Modello di un sistema dinamico - La funzione di ... · Considerando le notevoli quantità delle...

Modello di un sistema dinamico - La funzione di

trasferimento - Le variabili I/O - Feed- Forward e Feed-

Backward

Argomenti

- Modello di un sistema dinamico

- La funzione di trasferimento

- Le variabili I/O

- Feed- Forward e Feed- Backward

Modello di un sistema dinamico

Si è definito, nella lezione precedente, un modello

matematico come una descrizione matematica del

comportamento del sistema reale, o meglio dei

legami funzionali che sussistono tra le grandezze

d'interesse.


Si ricorda anche la definizione di ingresso al sistema

come la variabile di controllo u(t), dell’uscita come la

variabile y(t) e dello stato del sistema come la

variabile x(t).


Esistono più rappresentazioni del sistema dinamico

nel tempo continuo:

- rappresentazione ISO (Ingresso/Stato/Uscita);

- rappresentazione IO (Ingresso/Uscita).

La rappresentazione ISO viene detta anche

rappresentazione in equazioni di stato.


A sua volta, una rappresentazione ISO può essere

suddiviso in:

- rappresentazione globale;

- rappresentazione locale.


Nella rappresentazione globale, la descrizione della

dinamica (x(t)) viene modellata nella forma:


In cui la relazione è in forma esplicita e si

conoscono tutti gli ingressi dall’i-esimo istante ti

all’istante t.

In realtà, questo modello è poco applicabile perché

raramente le leggi che regolano i fenomeni fisici

sono in questa forma.


Si sfrutta perciò il modello ISO locale, in cui le leggi

di interesse sono espresse dal modello:


In cui abbiamo le equazioni dello stato del sistema

ẋ(t) (dove ẋ(t) è la derivata dello stato in t) e

dell’uscita y(t), che sono funzioni del tempo, dello

stato nell’istante t e dell’ingresso nell’istante t, e

l’equazione dello stato nell’istante ti nota.


Considerando le notevoli quantità delle grandezze in

gioco, il sistema di equazioni sopra descritto può

essere riportato esplicitamente nella forma

matriciale:


Dove u, y, x rappresentano rispettivamente i vettori

delle variabili reali d’ingresso, d’uscita e di stato.

A(t), B(t), C(t), D(t) sono matrici dipendenti dalla

variabile temporale e dalle caratteristiche

parametriche del sistema in oggetto.

La forma matriciale è la più largamente usata per la

descrizione dei sistemi lineari tempo varianti (LTV).


Un sistema tempo continuo, lineare tempo

invariante (LTI) è modellabile attraverso la

rappresentazione ingresso/stato/uscita:


Prima di introdurre il modello del sistema dinamico

nel dettaglio, è necessario richiamare la definizione

di trasformata di Laplace ed alcune trasformate

fondamentali, che verranno largamente utilizzate nel

dominio della frequenza.


Si ricorda che la trasformata di Laplace è definita

come:

E si riportano alcune delle trasformate fondamentali

in tabella.


Inoltre, è importante introdurre alcune operazioni nel

dominio di Laplace che occorreranno per la

comprensione dei modelli nel dominio della

frequenza. Si tratta di:

- Derivata nel dominio di Laplace;

- Integrale nel dominio di Laplace;

- Ritardo temporale nel dominio di Laplace;

- Convoluzione.


Derivata nel dominio di Laplace


Integrale nel dominio di Laplace


Ritardo temporale nel dominio di Laplace

Partendo dalla funzione elementare:

Posso introdurre un generico ritardo in una funzione:


Ritardo temporale nel dominio di Laplace

Andando a trasformare ottengo:


Convoluzione

A partire dalla funzione in t:

Trasformando si ottiene:


A partire dal sistema di equazioni:

E’ possibile passare dal dominio del tempo al

dominio della frequenza adoperando la Laplace -

trasformata.


Applicando la trasformata di Laplace al sistema

iniziale, si ha:

Funzione di trasferimento

Esplicitando il sistema di equazioni rispetto ad X(s)

e Y(s) si ottiene:

Dove con l’esponente -1 sono indicate le matrici

inverse.


E’ possibile dare un’interpretazione delle equazioni

sopra scritte in funzione delle evoluzioni dello stato

e dell’uscita.

Infatti i primi membri delle due equazioni, dipendenti

dallo stato iniziale del sistema, sono riconducibili

all’evoluzione della risposta libera, mentre i secondi

membri, dipendenti dagli ingressi del sistema, sono

riconducibili all’evoluzione della risposta forzata.


Sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti

si ha:

Dove con l’indice ‘l’ si intende l’evoluzione libera e

con l’indice ‘f’ l’evoluzione forzata.


A questo punto è possibile introdurre la relazione tra

le variabili di ingresso (U(s)) e di uscita ((s)) nel

dominio della variabile s o più comunemente nel

dominio della frequenza. Come si vedrà, la funzione

di trasferimento permette di studiare le

caratteristiche del sistema in frequenza.


La matrice G(s) che mette in relazione gli ingressi e

le uscite del sistema viene chiamata Funzione di

Trasferimento (FdT) del sistema dinamico:


G(s), funzione di trasferimento, è anche definibile

come la trasformata di Laplace della risposta

all’impulso del sistema, visto che la trasformata di

U(s) è pari ad 1 se l’ingresso è un impulso.


La F.d.T. G(s) può essere rappresentata in varie

forme:

1. Forma razionale fratta:

2. Forma poli-zeri:


3. Forma a costanti di tempo (o di Bode):


Forma razionale fratta

La F.d.T., che si ricorda essere espressa in funzione

di s, quindi nel dominio dei numeri complessi, è

posta nella forma

dove il denominatore D(s) ha grado n, mentre il

numeratore N(s) deve necessariamente avere grado

m≤ n.


Forma razionale fratta

Esplicitando in funzione dei vari termini, si ha:

Dove b0,…, bn sono i coefficienti del polinomio N(s)

e a0,…, an sono i coefficienti del polinomio D(s).


Forma poli - zeri

Un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette

nel piano complesso n radici, reali o a coppie

complesse e complesse coniugate (a parte

immaginaria negativa).

Nel piano complesso si avrà una rappresentazione

come di seguito riportato.


Forma poli - zeri


Forma poli - zeri

Facendo sempre riferimento iniziale alla forma

Si possono scomporre i polinomi nella forma poli –

zeri.


Forma poli - zeri

Gli zeri della funzione di trasferimento sono le radici

del numeratore N(s) (numero minore o uguale a n).

I poli della funzione di trasferimento sono le radici

del denominatore D(s) (numero uguale a n).


Forma poli - zeri

La F.d.T. fratta può essere rappresentata con le

produttorie in cui compaiono gli zeri e i poli della

funzione.

dove ρ è la costante di trasferimento, zi sono gli zeri

della funzione, pi sono i poli.


Forma poli - zeri

Si può a tal proposito riportare un esempio. Si

consideri la FdT:

La funzione presenta:

• poli in: s = 0 , s = −1 , s = −2

• zeri in: s = 4


Forma poli - zeri

La funzione può essere scomposta, mediante il

criterio di Routh per la ricerca dei poli e degli zeri,

nella forma:

Che rappresenta la forma poli – zeri cercata.


Forma poli - zeri

Inoltre, i poli e gli zeri sono collocati nel piano

complesso graficamente con una crocetta e un

pallino.

Presa una funzione

Che presenta due zeri, in s = −j e s = j, e tre poli, in

s = 0, s = −1 e s = −2, essi possono essere

rappresentati come di seguito.


Forma poli - zeri


Forma di Bode (a costanti di tempo)

Una possibile rappresentazione della funzione di

trasferimento è detta forma di Bode, particolarmente

utile poiché mette in evidenza i soli parametri

caratteristici reali della risposta del sistema.



Per ottenere la rappresentazione con soli numeri

reali bisogna accorpare i termini complessi e

complessi coniugati in polinomi di secondo grado a

radici complesse.



Questi polinomi, a loro volta sono espressi per

mezzo di due parametri particolarmente significativi,

indicati con ζ e ωn.

ωn infatti, rappresenta la pulsazione naturale dei

poli complessi coniugati, mentre ζ rappresenta il loro

smorzamento .



Raggruppando le radici complesse e complesse

coniugate in un polinomio:

Le radici del polinomio risultano essere



Il significato grafico dei parametri ζ e ωn è di seguito

illustrato.



Nel piano complesso, ωn è il modulo delle due

radici, ossia la loro distanza dall’origine, mentre lo

smorzamento ζ è il coseno dell’angolo α formato

dalla congiungente l’origine con le radici, rispetto al

semiasse reale negativo.



Poiché la parte reale dei poli vale −ζωn e ωn è un

numero positivo, si ha:

• ζ>0: due radici nel semipiano sinistro;

• ζ=0: due radici sull’asse immaginario;

• ζ<0: due radici nel semipiano destro.



Possiamo a questo punto esprimere la funzione di

trasferimento per mezzo di soli parametri reali nella

seguente forma:



L’espressione realmente utilizzata, fa comparire

quello che prende il nome di guadagno statico della

funzione di trasferimento.

Questo si ottiene ponendo s=0 nella FdT e

corrisponde al rapporto tra ingresso e uscita

all’equilibrio .



La rappresentazione di G(s) in forma di Bode sarà:



I termini sono:

• sg indica il numero di poli o zeri nell’origine (s=0).

Se g (tipo) è positivo, corrisponde al numero di

poli in s=0, se è negativo, al numero di zeri in s=0.

• αni, ωni pulsazioni naturali, relative a ciascuna

coppia di zeri o poli complessi coniugati;

• τi, Ti costanti di tempo che determinano la rapidità

con il quale vengono assorbite le evoluzioni

transitorie;



• K guadagno del sistema;

• ζi smorzamenti delle coppie di zeri complessi

coniugati;

• ξi smorzamenti delle coppie di poli complessi

coniugati;



Per rendere più chiara la formalizzazione adottata,

facciamo un esempio numerico.

Si porti nella forma di Bode la seguente FdT e se ne

indichi tipo, guadagno, costanti di tempo degli zeri e

dei poli.



Volendo portare la FdT nella forma

Si risolvono le equazioni omogenee al numeratore e

al denominatore



Così facendo si ottiene

Dove:

Tipo g = −1;

Guadagno μ = 1/4;

Costante di tempo dello zero Tz1 = −0.5;

Costanti di tempo dei poli: Tp1 = 1, Tp2 = 0.25, Tp3

= 0.5.

Le variabili I/O

Finora ci si è concentrati sulla funzione di

trasferimento del sistema dinamico.

Vediamo ora come ricavare, in prima battuta, l’uscita

di un sistema dinamico LTI Y(s) sollecitato da un

ingresso di forzamento U(s).

Le variabili I/O

Per far ciò bisogna:

1. Ricavare, se non è già data, la funzione di

trasferimento G(s) del sistema;

2. Ricavare la trasformata U(s) dell’ingresso;

3. Calcolare la trasformata dell’uscita Y(s) =

G(s)U(s).

Le variabili I/O

Una volta ricavata la risposta nel dominio della

frequenza, si può anti trasformare ottenendo

l’andamento della risposta del sistema nel dominio

del tempo.

Le variabili I/O

Le variabili I/O

Ora che si hanno a disposizione gli strumenti adatti,

facciamo un esempio di sistema modellabile con le

funzioni di trasferimento.

Le variabili I/O

Supponiamo di avere un circuito RLC del tipo:

Le variabili I/O

Considerando la schematizzazione a blocchi,

possiamo scrivere l’equazione nella forma:

Le variabili I/O

Trasformando nel dominio di Laplace:

Ovvero:

Le variabili I/O

Quindi possiamo trovare il legame ingresso – uscita

come:

E definire la FdT, G(s), per il circuito RLC come:

Le variabili I/O

Si è capaci di trovare i parametri caratteristici come

in seguito:

Poli:

Zeri: nessuno

Tipo: g = 0

Guadagno: μ = 1

Le variabili I/O

Stabilità

Una volta ricavato il legame ingresso uscita e la

funzione di trasferimento di un sistema dinamico, è

possibile valutarne alcune caratteristiche

fondamentali, come la stabilità.

Le variabili I/O

Stabilità

Si supponga di avere un sistema dinamico LTI a cui

si applichi in ingresso, all’istante t=0, un impulso,

ovvero una perturbazione di ampiezza molto elevata

e di durata brevissima.

Le variabili I/O

Stabilità

La risposta del sistema alla sollecitazione applicata

può essere di tre tipi:

• l’uscita converge al valore iniziale;

• l’uscita non converge al valore iniziale, ma non

diverge;

• l’uscita diverge.

Le variabili I/O

Stabilità

Le variabili I/O

Stabilità

La risposta al gradino del sistema in oggetto può

essere quindi:

• Semplicemente stabile: La stabilità semplice

coincide con la limitatezza della risposta libera per

una qualunque condizione iniziale;

Le variabili I/O

Stabilità

• Asintoticamente stabile: La stabilità asintotica

coincide con la limitatezza e convergenza al valore

iniziale per t→∞ della risposta libera per una

qualunque condizione iniziale;

• Instabile: L’instabilità coincide con l’illimitatezza

della risposta libera per almeno un valore della

condizione iniziale.

Le variabili I/O

Stabilità

La stabilità può essere classificata in:

• Stabilità interna: associata a perturbazioni delle

condizioni iniziali;

• Stabilità esterna: associata a perturbazioni negli

ingressi.

Le variabili I/O

Stabilità

La stabilità esterna analizza l’effetto che hanno le

perturbazioni in ingresso sull’uscita del sistema.

Un sistema si definisce BIBO (Bounded Input

Bounded Output) stabile se, ad ogni ingresso limitato

corrisponde un’uscita limitata.

Le variabili I/O

Stabilità

Lo studio della stabilità di un sistema lineare

stazionario si riconduce sempre allo studio della

posizione delle radici di un polinomio rispetto all’asse

immaginario.

Le variabili I/O

Stabilità

Condizione necessaria e sufficiente perché un

sistema SISO lineare stazionario sia asintoticamente

stabile è che la sua funzione di trasferimento

presenti poli tutti a parte reale negativa.

Le variabili I/O

Stabilità

Le variabili I/O

Stabilità


sistema SISO lineare stazionario sia semplicemente

stabile è che la sua funzione di trasferimento

presenti uno o più poli semplici sull’asse immaginario

e che tutti gli altri poli siano a parte reale negativa.

Le variabili I/O

Stabilità

Le variabili I/O

Stabilità


sistema SISO lineare stazionario sia instabile è che

la sua funzione di trasferimento presenti uno o più

poli multipli sull’asse immaginario oppure uno o più

poli a parte reale positiva.

Le variabili I/O

Stabilità

Feed forward e feed backward

La retroazione (feedback in inglese) è una

configurazione dei sistemi dinamici che permette al

sistema di ‘inseguire’ un valore desiderato dell’uscita

confrontandolo istante per istante con l’uscita

effettiva.


In un controllo in retroazione il valore della variabile

in uscita dal sistema viene letto dal controllore che

agisce modificando l’ingresso del sistema. Questa

caratteristica differenzia i sistemi retroazionati (ad

anello chiuso) dai sistemi non retroazionati (ad

anello aperto).


Nei sistemi di controllo ad anello aperto (feed

forward) il valore della variabile manipolabile viene

determinato a priori sfruttando dei modelli

matematici; tali sistemi vengono chiamati predittivi

perché non viene effettuata nessuna verifica sul

valore.


Un sistema feed forward è del tipo:


Nei sistemi di controllo retroazionati, invece, il valore

viene determinato e corretto in base alla misura della

variabile controllata e al confronto con la variabile di

set point, quindi il valore di set-point viene ‘inseguito’

in base all’errore che lo separa dall’uscita effettiva.


Un sistema feed backward è del tipo:


Si parla di retroazione positiva quando l’uscita del

sistema va ad amplificare il funzionamento del

sistema stesso, sommandosi al valore di ingresso.

I sistemi con retroazione positiva sono facilmente

instabili e tipicamente portano il sistema a divergere.


Un esempio di retroazione positiva è rappresentato

dal suono amplificato in uscita da un altoparlante che

ritorna al microfono che lo ha generato, si avverte un

acuto sibilo o una vibrazione grave continua.

Questo è dovuto al fatto che il suono che entra nel

microfono viene amplificato e mandato agli

altoparlanti; se questo ritorna al microfono, si forma

una retroazione positiva che lo amplifica all’infinito.


C Pu

d

r e

+

+


Si parla di retroazione negativa quando l’uscita del

sistema viene sottratta al valore di set – point.

I sistemi con retroazione negativa sono in genere

stabili e tipicamente portano il sistema a convergere.


Il tempo che trascorre tra il momento in cui l’azione

di controllo viene messa in atto e il momento in cui

l’effetto perviene all’uscita del sistema viene definito

ritardo nell’anello di retroazione.

Quando questo ritardo è elevato si possono avere

problemi di stabilità anche nei sistemi con

retroazione negativa spesso dando vita a fenomeni

oscillatori.


La funzione di trasferimento di un sistema feed

backward è del tipo:

Dove H(s) è la FdT del blocco di retroazione.


Si definisce sensibilità di G(s) rispetto ad α (uno

qualsiasi dei parametri caratteristici del sistema) il

rapporto tra la variazione di G e la variazione

percentuale di α , definizione sintetizzata nella

formula:


Si possono definire, inoltre, la funzione sensibilità

diretta, che tende a 0 per guadagni di anello elevati,

come:


Mentre la funzione sensibilità inversa, che tende ad

1 per guadagni di anello elevati, è definita come:

Naturalmente:


Si consideri ora il problema della stabilità per sistemi

retroazionati.

Uno dei criteri più diffusi nello studio dei sistemi

dinamici è rappresentato dal criterio di stabilità di

Bode per sistemi retroazionati.


Preso un generico sistema in retroazione unitaria,

del tipo:


Una volta tracciati i diagrammi di Bode (in modulo e

fase, come definito nella lezione precedente), si

calcolano il margine di guadagno (mG) ed il margine di fase (mφ) definiti come:

• il margine di fase di un generico impianto G(s) in

retroazione unitaria è dato da:


Dove G(jω)|dB=0 è la fase della funzione calcolata

per la frequenza ω, detta pulsazione di taglio (o di

crossover) in cui la curva del modulo interseca l’asse

delle ascisse.

• il margine di guadagno di un generico impianto

G(s) in retroazione unitaria è dato da:


Dove |G(jω)| ω−180° è il modulo calcolato nel punto

in cui la fase della funzione è pari a−180°.

Per il criterio di Bode un sistema in retroazione è

stabile se il margine di guadagno ed il margine di

fase sono positivi.


Si riportano ora le operazioni fondamentali da

applicare con gli schemi a blocchi, che serviranno

per calcolare l’uscita Y(s), o qualsiasi altra

grandezza del sistema, nel caso di più blocchi in

serie o parallelo e nel caso della presenza di nodi

sommatori.


Il blocco non è altro che un simbolo indicante la

presenza di un sistema dinamico, avente la funzione

di trasferimento riportata nel simbolo del blocco, e

l’ingresso e l’uscita riportati rispettivamente sulla

freccia entrante e sulla freccia uscente dal blocco.


Il nodo sommatore, è un nodo la cui uscita è data

dalla somma algebrica dei segnali che entrano in

esso, ciascuno preso con il proprio segno.


Il punto di diramazione è caratterizzato dall’avere

tutti i segnali uscenti uguali al segnale entrante nel

punto.


Due sistemi si dicono in cascata (o in serie) se

l’uscita dell’uno è l’ingresso dell’altro.


La funzione di trasferimento dell’uscita, tenendo

conto di tutti i blocchi in cascata, vale:


Quindi:

La FdT del sistema costituito dalla cascata di due

sottosistemi è data dal prodotto delle due funzioni di

trasferimento parziali.


Due sistemi sono in parallelo se hanno lo stesso

ingresso. Le loro uscite si sommano algebricamente

per determinare l’uscita del sistema.


La funzione di trasferimento dell’uscita, tenendo

conto di tutti i blocchi in parallelo, vale:


Quindi:

La FdT del sistema costituito dal parallelo di due

sottosistemi è data dalla somma algebrica delle due

funzioni di trasferimento parziali.


Due sistemi si dicono connessi in retroazione

quando l’uscita del primo blocco è l’ingresso del

secondo, mentre l’uscita del secondo blocco si

somma o si sottrae all’ingresso del primo.


Se la retroazione è positiva, la funzione di

trasferimento dell’uscita vale:

Quindi:


Se la retroazione è negativa, la funzione di

trasferimento dell’uscita vale:

Quindi:

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