti   sono  presentati   in  modo  vivace   e  sintetico   (facendo   riferimento   a   nozioni   generalmente   accessibili   anche   agli   studenti   delle   Scuole   Secondarie   di  

Secondo  Grado  e  più   in  generale  ai   cultori);   lo   scopo  di  questa  pubblicazione,   infatti,   è  esattamente  quello  dei   fogli  originali,  così  come  il  pubblico  a  cui  si  rivolge.  

 

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