MULTI-FISICHE DEL PLASMA - University of Cagliari · 2016. 1. 22. · Fisica del plasma Il plasma,...

M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK

(ultima modifica 11/12/2013)

MULTI-FISICHE DEL PLASMA

1


Fisica del plasma Il plasma, conosciuto come il " quarto stato della materia ", è una

sostanza in cui molti degli atomi o molecole sono effettivamente

ionizzati, permettendo alle cariche di fluire liberamente.

I plasmi hanno proprietà fisiche specifiche rispetto ai solidi, liquidi e

gas.

Poiché circa il 99 % dell'universo conosciuto si trova nello stato di

plasma ed è esistente dal Big Bang, il plasma potrebbe essere

considerato il primo Stato della Materia.

Un gas è completamente ionizzato e diventa plasma quando esso è

interamente composto da ioni ed elettroni, componenti che hanno

molte proprietà comuni ad un normale gas estremamente caldo e

questo consente che possano essere descritti per mezzo della

densità delle particelle e della temperatura, utilizzando per diversi

aspetti fisici, gli stessi modelli matematici usati per i gas.

M. Usai 2


Fisica del plasma

Ma il plasma presenta due proprietà specifiche che lo caratterizzano.

In primo luogo la densità delle particelle non va intesa come densità di

particelle neutre, ma come densità di carica elettrica degli elettroni e

degli ioni (che separati danno luogo a forze di campo elettrico di

ripristino molto grandi) per cui le densità di carica elettronica degli

elettroni e degli ioni distribuiti in tutto il plasma possono essere

considerate circa uguali.

La seconda proprietà è la capacità di trasportare corrente in presenza di

un campo elettrico, come risulta dalla velocità di deriva o drift

***degli ioni ed degli elettroni. In particolare nel Tokamak questa

proprietà fa si che la corrente del plasma genera una aliquota

importante del campo magnetico complessivo poloidale Bp.

*** velocità di deriva o drift è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la

corrente

M. Usai 3


Proprietà diamagnetiche del plasma

M. Usai 4

Inoltre ricordando che una barretta

di materiale diamagnetico si dispone

in direzione trasversale rispetto al

campo a cui esse è sottoposta,

riducendo a sua volta il campo,

analogamente nel plasma le orbite giroscopiche delle particelle cariche

inducono una variazione del campo di segno contrario rispetto a quella

del campo principale e quindi lo riducono inducendo gli stessi effetti di un

materiali diamagnetico per cui si può ritenere che

↓

il plasma è diamagnetico.


Fisica del plasma

Quando la corrente del plasma attraversa il campo magnetico le

singole particelle sono vincolate nel loro movimento.

Esse si muovono parallelamente al campo magnetico, ruotando nelle

orbite di Larmor perpendicolari al campo.

M. Usai 5


Fisica del plasma

La concentrazione delle particelle in un Tokamac è circa 1020 m-3.

I plasmi Tokamak tipicamente raggiungono temperature di diversi keV,

(1keV corrisponde a 10 milioni di gradi Kelvin).

Il campo magnetico di base è il campo magnetico toroidale prodotto dalle

bobine esterne al plasma.

Il campo poloidale prodotto dalla stessa corrente del plasma toroidale è

tipicamente 10 volte più piccolo.

Le forze dovute alla pressione del plasma sono equilibrate dal campo

magnetico esterno e la stessa corrente del plasma che attraversa il

campo magnetico da origine essa stessa a una forza magnetica che può

bilanciare il gradiente di pressione del plasma.

M. Usai 6


Fisica del plasma

Molti processi nel plasma sono determinati dalle collisioni delle

particelle. Le collisioni tra ioni ed elettroni causano una resistenza

elettrica, che induce un riscaldamento ohmico del plasma.

Si definisce resistività elettrica ρ del plasma :

La densità di potenza ohmica puntuale o locale è:

M. Usai 7

JρE

plasma del raggio a

e torodel raggio R

ntoriscaldame di totalepotenza la P

essendo

)(J ρ(r)2)(J ρ(r))(p

0

22

drrRPrra

R

a


Fisica del plasma

La resistività del plasma, che cresce con la temperatura e la densità di

corrente sono limitate dalla stabilità magnetoidrodinamica per cui non

è utilizzato il riscaldamento ohmico per portare il plasma alle

condizioni di ignizione.

Le collisioni producono trasporto di particelle ed energia che possono

causare la perdita di ioni e di elettroni dal plasma.

All’aumentare delle temperatura i tempi di collisione degli elettroni e

degli ioni diminuiscono e conseguentemente aumentano le perdite per

collisione e anche il riscaldamento ohmico.

M. Usai 8


Fisica del plasma

Le instabilità sono classificate in relazione agli effetti prodotti sul plasma,

per esempio instabilità dovute ai profili di pressione ( pression driven)

nella fig.(a) e instabilità dovute alle correnti nella fig (b) ( current

driven).

Un’altra classificazione è fatta rispetto allo spostamento della superficie

del plasma: fixed boundary ( hanno effetto all’interno della colonna

del plasma e non incidono sui movimenti della superficie del plasma) e

free-boundary (comportano lo spostamento dell’interfaccia plasma-

vuoto)

M. Usai 9

Plasma

Plasma


Fisica del plasma

Allo stato di plasma è legato alla distanza minima tra elettroni e ioni

necessaria perché si verifichi una separazione completa tra di loro e

non si abbia la neutralizzazione delle cariche come nei gas, questa

distanza è chiamata lunghezza di Debye.

Uguagliando l’energia Fd , dovuta alla forza F di attrazione tra ioni ed

elettroni, per la distanza d tra ioni ed elettroni, alla energia interna del

plasma si ottiene la lunghezza di Debye:

M. Usai 10

C 10 × 1,602e elettronedell' caricae

volumedi unitàper elettroni ed ioni numero ossia

10n elettroni ed ioni degli densitàn

keVin plasma del atemperaturT

F/m10 62 817 187 8,854 = ε vuotonel adielettric costanteε

mm 1010λ Tokamac dei plasmi iper mne

Tελ

19-

320

12-00

12D

1/2

2

0D

m


Analisi Fisica del Plasma

Lo studio del plasma è molto complesso e comporta l’analisi di fenomeni

di natura fisica diversa. I principali campi della fisica da analizzare per

studiare il plasma sono:

• Elettromagnetismo,

• Fluidodinamica e

• Magnetoidrodinamica (dinamica dei fluidi elettricamente conduttori)

• Trasmissione di energia termica (nei solidi, nei liquidi, nei gas, nei plasmi)

• Cinetica dei gas (al variare della pressione e della temperatura)

• Criogenia (studia come ottenere basse temperature e il comportamento dei materiali alle basse temperature)

M. Usai 11

M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 12

Le equazioni fondamentali relative ai campi elettrici e

magnetici sono le Equazioni di Maxwell.

in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale

Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

tδ

B δE

tδ

D δH J

D

0B

SC

sdd t

BdldE

C S

sdt

DJldH

dvρsdDVS

0 sdBS

Elettromagnetismo


10998,2μ

1 ;10854,8 ;104μ

HμB E μ

1 EεD :con

ε

ρE

0B

tδ

E δ

c

1JμB

tδ

B δE

ρD

0B

tδ

D δJH

tδ

B δE

E e B di funzionein e vettorialaledifferenzi formain Maxwelli di equazioni Le

8

00

120

70

020

0

0

20

s

mc

m

F

m

H

c

Elettromagnetismo


fA'A

cVV'

:statici campi iper libertà di grado del zione trasformadella azionegeneralizz

fA'A

t

fVV'

: invariati rimangono

campi i libertà di grado del zione trasformalacon ma ,E d e B campi

stessi gli generare possono cheA e V potenziali dei valoridiversi esistono

tδ

A δVE

AB

:cuiper ,A magnetico e vettorialpotenziale del

e V elettrico scalare potenziale del funzionein espresso essere può E vettoreIl

Elettromagnetismo


cariche. particelle alle energia di ento trasferimil arappresent JE termineIl

P:Poynting di vettoredal espresso

netica,elettromag energia della flusso del divergenza la è termineprimo Il

tδ

E δ

c

1JμB

tδ

B δE

temponel energia di densità della variazione

della eespressionl' trovasi Maxwell di relazioni dalle

2

1

2

1

:magnetica e elettrica energia di densità della

somma alla uguale è neticaelettromag energia d' densità La

0

0

20

0

22

0

BE

JEBE

t

w

BEεwww me

Elettromagnetismo


.E ed B campo di grandezze oeffetti"" gli

questi da e A e V potenziali i

calcolare di J e ρ :cause"" le note

consente matematico modello Questo

.-V che ottiene si tδ

A δVE

:relazione della divergenza la calcolando

e A che ottiene si AB

: relazione della rotore il calcolando

0,A che taleA scegliendo statici, campi iPer

0

2

02

J

Elettromagnetismo


Equazioni della teoria cinetica

M. Usai 17

L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.

Le equazioni della teoria cinetica descrivono il plasma in movimento in termini

di funzione di distribuzione f(x,v,t) che è una funzione di 7 variabili. Per diversi

scopi è adatta per descrivere il plasma in termini di variabili del fluido come la

densità delle particelle n(x,t), la velocità del fluido v(x,t) e la pressione p(x,t) che

sono funzioni di sole 4 variabili. Le equazioni richieste sono derivate per ciascuna

specie di particella dalla equazione cinetica di collisione del plasma o

equazione di Fokker- Plank:

fluido. del velocità' particella della velocitàcon

''

:particella sulla agisce che magnetico e elettrico campo di forza la

Fcon indicando e

j particella della massa

j particella della carica

vv

t

f

v

f

m

F

x

fv

t

f

BvEe

m

e

t

f

v

fBvE

m

e

x

fv

t

f

cj

j

j

j

cj

j

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK M. Usai 18

Le equazioni cinetiche e quelle più complesse e specifiche che da queste

possono essere derivate, risultano valide solo se sufficientemente

localizzate, ossia se il percorso libero medio delle particelle è

sufficientemente piccolo rapportato alle lunghezze macroscopiche del

sistema in esame.

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK M. Usai 19

La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettricamente

conduttori.

Essa descrive il comportamento dinamico del fluido del plasma come unico

fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due entità separate.

Idea di base e le condizioni della Magnetoidrodinamica MHD consistno i nel

considerare

la corrente complessivamente neutra che trasporta il plasma ma costituita da:

- ioni che trasportano massa, quantità di moto ed energia e

- elettroni che trasportano corrente ed energia termica.

Magnetoidrodinamica MHD



M. Usai 20

Le equazioni della Magnetoidrodinamica sono basate su:

• equazione di conservazione della massa ,

• dalla equazione del moto e

• dalle equazioni di Maxwell e

• dalla equazione delle trasformazioni adiabatiche, considerando il plasma

resistivo.

Quindi da tali equazioni si possono ottenere:

le Equazioni dell’ MHD ideale, che

legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi elettro-magnetici)



M. Usai 21

La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettricamente

conduttori. Con essa si descrive il comportamento dinamico del fluido del

plasma come unico fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due

entità separate. Dalla equazione di conservazione della massa , dalla equazione

del moto e dalle equazioni di Maxwell e dalla equazione delle trasformazioni

adiabatiche, considerando il plasma resistivo, si possono ottenere le seguenti

Equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi

elettro-magnetici)

)pressione erenza di a una diffsi verificounti quand tra due p(presente

sionete di presal gradientaforza dovup la essendo

0BvE v p γt

p

Et

B p BJ

t

vρ

μ

BJ v ρ

t

ρ

0


Plasma in equilibrio

M. Usai 22

Le equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi

elettro-magnetici) possono essere utilizzate per determinare le condizioni e

configurazioni di equilibrio del plasma, imponendo le condizioni di regime

stazionario, per le quali le grandezze non variano nel tempo ossia si

trascurano i termini delle derivate temporali dove compare l’operatore .

Quindi considerando la velocità del plasma costante , si ottengono le

equazioni del plasma in equilibrio.

0 B

Jμ B μ

BJ

BJp p BJt

vρ

00

t

0t

v


Plasma in equilibrio

M. Usai 23

La prima equazione,

stabilisce l’equilibrio delle forze. Essa afferma che quando una corrente fluisce

perpendicolarmente al campo magnetico, essa esercita una forza sull’elemento

fluido.

In condizioni di equilibrio questa forza bilancia la pressione cinetica del plasma,

ossia in ogni punto nel plasma, il gradiente puntuale o locale della pressione è

bilanciato dalla forza di Lorenz.

In particolare , per

pressione, di gradiente al dovuta fluido sul agente forza la p essendo

BJp

forze) dalle libera regione ( di condizione una verificasi

retta) linea stessa sulla (giacciono paralleli sono B e J campi i quando 0p

regionforce free


Plasma in equilibrio per una configurazione

cilindrica lineare ( Linear Pinch)

M. Usai 24

Si consideri il toro del plasma equivalente a un cilindro di lunghezza pari alla

lunghezza dell’asse del toro, riportando lo studio al caso semplice in cui la

corrente fluisce in un cilindro nella direzione del suo asse, coincidente con l’asse

di riferimento z. Questa configurazione semplifica lo studio dell’effetto pinch

(effetto di compressione del plasma) z

r

B

J

a

z

r

p(r)

J

B

a

BJp

per a < 0: J = 0→ p = 0

per a > 0: J ≠ 0→ p ≠ 0

2

22

2

12

)(a

r

a

Irp




M. Usai 25

In regime stazionario la forza delle correnti diamagnetiche bilancia

la forza dovuta al gradiente di pressione

BJp




M. Usai 26

BJr

p

z

Il campo magnetico è puramente azimutale ( tangente alle linee di forza ossia alle

circonferenze di raggio r, perpendicolari a z) per cui Jz e B sono sempre

perpendicolari e il bilancio delle forze è espresso da:

Per calcolare come varia p(r) occorre definire come varia Jz(r).

Supponendo che la densità di corrente Jz= J0 sia costante nel plasma di raggio a e

nulla all’esterno per r>a, risolvendo l’equazione per una geometria cilindrica si ha:

plasma nel fluisce che corrente la è J I dove

arper 2

arper 2

Jμ B

20

2

0

a

r

IB

ra

IB

o

o

BJp




M. Usai 27

2

22

2

zz

14

)(

dr BJp(r) BJr

p

a

r

a

Irp

Per determinare p(r) occorre integrare la relazione seguente, utilizzando le

espressioni della induzione trovate:

Questo semplice calcolo dell’equilibrio non contiene una analisi della stabilità .

Mostra che esiste uno stato per δv/ δt = 0, ma non si sa se questa è una soluzione

stabile. In realtà si tratta di una soluzione instabile che può diventare stabile

applicando un campo magnetico nella direzione z.

In questo caso le linee del campo magnetico risultante si avvolgono a spirale intorno

all’asse magnetico.




M. Usai 28

2

22

2

2

22

2

22

2

22

42

2

22

zz

14

)(

2

22

2

2

r

2)(

drr 2

dr r 2

)(

dr BJp(r) BJr

p

a

r

a

Irp

r

a

I

a

Ia

a

I

a

I

a

I

a

Irp

a

I

a

I

a

Irp

a

r

a

r

a

r

a

r


Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak

M. Usai 29

Se si piega il cilindro per formare un toro si ottiene la geometria del tokamak.

Per un rapporto R/a grande, il Tokamak può essere approssimato a una sequenza

cilindri collegati uno di seguito all’altro. Le proprietà delle linee di flusso

risultante sono caratterizzate dal rapporto di sicurezza q:

Dalle condizioni di stabilità risulta che → q >1.

Per es. per il Tokamak ASDEX Upgrade con

dimensioni tipiche: a=0.5m R=165m q = 3 e

questo valore comporta che Bt=10 Bp.

toro.nel presente magnetico campo del

linee alle oriferiscon si che rotazioni

polidali rotazioni di numero

toroidalirotazioni di numeroq

R a

z



M. Usai 30

Il fattore di sicurezza q, è così chiamato a causa del ruolo che essa svolge nella

determinazione stabilità. In termini generali, i valori più elevati di q portano ad

una maggiore stabilità. In condizioni di equilibrio asialsimmetrico ciascuna linea

del campo magnetico ha un valore di q. La linea del campo segue un percorso

elicoidale come va il giro del toro sulla sua superficie magnetica associato. La

linea del campo segue un percorso elicoidale mentre ruota intorno al toro sulle

sue superfici magnetiche.

La linea del campo segue un percorso elicoidale come va il giro del toro sulla

sua superficie magnetica associato. Se ad un certo angolo toroidale, Ф, la linea

di campo ha una certa posizione nel piano poloidale, tornerà quella posizione

nel piano poloidale dopo una variazione dell'angolo toroidale ΔФ.

Il valore q di queste linee di campo è definito da:

2

q



M. Usai 31

Pertanto, se una linea di campo magnetico ritorna alla sua posizione iniziale dopo

esattamente una rotazione attorno al toro, quindi q = 1.

Se si muove più lentamente nel direzione poloidale ha un valore maggiore di q. I valori

razionali di q svolgono un ruolo importante nella stabilità. Se q = m / n, dove m e n sono

numeri interi, la linea di campo si unisce su se stessa dopo m rotazioni toroidale e n

rotazioni poloidali toro.

La condizione relativa a q = 2 linea è illustrato nella seguente figura:

a) linea di campo superficiale (sulla superficie del toro) per q=2,

b) percorso di integrazione poloidale,

c) anello di flusso contenente il flusso toroidale e poloidale.



M. Usai 32

Il fattore di sicurezza plasma, q, è importante nelle geometrie toroidali di

confinamento magnetico. Esso è anche espresso come il numero di volte che

una linea di campo magnetico gira intorno un toro (percorso lungo toroidale) per

ogni giro di linea di campo poloidale (percorso breve poloidale).

Il fattore di sicurezza è così chiamato perché a valori maggiori corrispondono

rapporti più elevati di campo toroidale rispetto alla corrente di plasma (e quindi

al campo poloidale), e di conseguenza meno rischi di instabilità del plasma

dovute alle correnti di deriva.

Se R>>a vale l’approssimazione della configurazione cilindrica

del plasma e risulta che:

e per la sicurezza deve essere q>1

pol

T

B

B

R

rq


The Grad-Shafranov Equation

M. Usai 33

Per un sistema asimmetrico come il Tokamak il modello matematico che descrive

il bilancio delle forze, deve essere adattato e modificato, tenendo conto dei

seguenti concetti:

calcolato. stato è flusso il quale nella geometria dalla tementeindipenden flusso, di valore

unicoun assegnato essere può flusso di superficie ciascuna a che comporta Ciò .arbitraria

essere puòA di scelta la quindi e C curva stessa dalla delimitata èA arbitraria superficie la se

costante un valore ha dA, J dA, B flusso di intergrale ogni0,B J Poichè

scalari. flusso di con valori eetichettat essere possono e

flusso di superfici chiamate sono superfici Queste annulla. si integrali degli parte ogni

superficie questasu giaciono B e J poichè ,superficie questasu C curva arbitraria unaper

costante pressionecon superfici sulle un valore hannodA J dA, B flusso del integrali Gli

costante. pressione a superficisu giaciono B e J di campo di linee le Quindi

0Bp Jp BJp Essendo



M. Usai 34

Sul toro si distinguono due tipi di curve di campo: quelle che si avvolgono sul toro

in senso toroidale e quelle avvolgono sul toro in senso poloidale. Considerando una

curva che si avvolge nella direzione toroidale, integrando l’induzione nel dominio

o superficie delimitato da questa curva, si ottiene il flusso magnetico poloidale ψ e

la corrente totale poloidale Ipol.

R

z

ϕ

Entrambe le funzioni sono costanti sulla

superficie di flusso le componenti del campo

magnetico poloidale e la corrente poloidale

possono essere calcolate come:

. toroidaledirezionein

lunghezza di unitàper poloidale flusso con

;r2

IμB ;

z

ψ

2π

1B ;

z

ψ

r2

1B

pol0

polzr

m

Vs

Con queste espressioni il bilancio delle forze diventa l’equazione di Grad-Shafranov

: ψ)(ψ)(ψ)'(2

z

ψ

R

ψ1*- '2

202

2

0 polpolIIpR

RRR



M. Usai 35



M. Usai 36



M. Usai 37

Il bilancio delle forze risulta espresso dalle equazione di Grad-Shafranov:

L’equazione è non lineare e per risolverla

1. si possono specificare p(ψ) e Ipol(ψ) e quindi calcolare ψ(R,z) e inoltre

2. dovranno essere definite le condizioni al contorno.

• Se il plasma è circondato da un contenitore vuoto perfettamente conduttore, esso

costituisce una superficie di flusso e quindi ψ=cost nel contenitore, determina la

forma e la posizione del contorno del plasma.

• Per soddisfare queste condizioni, si deve aggiungere una soluzione della

equazione omogenea cioè una funzione con

Tale campo è prodotto da un avvolgimento esterno, cioè la soluzione della equazione

di Grad-Shafranov con un contorno fissato e funzioni profilo che ci dicono come

definire le correnti esterne di controllo per mantenere il plasma in equilibrio.

ψ)(ψ)(ψ)'(2z

ψ

R

ψ1*- '2

202

2

0 polpolIIpR

RRR

0- ext

MULTI-FISICHE DEL PLASMA - University of Cagliari · 2016. 1. 22. · Fisica del plasma Il plasma,...

Documents

Transcript of MULTI-FISICHE DEL PLASMA - University of Cagliari · 2016. 1. 22. · Fisica del plasma Il plasma,...