MS Fattorini

RELAZIONE TECNICA

MODELLAZIONE STRUTTURALE DI UNA CAPRIATA MOHNIE

S O M M A R I O

1. Premessa Pag. 2

2. Descrizione della struttura Pag. 3

3. Analisi dei carichi Pag. 5

4. Dimensionamento Pag. 9

5. Calcolo dello spostamento con PLV Pag. 22

6. Verifica dei risultati con Sap 2000 Pag. 26

7. Conclusioni Pag. 31

8. Documenti consultati - Bibliografia Pag. 33

ALLEGATI

Allegato 1: Caratteristiche dei profilati adottati

Allegato 2: Valori di sforzo normale relativi al calcolo analitico della struttura studiata

Allegato 3: Tabella relativa all’applicazione del PLV (§5)

Allegato 4: Dati relativi - spostamenti e sforzi - alla modellazione Sap

della struttura studiata

Allegato 5: Dati relativi alla modellazione Sap della struttura reale

Allegato 6: Dati relativi alla modellazione Sap della struttura modificata

Meccanica dei solidi – Pag. 1

Modellazione strutturale di una capriata Mohnie a.a.2003/04

1. PREMESSA Scopo di questa relazione è la modellazione strutturale di una capriata di tipo Mohnie. Il compito di questa relazione è risolvere la struttura dal punto di vista statico, facendo un calcolo delle sollecitazioni a cui è sottoposta e una valutazione delle deformazioni procurategli. Lo studio procede per fasi : 1. analisi delle azioni gravanti sulla struttura; 2. calcolo delle sollecitazioni della stessa; 3. dimensionamento degli elementi della struttura; 4. calcolo di uno spostamento nodale della capriata; 5. verifica dei risultati tramite il programma Sap 2000. Con l’ausilio di tale programma saranno confrontati fra loro diversi modelli della capriata. La capriata oggetto di questa relazione è utilizzata come sostegno ad un capannone industriale localizzato nel Comune di Pistoia.

Meccanica dei solidi - Pag. 2


2. DESCRIZIONE DELLA STRUTTURA Il soggetto di questo studio è una capriata a otto campate di tipo Mohnie. Tale capriata ha la funzione di sorreggere la copertura del fabbricato. Il manto di copertura è realizzato in lamiera grecata, mentre la struttura portante è costituita da arcarecci. In figura 1 è possibile vedere la pianta dal fabbricato ed una sezione verticale.

2.1 Geometria La capriata Mohnie in questione è composta da 33 aste e 18 nodi.

In riferimento alla figura 1 sono date le misure della trave reticolare: l= 2 metri; L= 16 metri; i=5 metri.

Figura 1. Pianta del fabbricato industriale e relativa sezione.

Isolando una capriata dal resto della costruzione, si ottiene la seguente struttura che sarà oggetto dello studio:

Figura 2. Elemento capriata, oggetto del presente studio strutturale.

Si tratta di un sistema articolato piano il cui schema è costituito da aste rettilinee vincolate tra loro tramite cerniere. Nella realizzazione pratica i vincoli tra le aste non sono cerniere, ma molto spesso veri e propri incastri. Tale assunzione oltre a semplificare i calcoli porta a un dimensionamento cautelativo a vantaggio della statica. Con tali vincoli gli sforzi nelle aste si modificano rispetto a quelli che si avrebbero con le sole



cerniere, ma la variazione è tale da poter essere trascurata nel calcolo di verifica delle aste stesse. Le sollecitazioni esterne sono supposte puramente nodali, nel senso che le forze esterne devono agire solo in corrispondenza dei nodi, cioè nei punti di concorso di due o più aste. Per l’equilibrio di ogni asta, poi, le reazioni delle cerniere estreme devono costituire coppie di braccio nullo: vengono, così ad essere nulle tutte le caratteristiche di sollecitazione, tranne lo sforzo normale N.

2.2 Profilo cinematico Il sistema in esame è isostatico sia esternamente - 3 condizioni di vincolo - che internamente, essendo la rete costituita tutta da maglie triangolari. Si può vedere anche che le 33 aste ed i 18 nodi obbediscono alla relazione , e che non esistono labilità né interne, né esterne.

32 −= na

2.3 Materiale L’intera struttura portante, quindi l’insieme arcarecci-capriate, è in acciaio Fe 360 per il quale è la normativa a fornire il valore della tensione ammissibile, per spessori minori od uguali a 40 mm: σamm = 160 N/ mm2 E = 210000 N/mm2



3. ANALISI DEI CARICHI Le condizioni di carico si compongono da:

1. carichi permanenti, ossia: - il peso della copertura, - il peso degli arcarecci, - il peso proprio della capriata; 2. carichi variabili1, ossia: -il carico d’esercizio, -il carico dovuto alla presenza di neve.

In questo studio verranno trattati il peso proprio e l’azione della neve mentre si trascurano l’azione del vento e le variazioni termiche.

3.1 CARICHI VARIABILI 3.1.1 Sovraccarichi di esercizio L’intensità da assumere per i sovraccarichi variabili, comprensiva degli effetti dinamici ordinari, per le coperture non accessibili, è:

250 mkNqes /.=

3.1.2 Carico dovuto alla neve Il carico della neve viene determinato in funzione:

• dell’altitudine; • dell’appartenenza del luogo ad una delle zone in cui è stata divisa l’Italia; • dell’inclinazione del tetto; • del tipo di materiale della copertura.

In base alle indicazioni fornite dal D.M. 16-01-96, poiché il capannone è caratterizzato da una copertura ad una falda piana ed è localizzato in provincia di Pistoia ad una quota non superiore ai 70 m slm, abbiamo stimato il carico di riferimento neve al suolo2 pari a: 2/15.1 mkNqsk =

Per le coperture a una falda, il coefficiente di forma risulta: 80.=µ

Il carico della neve sulla copertura quindi diviene:

920.== sks qq µ 22 92 mkgmkN // =

Dato che il carico da neve non va cumulato, sulle stesse superfici, con il sovraccarico di esercizio, scegliamo di considerare il carico più gravoso.

1 Nella condizione di carico di progetto – ossia la più gravosa – non tutti i carichi variabili saranno computati, ma verrà considerata solo la voce più gravosa. 2 Il carico di neve al suolo si determina in base alle condizioni locali di clima e di esposizione. Per tener conto della variabilità di precipitazione nevosa, la normativa suddivide il territorio italiano in tre zone (Pistoia risulta nella zona II) ed infine differenzia i valori di carico in base all’altezza sul livello del mare (Pistoia si trova a 70 m slm).



3.2 CARICHI PERMANENTI

Sono considerati carichi permanenti quelli non rimovibili durante il normale esercizio della costruzione; essi vanno valutati sulla base delle dimensioni effettive delle opere e dei pesi per unità di volume dei materiali costituenti. Il manto di copertura è realizzato di lamiera grecata, mentre la struttura portante è costituita da arcarecci gravitanti sul sistema di capriate in acciaio Fe360. La sezione verticale è composta da: - copertura; - arcarecci; - capriata. 3.2.1 Copertura: La copertura del fabbricato è costituita da un pannello di lamiera grecata tipo 2047 dello spessore di 1,2mm e del peso di 20 kg/m . 2

3.2.2 Arcarecci: Per trovare il peso proprio degli arcarecci che gravano sulla capriata in corrispondenza dei nodi, occorre eseguire il loro dimensionamento. Su di essi gravano il peso della copertura ed il carico della neve (è il più sfavorevole dei sovraccarichi variabili). L’area di influenza dell’arcareccio è 5 m X 2 m. Dimensioniamo gli arcarecci in relazione al carico che sopportano: gli arcarecci che appoggiano sui nodi marginali della capriata - arcarecci di bordo - sostengono metà carico rispetto a quelli che appoggiano sui nodi interni - arcarecci centrali. Perciò saranno valutati distintamente per ottimizzare il dimensionamento. Arcarecci centrali:

21122092 mkgq /=+= mkgq /2242112 =⋅=

Poiché l’arcareccio è schematizzabile come un’asta appoggiata agli estremi, esso ha il momento massimo nella mezzeria:

cmkgmkglqM ⋅=⋅=⋅

=⋅

= 700007008

52248

22

max

370100070000 cmMW

admx ===

σmax

Per gli arcarecci centrali viene adottata una trave di tipo IPE 140 ad ali parallele, UNI 5398-78, con le seguenti caratteristiche3:

33077 cmWx .= mKgP /.912=

Per effettuare la verifica di resistenza si considera anche il peso proprio degli stessi, tenendo conto che questi sono soggetti a tensione semplice.

3 Vedi Allegato 1.



Calcoliamo quindi il carico ed il momento massimo includendo il peso proprio degli arcarecci.

21122092 mkgq /=+=

mkgq /.. 23792369122112 ≈=+⋅=

Lo schema statico relativo all’arcareccio è una trave appoggiata agli estremi, per cui il momento massimo risulta in mezzeria e pari a:


=⋅

= 74062627408

512378

22

..max

22 16001958377

74062 cmkgcmkgWM

admax

xeff //.

. , =<=== σσ (Verifica)

Arcarecci di bordo: Il carico a cui sono sottoposti è la metà rispetto agli arcarecci centrali, per cui anche il momento massimo sarà la metà del momento degli arcarecci centrali. Il modulo di resistenza sarà anch’esso la metà (W ). 335cmx =Per gli arcarecci di bordo viene adottata una trave del tipo IPE 100 ad ali parallele, UNI 5398-78, dotata delle seguenti caratteristiche:

3234 cmWx .= mKgP /.18=

Abbiamo quindi: 21122092 mkgq /=+=

mkgq /.. 1120181112 =+⋅=


=⋅

= 37531313758

511208

22

..max

22 160041097234

37531 cmkgcmkgWM

admax

xeff //.

. , =<=== σσ (Verifica)

3.3 CONDIZIONI DI CARICO Riepilogando, i carichi da considerare nella progettazione sono:

• Peso proprio struttura 4 Kg/m • Carico della neve sulla copertura: 92 kg/m2 • Lamiera grecata: 20 kg/m2 • Arcarecci centrali: 12.9 kg/m

di bordo: 8.1 kg/m Considerato che lo sviluppo delle aste è:

mlastenL 647222588 .=⋅+=⋅= o

il peso proprio delle aste, ripartito su ogni nodo, risulta:



KgkgP 291562908

46472≈=

⋅= ..

I carichi agenti sui nodi superiori della capriata sono quindi: - nodi centrali: KgkgP 149251475291591222092 ≈=+⋅+⋅+= .].)[(

- nodi marginali: kgP 7462

291518120922

=+⋅+⋅+= ].)[(

Nella figura seguente viene illustrato lo schema dei carichi.

Figura 3. Schema statico della capriata.



4. DIMENSIONAMENTO Per lo studio analitico della travatura si adottano le seguenti ipotesi di calcolo: • le aste sono considerate incernierate ai nodi, con resistenza di attrito nulla

nelle cerniere; • le aste sono tutte contenute nel medesimo piano al quale appartengono

anche i carichi gravanti sulla struttura e sono tutte rettilinee; • i carichi esterni si considerano come forze concentrate, applicate solo sui

nodi, per cui le aste non sono caricate; con questa ipotesi le aste, essendo rettilinee, sono sollecitate unicamente a sforzo normale che può essere di compressione, puntoni, o di trazione, tiranti.

• il peso proprio dell’asta viene considerato, in un suo valore di massima, applicato sui nodi della briglia superiore e non distribuito sulla lunghezza delle aste; ipotesi accettabile in quanto il momento flettente che il peso determina ha un valore praticamente trascurabile rispetto a quello dello sforzo normale.

4.1 Calcolo reazioni vincolari

Figura 4. Schema statico.

Il calcolo delle reazioni vincolari avviene con la risoluzione delle equazioni cardinali della statica, che nel caso piano si traducono nelle equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale, di equilibrio alla traslazione verticale e di equilibrio alla rotazione rispetto al nodo 1.

=−+++++++=+

=

0847654328

0

17

171

1

LVPLPLPLPLPLPLPLPLPVV

H

===

PVPV

H

440

17

1

1

La figura seguente (figura 5) illustra la capriata con le reazioni vincolari al posto dei vincoli, sostituzione lecita in base al postulato fondamentale della meccanica.



Figura 5. Schema statico con le reazioni vincolari sostituite ai vincoli esterni.

La struttura non è simmetrica, tuttavia sostituendo ai vincoli le corrispettive reazioni vincolari in virtù del postulato fondamentale della meccanica, essa si rivela simmetrica in quanto non essendoci forze esterne di componente orizzontale la reazione in tale direzione è inesistente. Perciò le caratteristiche di sollecitazione e gli spostamenti saranno simmetrici, ragion per cui nei paragrafi seguenti saranno risolte solamente i primi 10 nodi. 4.2 Calcolo sforzi normali (metodo di equilibrio ai nodi)

Questo metodo di risoluzione si fonda sull’osservazione che, se la travatura è in equilibrio, deve essere in equilibrio ogni suo nodo. Ciò si traduce nella condizione analitica che per ciascun nodo deve essere verificata la prima equazione della statica. Tale equazione, sugli assi di riferimento, dà luogo a due equazioni scalari. Si suppone ogni asta tirante, cosicché l’asta si risolve:

• tirante se le equazioni di equilibrio danno uno sforzo normale positivo; • puntone se lo sforzo risulta negativo.

Indicando con N(hk) lo sforzo nell’asta di estremi h e k, procediamo al calcolo:

• Nodo 1

N(12) Equazione di equilibrio traslazione verticale:

PN 412 −=)( ; asta 12 puntone 1 Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: N(13)

013 =)(N ; asta 13 scarica 4P



• Nodo 2

Equazione di equilibrio traslazione verticale:

022

24 23 =⋅−− )(NPP ;

2

N(24)

N(23)

4P

P/2

PN2

723 =)( ; asta 23 tirante

Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale:

022

2423 =−⋅ )()( NN ;

PN27

24 −=)( ; asta 24 puntone

• Nodo 3


022

27

43 =+⋅ )(NP ;

PN27

43 −=)(N(43) ; asta 4-3 puntone

7P/√2 Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: N(35)

022

27

35 =⋅− PN )( ; 3

PN27

35 =)( ; asta 3-5 tirante

• Nodo 4


022

27

45 =⋅+− )(NPPN(46)

47P/2

N(45) 7P/2

P ;

PN2



022

25

27

46 =⋅++ PNP )( ;

PN 646 −=)( ; asta 4-6 puntone



• Nodo 5


022

25

56 =+⋅ )(NP ; N(56)

PN25

56 −=)(5P/√2 ; asta 5-6 puntone

N(57) Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale:

027

22

25

57 =−⋅− PPN )(

PN 657 =)(

5 7P/2 ;

; asta 5-7 tirante

• Nodo 6


6

N(68)

6P

N(67) 5P/2

P 022

25

67 =⋅+− )(NPP ;

PN2



022

236 68 =⋅++ PNP )( ;

PN2

1568 −=)( ; asta 6-8 puntone

• Nodo 7


022

23

78 =+⋅ )(NP ; N(78)

PN23

78 −=)(

3P/√2 ; asta 7-8 puntone

N(79) Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: 7

0622

23

79 =−⋅− PPN )(

6P ;

PN2




• Nodo 8


022

23

89 =⋅+− )(NPP

8 N(810)

15P/2

N(89) 3P/2

P ;

289PN =)( ; asta 7-9 tirante


022

2215

810 =⋅++PNP )(

PN 8810 −=)(

0910 =+ )(NPPN −=)(910

08 1012

;

; asta 8-10 puntone

• Nodo 10

N(1012) 8P

N(910)

P Equazione di equilibrio traslazione verticale:

; ; asta 9-10 puntone

Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: =+ )(NP ; PN 81012 −=)( ; asta 10-12 puntone

• Nodo 9


022

22

2 912 =+−⋅ )(NPP ; P N(912)

P/√2

2912PN =)( ; asta 9-12 tirante

Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: 9 15P/2

022

2=⋅

215

22

2911 −+⋅+−PPPN )( ;

N(911)

PN2

15911 =)( ; asta 9-11 tirante



E’ opportuno ricordare che avendo considerato la trave simmetrica sono stati esaminati soltanto i nodi da 1 a 10.

Figura 6. Visualizzazione dei puntoni (rosso) e dei tiranti (giallo).

4.3 Calcolo sforzi normali (metodo di Ritter) Questo metodo consiste nel determinare lo sforzo in un’asta di travatura

reticolare, soggetta ad una sollecitazione puramente nodale, supponendo note tutte le forze agenti indipendentemente dal numero di aste incognite concorrenti nei suoi nodi estremi.

Si definisce sezione di Ritter coniugata all’asta 12, una sezione che divide la travatura in due parti e che tagli, oltre all’asta 12, altre due aste concorrenti in uno stesso punto T (polo) non appartenente alla retta 12. Per determinare lo sforzo nell’asta 12 è sufficiente imporre l’equilibrio alla rotazione attorno al polo T di una delle due parti in cui la sezione di Ritter ha diviso la struttura.

Figura 7. Localizzazione delle sezioni di Ritter nella capriata.

Di seguito vengono esaminate le singole sezioni sopra illustrate.

Sez. A-A:

• Sezione di Ritter coniugata rispettivamente alle aste 2-3, 2-4, 1-3.

Equilibrio alla traslazione verticale:



0452

4 23 =°⋅−− cos)(NPP

27

22

28

223PPPN =

+−=)(

L’asta 2-3 risulta essere un tirante. Equilibrio alla rotazione attorno al punto 3:

042 24 =−− lNPllP

)(

PPPN27

2424 −=+−=)(

L’asta 2-4 risulta essere un puntone. Equilibrio alla rotazione attorno al punto 2: N 0)13( =l L’asta 1-3 risulta essere scarica.

• Sez. B-B Equilibrio alla traslazione verticale:

0452

4 45 =−°⋅−− PNPP cos)(

2

52

24245

PPPPN =

+−−=)(


042 35 =−− lNPllP

)(

PPPN274

235 =+−=)(


02422 46 =−+⋅−⋅ lNPllPlP

)(

PPPN 62846 −=+−=)( L’asta 4-6 risulta essere un puntone.

• Sez. C-C Equilibrio alla traslazione verticale:



04522

4 67 =°⋅−−− cos)(NPPP

2

32

242267

PPPPN =

+−−=)(


022422 57 =+⋅+⋅−⋅ lNlPlPlP

)(

PPPN 62857 =−=)( L’asta 5-7 risulta essere un tirante. Equilibrio alla rotazione attorno al punto 7:

023432 68 =−+⋅+⋅−⋅ lNPllPlPlP

)(

PPPPN2

152

312368 −=+−=)(

L’asta 6-8 risulta essere un puntone.

• Sez. D-D Equilibrio alla traslazione verticale:

04532

4 89 =°⋅−−− cos)(NPPP

22

243289

PPPPN =

+−−=)(

L’asta 8-9 risulta essere un tirante.

Equilibrio alla rotazione attorno al punto 8:

023432 79 =++⋅+⋅−⋅ lNPllPlPlP

)(

PPPPN2

1531223

79 =−+−=)(


0234442 810 =−+⋅+⋅+⋅−⋅ lNPllPlPlPlP

)(

PPPPN 82166810 −=+−=)( L’asta 8-10 risulta essere un puntone.



• Sez. E-E Equilibrio alla rotazione attorno al polo 1, coniugato all’asta3-4:

027

34 =+ lNPl )(

PN27

34 −=)(


• Sez. F-F

Equilibrio alla rotazione attorno al polo 1, coniugato all’asta 5-6: 026 56 =++− lNPlPl )(

PN25

56 −=)(


• Sez. G-G

Equilibrio alla rotazione attorno al polo 1, coniugato all’asta 7-8:

032

152 78 =++−− lNPlPlPl )(

PN23

78 −=)(


Per calcolare gli sforzi nelle aste 1-2, 9-10 e simmetrici, si ricorre obbligatoriamente al metodo di equilibrio ai nodi già illustrato, o ad altri metodi di risoluzione, quali il diagramma cremoniano. I risultati così ottenuti possono sintetizzarsi nella tabella sottostante (tabella 1), dove P indica che l’asta è un puntone e T un tirante, mentre X indica che l’asta è scarica.

Figura 8. Visualizzazione delle aste puntoni (rosse) e tiranti (gialle).

PTTPPTTPPTTPPXTPPtipo

P15/2 P√2/2 P8P3/2 P6P3√2/2 P15/2 P5/2 P7/2 P5√2/2 P6P7/2 PX7√2/27/2 P4Psforzo

1716151413121110987654321asta



1716151413121110987654321asta

Tabella 1. Dati relativi agli sforzi normali delle singole aste, per metà struttura (vedi §4.1.1 Simmetria della struttura).



4.4 Dimensionamento delle aste della capriata Le aste risultano sollecitate esclusivamente a sforzo normale, essendo trascurabile il momento flettente dovuto al peso proprio. Per i tiranti la verifica di resistenza è soddisfatta dalla seguente equazione:

admAN σσ ≤=

Per i puntoni la verifica viene effettuata secondo il metodo ω. In questo caso la formula precedente diviene:

admAN σωσ ≤

⋅=

Dove “ω” è un coefficiente maggiore dell’unità, che tende al valore di 1 per strutture poco snelle (tozze) mentre per snellezze elevate dipende dalle caratteristiche del materiale impiegato, dalla snellezza dell’elemento considerato, e quindi dalla geometria della sezione trasversale, dalla lunghezza della trave e dai vincoli di estremità.

Ef

Eycradm

crcr

adm

⋅

⋅=

⋅⋅

== 2

22

2/ πλ

λπ

νσνσ

σω

Per il calcolo del dimensionamento le aste sono state suddivise in quattro gruppi in rapporto al tipo e al valore assoluto dello sforzo normale a cui risultano soggette. Nella figura 9 sono illustrati questi quattro comparti.

Legenda: █ Aste tipologia A █ Aste tipologia B █ Aste tipologia C █ Aste tipologia D

Figura 9. Visualizzazione delle quattro tipologie di aste nelle quali è stata divisa la struttura.



• Aste A:

Le aste A sono tutte dei puntoni e quindi sarà utilizzato come verifica il metodo ω . Lo sforzo di compressione maggiore si manifesta nell’asta 8-10, ed anche nella simmetrica 10-12, ed è pari a:

KgPNc 119368 ==

Dal prospetto 7-IIa della tabella UNI 10011-88 per aste semplici con profili cavi quadri, rettangolari o tondi, con spessore minore di 40 mm, ricaviamo il valore del coefficiente ω, che vale, per λ = 100 ed acciaio Fe360:

ω = 1.60 per cui abbiamo:

294111600

11936601 cmNAadm

c ..min =

⋅=

⋅=

σω

Dalle tabelle dei prodotti siderurgici in acciaio, scegliamo una profilo a sezione cava circolare Ccavo 108 x 3.754. Verifica: Essendo le aste della capriata incernierate ai nodi e l’acciaio adottato di tipo Fe360, la snellezza ed il coefficiente ω per le aste tipo A risultano:

2054693

200 ..

===iloλ

A questo valore di snellezza, nella tabella, corrisponde a:

ω = 1.12

22 1600610882812

11936121 cmKgcmKgAN

admc

eff //..

.=≤=

⋅=

⋅= σ

ωσ

Per le aste tipo A adotto quindi un profilo a sezione cava circolare Ccavo 108 x 3.75.

• Aste B Essendo le aste B sottoposte a trazione saranno progettate a sforzo normale. Lo sforzo normale di progetto risulta lo sforzo che interessa le aste 7-9 e, simmetricamente, 9-11:

KgPNt 111902

15==

E quindi il dimensionamento è:

22 007996160011190 cmcmNA

adm

t ..min ≈===σ

4 Le caratteristiche del profilato adottato sono riportate nell’Allegato 1.



Scegliamo quindi un profilo cavo circolare Ccavo 83 x 3.255. Verifica:

22 160071374148

11190 cmKgcmKgA

Nadm

teff //.

.=≤=== σσ

Per le aste tipo B adotto quindi un profilo a sezione cava circolare Ccavo 67 x 3.

• Aste C Le aste C sono tutte dei puntoni e quindi sarà utilizzato il metodo ω. Lo sforzo di compressione maggiore si manifesta nell’asta 1-2, ed anche nella simmetrica 17-18, ed è pari a:

KgPNc 59684 ==

Anche in questo caso, adottando con profili cavi tondi in acciaio Fe360, con spessore minore di 40 mm, ed ipotizzando λ = 100, dal prospetto risulta:

ω = 1.60 per cui abbiamo:

29751600

5968601 cmNAadm

c ..min =

⋅=

⋅=

σω

Dalle tabelle dei prodotti siderurgici in acciaio, scegliamo una profilo a sezione cava circolare Ccavo 76 x 36. Verifica: Essendo le aste della capriata incernierate ai nodi e l’acciaio adottato di tipo Fe360, la snellezza ed il coefficiente ω per le aste tipo B risultano:

577582

200 ..

===iloλ

A questo valore di snellezza, nella tabella, corrisponde a:

ω = 1.29

22 160011198865968291 cmKgcmKg

AN

admc

eff //.

.=≤=

⋅=

⋅= σ

ωσ

Per le aste tipo C adotto quindi un profilo a sezione cava circolare Ccavo 76 x 3.

• Aste D Le aste D risultano tiranti e per questo deve essere dimensionata solo a sforzo normale, il valore di progetto del quale è quello relativo alle aste 2-3 e 15-18 :

5 Le caratteristiche del profilato adottato sono riportate nell’Allegato 1. 6 Le caratteristiche del profilato adottato sono riportate nell’Allegato 1.



KgPNt 73852

7==

E quindi il dimensionamento è:

262416007385 cmNA

adm

t .min ===σ

Scegliamo quindi un profilo circolare CAVO 57 X 37. Verifica:

22 160071453085

7385 cmKgcmKgA

Nadm

teff //.

.=≤=== σσ

Per le aste tipo D adotto quindi un profilo a sezione cava circolare Ccavo 57 x 3. 4.5 Risultati

C C C C C C C C C

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

D D D DD D D D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

A s t e A B C D Sezioni C c a v o 1 0 8 x 3 . 7 5 Cc a v o 67 x 3 Cc a v o 76 x 3 Cc a v o 57 x 3

7 Le caratteristiche del profilato adottato sono riportate nell’Allegato 1.



5. CALCOLO DELLO SPOSTAMENTO CON PLV In questo capitolo viene calcolato unicamente lo spostamento del nodo 5 utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali - in seguito PLV - per fornire un esempio di calcolo analitico. Il PLV afferma che il lavoro virtuale interno è uguale al lavoro virtuale esterno:

*int

* LLest =

In un solido deformabile soggetto ad un insieme di forze in equilibrio, il lavoro virtuale esterno è uguale al lavoro virtuale interno per qualsiasi insieme di spostamenti virtuali piccolissimi e congruenti (cioè compatibili con i legami interni ed esterni del solido). Si osserva che non vi è alcun legame tra sistema di forze e sistemi di spostamenti, in quanto sono del tutto indipendenti. Nelle applicazioni relative ai sistemi elastici si assume:

• un sistema di forze e di sollecitazione equilibrato, o sistema lavorante, costituito da un sistema fittizio F*;

• un sistema di spostamenti e di deformazioni congruente. Questi sistemi devono possedere dei requisiti necessari per la validità del PLV, ossia: il sistema di forze deve costituire un sistema equilibrato; mentre il sistema degli spostamenti deve essere congruente. Il sistema lavorante viene scelto in modo tale che esso lavori esclusivamente per lo spostamento generalizzato che si cerca. Precisamente, dovendo determinare la componente dello spostamento del punto P lungo la direzione verticale, il sistema lavorante sarà costituito da una forza unitaria applicata in P ed avente direzione y. In tal modo l’unica incognita del problema è il parametro di spostamento. Il lavoro virtuale esterno è fornito dal parametro di spostamento moltiplicato per l’unità. Il lavoro virtuale interno, essendo la struttura isostatica, è esprimibile attraverso le caratteristiche delle sollecitazioni associate al sistema fittizio ed alle deformazioni reali prodotte dai carichi esterni. 5.1 Sistema degli spostamenti reale Il sistema di spostamenti reale, congruente con le deformazioni, si riduce alla struttura principale - su cui gravano i carichi reali computati nel capitolo 3 - che coincide con la capriata già risolta analiticamente8. Di seguito è riportato la struttura risolta:

8 Vedi § 4.2 e § 4. 3. Figura 10. Visualizzazione dei puntoni (rossi) e dei tiranti (gialli) della struttura reale.



Figura 10. Visualizzazione dei puntoni (rossi) e dei tiranti (gialli) della struttura reale.



1716151413121110987654321asta



1716151413121110987654321asta

Tabella 2. Risultati ottenuti per il sistema reale, sistema simmetrico.

5.2 Sistema delle forze e tensioni virtuali Consiste nella capriata soggetta unicamente ad una forza verticale di intensità unitaria applicata nel nodo 5, di cui vogliamo lo spostamento verticale.

Figura 11. Schema statico del sistema delle forze fittizio.

Calcolo delle reazioni vincolari:

equilibrio alla traslazione orizzontale

=⋅−⋅

=+

=

08211

0

17

171

1

lVlVV

H

*

* equilibrio alla traslazione verticale equilibrio alla rotazione rispetto a 1

=

=

=

41

430

17

1

1

V

V

H

Attraverso il metodo di equilibrio ai nodi, gli forzi normali virtuali, ai quali è soggetta la capriata, risultano:



Figura 12. Visualizzazione dei puntoni (rossi) e dei tiranti (gialli) del sistema delle forze fittizio.

XTTPPTPPTTTPPXTPPtipo

X3/4√2/41 √2/43/23√2/43/41/43/43√2/41 1/23/4X3√2/43/43/4sforzo

1716151413121110987654321asta

XTTPPTPPTTTPPXTPPtipo

X3/4√2/41 √2/43/23√2/43/41/43/43√2/41 1/23/4X3√2/43/43/4sforzo

1716151413121110987654321asta

PXTPPTTPPTTPPTTPtipo

1/4X√2/41/41/41/4√2/41/21/41/2√2/43/41/43/4√2/41 sforzo

33323130292827262524232221201918asta

PXTPPTTPPTTPPTTPtipo

1/4X√2/41/41/41/4√2/41/21/41/2√2/43/41/43/4√2/41 sforzo

33323130292827262524232221201918asta

Tabella 3. Risultati ottenuti per il sistema virtuali.

5. 3 Calcolo dello spostamento del nodo 5 In questo caso particolare in cui la struttura è soggetta al solo sforzo normale costante nella lunghezza dell’asta, il lavoro virtuale interno è fornito dalla relazione:

ii

n

il

AENNL ⋅

⋅⋅= ∑

=1

0**int

Dove: • N* è lo sforzo normale delle aste del sistema di forze e tensioni virtuali

equlibrato; • N0 è lo sforzo normale delle aste del sistema di spostamenti e

deformazioni congruente; • A è l’area delle sezioni del sistema spostamenti e deformazioni

congruente; • E è il modulo di elasticità dell’acciaio; • è la lunghezza della i-esima asta. il

Dai calcoli, svolti attraverso un foglio di calcolo Excel9, risulta:

cmKgL *.*int 570361=

Il lavoro virtuale esterno vale:

; 51 vvFLi

iiest ⋅=⋅= ∑ **

dove v5 è l’abbassamento verticale incognito , relativo al nodo 5 nel sistema di spostamenti e deformazioni congruente.

Quindi, per il PLV: *int

* LLest =

9 Vedi Allegato 3 per la tabella di calcolo utilizzata e cd allegato per il file excel.



Lo spostamento del nodo 5 risulta:

5703611 5 .* =⋅ v

cmv 5703615 .=



6. ANALISI SAP Il programma Sap permette uno studio completo e veloce della struttura. E’ stato creato il modello della capriata inserendo i seguenti elementi:

• geometria della struttura; • vincoli; • carichi gravanti; • sezioni strutturali adottate10.

Sono state considerate 3 diversi modelli:

• caso 1: il modello è identico a quello sviluppato analiticamente11; • caso 2: il modello si distingue dal caso 1 nella condizione di carico. Il

peso proprio è considerato, nel suo valore reale12, linearmente distribuito lungo le aste;

• caso 3: il modello differisce dal caso 1 per il vincolo nel nodo 17, il carrello è stato sostituito da un carrello.

6.1 Caso 1 E’ stato creato il modello relativo alla capriata studiata, inserendo la geometria ed i carichi applicati, per verificare la correttezza dei calcoli analitici svolti.

1

2746

,00

3

4149

2,00

5

6149

2,00

7

8149

2,00

9

101492

,00

11

121492

,00

13

141492

,00

15

161492

,00

17

18746,

00

X

Z

Figura 13. Schema con carichi della struttura studiata analiticamente. L’elaborazione dei dati ha portato ai seguenti risultati:

• le reazioni vincolari; • la struttura deformata; • le sollecitazioni delle aste con i relativi diagrammi.

Le reazioni vincolari hanno i seguenti valori:

KgRX 01 = KgRZ 59681 = KgRZ 596817 =

La deformata13 risulta:

10 Vedi §4.4. 11 Vedi §4 e §5. 12 Ossia relativo ai profilati adottati (§4.4). 13 Il valore degli spostamenti dei nodi è riportato nell’Allegato 3.



X

Z

Figura 14. Deformata della struttura studiata analiticamente.

Nell’andamento della deformata si nota che il carrello nel nodo 17 permette una traslazione orizzontale della struttura che subisce anche un abbassamento in direzione z a causa delle forze verticali. Gli spostamenti verticali risultano simmetrici, mentre, per quanto riguarda gli spostamenti orizzontali, questi avvengono tutti verso il nodo 17, che presenta la traslazione di maggiore entità (figura 14). Da questa modellazione strutturale risulta che il nodo 5 subisce, sotto dette condizioni di carico, uno spostamento verticale pari a:

cmv 75815 ,−=

Il diagramma dello sforzo normale14 è il seguente (figura 15).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

Figura 15. Diagramma dello sforzo normale della struttura studiata analiticamente.

6.2 Caso 2 Nella creazione di questo modello sono stati inseriti la geometria della travatura, le sezioni delle aste15, il materiale, i carichi - costituiti dal peso degli arcarecci e del manto di copertura - e i vincoli interni ed esterni. Rispetto alla modellazione precedente non viene considerato nei carichi applicati sui nodi il peso proprio della capriata. Esso verrà considerato nel suo valore reale e nella sua applicazione reale, ossia linearmente distribuito lungo le aste. Il peso proprio delle aste della capriata, considerato automaticamente dal programma lungo le aste, causa un momento flettente e uno sforzo di taglio. I carichi applicati sui nodi sono:

14 Il valore degli sforzi normali delle aste è riportato nell’Allegato 3. 15 Le sezioni relative al § 4.4.



• Nodi esterni: kgP 5592518120922

.].)[( =⋅+⋅+=

• Nodi interni: kgP 51184591222092 .].)[( =⋅+⋅+=

Lo schema statico di questo caso è illustrato in figura 15.

C C C C C C C C C

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

D D D DD D D D

1

2592

,25

3

4118

4,50

5

6118

4,50

7

8118

4,50

9

101184

,50

11

121184

,50

13

141184

,50

15

161184

,50

17

18592,

25

X

Z

Figura 2. Schema della travatura nel caso 2.

Il programma, per la condizione di carico considerata, ha fornito i seguenti valori delle reazioni vincolari:

KgRX 01 = KgRZ 2770691 .= KgRZ 27706917 .= e la seguente deformata (figura 16):

X

Z

Figura 3. Deformata della struttura nel caso 2.

Essendo caricate le aste del proprio peso, in questo caso risultano non nulle anche le sollecitazioni di momento flettente e taglio. Nell’Allegato 4 sono riportati i valori delle sollecitazioni e degli spostamenti subiti dalla struttura.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

Figura 4. Diagramma dello sforzo normale delle aste nel caso 2.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

Figura 5. Diagramma del momento flettente – M3 - delle aste nel caso 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

Figura 6. Diagramma del taglio – T2 – delle aste nel caso 2.

6.3 Caso 3 E’ interessante analizzare anche la struttura modifica nel vincolo del nodo 17, sostituendo il carrello ivi situato con una cerniera.

1

2746

,00

3

4149

2,00

5

6149

2,00

7

8149

2,00

9

101492

,00

11

121492

,00

13

141492

,00

15

161492

,00

17

18746,

00

X

Z

Figura 7. Schema statico della struttura nel caso 3.

Le reazioni subiscono naturalmente una variazione, in quanto compaiono delle reazioni di tipo orizzontale.

KgRX 2273271 .= KgRZ 2069111 .= KgRX 22732717 .−= KgRX 20691117 .=

La deformata assume un andamento diverso, in quanto al nodo 17 adesso è impedita la traslazione lungo la direzione x, e quindi il relativo spostamento sarà nullo. I valori degli spostamenti subiti dai nodi della struttura modificata sono riportati nell’Allegato 5, assieme ai valori degli sforzi delle aste.



X

Z

Figura 21. Deformata della capriata nel caso 3.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

X

Z

Figura 22. Diagramma degli sforzi normali nel caso 3.

Gli sforzi di taglio e di momento flettente delle aste sono nulli, avendo considerato, come nel caso 1, il peso proprio della capriata come un valore approssimato applicato sui nodi, e in quanto sono state considerate cerniere al termine di ogni asta.



7. CONCLUSIONI Il confronto fra i vari casi avviene in termini di reazioni vincolari, sforzi delle aste e spostamenti dei nodi. Per ogni singolo caso sono riportati in allegato16 i valori determinati. 7.1 Confronto tra la struttura studiata analiticamente17 e la

modellizzazione sul sap - caso 1 La piccola discrepanza rilevata tra lo spostamento del nodo 5 calcolato analiticamente e quello risultato dal sap è imputabile agli arrotondamenti effettuati con il metodo analitico. Per il resto i due modelli coincidono. L’abbassamento del nodo 5 risulta rispettivamente nei due casi: Caso analitico: v5 = - 1.57 cm; Caso 1 : v5 = - 1.75 cm; 7.2 Confronto tra il caso 1 e il caso 2 Le reazioni nei due casi sono risultate: Struttura studiata: Rx1 = 0; Rz1 = 5968 Kg; Rz17 = 5968 Kg. Struttura reale: Rx1 = 0; Rz1 = 4960.05 Kg; Rz17 = 4960.05 Kg. Le sollecitazioni sono minori nella struttura reale. Le differenze sono appunto causate dalla differente condizione di carico secondo due discrepanze: il valore e il luogo dell’applicazione. Nella struttura studiata il peso proprio della capriata è stato considerato attraverso un valore approssimato applicato ai nodi della sola briglia superiore. Nella struttura reale invece il peso proprio della capriata è stato riferito ai valori effettivi in quanto sono state considerate le varie sezioni delle aste ed il materiale di cui sono costituite. Il programma considera il peso come un carico distribuito linearmente lungo la lunghezza delle aste. Riguardo lo spostamento verticale del nodo 5, esso risulta: Caso 1: v5 = - 1.75 cm; Caso 2: v5 = - 1.45 cm; 7.3 Confronto tra il caso 1 e il caso 3 Con la sostituzione del carrello con una cerniera la struttura acquista una reazione vincolare e conseguentemente perde un grado di libertà. Le reazioni dei due casi sono: Caso 1: Rx1 = 0; Rz1 = 5968 Kg; Rz17 = 5968 Kg. Caso 3: Rx1 = 6341 Kg; Rz1 = 5968 Kg;

16 Allegati 2, 4, 5 e 6. 17 Cap. 4 e 5.



Rx17 = - 6341 Kg; Rz17 = 5968 Kg. Il valore dello spostamento verticale del nodo 5 è: Caso 1: v5 = - 1.75 cm; Caso 3: v5 = - 1.36 cm. Incernierando la capriata in entrambi i nodi estremi si ottiene sia minor deformazione sia minori sforzi sulle aste. Questo perché alla travatura è impedito ogni movimento in direzione orizzontale e verticale, per cui risulta una struttura più rigida.



BIBLIOGRAFIA Manuale d’uso del software integrato per l’analisi strutturale e le verifiche in ambiente Windows SAP 2000 versione 8. Computers & Structures Inc. Borri C., Appunti delle lezioni del corso di Meccanica dei solidi, a.a. 2001/02. Baldacci R., Scienza delle costruzioni, Utet edizioni. Viola E., Esercitazioni di scienza delle costruzioni, Pitagora editrice Bologna. Belluzzi O., Scienza delle costruzioni Vol I, Ed. Zanichelli. AA. VV., Manuale dell’ingegnere civile, Zanichelli. DOCUMENTI CONSULTATI D.M. 16-01-1996 - Norme tecniche relative ai “Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzione e dei carichi e dei sovraccarichi”. D.M. 09-01-1996 - Parte II - Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo per le strutture metalliche.


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