Napredne Tehnike Za Obradu Signala-skripta

7/25/2019 Napredne Tehnike Za Obradu Signala-skripta

1/158

1

1 ODMERAVANJE KONTINUALNIH

SIGNALA

1.1 Uvod

!"#$%&' )%* $%+','-" . /0'0*)' 1*#% 2% */'2.#. 3"4%3"4',1'3 5.-16'#"3" 2. /* /0'0*)' 1*-4'-."+-%/*#"$%7 /" 2% ' */'2.#. 0%"+-'3 5.-16'#"3" $'8% /0*3%-+#'$'9: ; +'4%0"4.0' 2% -"+"B 1*#' 2% )*@'#"#. 3%0%-#'3"7 '+' ,%8&% 1*3@'-"6'#*3 3%0%-#" 'poznatom strukturom sistema koji se posmatra, mogu se podeliti na kontinualne i diskretne. Podela se

$08' '4"+-*3 )*3%-. #% 3"-#% /*)+*F-* .4'6"#'3" /0*3%-% 4%3/%0"4.0%7 $+"F-*24' ' 24"0%-#"komponenti od filtriranja analognim elektronskim kolima. G*>.&-*24' )'>'4"+-'9 2'24%3" 2" 24"-*$'84"/*$%&"-#"broja MA C(Multiply and Accumulate) operacija u sekundi i 23"-#%-#" /*40*8-#% 2% neprestano.$%&%$"#.: ?" )0.>% 240"-%7 )'>'4"+-' 2'24%3' '3"#. 1*-",-. ).F'-. 0%,' 4"1* )" -'#% 3*>.&% 4",-*

predstaviti vrednosti realnih brojeva: H0*6%2 -"+" 1*#' 2% /*) *)0%C%-'3 /0%4/*24"$1"3" 3*F% 40%4'0"4' 1"* ")itivni [2].

; -"0%)-'3 /*>+"$+#'3" -"#$%&' )%* /"F-#% #% /*2$%&%- )'210%4-'3 2'24%3'3" -"+' 1*#' 2.diskretizovani. U nastavku su analizirane promene koje diskretizacija kod diskretnih sistema unosi u

spektar kontinualnog signala, uslovi koji moraju biti ispunjeni da bi se kontinualni signal ispravno


2/158

2

rekonstruisao iz diskretnog signala, osnovni algoritmi i principi obrade u digitalnom domenu, kao i

*)>*$"0"#.&' /0'3%0':

1.2.Odmeravanjekontinualnih signala

Proces 1*#'3 2% 1*-4'-."+-" $%+','-" /0%$*)' . )'>'4"+-. -" A)'210%4-*>B 2'>-"+"3*>.&% /0%)24"$'4' @%< >0%81%: ; *$*3 23'2+. 4%0mini digitalnii diskretni2% . /0"12' ,%24* 0"$-*/0"$-*1*0'24%7 '"1* #% . PKQ -">+"8%-" @'4-" 0"


3/158

3

Slika 1.2 a) Uniformno ( ) od meravanjekontinualnog signala

Slika 1.2 b) Diskretni signal dobijen uniformnimodmeravanjemkontinualnog signala

L1* 2% /*23"40" )'210%4-' 2'>-"+ )*@'#%- .-'5*03-'3 *)3%0"$"-#%37 .*,"$" 2% )" $0%3% 1"* -%


4/158

4

(1.5)

R@',-* 2% . -*4"6'#' )'210%4-'9 2'>-"+" )*@'#%-'9 .-'5*03-'3 *)3%0"$"-#%3 1*0'24% .>+"24% -"+ ,%24* *@%+%F%- ' 2" . Iako unutar uglastih zagrada nema periodeodmeravanja , implicitno se podrazumeva da je ona poznata. Zavisno od pristupa kojim se modeluje

odmeravanje, signal 2% 3*F% /*23"40"4' 1"* 1*-4'-."+"- '+' 1"* )'210%4"-: H0'3%&.#% 2% )" #e ova-*4"6'#" 2+',-" *-*3 1*#" 2% 1*0'24' -"+%:Pored "-"+'-"+" )'210%4-*3 $0%3%-21*3 /0*3%-#+#'$*3 , jer je signal u diskretnom


5/158

5

vremenskom domenu definisan samo u diskretnim odmercima $0%3%-" 4#: .3-*86'3" /%0'*)%odmeravanja . Na osnovu (1.6) sledi:

(1.7)

*)"1+% 2% .*,"$" )" #% .,%24"-*24 *$*> 2'>-"+" Adigitalna.,%24"-*24BJ

(1.8)

H* )%5'-'6'#' /%0'*)',-*24'7 *2-*$-" /%0'*)" #% -"#3"-#' -%-.+4' 6%* @0*# 4"1"$ )" $"F'J

(1.9)

odakle zamenom sledi:

(1.10)

a kako je osnovna perioda sinusne funkcije (signala) 7 40%@" -"&' 4"1"$ /0'*)-' @0*# 0"-',%-#" )" $0%3%-21' '-)%12 3*0" @'4' 6%* @0*#:

;,%24"-*24 . )'210%4-*3 )*3%-. A1"7"/&8)& ('+./&)%./)ima jedinicu : R@',-* 2% *@%+%F"$"3"+'3 >0,1'3 2+*$*3 . U literaturi koja se bavi samo analognom obradom signala, ovaj simbol

je 0%'4"+-*3 *@0")*32'>-"+" -%/'2"-* /0"$'+* )" 2%


6/158

6

Primer 1.2.

T2/'4"4' /%0'*)',-*24 )'210%4-*> 2'>-"+"J

(1.14)

4+5+)3+6

Na osnovu primera 1.1 sledi:

(1.15)

Deo izraza (1.15):

(1.16)

2")0F' 5"


7/158

7

1.2.1 Spektar diskretizovanog signala

R)0%C%-" 1+"2" /0*@+%3" . )'>'4"+-*# *@0")' 2'>-"+" 2% 3*F% +"18% 0%8'4' .frekvencijskom (spektralnom),-%>* . $0%3%-21*3 )*3%-.: [%-"+,'#' #% *2-*$-' /%0'*)J

(1.23)

tada se generalizacijom Fourier-ovog reda dolazi do Fourier-ove transformacije:

(1.24)

gde je 1*-4'-."+-" 10.F-" .,%24"-*24 . . Sa druge strane, na osnovu date Fourier-ove40"-25*03"6'#% 3*>.&% #% *)0%)'4' 2'>-"+ . $0%3%-21*3 )*3%-. /0'3%-*3 inverzne Fourier-ove

transformacije:

(1.25)

D'210%4-' 2'>-"+' 2%7 4"1*C%7 3*>. /0%)24"$'4' /0%1* -#'9*$*> 50%1$%-6'#21*> 2")0F"#" 1*0'8&%-#%3Foruier-*$% "-"+'


8/158

8

1.2.2 !"#$%"#&'(" *+$,-#"." *+/0$-" &,$"12/3 /,%$+"."24"

G"4%3"4',1'7 /0*6%2 *)3%0"$"-#" 1*-4'-."+-*> 2'>-"+" 2% -"#+"18% 3*F% /0%)24"$'4' 1"* /0*'


9/158

9

Povorka Dirac-*$'9 '3/.+2" #% /%0'*)',"- 2'>-"+ ' 3*F% 2% /0%)24"$'4' /0%1* Fourier-ovog reda, gde jekoeficijent '-"+" /*3*-*F%-'9 5"14*0*3 , pa se ovaj spektar

nekada naziva i -+$"%1"')& +#.-&)-"+": !" 2+:K:]: )"4' 2.2/%140' 1*-4'-."+-*> ' *)>*$"0"#.&%> )'210%4'


10/158

10

Slika 1.4b) Spektar diskretizovanog signala bez aliasing efekta,dobijenog idealnimodmeravanjem

."7)&8& '"3" 3+ .-+#/&$ -$"#& ,za . Tada jekontinualni signal

3+1")./2+)% %1$+?+) .2%3"! %1!+$:"!& , ako je gde je

Slika 1.5 Spektar diskretizovanog signala sa aliasing efektom,dobijenog idealnim*odmeravanjemsignala

'"3" 3+ .-+#/&$ -$"#&@>A>&B

*C+$!") "1+&8)% .+ %1)%." )& -$+/-%./&2#( 1& 3+ !%7(D+ ;%$!"$&/" -%2%$#( E"$&: -%2"F "!-(8.& G"!-(8.& H+.#%)&')% #$/%7 /$&3&)3&B 5/% 3+-$/"')% )+!%7(D+$+&8"


11/158

11

\*8 #%)-"7 ,%24* 1*0'8&%-"7 /0%)24"$" /0*6%2" *)3%0"$"-#" /0'1"-"+" *@',-* -'2.


12/158

12

(1.35)

Sada je prema (1.34):

(1.36)

/" 2% "3/+'4.)21" 1"0"14%0'24'1" A2/%14"0B 3*F% /0%)24"$'4' 1"*J

(1.37)

i ima izgled kao na slici 1.8.

Slika 1.8 Amplitudski spektar sinusnog signala iz Primera 1.3

?" 2/%140" 2% .*,"$" )" #% 3"12'3"+-" .,%24"-*24 . 2/%140. ./0"$* .

Napomena : Iako je amplituda DiracI*$*> '3/.+2" @%21*-",-* $%+'1" Astrelica 2'3@*+',1' /0%)24"$+#""3/+'4.). 1*#" 4%F' @%21*-",-*24'B, na slici 1.8 je pored strelice data i vrednost konstante kojom je DiracI*$ '3/.+2 /*3-*F%-: _" )*)"$"-#" $0%)-*24' 1*-24"-4% na slici +%F' . 4*3% )" 2%/0'1"F% 84* $'8%informacija o signalu (opisanog sa (1.37)).

Primer 1.4.


13/158

13

Ako je amplitudska ka0"14%0'24'1" 2'>-"+" )"4" -" 2+: K:Y:7 *)0%)'4' 3'-'3"+-. .,%24"-*24*)3%0"$"-#" 4"1* )" -% )*C% )* /0%1+"/"-#" 2/%140"+-'9 1*3/*-%-4':

Slika 1.10 Amplitudski spektar signala

H0%3" 4%*0%3' * *)3%0"$"-#. 3'-'3"+-" .,%24"-*24 1*#*3 2% $08' *)3%0"$"-#% @%< %5%14" /0%1+"/"-#" 4#:alliasing-" #% )./+* $%&" *) 3"12'3"+-% .,%24"-*24' . 2/%140.J

(1.38)

pa je:

(1.39)

1.2.3 5+"(#&'2" +$"1&6"0&4" *+/0$-" /,%$+"."24"

U praksi se idealni Dirac-ovi impulsi opisani u [1] -% 3*>. >%-%0'2"4': `%81* #% 0%"+'-"+": \"2-* #% )" 2% . /0*6%2.A/D1*-$%0


14/158

14

>%-%0'8% 2% -" 0%"+-*3 /0%)24"$*3 /0*6%2" A/D1*-$%0


15/158

15

Slika 1.12 Model Sampleand hold kola

1.3 Rekonstrukcija kontinualnih signala

="* 84* $%& 0%,%-*7 )'>'4"+-' 2'24%3' -"+ 1*#' 2%0%1*2-40.'8%7 /0*/.84" 10*< ')%"+-' 5'+4"0 1*#' /*4'21.#% 0%/+'1%7 " /0*/.84" )%* 2/%140" 1*#' *)>*$"0"osnovnom opsegu kontinualnog signala (baseband) (sl.1.9). Kako je spektar diskretnog signala prema

(1.31) skaliran sa , idealni rekonstrukcioni filtar40%@" )" '3" "3/+'4.). ,'#" #% $0%)-*24 . Na sl.1.10. je

/0'1"


16/158

16

Slika 1.10 Procesodmeravanja (prva dva grafika)na osnovu (1.31) i procesrekonstrukcijerealnog

."7)&8& "1+&8)"! ;"8/$%! -$%-(.)"#%! )".#"F ('+./&)%./" G-%.8+1)3& 12& 7$&;"#&B

a0"-',-" .,%24"-*24 5'+40"


17/158

17

Slika 1.11 Simboli idealnog bloka za rekonstrukciju (D/C - Discreteto Continous)

Blok DSP na slici 1.10 **0'4"3 *@0")% 1*#' 2% '" *$"# @+*1 *@%+%F%- '2/0%1')"-*3 +'-'#*3:

Primer 1.5.

Dat je sistem za diskretizaciju i rekonstrukcijukontinualnogsignala na Sl.1.12. Spektar kontinualnog

signala zadat je na sl.1.13., a amplitudska frekvencijska karakteristiku sistema za rekonstrukciju

kontinualnog signala zadata je na sl.1.14. Odrediti vrednost periode odmeravanja i vrednosti konstanti

, , *


18/158

18

![rad/s]

|H(j!)|

!b-!b 0

A

-!a !a

Slika 1.14 Amplitudska karakteristika sistema za rekonstrukciju kontinualnog sgnala.

4+5+)3+:

;,%24"-*24 *)3%0"$"-#" #%J

(1.42)

gde su:

perioda odmeravanja [s],

;,%24"-*24 *)3%0"$"-#" [samp/s].

Spektar diskretizovanog signala je :

(1.43)

="1* #% 3"12'3"+-" .,%24"-*24 . 2/%140. 1*-4'-."+-*> 2'>-"+" , to je prvi uslov za , tj.

(1.44)

Spektar diskretizovanog signala je dat na sl.1.15:


19/158

19

Ako se na sl.1.15. ucrta i amplitudska frekvencijska karakteristika filtra | b7 .*,"$"#. 2% ' *24"+'.2+*$' 1*#' 2. /*40%@-' )" @' 2"3* *2-*$-' */2%> 2/%140" )'210%4-*> 2'>-"+" @'* /0*/.84%- 10* '+' $'8% *)3%0"1"diskretnog signala definisati, ili interpolirati $0%)-*24' '


20/158

20

0%/+'1% . 2/%140. 2'>-"+"7 ' )" /*$*01. )'>'4"+-'9 $0%)-*24' '< 3'10*0",.-"0" 1*-$%04.#% . 1*-4'-.alansignal [4].

Slika 1.16M%8%


21/158

21

_%8"$"-#%3 '-4%>0"+" AK:]YB )*@'#" 2%J

(1.50)

Transformacijom (1.50) je dalje:

(1.51)

Primenom Euler-*$'9 5*03.+" 1*-",-* #%J

(1.52)

L3/+'4.)21" 50%1$%-6'#21" 1"0"14%0'24'1" 1*+" '@ '


22/158

22

Slika 1.18 Amplitudska frekvencijska karakteristika Zero order hold kola

E"


23/158

23

(1.57)

dobija se :

(1.58)

Simbol * 5'+40" /0*/.2-'1" -'21'9 .,%24"-*24' ' ZOHkola datoje na sl.1.19.

Slika 1.19 Fazna frekvencijska karakteristika ZOH kola

; /0%49*)-*3 )%+. #% /*1"


24/158

24

signala, tada #% 3*>.&% )%5'-'2"4' idealni postfiltar '@*3: !" ?+:K:NZ: #% )"4" "3/+'4.)21" karakteristika idealnog

postfiltra.

Slika 1.20 Amplitudska frekvencijska karakteristika idealnog postfiltra za kompenzaciju uticaja kola


25/158

25

Slika 1.21K& *10.F%-#" /" #% -%*/9*)-* /0% )'210etizacije takvesignale propustiti kroz 5'+4"0 1*#' *>0"-',"$" 2/%14"0 -" */2%> .,%24"-*24' *) '-4%0%2" Aantialiasing filter).

1.4 Diskretna Fourier-ova tr ansformacija

Klasa Foruier-*$'9 40"-25*03"6'#" 2% .2/%8-* /0'3%-#.#% . *@+"24' 1*-4'-."+-'9 24"6'*-"0-'9 A%->: Lineartime invariant- LTIB 2'24%3" ' 1*-4'-."+-'9 2'>-"+": _"%-6'#%7 *2*@'-% 2'>-"+" A'+'2'24%3"B 1*#' 2% /*23"40"#.7 *)0%C.#. @+'F% "/"0"4 1*#'3 2% )*+"


26/158

26

1.4.1 Uvod u DF T

Kod diskretnih sistema primena tehnika transformacija u frekvencijskom domenu ima podjednako veliki

2'24%3" . */84%3 2+.,"#.: =*) 2/%140" )'210%4-*> 2'>-"+" A'+' 50%1$%-6'#21% 1"0"14%0'24'1%)'210%4-*> 2'24%3"B )*$*+#-* #% /*23"40"4' #%)-. /%0'*).7 *@',-* ili , dok je kodkontinualnih signala (sistema) neophodno uzeti u obzir celu osu. U literaturi [2] je pokazano da realne

sekvence (i diskretne i kontinualne) imaju simetri,-' "3/'4.)21'7 ' "-4'2'3%40',-' 5"


27/158

27

Isti rezultat se dobija ako se krene od izraza (1.24). Ako je diskretni signal dobijen uniformnim

odmeravanjem kontinualnog signala , i ako se u izraz (1.24) uvrsti tada je:

(1.66)

U izrazu (1.66) .$%)%-" #% $%2'>-"+" -"+": Bitno je napomenuti da je dovoljan uslovegzistencije DTFT-a da izraz (1.64) konvergira, tj. da niz bude apsolutno sumabilan :

(1.69)

Izraz (1.68) ima primenu u projektovanju digitalnih filtara sa ograni,%-'3 '3/.+2-'3 *) *)'4"+-*3 3'10*0",.-"0.7 '3/+%3%-4"6'#% ./0"$+#",1'9 "+>*0'4"3"7 5'+40'0"-#" '

dr. od interesa je predstaviti Fourier-ovu transformaciju /0*' A. */84%3 2+.,"#.

"/%0'*)',-*>B )'210%4-*> 2'>-"+" /0%1* 1*-",-*> @0*#" 4","1": L1* 2% '


28/158

28

(1.70)

?")" #% d)'210%4'.&% odrediti signal u vremenu koji zadovoljava izraz

AK:WKBe L1* 2% @%21*-",-" 2.3" AK:WKB 0"24"$' -" @%21*-",-'


29/158

29

pa je na kraju (vra&"-#%3 '-)%12" umesto ):

(1.77)

gde je /%0'*)',-* /0*).F%-#% 2'>-"+" sa periodom :

(1.78)

D*@'#%-' /%0'*)',-' 2'>-"+ 2% 3*F% /0'1"-"+"7 , , koje predstavljaju

komponente reda,u literaturi [5] je pokazano da vaF' :

(1.79)

H0'3%-*3 AK:WYB 3*>.&% #% -" *2-*$. *)3%0"1" 2/%140" '-"+ ako nema

preklapanja u vremenskom domenu, tj. ako je perioda signala , 7 3"-#" *) ).F'-% *0'>'-"+-%

sekvence , .


30/158

30

Slika 1.23O+$"1%"')% -$%1(P+)3+ #%)&')+ 1".#$+/)+ .+#2+):+> &B -%'+/)& .+#2+):&= 1(P")+ ,b)

-$%1(P+)3+ H+< -$+#8&-&)3&= = :B -$%1(P+)3+ .& -$+#8&-&)3+!

T< /0'1" 2'>-"+" . $0%3%-.: ?")" 2% 3*F% )efinisati Diskretna Fourier-ova transformacij a:

Q& &-+$"%1"')" 1".#$+/)" ."7)&8 duP")+ ( ,za ) izraz:

(1.80)

%


31/158

31

x[n]

0

1

n1 2 3 4 5 6-1

2

4

Slika 1.24 Signal iz primera 1.6

D.F'-" 40"#"-#" 2'>-"+" #% 7 /" #% 3'-'3"+"- @0*# 4","1" A. /0"12' #% ,%24* . /'4"-#. $%&' @0*#odmeraka, koji se dodaju zero padding-*3B: H0%3" 5*03.+'


32/158

32

U Matlab-u nacrtati amplitudski spektar D FT-" 1*#' #% '" 2" 0%ST U7$&)"'+)"= $+&8)" +#.-%)+):"3&8)" ."7)&8

4+5+)3+:

H0$* #% /*40%@-* *)0%)'4' "-"+'4',1' ' 2'>-"+" 3-*F%-#%3 2" . )%+. >)% 2. *)3%06' 0"


33/158

33

>)% #% ).F'-" DFT-' '0"3 1*#'3 2% ./*0%C.#% '


34/158

34

1 ; 9 !?*(*?3? > 4,2,1,@ +, +%$# ",&&*(A= 1 ; .&%"-"+'4',1' */'2"4'


35/158

35

0%"+-*3 $0%3%-.7 /" &% . -"24"$1. #%)"- )%* @'4' /*2$%&%- 0"


36/158

36

/*24"#% #"2-* )" 2. 4* $0%)-*24' -" #%)'-',-*3 krugu (slika 1.27 ) gde "0>.3%-4 *)0%C.#% '


37/158

37

(1.101)

>)% 2'3@*+ g *


38/158

38

1.4.3 Veza DF T i cirkularnekonvoluci je

Termin konvolucij a sre&% 2% ' 1*) 1*-4'-."+-'9 ' 1*) )'210%4-'9 2'>-"+"7 ' *. /*23"40"4' 1"* 2'24%3' */'2"-''3/.+2-'3 *) /0*).F%-#" '24% 1*-",-% 2%1$%-6%(Sl.1.28:B: !" '24' -",'- 3*F% 2% )%5'-'2"4' 6'01.+"0-' /*3%0"# . 50%1$%-6'#21*3 )*3%-. A2/%140.B:

Slika1.28 W"$#(8&$)" -%!+$&3 .+#2+):+ #%)&')+ 1(P")+6 &B -%'+/)& .+#2+):&= HB :"$#(8&$)" -%!+$&3sekvenceza dva odmerka u levo

Cirkularno pomerene sekvence (u vremenu i u spektru) imaju zanimljive osobine koje su dokazane u [2],

[3], [6], tako da se ovde navode samo rezultati.


39/158

39

1o Cirkularno pomerena D FTsekvenca za pomeraj , ima za transformacioni par:

(1.105)

2o Cirkularno pomerena vremenska sekvenca za pomeraj , ima za transformacioni par:

(1.106)

Operacija cirkularnekonvolucijedve sekvence je data sa (u literaturi [3] se koristi operator ):

(1.107)

i vaF'J

3o h'01.+"0-" 1*-$*+.6'#" )$% 2%1$%-6% ' /0*'+"$-" 0"


40/158

40

?+:K:NY [%-"+.: ; 4. 2$09.7 "1* 2% /*23"40" %12/*-%-6'#"+-' 2'>-"+ -"*2-*$. 1*>" *)0%C.#%3* 50%1$%-6'#21' *) 2")0F"*6" '. . Ova pojava jeposledica Parseval-*$% 4%*0%3%7 /* 1*#*# %-%0>'#" '-"+ 2")0F' ' 1*3/*-%-4% .,%24"-*24' 1*#% 2% -% /*#"$+#.#. . 2.3' AK:XZB 4")" -"24"#% raspianje ilipodela%-%0>'#% -" 0"2/*+*F'$% )'210%4-% 1*3/*-%-4% . 2/%140.: L1* se krene od (1.100) i odredi izraz za

-tu komponentu u spektru:

(1.111)


41/158

41

40"-25*03"6'#*37 /*3*&. Euler-ovih formula, dobija se:

(1.112)

Smenom [3]:

(1.113)

izraz (1.112) se moF% -"/'2"4' . 2"F%4'#%3 *@+'1.J

(1.114)

Amplitudska karakteristika frekvencijskog odziva DFT data je na Sl.1.29. Fazna frekvencijska

karakteristika DFT je linearna.

Slika1.300!-8"/(1.#& ;$+#2+):"3.#& #&$/+$"./"#& EKC G)%$!&8"


42/158

42

spektralno curenje primenjuju se razne modifikacije sekvence Sa Sl.1.30. se 3*F% .*,'4' )" #% 8'0'-">+"$-*> +.1" )$*240.1* $%&" *) 50%1$%-6'#21*>0" 5'+40" 1*#' /0*/.84" H+8" 5(!7 ,'#" #% 2-">"#%)-"1" 2-"-*3%40'#21'9 5.-16'#" 1*#% 2.


43/158

43

/%0'*)',-%: L1* 2% . )'>'4"+-*3 3'10*0",.-"0. '2koristi tabela koeficijenata u memoriji ili eng. lookuptable7 -" /*,%41. /*/.-#%-" $0%)-*24'3"7 4")" #% '-.4* '",'#'3ind%12'0"-#%37 1*0'24%&' ,'-#%-'6. )" 2. /0*24*/%0'*)',-% 5.-16'#% 2'3%40',-%7 /" #% )*$*+#-* ,.$"4'$0%)-*24' 2"3* #%)-% ,%4$04'-% /%0'*)%: H*#%)'-' )'>'4"+-' /0*6%2*0' 2'>-"+" 2")0F% /*2%@-. 3%3*0'#21.@"-1. *0'43" AK:KKcB 2% )*@'#" "1* 2% '21*0'24' 3*>.&-*24 ' ,+"-" 0"*0'43" /*24"$+#" 2% )" #% Ukupan broj operacija je:

) @0*# ' '


44/158

44

l%24* 1*0'8&%- "+>*0'4"3 *0'43" 2% )*+"-"+" i za . Posledicaove tvrdnje je da se 3*F% /*23"40"4' 1"* '


45/158

45

Izraz (1.127) predstavlja geometrijsku sumu reda sa korakom :

(1.128)

pa je prema formuli sume geometrijske progresije prvih ,+"-*$"J

(1.129)

(1.130)

Oblast konvergencije dobijene Ztransformacije je :

(1.131)

Izraz (1.131) predstavlja Iti GoertzelIov filter opisan diskretnom funkcijom prenosa :

(1.132)


46/158

46

Slika 1.31 GoertzelJ%2" ;"8/$" 5'+40" /*#"$'4' 1*3/+%12-* 3-*F%-#%7 1*#% 2% /0*>0"321' '*$"-*1*3/+%12-*3 $0%)-*8&. '3%-'*6" )*@'#" 2% J

(1.133)

D'210%4-" 5.-16'#" /0%-*2" AK:KOOB 2% 3*F% /0*8'0'4' ,+"-*3 :

(1.134)

4"1* )" $"F' J

(1.135)

i :

(1.136)


47/158

47

Zamenom i '< AK:KOOB . AK:KOcB ' AK:KO^B )*+"*0'4"3 /*)%+#%- -" )$% #%)-",'-% J 0%1.0.&.#% )*@'#"-#%

odmerka nezavisno od drugih odmerakaDFT sekvence.

Primer 1.9.

=*0'24%&' >0"5',1% 0%/0%-"+"7 -"604"4' blokdijagram GoertzelI ovog algoritma datog preko (1.139) i (1.140). Napisati program u MatlabI u za'


48/158

48

4+5+)3+ :

U cilju implementacije sistema u DSP (eng. Digital signal processingB .*@',"#%-* #% )" 2% /*,-% 2">0"5',1*3 0%/0% &11+$B= " G:B 3+1")"')%#&5)3+)3+ G+)7> ()"/ 1+8&YB= G1B '2%$ 7$&)&)3& G+)7> H$&):F )%1+> ;%$#B


49/158

49

Slika 1.32 BlokdijagramGoertzelJovog algoritma

Programski kod u Matlab J u koji je dat u nastavku poredi D FZ 0%"+-% 2%1$%-6% '0"C%-% -"0%)@% fft()i opisanog algoritma.

!Y%$2%80#N ,8A#$*4,? +, 5$+# $,23(,('% -./0, :%1N%(2% SG(M28%,$ ,88928#:% ,8892829

S ; GB B T Z > [ [ [ [ [ E E E E E T B B B B T T E Z > >M94 ;


50/158

50

6*A3$%J[L96$%]+JFVA%$2%8L9

Slika 1.34O%$+?+)3+ EKC $+&8)+ .+#2+):+ definisaneu Matlab programu

T"1* #% @0*# */%0"6'#"


51/158

51

(1.144)

l+"- 2% 3*F% -"/'2"4' 1"* J

(1.145)

Na osnovu (1.145), izraz (1.144) moF% -apisati kao :

(1.146)

gde su :

(1.147)

i :

(1.148)

DFT u 4","1"7 2%1$%-6' i , respektivno. DFT sekvence i su periodi,-% 2"

periodom :


52/158

52

(1.149)

(1.150)

Ako se iskoristi i osobina twiddlefaktora :

(1.151)

tada se zamenom sa u (1.146) :

(1.152)

dobija :

(1.153)

\%)-",'-% AK:K]^B7 4#: AK:KcNB ' AK:KcOB /0%)24"$+#"#. *2-*$. radixJ2 algoritma. Uvode&' 23%-% J

(1.154)

i :

(1.155)

DFT2% 1*-",-* 3*F% -"/'2"4' 1"* J

(1.156)

(1.157)

Posmatraju&' DFT/0*'


53/158

53

(1.158)

(1.159)

' ./*0%C.#.&' 2" '


54/158

54

Slika 1.36O$"):"- -$+($+?+)3& ( 2$+!+)(


55/158

55

Slika 1.37^+1)% $+5+)3+ H8%#&


56/158

56

1.5 FI R i II R filtarskestrukture

Konvoluciona 2.3" 3*F% @'4' 1*0'8&ena u realizaciji diskretnih linearnih stacionarnih sistema (LTIIm'-%"0 `'3% T-$"0'"-4B: G%C.4'37 *$"1"$ -",'- 0%"+'-"+" ' $0%)-*24' 5'+4"021'9 1*%5'6'#%-"4" /0'1"


57/158

57

! jednostavno je analizirati blok dijagram kako bi se odredio eksplicitni odnos ulaza i izlaza

! #%)-*24"$-* #% /0%.0%C%-#% @+*1 )'#">0"3" 1"1* @' 2% '0")'* U%1$'$"+%-4-'V @+*1 )'#">0"3! jednostavno je definisati zahteve za elemente za realizaciju

! jednostavno je razviti prikaze blok dijagrama direktno iz prenosne funkcije

1.5.1 Ekvivalentnestrukture

Dve strukture digitalnog filtra su ekvivalentne ako imaju istu prenosnu funkciju. Postoji niz metoda

za generisanje ekvivalentnih struktura. Vrlo je koristan postupak generisanja ekvivalentne strukture tzv.

postupkom transponovanja izvorne strukture.

H*24./"1 40"-2/*-*$"-#" @+*1 )'#">0"3" 2% 2"24*#' . 2+%)%&%3J

(1) okrenuti sve tokove signala

(2) *0'43.


58/158

58

Slika 1.40 [$&;"'#" ."!H%8" +8+!+)/&$)" H8%#%2&

1.5.2 Di rektna realizaci ja F IR filtra

Blok dijagram za direktnu realizaciju F IR5'+4"0" 3*F% 2% -"604"4' -" *2-*$.konvolucione sume (1.161).Blok dijagram ove filtarske strukture dat je na Slici 1.41.

z-1z-1

h1 h2

z-1

h3h0

u[n]

hM-1

z-1

hM

y[n]

Slika 1.41 Blokdijagramza direktnu realizaciju FIR filtra

1.5.2.1 Transponovana struktura

Postupkom transponovanja izvorne strukture7 1"1* #% 4* *@#"8-#%-* . 1.5.1, dobija se transponovanastruktura FIR filtra.

Transponovana struktura @'&% 0%"+'


59/158

59

Sa Slike 1.42@ 3*F% 2% /'2"4'J

(1.163)

_%+"6'#" AK:K^OB 2% 3*F% /0%)24"$'4' @+*1 )'#">0"3*3 1"* -" ?+'6' 1.43, koji predstavlja transponovanustrukturu za FIR filtar drugog reda.

z-1z-1

h1 h0

h2

u[n]

y[n]

Slika 1.43 Blokdijagramtransponovanestruktureza FIR filtar drugog reda

Blok dijagram transponovane strukture za FIR filtar m-tog reda prikazan je na Slici 1.44

z-1z-1

hM-1 hM-2

z-1

hM-3hM

u[n]h1

z-1

h0

y[n]

Slika 1.44 Blokdijagramtransponovanestruktureza FIR filtar m-tog reda

1.

5.

2.

2 Struk ture

za FI R filtre

l ine

arne

faze

U literaturi [1] */'2"- #% -",'- *)"@'0" '3/.+2-*> *)


60/158

60

(1.163)

Z" 4'/*$% T ' TTT 3*Fe se pisati:

(1.164)

UvoC%-#%3smene :

u (1.164), sledi:

(1.165)

op:

(1.166)

Za Tip I v"Fi: , Mje paran, pa (1.166) postaje:

(1.167)

Za Tip III $"F': , M je paran i , pa (1.166) postaje:


61/158

61

(1.168)

Za Tip II $"F': , Mje neparan, pa (1.166) postaje:

(1.169)

Za Tip IV $"F': , Mje neparan, pa (1.166) postaje:

(1.170)

R)>*$"0"#.&% 240.14.0%za FIR filtre linearne fazne karakteristike, za parno i neparno M, prikazane su naSlici 1.45a i 1.45b, respektivno.

z-1z-1

h1 h2

h0

u[n]

hM/2-1

z-1

hM/2

y[n]

z-z- z-

a)

z-z-

h1 h2

h0

u[n]

h(M-3)/2

z-

h(M-1)/2

y[n]

z-z- z-z-1

b)

Slika 1.45 Struktureza FIR filtrel inearnefaznekarakteristike,a) za parno M i b) neparno M

1.5.2.3 K askadna realizaci ja F IR filtara

Kaskadna realizacija FIR filtara zahteva razbijanje transfer funkcije H[z] na sekcije drugog reda:

(1.171)


62/158

62

gde je Ms-"#$%&' 6%o@0*# 2")0F"- . .

R)>*$"0"#.&" 1"21")-" 240.14.0" 2" 0%)-*3 $%


63/158

63

1.5.3 Realizaci ja I IR filtara

Ulazno-izlazni model IIR filtra )"4 #% )'5%0%-6-*3 #%)-",'-*3 AK:K^ZB: H0'3%-*3 S 40"-25*03"6'#% -")'5%0%-6-. #%)-",'-. IIR filtra, dobija se njegova funkcija prenosa:

(1.174)

E.-16'#" /0%-*2" 2")0F' polinome po z-1 u brojiocu i imeniocu. Funkcija prenosa IIR filtra 3*F% 2%/0%)24"$'4' . 2+%)%&%3 *@+'1.:

(1.175)

gde je:

(1.176)

i

(1.777)

Nule funkcije prenosa IIR filtra nalaze se na osnovu (1.176), a polovi na osnovu (1.177).

!" *2-*$. AK:KWcB7 AK:KW^B ' AK:KWWB 3*F% 2% /0%)24"$'4' Direktna I realizacija IIR filtra. Blok dijagramDirektne I realizacije IIR filtra dat je na Slici 1.49.

Direktna I realizacija IIR filtra reda M zahteva Gk!kK 3-*F%-#", M+N sabiranja i M+N+1 memorijskihlokacija.


64/158

64

z-1

b0u[n]

b1

b2

z-1

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bM-1

bM

z-1

-a3

-aN-1

-aN

z-1

z-1

z-1

z-1

Slika 1.49 Direktna I realizacija IIR filtra

Kompaktnija realizaciona struktura dobija se ako se IIR filtar /0%)24"$' 2+%)%&'3 )'5%0%-6-'3#%)-",'-"3"J

(1.178)

(1.179)

AK:KWXB ' AK:KWYB


65/158

65

z-

b0u[n]

b1

b2

z-

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bM-1

bM

z-

-a3

-aN-1

-aN

w[n]

w[n-1]

w[n-2]

Slika 1.50 Direktna II realizacija IIR filtra

Nedostaci direktnih realizacija IIR filtra su:

! izuzetno su osetljive na promene koeficijenata

! -'2. /0%/*0.,+#'$% . /0"14',-'3 "/+'1"6'#"3" zbog efekata kvantizacija koeficijenata uaritmetici sa 1*-",-om ).F'-om 0%,'

Transponovana direktna II struktura za IIR filtar 3*F% 2% )*@'4' -" osnovu 2+%)%&'9 0%+"6'#"

(1.180)

(1.181)

Transponovana direktna II struktura za IIR filtar prikazana je na Slici 1.51.


66/158

66

z-

b0u[n]

b1

b2

z-1

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bN-1

bN

z-

-a3

-aN-1

-aN

w1

w2

Slika 1.

51 Transponovana direktna II struktura za IIR filtar

_")' '+.240"6'#% 0"


67/158

67

Direktna II realizacija za IIR filtar drugog reda je data na Slici 1.53.

z-1

u[n] b0

z-1

b1

b2

-a1

-a2

y[n]w[n]

w[n-1]

w[n-2]

Slika 1.53 Direktna II realizacija (kanoni'#& $+&8"


68/158

68

Kaskadna realizacija IIR filtara obavlja se razlaganjem funkcije prenosa H(zB -" 2%16'#% -'F%> 0%)"7 4#:polinomi u brojiocu i imeniocu 5.-16'#% /0%-*2" /0'1"


69/158

69

(1.191)

Struktura l-te serijske sekcije drugog reda data je na Slici 1.57

1

-al1

-al2

1

bl1

bl2z-1

z -1

ul[n] yl[n]

wl n

Slika 1.57 Struktura l-teseri jskesekcijedrugog reda

Za paralelnu realizaciju IIR filtara funkciju prenosa H(z) treba napisati u obliku :

(1.192)

i gde su polovi, a koeficijenti u razlaganju na parcijalne razlomke.

Blok dijagram paralelne realizacije IIR filtara ,ija je funkcija prenosa data sa (1.192) predstavljenje na Slici 1.58

u[n]C

H1(z)

H2(z)

HN(z)

+

+

+ y[n]

Slika 1.58 BlokdijagramparalelnerealizacijeIIR filtara

S" )"4. 240.14.0. 3*F% 2% /'2"4'J


70/158

70

(1.193)

Struktura l-te paralelne sekcije drugog reda data je na Slici 1.59.

1

-al1

-al2

bl1

bl0

z -1

z

-1

ul[n] yl[n]

wl[n]

Slika 1.59 Struktura l-teparalelnesekcijedrugog reda

?@A B$;$#("-#& =CB :&1#+&

R2-*$-' 0%8%41"24' 5'+4"0 A%->: Latticefilter) prikazan je na Slici 1.60. Opisan je refleksionimkoeficijentom(eng. reflection coefficient) i diferencnim#%)-",'-"3" 1*#% /*$%


71/158

71

Slika 1.60 U.)%2)& $+5+/#&./&struktura (re5+/#&./" ;"8/&$ -$2%7 $+1&)

Slika 1.614+5+/#&./" ;"8/&$ - tog reda

D%4"+#-'#' */'2 0%8%41"24'9 240.14.0" )"4 #% . 40%&%3 /*>+"$+#., gde se koriste u realizaciji optimalnihfiltara.

N DT?=_i`!T ?m;lL\!T SIGNALI IPROCESI

2.1 Klasifikaci ja signala

H0%3" 2$*#*# 24"4'24',1*# /0'0*)' 2'>-"+' 2% 3*>. /*)%+'4' -"


72/158

72

q )%4%03'-'24',1% 2'>-"+%

q

2+.,"#-% A-%)%4%03'-'24',1%7 24*9"24',1%B 2'>-"+%

D%4%03'-'24',1' 2'>-"+' 2% 3*>. #%)'-24$%-* */'2"4' 3"4%3"4',1'3 0%+"6'#"3" A/"0"3%40' 1*#' '9 *)0%C.#.poznati u svakom trenutku vremena).

?+.,"#-' 2'>-"+' /0%)24"$+#"#. 1+"2. 2'>-"+" 1*#" 2% ,%24* 20%&% . /0'0*)' 1"* ' . sistemima i koji se nemogu opis"4' 3"4%3"4',1'3 0%+"6'#"3" #%0 #% 2$"1" /*#%)'-",-" */2%0$"6'#" 4*> 2'>-"+" 0"-"+' */'2.#. /0%1* 2$*#'9 24"4'24',1'9 1"0"14%0'24'1"J 20%)-#% A*,%1'$"-%B7 $0%)-*24' '+' 3"4%3"4',1*>*,%1'$"-#"7 $"0'#"-2% A)'2/%0-"+" 2. /0*3%-+#'$% . $0%3%-.:

D@D E17'"42$ *+/%$24&.$

? 3"4%3"4',1*> 24"-*$'84", 2+.,"#-"7 '+' 24*9"24',1" /0*3%-+#'$" #% 4"1$" /0*3%-+#'$" 1*#" 3*F%poprimi4' 0"


73/158

73

Zakon raspodele verovatno&a slu,ajne promenljive predstavlja prikaz vrednosti promenljivih iodgovraju&ih verovatno&a , odnosno, verovatno&a da slu,ajna promenljiva uzima vrednost manju odnaziva se;()#:"3& $&.-%1+8+ 2+$%2&/)%D+ ili#(!(8&/"2)& $&.%1+8& 2+$%2&/)%D+6

(2.2)

gde je bilo kojirealni broj. Funkcija ima 2+%)%&" 2$*#24$"J

1. #% -%*/")"#.&" 5.-16'#" ako je2. i

3. je kontinualna na desno ako je za svako .

;3%24* 1.3.+"4'$-% 0"2/*)%+% $%0*$"4-*&% 2+.,"#-*> 2'>-"+" ,%24* 2% 1*0'24' '


74/158

74

Slika 2.14& 2'>-"+" #% 1*-24"-4-": l%24" *


75/158

75

(2.14)

!"#$%&. /0'3%-. . /0%)24"$+#"-#. 2+.,"#-'9 2'>-"+" '3" )0.>' 6%-40"+-' 3*3%-"4 1*ji predstavlja2&$"3&).( .8('&3)+ -$%!+)83"2+> Qamenom u (2.14) dobija se izraz za varijansu:

(2.15)

["0'#"-2" #% -%-%>"4'$"- @0*#: S" 24"4'24',1' -%


76/158

76

"1* 2. 2+.,"#-% /0*3%-+#'$% i kontinualne7 *)-*2-*7 "1* 2. 2+.,"#-% /0*3%-+#'$% i diskretne,kao:

(2.21)

D@F E17'"42& *+/0$-&

?+.,"#-' /0*6%2 /0%)24"$+#" /0*8'0%-#% /*#3" 2+.,"#-% /0*3%-+#'$% POQ: ?1./ .8('&3)"F ;()#:"3&(gde je ' ?$"1" '-)'$')."+-" 5.-16'#" '< 21./" 2+.,"#-'9 5.-16'#" #% '8&)ansambla.

L1* 2% 2+.,"#-' 2'>-"+' 3%0% . )'210%4-'3 $0%3%-21'3 40%-.6'3" , dobija sevremenski diskretni

.8('&3)" -$%:+.= .a0"5',1' /0'1"< $0%3%-21' )'210%4-*> 2+.,"#-*> /0ocesa dat je na slici 2.2.

Slika 2.

N H0'1"< $0%3%-21' )'210%4-*> 2+.,"#-*> /0*6%2"

Za fiksnu vrednost ,$0%3%-21' )'210%4"- 2+.,"#-' /0*6%2 /*24"#% 2+.,"#-" /0*3%-+#'$" 1*#" /0%)24"$+#"40%-.4-% $0%)-*24' 2$'9 ,+"-*$" "-2"3@+": S" 4"1$. promenljivu mogu se definisati ./&/"'#+karakteristikeprvog i drugog reda.

?4"4',1% 1"0"14%0'24'1% /0$*> 0%)" 2. $&.-%1+8& 2+$%2&/)%D+ "7(./")& 2+$%2&/)%D+ 1".#$+/)%7 .8('&3)%7procesa, definisane sa:


77/158

77

(2.22)

(2.23)

?0%)-#" $0%)-*24 2+.,"#-*> /0*6%2"7 /0%3" AN:KZB #%J

(2.24)

V&$"3&).& .8('&3)%7 -$%:+.&je definisana izrazom:

(2.25)

Prema (2.7) i (2.8) mogu se definisati*> 0%)" 2" 24"-*$'84" *@0")% 2'>-"+" #% autokorelaciona;()#:"3& .8('&3)%7 -$%:+.&, definisana kao:

(2.28)

Autokorelaciona funkcija p0%)24"$+#" 3%0. *$*0-'7 ".)'* ' $')%* 2'>-"+': #%7 . 2.84'-'7 20%)-#" 2-">"2+.,"#-*> 2'>-"+" .

9+?(#%$+8&:"3& ili #$%.#%$+8&:"3& 12& .8('&3)& -$%:+.% 3%0"


78/158

78

(2.29)

0(/%#%2&$"3&).& .8('&3)%7 -$%:+.& )%5'-'8% 2% 1"*J

(2.30)

dok je #$%.#%2&$"3&).& 12& .8('&3)& -rocesa data kao:

(2.31)

S" 2+.,"#-' /0*6%2 -.+4% 20%)-#% $0%)-*24' A%->+: '#' 2" AN:YB7 .2+*$ )" )$" 2+.,"#-" /0*6%2" @.). 24"4'24',1' -%-"+' -'2. -.F-* -%1*0%+'2"-'7 -%1*0%+'2"-' 2+.,"#-' 2'>-"+' -ulte srednje vrednosti suortogonalni.

Za ./$"#/)% ./&:"%)&$)+ .8('&3)+ -$%:+.+ 24"4',1% 1"0"14%0'24'1% /0$*> 0%)" 2. -% /0*6%2"7 4"1*C%7 ,+"-" "-2"3@+" '24% 1"* /0*6%2" 1*-24"-4-" 'vremensko usre)-#"$"-#% /* ,+"-. "-2"3@+" '3" '24. $0%)-*24 1"* ' 20%)-#" $0%)-*24 6%+*> "-2"3@+" POQ.


79/158

79

D@G E*$(#"+ -17'"42&8 -&32"1"

?4"6'*-"0-' 2+.,"#-' /0*6%2#% 2'>-"+ ,'#" #% %-%0>'#" @%21*-",-"7 /" 2% E.0'#%*$" ' .24'-" 2-">% /*1" 2'>-"+" -" 0"-"+" )*@'#" 2% '< AN:O]B -"+ ,'#" #% 2/%140"+-" >.24'-" 2-">% 1*-24"-4-" -" 2$'3 .,%24"-*24'3" -"%: ?'>-"+ )'210%4-*> @%+*> 8.3" ' -#%>*$"spektralna gustina snage prikazani su na Slici 2.3.


80/158

80

R8"#& S>` E".#$+/)" H+8" 5(!6 &B &(/%#%$+8&:"%)& ;()#:"3& HBspektralna gustina snage

Termin H+8" 5(! 2% 1*0'24' . 23'2+. )" #% -" 2$'3 50%1$%-6'#"3" 0"2/*)%+" 2-">% *$"1$*> 2+.,"#-*>signala 0"$-*3%0-"7 1"* . 2+.,"#. @%+% 2$%4+*24' 1*#" 2% )*@'#" 3%8"-#%3 2$'9 3*>.&'9 @*#" . '24*#1*+','-' A0"$-*3%0-*B PYQ:

Diskretni b%+' 8.3 #% 2+.,"#"- /0*6%2 24acionar"- . 8'0%3 23'2+. ,'#" #% srednja vrednost jednaka nuli.R$"1"$ 2+.,"#-' /0*6%2 #% /*4/.-* -%1*0%+'2"- ' 1"* 4"1"$ 2% -% 3*F% 0%"+'


81/158

81

(2.40)

H*84* #%

(2.41)

sledi da je:

(2.42)

!" *2-*$. AN:]NB #% *,'>+%)-* )" &% 20%)-#" $0%)-*24 ' 24"6'*-"0-*>sistem" 1*#' 2% /*@.C.#% 2+.,"#-'3 2'>-"+*3 -.+4% 20%)-#% $0%)-*24' @'4' #%)-"1" -.+':

Autokorelaciona funkcija izlaznog signala diskretnog linearnog stacionarnog sistema je:

(2.43)

Ako je ulazni signal diskretnog linearnog stacionarnog sist%3" )'210%4-' @%+' 8.37 -" *2-*$. AN:O^B '

(2.43), autokorelaciona funkcija izlaznog signala je:

(2.44)


82/158

82

Na osnovu Parsevalove teoreme srednja snaga izlaznog signala je:

(2.45)

Spektralna gustina snage izlaznog signala je na osnovu (2.33) i (2.43):

(2.46)

Smenom u (2.46) dobija se da je z-transformacija izlaznog signala:

(2.47)

Diskretni linearni stacionarni sistem koji se pobuC.#% 2'>-"+*3 )'210%4-*> @%+*> 8.3"7 3*Femoposmatrati kao +'-%"0-' 1".-"+ -" '*$*3 '


83/158

83

R8"#& S>A K"8/+$ ' -" 0%6'/0*,-*# +*1"6'#'Autokorelacija signala se moF% -"&' '< . Razlaganjem na parcijalne razlomke dobija se :

(P2.3)

(P2.4)

!"+"F%-#%3 '-$%0-"+" -% 3*>. 2% ' 2'>-"+" -'#% 1*-",-": T< 4*> 0"" 2% . 2/%140"+-*# "-"+'.24'-" 2-">% 2+.,"#-*> 2'>-"+" 1*#" /0%)24"$+#" $"F-.1"0"14%0'24'1. . 2/%140"+-*# "-"+'-"+" -" *2-*$. /*23"40"-#" 2'>-"+" . 1*-",-*3 $0%3%-21*3 /%0'*).: ="ko se analizira, dakle,2"3* 1*-",-" ).F'-" 2'>-"+"7 . 2/%140"+-*# "-"+'


84/158

84

signala. D.F'-"analizirane 1*-",-% 2%1$%-6% .4',% -" '-"+" 3*F% 2% $08'4' /*3*&. /%0'*)*>0"3" 1*#' 2% )*@'#" /0'3%-*3D'210%4-% E.0'#%*$% 40"-25*03"6'#% -" ".4*1*0%+"6'*-. 5.-16'#. 2+.,"#-*> 2'>-"+": H*@*+#8"-#% /0*6%-%

spektra u odnosu na periodogram dobijaju se primenom sl*F%-'#'9 3%4*)"J -%/"0"3%4"021'9 A1+"2',-'9B '/"0"3%4"021'9 A3*)%0-'9B 3%4*)": H"0"3%4"021' 3%4*)' /0*6%2" #% $%*3" $"F-* . /0*6%-' A%24'3"6'#'B 2/%140" #%0>.24'-" 2/%140" 2-">% 2")0F' '-5*03"6'#. * 240.14.0' 2+.,"#-*> /0*6%2" 1*#" 2% 1"* 4"1$" 1*0'24' .0"Bsignala.

="* 84* #% $%& 0%,%-*7 2/%14"0 2-">% 2+.,"#-*> /0*6%2" #% 24"6'*-"0-' 2+.,"#-' /0*6%2 . 8'0%3smislu kojise dobija Fourierovom transformacijom autokorelacione funkcije: H*84* #% ".4*1*0%+"6'*-" 5.-16'#"2+.,"#-*> /0*6%2" >%-%0"+-* -%/**)',-*> /0*6%2" sa@%21*-",-im brojem zapisa - merenja7 4%*0%421' 2% 3*F% *)0%)'4' na osnovu njenesrednje vrednosti vremenu:

(2.48)

G%C.4'37 1"1* sekvenca 2+.,"#-*> 2'>-"+" -% 3*F% @'4' '


85/158

85

(2.50) se *)-*2' -" '-"+" , *)-*2-* -" *2-*$. $0%)-*24' -#%>*$'9 *)3%0"1" -" 1*-",-*3intervalu.!%1" #% 2+.,"#-' 2'>-"+ definisan kao:

(2.51)

=*0'8&%-#%3(2.51) procena autokorelacione funkcije (2.49) 3*Fe se napisati kao:

(2.52)

gde je na desnoj strani izraza (2.52) operator konvolucije, a konjugovano-kompleksna vrednost

za : =*-$*+.6'#' )$" )'210%4-" 2'>-"+" . )*3%-. .,%24"-*24' *)>*$"0" /0*' 2'>-"+" , kada broj elemenata u zap'2. 0"24%: G%C.4'37 40%@" @'4' /*2%@-* */0%%-6'#% /%0'*)*>0"3" @.).&' )" #% /%0'*)*>0"3 5.-16'#" 2+.,"#-'9 /0*3%-+#'$'9

.?4*>" #% /*40%@-* 1*-$%0>%-6'#. *)0%C'$"4' . 24"4'24',1*3 23'2+.7 4# $')%4' 9*&% +' '+' -%&%biti ispunjeno:

(2.54)

Da bi periodogram bio srednje-kvadratno konvergentan (2.54), potrebno je da bude asimptotskinepristrasan (eng.asymptotically unbiased):

(2.55)

pa varijansa periodograma treba da 4%F' -.+' 1") ).F'-"


86/158

86

(2.56)

S" '


87/158

87

Procena periodograma u )'210%4-'9 4","1"-" 50%1$%-66'#21*# *2'7 7 3*F% 2% ' 2'>-"+",/" #% '-"+" 2 @%+'3 8.3*3


88/158

88

Slika P2.2. Srednja vrednost periodograma za N=64

Slika P2.O: H%0'*)*>0"3 2'-.2-*> 2'>-"+" 2 @%+'3 8.3*3


89/158

89

Slika P2.4. Srednja vrednost periodograma za N=256

G*F% 2% /rimetiti da svi periodogrami imaju maksimum oko , sa vrlo malom razlikom odjednog periodograma do drugog. Na slikamaP2. 2 i P2.4 prikazana je srednja vrednost svih 50

periodograma. G*F% 2% .*,'4' )" 2" /*$%&"njem broja odmeraka sekvence 2+.,"#-*> 2'>-"+" , sa

na , periodogram postaje verniji prikaz spektra snage sinusnog signala. Idealan prikazbio bi samo jedan impuls na frekvenciji .

2.6.1.2 R ezoluci ja periodograma

\*8 #%)"- $0+* $"F"- /"0"3%4"0 /%0'*)*>0"3" #% -#%>*$" frekvencijska rezolucij a. f.).&' )" 2% 8'0'-">+"$-*> 9"03*-'1" /%0'*)*>0"3" 8'0' 1"1* 2% @0*# odmeraka smanjuje (Primer 2.2), .&' 0"-"+" 2"24"$+#%-*> *) )$% 2'-.2*')%3%C.2*@-* @+'21'9 50%1$%-6'#", kao u narednom primeru.


90/158

90

Primer 2.3Neka je 2+.,"#-' 2'>-"+J

(P2.10)

gde su , i .Faze sinusoida, i 7 2. -%-"+"7/" #% '0"3 -"+" 2 @%+'3 8.3*3


91/158

91

Slika P2.6. Srednje vrednosti periodograma dva sinusna signala za N=40

Slika P2.W: H%0'*)*>0"3 N 2'-.2-" 2'>-"+" 2 @%+'3 8.3*3


92/158

92

Slika P2.8. Srednje vrednosti periodograma dva sinusna signala za N=64

2.6.1.3 Varijansa periodograma

Da bi periodogram bio asimptotski nepristrana estimacija spektra snage, tj. njegova dosledna estimacija,/*40%@-* #% )" $"0'#"-2" /%0'*)*>0"3" 4%F' -.+' 1")a@0*# *)3%0"1" 2+.,"#-*> 2'>-"+" (broj zapisa), naosnovu kojiih se procenjuje spektar snage, 4%F' . @%21*-",-*24(2.49). Odrediti varijansu periodograma je$0+* 1*3/+'1*$"-*7 @.).&' )" $"0'#"-2" /0*6%2" ,%4$04*> 0%)": !" /0'3%07"1* #% 2+.,"#-' /0*6%2 ,'#'se spektar snage estimira, beli Gaussov 8.37 3*F% 2% /*1" /0*6%2": Varijansa7 *,'>+%)-* -% 4%F' . -.+. 1") 4%F' . @%21*-",-*24 'prema tome periodogram nije dosledna estimacija spektra snage. Kako je gustina spektra snage beloga".22*$*> 8.3a jednaka 7 $"0'#"-2" /%0'*)*>0"3" @%+*> a".22*$*> 8.3" #%

proporcionalna kvadratu gustine spektra snage, tj:

(2.65)


93/158

93

Primer2.4

Neka je 2+.,"#-' /0*6%2 @%+' a".22*$ 8.31sa . Prema (2.65) varijansa periodograma*$*> 2+.,"#-*> /0*6%2" #%J

(P2.11)

SlikaP2. Y: H%0'*)*>0"3 @%+*> a".22*$*> 8.3"


94/158

94

Slika P2.KZ: ?0%)-#" $0%)-*24 /%0'*)*>0"3" @%+*> a".22*$*> 8.3" a".22*$*> 8.3"


95/158

95

Slika P2.KN: ?0%)-#" $0%)-*24 /%0'*)*>0"3" @%+*> a".22*$*> 8.3" -"+. ,'#" #% 2/%14"0 1*-24"-4"- A0"$"-B -" 2$'3 .,%24"-*24'3": s4"$'8%7 $%+','-"5+.14."6'#" 2/%140" 2% -% 23"-#.#% 2" /*$%&"-#%3 ).Fine sekvence N. Fluktuacije periodograma u24"4'24',1*3 23'2+. */'2.#% 20%)-#" $0%)-*247 $"0'#"-2" ' 20%)-#" 1$")0"4-" $0%)-*24: G")" 20%)-#"$0%)-*24 4%F' 1" 24$"0-*# 20%)-#*# $0%)-*24' 2'>-"+"7 24"-)"0)-" )%$'#"6'#" 2% -% 23"-#.#% 1")" , na

*2-*$. ,%>" 2% 3*F% 0"3": ; 4*3 6'+#. se na periodogram ili".4*1*0%+"6'*-. 5.-16'#. /0'3%-#.#. */%0"6'#% .20%)-#"$"-#" '+' .*@+',"$"-#"7 4"1* )" 2% )*@'#%konzistentna procena gustine spektra snage.

Nadalje su o/'2"-% 40' -%/"0"3%4"021% 3%4*)%


96/158

96

Estimacija 2/%140" 2-">% 2+.,"#-*> 2'>-"+" 3*F% 2% dobiti usrednjavanjemperiodograma. Neka suza 3%C.2*@-* -%


97/158

97

Sada se mogu proceniti 24"4'24',1% osobine usrednjenog periodograma7 *)-*2-*7 3*>.&-*24' f"04%+44-ove3%4*)%: R,%1'$"-" $0%)-*24 f"04+%44-ovog usrednjenog periodograma je:

(2.72)

f.).&' )" 2. +.1" . 2/%140. /0*


98/158

98

Slika P2. 13. Bartlett-*$" %24'3"6'#" 2/%140" 2-">% @%+*> 8.3"


99/158

99

Slika P2.15. Bartlett-*$" %24'3"6'#" 2/%140" 2-">% @%+*> 8.3" 0"3" @%+*> 8.3" se, dakle, smanjuje puta u odnosu na varijansuperodograma.


100/158

100

2.6.2.2 Welch-ova metoda: usrednjavanjemodifi kovanog periodograma

a*)'-% KY^W: j%+69 #% /0%)+*F'* )$% /0*3%-% f"04+%44-*$% 3%4*)%: H0$" #% )*/.84"-#% 2%1$%-6' )" 2%/0%1+"/"#.7 " )0.>" #% 1*0'84%-#% 0"+"-#"VB 3*)'5'1*$"-*> /%0'*)*>0"3" %5'1"2-* 2% 3*F% '3/+%3%-4'0"4'

1*0'8&%-#%3 DE` % -" )'210%4-'3 50%1$%-6'#"3"

.

L1* 2% 2$"1" 2%1$%-6" /*)"4"1" AN:WcB /*3-*F' /0*% 0",.-" 2% 1"*J


101/158

101

(2.80)

?+'1*$'4 /0'1"< 0",.-"-#" .20%)-#%-*> 3*)'5'1*$"-*> /%0'*)*>0"3" j%+69-ovom metodom data je naslici 2.5.

Srednja vrednost Welch-ove estimacije iznosi:

(2.81)

gde je Fourirerova transformacija prozora ).F'-% , je operator frekvencijskekonvolucije, a je normalizacioni faktor dat sa:

(2.82)

Slika 2.5 Slikovitprikaz Welch-Bartlett-ovog metoda


102/158

102

Varijansu periodograma #% $0+* 4%81* '% 2+.,"#-*> /0*6%2"

Slika P2.17. Welch-*$" %24'3"6'#" 2/%140" 2-">% 2+.,"#-*> 2'>-"+" 2"24"$+#%-*> *) )$" 2'-.2-" 2'>-"+" sabelim 8.3om za N=512, L=128 i 50% preklapanja


103/158

103

Slika P2.18. Srednja vrednost Welch-ove estimacije 2/%140" 2-">% 2+.,"#-*> 2'>-"+" 2"24"$+#%-*> *) )$"sinusna signala sa belim 8.3om za N=512, L=128 i 50% preklapanja

R$"# /0'3%0 /*1".&-*24' j%+69-ove metode estimacije spektra snage. G*F% 2% .*,'4'da su kodWelch-ove metode sporedni harmonici manje amplitude nego kod Bartlett-ove metode jer je varijansa

manja. Amplituda glavnih harmonika i rezolucija ostale su nepromenjene u odnosu na Bartlett-ovu

metodu.

2.6.2.3 Blackman-Tukey-$." %$#/,"K 7/J1&'".an jem periodograma

Bartlett-ova i Welch-ova metoda dizajnirane su da smanje varijansu usrednjavanjem periodograma.Blackman-Tukey-%$" 3%4*)" 23"-#.#% $"0'#"-2. /%0'*)*>0"3" A/*@*+#8"$" /0*6%-. >.24'-% 2/%140"2-">%B .*@+',"$"-#%3 A%->+: 23**49'->B /%0'*)*>0"3"7 *)-*2-* .*@+',"$"-#%3 ".4*1*0%+"6'*-% 5.-16'#%/*3*&. /0*


104/158

104

Blackman-Tukey-eva .*@+',"$"-#" /%0'*)*>0"3" u frekvencijskom domen. 2% 3*F% /0%)24"$'4'/%0'*)',-*3 1*-$*+.6'#*3 PG"-*+"1'2Q

(2.86)

;*@+',"$"-#% /%0'*)*>0"3" 6'1+',-*3 1*-$*+.6'#*3 AO:KXB %1$'$"+%-4-* #%7 -" *2-*$. 1*-$*+.6'*-%4%*0%3%7 3-*F%-#. /0*6%-% ".4*1*0%+"6'*-% 5.-16'#% 2" /0*% 1*0'8&%-#%3.*@+',"$"-#" #%)-*> /%0'*)*>0"3" )"4 #% -" 2+'6' N:^


105/158

105

Slika 2.6 Slikovitprikaz Blackman-Tukey-evemetode

Za analizu kvaliteta Blackman-Tukey-%$% 3%4*)% /*2-"40"&%3* /0'240"snost i varijansu. Rezolucija zavisiod izbora prozora.

Pristras-*24 2% 3*F% '+"$-' +'24: ;< /0%4/*24"$1. )" #%/%0'*)*>0"3 1*-24"-4"- ).F >+"$-*> +'24"7 AN:XYB /*24"#%J

(2.90)

Procena spektra snage @'&% "2'3/4*421' -epristrasna ako je:

(2.91)G*F% 2% /*1"


106/158

106

(2.92)

gde je .

2.

6.

3 Parameta rskemetodep rocenespektra

Da bi se dobila dobra frekvencijska rezolucija . /0*6%-' 2/%140" 2-">% 1*0'8&%-#%3 neparametarskihmetoda7 /*40%@-* #% "-"+'",1% 2%1$%-6% /*)"4"1": P*2+%)'6" 1*0'8&%-#" 1*-",-'9 2%1$%-6'

podataka je 6.0%-#% 2/%140"7 1*#% 3*F% *-%3*>.&'4' *410'$"-#% 2+"@'9 2'>-"+":

Kod neparametarskih metoda koriste se dve pretpostavke 1*#%7 -" F"+*247 . 24$"0-*24' -'2. " 2% /"0"3%4"021'3 3%4*)"3" )*@'#" @*+#" 50%1$%-6'#21" 0%


107/158

107

gde je ulazna sekvenca podataka.

!"F"+*247 . /0*6%-' 2/%140"7 .+"procesa je:

(2.95)

gde je gustina spektra snage ulazne sekvence, a frekvencijska karakteristika modela

diskretnog linearnog sistema.

; 6'+#. *)0%C'$"-#" >.24'-% 2/%140" 2-">% , pogodno je pretpostaviti da ulazna sekvenca, ,/0%)24"$+#" @%+' 8.3 -.+4% 20%)-#% $0%)-*24'7 ,'#" #% ".4*1*0%+"6'*-" 5.-16'#"na osnovu (2.36) :

(2.96)

gde je $"0'#"-2" .+" @%+*> 8.3": Spektralna gustina snage 2'>-"+" @%+*> 8.3" #% 1*-24"-4-" '

iznosi , pa je spektralna gustina snage 2+.,"#-%sekvence na izlazu sistema:

(2.97)

Modelovanje signala na opisan' -",'-#% 3*>.&% "1* 2/%140"lna gustina snage posmatranog signalazadovoljava uslov:

(2.98)

Dakle, postupak procene spektra modelovanjem signala sastoji se iz dva koraka. U prvom koraku se na

*2-*$. /*23"40"-% 2%1$%-6% $08' /0*6%-" /"0"3%4"0" i , a zatim se, na osnovu (2.97B7 '


108/158

108

R8"#& S>a b8%# 1"3&7$&! 90= 04 " 0490 .8('&3)%7 -$%:+.& G. 8+2& )& 1+.)%B

; 2+.,"#. GL /0*6%2" )'>'4"+-' 5'+4"0 '3" 5.-16'#. /0%-*2" , koja ima samo nule (engl. all-'4"+-' 5'+4"0 '3" 5.-16'#. /0%-*2" , koja ima samo

polove (engl. all -/*+% 5'+4%0B: ; 2+.,"#. L_GL /0*6%2" )'>'4"+-' 5'+4"0 '3" 5.-16'#. /0%-*2", pa ima i polove i nule.

H0*6%2 3*)%+*$"-#" 2'>-"+" -% )"#% #%)-* 2'>-"+": S@*> 4*>"#% '-4%0%2"-4-* '2/'4"4' $%


109/158

109

(2.102)

,'#' 2e koeficijenti/* "-"+*>'#' 2" AN:YYB ' B N:KZZB 3*>. '


110/158

110

(2.107)

tj.

(2.108)

Zamenom (2.108) u (2.106) dobija se:

(2.109)

Jednakost (2.109) se primenjuje generalno na ARMA proces.Iz jednakosti (2.109) mogu se odrediti

parametri modela 7 /*23"40"-#%3 2+.,"#" . Koeficijenti polinoma u imeniocu tada predstavljaju0%8%-#% 2'24%3" +'-%"0-'9 #%)-",'-"J

(2.110)

gde se umesto autokorelacionih sekvenci za koriste njihove procene.

Dakle, vrednosti autokorelacione sekvence za #%)'-24$%-* 2. *)0%C%-% koeficijentima1*#' )%5'-'8. /*love funkcije prenosa sistema i vrednostima autokorelacione sekvence

. Linearni model sistema automatski ekstrapolira autokorelacionu sekvencu za .

Ako se koeficijenti *)0%)% 0%8"$"-#%3 2'24%3" #%)-",'-" A2.110B7 /*40%@-* #% 0%8'4' /0*@+%3*)0%C'$"-#" koeficijenata .1*#' )%5'-'8. -.+% 5.-16'#% /0%-*2" 2'24%3": T< #%)-",'-% A2.109B7 4"1*C%sledi:

(2.111)

odnosno, nepoznati koeficijenti zavise od impulsnog odziva, , koji, 4"1*C%, zavisi od koeficijenata: D"1+%7 2'24%3 #%)-",'-" '< 1*>" 40%ba odrediti nepoznate parametre je nelinearan.


111/158

111

Zamenom u (2.109), dobija se veza autokrelacione sekvence i parametara

MA(q) modela u obliku:

(2.112)

Model AR(p) procesa 3*F% 2% )*@'4' i< */84% #%)-",'-% L_GLA/7vB 3*)%+" A2.109), zamenom .

(2.113)

*)-*2-*7 /"0"3%40' L_ 3*)%+" 2% *)0%C.#. 0%8"$"-#%3 2'24%3" +'-%"0-'9 #%)-",'-" 1*#' #% /*


112/158

112

3 OPTIMALNO FILTRIRANJE

; 3-*>'3 /0"14',-'3 '-F%-#%021'3 "/+'1"6'#"3" /*40%@-* #% /0*#%14*$"4' 2'24%3 A5'+4"0B 1*#' &% ' 2'>-"+"7 1*#' 2% 2"24*#' *) 1*0'2-*> AF%+#%-*>B 2'>-"+" 1*3% #% 2./%0/*-'0"-" ")'4'$-" 8.3-"sekvenca 7 /*4'2-.4' 4. 8.3-. 2%1$%-6.:

H0*#%14*$"-#% */4'3"+-*> 5'+40" /*)0"-"+" '+' F%+#%-*> *)*0*$ AKY]KB ' ['-%0 Aj'%-%07 KY]NB7 /0$' )"$8' 0%8%-#% 5'+40'0"-#" . 1*-4'-."+-*3 )*3%-. )*8"* )* $%& ,.$%-'9 Viner J H%-;%2"F ")/+7$&8)"F 3+1)&'")&. Za)'210%4-' )*3%- %1$'$"+%-4 *$'3 #%)-",'-"3" 2. )%$!&8)+ 3+1)&'")+> R@" 0%8%-#"7 ['-%0 I Hopfove

je)-",'-" ' -*03"+-'9 #%)-",'-"7 *@.9$"&%-" 2. ['-%0*$'3 5'+40*3:

S"$'2-* *) *)-*2" F%+#%-*> 2'>-"+" ' 2'>-"+" -" '


113/158

113

Kao 8to je prikazano na slici 3.1, informacija ili koristan signal, , je kontaminiran aditivnim8.3*37 , pa je izmereni signal (opservacija) /0*/.84%- 10*< +'-%"0"- 24"6'*-"0"-2'24%3 A5'+4"0B7 1*#' -" 2$*3 '-"+" >0%81% : w%+#%-' *)-"+"7 7 10*< ')%"+"- AF%+#%-'B 2'24%3:Signali , i 7 2. 24"6'*-"0-' 2+.,"#-' /0*6%2' A24"4'24',1% *2*@'-% '3 2% -% 3%-#"#. 2" $0%3%-*3Bnultih srednjih vrednosti, sa zadatim spektralnim gustinama snage i , respektivno.

Sam filtar je modelovan funkcijom prenosa , pa je izlazni signal filtra u kompleksnom sdomenu dat

sa . Funkcija prenosa referentnog sistema je ' *@',-* 2% .2$"#" )" #% ,4"1* )" #% 0%5%0%-4-' AF%+#%-'B *)-"+. . Problemoptimalne estimacije se svodi na zadatak izbora funkcije prenosa filtra tako da je odziv filtra

"najbolja" (optimalna) procena, u smislu nekog usvojenog kriterijuma, referentnog odziva . Kao

10'4%0'#.3 */4'3"+-*24' ['-%0 #% .2$*#'* 20%)-#. '+' *,%1'$"-. $0%)-*24 1$")0"4" 2'>-"+" >0%81% A%->:Mean SquareErrorili MSEkriterijum) [10] :

(3.1)

="1* #% 2'>-"+ >0%81% -.+4% 20%)-#% $0%)-*24'7 4#: 7 '.24'-" 2-">% 2+.,"#-*> 2'>-"+" >0%81% , tj. .

H0%5*03.+'2"-#% */4'3'% >0%81%7 7 *)-*2-* 24"6'*-"0-*24 2+.,"#-'9 2'>-"+": H*84* #%7 -"

osnovu slike 3.1 , primenom Laplasove transformacije na ovu relaciju dobija se :

(3.3)

gde su

(3.4)

(3.5)


114/158

114

Zamenom (3.4) i (3.5) u (3.3), dobija se:

(3.6)

H*84* #% -" *2-*$. )%5'-'6'*-*> *@0"26" .24'-. 2-">%

(3.7)

0",.-"7 *@%+%F'3* 2" 40"F%-. */4'3"+-. 5.-16'#.

prenosa, sa proizvoljnu fiksnu funkciju prenosa, a sa 21"+"0-' /"0"3%4"07 ,'#" 2% $0%)-*24 3*F%

podesiti, gde je : `")" &% MS

E-kriterijum u funkciji parametra 7 "


115/158

115

( 3.12)

pa se prva relacija u (3.10) (potreban uslov minimuma kriterijuma) svodi na:

(3.13)

Slika 3.2 MSE-kriterijumu funkciji parametra za fiksnevrednosti parametra

;0"+' . AO:KOB ')%-4',-'7 /" 2% AO:KOB 2$*)' -" .2+*$J

(3.14)

R,'>+%)-* #% )" &% AO:K]B @'4' '2/.-#%-*


116/158

116

(3.15)

D*@'#%-* 0%8%-#% -"'3 0%,'ma, svi polovi ovih kompleksnih funkcija moraju da se nalaze u levoj

poluravni s-ravni.

Dakle, zadatak se svodi na izbor funkcije prenosa 1*#" &% *0'4"3":

;$084"$"-#%3 AO:KWB . AO:K]B7 )*@'#" 2%

(3.18)

?+%)%&' 1*0"1 #% )" 2% ,+"- 0"


117/158

117

(3.19)

gde racionalna funkcija 2")0F' /"06'#"+-% 5"14*0% 1*#' /*4',. *) /*+*$" . +%$*# /*+.0"$-' 2-ravni, dokracionalna funkcija 2")0F' ,+"-*$% 1*#' /*4',. *) /*+*$" . )%2-*# /*+.0"$-' 2-ravni. Funkcija

prenosa 3*F% 2% *)0%)'4' ' 1"* m"/+"2*$" 40"-25*03"6'#" )%+" '3/.+2-*> *)*3 @%21*-",-*> /*+./0%,-'1"7 4"1* )" 2% )*@'#%zatvorena kontura C koja obuhvata celokupnu levu poluravan s-ravni (integral po polukrugu jednak je

-.+'7 /*84* na polukrugu argument , a kod racionalne funkcije pod integralom red polinoma u@0*#'*6. #% -'F' *) 0%)" /*+'-*3" . '3%-'*6.7 /" #% '-4%>0"+ /*


118/158

118

odnosno

(3.25)

; 2+.,"#. )" 2'>-"+ ' 8.3 nisu nekorelisani (kros-spektralna gustina snage

i ), optimalni Vinerov filtar definisan je

funkcijom prenosa

(3.26)

gde je

(3.27)

dok je

(3.28)

_%+"6'#" AO:N^B )%5'-'8% funkciju prenosa optimalnog analognog Vinerovog filtra.

3.

1.

1 FIR Vinerov filtar

H0*@+%3 */4'3"+-*> 5'+40'0"-#" . )'210%4-*3 )*3%-. 3*F% 2% /0%)24"$'4' @+*1 8%3*3 1"* -" ?+'6' O:O:

Slika 3.3 Blok5ema Vinerovog filtra u diskretnomdomenu


119/158

119

Struktura )'>'4"+-*> ET_ ['-%0*$*> 5'+40" 3*F% 2% /0%)24"$'4' . $'). )'0%14-% '+' 40"-2$%0-"+" >0%81%A210"&%-* G?iB: `0%@"7 )"1+%7 *)"@0"4' 1*%5'6'#%-4% 5'+40" 4"1* )" 2% 3'-'3'


120/158

120

?0%)-#" $0%)-*24 1$")0"4" >0%81% #% 0%"+-" ' /*+%). 20%)-#% $0%)-*24' 1$")0"4" >0%81%:

L1* 2% 1*0'24' 3"40',-" -*4"6'#"7 3*F% 2% /'2"4'J

(3.32)

(3.33)

Izlazni signal iz filtra u trenutku n s% 3*F% '


121/158

121

1.

Srednja vrednost #% #%)-"1" $"0'#"-2' F%+#%-*> *)*0% '


122/158


123/158

123

(3.47)

T3"#.&' . $'). >*0-#% 40' 0%+"6'#%7 1"* ' )" #% konstanta, gradijentni vektor koji vodi ka minimumu/*$08'-% 0%"+''4"+-% *@0")% 2'>-"+" 1*#" '3" 3-*>% /0"14',-% /0'3%-%: Predikcija#% /0%)$'C"-#% $0%)-*24' -"0%)-'9 A@.).&'9B $0%)-*24' 24"6'*-"0-*> 2+.,"#-*> /0*6%2" -" *2-*$.


124/158

124

vrednosti prethodnih sl.,"#-'9 *)3%0"1" 2+.,"#-*> /0*6%2" A/0*3%-+#'$%B: m'-%"0-" /0%)'16'#"/*)0" /0*6%2" . 40%-.41. n na osnovu linearne kombinacije odmeraka2+.,"#-*> /0*6%2" . /0%49*)-'3 )'210%4-'3 $0%3%-21'3 40%-.6'3": R$" */%0"6'#" *)>*$"0" /0%)'kcijiodmerka na osnovu vrednosti odmerka 84* #%3+1)%#%$&')& -$+1"#:"3& ()&-$+1 ,a sistemkojim to ostvaruje je 3+1)%#%$&')" 8")+&$)" -$+1"#/%$ ()&-$+1(engl one-step forward linear prediktor).f+*1 8%3" *$*> 2'24%3" )"4" #% -" 2+'6' O:^

R8"#& >T b8%# 5+!& 3+1)%#%$&')%7 8")+&$)%7 -$+1"#/%$& ()&-$+1

Izlaz iz#%)-*1*0",-*> +'-%"0-*> /0%)'14*0" .-"/0%) #%J

(3.53)

>)% 4%F'-21' 1*%5'6'#%-4' u linearnoj kombinaciji na desnoj strani realacije (3.53) predstavljaju

predikcione koeficijente. _"


125/158

125

Slika 3.6K"8/&$ -$+1"#:"%)+ 7$+5#+

D0.>" 3*>.&" 0%"+'*> 0%)" A ) na osnovu direktne realizacione forme FIR filtra date sa (3.54),>0%81" /0%)'16'#% #%J


126/158

126

(3.57)

i koja 2% 3*F% )*@'4' -" '


127/158

127

T3"#.&' . $'). ')%-4',-*24 )$% 5*03% 5'+40" /0%)'14*0" '0%81% AG?iB +'-%"0-*> /0%)'14*0" .-"/0%) #%J

(3.65)

gde *


128/158

128

c")+&$)" 3+1)%#%$&')" -$+1"#/%$ ()& 2+.,"#-*>procesa /0%)$')%4' $0%)-*24 2+.,"#-*> /*)"41" . Prediktovanavrednost ovog podatka je:

(3.68)

a-$+1"#:"%)& 7$+5#& ()&0%81" .-"0%81" .-"


129/158

129

3.2.2 Opis+$;$#("-#/3 *+$,&(#/+" 7 6-domenu

Primenom z-transformacije na (3.69) dobija se:

(3.74)

ili

(3.75)

gde predstavlja funkciju prediktorskog sistema realizovanog u formi FIR filtra sa koeficijentima.

H*84* #% , (3.73) se u z-)*3%-. 3*F% -"/'2"4' ' . 5*03'J

(3.76)

!" *2-*$. AO:W^B 2% 3*F%


130/158

130

(3.78)

!" *2-*$. AO:WXB 3*>.&% #%7 )"1+%7 )*@'4' 1*%5'6'#%-4% )'0%14-% 0%"+'0%81% .-"/0%) )"4% 0%+"6'#*3 AO:^KB7 . *)-*2. -" 0%5+%16'*-% 1*%5'6'#%-4%/0%)'14*0" 0%8%41"24% 240.14.0%7 )*@'#" 2%J


131/158

131

(3.82)

L1* 2% .$%)% 2+%)%&% *


132/158

132

H*)2%&"-#" 0")'7 "1* #% -%1' 2+.,"#-' /0*6%2AR proces, MMSE je:

(3.88)

3.

3.

4 LevinsonLDurbinov algoritam

Levinson-D.0@'-*$ "+>*0'4"3 #% 0",.-21' %5'1"2"- "+>*0'4"3 *> 0%)" 3*>. 2% )*@'4' 0%8"$"-#%3 2+%)%&'9 #%)-",'-"J

(3.91)

i+'3'-'8.&' iz (3.91), dobija se:

(3.92)

Ponovo je .

!"24"$+#"#.&' -" '24' -",'-7 1*%5'6'#%-4' /0%)'14*0" m-tog reda mogu se izraziti u funkciji koeficijenataprediktora Ivog reda:


133/158

133

(3.93)

gde je vektor koeficijenata prediktora -vog reda, a vektor i skalar su nepoznate

koje treba odrediti.

D" @' 2% '


134/158

134

(3.99)

Zamenom izraza (3.99) za . 21"+"0-. #%)-",'-. AO:YWB )*@'#" 2%J

(3.100)

/" #% 0%8%-#% /0%)'14*0": ; m%$'-2*--Durbinovom algoritmu refleksioni koeficijenti se/0%0",.-"$"#. '24* 1"* 1*%5'6'#%-4' */4'3"+-*> ET_ 5'+40" )'0%14-% 0%"+'


135/158

135

L)"/4'$-' 2'24%3' -"+"7 /0' ,%3. 2% 4%F' )" >0%81" /0%)'16'#% @.)% 3'-'3"+-":

D0.>" $"F-" /0'3%-" #% adaptivno modelovanjesistema koje se koristi u procesu modelovanja sistema

)'>'4"+-*> ./0"$+#"-#"7 "-"+'0./% :

1. Metodedirektnog modelovanja

Ovim metodama modeluje se nepoznati sistem (ili proces) na osnovu poznatih vrednosti ulaznog i

izlaznog signala.

2. Metodeinverznog modelovanja

Ovim metodama se modeluje tzv. inverzni sistem tj. sistem koji, kada se kaskadno $%F% 2" -%/*-"+ ')%-4',"- .+"-"+ 1*#' 4"# 8.3 /*-'84"$"7 '+' /0*#%14*$"-#%")"/4'$-*> 5'+40" 1*#' &% /*-'84'4' )%+*$"-#% 4*> 8.3":

l%4$04" $"F-" /0'3%-" #% 2.-"+" )*@'#%-'9 '< $'8% 2%-


136/158

136

Slika 4.1 Osnovna struktura adaptivnog sistema za obradu signala

Na prikazanoj strukturi odmerci ulaznog signala ulaze u adaptivni sistem i daju izlaznu sekvencu

.D*@'#%-' '-"+ >0%81% .

O%1+5&2&)3+ #%+;":"3+)&/& ")"/4'$-*> 2'24%3" $08' 2% algoritmom adaptacije tako da se signal razlike2$%)% -" 3'-'3.3: H*84* 2% /0*3%-" 1*%5'6'#%-"4" $08' . 4*1. 2$"1% /%0'*)% *)3%0"$"-#"7 -%3" 3-*>*smisla definisati funkciju prenosa jer je ona promenljiva.

T"1* #% .+"-"+ ")"/4'$-*> 2'24%3" -"#,%8&% -%24"6'*-"0"-7 0")' #%)-*24"$*24' '-"+: `"1*)#% 2% /0%4/*24"vlja da jeadaptivni sistem linearan. Funkcija prenosa takvog linearnog sistema , menja se u procesu

adaptacije zbog promene koeficijenata.

Kao mera kvaliteta adaptacije koeficijenata adaptivnog sistema uvodi se kriterijumska funkcij adefinisana

kao 20%)-#" 1$")0"4-" >0%81"7 4# 24"4'24',1" 20%)-#" $0%)-*24 1$")0"4" 2'>-"+" >0%81%7 .

H0%4/*24"$+#"#.&' )" 2. 1*%5'6'#%-4' 5.-16'#% /0%-*2" 5'12-' ' )" #% '


137/158

137

>+*@"+-*> 3'-'3.3" 10'4%0'#.321% 5.-16'#%7 0"-',%-' -" .-.40"8-#*24 #%)'-',-*> 10.>"7 4* /0%24"$+#" $0+* *' 0" -"+" -"#,%8&% '3" 240.14.0. +'-%"0-*> ET_ 5'+40" 2" /0*3%-+#'$'3koeficijentima. Kriterijumska funkcija adaptivnih sistema realizovanih u obliku FIR filtara predstavlja

/*$08'-. )0.>*> 0%)" 1*#" '3" 2"3* #%)"-7 >+*@"+-'7 3'-'3.37 /" 2% 0")'#%-4"7 .3%24* 24*9"24',1'9 3%4*)" 1*#% 2% 1*0'24% . 2+.,"#. 1")" 10'4%0'#.321" 5.-16'#" '3" $'8%+*1"+-'9 3'-'3.3" A2+.,"# TT_ 2'24%3"B:

!"#,%8&% 2% 1*0'24' )'0%14-" A2+'1" ]:NB ' 0%8%41"24" 0%"+'


138/158

138

Neka je FIR filtar sa promenljivim koeficijentima (adaptivni filter) upotrebljen za identifikaciju

/"0"3%4"0" -%/*


139/158

139

(4.6)

H*40%@-* #% *)0%)'4' 1*%5'6'#%-4% 5'+40" 4"1* )" 2% */4'3'-"+">0%81%7 .Na osnovu (4.3) i (4.6) k-ti odmerak di210%4-*> 2'>-"+" >0%81% #%J

(4.7)

Ako se pretpostavi da su diskretne sekvence , i 24"6'*-"0-' 2+.,"#-' -'


140/158

140

4.2.1 Minimizaci ja kriterijuma sredn je(.",+"#2$ 3+$;($

Ako je broj koeficijenata u adaptivnom procesu koji treba estimirati jednak M, onda (4.11) predstavlja

/*$08'-. *@+'1" 9'/%0-/"0"@*+*')" 1*#" . */84%3 2+.,"#. '3" $'8% +*1"+-'9 3'-'3.3": =*) ET_")"/4'$-'9 2'24%3"7 3%C.4'37 10'4%0'#.321" 5.-16'#" /0%)24"$+#" /*$08'-. )0.>*> 0%)" 1*#" '3" 2"3*

#%)"- +*1"+-' 3'-'3.37 /" 2% -"+" ' 2'>-"+" -" ' 2'24%3"7 *)-*2-* $0%)-*24' 1*0%+"6'*-%matrice i kroskorelacionog vektora. Kako su, pak7 -"#,%8&% /* 3%4*)"ili al>*0'43": [%&'-" ")"/4'$-'9 "+>*0'4"3" 2% 0")'#%-4": !#'9*$ )%4"+#-' */'2 3*F% 2% -"&' .literaturi [11], [12], [13], [14].


141/158

141

4.3 Adaptivni algoritmi za estimaci ju parametara F IR filtara

[%&'-" ")"/4'$-'9 "+>*0'4"3" /0%)24"$+#" 3*)'5'1"6'#. 24"-)"0)-'9 '4%0"4'$-'9 /0*6%).0" 0")'#%-4" 1*0'24' 40%-.4-.$0%)-*24 2'>-"+" >0%81% .3%24* 3"4%3"4',1*> *,%1$"-#" G?i . A]:XB: =0'4%0'#.321" 5.-16'#" mG?algoritma definisana je kao:

(4.15)

!" *2-*$. A]:]B ' A]:WB /0*6%-" >0")'#%-4" 3*F% 2% -"/'2"4' 1"*J

(4.16)

tj. kao proizvod vektora ulaznih signala u k-4*# '4%0"6'#' ' *)>*$"0"#.&%> 2'>-"+" >0%81%: H0*6%-"gradijenta u k-4*# '4%0"6'#'7 *0'4"3 2% 3*F% )%5'-'2"4'iterativnim relacijama:

(4.17)


142/158

142

(4.18)

ili, u razvijenoj formi:

(4.19)

gde je:

(4.20)

Skalarni parametar : .4',% -" @0*0'43" ' $%+','-. >0%81% -"1*-0")'#%-4"7 ")"/4'$-' /0*6%2 "F.0'0"-#" $%14*0" 1*%5'6'#%-"4" na osnovuA]:KWB #% 2/.84"-#" 1" : `"# 8.37 3%C.4'37 2+"@' . $0%3%-.7

/*84* #% $0%)-*24 >0")'#%-4" . @+'*0'4"37 #%0 2% 2$"1" '4%0"6'#" '*043" #% )*24" 8'0*1": ?+%)% -%1% *) /0'3%-" *$*> "+>*0'43" J

m'-%"0-' "2/%14' *$*> "+>*0'43" 2% 1*0'24% )" 0" signala uz prisustvo/*


143/158

143

Slika P4.1 Blokdijagramsistema za identifikaciju

Neka su dati nizovi odmeraka ulaznog i izlaznog signala nepoznatog sistema:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 -1 2 1 3 0 -2 -1 4

1 -1 -1 1 3 4 3 -2 -3 3

Blok dijagram nepoznatog sistema za koga je pretpostavljeno da je drugog reda je kao na slici P4.2

Slika P4.2 Blokdijagramnepoznatog sistema

!%/*


144/158

144

T)%-4'5'1"6'#" 2'24%3" 2% 2$*)' -" 0",.-"-#% 1*%5'6'#%-"4" ")"/4'$-*> 2'24%3" 4"1* )" 2% )*@'#% 3'-'3"+-"gre81": L)"/4"6'#" A/0%",.-"$"-#%B 1*%5'6#%-"4" $08' 2% -" *2-*$. mG? ")"/4'$-*> "+>*0'43"71*0'8&%-#%3 '4%0"4'$-9 5*03.+"J

(4P.2)

(4P.3)

koje se u vektorskom obliku mogu zapisati kao:

(4P.4)

S" 21"+"0-' /"0"3%4"0 1*#'3 2% /*)%8"$" @0


145/158

145

(4P.9)

(4P.10)

(4P.11)

(4P.12)

_",.-"-#% 2% -" '24' -",'- *@"$+#" *0'43" J

28%,$ ,889! W*?38,2*', *&%(4*6*1,2*'% (%"#+(,4#A :*:4%?,28#:% ,889

2829

$%&V:*:4%?, ; [9K ; G


146/158

146

F;d'0"#.7 2" 84* 3"-#%operacija po iteraciji. Jedan od takvih algoritama je i rekurzivni algoritam najmanjih kvadrata (eng.

Recursive Least Squares Algorithm -RLS).

RLS algoritam, za razliku od LMS algoritma, nije osetljiv na korelaciona svojstva ulaznog signala.

`"1*C%7 @0 "+>*0'43":

Neka je vektor ulaznih signala u trenutku n:


147/158

147

(4.21)

a vektor koeficijenata adaptivnog sistema:

(4.22)

a0%81" . 40%-.41. i u odnosu na n-4' 40%-.4"17 *0%81% Ad 0%81%7 " *-% *) 0"-'#% 40%@"


148/158

148

odnosno

(4.26)

(4.27)

Ako se uvedu oznake:

(4.28)

(4.29)

3*F% 2% /'2"4'J

(4.30)

R$'3 #% )*@'#%-" #%)-",'-" 1*#" #% /*/.4 *-%


149/158

149

D" @' 2% .2/*24"$'+" '4%0"4'$-" 0%+"6'#" '


150/158

150

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.41) se sada moF% -"/'2"4' 1"*:

(4.43)

`0"-25*03"6'#*3 '


151/158

151

(4.46)

(4.47)

Na osnovu (4.23 poslednji izraz u (4.47) 3*F% 2% -"/'2"4' 1"*:

(4.48)

84* /0%)24"$+#" '4%0"4'$-. /0*6%).0. -"+ A'+' ' 2'24%3"7 "1* 2% 0")' * 2'24%3.za identifikaciju),

- Za *)0%C.#% 2% >0%81" po formuli:

(A.3)


152/158

152

- ?0",.-"$"#. 2% /*3*&-% $%+','-% :i na osnovu relacija:

(A.4)

(A.5)

- ?0",.-"$" 2% -*$" $0%)-*24 3"40'6% :

(A.6)

-

?0",.-"$" 2% -*$" $0%)-*24 $%14*0" 1*%5'6'#%-"4" ")"/4'$-*> 2'24%3"7 /0%3" relaciji:

(A.7)

-

Ceo iterativni postupak se ponavlja za novu vrednost indeksa n.

=*+'1' #% @0*# /*40%@-'9 */%0"6'#" *0'43"e

L1* 2. 3"40'6% 1*#% 2% *0'43" *@"$+#" 2+%)%&' @0*# */%0"6'#"J

U (A.3) 3-*F%-#" ' sabiranjaU (A.4) 3-*F%-#" ' sabiranja + 3-*F%-#" ' sabiranja; AL:cB ! 3-*F%-#" A #%0 #% @0*#'+"6 -"C%- .AL:]BBU (A.7)! 3-*F%-#" ' ! 2"@'0"-#"U(A.6) 3-*F%-#" ' sabiranja + 3-*F%-#" oduzimanja + 3-*F%-#"konstantom ( sa )

D"1+%7 .1./"- @0*# */%0"6'#" . 20",.-"$"-#. 1*%5'6'#%-"4" ")"/4'$-*> 2'24%3" /0'3%-*3 _m? "+>*0'43"

je mnoF%-#" ' 2"@'0"-#"7 "1* 2% '-$%0


153/158

153

Neka je sistem sa slike P4.4 sa nepoznatom funkciju prenosa (Nepoznati sistem), odnosno nepoznat je

5'*$. 5.-16'#. /0%-*2":

a*0-#' /0*@+%3 2% 0%8"$" -" 2+%)%&' -",'-J '24' .+"-"+ 2% )*$%)% -" .+"< ")"/4'$-*> 2'24%3"7 " -"+" -%/*


154/158

154

?*;?*B I S9";f I S9A ; "UJ8,?&, _ ?* L9F;SQ I ^9%J(L ; &J(L 0 F9

^ ; ^ _ A I %J(L9^$;G^$ ^M9

f ; J f 0 A I ?*B L U 8,?&,9%(&

"8#4J^$QL! f$4,?# 1,1# 1#(N%$A*$,'3 ",$,?%4$* (%"#+(,4#A :*:4%?,OhgijO`/RVWRW/h7Vkh ; ^!"#$%&

P(%:*4% $%& :*:4%?, = [P(%:*4% *?"38:(* #&+*N = G*$*0' -" 3'10*5*- . "$'*-.: L1* 2% -%84* )*)"4-* -% .,'-'7 . 4*0-#.2% -%&% ,.4' -#%>*$" /*0.1" @0.#"-#" 3*4*0" "$'*-" A/0'2.4"- #% 2'>-"+ 8.3" B: H0*@+%3 2% 0%8"$"4"1* 84* 2% )"+#%7 -" )0.>*3 10"#. 1"@'-%7 24"$+#" #*8 #%)"- 3'10*5*- 1*#' -% 3*F% 0%>'240*$"4' /'+*4*$>*$*0 #%0 #% /'+*4*$ >+"2 )* 4*> 3%24" )*$*+#-* *2+"@'*7 $%& '21+#.,'$* 8.3 *1*+'-% ' 8.3 3*4*0" .Ipak, ne moF% 2% '


155/158

155

H*


156/158

156

,S*:JG< 8%(A4KJ?*1$#6#(L ?*(J?*1$#6#(L ?,SJ?*1$#6#(LML9:35"8#4JE@B@BL9"8#4J:*A(,8@Q$QL94*48%JQi$*A*(,8(* :*A(,8QL9:35"8#4JE@B@TL9"8#4J?*1$#6#(@QAQL9,S*:JG< 8%(A4KJ?*1$#6#(L ?*(J?*1$#6#(L ?,SJ?*1$#6#(LML94*48%JQW*A(,8 (, *+8,+3 *+ ?*1$#6#(, Je#$*:(* _ :3?LQL9:35"8#4JE@B@EL

"8#4J%@Q5QL9,S*:JG< 8%(A4KJ?*1$#6#(L ?*(J:*A(,8L0CB ?,SJ:*A(,8L_CBML94*48%JQ.*84$*$,(* :*A(,8QL9

"#$%& '()* +,-.#/&/ 0$1.#&2$3, 4/%#&53&53& 01,/53$ $- 0$65& .74/8,941 +:" $/1&

4.3.3 PoredjenjeRLS i LMS algoritama

U LMS algoritmu korekcija 1*#" #% /0'3%-#%-" . "F.0'0"-#. /0%49*)-% /0*6%-% $%14*0" 1*%5'6'#%-"4" #%


157/158

157

U LMS algoritmima, korekcija primenjena u odnosu na prethodnu procenu sastoji se od proizvoda tri

5"14*0"J /"0"3%40" $%+','-% 1*0"1" }7 2'>-"+" >0%81% i vektora ulaznog signala , uprehodnom trenutku odmeravanja. S druge strane , u RLS algoritmu ova korekcija se sastoji od proizvoda

)$" 5"14*0"7 24$"0-% /0*6%-% >0%81% (. 4%1.&%3 40%-.41. *)3%0"$"-#" -B ' $%14*0" /*#","-#" .

[%14*0 /*#","-#" #% /0*'-"+"7 ,'-%&' 4"1* _m? "+>*0'4"3 2"3**04*>*-"+-'3 : R$" *2*@'-" _m? "+>*0'43" ,'-' >" %2%-6'#"+-*nezavisnim od opsega sopstvenih vrednosti korelacione matrice ulaznog signala.

mG? "+>*0'4"3 % 240"-%7 _m? "+>*0'4"3 20%)-#% 1$")0"4-*1*-$%0>'0" %-6'#% _m? "+>*0'43" #% 24*>"7 .*/84%-* >*$*0%&'7 $%&'od LMS algoritma.

Za razliku od LMS algoritma, pri izvodjenju RLS algoritma nisu pravljene aproksimacije. Stoga, kako se

@0*# "/0*12'3"6'#" /0'@+'F"$" @%21*-",-*24'7 /0*6%-" 20%)-#'9 1$")0"4" $%14*0" 1*%5'6'#%-"4" 2% /0'@+'F"$"optimalnoj Vinerovoj vr%)-*24': ?">+"2-* 4*3%7 20%)-#" 1$")0"4-" >0%81" 2% /0'@+'F"$" 2$*#*# 3'-'3.3.$0%)-*24': D0.>'3 0%,'3"7 _m? "+>*0'4"37 4%*0'#21'7 /0%)24"$+#" -.+4* 0"%240"-%7 mG? "+>*0'4"3 .$%1 /0%)24"$+#" -%-.+4* 0"+"$-" 5"14*0"J AKB @0*# 3-*F%-#" A ' )%+#%-#% 2% 0",.-" .3-*F%-#% /* '4%0"6'#'B ' 7 ANB /0%6'*0'43" $%*3" 3"+" @0*0'4"3 '3" $%+'1. @0


158/158

Literatura

[1] _")*#1" =0-%4"7 G"01* L6*$'&7 L)"3 D*24"-'&, Signali i sistemi sa MATLABprimerima

[2] Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck, Discrete-time signal processing

POQ G'*)0"> [: H*/*$'&7 D'>'4"+-" *@0")" 2'>-"+"

P]Q G'+'& _: ?4*#'&7 D'>'4"+-' 2'24%3' ./0"$+#"-#"

PcQ G'*)0"> [: H*/*$'&7 Signali i sistemi

[6]Richard G. Lyons,Understanding Digital signal processing

[7]www.wikipedia.com

[9] John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, Digital signal processing I Principles, algorithms andapplications

[10] =*$",%$'& f0"-1* D:;f"-#"6 S*0"- ~:;G'+*2"$+#%$'& G'+"- G:,Adaptivni digitalni filtri

[11] Haykin, S., Adaptive Filter Theory, 3rd Ed., Prentice-Hall 1996.
http://www.informit.com/safari/author_bio.asp?ISBN=0131089897http://www.wikipedia.com/http://www.wikipedia.com/http://www.wikipedia.com/http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=19423http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=19423http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28575http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28575http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28575http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28576http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28576http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28576http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=19423http://www.wikipedia.com/http://www.informit.com/safari/author_bio.asp?ISBN=0131089897http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28576http://www.knjizara.com/pls/sasa/knjizara.osoba?o_id=28575

Napredne Tehnike Za Obradu Signala-skripta

Documents

Transcript of Napredne Tehnike Za Obradu Signala-skripta