Modulo 1 Classe 3 A-Progr.Mercurio - Altervista

A CURA DELLE PROF. M. FIOCCHI – F. MINNELLA

Modulo 1 Classe 3^A-Progr.Mercurio

1

U.D.1 LE DISEQUAZIONI CON EXCEL

1.1 Progettare un’applicazione ipertestuale che permetta di risolvere qualunque disequazione di 2° grado

a.Preparare la cartella Aprire una nuova cartella Rinominare i fogli come nello schema rappresentato di seguito:

- fare clic col mouse 2 volte, in rapida successione ,sul nome del foglio e quando si visualizza in negativo,digitare il nome desiderato

b.Inserire il testo ed i valori Inserire il testo ed i valori secondo gli schemi rappresentati di seguito

Foglio disequazione

A B C D E F G1 Disequazioni di secondo grado23 Dati della disequazioni4 a b c Operatore Operatore5 1 -5 6 > = 0678 Valore del discriminante91011 Per verificare la soluzione della disequazione spostarsi sul foglio12 corrispondente al valore del discriminante1314 Discriminante maggiore di 01516 Discriminante uguale a 01718 Discriminante minore di 019

Formattazione celle• A1 dimensione 14• B3 dimensione 12• Zona B4:F4 stile grassetto• Evidenziare la zona B4:D5 ; G5 in grigio per evidenziare le celle in cui inserire i

coefficienti e gli operatori della disequazione:1) selezionare la zona B5:D5;2) tenendo premuto il tasto Ctrl sulla tastiera selezionare anche la cella G5;3) aprire il menu di Riempimento colore con un clic sulla freccia accanto al pulsante

presente nella barra degli strumenti di Formattazione;4) selezionare il grigio desiderato

2

• Colorare la zona E5:F5 in un grigio più scuro del precedente.

Foglio D.> 0A B C D E F G

1 Soluzione con il discriminante maggiore di 023 L’equazione associata alla disequazione contiene 2 soluzioni reali e distinte456 Dati della disequazione7 a b C Operatore Operatore8 091011 Radici dell’equazione associata12 X1=13 X2=1415 La disequazione è verificata all’intervallo delle 2 radici16 con i valori delle radici

Formattazione celle• A1 dimensione 14• B7:F7 stile grassetto• Zona B8:G8 evidenziata in grigio

Foglio D.= 0

A B C D E F G1 Soluzione con il discriminante uguale a 023 L’equazione associata alla disequazione contiene 2 soluzioni reali e coincidenti456 Dati della disequazione7 a b C Operatore Operatore8 091011 Radice dell’equazione associata12 X1=131415 La disequazione

Foglio D.< 0

A B C D E F G1 Soluzione con il discriminante minore di 023 L’equazione associata alla disequazione non contiene soluzioni reali456 Dati della disequazione7 a b c Operatore Operatore8 09101112 La disequazione

Assegnare alle celle dei fogli D.= 0 e D .< 0 la formattazione già utilizzata per foglio D. > 0

3

c. Inserire le formuleFoglio disequazione

Cella Dato digitato Dato visualizzatoE8 = C5^2-4*B5*D5 1

Foglio D.> 0

Cella Dato digitato Dato visualizzatoB8 = Disequazione!B7 1

Copiare il contenuto della cella B8 nella zona C8:F8

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD12 =(-C8+RADQ(Disequazione!E10))/(2*B8) 3D13 =(-C8-RADQ(Disequazione!E10))/(2*B8) 2E15 =SE(O(B8>0;E8=”>”);(E(B8<0;E8=”<”)));

“esternamente”;”internamente”)esternamente

E16 =SE(F8=”=”;”compresi.”;”esclusi.”) Compresi

Formattazione celle• E15 ed E16 stile grassetto

Foglio D.= 0


• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona C8:F8

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD15 = SE(O(E(B8>0;E8=”>”);(E(B8<0;E8=”<”)));

SE(F8=”=”;” è verificata per ogni valore di x”;CONCATENA(“è verificata per x<>”;D12));SE(F8=”=”;CONCATENA(“ verificata per x=”;D12);”non è mai verificata”))

è verificata per ogni valore di x

Formattazione celle• D15 stile grassetto

Foglio D.< 0


• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona C8:F8

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD15 = SE(O(E(B8>0;E8=”>”);(E(B8<0;E8=”<”)));

è verificata per ogni valore di x”;“non è mai verificata”)È verificata per ogni valore di x

Formattazione celle

4

• D15 stile grassetto

d. Rendere l’applicazione ipertestuale Selezionare il foglio Disequazione Rendere attiva la cella B16

selezionare Collegamento ipertestuale al menu che si apre.

Fare clic sul pulsante Segnalibro ;

Nella finestra che si visualizza fare clic su D.>0. Nella casella Digitare il riferimento di cella si visualizza il riferimento A1

Confermare con OK

Confermare nuovamente con OK

La scritta Discriminante maggiore di 0 si visualizza in blu e sottolineato.Ripetere l’operazione con gli altri termini e i fogli corrispondenti.

Verificare il funzionamento dei collegamenti ipertestuali facendo clic su di essi e tornando al foglio Disequazione con la freccia presente nella barra degli strumenti Web

Se la barra degli strumenti Web non è visualizzata ,eseguire la sequenza di istruzioni descritta di seguito:

• Selezionare Visualizza nella barra dei menu

• Selezionare Barre degli strumenti dal menu che si apre

• Attivare Web dal nuovo menu.

1.2 Disequazioni Frazionarie

Problema

Risolvere la disequazione frazionaria : ( x2- 4) /(x +1 ) > 0

a.Inserire il testo e i valori

A B C D E F G1 Disequazione fratta : (x^2-4)/(x+1)>023 Valore iniziale -54 Passo 1567 Asse x Numeratore Denominatore Frazione Segno Positività

Formattazione celle• A1 stile grassetto• Adattare la larghezza delle colonne al testo contenuto :

1)selezionare la zona A7:F7;2)selezionare la voce Colonna dal menu Formato;3)selezionare Adatta dal menu che si apre accanto al precedente

5

b.Inserire le formule

Cella Dato digitato Dato visualizzatoA8 =C3 -5A9 =A8+$C$4 -4B8 =A8^2-4 21C8 =A8+1 -4D8 =SE(C8<>0;B8/C8;”Non Def”) -5,25E8 =SE(VAL.TESTO(D8)=VERO;

” ”;SE(D8>0;”+”;SE(D8=0;”0”;”-“)))

-

F8 =SE(VAL.TESTO(D8)=VERO;””;SE(D8>0;1;SE(D8=0;0;-1)))

-1

• Copiare il contenuto della cella A9 nella zona A10:A18• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona B9:B18• Copiare il contenuto della cella C8 nella zona C9:C18• Copiare il contenuto della cella D8 nella zona D9:D18• Copiare il contenuto della cella E8 nella zona E9:E18• Copiare il contenuto della cella F8 nella zona F9:F18Terminare le operazioni descritte.

c.Costruire il grafico della positività

Selezionare le zone A7:A18 e F7:F18, quindi costruire il grafico scegliendo il tipo Dispers.(XY),e seguendo le indicazioni contenute nelle finestre della procedura Autocomposizione grafico.

1.3 Sistema di Disequazioni

Problema

Risolvere il sistema formato dalle disequazioni : x2- 9 ≥ 0 e x + 4 ≥ 0 .

a. Inserire il testo ed i valori

6

Inserire il testo ed i valori secondo lo schema rappresentato di seguito :

A B C D E F G1 Sistemi di disequazioni : x^2-9>=0;x+4>=023 Valore iniziale -104 Passo 1567 Asse x 1°Equazione 2°Equazione Soluzione8

Formattazione celle• A1 stile grassetto• Adattare la larghezza delle colonne al testo contenuto:

1) selezionare la zona A7:F7;2) selezionare la voce Colonna dal menu Formato;3) selezionare Adatta dal menu che si apre accanto al precedente


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA8 =C3 -10A9 =A8+$C$4 -9B8 =A8^2-9 91C8 =A8+4 -6D8 =SE(B8>=0;1;” “) 1E8 =Se(C8>=0;1;” “)F8 SE(E(D8=1;E8=1);1;” “)

• Copiare il contenuto della cella A9 nella zona A10:A28• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona B9:B28• Copiare il contenuto della cella C8 nella zona C9:C28• Copiare il contenuto della cella D8 nella zona D9:D28• Copiare il contenuto della cella E8 nella zona E9:E28• Copiare il contenuto della cella F8nella zona F9:F28Terminare le operazioni descritte.

c.Costruire il grafico della positivitàSelezionare le zone A7:A28 e F7:F28, quindi costruire il grafico, scegliendo il tipo Dispers.(XY),seguendo le istruzioni contenute nelle finestre della procedura Autocomposizione grafico

1.4 Disequazioni con Valore Assoluto

ProblemaRisolvere la disequazione in valore assoluto : | x – 5 | < 2.a.Inserire il testo e i valori

A B C D1 Disequazioni con il valore assoluto23 Valore iniziale 04 Passo 0,55

7

6 Asse x Equazione Positività7


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA7 =C3 0A8 =A7+$C$4 0,5B7 =ASS(A7-5)-2 3C7 =Se(B7>0;1;SE(B7=0;0;-1)) 1

Copiare le formule nelle zone opportune.Terminate le operazioni descritte , il foglio di lavoro assume l’aspetto seguente:

A B C D1 Disequazioni con valore assoluto23 Valore iniziale 04 Passo 0,556 Asse x Equazione Positività7 0 3 18 0,5 2,5 19 1 2 110 1,5 1,5 111 2 1 112 2,5 0,5 113 3 0 014 3,5 -0,5 -115 4 -1 -116 4,5 -1,5 -117 5 -2 -118 5,5 -1,5 -19 6 -1 -120 6,5 -0,5 -121 7 0 022 7,5 0,5 123 8 1 124 8,5 1,5 125 9 2 126 9,5 2,5 127 10 3 1

c.Costruire il grafico della positività

1.5 ESERCITAZIONI PROPOSTE

1.Costruire un’applicazione ipertestuale che permetta di risolvere le seguenti disequazioni:

a . x2-5x +6 < 0b . 4x2-9> 0c . –2x2+7x-3>0d . ( x-5)/(x+3)>0e . (x-3)/(1-x) <0f .(9-x2)/(2x+1) > 0g . | x + 2| > 3

8

h . | 2 – x | > 5i . |2x + 3 | < 2l . | x – 4 | < 1

2. Studiare i seguenti sistemi :

x – 3 ≥ 0 x + 2 > 2 – x < 0 2x – 4 ≤ 0x2 – 2x – 3 ≤ 0 x2 – 4x > 0 x2 – 9 ≥ 0 x2 – 2x – 3 ≥ 0

U.D.2 LE DISEQUAZIONI CON DERIVE

2.1 Disequazioni Razionali Intere e Frazionarie

Per risolvere una disequazione razionale intera con Derive , basta inserire il testo della disequazione assegnata con il comando CreA e poi attivare il comando Risolvi .

Se si prova a risolvere la disequazione x2- 3x – 4 < 0 , Derive dà subito la soluzione : – 1 < x < 4

Anche nel caso di disequazioni razionali frazionarie, il programma Derive riesce subito a trovare le soluzioni.Provare ad applicare il comando Risolvi alla disequazione : ( 2 – x ) / (x + 1) > ( x – 2 ) / ( 3 – x )Derive propone le soluzioni su due righe : x > 3 sulla prima riga e - 1 < x < 2 sulla seconda riga.

Attenzione al modo in cui sono date le soluzioni di alcune disequazioni.Alcuni esempi:

x2 + 4 < 0 Derive comunica il messaggio :” Non sono state trovate soluzioni”. Questo significa che l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto.

x2+ x + 3 > 0 Derive restituisce la soluzione x = @ 1. Il simbolo @ con un numero indicato al fianco ( in questo caso 1 ) sta ad indicare che qualsiasi numero reale è soluzione della disequazione. Questo significa che l’insieme delle soluzioni è R.

x2- 2x + 1> 0 Derive propone la soluzione x ≠ 1.Questo significa che l’insieme delle soluzioni è l’insieme R ad esclusione del numero 1.

Derive riesce a risolvere in breve tempo anche disequazioni razionali intere di grado superiore al secondo.Se si prova a risolvere la disequazione : 4x3- x2 – 11x - 6 > 0 ,Derive dà la soluzione - 1< x < - ¾ v x > 2 .

9

2.2 Disequazioni Irrazionali

Per le disequazioni di questo tipo , il comando Risolvi non basta più.Vediamo come si deve procedere per risolvere la disequazione : √ 3x+ 4 < x – 2

Per risolvere tale disequazione si deve ricorrere al metodo grafico ; pertanto si devono costruire i grafici delle funzioni

y = √ 3x + 4 e y = x – 2e determinare , anche in modo approssimato,le ascisse dei loro punti di intersezione.Si deve procedere così :

Inserire le equazioni delle due funzioni col comando creA Costruire il grafico della prima funzione

Costruire sullo stesso piano cartesiano, il grafico della seconda funzione (passare alla finestra 1 ed evidenziare la seconda funzione; passare di nuovo alla finestra grafica e usare il comando Grafico )

Derive disegna il secondo grafico con un colore diverso dal precedente in modo che essi siano facilmente distinguibili.Osserviamo però che ,parte del grafico non è visibile,non si riesce a capire se le due curve s’intersecano oppure no. Si devono ridurre i due grafici col tasto funzione F10 finché diventano visibili per la parte che interessa.Dal loro confronto risulta che le due curve s’intersecano in un punto di cui però non è immediatamente individuabile il valore dell’ascissa. Si deve spostare la croce mobile fino a farla sovrapporre al punto di intersezione ; così si può osservare che tale ascissa vale circa 7 ( l’approssimazione dipende anche dall’ingrandimento del grafico, si possono ottenere valori più precisi ingrandendo la zona dell’intersezione col comando area o tutto il grafico col tasto F9 ).Per avere il valore esatto sidovrebbe risolvere l'equazione √ 3x + 4 = x – 2 , ma sostituendo 7 al posto dell’incognita, l’equazione è verificata solo se è x > 7.

2.3 Disequazioni con Valore Assoluto

Vediamo come procedere per risolvere la disequazione con valore assoluto : x2 – 4x > 5 Si deve seguire un procedimento analogo.

Inserire le funzioni y = x2 – 4x e y = 5

Costruire il grafico della funzione y = x2 – 4x Costruire il grafico della funzione y = 5 Ridurre il grafico col tasto di funzione F10 fino a rendere visibili le intersezioni tra i due

grafici Spostare la croce mobile per individuare le coordinate dei punti di intersezione

Si trova così che x = - 1 oppure che x = 5.Dal confronto fra le due curve si deduce che le soluzioni della disequazione con valore assoluto sono x < - 1 V x > 5 .

2.4 Sistema di Disequazioni

Risolvere il sistema di disequazioni : x2 – 3x < 0 e x2 – 3x + 2 > 0

Risolvere un sistema di disequazioni significa cercare l’insieme di valori della variabile x che soddisfano tutte le disequazioni del sistema stesso.Questo vuol dire che il sistema dato è equivalente alla scrittura : (x2 – 3x < 0 ) Λ ( x2 – 3x + 2 > 0 ) .

11

Provare allora a scrivere con Derive il seguente testo ( Usare il comando creA )x2 – 3x < 0 AND x2 – 3x + 2 > 0 Applicare a quest’espressione il comando Risolvi ; Derive darà la soluzione nella forma 0 < x < 3 AND ( x > 2 OR x > 1 )in cui vengono evidenziate le soluzioni della prima disequazione ( 0 < x < 3) e quelle della seconda disequazione ( x > 2 OR x < 1 ) unite dal connettivo logico AND. La soluzione ottenuta non si può ulteriormente semplificare.Se si vogliono scrivere le soluzioni nel modo abituale , si deve costruire la consueta tabella e dedurre da essa gli intervalli di soluzione.

Si può procedere anche in altro modo.Infatti esiste in matematica una particolare funzione , a cui si dà il nome di “ segno di x ”che assume valore 1 se x è positivo, valore 0 se x è nullo, valore -1 se x è negativo .Analogamente la funzione “ segno di f(x) “ è una funzione che assume valore 1 se, avariare di x nel suo dominio, f(x) è positivo, 0 se f(x) è nullo, -1 se f(x) è negativo.

Ad esempio , la funzione y = segno di ( x2 –1 ) è una funzione che vale: 1 se x2 –1 > 0 1 se x < - 1 V x > 1 0 se x2 –1 = 0 cioè 0 se x ≠ +1 ; - 1 -1 se x2 –1 < 0 -1 se - 1< x < 1

Una funzione di questo tipo può servire a risolvere il problema.Procedere in questo modo :

Col comando creA inserire la funzione SIGN ( x2- 3x ) ( SIGN è il nome della funzione “ segno di x” )

Inserire allo stesso modo la funzione SIGN ( x2- 3x )

Costruire il grafico della prima funzione ( ridurre col tasto F10)Il grafico ottenuto è formato da due semirette parallele all’asse x e passanti per i punti di ordinata 1( che corrispondono ai valori di x minori di 0 e maggiori di 3 ) e da un segmento anch’esso parallelo all’asse x e passante per i punti di ordinata – 1 ( che corrispondono ai valori di x compresi tra 0 e 3 ).Questo vuol dire che il polinomio x2- 3x è positivo se è x < 0 V x > 3 , è negativo se è 0< x < 3 .Si è così rappresentato il segno di x2- 3x .Non si può però procedere come nei casi precedenti e costruire il grafico della seconda funzione nello stesso sistema di riferimento cartesiano ortogonale del primo grafico, perché essi si sovrapporrebbero in parte.Si deve allora costruire il secondo grafico in una seconda finestra grafica che abbia però la stessa scala della prima .Si deve procedere in questo modo:

Accertarsi che la finestra grafica sia quella attiva ( deve essere evidenziato in colore il numero della finestra

Attivare il comando Finestra/Dividi/Orizzontale ed accettare ,premendo INVIO,di dividere alla riga 12 ( cioè a metà schermo).

Si otterrà così una seconda finestra grafica identica alla precedente;da essa si dovrà cancellare il grafico della prima funzione per disegnare quello della seconda funzione.Continuare in questo modo.

Spostarsi nella finestra n.3 ( usare il tasto funzione F1 )

Attivare il comando caNcella( digitando N) e poi Tutti ( digitando T oppure premendo INVIO )

Spostarsi ora sulla finestra n.1 ( quella di algebra)ed evidenziare la seconda funzione spostandosi con i tasti freccia .

Tornare sulla finestra n.3 ed attivare il comando Grafico.Si otterrà che x2- 3x + 2 è positivo se x < 1 v x > 2 , è negativo se 1 < x < 2.

12

Dal confronto delle due finestre grafiche,poiché il sistema risulta verificato quando la prima funzione è negativa e contemporaneamente la seconda è positiva,si deduce che le sue soluzioni sono costituite dai valori di x che sono compresi tra 0 e 1 oppure tra 2 e 3 .Il sistema è dunque verificato se è : 0 < x < 1 v 2 < x < 3


1.Risolvere le seguenti disequazioni con Derive :

a) X3 – 49 x > 0 ; 6x2 – 36 x + 54 < 0 ; x4 – 3 x2 + 2 < 0 b) X2 – 3x + 2 < 0 ; 4x2 + 1 > 0 ; 3x2 – 27 < 0

c) √ x + 5 > x + 3 ; √ 2x – 3 < x + 2 ; √ 1 – x2 > 3x – 1 5 x – 1 1 d) ------ - ------------------ > -------------- 6x 2x( x + 1) x + 1

1 2 x – 5 e) -------------- > ----------------- ; f) ------------------ > x x - 3 3x + 1 3 - x

2.Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni ricorrendo alla funzione SIGN(x) :

2x – 7 < 0 x2 + x - 6 > 0 x 2 – 6 x + 5 > 0 x + 6 > 2 - 3x + 6 > 5 x - 1 < 0 x2 - 2x – 3 > 0 4x + 2 > 4

13

U.D.3 LE FUNZIONI ESPONENZIALI

E LOGARITMICHE CON EXCEL

3.1 Rappresentazione Grafica di Funzioni Esponenziali

Problema

A - Rappresentazione grafica di funzioni esponenziali y = ax ,con a maggiore di 1 Esempio y = 2x

a.Preparare la cartella

Aprire una nuova cartella di Excel

b.Inserire il testo

Nella cella A1 digitare Funzione y = 2^ x e confermare .

A B C D1 Funzione y = 2^x234 Asse x Funzione y = 2^x5

spostarsi sulla cella A4

Digitare Asse x e confermare Spostarsi sulla cella C4

Digitare Funzione y = 2^ x e confermare

b.Cambiare dimensione del carattere e inserire il grassetto

Selezionare la cella A1. Nella barra degli strumenti Formattazione fare clic sulla freccia che apre il menu a cascata della casella Dimensione carattere e selezionare 14. La riga assume automaticamente l’altezza necessaria a contenere il testo con la nuova dimensione.

Sempre nella barra degli strumenti Formattazione fare clic sul pulsante contras-segnato da una G ( indica il grassetto ) per cambiare lo stile del carattere

14

c.Cambiare la larghezza della colonna C

Rendere attiva la cella C4

Quindi nella barra dei menu selezionare nell’ordine: Formato-Colonna-AdattaLa colonna assume la larghezza necessaria a contenere il testo inserito

d.Inserire i valori

Spostarsi sulla cella A5 Digitare il valore – 3

e.Inserire le formule

Spostarsi sulla cella A6 Digitare = A5 + 0,5 e copiare la formula sino alla cella A17 Spostarsi sulla cella C5 e digitare la formula = 2^A5 e copiare la formula sino alla

cella C17Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro assume il seguente aspetto:

C5 == = 2^A5A B C D

1 Funzione y= 2x

234 Asse x Funzione y = 2^x5 -3 0,1256 -2,5 0,1767766957 -2 0,258 -1,5 0,3535533919 -1 0,510 -0,5 0,70710678111 0 112 0,5 1,41421356213 1 214 1,5 2,82842712515 2 416 2,5 5,65685424917 3 8

f. Costruire il grafico

Selezionare la zona A4:A17 ; C4:C17. posizionare il puntatore del mouse sulla cella A4; trascinare il mouse,tenendo premuto il tasto sinistro,fino alla cella A17:la zona

selezionata appare in negativo;

tenere premuto il tasto Ctrl; posizionare il cursore sulla cella C4 e, tenendo premuto il tasto sinistro,trascinare

il mouse sino alla cella C17 .Fare clic sul pulsante Autocomposizione grafico presente nella barra degli strumenti Standard

Nella prima finestra di dialogo,denominata Tipo di grafico:

15

- selezionare il tipo di grafico: Dispers.(XY) ;- selezionare la seconda scelta,Dispersione con coordinate unite da linee

smussate;fare clic sul pulsante Avanti per proseguire .

Nella seconda finestra di dialogo,denominata Origine dati :- controllare l’intervallo di dati:

= Foglio1!$A$4:$A$17;Foglio1!$C$4:$C$17 ;- controllare nella serie di dati che sia attivata l’opzione Colonne - fare clic sul pulsante Avanti per proseguire.

Nella terza finestra di dialogo,denominata Opzioni del grafico :- selezionare Griglia nelle schede presenti nella parte alta della finestra di dialogo ;- disattivare sull’asse dei valori y la griglia principale ;- selezionare la scheda Titoli ;- digitare Funzione y= 2^x ;- premere il pulsante Avanti per proseguire.

ella quarta finestra di dialogo,denominata Posizione grafico :- verificare che l’opzione come Oggetto in : riporti Foglio1 ;- premere il pulsante Fine per terminare .

Sul foglio di lavoro si visualizza il grafico di una funzione esponenziale crescente e passante per il punto ( 0;1)

g. Salvare la cartella di lavoro Per salvare la cartella di lavoro seguire la seguente procedura:

• nella barra dei menu selezionare File;dal sottomenu Salva,viene visualizzata la finestradi dialogo che permette di inserire il nome da assegnare alla cartella,l’unità disco e il percorso:

- inserire il nome prescelto dove è richiesto Nome File :;- selezionare l’unità disco e il percorso dove è richiesto Salva in:; - confermare con un clic sul pulsante Salva.

h. Stampare il foglio di lavoroPer stampare il foglio di lavoro selezionare Stampa dal menu File ,oppure facendo un clic sull’icona presente sulla barra degli strumenti Standard . Se si visualizza la finestra di dialogo

16

che contiene informazioni sulla stampante,sulle pagine da stampare e sul numero di copie,confermare con OK. Accanto ai dati viene stampato anche il grafico.

B - Rappresentazione grafica di funzioni esponenziali y = ax ,con a maggiore di 0 e minore di 1 Esempio y = ( 1/2 ) x

Basta ripetere le operazioni eseguite nel caso precedente A , ma inserendo nella cella C5 la formula = ( 1/2) ^ A5 e copiandola nella zona C6:C17 , si otterrà il seguente foglio :

A B C1234 Asse x Funzione y = ( 1/2 ) ^ x5 -3 86 --2,5 5,6568542497 -2 48 -1,5 2,8284271259 -1 2

10 -0,5 1,41421356211 0 112 0,5 0,70710678113 1 0,514 1,5 0,35355339115 2 0,2516 2,5 0,17677669517 3 0,125

f. Costruire il grafico come prima

3.2 Rappresentazione Grafica di Funzioni Logaritmiche

Problema

A - Rappresentazione grafica di funzioni logaritmiche y = log a x,con base a maggiore di 1 Esempio y = log2 x

a. Preparare la cartella Selezionare un nuovo foglio della cartella di lavoro o aprire una nuova cartella di

Excel

b. Inserire il testo ed i valoriInserire testo e valori secondo lo schema sotto rappresentato :

A B C D1 Funzione log2 x234 Asse x Funzione log2 x5

17

c. Inserire le formule

Cella Dato digitato Dato visualizzatoA6 = A5+0,3 0,4C5 =LOG(A5;2) -3.321928095

Copiare il contenuto di A6 nella zona A7:A18 Copiare il contenuto di C5 nella zona C6:C18

Terminate le operazioni descritte il foglio assume l’aspetto seguente:A B C D

1 Funzione log2x

234 Asse x Funzione log2x

5 0,1 -3,321928095

6 0,4 -1,321928095

7 0,7 -0,514573173

8 1 0

9 1,3 0,378511623

10 1,6 0,678071905

11 1,9 0,925999419

12 2,2 1,137503524

13 2,5 1,321928095

14 2,8 1,485426827

15 3,1 1,632268215

16 3,4 1,765534746

17 3,7 1,887525271

18 4 2

d.Costruire il grafico

Selezionare la zona A4:A18;C4:C18 posizionare il cursore sulla cella A4; trascinare il mouse,tenendo premuto il tasto sinistro,fino alla cella A1;la zona

selezionata appare in negativo;

tenere premuto il tasto Ctrl; posizionare il cursore sulla cella C4 e, tenendo premuto il tasto sinistro,trascinare

il mouse sino alla cella C18 .

Fare clic sul pulsante Autocomposizione grafico presente nella barra degli strumenti Standard

Nella prima finestra di dialogo,denominata Tipo di grafico:- selezionare il tipo di grafico: Dispers.(XY) ;- selezionare la seconda scelta,Dispersione con coordinate unite da linee

smussate;- fare clic sul pulsante Avanti per proseguire .

Nella seconda finestra di dialogo,denominata Origine dati :

18

- controllare l’intervallo di dati:= Foglio1!$A$4:$A$18;Foglio1!$C$4:$C$18 ;

- controllare nella serie di dati che sia attivata l’opzione Colonne - fare clic sul pulsante Avanti per proseguire.

Nella terza finestra di dialogo,denominata Opzioni del grafico :- selezionare Griglia nelle schede presenti nella parte alta della finestra di dialogo ;- disattivare sull’asse dei valori y la griglia principale ;- selezionare la scheda Titoli ;- digitare Funzione log 2(x)- premere il pulsante Avanti per proseguire.

Nella quarta finestra di dialogo,denominata Posizione grafico :- Selezionare Come Oggetto in Foglio 3 ;- premere il pulsante Fine per terminare .

Sul foglio di lavoro si visualizza il grafico di una funzione logaritmica crescente e passante per il punto ( 1;0)

B - Rappresentazione grafica di funzioni logaritmiche y = log a x,con base a maggiore di 0 e minore di 1

Esempio y = log1/2 x

a. Ripetendo le operazioni eseguite nell’esercizio precedente A , ma inserendo nella cella C5 la formula = Log(A5;1/2 ) e copiandola nella zona C6:C17 si ottiene il foglio seguente :

A B C D1234 Asse x Funzione log 1/2x5 0,1 3,3219280956 0,4 1,3219280957 0,7 0,5145731738 1 09 1,3 -0,378511623

19

10 1,6 -0,67807190511 1,9 -0,92599941912 2,2 -1,13750352413 2,5 -1,32192809514 2,8 -1,48542682715 3,1 -1,63226821516 3,4 -1,76553474617 3,7 -1,88752527118 4 -2

b.Costruire il grafico

Sul foglio di lavoro si visualizza il grafico di una funzione logaritmica decrescente e passante per il punto ( 1;0)


1. Disegnare sullo stesso piano cartesiano ortogonale le due funzioni : y = 3x

e y = log3 X nell’intervallo da 0,1 a 4 .2. Disegnare sullo stesso piano cartesiano ortogonale le due funzioni : y =

(1/3)x e y = log1/3 X nell’intervallo da 0,1 a 4 .3. Disegnare sullo stesso piano cartesiano ortogonale le due funzioni : y = 2x

e y = log2 X nell’intervallo da 0,1 a 4 .

4. Disegnare sullo stesso piano cartesiano ortogonale le due funzioni : y = 10x

e y = (1/10)x nell’intervallo da – 100 a + 100

5. Disegnare sullo stesso piano cartesiano ortogonale le due funzioni : y = Log ( X ) e y = Log(1/10) X nell’intervallo da 0,1 a + 100,1

U.D.4 LE EQUAZIONI ESPONENZIALI

E LOGARITMICHE CON EXCEL

4.1 Equazioni Esponenziali

Problema

Risolvere l’equazione esponenziale : 2x = 32

a.Inserire il testo e i valori

20

Inserire il testo ed i valori secondo lo schema seguente :

A B C D1 Equazione esponenziale 2x= 32 234 Base Incognita Termine noto5 2 1 2


Cella Dato digitato Dato visualizzatoC5 =A5^B5 2

c.Utilizzare la Ricerca Obiettivo

Nella barra dei menu selezionare Strumenti,quindi il comando Ricerca Obiettivo.Quando compare l’omonima finestra di dialogo,nelle apposite caselle inserire i seguenti dati:

In Imposta la cella inserire : C5

In Al valore inserire : 32

In Cambiando la cella inserire :B5Confermare facendo clic sul pulsante OKUna nuova finestra di dialogo visualizza la soluzione:se la si vuole inserire nelle celle del foglio confermare con OK. La soluzione trovata è approssimata a quella esatta,ma con valori generalmente soddisfacenti.

4.2 Equazioni Logaritmiche

Problema

Risolvere l’equazione logaritmica log3(x) = 4

a.Inserire il testo e i valoriInserire il testo ed i valori secondo lo schema seguente:

A B C D1 Equazione logaritmica log3(X )=4 234 Base Incognita Termine noto5 3 1


21

Cella Dato digitato Dato visualizzatoC5 =LOG(B5;A5) 1

22

c.Utilizzare la Ricerca Obiettivo

Nella barra dei menu selezionare Strumenti,quindi il comando Ricerca Obiettivo.Quando compare l’omonima finestra di dialogo,nelle apposite caselle inserire i seguenti dati:

In Imposta la cella inserire : C5

In Al valore inserire : 4

In Cambiando la cella inserire :B5Confermare facendo clic sul pulsante OKUna nuova finestra di dialogo avverte che è stata trovata una soluzione e la visualizza. Confermando con OK, nelle celle del foglio vengono inseriti i nuovi valori, in particolare in B5 la soluzione dell’equazione.

A B C D1 Equazione logaritmica log3(X )=4 234 Base Incognita Termine noto5 3 80,99443 3,999937


1.Con lo strumento Ricerca Obiettivo trovare i valori di x che soddisfano le seguenti equazioni:

a) log (2/3) 8/27 = Xb) log 2 X = 4c) log x 27 = 3d) log10 X = 0,2e) log3 X = - 2f) log1/2 X = - 3

2. Con lo strumento Ricerca Obiettivo risolvere le seguenti equazioni esponenziali.

a) 24—x = 8b) 3x + 1 = 27c) (1/2) x – 1 = 16

U.D.5 LE FUNZIONI ESPONENZIALI E

LOGARITMICHE CON DERIVE

5.1 Le Funzioni Logaritmiche

23

Prima di affrontare una esercitazione con Derive, occorre una breve premessa sulla notazione da utilizzare per la rappresentazione delle funzioni logaritmiche in Derive.Occorre osservare che il numero di Nepero e , base dei logaritmi naturali o neperiani ln , è rappresentato in Derive dal simbolo ê. Anche se tale simbolo non è strettamente necessario per inserire le funzioni logaritmiche è opportuno sapere come si può ottenere.

Derive per Windows Il simbolo ê si può ottenere tenendo premuto il tasto b e premendo il tasto E ; esso si può pure inserire con un clic,nella barra dei simboli della finestra Inserisci espressione sul simbolo ê( indicato dal puntatore del mouse in figura 1)

(fig.1)

Derive per DosIl simbolo ê si può ottenere tenendo premuto il tasto a e premendo il tasto E.I logaritmi naturali sono rappresentati in derive dalla funzione LN .Inserendo per esempio l’espressione LN (ê^ 2) e semplificando,si ottiene 2 come ci si aspetta.Per inserire i logaritmi in base diversa da e si deve usare la funzione LOG .Essa è una funzione in due variabili: la prima variabile rappresenta l’argomento e la seconda la base.Se non si specifica la base ,Derive la assume uguale ad e .

NOTAZIONE MATEMATICA DERIVElog 8 LN(8) oppure LOG(8)log28 LOG(8,2)log x LN(x) oppure LOG(x)

log2(x + 1) LOG(x+1,2)log x+1 (x +2) LOG(x+2,x+1)

Log a LOG(a,10)

E’ importante sapere che Derive opera di solito nel campo dei numeri complessi C .In tale insieme numerico si può dare un significato anche ai logaritmi nei numeri con argomento negativo.Pertanto per evitare di ottenere dei risultati che sembrerebbero incomprensibili, sarà opportuno operando con logaritmi di espressioni letterali, definire a priori il dominio delle variabili , in modo che gli argomenti dei logaritmi risultino positivi.Per esempio , se si vuole inserire e semplificare l’espressione : log(x3 √ y ) – 3/2 logx2 – ½ log yIl risultato dovrebbe essere 0.Cosa accade con Derive?

Derive per WindowsDopo aver introdotto l’espressione #1 e averla semplificata ciccando sul pulsante si ottiene l’espressione #2 ( fig.2) ,che non si sa interpretare.

(fig.2)

Si definisca allora il dominio delle variabili x e y nel modo seguente.

24

DEFINISCI VARIABILE : All Positive Negative nonpoSitive nonneGative Interval

Selezionare l’intervallo di x

LN(y) #1 : LN(x3 .√y ) – 3/2 . LN(x2) - ……….. 2 LN(y) #2: Ln(.√y. SIGN(x)) - ………… 2

#3: x : ∈ Real ( 0, ∞)#4: y : ∈ Real ( 0, ∞)#5: 0


#3: x : ∈ Real ( 0, ∞)#4: y : ∈ Real ( 0, ∞)#5: 0


#3: x : ∈ Real ( 0, ∞)#4: y : ∈ Real ( 0, ∞)#5: 0

Dal menu Dichiara scegliere Dominio di una variabile…..( fig3)Compare una finestra dal titolo Dichiara il dominio di una variabile.Scrivere x nella casella Variabile e fare clic su Dichiara.Appare un’ulteriore finestra (fig.4);nel riquadro Dominio lasciare indicato Reale,mentre nel riquadro intervallo scegliere Positivo (0,∞ ),fare quindi clic su OK.Ripetere l’intera procedura per la variabile y.Selezionare di nuovo l’espressione #1 esemplificarla:questa volta si otterrà corretta-mente 0 ( fig.2)

Derive per Dos

Inserendo l’espressione #1 e semplificandola si ottiene l’espressione #2

Si definisca allora il dominio delle variabili x e y in questo modo .Scegliere il comando Definisci e quindi Variabile (fig.6)

Apparirà il dialogo di fig.6,in cui viene chiesto il nome della variabile da definire :scrivere x e premere invio.Compaiono successivamente due ulteriori dialoghi (figg.7 e 8): si sceglierà prima Real e quindi Positive per indicare a Derive che la variabile x può assumere solo valori reali positivi.

(fig.7)

(fig.8 )

Ripetere quindi l’intera procedura per la variabile y. Si può ora selezionare nuovamente l’espressione #1 e semplificarla : questa volta si otterrà correttamente 0 ( fig.5) .

5.2 Rappresentazione Grafica di Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Anche con Derive si possono rappresentare graficamente le funzioni esponenziali e logaritmiche.Si deve però prestare attenzione al modo in cui si scrivono tali funzioni.Ad esempio ,per inserire y = 2x – 1 si deve digitare y = 2^(x – 1) y = 2x - 1 si deve digitare y = 2^x – 1.

25

LN(y) #1 : LN(x3 .√y ) – 3/2 . LN(x2) - ……….. 2 LN(y) #2: -3 . Ln (|x|) + LN(x3 .√y ) - ………… 2

#3: x : ∈ Real ( 0, ∞)#4: y : ∈ Real ( 0, ∞)#5: 0

DEFINISCI VARIABILE nome : x_Inserire il nome o digitare “ default ”

DEFINISCI VARIABILE : Value Integer Real Complex NonscalarSelezionare il valore o il dominio di x

DEFINISCI VARIABILE : All Positive Negative nonpoSitive nonneGative IntervalSelezionare l’intervallo di x

Occorre inoltre tener presente che,per indicare il logaritmo in base a di un numero b ,si deve scrivere log(b,a) indicando nella parentesi prima l’argomento del logaritmo e poi la sua base.Solo nel caso del logaritmo naturale o neperiano ( quello in base e )si può scrivere ln(b), indicando solo l’argomento del logaritmo;la parentesi è obbligatoria solo se b è un’espressione.

In definitiva :log(b,a) corrisponde a loga bln(b) corrisponde a ln b

OSSERVAZIONE

Quando si enunciano le proprietà dei logaritmi, lo si fa nell’ipotesi che gli argomenti siano tutti positivi .Quindi quando si chiede a Derive di semplificare un’espressione che contiene dei logaritmi,spesso il risultato che si ottiene non è quello desiderato.Per esempio:se s’inserisce l’espressione ln a + ln b e la si semplifica , non si ottiene ln ab

Analogamente, quando si scrive l’espressione ln [( x-2)(x + 3)] e si semplifica, non si ottiene il risultato ln( x – 2) + ln ( x + 3 )

Il motivo di tutto ciò è duplice: da una parte si deve impostare la modalità di risoluzione di unaespressione; dall’altra si deve definire il dominio delle variabili che fanno parte dell’argomentodi un logaritmo .Per impostare la modalità di risoluzione si deve attivare il comando Dichiara/Impostazioni di semplificazione e, nella casella Logaritmica,impostare la modalità Expand per l’espansione di una Formula Collect per il raggruppamento.L’esecuzione di questo comando,tuttavia,non consente ancora di applicare una proprietà dei logaritmi,è necessario definire il dominio delle variabili mediante il comando Dichiara / Dominio di una variabile , indicare il nome della variabile,specificare il tipo di dominio( intero, reale,ecc)e scegliere il campo appropriato.Per esempio,per definire il dominio dell’espressione ln( x – 2) + ln ( x + 3 ) si deve imporre che sia ( x – 2 > 0 ) Λ ( x + 3 > 0 ) cioè x > 2 ; si deve quindi scegliere un intervallo aperto e specificare nelle apposite caselle gli estremi di tale intervallo : 2 e + ∝ .La determinazione del dominio si può ottenere mediante la risoluzione di una disequazione ,o di più disequazioni in un sistema, mediante il comando Risolvi/Sistema di Derive .Fatto ciò ,nello sviluppo di un’espressione contenente logaritmi ,si applicano le proprietà conosciutedei logaritmi.


1) Costruire i grafici delle seguenti funzioni :a) y = 2 log2 ( x – 3 ) b) y = ln ( x – 1 ) + 1c) y = log1/2 x - 4

e determinare ,anche in modo approssimato,le coordinate dei loro punti di intersezione con gli assi cartesiani .

26

U.D.6 LE EQUAZIONI ESPONENZIALIE


6.1 Equazioni Esponenziali

Anche un’equazione esponenziale ,se non comporta particolari accorgimenti di calcolo ,può essere risolta da Derive col comando Risolvi/Espressione .Ad esempio,considerando come dominio l’insieme dei numeri reali.

Per l’equazione 3x - 2x2 = 1 Derive dà le soluzioni x = 0 x = ½ ln (7/50)

Per l’equazione 7x – 1 + √ 49x + 1 = 5 x Derive dà la soluzione x = ------------- ≈ - 5,843 ln(7/5)

Derive non riesce però a risolvere qualunque equazione.Per esempio,se si prova ad applicare il comando Risolvi/Espressione all’equazione 3 x – 1 + 2 x – 1 = 0 Derive risponde riscrivendo l’equazione nella forma equivalente 3 x + 3.2x = 3Si può allora affrontare il problema dal punto di vista grafico considerando l’equazione nella forma3 x – 1 = 1 - 2 x e interpretando le sue soluzioni come le ascisse dei punti di intersezione delle due curve di equazioni : y = 3 x – 1 e y = 1 - 2 x .Si costruiscono allora nella stessa finestra i grafici delle due funzioni .Dalla loro osservazione si può dedurre che vi è un punto di intersezione la cui ascissa s sembra essere compresa tra -1 e 0; se s’ingrandisce il grafico con il tasto funzione F9 si possono dare delle indicazioni più precise: s è compreso tra – 0,5 e 0; un ulteriore ingrandimento consente di dire che l’intervallo a cui appartiene s è ( -0,4 ; -0,2 )Se si vuol essere ancora più precisi si può spostare la croce mobile sul punto d’intersezione e leggere nell’ultima riga del video il corrispondente valore dell’ascissa; si troverà così che un valore approssimato di s è - 0,3646 .Un valore approssimato della soluzione su può anche ottenere col comando Risolvi/Espressione scegliendo il metodo Numerico ed indicando - 1 come estremo inferiore dell’intervallo entro cui ricercare la soluzione e 0 come estremo superiore .Ciccando il pulsante Risolvi si trova la conferma al risultato ottenuto per via grafica.

6.2 Equazioni Logaritmiche

Col comando Risolvi si possono risolvere alcune semplici equazioni logaritmiche .Per esempio :

• log 2(x – 1) = 1 [ ricordarsi di scrivere log(x –1 ,2) = 1 ] dà come soluzione x = 3

• 2 – log2 (3x – 1) = 0 dà come risultato x = 5/3

Se però si deve risolvere un’equazione del tipo ln x = x Derive non sa come risolvere il problema e riscrive semplicemente l’equazione nella forma ex- x = 0 .

27

Allora si dovrà procedere graficamente costruendo i grafici delle due funzioni y = ln x e y = x .Siccome le due curve non s’intersecano,si concluderà che l’equazione assegnata non ha soluzioni reali .

Provare a risolvere l’equazione ln(x +1) = x – 1 .Questa volta i grafici delle due funzioni y = ln(x +1) e y = x – 1 s’intersecano in due punti di ascisse –0,83 e 2,14 circa ( usare la croce mobile per trovarli)Provare a risolvere l’equazione ln(x +1) = x – 1 .Questa volta i grafici delle due funzioni y = ln(x +1) e y = x – 1 s’intersecano in due punti di ascisse –0,83 e 2,14 circa ( usare la croce mobile per trovarli)


1) Risolvere le seguenti equazioni esponenziali :

a.(1/3)x= 81 ; (1/2)x= 16 ; (2/7)2x+ 1= (7/2)2 - x ; (6)x- 3= 7/2 ; √ 2x + 1 = 2 x2 b. 5x – 1 . 1/5 =254 – 3x ; 2/3. 3 x+1 - 3 2x = - 3 ; 32x – 2.3x – 3 = 0 .

2) Risolvere algebricamente,se Derive lo permette,le seguenti equazioni logaritmiche; nel caso in cui ciò non sia possibile,risolvere il problema dal punto di vista grafico:

a. ln x + ln(x +1) = 1 ; log3(x –3) = 1 – log3(x – 2) ; ln | x | = 2x – 1 ; log2(x + 1) – 1 = log2 2x

U.D.7 LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALIE


7.1 Disequazioni Esponenziali

Un discorso del tutto analogo vale per risolvere le disequazioni esponenziali.Ad esempio se si applica il comando Risolvi/Espressione alle disequazioni :

3x > 27 Derive dà come risultato x > 3

(1/2)x > 4 Derive dà come risultato x < - 2

Si verifichino graficamente i risultati ottenuti.

Disegnare i grafici delle due curve y = 3x e y = 27; dopo aver ridotto il grafico col tasto F10 per rendere visibile anche la retta,osservare che i punti della curva esponenziale hanno,a parità di ascissa , una ordinata maggiore di quella della retta quando x > 3.

28

Dopo aver cancellato i due grafici precedenti,disegnare quelli delle curve y = (1/2)x e y = 4 ; la curva esponenziale è”maggiore” della retta quando x < -2.Anche quando Derive non riesce a risolvere algebricamente una disequazione , si può ricorrere al metodo grafico. Ad esempio, se si cerca di applicare il comando Risolvi/Espressione alla disequazione 2. 3x < 5x + 1 Derive risponderà semplicemente riscrivendola in un altro modo2. 3x - 5x + 1< 0 .A questo punto si dovranno costruire i grafici delle due curve y = 2. 3x e y = 5x + 1 ; e poiché la parte in cui s’intersecano si trova nella parte sinistra della finestra, si userà il comando Imposta/Intervallo del grafico per ridefinire i suoi estremi: indicando con – 3 l’estremo sinistro,- 1 l’estremo destro,- 1 l’estremo inferiore e 1 l’estremo superiore, lasciando 8 come numero di intervalli.Indicando con a l’ascissa del loro punto di intersezione,la prima curva esponenziale è “minore” della seconda se x > a. Per trovare un valore approssimato di a si può usare la croce mobile oppure risolvere numericamente l’equazione 2. 3x = 5x + 1 , si trova a ≈ - 1,79

7.2 Disequazioni Logaritmiche

Il procedimento appena visto con le equazioni logaritmiche , si può ripetere anche per le disequazioni logaritmiche.Ad esempio :

• log3x > 1 col comando Risolvi dà come risultato x >3

• log1/4x < 2 col comando Risolvi dà come risultato x >1/16Si possono controllare le soluzioni trovate costruendo i grafici delle curve : y = log3x e y = 1 y = log 1/4x e y = 2

Per risolvere la disequazione log ½ ( x 2- 1 ) > x – 1 si deve ricorrere al metodo grafico costruendo i grafici delle curve y = log ½ ( x 2- 1 ) e y = x – 1.Si noterà che esse s’intersecano nel punto di ascissa a ≈ 1,34.La curva logaritmica è “sopra” la retta se x assume valori minori di a; le soluzioni della disequazione sono perciò x < a


1) Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:a. 5x< 1 ; 7x +1 > 0 ; 3 x+1 < 0 ; 4x > ½b.2x + 1 < 2 ; (1/3) x- 1 < 27 ; 5 –x < 5 .

2) Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche,applicando eventualmente il metodo grafico :a. 4 – x2 < ln1/2 x ; ln(x2 – 4) < x + 1 ; log2 ( 3x + 1) > 2x + 4 ; ln( x2 + 2) < ln ( 3x + 4)

29

U.D.8 IL PIANO CARTESIANO E LE RETTE

CON DERIVE

8.1 PUNTI E SEGMENTI NEL PIANO CARTESIANO CON DERIVE

a. Rappresentazione dei punti in un grafico cartesiano

In ambiente Derive,una coppia ordinata di numeri si esprime con un vettore numerico.Con l’espressione “ vettore numerico “ s’intende un elenco ordinato di numeri ( coppie,terne,ecc) racchiuso tra parentesi quadre .Ad esempio ,le coordinate di un punto P(1;1) si possono rappre-sentare con la sintassi : [1,1] Il punto P viene definito come segue : # 1 : P : = [1,1]

Una volta definite le coordinate ,un punto può essere rappresentato nella finestra grafica 2D.Basta selezionare la # 1 e plottare ( fig.4.1 )Per rappresentare più punti assieme,è sufficiente racchiudere le coordinate dei punti in parentesi quadrate.Cioè definire un elenco ordinato di coppie di numeri ,ciascuna delle quali individua le coordinate di un punto.

Scrivendo i tre punti : [[2,3],[3,1],[4,2]], si otterrà : 2 3 # 2: 3 1

4 2

Passando alla finestra grafica 2D si ottiene il risultato in figura 2.2

b. Rappresentazione di segmentiI punti possono essere tra loro connessi o uniti mediante segmenti.Questa possibilità è selezionabile in una voce del menu opzioni della finestra grafica.Attivando la connessione dei punti con Options>Display>Points>Connect>Yes,e riplottando la #2, si ottiene il grafico di figura 2.3.

Il grafico di tre punti connessi da segmenti non rappresenta un triangolo, perché manca il segmento di chiusura della figura.

30

c. Disegnare un triangolo

Per disegnare un triangolo occorre fornire le coordinate dei tre vertici ed aggiungere, come quarto punto, le coordinate del primo vertice:

2 3 3 1#3: 4 2 2 3

Passando alla finestra 2D e plottando la #3, si ottiene il risultato come in figura

Una volta definito un punto P con la sintassi: P:= [1, 2] le singole coordinate di P potranno essere richiamate con P 1 e P 2.Il carattere è presente nel tastierino di immissione sul quale si clicca con il mouse; in alternativa può essere ottenuto premendo contemporaneamente i tasti CTRL + B.Per indicare il primo elemento del vettore P si digita: P, Ctrl + B, 1.

d. Distanza fra due punti

Vogliamo ora calcolare la distanza fra due punti. Siano date le coordinate di due punti P (definito alla riga #1) e Q.

#4: Q:=[-2, 3]

Si può costruire una funzione che calcoli la lunghezza del segmento PQ, applicando la definizione di distanza. Chiameremo DPQ tale funzione; essa avrà per argomento la coppia di vettori (P, Q).La nota formula della distanza fra due punti: √ ( x1- x2)2+( y1- y2)2 viene immessa digitando: DPQ(P,Q)= √ ((P ↓1-Q↓1)^2+(P↓2-Q↓2)^2) .#5: DPQ(P , Q) := √ ((P1-Q1)2+ (P2-Q2)2 )Applicando la funzione ai punti P e Q e semplificando si ottiene il valore della distanza PQ :#6 : DPQ(P,Q)#7 : 3Derive è in grado di svolgere varie operazioni sulle coppie ordinate di numeri.Ad esempio ,si può definire il punto C le cui coordinate sono date dalla differenza delle coordinate di P e Q,eseguendo un’unica operazione .La riga seguente definisce il punto C ,differenza tra P e Q .

31

#8: C: = P- QSemplificando si ha :#9 : [3,0 ]Un’operazione particolarmente interessante ed utile è il calcolo del quadrato di un vettore :#10 : C2

#11 : 9Essa fornisce direttamente il risultato della formula :#12 : C1

2+C22

#13 : 9Questo risultato altro non è che il quadrato della distanza del punto C dall’origine degli assi cartesiani.E’ possibile allora costruire la funzione distanza tra due punti anche nel modo seguente:#14 : DPQ1(P,Q): = √ (( P – Q )2)Si voglia , per esempio ,calcolare la distanza tra i punti (1,- 2) e ( 2, 4) .Si dovrà immettere e semplificare la seguente espressione :# 15 : DPQ1( [-1,-2],[2,4] )# 16: 3.√ 5

e. Punto medio di un segmento

Spesso è necessario calcolare le coordinate del punto medio di un segmento ed è utile introdurre una apposita funzione che contenga le formule da applicare.La funzione punto medio di un segmento, che chiameremo Medio, ha per argomento le coordinate dei suoi estremi A e B si definisce con: #17: Medio(A, B):=[(A1 + B1)/2, (A2 + B2)/2]

Per calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi (1, 0) e (3, 2), ora si può applicare la funzione Medio:

#18: Medio([1, 0], [3, 2])

Il risultato della semplificazione della #18 è:

#19: [2, 1]

Facciamo un altro esempio, le coordinate del punto medio del segmento PQ si ottengono semplificando l’espressione:

#20: Medio(P, Q)

#21: [-1/2, 3]

Abbiamo visto, così, che l’esecuzione di calcoli di uso frequente può essere delegata alla semplificazione di funzioni opportunamente introdotte nel foglio di lavoro e che saranno a nostra disposizione finché esso rimarrà attivo sullo schermo.


1. Calcolare le coordinate del punto medio e la distanza delle seguenti coppie di punti:

a) (1, 2); (3, -1).b) (0, 3); (7, 8).c) (-1/2, 5); (-3, 2).

32

d) (√ 2, -√ 3 ); (π, 1/√2)

2. Calcolare il perimetro dei triangoli di vertici assegnati:a) (-2, 5); (4, 1); (1, -4);b) (-3, 1); (1, 2); (4, -2);c) (2, -3); (3; 3); (4, 0) .

3. Disegnare in Derive i triangoli dell’esercizio precedente, calcolare la lunghezza delle mediane e tracciarle nello stesso grafico.

8.3 INTERSEZIONI TRA DUE RETTE

a. Rette incidentiSiano date le rette di equazione y=2x e x + y + 1 = 0. Si chiede di trovare le coordinate del punto di intersezione.

Immettiamo innanzi tutto le equazioni delle due rette:

#1: 2 * x#2: x + y + 1 = 0

Selezionando di volta in volta una di esse e passando alla finestra grafica 2D ,verrà costruito il grafico seguente:

Ciccando sul punto di intersezione delle due rette leggiamo le sue coordinate sul bordo inferiore dello schermo.Nel nostro caso esse sono: (-1/2, -2/3).Operando in questo modo abbiamo risolto il sistema lineare di due equazioni in due incognite

{

La soluzione trovata per via grafica è rappresentata dalla coppia :

[ ]

33

Y=2xX+y+1=0

X=-1/3; y=-2/3

b. Risoluzione di un sistema lineare

Il nostro problema può essere risolto anche per via algebrica applicando il comando SOLVE.

Immettiamo la riga :

#3: SOLVE ([y = 2.x, x+y+1 = 0 ], [ x, y ] )

La sintassi del comando SOLVE è : SOLVE ([equazione 1,equazione 2], [incognita 1, incognita 2]) Se le equazioni fossero più di due la sintassi rimarrebbe la stessa,cambierebbe solo l’elenco di equazioni e di incognite che diverrebbe più lungo .Semplifichiamo la #3 ed otteniamo automaticamente i risultati : #4 : [ x = - 1/3 Λ y= -2/3 ]

c. Rette parallele

Considerariamo le rette di equazione : #5 : 2.x – y – 2 = 0

#6 : 2.x – y + 1 = 0

Costruiamo il loro grafico nella finestra 2D

Le rette non hanno punti di intersezione perché sono parallele, infatti le rette assegnate hanno lo stesso coefficiente angolare.Questo significa che il sistema formato dalle loro equazioni è un sistema algebrico impossibile; non esiste nessun punto le cui coordinate soddisfano entrambe le equazioni.Vediamo quali risultati fornisce la risoluzione automatica del sistema.

Applichiamo il comando SOLVE:

#7 : SOLVE ([2.x – y – 2 = =, x – y + 1 = 0 ],[x, y ])

Semplificando la #7 si ottiene il seguente risultato :

34

#8 : [ ]

C’era d’aspettarselo,Derive non trova la soluzione semplicemente perché essa non esiste.

Consideriamo ancora una nuova situazione prendendo in esame le rette di equazione:

#9: x + y + 1 = 0 #10 : 2.x + 2.y + 2 = 0

Costruendo il loro grafico , si noterebbe che esse sono due rette sovrapposte perché tutti i coefficienti della prima equazione sono in proporzione con i corrispondenti coefficienti della seconda equazione.Proviamola soluzione automatica del sistema:

#11 : SOLVE ([x + y +1 = 0, 2.x + 2.y + 2 = 0],[x, y])

#12 : [ x + y = -1]

Derive fornisce ora una relazione tra x e y, ma non una coppia di valori.Questo significa che le due equazioni sono risolte da qualunque coppia (x,y) che soddisfi la #12 ; dunque le soluzioni sono infinite ed il sistema si dice indeterminato.


1.Calcolare ( senza Derive) le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra le seguenti coppie di rette , poi verificare i risultati ottenuti con Derive:

a) 2x + y = 3 ; y – 1 = x b) 2x – 50y = 2 ; y = - 3x + 1 c) x + 2y –1 = 0 ; y = 1 d) x – 2y + 14 = 0 ; x = 2 e) 3x + y –7 = 0 ; 2x - 3y = 0 f) x + y = 15 ; x – 7 = 2- y

8.5 PROGRAMMAZIONE DI FUNZIONI

a.Case ModeI coefficienti che compaiono nell’equazione di una retta s’indicano di solito con lettere minuscole a,b,c; i punti che si considerano nei problemi sono indicati con le lettere maiuscole A,B ecc.Come si vede ,è necessario distinguere il significato di a da quello di A.

Si deve ricordare che il programma Derive,quando viene istallato,non riconosce la differenza tra lettere maiuscole e minuscole,tuttavia è possibile imporne la distinzione assegnando alla variabile di sistema Case-Mode il valore Sensitive .

# 1 : CaseMode : = Sensitive

Una volta operata questa scelta occorre notare che anche i comandi inseriti direttamente nel riquadro di immissione dovranno rispettare la nuova convenzione.Per esempio,il comando SOLVE verrà riconosciuto,la parole solve no.

35

b.Calcolo del coefficiente angolare

S’incominci a costruire nuove funzioni che saranno utili per risolvere automaticamente i problemi più frequenti.

Il coefficiente angolare della retta passante per due punti A e B può essere calcolato definendo una funzione,che sarà chiamata MA ,nel seguente modo.Immettere la riga : MA(A, B) : = (A ↓ 2- B ↓ 2 ) /(A ↓ 1-B ↓ 1) A2 –B2 #2 : MA(A, B) : = A1 –B1

Con questa definizione,Derive acquisisce la funzione MA, definita dall’utente,e riconosce che essa ha per argomento due vettori numerici.Da questo momento,oltre alle funzioni predefinite in Drive,abbiamo a disposizione la nuova funzione Ma che risolve automaticamente il seguente problema. Dati i punti A(0,1) e B(2,2) calcolare il coefficiente angolare della retta AB.La risposta si ottiene inserendo e poi semplificando la riga MA ([0, 1],[2, 2]).

#3: MA([0, 1], [2, 2])

#4: ½

b.Equazione della retta passante per due punti

Si definisca ora la funzione RAB che restituisce l’equazione della retta passante per due punti.Dalla geometria analitica si sa che l’equazione della retta passante per due punti si ottiene con la formula : ( y- y1) (x – x1)

………………. = ………………….

( y2- y1) ( x2- x1)

Per avere l’equazione della retta in forma esplicita,bisogna risolvere la formula rispetto a y e scrivere la riga: RAB(A, B) : = y = ( x – A ↓ 1) . ( A ↓ 2 – B ↓2) / ( A ↓ 1 – B ↓1 ) + A ↓ 2 . ( x- A1) . ( A2 – B2 )# 5 : RAB(A, B) : = y = …………………………… + A2 A1 – B1

Ora si ha a disposizione una funzione che ,inseriti i vettori A e B delle coordinate di due punti,costruisce l’equazione esplicita della retta AB.

Siano dati i punti di coordinate (0,2) e (2,1) , e si applichi la funzione RAB.

# 6 . RAB ([0, 2], [2, 1])

Semplifichiamo ed otteniamo l’equazione cercata :

# 7 : y = 2 – x/2Definiamo le variabili A e B in modo da poter inserire anche questi punti nel grafico della retta.

36

#8: A:=[0, 2]#9: B:=[2, 1]

Apriamo la finestra grafica 2D e plottiamo le righe #7, #8, #9.

Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto T da una retta, data in forma implicita y=mx+q, può essere calcolata da Derive attraverso la funzione che chiameremo DE. Gli argomenti di tale funzione sono: le coordinate del punto T, il coefficiente angolare ed il termine noto della retta.

La formula da scrivere segue la sintassi: DE(T, m, q):= ABS(T 2 – T 1*m – q)/ √(1+m2).Ricordiamo che la funzione predefinita ABS restituisce il valore assoluto del suo argomento.

Per calcolare la distanza del punto (0, 0) dalla retta di equazione y=3x-1, adesso basta semplificare la seguente espressione.

#11: DE([0, 0], 3, -1)#12 √10 10La distanza di un punto T da una retta, data in forma implicita ax+by+c=0, può essere calcolata con la funzione DI definita inserendo la riga:

DI(T, a, b, c):=ABS(a* T 1+ b* T 2 + c)/ √(a2+b2).In questo caso, oltre alle coordinate del punto T si devono considerare i coefficienti a. b, c che compaiono nell’equazione della retta.

#13: Per calcolare la distanza del punto (1, 2) dalla retta di equazione 2x-y+2=0 è sufficiente semplificare l’espressione:

#14: DI([1, 2], 2, -1, 2)

37

#15: 2*√5 5

Equazione di una retta, noto m ed un punto A

Un altro problema ricorrente è quello di determinare l’equazione di una retta di coefficiente angolare m assegnato, passante per un punto A. Possiamo definire una funzione, diciamo RMA, con m ed A come argomenti.Scriveremo RMA(A, m):=m*(x- A 1) + A 2 nel riquadro di immissione.#16: RMA(A, m):=m*(x-A1)+A2

Per trovare la retta di coefficiente angolare m=1/2, passante per il punto A(1, 1) si semplifica la riga seguente:#17: RMA([1, 1], ½)e si ottiene:#18: x+1

2 il cui grafico è il seguente:

Con i nuovi strumenti di calcolo che abbiamo costruito affrontiamo il problema seguente.

ESEMPIODato il triangolo di vertici: A(-1, 0), B(0, 2), C(4, 1), calcolare la misura dell’altezza relativa alla base AB.Dichiaramo le coordinate dei vertici:

#19: A:=[-1, 0]#20: B:=[0, 2]#21: C:=[4, 1]

Applichiamo la funzione RAB che fornisce l’equazione della retta AB:

#22: RAB(A, B)#23: y=2*(x+1)

Rendiamo esplicita l’equazione con il comando :Simplify/Factor :

#24: y=2*x+2

38

Dal risultato ottenuto s’individua subito il coefficiente angolare m=2 ed il termine noto q=2.Applichiamo la funzione distanza di un punto da una retta inserendo come argomento il punto C, m=2, q=2, e semplifichiamo.

#25: DE(C, 2, 2)#26: 9*√5

5

Concludiamo allora che l’altezza del triangolo ABC, relativa alla base AB, misura 9√5 5

Per disegnare il triangolo ABC occorre definire una matrice numerica (cioè un vettore di vettori) che contiene le coordinate dei vertici:

#27: [A, B, C, A]

Con il comando Plot, Derive traccerà il segmento AB, poi il segmento BC, poi il segmento CA che chiude il triangolo.


1. Scrivere l’equazione delle rette per condotte per le seguenti coppie di punti:

a. (12); (-1/2, 3).b. (π, √2); (2, 1).c. (-2/3, 1); (1, √2).

2. Calcolare la distanza del punto P dalla retta r assegnata:

a. P(-1, 0); r:y = 5x –1.b. P(1/3, 2); r:y)2x+1/2.c. P(-7, ½); r:3x-y+2=0.

3. Determinare la misura delle altezze e l’area dei seguenti triangoli di vertici assegnati :

a. A(1, 1); B(4, 3); C(2, 6).b. A(1/2, 1/3); B(-1/5, -2); C(2, 3).c. A(√2, -√2); B(0, 0); C(3, 4).

39

U.D.9 LA RETTA CON EXCEL

9.1 Rappresentazione Grafica di una Retta

Problema

Rappresentare graficamente la retta di equazione y = 3x – 4

Aprire una nuova cartella di Excel ( denominata RETTA)

a.Inserire il testo

A B C D1 Disegnare la retta y = 3x – 4 nell’intervallo da – 3 a + 323456 Asse x Retta7

1) Nella cella A1 digitare:Disegnare la retta y = 3x – 4 nell’intervallo da – 3 a + 3 e confermare.

2) Spostarsi sulla cella A6. 3) Digitare Asse x e confermare . 4) Spostarsi sulla cella B6.5) Digitare Retta e confermare.

b.Centrare il testo 1) Selezionare la zona A6:B6 selezionando la cella A6 e trascinando il puntatore del mouse su B6.2) Centrare il testo col pulsante apposito presente sulla barra degli strumenti Formattazione

c.Inserire i valori 1) Spostarsi sulla cella A7.

2) Digitare il numero –3 e confermare.

d.Inserire le formule1) Spostarsi sulla cella A8.

2) Digitare la formula =A7 + 0,5 e confermare .3) Copiare il contenuto della cella A8 nella zona A9:A19; i riferimenti di cella relativi si aggiornano

secondo la posizione.Nella cella A19 si deve visualizzare il numero 3.4) Spostarsi sulla cella B75) Digitare la formula dell’equazione della retta , = 3*A7 – 4 e confermare .

40

Nella cella B7 si visualizza il risultato della formula cioè – 13, che rappresenta il valore dell’ordinata della retta nel punto di ascissa – 3.

6) Copiare il contenuto della cella B7 nella zona B8:B19.Anche in questo caso i riferimenti di cella relativi si aggiornano secondo la posizione.

Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro assume il seguente aspetto :

A B C D E F1 Disegnare la retta y = 3x – 4 nell’intervallo da –3 a +323456 Asse x Retta7 -3 -138 -2,5 -11,59 -2 -1010

-1,5 -8,5

11

-1 -7

12

-0,5 -5,5

13

0 -4

14

0,5 -2,5

15

1 -1

16

1,5 0,5

17

2 2

18 2,5 3,519

3 5

e.Costruire il graficoLa zona del foglio A6:B19 contiene i dati che devono essere rappresentati nel grafico; per la sua costruzione si utilizza la procedura Autocomposizione grafico, che si articola in quattro passaggi,attraverso delle finestre di dialogo nelle quali selezionare tutte le caratteristiche del grafico che si vuole rappresentare.Selezionare la zona A6:B19 in questo modo:

1. posizionare il cursore del mouse sulla cella A6;2. premere il tasto sinistro del mouse;3. tenendo premuto il tasto trascinare il mouse fino alla cella B19,la zona selezionata apparirà in

negativo;Fare 1 clic sul pulsante Autocomposizione grafico presente sulla barra degli strumenti Standard.

Nella prima finestra di dialogo,denominata Tipo di grafico :1. selezionare il tipo di grafico: Dispers.(XY);

2. selezionare nelle Scelte disponibili,il secondo grafico,Dispersione con coordinate unite da linee smussate;

3. premere il pulsante Avanti per proseguire.

41

Nella seconda finestra di dialogo,chiamata Origine dati:1. controllare l’intervallo di dati : = Foglio1!$A$6:$B$19 ;2. controllare nella serie di dati che sia attivata l’opzione Colonne;3. premere il pulsante Avanti per proseguire.

Nella terza finestra di dialogo,chiamata Opzioni del grafico: premere il pulsante Avanti per proseguire.

Nella quarta finestra di dialogo,chiamata Posizione grafico :1. selezionare Come Oggetto in : Foglio1;2. premere il pulsante Avanti per terminare

Sul foglio di lavoro si visualizzerà il grafico della retta .

f.Salvare la cartella di lavoroPer salvare la cartella di lavoro rispettare la seguente procedura:

• Nella barra dei menu selezionare File e il comando Salva: viene visualizzata la finestra di dialogo che permette di inserire il nome da assegnare alla cartella ,l’unità disco di destinazione e il percorso.

• Digitare il nome prescelto ove è richiesto Nome File.

• Selezionare l’unità disco e la cartella ove è richiesto Salva In .

• Confermare facendo 1 clic sul pulsante Salva.

g.Stampare il foglio di lavoroPer stampare il foglio di lavoro selezionare Stampa dal menu File,oppure fare 1 clic sull’icona presente sulla barra degli strumenti Standard.Se si visualizza la finestra di dialogo che contiene informazioni sulla stampante, sulle pagine da stampare e sul numero di copie,confermare le impostazioni con OK; accanto ai dati viene stampato anche il grafico.

9.2 Rappresentazione Grafica di un Fascio Proprio di Rette

ATTENZIONESi definisce fascio proprio di rette ,l’insieme delle rette di un piano passanti tutte per uno stesso punto P(x0; y0) detto centro del fascio.

42

ProblemaRappresentare graficamente il fascio di rette di centro P(1;2)

Selezionare un nuovo foglio di lavoro della cartella RETTA , facendo clic su un’altra scheda .Inserire il testo secondo lo schema qui di seguito rappresentato .

43

a.Inserire il testo

A B C D E F1 Fascio proprio di rette di centro P(1;2)2345 Asse x m = 1 m = 0,5 m = 0 m = - 0,5 m = - 16

Formattazione celleCentrare il testo nella zona A5:F5.• Spostarsi sulla calla A5 e trascinare il mouse sulla cella F5,in modo che la zona A5:F5 appaia

evidenziata in negativo;• Centrare il testo selezionando l’apposito pulsante sulla barra degli strumenti Formattazione.


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA6 - 4 - 4A7 = A6+0,5 - 3,5B6 = 1*(A6 –1)+2 - 3C6 = 0,5*(A6 –1)+2 - 0,5 D6 = 0*(A6 –1)+2 2E6 = - 0,5*(A6 –1)+2 4,5F6 = - 1*(A6 –1)+2 7

• Copiare il contenuto della cella A7 nella zona A8:A22• Copiare il contenuto della cella B6 nella zona B7:B22• Copiare il contenuto della cella C6 nella zona C7:C22• Copiare il contenuto della cella D6 nella zona D7:D22• Copiare il contenuto della cella E6 nella zona E7:E22

La formula in B6 rappresenta l’equazione della retta passante per il punto P(1;2) con coefficiente angolare m=1 .Le formula nella zona B6:F6 rappresentano le equazioni delle rette con i corrispondenti coefficienti angolari indicati nell’intestazione.Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro assume l’aspetto seguente:

A B C D E F1 Fascio proprio di rette di centro P(1;2)2345 Asse x m = 1 m = 0,5 m = 0 m = - 0,5 m = -16 -4 -3 -0,5 2 4,5 77 -3,5 -2,5 -0,25 2 4,25 6,58 -3 -2 0 2 4 69 -2,5 -1,5 0,25 2 3,75 5,510

-2 -1 0,5 2 3,5 5

11

-1,5 -0,5 0,75 2 3,25 4,5

1 -1 0 1 2 3 4

44

213

-0,5 0,5 1,25 2 2,75 3,5

14

0 1 1,5 2 2,5 3

15

0,5 1,5 1,75 2 2,25 2,5

16

1 2 2 2 2 2

17

1,5 2,5 2,25 2 1,75 1,5

18 2 3 2,5 2 1,5 119

2,5 3,5 2,75 2 1,25 0,5

20

3 4 3 2 1 0

21

3,5 4,5 3,25 2 0,75 - 0,5

22

4 5 3,5 2 0,5 - 1

c.Costruire il grafico

Selezionare la zona A5:F22.Fare clic sul pulsante Autocomposizione grafico presente nella barra degli Strumenti standard.Nella prima finestra di dialogo,denominata Tipo di grafico :

1. selezionare il tipo di grafico: Dispers.(XY);

2. selezionare la terza scelta,Dispersione con coordinate unite da linee smussate senza indicatori di dati.

Nella seconda finestra di dialogo,chiamata Origine dati:1. controllare l’intervallo di dati : = Nome Foglio1!$A$5:$F$22 ;2. controllare nella serie di dati che sia attivata l’opzione Colonne.

Nella terza finestra di dialogo,chiamata Opzioni del grafico:1. selezionare Griglia nelle schede presenti nella zona alta della finestra di dialogo;2. disattivare sull’asse dei valori y la griglia principale.

Nella quarta finestra di dialogo,chiamata Posizione grafico :1. selezionare Come Oggetto in e indicare il nome del foglio.

Sul foglio si visualizzerà il grafico del fascio di rette di centro P(1;2)

d.Salvare la cartella di lavoro

45

Per salvare la cartella di lavoro rispettare la seguente procedura:

• Nella barra dei menu selezionare File e il comando Salva: viene visualizzata la finestra di dialogo che permette di inserire il nome da assegnare alla cartella ,l’unità disco di destinazione e il percorso.

• Digitare il nome prescelto ove è richiesto Nome File: .

• Selezionare l’unità disco di destinazione e il percorso ove è richiesto Salva In .

• Confermare facendo 1 clic sul pulsante Salva.

e.Stampare il foglio di lavoroPer stampare il foglio di lavoro selezionare Stampa dal menu File,oppure fare 1 clic sull’icona presente sulla barra degli strumenti Standard.Se si visualizza la finestra di dialogo che contiene informazioni sulla stampante, sulle pagine da stampare e sul numero di copie,confermare le impostazioni con OK; accanto ai dati viene stampato anche il grafico.

9.3 Rappresentazione grafica di un fascio improprio di rette

ATTENZIONESi definisce fascio improprio di rette ,l’insieme delle rette di un piano tra loro parallele,cioè aventi lo stesso coefficiente angolare (m)

Problema

Rappresentare graficamente il fascio di rette di coefficiente angolare –3, in altre parole y = -3x+q

Selezionare un nuovo foglio della cartella RETTA , facendo clic sul nome nell’elenco dei fogli .Inserire il testo ed i valori secondo i seguenti schemi.

a.Inserire il testo

A B C D E F1 Fascio improprio di rette con coefficiente angolare uguale a -32345 Asse x q = 2 q = 1 q = 0 q = -1 q = - 26

Formattazione celleCentrare il testo nella zona A5:F5.


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA6 - 4 - 4A7 = A6+0,5 - 3,5B6 = - 3*A6+2 14

46

• Copiare il contenuto della cella A7 nella zona A8:A22• Copiare il contenuto della cella B6 nella zona B7:B22Ripetere le operazioni d’inserimento della formula e copiatura per inserire le equazioni delle altre rette.Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro assume l’aspetto seguente:

A B C D E F1 Fascio improprio di rette con coefficiente angolare uguale a – 32345 Asse x q = 2 q =

1q = 0 q = -1 q = - 2

6 -4 14 13 12 11 107 -3,5 12,5 11,5 10,5 9,5 8,58 -3 11 10 9 8 79 -2,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,510

-2 8 7 6 5 4

11

-1,5 6,5 5,5 4,5 3,5 2,5

12

-1 5 4 3 2 1

13

-0,5 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5

14

0 2 1 0 - 1 -2

15

0,5 0,5 -0,5 - 1,5 - 2,5 -3,5

16

1 - 1 -2 -3 - 4 -5

17

1,5 - 2,5 -3,5 - 4,5 - 5,5 -6,5

18 2 - 4 -5 - 6 - 7 -819

2,5 - 5,5 -6,5 -7,5 - 8,5 -9,5

20

3 - 7 -8 - 9 - 10 -11

21

3,5 - 8,5 -9,5 -10,5 - 11,5 - 12,5

22

4 - 10 -11 - 12 - 13 - 14

c.Costruire il grafico

Selezionare la zona A5:F22 e costruire il grafico seguendo le indicazioni contenute nelle finestre della procedura Autocomposizione grafico ..

Sul foglio si visualizzerà il grafico del fascio improprio di rette.

47


1.Rappresentare graficamente,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x , alcune rette del fascio di centro A( 4;3) con valori di m scelti a piacere.2.Rappresentare graficamente,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x , alcune rette del fascio di centro B( -2 ;1) con valori di m scelti a piacere.3.Rappresentare graficamente,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x , alcune rette del fascio di centro C( 1;3) con valori di m scelti a piacere.4. Rappresentare graficamente,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x , le rette con coefficiente angolare 3 ed i seguenti valori di q : 5,3,0,-3,-5.5. Rappresentare graficamente,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x , le rette con coefficiente angolare 2 ed i seguenti valori di q : 6,5,0,-5,-6.

U.D.10 LA CIRCONFERENZA E L’ELLISSE

CON DERIVE

10.1.EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA.

Studiamo l’equazione della circonferenza considerando gli esempi seguenti.

ESEMPI

1.Data la circonferenza x2+y2-2x-1=0, determinare le coordinate del suo centro e la misura del raggio.Prima di procedere alla risoluzione dell’esercizio, scriviamo l’equazione canonica della circonferenza e definiamo le formule per il calcolo del centro e del raggio:

#1: x2+y2+ax+by+c=0

#2: centro:= [-a/2, -b/2]

#3: raggio:=√((-a/2)2+(-b/2)2-c)

Inseriamo il valore dei coefficienti a,b,c:

#4: a:=-2

#5: b:=2

#6: c:=-1

49

Semplifichiamo le espressioni #1,#2,#3:

#7: x2-2x+y2+2y-1=0

#8 : [1, -1]

#9 : √3

La circonferenza assegnata ha centro in (1, 1) e raggio √3.

Poiché Derive è in grado di costruire il grafico di curve definite da equazioni espresse in forma implicita, si può selezionare la #7 e crearne subito il grafico nella finestra 2D.

Per effetto delle dilatazioni di scala dovute alle dimensioni della finestra 2D, può capitare che, a colpo d’occhio, il grafico della curva somigli a quello di un’ellisse.In tal caso occorre selezionare dal menù grafico: SET>ASPECT RATIO>1:1.

Va anche osservato che il grafico di una curva è definito analiticamente in modo univoco dalla sua equazione perciò, anche se il grafico in Derive può apparire distorto, la relazione fra le coordinate dei suoi punti è rispettata.

Data l’equazione: x2+y2+x+3y-1=0, determinare le coordinate del centro e la misura del raggio.Resterà ora ridefinire i valori dei coefficienti:

#10: a:=1

#11: b:=3

#12: c:=-1e semplificare ancora le espressioni #1,#2,#3:

#13: x^2+x+y^2+3.y-1=0

#14 : [-1/2, -3/2]

#15 : √14/2

il grafico della circonferenza è il seguente:

50


1. Stabilire se le seguenti equazioni definiscono delle circonferenze reali. In caso affermativo, determinare la coordinate del centro, la misura del raggio e costruirne il grafico.a. x2+y2+7x+9y-10=0. c. 2x2+2y2-x-y+10=0.b. x2+y2+4x-2y+1=0. d. 1/2x2+x+y2=3y2-y+1.

10.3 EQUAZIONE CANONICA DELL’ ELLISSE

Studiamo alcune proprietà dell’ellisse con asse focale sull’ascissa e centro nell’origine.Consideriamo l’ellisse:

#1: x2/ 4+y2/ 3=1

Dall’equazione si ricava subito:

#2: a:=2

#3: b:=√3

Le caratteristiche analitiche di questa curva sono:

a. a>b, semiasse maggiore parallelo all’asse xb. gli assi della curva sono paralleli agli assi x, yc. la curva ha centro nell’origine

il grafico è il seguente:

L’eccentricità è data dal rapporto: e=c/a con c=√(a2-b2).Calcoliamo l’eccentricità dell’ellisse assegnata semplificando la riga:

#4: e:=(√(a2-b2)/a

#5: ½

I vertici si ottengono annullando alternativamente x e y nell’equazione #1 e risolvendo l’equazione ottenuta.

51

A questo punto sostituiamo y=0 nella #1, selezioniamo l’equazione e clicchiamo sul pulsante SUB.

#6: x2/ 4+02/ 3=1

Risolvendo l’equazione trovata rispetto ad x, si ha:

#7: Solve(x2/ 4+02/ 3=1, x)

#8: x=-2 V x = 2

Questo risultato ci afferma che l’ellisse ha vertice nei punti:

#9: V1:=[-2, 0]#10: V2:=[2, 0]

Ripetendo il procedimento di sostituzione, questa volta ponendo x=0, si ottiene:

#11: 02/ 4+y2 / 3=1

#12: SOLVE(027 4+y2/ 3=1, y)

#13: y=-√3 V y = √3

Le intersezioni dell’ellisse con l’asse delle ordinate sono :

#14: V3:=[0, -√3]

#15: V4:=[0, √3]

Per determinare la posizione dei fuochi, calcoliamo il valore di c con la formula:

#16: c:=√(a2-b2)

#17:

Poiché le coordinate dei fuochi sono:

#18: F1:=[-c, 0]

#19: F2:=[c, 0]

Basta semplificare queste ultime formule per ottenere la posizione dei punti F1 ed F2. Si noti che le #18 e #19 assegnano le coordinate dei fuochi anche se esse non vengono semplificate.Da ultimo verifichiamo la proprietà fondamentale dell’ellisse, cioè verifichiamo che la somma delle distanze di un punto della curva dai suoi fuochi è costante. Limitiamo la nostra verifica ai soli punti d’intersezione con gli assi cartesiani.Per questa verifica proviamo soltanto che la somma delle distanze di ciascun vertice dai fuochi è costante.Ricordiamo che in Derive la distanza fra due punti può essere espressa con la formula: √((p-q)2), dove p e q sono i vettori numerici che contengono le coordinate dei punti P e Q.La somma delle distanze V1F1 ed V1F2 può scriversi:

#20: √((V1-F1)2)+√((V1-F2)2)

52

Semplificando si trova:

#21: 4

Applichiamo lo stesso procedimento anche agli altri vertici:

#22: √((V2-F1)^2)+√((V2-F2)^2)

#23 4

#24: √((V3-F1)^2)+√((V3-F2)^2)

#25 4

#26: √((V4-F1)^2)+√((V4-F2)^2)

#27: 4

Abbiamo così verificato, solo per quattro punti, che la somma della distanza dei fuochi è costante.

Selezionando, di volta in volta, l’equazione dell’ellisse, le coordinate dei vertici e dei fuochi, costruiamo il grafico nella finestra 2D, riportato di seguito.

53


1. Determinare le coordinate dei fuochi, dei vertici, il valore dell’eccentricità e la misura dei semiassi delle seguenti ellissi:

a) x2/ 25+y2/ 36=1. c) x2/ √ 2+y2/ 3=√13.

b) √2x2+y2=3. d) √3x2+πy2=1.

U.D.11 LA PARABOLA E L’IPERBOLE

CON EXCEL

11.1 Rappresentazione Grafica dell’Intersezione tra Parabola e Retta

Problema

Rappresentare graficamente l’intersezione tra la parabola y = -x2 + 2x + 3 e la retta di equazione y = 2x – 1

Aprire una nuova cartella di Excel ( denominata CONICHE) , selezionare un nuovo foglio di lavoro

a.Inserire il testo

A B C D E F1 Intersezione tra la parabola y= - x^2 + 2x + 3 e la retta y = 2x + 1234 Asse x Parabola Retta56


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA5 - 3 -3A6 =A5+0,5 -2,5C5 = - (A5^2)+2*A5+3 -12E5 =2*A5-1 -7

54

• Copiare il contenuto della cella A6 nella zona A7:A21

• Copiare il contenuto della cella C5 nella zona C6:C21

• Copiare il contenuto della cella E5 nella zona E6:E21 .

Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro assumerà il seguente aspetto:

A B C D E F G1 Intersezione tra la parabola y = - x^2+2x+3 e la retta y=2x+1234 Asse x Parabola Retta5 -3 -12 -76 -2,5 -8,25 -67 -2 -5 -58 -1,5 -2,25 -49 -1 0 -310 -0,5 1,75 -211 0 3 -112 0,5 3,75 013 1 4 114 1,5 3,75 215 2 3 316 2,5 1,75 417 3 0 518 3,5 -2,25 619 4 -5 720 4,5 -8,25 821 5 -12 922

c.Costruire il graficoPer selezionare la zona contenente i dati quando sono posti in colonne non adiacenti compiere le seguenti operazioni:1.posizionare il puntatore del mouse sulla cella A4;2. trascinare il mouse,tenendo premuto il tasto sinistro,fina alla cella A21; la zona selezionata appare in negativo;3.tenendo premuto sulla tastiera il tasto Ctrl posizionare il puntatore del mouse sulla cella C4;4.tenendo premuto il tasto trascinare il mouse fino alla cella C21; le zone A4:A21 e C4:C21 devono apparire entrambe in negativo ;5.sempre tenendo premuto sulla tastiera il tasto Ctrl posizionare il puntatore del mouse sulla cella E4;6.tenendo premuto il tasto trascinare il mouse fino alla cella E21; le zone A4:A21 , C4:C21 e E4:E21 devono apparire tutte in negativo .

Fare 1 clic sul pulsante Autocomposizione grafico presente sulla barra degli strumenti Standard.

Nella prima finestra di dialogo,denominata Tipo di grafico :1.selezionare il tipo di grafico: Dispers.(XY);2.selezionare la terza scelta,Dispersione con coordinate unite da linee smussate e senza indicatori di dati.

Nella seconda finestra di dialogo,chiamata Origine dati:1.controllare l’intervallo di dati : = Foglio!$A$4:$B$21 ;Foglio!$C$4:$C$21 ; Foglio!$E$4:$E$21 ;

55

2.controllare nella serie di dati che sia attivata l’opzione Colonne.

Nella terza finestra di dialogo,chiamata Opzioni del grafico:1. selezionare Griglia nelle schede presenti nella zona alta della finestra di dialogo;2.disattivare sull’asse dei valori Y la griglia principale;3.selezionare la scheda Titoli;4.digitare parabola y = -x^2+2x+3 e retta y = 2x+1

Nella quarta finestra di dialogo,chiamata Posizione grafico , selezionare Come Oggetto in e indicare il nome del foglio.

Sul foglio si visualizzerà il graficoseguente :

11.2 Rappresentazione Grafica dell’Equazione di un’Iperbole Equilatera Problema 5Rappresentare graficamente l’iperbole equilatera di equazione y = ……. x Aprire la cartella di Excel ( denominata CONICHE) , selezionare un nuovo foglio di lavoro .a.Inserire il testo Inserire il testo ed i valori secondo gli schemi qui sotto rappresentati :

A B C D1 Tracciare il grafico dell’iperbole y= 5/x234 Asse x Iperbole5

b.Inserire le formule Cella Dato digitato Dato visualizzatoA5 -10 -10A6 =A5+1 -9C5 =5/A5 -0,5

• Copiare il contenuto della cella A6 nella zona A7:A25• Copiare il contenuto della cella C5 nella zona C6:C25 .Cancellare il contenuto delle celle A15 e C15 selezionandole e premendo il tasto Canc sulla tastiera.

56

Terminate tutte le operazioni indicate, il foglio di lavoro assume il seguente aspetto:A B C D E

1 Tracciare il grafico dell’iperbole y=5/x234 Asse x Iperbole5 -10 -0,56 -9 -0,555567 -8 -0,6258 -7 -0,714299 -6 -0,8333310 -5 -111 -4 -1,2512 -3 -1,6666713 -2 -2,514 -1 -51516 1 517 2 2,518 3 1,66666719 4 1,2520 5 121 6 0,83333322 7 0,71428623 8 0,62524 9 0,55555625 10 0,5

c.Costruire il grafico Selezionare le zone A4:A25 e C4:C25,quindi costruire il grafico seguendo le indicazioni contenute nelle finestre della procedura Autocomposizione grafico.Sul foglio di lavoro si visualizzerà il grafico dell’iperbole equilatera ,con i due rami situati nel 1° e 3° quadrante.

11.3 ESERCITAZIONI PROPOSTE 1.Rappresentare graficamente ,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x,in modo da visualizzare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani,le seguenti parabole :a . y = x2 – 1 b . y = -2x2 – 3x + 1 c . y = 3x2 + 6x d. y = x2 – 4x + 4 .

57

2. Rappresentare graficamente , sullo stesso piano cartesiano,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x, la parabola y = x2 – 5x + 6 e la retta y = - x – 1 .

3. Rappresentare graficamente , sullo stesso piano cartesiano,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x, la parabola y = x2 – 3x -10 e la retta y = x + 1 .

4. Rappresentare graficamente le seguenti iperboli equilatere : a. y = 4/x b. y = -2/x c. y = 3/x

5. Rappresentare graficamente , sullo stesso piano cartesiano,scegliendo opportunamente l’intervallo dell’asse x, la parabola y = -x2 + 3x e le rette y = 2 ; y = -2 ; y = 1 .

U.D.12 LA PARABOLA E L’IPERBOLE

CON DERIVE

12.1 LA PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO

Possiamo creare una funzione che generi in modo automatico l’equazione esplicita della parabola con asse parallelo all’asse y. Basta costruire un’unica funzione che contenga tutte le fasi di calcolo da svolgere.

#6: PAR1(f, k):=solve(DPQ([x, y], f)2-(y-k)2=0,y)

Proviamo ad applicare PAR1 al fuoco di coordinate(1, 3) ed alla direttrice di equazione y=-2 :

#7: PAR1([1, 3], -2)

#8: Y=(x2-2x+6)/10

Inseriamo le coordinate del punto e l’equazione della direttrice :

#9:[1, 3]

#10: y=-2

Selezionando le espressioni #8, #9, #10 e plottando nella finestra grafica otteniamo il seguente grafico:

58


1. Determinare le equazioni della parabola con fuoco e direttrice assegnati:

a. F(-1, 2), y=-5/4. b. F(2, 1), y=-1.

c. F(0, 0), y=-√3. d. F(2, -3/2), y=0.

12.3 FORMULE DELLA PARABOLA y=ax 2 +bx+c

Definiamo le formule che consentono il calcolo rapido delle caratteristiche di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y.

La parabola di equazione y=ax2+bx+c è caratterizzata da:

vertice nel punto: V(-b/2 a, (4ac-b2)/4a)

fuoco nel punto: F(-b/2 a, (1+4ac-b2)/4a)

direttrice di equazione: y=(-1+4ac-b2)/4a)

Inseriamo le seguenti espressioni:

#1: y=ax2+bx+c2

#2 : V :=[ -b/2a, 4ac-b2)/4a ]

#3: F:=[ -b/2a, 1+4ac-b2)/4a ]

#4: direttrice:=(-1+4ac-b)/4a)

A questo punto Derive ha acquisito le formule che diventano così riutilizzabili in tutto il foglio di lavoro attuale.

59


1. Rappresentare la parabola di equazione:y=-2x2+x+2, il suo vertice, il suo fuoco e la retta direttrice.

I coefficienti assegnati sono:a=-2, b=1,c=2; sostituiamoli nelle formule #1, #2, #3, #4, selezionando il pulsante SUB.

#5: y=(-2).x2+1x+2

#6 : V:=[-1/(2.(-2),4(-2).2-12/(4.(-2))]

#7 : F :=[-(1)/(2.(-2)),(1+4.(-2).2-12)/(4.(-2))]

#8 : direttrice :=(-1+4(-2).2-12)/(4.(-2))

Selezioniamo ora le righe #5,#6,#7,#8, e plottiamo nella finestra 2D.Il grafico che si ottiene è il seguente:

2.Data la parabola di equazione y=3x2-4x-1, determinare il vertice, il fuoco e la retta direttrice. Inseriamo i nuovi coefficienti.

#9: a:=3

#10: b:=-4

#11: c:=-1

Semplificando la #1 si ottiene:

#12: y=3x2-4x-1

Semplificando la #2 si trovano le coordinate del vertice V :

60

#13: [2/3, -7/3]

Semplificandi la #3 si trovano le coordinate del fuoco:

#14: [2/3, -9/4]

Semplificando la #4 si trova l’equazione della retta direttrice:

#15: -29/12

Plottando le righe #12,#13,#14,#15, si ottiene il seguente grafico:

U.D.13 LA CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

CON EXCEL

13.1 Ripasso

I problemi in regime di capitalizzazione semplice riguardano l’applicazione di formule che legano tra loro cinque variabili : il capitale iniziale C , il tasso annuo i , il tempo t ,l’interesse I ed il montante M .

Esistono otto diverse situazioni nelle quali,note alcune delle suddette variabili,si calcoleranno le rimanenti incognite.

I problemi di capitalizzazione semplice si risolvono applicando la formula del montante sempliceM = C ( 1 + it ) e le relative formule inverse :

M M – C M – C I = M – C I = Cit C = ………… t = ……………. i = …………. 1 + it C i C t

61

13.2 Progettare un’applicazione multimediale che risolva problemi di capitalizzazione semplice

a.Fase di realizzazioneL’applicazione è articolata su cinque fogli di lavoro:• Primo foglio : presenta una breve descrizione della capitalizzazione semplice e del contenuto

dei fogli dell’applicazione con i link a ciascuno di essi.

• Secondo foglio:contiene il calcolo del montante semplice M di un capitale di cui si conosce il valore del capitale stesso,il tasso di interesse i e il tempo t. Formula utilizzata : M = C (1+it )

• Terzo foglio:contiene il calcolo del capitale C conoscendo il valore del montante,il tasso i e il tempo n .Formula utilizzata : C = M /(1+it )

• Quarto foglio : contiene il calcolo del tasso d’interesse i, conoscendo il montante M,il capitale C e il tempo n. Formula utilizzata: i = ( M – C ) / C.t

• Quinto foglio : contiene il calcolo del tempo t ,conoscendo il montante M,il capitale C ed il tasso i . Formula utilizzata : t = ( M – C ) / C.i .

• Inoltre quest’ultimo foglio contiene i calcoli per trasformare il decimale del tempo in mesi e giorni

13.3 Problemi in Regime di Capitalizzazione Semplice

Problema 1 : Calcolo del montante semplice Un capitale di 3.150 euro è impiegato in regime di capitalizzazione semplice per 6 anni al tasso annuo dell’1,2%.Calcolare il montante e l’interesse semplici maturati alla fine dei 6 anni.

Per risolvere il problema con Excel,occorre aprire un nuovo foglio di lavoro,nelle celle della colonna C inserire i dati noti, come si vede nella figura 1 della pagina seguente.Se il tempo d’impiego del capitale C è formato anche da periodi inferiori all’anno ( mesi, giorni),occorre tenerne conto,predisponendo la cella C9 in modo da poter inserire anche il numero di mesi.Di conseguenza nella cella E6 ,invece della formula : M = C ( 1 + it ) si deve inserire la formula :M = C [1 + i ( t + m/12) ].In questo modo si potrà valutare anche l’interesse maturato in periodi corrispondenti a frazioni di anno.Nel foglio di Excel l’ultima formula ,per il calcolo del montante ,deve essere scritta con la seguente sintassi :E6 =C6*(1+C7*(C8+C9/12)) Una volta noto il montante si calcolano gli interessi semplicemente con la formula I = M – C .Nella cella E7 si scriverà:E7 = E6 – C6 Figura 1

A B C D E12 CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE34 Dati noti Incognite56 Capitale 3.150,00 Montante 3.376,807 Tasso annuo 0,012 Interesse 226,808 Anni 6,009 Mesi 0,00

62

10

Una volta predisposto il foglio di calcolo come in fig.1,basta modificare i valori dei dati noti( celle da C6 a C9 ) per ottenere automaticamente i risultati relativi a nuove situazioni.

Problema 2 : Calcolo del montante semplice e del tempo Un capitale di 26.332,13 euro impiegato in regime di capitalizzazione semplice per un certo tempo t , al tasso annuo del 7% , frutta un interesse semplice di 10.140,00 euro.Calcolare il montante e il tempo di impiego del capitale .

Occorre aprire un nuovo foglio di lavoro simile al precedente ( fig.2) . Ora le incognite sono il montante ed il tempo.Conviene calcolare prima il tempo d’impiego mediante la formula : t = I / Ci e poi il montante con la formula M = C + I .Come prima si inseriscono nella colonna C i dati noti del problema e nella colonna E le formule risolutive:E6 = C8/(C6*C7)E7 = C6 + C8Figura 2

A B C D E12 CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE34 Dati noti Incognite56 Capitale 26.332,13 Tempo 5,507 Tasso annuo 0,070 Montante 36.472,138 Interesse 10.140,009

10Il tempo d’impiego risulta pari a 5,5 anni,cioè a 5 anni e 6 mesi, mentre il montante maturato è pari a 36.472,13 euro .

Problema 3 : Calcolo dell’interesse e del tempo Il capitale di 4.947,00 euro impiegato al tasso annuo dell’8,3% , frutta un montante semplice di 7.000,00 euro. Calcolare l’interesse maturato ed il tempo di impiego del capitale .

Inserire i dati noti del problema nel nuovo foglio di lavoro,calcolare l’interesse con la formula :I = M – C e poi determinare il tempo d’impiego con la formula . t = I / Ci .Nelle celle E6 e E7 si scriverà:E6 = C8 – C6 E7 = E6/(C6*C7)Il foglio di lavoro assumerà il seguente aspetto :

A B C D E12 CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE34 Dati noti Incognite56 Capitale 4.947,00 Interesse 2.053,007 Tasso annuo 0,083 Tempo 4,9999888 Montante 7.000,009

63

10

Il tempo così calcolato,in generale,non sarà un numero intero ed è utile allora predisporre un calcolo per trasformare le frazioni di anni in mesi e giorni.

Figura 3A B C D

12 Conversione delle frazioni di anno34 Tempo in anni 1,2856 Anni 17 Mesi 38 Giorni 109

Per convertire in mesi e giorni le frazioni di anno, si possono usare le formule riferite alla fig.3 :C6 = INT(C4)C7 = INT(C4*12)-C6*12C8 = INT(C4*360)-C6*360-C7*30

La prima individua la parte intera del tempo in anni;la seconda formula converte il tempo in mesi( 12 all’anno) e poi sottrae i mesi corrispondenti alla parte intera degli anni .La terza formula applica lo stesso criterio : al tempo calcolato in giorni ( 360 nell’anno commerciale) viene sottratto l’equivalente di 360 giorni per ogni anno e di 30 giorni ogni mese ( commerciale).Ricordare che la funzione INT( ) , predefinita in Excel,restituisce la parte intera del numero reale che riceve come argomento.Si possono allora inserire queste formule nella risoluzione del problema 3 come riportato in fig.4

E8 = INT(E7)E9 = INT (E7* 12) – E8*12E10 = INT(E7* 360)- E8*360 – E9*30

Figura 4A B C D E

12 CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE34 Dati noti Incognite56 Capitale 4.947,00 Interesse 2.053,007 Tasso annuo 0,083 Tempo 4,9999888 Montante 7.000,00 Anni 49 Mesi 11

10 Giorni 2911

Il tempo d’impiego richiesto dal problema è di 4 anni,11 mesi e 29 giorni.

64

Problema 4 : Calcolo del capitale e dell’interesse Un capitale C viene impiegato in regime di capitalizzazione semplice per 7 anni e 6 mesi , al tasso annuo dell’1,5% , produce un montante di 5.000,00 euro.Calcolare il capitale impiegato e l’ammontare dell’interesse.Inserire i dati noti del problema nel nuovo foglio di lavoro. Osservare che ,poiché 6 mesi corrispondono a 6/12 = 0,5 , il tempo di impiego complessivo corrisponde a 7,5 anni.Noto il montante , il capitale si calcola con la formula C = M / 1 +it che andrà inserita nella cella E6 con la seguente sintassi :E6 = C6/(1 + (C7*C8))L’interesse si calcola successivamente con la formula : I = M – C e la seguente sintassi :E7 = C6 – E6

Sul foglio di lavoro ,nella casella E6 si leggerà il valore del capitale pari a € 4.494,38 e nella casella E7 il valore di I pari a € 505,62

Problema 5 : Calcolo del capitale e del tempo Un capitale impiegato al tasso annuo dell’1,5% , frutta un interesse semplice di € 440,50 ed un montante di 5.000,00 euro. Calcolare il capitale e il tempo.

Una volta noto il capitale ,calcolato con la formula : C = M – I , si calcola il tempo con la formula t = I / CiInserire nel nuovo foglio di lavoro, i dati noti del problema, immettere la formula per il calcolo del capitale : E6 = C6 – C8Il tempo, calcolato come numero di anni,mesi e giorni,si determina come nei casi precedenti con le formule : E7 = C8/(E6*C7)E8 = INT(E7)E9 = INT (E7* 12) – E8*12E10 = INT(E7* 360)- E8*360 – E9*30

Il risultato è mostrato dalla fig.5

Figura 5A B C D E

12 CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE34 Dati noti Incognite56 Montante 5.000,00 Capitale 4.559,507 Tasso annuo 0,015 Tempo 6,448 Interesse 440,50 Anni 69 Mesi 5

10 Giorni 811

Problema 6 : Calcolo del capitale e del tasso Un capitale C impiegato per 8 anni,6 mesi e 20 giorni,ha prodotto un interesse pari a 450,25 euroed un montante di 5.000,00 euro.Calcolare il capitale impiegato ed il tasso annuo di impiego.

65

Preparare un nuovo foglio di lavoro ed inserire i dati noti.Il valore del capitale si calcola con la formula C = M – I, mentre il tasso annuo, espresso dalla Iformula : i = ………………………………………… si calcola nella cella E7 con la formula C ( anni + mesi/12 + giorni/360)

E7 = C7/(E6*(C8+C9/12+C10/360))

Problema 7 : Calcolo del montante e del tasso annuo Il capitale di 5.000,00 euro ha fruttato l’interesse di 1.540,25 euro in 8 anni ,6 mesi e 20 giorni Calcolare il montante e il tasso annuo di impiego.Il valore del montante si ottiene con la formula M = C + I Il tasso annuo, una volta noto l’interesse I , si calcola applicando la formula : I i = …………………………………………… C ( anni + mesi/12 + giorni/360)

Aprire un nuovo foglio di lavoro e,dopo aver inserito i dati noti,digitare le seguenti formule :

E6 = C6 + C7E7 = C7/(C6*(C8+C9/12+C10/360))

Nella cella E6 si leggerà il valore del montante pari ad euro 6.540,25 e nella cella E7 un tasso annuo pari a 0,0360


1.Calcolare i dati necessari al completamento della seguente tabella :

Capitale Tasso annuo Interesse Tempo[anni] Montante€ 2.560,25 1,20% 2,5€ 1.565,60 1,25% € 2.660,45€ 3.256,00 1,25% € 1.250,00

€ 565,85 4 € 4.750,00€ 847,35 3 € 3.500,00

€ 32.000,00 6% € 39.680,00€ 691,38 2,2 € 811,22

€ 46.481,12 6,50% € 3.902,50

66

U.D.14 LA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

CON EXCEL

14.1 Ripasso

L’impiego di un capitale in regime di capitalizzazione composta è regolato dalla formula M = C(1+i)n = C + I .Le formule inverse necessarie per la risoluzione dei problemi in regime di capitalizzazione composta sono :

I = C [ (1+ i)n – 1] ; I = M – C ; C = M ( 1+ i)-n ; C = M – I ;

log M – log Ci = n√ M/C - 1 ; n = ……………………. log( 1 + i )

Quando il tasso d’interesse è riferito ad una frazione di anno,si può calcolare il tasso annuo i mediante la formula dei tassi equivalenti : i = ( 1 + ik )k – 1 ove ik è il tasso per k-esimi di anno

14.2 Montante in Regime di Capitalizzazione Composta

Problema 1 : Calcolo del montante e dell’interesse Il capitale di € 6.600,45 è impiegato al tasso annuo del 4,5% per 8 anni e 6 mesi.Calcolare il montante e l’interesse maturati.

Se si indica con a il numero di anni , con m il numero di mesi , con i il tasso annuo,il tempo n è dato da : n = a + m/12 e pertanto al formula per il calcolo del montante diventa :M = C ( 1 + i ) a + m/12

Preparare un nuovo foglio di lavoro contenente i dati noti, come mostrato nella tabella sottostante :

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Capitale 6.600,45 Montante7 Tasso annuo 0,045 Interesse8 Anni 89 Mesi 610

67

Il valore del montante e dell’interesse si ottengono con le formule :E6 = C6*(1+C7)^(C8+C9/12)E7 = E6 – C6

Problema 2 : Calcolo del montante e del tempo d’impiego Il capitale di € 6.600,45 è impiegato al tasso annuo del 4,5% produce un interesse composto di 1.500,00 euro . Calcolare il montante e il tempo di impiego del capitale.

Preparare il solito foglio di lavoro con dati noti e incognite

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Capitale 6.600,45 Montante7 Tasso annuo 0,045 Anni8 Interesse 1.500910

Dopo aver inserito i nuovi dati ,si calcola il montante sommando al capitale il valore dell’interesse maturato.Quindi con la formula : E6 = C6 + C8

Il valore del tempo è dato dalla formula : log M – log C n = ……………………. che dà il valore di n in anni . log( 1 + i )

E7 = ( LOG(E6)-LOG(C6))/LOG(1+ C7)

Problema 3 : Calcolo dell’interesse e del tempo d’impiego Il capitale di € 5.000,00 è impiegato al tasso annuo composto del 4,5% e produce un montante di 6.653,42 euro . Calcolare l’interesse ed il tempo di impiego.

Il calcolo dell’interesse è semplice ,basta sottrarre dal montante il valore del capitale .Il calcolo del tempo d’impiego è più complesso e richiede la formula

log M – log C n = ……………………. che dà il valore di n in anni . log( 1 + i )

Se poi si vuole convertire la parte frazionaria di anni in mesi e giorni,occorre applicare le formule già usate negli analoghi problemi di capitalizzazione semplice .

68

Quindi nella tabella seguente :

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Capitale 5.000,00 Interesse7 Tasso annuo 0,045 Tempo8 Montante 6.653,42 Anni9 Mesi10

Si inseriranno le seguenti formule :E7 = (LOG(C8)-LOG(C6))/LOG(1+C7) per calcolare il tempo totale ,E8 = INT(E7) per calcolare il numero intero di anni ,E9 = INT((E7- E8)*12) per calcolare il numero di mesi corrispondente.

Problema 4 : Calcolo del capitale e dell’interesse Un capitale impiegato al tasso annuo composto del 4,5% per 8 anni e 6 mesi, produce un montante di 5.950,652 euro . Calcolare il capitale e l’interesse .

Si affronta il problema calcolando prima di tutto il valore del capitale iniziale C con la formula : C = M ( 1+ i )-n .Per tener conto delle frazioni di anno essa deve essere modificata in : C = M ( 1 + i ) -a -m/12

Nella cella E6 del foglio di calcolo si scriverà : E6 = C6*(1+C7)^(-C8-C9/12) L’interesse maturato è dato dalla differenza tra il montante noto e il capitale calcolato in E6, quindi con la formula :E7 = C6 – E6

L’aspetto finale del foglio è mostrato dalla tabella sottostante :

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Montante 5.950,65 Capitale7 Tasso annuo 0,045 Interesse8 Anni 89 Mesi 610

Problema 5 : Calcolo dell’interesse e del tempo d’impiego Determinare il valore del capitale impiegato in regime di capitalizzazione composta,sapendo che al tasso annuo del 4,5% ha prodotto un interesse di 1.850 euro ed un montante di 4.582,26 euro.Calcolare inoltre il tempo di impiego

69

Il capitale iniziale è dato dalla differenza tra il montante e l’interesse maturato.Per il calcolo del tempo si procede mediante l’applicazione dei logaritmi decimali, ricorrendo alle formule già usate nei precedenti problemi :E7 = (LOG(C6)-LOG(E6))/LOG(1 + C7)

Questo è il risultato del foglio di lavoro

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Montante 4.582,26 Capitale7 Tasso annuo 0,045 Anni8 Interesse 1.850910

Problema 6 : Calcolo del capitale e del tasso annuo Un capitale impiegato per 7 anni e 3 mesi ha prodotto un interesse composto di1.542,32 euro ed un montante di 7.845,26 euro . Calcolare il valore del capitale ed il tasso annuo di impiego.

Dopo aver inserito nel nuovo foglio di lavoro tutti i dati noti,si calcola il capitale come differenza tra il montante e l’interesse.

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Montante 7.845,26 Capitale7 Interesse 1.542,32 Tasso annuo8 Anni 79 Mesi 310

Quindi si calcola il tasso annuo con la formula : i = n√ M/C -1 Nella cella E7 si scrive la formula: E7 = (C6/E6)^(1/(C8+C9/12))- 1

Problema 7 : Calcolo dell’interesse e del tasso annuo Il capitale di € 4.550,30 produce un montante di 6.560,24 euro in 4 anni e 10 mesi. Calcolare l’interesse ed il tasso annuo di impiego.

Inserire il capitale nella cellaC6,il montante nella cella C7,il numero di anni in C8 ed i mesi in C9.L’interesse si calcola come differenza tra il montante ed il capitale.Il tasso d’impiego si determina con la formula : E7 = (C7/C6)^(1/(C8+C9/12))-1

70

E si otterrà la seguente tabella:

A B C D E1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA234 Dati noti Incognite56 Capitale 4.550,30 Interesse7 Montante 6.560,24 Tasso annuo8 Anni 49 Mesi 10

14.3 Progettare un’applicazione multimediale che risolva problemi di capitalizzazione composta

a.Fase di realizzazione

L’applicazione è articolata su cinque fogli di lavoro:• Primo foglio : presenta una breve descrizione della capitalizzazione composta e del contenuto

dei fogli dell’applicazione con i link a ciascuno di essi.

• Secondo foglio:contiene il calcolo del montante composto M di un capitale di cui si conosce il valore del capitale stesso,il tasso di interesse i e il tempo n. Formula utilizzata : M = C (1+i)n

• Terzo foglio:contiene il calcolo del capitale C conoscendo il valore del montante,il tasso i e il tempo n .Formula utilizzata : C = M (1+i)-n

• Quarto foglio : contiene il calcolo del tasso d’interesse i, conoscendo il montante M,il capitale C e il tempo n. Formula utilizzata: i = ( M/C) 1/n – 1

• Quinto foglio : contiene il calcolo del tempo n ,conoscendo il montante M, il capitale C ed il tasso i . Formula utilizzata : n = Log ( M/C) / Log (1+i) . Inoltre quest’ultimo foglio contiene i calcoli per trasformare il decimale del tempo in mesi e giorni

Si visualizzano di seguito alcune proposte del quarto foglio,col calcolo del tasso i, e del quinto foglio ,col calcolo del tempo n .

b. Foglio Calcolo del tasso

A B C D E1 Calcolo tasso234 Montante € 1.853,1256 Capitale € 1.000,0078 Tempo 6,4791011 Tasso 10%1213

71

c.Inserire le formule

Cella Dato digitato Dato visualizzatoC11 = (C4/C6)^(1/C8)-1 10%

d.Foglio Calcolo del tempo

A B C D E1 Calcolo del tempo234 Montante € 1.853,1256 Capitale € 1.000,0078 Tasso 10%91011 Tempo 6,471213 Anni 614 Mesi 515 Giorni 201617

e.Inserire le formule

Cella Dato digitato Dato visualizzatoC11 = LOG(C4/C6)/LOG10(1+C8) 6,47C13 = INT(C11) 6C14 = INT((C11-C13)*12) 5C15 =ARROTONDA(((C11-C13)*12-C14)*30;0) 20

14.4 Rappresentazione Grafica dei Montanti in Capitalizzazione Semplice e Composta

a.Fase di realizzazione

L’applicazione è articolata su tre fogli di lavoro:• Primo foglio : illustra le caratteristiche essenziali tra le capitalizzazioni semplice e composta ,il

contenuto dell’applicazione e i dati del problema: capitale ,tasso d’interesse .• Secondo foglio:contiene il calcolo dei montanti semplici per 10 anni e la loro rappresentazione

grafica.• Terzo foglio: contiene il calcolo dei montanti composti per 10 anni e la loro rappresentazione

grafica.

72

Si visualizza di seguito una proposta di soluzione per il secondo foglio .


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA9 0 0A10 =A9+1 1B9 =$C$4*(1+$C$5*A9) 1000

• Copiare il contenuto della cella A10 nella zona A11:A19• Copiare il contenuto della cella B9 nella zona B10:B19 .


1.Rappresentare sullo stesso grafico le funzioni del montante in regime di capitalizzazione composta dei capitali C1 = 500 euro, C2 =1000 euro, C3 = 1500 euro impiegati per 12 anni al tasso annuo del 9 %.

2.Rappresenta sullo stesso grafico le funzioni del montante in regime di capitalizzazione composta del capitale di 1.150 euro,impiegato per 10 anni ai tassi annui del 7% ,17 % e del 27% .

3.Progettare un’applicazione multimediale,che rappresenti sullo stesso grafico montanti semplici e composti di diversi capitali. L’applicazione è formata da quattro fogli di lavoro contenenti .• il primo,un’introduzione dell’applicazione ed i dati dei problemi;

• il secondo,i dati e la rappresentazione sullo stesso grafico dei montanti semplice e composto del capitale di 1.200,00 € impiegato per 15 anni al tasso annuo del 6%;

• il terzo,deve contenere gli stessi dati del secondo foglio,ma per un capitale di 2.500,00 €;• il quarto,come i precedenti ,ma per un capitale di 4.000,00 €.

73

4.Calcolare i dati necessari al completamento della seguente tabella:

Capitale Tasso annuo Interesse Tempo( in anni ) Montante€ 565,85 4,2 € 4.750,00€ 847,35 6,5 € 3.500,00

€ 35.750,00 6,00% € 39.680,00€ 6.680,00 2,75 € 8.110,22€ 1.600,00 2,25% € 6.660,45€ 2.750,25 1,45% 8,5€ 1.350,80 3,20% € 2.200,00€ 4.860,90 4,50% € 3.902,50

U.D.15 LO SCONTO CON EXCEL

15.1 Ripasso

Dalla teoria è noto che esistono tre regimi di sconto: commerciale,razionale o semplice e composto.Le formule necessarie per risolvere i problemi relativi ai tre tipi di sconto sono le seguenti:

• sconto commerciale : Scom = C.d.t ; Vattuale = C ( 1 – dt)

C i t C • sconto razionale : Sraz = ………… ; Vattuale = …………. 1 + it 1 + it C • sconto composto : Sc = C - Vattuale ; Vattuale = …………… ( 1 + i )n

15.2 Calcolo dello Sconto e del Valore Attuale

Problema Calcolare lo sconto ed il valore attuale di un debito di euro 10.300, pagato 120 giorni prima della scadenza al tasso annuo del 9%.( utilizzare tutti i tre regimi di sconto )

Preparare un foglio di calcolo che contenga i dati noti e le formule dei vari tipi di sconto ,come mostrato dalla tabella seguente :

A B C D E F12 SCONTO34 Capitale C 10.300,005 anni 06 mesi 0

74

7 giorni 1208 Tempo t 0,3339 Tasso i 0,090101112 Commerciale Razionale Composto13 Valore attuale V14 Sconto S15

Inserire le seguenti formule nelle celle via via indicate :

D13 = D4*(1 – D9*D8)E13 = D4/(1 + D9*D8)F13 = D4/(1 + D9)^D8

D14 = $D$4 - D13E14 = $D$4 - E13F14 = $D$4 - F13

OSSERVAZIONEPer affrontare problemi nei quali il tempo è espresso in frazione di anno,si può prevedere d’inserire nel foglio di lavoro il valore degli anni , dei mesi e dei giorni e di trasformare il tempo totale in una sola variabile t che esprima le frazioni d’anno.

15.3 Calcolo del Tasso di Sconto

Problema Tizio deve incassare 1.250,00 euro tra 2 anni; a quale tasso di sconto composto è stato ceduto il diritto di riscossione se Tizio ha incassato oggi 1.166,89 euro?

Preparare il foglio di lavoro con i dati noti e le incognite

A B C D E F12 SCONTO34 Capitale C 1.250,005 anni 26 mesi 07 giorni 08 Tempo t 29 Tasso i101112 Commerciale Razionale Composto13 Valore attuale V 1.166,8914 Sconto S15

75

Poiché è noto il valore attuale ed è richiesto il tasso,si può ricorrere allo strumento Ricerca Obiettivo del programma Excel.Selezionare dal menu Strumenti,la voce Ricerca Obiettivo; nella finestra che compare sullo schermo ( fig. 1) inseriamo : Imposta la cella :F13Al valore : 1.166,89Cambiando la cella : $D$9Con 1 clic su OK si avrà la risposta al nostro problema e nella cella D9 si leggeràil valore i = 0,09


1.Completare la seguente tabella ,applicando lo sconto commerciale :

Capitale Tasso Tempo Valore attuale2.500,00 1a 2m 4gg 2.465,003.785,50 1,5% 3.769,734.877,25 2% 7m

3,5% 8m 20gg 50.475,02

2.Completare la seguente tabella,applicando lo sconto razionale :

Capitale Tasso Tempo Valore attuale1.500,00 2a 3m 1.451,032.450,00 4,5% 2.390,245.360,00 2,5% 120gg

3,7% 1a 3m 7.936,92

3.Completare la seguente tabella,applicando lo sconto composto :

Capitale Tasso Tempo Valore attuale3.450,00 2m 3.531,232.870,00 1,7% 2.814,118.525,80 2,1% 4m

3,5% 70gg 17.133,01

U.D.16 LE RENDITE CON EXCEL

16.1 Montante di una rendita

76

Con l’aiuto di Excel si può preparare una semplice tabella per la risoluzione dei problemi sulle rendite .

Problema :Calcolare il montante prodotto da una rendita di 10 rate annue immediate posticipate del valore di € 500,00 ciascuna,ad un tasso annuo del 2,7% e successivamente calcolare il montante nel caso in cui la rendita sia anticipata .

a.Fase di realizzazioneAprire una nuova cartella di Excel ( denominata RENDITE ) e sul foglio di lavoro

b.Inserire il testoInserire il testo,secondo lo schema sotto indicato :

A B C D E F1 Problemi sulle rendite234 Rendita posticipata Rendita anticipata5 N. Rate 10 106 Importo rata 500,00 500,007 Tasso interesse 2,7% 2,7%8 Montante9

OsservazioneE’ opportuno dare :

il formato Percentuale con due cifre decimali alle celle B7 ed E7 in modo da inserire il tasso percentuale ;

il formato Numero con due cifre decimali alle celle B6 ed E6, B8 ed E8 in modo d’avere la valuta in euro approssimata ai centesimi .

Per il calcolo del montante in caso di rata immediata posticipata si deve applicare la formula nota ( 1+i) n - 1M = R . ……………… , tenendo presente che il valore di R è contenuto nella cella B6 , quello di in è nella cella B5, quello di i è nella cella B7.

c.Inserire le formuleNella cella B8 va inserita la formula per il calcolo del montante : = B6*((1+B7)^B5-1)/B7.

Nel caso di rendita immediata anticipata,basta modificare la formula precedente.Allora si copia la formula della cella B8 nella cella E8 e la si modifica opportunamente moltiplicandola per il fattore (1+i) ;in alternativa si può scrivere direttamente la formula : = B8*(1+E7) Se tutta la procedura è stata eseguita correttamente , nella cella B8 si leggerà il valore del montante pari a 5653,38 e nella cella E8 il valore 5806,02 .

16.2 Valore attuale di una rendita

Problema Calcolare il valore attuale prodotto da una rendita di 12 rate annue immediate posticipate del valore di € 600,00 ciascuna,ad un tasso annuo del 3% e successivamente calcolare il valore attuale nel caso in cui la rendita sia anticipata .

77

a.Fase di realizzazioneAprire un nuovo foglio di lavoro


A B C D E F1 Problemi sulle rendite234 Rendita posticipata Rendita anticipata5 N. Rate 12 126 Importo rata 600,00 600,007 Tasso interesse 3% 3%8 Valore attuale

OsservazionePer il calcolo del valore attuale in caso di rata immediata posticipata si deve applicare la formula nota : 1 - ( 1+i) - n

M = R . ……………… , tenendo presente che il valore di R è contenuto nella cella B6 , quello di in è nella cella B5, quello di i è nella cella B7.

c.Inserire le formuleNella cella B8 va inserita la formula per il calcolo del valore attuale : = B6*(1- (1+B7)^-B5 )/B7.Nel caso di rendita immediata anticipata,basta modificare la formula precedente.Allora si copia la formula della cella B8 nella cella E8 e la si modifica opportunamente moltiplicandola per il fattore (1+i) ;in alternativa si può scrivere direttamente la formula : = B8*(1+E7) Se tutta la procedura è stata eseguita correttamente , nelle celle B8 ed E8 si leggerà il valore attuale delle due rendite .

16.3 Problemi inversi

Per risolvere i problemi inversi sulle rendite , quali il calcolo della rata R,del tasso i, del numero delle rate n,si possono costruire altre tabelle di calcolo in cui, per esempio per calcolare la rata R, basta inserire come dati i valori del montante ( o del valore attuale) , del tasso e del numero delle rate e poi calcolare con la formula opportuna l’importo della relativa rata. i iR = M . ……………. R = V . ……………… ( 1+i)n – 1 1 - ( 1+i)-n

Oppure si può utilizzare lo strumento di Excel chiamato Ricerca obiettivo .

ProblemaCalcolare l’importo della rata di una rendita composta da 15 rate posticipate,al tasso annuo del 2%, in modo da ottenere il montante di € 20.000,00.

a.Fase di realizzazioneAprire un nuovo foglio di lavoro

78


A B C D E F1 Problemi inversi sulle rendite234 Rendita posticipata Rendita anticipata

5 N. Rate 10 106 Importo rata7 Tasso interesse 2,7% 2,7%8 Montante 5653,389

Cambiare il contenuto delle celle B5 e B7 ed inserire i valori corretti di n e del tasso i

Attivare il comando Strumenti/Ricerca obiettivo

Nella casella Imposta la cella inserisci B8

Nella casella Al valore inserisci 20000

Nella casella Cambiando la cella inserisci B6Alla conferma con il pulsante OK,excel propone una soluzione,confermando di nuovo con OK le celle vengono aggiornate con il valore calcolato.

OSSERVAZIONEIl comando Ricerca obiettivo permette di risolvere i problemi inversi sulle rendite.Si parte dal presupposto di conoscere il risultato della formula impostata,ma di non conoscere il valore uno dei valori di input che l’ha generata,nel nostro caso l’importo della rata;attivando la funzione Ricerca obiettivo si deve indicare :

nella casella Imposta la cella ,l’indirizzo della cella che,da risultato calcolato con una formula ,deve diventare un dato ( questa cella deve contenere quindi una formula);

nella casella Al valore,il valore che si desidera ottenere nella cella precedente;

nella casella Cambiando la cella,l’indirizzo della cella che deve essere modificata per avere il nuovo dato,cioè la cella dell’obiettivo del problema.

Excel modifica il valore di quest’ultima cella finché trova quello che rende vera la formula specificata in Imposta cella .

16.4 Progettare un’applicazione multimediale che risolva problemi inversi sulle rendite utilizzando le funzioni finanziarie di Excel

ProblemaCalcolare il tasso di una rendita,l’importo delle rate e il numero delle rate,partendo da un valore attuale di € 1.000,00 e fissando di volta in volta altre due grandezze


79

\ Introduzione / Calcolo rata / Calcolo tasso / Calcolo numero rate/

b.Inserire il testo ed i valoriInserire il testo secondo gli schemi rappresentati di seguito

Foglio Introduzione

A B C D E F G H

1 Problemi inversi sulle rendite234 L’applicazione contiene tutti i possibili problemi inversi su una rendita56 Valore attuale € 2.000,0078 Il foglio Calcola rata assegna valori al tasso,al numero delle rate e calcola la rata9 Funzione utilizzata RATA()1011 Il foglio Calcola tasso assegna valori alla rata,al numero delle rate e calcola il tasso12 Funzione utilizzata TASSO()1314 Il foglio Calcola numero rate assegna valori alla rata,al tasso e calcola il numero delle rate15 Funzione utilizzata NUM RATE()16

Formattazione celle• A1 dimensione 14• B6 dimensione12,stile grassetto• D6 dimensione 12,stile grassetto

• D9,D12,D15 contornare il bordo con il pulsante Bordi presente nella barra Formattazione

Foglio Calcolo rata

A B C D E1 Calcolo della rata2345 Valore attuale67 Tasso 10%89 Numero rate 8101112 Calcolo rata13141516 Ritorno foglio introduzione17

Formattazione celle• A1 dimensione 14• A5,A7,A9 dimensione12• A12 dimensione 12,stile grassetto• D7,D9 dimensione 12

81

• D7 inserire 0, 1 e assegnare il formato percentuale : viene visualizzato 10%.

Foglio Calcolo tasso

A B C D E1 Calcolo del tasso2345 Valore attuale67 Rata € 340,8189 Numero rate 8101112 Calcolo tasso13141516 Ritorno foglio introduzione17

Formattazione celle• A1 dimensione 14• A5,A7,A9 dimensione12• A12 dimensione 12,stile grassetto

• D7,D9 dimensione 12

• D7 inserire 340, 81 e assegnare il formato valuta euro

Foglio Calcolo numero rate

A B C D E1 Calcolo del numero delle rate2345 Valore attuale67 Rata € 340,8189 Tasso 10%101112 Calcolo numero rate13141516 Ritorno foglio introduzione17

Formattazione celle• A1 dimensione 14• A5,A7,A9 dimensione12

82

• A12 dimensione 12,stile grassetto• D7,D9 dimensione 12

• D7 inserire 340, 81 e assegnare il formato valuta euro

• D9 inserire 0 , 1 e assegnare il formato percentuale

c.Inserire le formule

Foglio Calcolo rata

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD5 =Introduzione!D6 2000D12 = - RATA(D7;D9;D5;1) 340,81

Formattazione celle

• D5 dimensione 12 , formato valuta euro

• D12 dimensione 14,stile grassetto,formato valuta euroLa funzione RATA() si può digitare o inserire attraverso il pulsante Incolla funzione :

• Premere il pulsante Incolla funzione nella barra degli strumenti Standard

• Selezionare la funzione RATA() nella categoria Finanziaria• Inserire nella finestra che si visualizza i riferimenti di cellaSe il valore della rata si visualizza in negativo inserire il segno – prima della funzione utilizzandola barra della formula :

Foglio Calcolo tasso

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD5 =Introduzione!D6 2000D12 = TASSO(D9;D7; - D5;;1) 0,1

Formattazione celle


• D12 dimensione 14,stile grassetto,formato percentuale

Foglio Calcolo numero rate

Cella Dato digitato Dato visualizzatoD5 =Introduzione!D6 2000D12 = NUM.RATE(D9;D7; - D5;;1) 8

Formattazione celle


• D12 dimensione 14,stile grassetto

d.Rendere l’applicazione multimediale

83

• Selezionare il foglio Introduzione.

• Rendere attiva la cella D9.

• Selezionare Inserisci nella barra dei menu.

• Selezionare Collegamento ipertestuale dal menu che si apre.

• Fare clic sul pulsante Segnalibro.

• Selezionare il foglio Calcolo rata e confermare.Si crea il collegamento ipertestuale tra la cella D9 ed il foglio Calcolo rata.Ripetere il procedimento per creare il collegamento ipertestuale tra la cella D12 ed il foglio Calcolo tasso .Creare il collegamento ipertestuale tra la cella D15 ed il foglio Calcolo numero rate.Creare i tre collegamenti ipertestuali tra le celle D16 presenti nei fogli di calcolo e il foglio Introduzione per utilizzare questi collegamenti per tornare al foglio Introduzione.

16.5 Valore Attuale e Montante di Rendite Immediate Temporanee Posticipate

ProblemaCostruire un foglio di lavoro che calcoli il valore attuale ed il montante di una rendita immediata temporanea posticipata ,sapendo che R = 1.860,00 euro,il tasso annuo i = 0,026 e la durata della rendita è di 7 anni

Occorre organizzare il foglio di lavoro,come mostra la tabella seguente,nel quale è previsto l’inserimento dei dati noti R,i,n rispettivamente nelle celle C4,C5,C6

A B C D12 RENDITA IMMEDIATA POSTICIPATA34 RATA R : 1.860,005 TASSO i : 0,026006 PERIODI n : 778 v = 0,97479

10 RENDITA UNITARIA a-ni : 6,32529369

11 VALORE ATTUALE A : 11.765,051213 MONTANTE UNITARIO s-ni : 7,5702848

414 MONTANTE COMPLESSIVO M : 14.080,73

OSSERVAZIONEPoiché Excel non permette l’inserimento di simboli semigrafici nelle celle,si è scritto “a-ni” invece di a n i e “s-ni” invece di s n i .Per il calcolo delle variabili incognite, occorre determinare innanzi tutto il valore di v ponendo

:

C8 =1/(1 + C5)

84

il valore della rendita unitaria a n i è dato da :

C10 =(1 – (1+C5)^(-C6))/C5

E di conseguenza il valore attuale A si ottiene da :

C11 =C4*C10.

Il montante della rendita unitaria s n i è calcolato a partire dal valore di a n i :

C13 =(((1+C5)^C6)-1)/C5 ;

allora ,il montante della rendita sarà:

C14 =C4*C13Per una corretta rappresentazione dei valori sul foglio è necessario attribuire ,alle celle,opportuni formati.Impostiamo le celle C4,C11,C14 nel Formato > Celle > Numero con due cifre decimali.Le celle C5,C8,C10,C13,invece devono essere visualizzate con un elevato numero di cifre decimali.Con l’attribuzione di questi formati si conciliano le esigenze di chiarezza estetica con le esigenze di accuratezza nei calcoli.Per completare lo studio della rendita immediata posticipata, si può costruire un grafico che visualizzi l’andamento di a n i e di s n i in funzione di n,per un assegnato valore del tasso i .A tal scopo preparare una zona da riservare alla tabulazione delle funzioni,come mostrato nella figura sottostante:

Anche le colonne C,D,E,F devono essere opportunamente allargate e formattate.

Studiare le funzioni su 20 periodi al tasso specificato alla cella C5,con rata in C4.

85

La tabulazione di a n i si ottiene digitando la formula :C19 =(1-$C$8^B19)/$C$5che calcola il valore di a1; in essa il valore di n è prelevato da B19 .Poi si copia C19 su tutta la zona C19:C38 .La tabella del valore attuale A si ottiene mediante la formula:D19 =$C$4*C19che deve essere a sua volta copiata nella zona D19:D38.

Il montante unitario s n i si calcola con la formula :E19 =((1+ $C$5)^B19- 1)/$C$5da copiare in E19:E38.Da ultimo si procede alla tabulazione del montante complessivo con la formula:F19 = E19*$C$4copiata su F19:F38 .

Si è scelto di tabulare i valori di A e M in funzione di n,perché la tabella così ottenuta può servire alla risoluzione ed alla verifica di svariati esercizi.

Selezionare la zona di celle C18:C38 e ciccare sul pulsante di autocomposizione del grafico.Scegliere il grafico tipo Linee e procedere nella scelta delle opzioni.Per ottenere un grafico simile a quello della figura sottostante, è necessario intervenire successivamente sulle opzioni del grafico e modificare opportunamente titoli, legende, scala e colori.

Nella figura precedente si osserva chiaramente che il valore di a n i cresce più rapidamente nei primi periodi rispetto agli ultimi.

Se si seleziona la colonna E18:E38 e si procede allo stesso modo, si creerà il grafico di s n i in funzione dei periodi .

86

16.6 Valore Attuale di Rendite Immediate Perpetue Posticipate/ Anticipate

Problema 1Costruire un foglio di lavoro che calcoli il valore attuale di una rendita immediata perpetua posticipata/anticipata ,sapendo che R = 2.400,00 euro,il tasso annuo i = 0,06 .

Predisporre il foglio di lavoro come nella tabella sottostante

A B C D E F12 Rendite perpetue immediate34 Rata R 2.400,005 Tasso i 6%67 posticipata anticipata8 a 16,666667 a” 17,6666679 A 40.000,00 A” 42.400,00

10

Per il calcolo del valore attuale in caso di rendita a rata posticipata ,inserire nelle celle le formule:

C8 = 1/C5

C9 = C4*C8

Per calcolare il valore attuale nel caso di rendita con rata anticipata:

F8 = (1+C5)/C5

F9 = C4*F8

Con lo strumento Ricerca obiettivo si possono risolvere anche i problemi inversi.

Problema 2

Costruire un foglio di lavoro che calcoli la rata di una rendita immediata perpetua anticipata sapendo che il valore attuale è di euro 4.250,00 e il tasso annuo applicato è i = 0,034 .

88

Predisporre il foglio di lavoro come nella tabella sottostante :

Inserire nel foglio di calcolo del problema 1 ,i dati noti ed attivare lo strumento Ricerca obiettivo dal menu Strumenti . Alla finestra di dialogo che compare rispondere come in figura sovrastante ( Vedi fig3.15 di pag131 – Cedam )La risposta la problema 2 è R = 144,50 euro.


Completare le seguenti tabelle,che sintetizzano alcuni problemi sulle rendite

1. Rendita perpetua immediata posticipata

A i R1.560,00 0,05

2.000 850,04 124,8

2. Rendita perpetua immediata anticipata

A i R0,03 56,75

162 5.947,713,62% 4.637,14

3. Rendita immediata posticipata

R i n V- attuale Montante380,25 0,024 20155,00 10 3.500,00

0,022 18 5.000,00199,00 0,015 2.450,00

0,020 12 1.560,00

89

U.D.17 LA COSTITUZIONE DI CAPITALE

CON EXCEL

17.1 Costituzione di Capitale con Rate Costanti

Predisporre il foglio di lavoro,per il calcolo di alcuni elementi relativi alla costituzione di capitale S in n – anni ed al tasso i .Ricordare le relative formule per il calcolo della rata di costituzione R e del fondo Fk :

SR = ……….. ( rata posticipata) Fk = R . s k i ( fondo di costituzione con R posticipata ) s n i

.. SR = ………………. ( rata anticipata) s n i (1 + i)

Fk = R . s k i . ( 1 + i ) ( fondo di costituzione con R anticipata )

Inserire i dati e le relative incognite :

• Nella prima riga si scrive il titolo del programma;• nella seconda i DATI ,per indicare che di seguito saranno inseriti gli stessi;• nella terza il CAPITALE S e il relativo valore nella cella B3;• nella quarta il TASSO i e il relativo valore nella cella B4;• nella quinta il NUMERO DELLE RATE n e il relativo valore nella cella B5;• nella sesta l’EPOCA k in cui si calcola il FONDO ed il relativo valore nella cella B6;• nella settima ELEMENTI per indicare che di seguito saranno indicati gli elementi da ricercare;• nell’ottava RATA POSTICIPATA o ANTICIPATA R;

• nella nona il FONDO FK .

Si tratta ora di impostare ,nelle opportune celle ,le formule per determinare i vari elementi.

Nella cella C4 viene indicato il simbolo s n i e nella cella D4 viene scritta la formula per calcolarne il valore,poiché :

( 1 + i )n –1 s n i = …………………. i

90

si tratterà di sostituire ad i e ad n i rispettivi valori ,memorizzati nelle celle B4 e B5.D4 = (( 1 + B4)^B5 – 1 ) / B4

B8 = B3/D4

D6= ((1+B4)^B6 –1 )/B4

B9 =B8*D6

Come si vede dalla seguente tabella:

A B C D1 COSTITUZIONE DI UN CAPITALE CON RATE POSTICIPATE2 Dati3 Capitale S4 Tasso i s n i = ((1+B4)^B5 –1)/B4

5 N°.Rate n6 Epoca Fondo k s k i = ((1+B4)^B6 –1)/B4

7 Elementi8 Rata Posticipata R = B3/D49 Fondo Fk = B8*D6

Analogamente si può costruire la tabella nel caso di rata anticipata ,ricordando che: ..s n i deve essere moltiplicata per ( 1 + i), e quindi nella cella E4 si indica s n i e nella cella F4 si scrive la formula per calcolare il valore, come prodotto tra il valore della cella D4 ed il fattore ( 1 + i ).

F4= D4*(1 + B4)

B8= B3/F4

17.2 Stesura Piano di Costituzione di un Capitale con Rate Costanti

Problema

Stendere il piano di costituzione del capitale di € 10.000 al tasso annuo del 2,5% ,mediante 7 rate annue costanti.

Preparare un foglio di calcolo come quello in figura:A B C D E

1 PIANO DI COSTITUZIONE DI UN CAPITALE2 Valore (in euro) Tempo (in anni) Tasso Rata (in euro)345 ANNI RATA FONDO

(inizio anno)INTERESSI FONDO

(fine anno)678910

91

1112

Immettere i dati nella celle A3,B3,C3 ( a questa cella dare il formato percentuale); proseguire poi in questo modo:• nella cella D3 calcolare l’importo della rata con la funzione RATE • generare nelle celle della colonna A la successione del numero delle rate da 1 a 7• nelle celle della colonna B riportare il valore della rata calcolata in D3 con un riferimento

assoluto visto che l’importo della rata è costante e non si deve cambiare ( formula: = $D$3)• inserire 0 nelle celle C6 e D6 ( valore del fondo e degli interessi all’inizio del primo anno)• nella cella E6 sommare i valori delle celle da B6 a D6 ( formula:= SOMMA(B6:D6) ) e poi

copiare la formula lungo tutta la colonna E• nelle celle della colonna C riportare il valore della cella della colonna E che appartiene alla riga

immediatamente precedente ( formula := E6); copia poi la formula lungo la colonna • nelle celle della colonna D calcolare gli interessi moltiplicando il valore del fondo ad inizio

anno per il tasso ; il riferimento alle celle della colonna C deve essere relativo,quello della cella C3 deve essere assoluto ( formula: = C7*$C$3 da copiare per la colonna D)

Si è così completato il piano di costituzione.Conviene poi definire i valori delle celle delle colonne B,C,D,E con un formato numerico con due cifre decimali .

Ad esercizio risolto , nella cella D3 si leggerà il valore della rata = 1.324,95 € ed il fondo alla fine dell’anno 7 pari al valore del capitale , cioè 10.000 €.

OSSERVAZIONEProvare a cambiare il valore del capitale da costituire ( nella cella A3) , oppure il valore del tasso annuo ( cella C3): il foglio viene ricalcolato automaticamente.

Se invece si desidera cambiare il numero delle rate n , si devono togliere alcune righe se n < 7, oppure aggiungerne altre se n > 7 .


1. Stendere il piano di costituzione del capitale di € 12.000 al tasso annuo del 3% ,mediante 10 rate annue costanti.2. Stendere il piano di costituzione del capitale di € 28.000 al tasso annuo del 2% ,mediante 12 rate annue costanti.3. Silvia intende costituire la somma di € 7.000 mediante 8 versamenti costanti annui posticipati al tasso annuo del 3,5%.Quanto deve versare annualmente? Calcolare il fondo costituito dopo il versamento della quinta rata .4. Elena intende costituire ,all’atto dell’ultimo versamento, la somma di € 6.000 mediante 16 versamenti semestrali al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 4%. Calcolare la rata semestrale e stendere i il relativo piano di costituzione.

92

U.D.18 GLI AMMORTAMENTI CON EXCEL

18.1 Progettare un’applicazione multimediale che costruisca i piani d’ammortamento italiano e francese

Problema

Costruire i piani di ammortamento italiano e francese di un capitale di 5.000 euro al tasso annuo del 7% in 5 anni.


- fare clic col mouse 2 volte ,in rapida successione ,sul nome del foglio e quando si visualizza in negativo,digitare il nome desiderato

b.Inserire il testo Inserire il testo secondo gli schemi rappresentati di seguito

Foglio Presentazione

A B C D E F G1 Piani di ammortamento23 Debito4 Tasso567 La matematica finanziaria permette di costruire due diversi piani di ammortamento89 Italiano Quota capitale costante10 Francese Rata costante1112

Formattazione celle• A1 dimensione 12, stile grassetto• A3,A4 dimensione 10, stile grassetto

93

Foglio Metodo Italiano

A B C D E F G1 Piani di ammortamento a quote di capitale costanti23 Debito4 Tasso56 Anni n Q.cap Q Q.int Ik Rata Rk D.est Ek D.Res Dk

7

Formattazione celle• A1 dimensione 12, stile grassetto• A3,A4 dimensione 10, stile grassetto• A6,B6,C6,D6,E6,F6 : testo centrato

Foglio Metodo Francese

A B C D E F G1 Piani di ammortamento a rata costante23 Debito4 Tasso56 Anni n Q.cap Qk Q.int Ik Rata R D.est Ek D.Res Dk

7

Assegnare alle celle la formattazione già utilizzata per il foglio Metodo Italiano

c.Inserire i valori

Foglio Presentazione

A B C D E F G1 Piani di ammortamento23 Debito € 5.000,004 Tasso 10%567 La matematica finanziaria permette di costruire due diversi piani di ammortamento89 Italiano Quota capitale costante Q10 Francese Rata costante R1112

Inserire nelle celle il valore e assegnare la formattazione indicata di seguito:

• Cella C3: inserire 5000 e assegnare il formato euro facendo clic col mouse sul relativo pulsante nella barra degli strumenti Formattazione

94

€

• cella C4 : inserire 0,10 e assegnare il formato percentuale col pulsante presente nella barra degli strumenti Formattazione ; si visualizzerà 10% .

d.Inserire le formule


Cella Dato digitato Dato visualizzatoA7 0 0A8 = A7+1 1

Copiare il contenuto della cella A8 nella zona A9:A12

Cella Dato digitato Dato visualizzatoC3 = Presentazione !C3 5000C4 = Presentazione !C4 0,1

Formattazione celle

• C3 formato euro

• C4 formato percentuale

Foglio Metodo Francese

Cella Dato digitato Dato visualizzatoA7 0 0A8 = A7+1 1

Copiare il contenuto della cella A8 nella zona A9:A12

Cella Dato digitato Dato visualizzatoC3 = Presentazione !C3 5000C4 = Presentazione !C4 0,1

Formattazione celle

• C3 formato euro

• C4 formato percentuale


Cella Dato digitato Dato visualizzatoF7 =C3 5000B8 =$C$3/5 1000C8 =F7*$C$4 500D8 =B8+C8 1500E8 =E7+B8 1000F8 =F7-B8 4000

• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona B9:B12• Copiare il contenuto della cella C8 nella zona C9:C12• Copiare il contenuto della cella D8 nella zona D9:D12

95

• Copiare il contenuto della cella E8 nella zona E9:E12• Copiare il contenuto della cella F8 nella zona F9:F12

Selezionare la cella F7 e la zona B8:F12 ed assegnare il formato valuta euro .

Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro Metodo Italiano assume l’aspetto seguente:

A B C D E F G1 Piano di ammortamento a quote di capitale costanti23 Debito € 5.000,004 Tasso 10%56 Anni Q Ik Rk Ek Dk

7 0 € 1.000,00 € 5.000,008 1 € 1.000,00 € 500,00 € 1.500,00 € 1.000,00 € 4.000,009 2 € 1.000,00 € 400,00 € 1.400,00 € 2.000,00 € 3000,0010 3 € 1.000,00 € 300,00 € 1.300,00 € 3.000,00 € 2000,0011 4 € 1.000,00 € 200,00 € 1.200,00 € 4.000,00 € 1.000,0012 5 € 1.000,00 € 200,00 € 1.100,00 € 5.000,00 0,00

e.Costruire il graficoCostruire il grafico selezionando:• zona dati A6:C12 ;

• tipo di grafico : Istogramma ;

• scelta:2,Istogramma in pila.Confrontare il contributo di ciascun valore al totale in più categorie .

Nella seconda finestra di dialogo controllare chela finestra Serie contenga le colonne Qk e Ik.Dare conferma in tutte le altre finestre della composizione grafico.

Foglio Metodo francese

Cella Dato digitato Dato visualizzato

F7 =C3 5000B8 = -RATA($C$4;5;$C$3 1319C8 =F7*$C$4 500D8 =D8-C8 819E8 =E7+B8 819F8 =F7-B8 4181

• Copiare il contenuto della cella B8 nella zona B9:B12• Copiare il contenuto della cella C8 nella zona C9:C12• Copiare il contenuto della cella D8 nella zona D9:D12• Copiare il contenuto della cella E8 nella zona E9:E12• Copiare il contenuto della cella F8 nella zona F9:F12

Selezionare la cella F7 e la zona B8:F12 ed assegnare il formato valuta euro .

96

Terminate le operazioni descritte il foglio di lavoro Metodo Francese assume l’aspetto seguente:

A B C D E F G1 Piano di ammortamento a rata costante23 Debito € 5.000,004 Tasso 10%56 Anni Qk Ik R Ek Dk

7 0 € 5.000,008 1 € 818,99 € 500,00 € 1.318,89 € 818,99 € 4.181,019 2 € 900,89 € 418,10 € 1.318,89 € 1.719,87 € 3.280,1310 3 € 990,97 € 328,01 € 1.318,89 € 2.710,85 € 2.289,1511 4 € 1.090,07 € 228,92 € 1.318,89 € 3.800,92 € 1.199,0812 5 € 1.199,08 € 119,91 € 1.318,89 € 5.000,00 0,0013

f.Costruire il graficoCostruire il grafico selezionando:• zona dati A6:C12 ;

• tipo di grafico : Istogramma ;

• scelta:2,Istogramma in pila.Confrontare il contributo di ciascun valore al totale in più categorie .

Nella seconda finestra di dialogo controllare chela finestra Serie contenga le colonne Qk e Ik.

Dare conferma in tutte le altre finestre della composizione grafico.

g.Rendere l’applicazione multimediale

• Selezionare il foglio Presentazione.

• Rendere attiva la cella A9.

• Selezionare Inserisci nella barra dei menu.

• Selezionare Collegamento ipertestuale nel menu che si apre

• Fare 1 clic sul pulsante Segnalibro.

• Fare clic su Metodo ItalianoNella casella Digitare il riferimento di cella si visualizza il riferimento A1.• Confermare con OK

• Confermare di nuovo con OKLa scritta Italiano si visualizza in blu e sottolineato.Ripetere la stessa operazione col termine Francese e il foglio Metodo Francese

Verificare il funzionamento dei collegamenti ipertestuali facendo clic su di essi e tornando al foglio Presentazione

97

con la freccia presente nella barra degli strumenti Web. Se la barra degli strumenti Web non è visualizzataEseguire la sequenza di istruzioni descritta di seguito:

• Selezionare Visualizza nella barra dei menu.

• Selezionare Barre degli strumenti nel menu che si apre.

• Attivare la barra Web dal nuovo menu.

18.2 Stesura Piano di Ammortamento Americano

Problema

Stendere il piano di ammortamento di un prestito di 4.000,00 euro,rimborsabile tra 6 anni,che prevede il pagamento annuale degli interessi al tasso annuo del 1,5 % e la costituzione in banca del capitale da rimborsare , mediante versamenti annui costanti posticipati al tasso annuo del 1,203%

Predisporre il foglio di lavoro come nella tabella sottostante ed inserire i titoli ed i dati del problemaGenera la successione dei periodi da 0 a 6 nella colonna A

A B C D E F1 Piano di Ammortamento Americano o a due tassi 23 Valore del prestito 4.0004 Tasso del prestito i 1,50%5 Tasso di costituzione i’ 1,203%6 Numero rate n 678 Anni Q.Capitale Q.Interesse Rata D.Estinto D.Residuo9 010 111 212 313 414 515 6

• Nella cella B10 calcolare la rata necessaria a costituire il capitale o Quota capitale e poi copiare la formula in tutta la colonna B. C

La formula per il calcolo della quota capitale è Q = ………… s n¬i

• In C10 calcolare la quota interesse sul valore del prestito con la formula I = C.i :C10 = $C$3*$C$4Copiare la cella C10 da C11 a C15

• In D10 calcolare la rata che il debitore deve pagare ,cioè la somma della quota capitale con al quota interesse con la formula R = Q + I

D10 = B10+C10Copiare la cella D10 da D11 a D15

98

• Il debito estinto,che inizialmente è 0,è uguale alla somma della quota capitale dell’anno cui si riferisce con le quote precedenti di debitocce,nel frattempo,hanno maturato interessi:

E9 = 0E10 = B10+E9*(1+$C$5)

• Il debito residuo è la differenza tra il debito iniziale ed il debito estinto D. residuo = D.iniziale - D. estinto :F9 = $C$3F10 = $F$9- E10 Copiare la cella F10 da F11 a F15

Il piano è così completato e l’ultima riga del piano di ammortamento deve avere questi valori :

15 6 646,90 60,00 706,90 4.000,00 0,00

18.3 Stesura Piano di Ammortamento Francese

Problema

Stendere il piano di ammortamento di un prestito di 2.564,34 euro,rimborsabile in 8 anni al tasso annuo del 4,5% con ammortamento francese o progressivo o a rata costante posticipata.

Il piano d’ammortamento deve essere strutturato come una tabella nella quale riportare tutti i dati del problema e quelli del piano (capitale prestato,tasso,durata del prestito,rata,quota interesse, quota capitale, debito estinto e debito residuo).Nelle celle D4, D5, D6 inserire rispettivamente l’ammontare del prestito A, il numero delle rate, il tasso i

A B C D E F12 PIANO DI AMMORTAMENTO A RATA COSTANTE34 CAPITALE A = 2.564,345 n = 86 i = 4,5%7 a n ¬ i =89 RATA R =10 n Ik Qk Ek Dk

11 012 113 214 315 416 517 618 719 820

99

Per calcolare la rata costante R , occorre prima di tutto calcolare a figurato n al tasso i :

1 – ( 1 + i) -n

a n ¬ i = ……………… i

• Nella cella D7 calcolare a n ¬ i con la formula:D7 = (1-(1+D6)^(-D5))/D6

• Nella cella D9 calcolare la Rata con la formula R = A / a n ¬ i : D9 = D4/D7

• Allo scadere di ogni periodo deve essere versata la quota interesse pari al debito residuo,dopo il versamento dell’ultima rata,moltiplicato per il tasso i , con la formula : Ik = Dk . i :

C12 = F11*$D$6

• La quota capitale si calcola sottraendo alla rata il valore degli interessi dovuti, con la formula:Ck = R - Ik

D12 =$D$9 – C12

• La grandezza che esprime il debito estinto Ek,è una variabile crescente che,dal valore 0 iniziale,raggiunge il valore del capitale dopo il versamento dell’ultima rata , e si calcola con la formula : Ek = E k-1 + Ck

E12 = E11+D12

• Il debito residuo Dk è rappresentato da una variabile che assume inizialmente il valore dell’intero capitale A e decresce dopo ogni rata rimborsata , si calcola con la formula :

Dk = D k-1 - Ck

F12 = F11 – D12

Le formule contenute nelle celle C12,D12,E12,F12, si devono ricopiare nelle celle sottostanti.

Se tutto è stato fatto nel modo corretto si troverà : R= 388,78 e l’ultima riga del piano d’ammortamento

19 8 16,74 372,04 2.564,34 0,00

OSSERVAZIONE

Per impostare un foglio di calcolo che possa rappresentare un modello adeguato per molti problemi di ammortamento francese , a rata costante,è utile ricopiare le formule fino alla riga 51.In questo modo si costruisce un modello che può risolvere piani d’ammortamento fino a 40 rate.Questa generalizzazione comporta però un piccolo problema.In un ammortamento costituito da un numero di rate inferiore a 40, il foglio di calcolo così preparato ,continua a calcolare interesse,debito estinto e debito residuo anche dopo l’ultima rata.Per evitare quest’inconveniente è sufficiente correggere le formule nel seguente modo:

C12 = SE( B12<=$D$5;F11*$D$6;” “)D12 = SE( B12<=$D$5;$D$9-C12;” “)E12 = SE( B12<=$D$5;E11+D12;” “)F12 = SE( B12<=$D$5;F11-D12;” “)

100

Le formule contengono un’istruzione condizionale che serve a valutare la necessità di procedere nel calcolo.L’idea applicata è la seguente:se k è minore o uguale ad n allora esegui il calcolo; altrimenti lascia la cella vuota.

101

Questa struttura condizionale è implementata in Excel dalla sintassi :

= SE (condizione; istruzione 1; istruzione 2)

Se la condizione è vera allora viene eseguita l’istruzione 1, altrimenti viene eseguita l’istruzione 2.

Senza questa condizione,le colonne C,D,E,F, si riempirebbero anche di valori negativi ,perché il foglio calcolerebbe i parametri anche dopo l’ultima rata necessaria ad estinguere il debito.Le formule corrette inserite in C12,D12,E12,F12 si devono poi copiare fino al completamento di ciascuna colonna ( riga 51)

18.4 Stesura Piano di Ammortamento ItalianoProblema

Redigere il piano di ammortamento di un prestito di 1.000 euro,rimborsabile in 5 anni al tasso annuo del 5% con ammortamento italiano o uniforme o a quota capitale costante.

Il piano d’ammortamento deve essere strutturato come una tabella nella quale riportare tutti i dati del problema e quelli del piano Nelle celle D4,D5,D6 inserire l’ammontare del prestito, il numero delle rate,il tasso i.

A B C D E F12 PIANO DI AMMORTAMENTO CON QUOTA CAPITALE COSTANTE34 CAPITALE A = 1.000,005 n = 56 i = 5%789 Quota Capitale Q =10 N Ik Rk Ek Dk

11 012 113 214 315 416 517 6

• Calcolare il valore della quota costante di capitale , con la formula : Q = A / nD9 = D4/D5

• Calcolare il valore della quota interesse , con la formula : Ik = Dk- 1 . iC12 = SE(B12<=$D$5;F11*$D$6;” “)

• Calcolare il valore delle rate Rk , con la formula : Rk = Q + Ik

D12 = SE(B12<=$D$5; $D$9 + C12;” “)

• Calcolare il valore debito estinto Ek, con la formula : Ek = Ek- 1 + QE12 = SE(B12<=$D$5; E11+ $D$9 ;” “)

• Calcolare il valore debito residuo Dk, con la formula : Dk = Dk- 1 - Q

102

F12 = SE(B12<=$D$5; F11-$D$9;” “)Le formule inserite vanno copiate fino in fondo alle rispettive colonne;prevedendo la possibilità di rappresentare ammortamenti fino a 40 rate,dovremo copiare le formule fino alla riga 51.Se tutti i dati e le formule sono stati inseriti correttamente , l’ultima riga del piano d’ammortamento dovrebbe avere questi valori :16 5 10,00 210,00 1.000,00 -

18.5 Problemi InversiProblema Un prestito viene rimborsato in 8 anni a quote di capitale costanti,al tasso annuo del 4% determinare l’ammontare del prestito sapendo che l’importo della quinta rata è di euro 400,00 .

Per risolvere il problema costruire un foglio di calcolo contenente le formule per la determinazione di tutte le grandezze in gioco. Poi, con lo strumento Ricerca obiettivo si potranno risolvere molti altri problemi inversi.Diversamente da come sono stati redatti i piani d’ammortamento precedenti , ora non servono metodi di calcolo ricorsivo, ma le formule dirette per la determinazione della rata,dell’interesse,ecc.Preparare un foglio Excel :

A B C D E F123

AMMORTAMENTO CON QUOTEDI CAPITALE COSTANTE

45 CAPITALE A =6 n =7 i =8 Q = 9 k =10 Ik =11 Rk =12 Ek =13 Dk =14

Il foglio di calcolo deve contenere le seguenti formule :

Capitale A C5Tasso d’interesse o tasso del prestito I C7Quota capitale Q = A/n C8 = C5/C6n.versamento K D9Interesse al k-esimo versamento n – k +1

Ik = ………….... A .i N

C10 = (C6-C9+1)/C6*C5*C7

k-esima rata ARk = …... [ 1+(n-k+1).i] N

C11 = C5/C6*(1+(C6-C9+1)*C7)

Debito estinto al k-esimo versamento

AEk = k . …… N

C12 = C9*C5/C6

103

Costruito il foglio di calcolo,attivare il comando Ricerca obiettivo ed inserire i dati del problema come mostra la figura seguente :

Imposta la cella :C11Al valore : 400Cambiando la cella : $C$5

La Ricerca obiettivo ha successo e fornisce il valore del prestito, pari ad euro 2.758,62.


1. Creare un piano d’ammortamento americano per un capitale di 8.000 euro, in 12 anni al tasso annuo del prestito pari al 6% e con un tasso della banca pari al 7,5%.

2.Completare la seguente tabella ,che rappresenta la prima parte di un piano d’ammortamento francese formato da 18 rate costanti al tasso annuo del 6,5% :

N Ik Ck Ek Dk

01 240,0523

3. Creare un piano d’ammortamento francese per un capitale di 10.000 euro, in 40 anni al tasso annuo del 6%.

4. Creare un piano d’ammortamento francese per un capitale di 12.000 euro, in 7 anni al tasso annuo del 9 %.

5. Redigere un piano d’ammortamento italiano per un capitale di 9.000 euro, in 10 anni al tasso annuo del 8 %.

104

6. Redigere un piano d’ammortamento italiano per un capitale di 15.000 euro, in 15 anni al tasso annuo del 7,5 %.

INDICE

U.D.1 LE DISEQUAZIONI CON EXCEL1.1 Progettare un’applicazione ipertestuale che permetta di risolvere qualunque disequazione di 2° grado 1.2 Disequazioni frazionarie1.3 Sistema di disequazioni 1.4 Disequazioni con valore assoluto 1.5 Esercitazioni proposte

U.D.2 LE DISEQUAZIONI CON DERIVE2.1 Disequazioni razionali intere e frazionarie 2.2 Disequazioni irrazionali2.3 Disequazioni con valore assoluto2.4 Sistema di disequazioni2.5 Esercitazioni proposte

U.D.3 LE FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE CON EXCEL 3.1 Rappresentazione grafica di funzioni esponenziali3.2 Rappresentazione grafica di funzioni logaritmiche3.3 Esercitazioni proposte

U.D.4 LE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE CON EXCEL4.1 Equazioni esponenziali 4.2 Equazioni logaritmiche4.3 Esercitazioni proposte

U.D.5 LE FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE CON DERIVE5.1 Le funzioni logaritmiche 5.2 Rappresentazione grafica di funzioni esponenziali e logaritmiche5.3 Esercitazioni proposte

U.D.6 LE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE CON DERIVE6.1 Equazioni esponenziali6.2 Equazioni logaritmiche6.3 Esercitazioni proposte

U.D.7 LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE CON DERIVE7.1 Disequazioni esponenziali7.2 Disequazioni logaritmiche7.3 Esercitazioni proposte

U.D.8 IL PIANO CARTESIANO E LE RETTE CON DERIVE8.1 Punti e segmenti nel piano cartesiano con derive8.2 Esercitazioni proposte8.3 Intersezioni tra due rette8.4 Esercitazioni proposte

105

8.5 Programmazione di funzioni8.6 Esercitazioni proposte

U.D.9 LA RETTA CON EXCEL9.1 Rappresentazione grafica di una retta9.2 Rappresentazione grafica di un fascio proprio di rette9.3 Rappresentazione grafica di un fascio improprio di rette9.4 Esercitazioni proposte

U.D.10 LA CIRCONFERENZA E L’ELLISSE CON DERIVE10.1 Equazione della circonferenza10.2 Esercitazioni proposte10.3 Equazione canonica dell’ellisse10.4 Esercitazioni proposte

U.D.11 LA PARABOLA E L’IPERBOLE CON EXCEL11.1 Rappresentazione grafica dell’intersezione tra parabola e retta11.2 Rappresentazione grafica dell’equazione di un’iperbole equilatera11.3 Esercitazioni proposte

U.D.12 LA PARABOLA E L’IPERBOLE CON DERIVE12.1 La parabola come luogo geometrico12.2 Esercitazioni proposte12.3 Formule della parabola

U.D.13 LA CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE CON EXCEL13.1 Ripasso13.2 Progettare un’applicazione multimediale che risolva problemi di capitalizzazione semplice13.3 Problemi in regime di capitalizzazione semplice13.4 Esercitazioni proposte

U.D.14 LA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA CON EXCEL14.1 Ripasso14.2 Montante in regime di capitalizzazione composta14.3 Progettare un’applicazione multimediale che risolva problemi di capitalizzazione composta14.4 Rappresentazione grafica dei montanti in capitalizzazione semplice e composta14.5 Esercitazioni proposte

U.D.15 LO SCONTO CON EXCEL15.1 Ripasso15.2 Calcolo dello sconto e del valore attuale 15.3 Calcolo del tasso di sconto15.4 Esercitazioni proposte

U.D.16 LE RENDITE CON EXCEL16.1 Montante di una rendita16.2 Valore attuale di una rendita16.3 Problemi inversi16.4 Progettare un’applicazione multimediale16.5 Valore attuale e montante di rendita immediata temporanea posticipata16.6 Valore attuale di rendita immediata perpetua posticipata/anticipata16.7 Esercitazioni proposte

U.D.17 LA COSTITUZIONE DI CAPITALE CON EXCEL

106

17.1 Costituzione di capitale con rate costanti17.2 Stesura piano di costituzione di un capitale con rate costanti17.3 Esercitazioni proposte

U.D.18 GLI AMMORTAMENTI CON EXCEL18.1 Progettare un’applicazione multimediale per costruire i piani d’ammortamento italiano e francese18.2 Stesura piano di piano d’ammortamento americano18.3 Stesura piano di piano d’ammortamento francese18.4 Stesura piano di piano d’ammortamento italiano18.5 Problemi inversi18.6 Esercitazioni proposte

BIBLIOGRAFIA

1.LINEAMENTI DI MATEMATICA – MOD.A-E - BARONCINI-FABBRI-GRASSI

2.MATEMATICA PER L’ECONOMIA – TOMO C1 –RE FRASCHINI-GRAZZI-SPEZIA

3.LA MATEMATICA CON EXCEL – F.PATETTA

4.LABORATORIO DI MATEMATICA - CEDAM

107

Modulo 1 Classe 3 A-Progr.Mercurio - Altervista

Documents

Transcript of Modulo 1 Classe 3 A-Progr.Mercurio - Altervista