Modello di Anderson-Kim e Flux Creep

MODELLO DI ANDERSON-KIM

E

FLUX CREEP

GERARDO IANNONE

Capitolo 1

Introduzione alla

superconduttivita`

1.1 Introduzione

Nel 1911 il fisico olandese H. Kamerlingh Onnes scopr` che alcuni ma-

teriali, come il mercurio riportato in figura 1.1, portati a temperatura suf-

ficientemente bassa, presentano una transizione ad uno stato a resistenza

nulla: a questo stato della materia venne dato il nome di stato supercon-

duttore.

Molti anni dopo si scopr` che la perfetta conduttivita` non era la caratteristca

fondamentale dello stato superconduttore: i materiali in questo stato sono

infatti dei diamagneti perfetti.

Numerosi esperimenti mostrarono inoltre che il flusso di induzione magnet-

ica in un superconduttore e` quantizzato in multipli interi di 0 = hc2e , detto

flussone, o quanto di flusso. Il passaggio dallo stato normale allo stato su-

perconduttore avviene tramite una transizione di fase del secondo ordine

che si ha quando la temperatura viene portata al di sotto di un valore criti-

co Tc. Durante la transizione di fase il campo magnetico viene espulso dal

materiale (eetto Meissner); il lavoro necessario allespulsione e` compensato

1.1 Introduzione 3

Figura 1.1: Transizione resistiva del mercurio.

dal guadagno di energia libera del sistema nel passaggio allo stato super-

conduttore. Per questo motivo il campo magnetico non puo` eccedere un

certo valore critico Hc(T ), al di sopra del quale la transizione di fase non

Figura 1.2: Andamento dei campi magnetici critici per un superconduttore del

secondo tipo.

1.1 Introduzione 4

e` piu` energeticamente favorita. Tuttavia esiste una categoria di materiali

superconduttori in cui si puo` osservare una parziale penetrazione del campo

magnetico; questi vengono chiamati superconduttori del II tipo, per dis-

tinguerli dai superconduttori del I tipo, che sono diamagneti perfetti fino a

che si trovano nello stato superconduttore.

Nei superconduttori del II tipo si possono distinguere due campi critici: Hc1

e Hc2. In presenza di campi magnetici H applicati inferiori ad Hc1 il ma-

teriale rimane nello stato Meissner; per Hc1 < H < Hc2 il materiale passa

nello stato misto in cui, pur mantenendo la proprieta` di perfetta conduttiv-

ita`, lascia penetrare parzialmente il campo magnetico. Infine applicando un

campo superiore a Hc2 la superconduttivita` scompare e si ha la transizione

di fase allo stato normale. Sia il campo critico inferiore che il campo criti-

co superiore sono funzionione della temperatura; ovviamente invertendo la

funzione H(T) si puo` ricavare la dipendenza della temperatura critica dal

campo magnetico. Una rappresentazione schematica del camportamento di

un superconduttore del secondo tipo in presenza di campo magnetico appli-

cato e` riportata in figura 1.2.

Oltre al campo magentico critico si definisce una densita` di corrente critica

Jc(T ) oltre la quale il campione presenta dissipazione.

In generale il valore di Hc2 e` molto superiore al valore di Hc nei super-

conduttori del I tipo. Cio` e` dovuto al guadagno energetico che si ottiene

lasciando penetrare parzialmente il campo magnetico rispetto allespulsione

completa. Qualsiasi applicazione pratica richiede che il materiale rimanga

nello stato superconduttore in presenza di campi magnetici elevati e che

possa essere sfruttato per trasportare, senza dissipazione, correnti elevate e

quindi i superconduttori del II tipo presentano le caratteristiche migliori per

la realizzazione di dispositivi di utilizzo pratico. Tuttavia questi materiali

nello stato misto presentano dei fenomeni dissipativi non presenti nello sta-

to Meissner, che sono conseguenza delle caratteristiche particolari di questo

1.2 Le equazioni di London e la teoria di Pippard 5

stato. Questi fenomeni dissipativi saranno oggetto di studio nel seguente

lavoro.

1.2 Le equazioni di London e la teoria di Pippard

La teoria microscopica dello stato superconduttore (BCS) venne svilup-

pata da Bardeen, Cooper e Scrieer nel 1957. La teoria BCS spiega le pro-

prieta` dei superconduttori del I tipo, ma e` inapplicabile a sistemi finiti (le

equazioni microscopiche per sistemi finiti, sviluppate da Gorkov non sono

in generale facilmente risolubili) e al fine di eettuare predizioni sul compor-

tamento dei superconduttori si utilizzano usualmente delle teorie fenomeno-

logiche.

Queste teorie, partendo dalla teoria del superfluido e dalla fenomenologia

delleetto Maissner, trattano il superconduttore come un oggetto in cui

coesistono due specie di elettroni (gli elettroni normali e gli elettroni super-

conduttori) e sono per questo spesso indicate come modelli a due fluidi. F.

e H. London proposero due equazioni per descrivere il comportamento del

campo elettrico microscopico ~e, e del campo magnetico microscopico, ~h:

~e =@

@t( ~JS) (1.1)

~h = c~r^ ( ~JS) (1.2)

in cui ~JS e` la corrente di elettroni superconduttori e e` un parametro

fenomenologico definito come:

=42Lc2

=m

nSe2(1.3)


con m ed e rispettivamente massa e carica dellelettrone e nS densita` di

elettroni superconduttori, la quale che varia con continuita` dal valore 0,

in corrispondenza di TC , fino al valore della densita` totale di elettroni n a

T = 0.

Lequazione 1.2 descrive la perfetta conduttivita` di un superconduttore,

poiche un campo elettrico fa aumentare linearmente nel tempo la corrente

superconduttiva ~JS = enS ~vS : il campo elettrico ~e, quindi, accelera gli elet-

troni superconduttori invece di produrre una corrente proporzionale al cam-

po stesso tramite la resistivita`, come accade nei metalli normali dove ~e = ~J .

Lequazione 1.2, che descrive il legame tra il campo magnetico statico e la

corrente, combinata con lequazione di Maxwell ~r^ ~h = 4c ~J , da`:

r2~h = h2L

(1.4)

Da questa equazione discende che il campo magnetico microscopico decresce

esponenzialmente allinterno del materiale su lunghezze dellordine di L,

detta appunto lunghezza di penetrazione di London. Tramite lequazione

1.4 e` possibile (ovviamente) derivare leetto Meissner: il campo magnetico

esternomicroscopico, infatti, in corrispondenza della superficie del supercon-

duttore decresce dal valore del campo magnetico applicato ~H a zero allin-

terno del materiale.

Secondo la teoria di London la lunghezza di penetrazione a T = 0 vale:

L(0) =

mc2

4ns(0)e2

!(1.5)

dove ns(0) e` la densita` degli elettroni superconduttivi a T=0; nellipotesi di

London ns(0) coincide con la densita` totale degli elettroni di conduzione del

materiale. Il confronto con le lunghezze di penetrazione misurate sperimen-

talmente mostrano che queste sono sempre piu` grandi di L(0) anche dopo

1.3 Teoria di Ginzburg-Landau 7

aver estrapolato il valore a T = 0.

Nei metalli si osserva il fenomeno delleetto pelle anomalo quando la pro-

fondita` di penetrazione delle onde elettromagnetiche diventa confrontabile

con il cammino libero medio degli elettroni. In questo caso piccole variazioni

del cammino libero medio comportano grosse variazioni della profodita` del-

la pelle del conduttore. Nei metalli normali questo e` descritto tramite una

relazione non locale tra il campo elettrico e la corrente. Tramite esperi-

menti su campioni impuri, Pippard osservo` che la lunghezza di penetrazione

(0) aumenta allaumentare della concentrazione di impurezze, e quindi al

diminuire del cammino libero medio degli elettroni. Per questo motivo sos-

titu` alla relazione locale tra potenziale vettore e corrente di London 1.2 con

una relazione non locale:

JS(~r) =e2nSmc

340

Z ~R(~R ~a(r0))R4

exp(R)d~r0 (1.6)

in cui ~R = ~r ~r0 e e` una lunghezza caratteristica dipendente dal camminolibero medio e dalla temperatura. Essa aumenta al diminuire del cammino

libero medio a partire da un valore minimo 0 proprio del materiale puro.

Limportanza di questi eetti dipende dallentita` di rispetto alla lunghezza

L. In particolare se (come nei superconduttori di II tipo), cioe` seil campo magnetico varia abbastanza lentamente ( i.e. ~a(~r0) nella 1.6), gli

eetti della non localita` sono trascurabili.

1.3 Teoria di Ginzburg-Landau

La teoria fenomenologica che meglio descrive le proprieta` dello stato

superconduttore fu sviluppata nel 1950 dai fisici Ginzburg e Landau ed ha

come supporto la teoria di Landau sulle transizioni di fase del secondo or-

dine. La teoria Ginzburg Landau (GL) introduce una funzione complessa


(~x, T ) come parametro dordine della transizione di fase; essa e` associata

alla densita` di superelettroni nS , tramite la relazione:

nS = |(~x, T )|2 (1.7)

Poiche` e` il parametro dordine dello stato superconduttore esso deve ten-

dere a zero con continuita` per T ! TC .In questottica e` possibile ipotizzare uno sviluppo in serie di potenze del-

la densita` di energia libera di Gibbs GS dello stato superconduttore, in

prossimita` della temperatura di transizione, che vale per materiali isotropi.

GS(H) = GN (0) + ||2 + ||4 + 12m |ih~r e

c~A|2 + (hH)

2

8(1.8)

In questa equazione il termine |~r|2 tiene conto delle variazioni spaziali delparametro dordine. Applicando il principio variazionale alla 1.8 si ottengono

le equazioni di GL:

(T )+ ||2+ 12m

ih~r e

c~A2 = 0 (1.9)

~JS =eh2mi

(~r~r) e2

mc||2 ~A (1.10)

Lequazione 1.9 e` analoga ad unequazione di Schroedinger con un termine

non lineare proporzionale a , mentre la 1.10 e` unequazione per la corrente

per particelle di carica e e massa m.

Da queste equazioni si ottiene la lunghezza caratteristica su cui variano i

campi elettromagnetici, analoga alla lunghezza di penetrazione di London:


(T ) =

smc2

8e2|(T )| (1.11)

dove si e` postom = 2m ed e = 2e (dalla teoria microscopica); il parametro

(T ) e` definito come (T ) = (T/TC 1) con costante. Inoltre le vari-azioni spaziali del parametro dordine sono caratterizzate dalla lunghezza di

coerenza di Ginzburg-Landau che e` definita come

(T )2 =h2

2m|(T )| (1.12)

E utile introdurre il parametro di Ginzburg-Landau:

=(T )(T )

=mc

eh

s

2(1.13)

Nei superconduttori del I tipo 1 ( ), mentre nei superconduttoridel II tipo, tra i quali e` possibile annoverare i superconduttori ad alta TC ,

puo` essere molto maggiore di uno. Il valore = 1p2discrimina tra super-

conduttori del I e del II tipo.

Rimaneggiando lequazione 1.8 in assenza di campo magnetico, otteniamo:

FS(T ) = FN (0) + (T )[||2 8e2

mc22(T )||4 1

h2(T )| ih~r|2] (1.14)

in cui si e` tenuto conto che (T ) < 0 per T < TC . Dalla 1.14 si evince che

le variazioni spaziali del parametro dordine hanno un contributo tanto piu`

significativo rispetto agli altri termini, quanto piu` e` grande (in particolare

rispetto a ). Il rapporto tra e e` cruciale nella determinazione dellenergia

di parete.


1.3.1 Soluzione delle equazioni di G-L in alcuni casi partico-

lari

Utilizziamo le equazioni di G-L per determinare il parametro dordine nel

caso di un superconduttore infinito in campo nullo. Il parametro dordine in

questo caso (per la simmetria traslazionale del sistema)e` indipendente dalle

coordinate: (~r) = 1. Lequazione 1.10 si riduce a ~J = 0, mentre la 1.9

risulta:

(T ) = 0 (1.15)

|(T )|2 = (T )

(1.16)

in cui la prima soluzione descrive la fase normale, mentre la seconda de-

scrive la fase superconduttiva. Quale delle due sia favorita dipende dalla

temperatura. Per T < TC , il valore di equilibrio di , assumendo che sia

reale e`:

1(T ) =

s(T )

(1.17)

Il valore ottenuto e` il valore di equilibrio a cui il parametro dordine

tende lontano dallinterfaccia del sistema, cioe` quando si e` sucientemente

lontano da essa da poter approssimare il sistema ad un sistema infinito.

Nel caso di un sistema semi-infinito, a campo nullo, il parametro dordine

dipende spazialmente solo dalla distanza dallinerfaccia, e leq. 1.9 e`:

(T )(z, T ) + (z, T )|(z, T )|2 h2m

@2

@z2(z, T ) = 0 (1.18)

per cui cerchiamo una soluzione del tipo:


Figura 1.3: Andamento schematico del parametro dordine e del campo mag-

netico h in corrispondenza di uninterfaccia S/N in un superconduttore del I e del

II tipo rispettivamente.

(z, T ) = 1(T )f(z) (1.19)

la soluzione per f(z) e`:

f(z) = tanhzp

2(T )) (z, T ) = 1(T ) tanh zp2(T ) (1.20)

da cui si vede che il parametro dordine raggiunge il suo valore di equilibrio

1 dopo alcune .

1.3.2 Energia di parete

Consideriamo un superconduttore in presenza di un campo magnetico.

Allinterfaccia tra la fase normale, in cui il campo magnetico penetra, e la

fase superconduttiva, il campo magnetico decresce su lunghezze dellordine

di (1.4), mentre il parametro dordine passa da zero al suo valore di

equilibrio su lunghezze dellordine di . La densita` di energia libera di Gibbs

del sistema in presenza del campo magnetico H e`:


gS(T,H) = FN (0)+(T )[||28e2

mc22(T )||41

h2(T )|

ih~r e

c~A|2]+(H h)

2

8(1.21)

In questa espressione vediamo che il campo magnetico e il parametro dor-

dine concorrono allenergia nel seguente modo: il parametro dordine rende

minima lenergia quando assume il valore di equilibrio 1, mentre il campo

magnetico microscopico ~h rende minima lenergia quando assume il valore

del campo esterno applicato ~H. Poiche` pero` il superconduttore espelle il

campo magnetico, il contributo allenergia di h e` positivo quanto piu` rap-

idamente esso decresce a zero. Nellinterno del superconduttore lenergia

spesa per espellere il campo viene compensata dalla presenza del parametro

dordine 1. Vicino ad uninterfaccia cresce piu` o meno rapidamente a

seconda del valore di (T ), e il suo contributo allenergia e` negativo. Come

si puo` intuire dalla figura 1.3, nel caso di superconduttori del I tipo, poiche`

1 ( ), la presenza di uninterfaccia comporta un incremento dienergia, poiche` il contributo positivo di h non viene compensato dal con-

tributo negativo dovuto a , che cresce lentamente (con ) rispetto a quan-

to rapidamente (con ) il valore di ~h si allontana da ~H. Al contrario, se

1, la presenza di uninterfaccia comporta una diminuzione di energia,perche` in corrispondenza di essa h e coesistono. Per calcolare il contrib-

uto allenergia di uninterfaccia e` possibile considerare un superconduttore

semi-infinito, in presenza di un campo magnetico H = HC . In questo caso la

densita` di energia libera di Gibbs della fase normale in presenza del campo

HC e` uguale alla densita` di energia libera dello stato superconduttore fS0,

poiche` ci troviamo nel punto della transizione di fase del secondo ordine tra

lo stato normale e lo stato superconduttore. Lenergia di parete e` lener-

gia in eccesso rispetto al valore che si avrebbe se la densita` di energia fosse

ovunque fS0, ovvero:


=Z +11

(gSH(x) fS0)dx (1.22)

in cui gSH(x) e` la densita` di energia libera di Gibbs del sistema in funzione

della posizione. Lesatto crossover tra energia di parete positiva e energia

di parete negativa avviene per = 1/p2, come calcolato numericamente

da Ginzburg e Landau. Pur avendo ottenuto questo risultato Ginzburg e

Landau non riuscirono a prevedere la comparsa dei vortici e la conseguente

penetrazione del campo magnetico nei superconduttori del secondo tipo,

descritte dalla soluzione di Abrikosov.

1.3.3 La soluzione di Abrikosov

Nel 1957 Abrikosov propose una soluzione delle equazioni di Ginzburg-

Landau per un superconduttore caratterizzato da 1.Poiche` le variazioni del parametro dordine hanno lunghezza caratteristica

, e` lecito supporre || cost., poiche` il parametro dordine raggiungeil suo valore di equilibrio molto piu` rapidamente rispetto alle variazioni del

campo magnetico (e quindi anche delle supercorrenti - eq. 1.10). Prendendo

una complessa:

= ||ei(,) (1.23)

la fase (, ) deve soddisfare le ipotesi di monodromia della funzione ;

lipotesi di Abrikosov e` (~r) = (~r). Inserendo la 1.23 nella equazione di GL

1.10 si ottiene:

~j =ehm

||~r e

mc||~a (1.24)


Operando con il rotore su ambo i membri e ricordando la definizione di

1.11 e del quanto di flusso 0:

2~r^ ~r^ ~h+ ~h = 02(2)(~r)z (1.25)

in cui si e` fatto uso di ~r ^ ~h = 4~jc e ~r ^ ~r(~r) = 2(2)(~r). La soluzionedi questa equazione dierenziale da` il campo magnetico ~h e la densita` di

corrente ~j = c4 ~r^ ~h:

~h(~r) =022

K0

z (1.26)

~j(~r) =0c822

K1

(1.27)

in cui le funzioni K0 e K1 sono funzioni di Bessel ed hanno landamento

descritto in fig. 1.4. Poiche` si e` ottenuta la soluzione nellapprossimazione

|| = cost, va escluso il dominio di raggio intorno allasse z in cui ilparametro dordine va a zero cio` permette di evitare la divergenza del cam-

po magnetico e conseguentemente della densita` di energia; landamento del

campo magnetico e del parametro dordine e` rappresentato in figura 1.5.

La struttura identificata da Abrikosov prende il nome di vortice per lan-

damento caratteristico delle correnti persistenti ~j intorno al nucleo centrale

di materiale normale. Poiche` per un superconduttore del II tipo e` energeti-

camente favorevole creare delle interfacce S/N, quando il campo magnetico

applicato diventa sucientemente intenso (i.e. HC1 = 4"10 , in cui "1 e` la

densita` lineare di energia del vortice) si forma nel superconduttore il primo

vortice, portatore di un quanto di flusso magnetico 0; poiche` le interfacce

abbassano lenergia, allaumentare del campo magnetico aumentano i vortici

presenti nel materiale; ogni vortice porta un quanto di flusso 0; per questo


Figura 1.4: Andamento delle funzioni di BesselK0 eK1. In figura e` inoltre indicata

la regione di raggio per = 10 in cui non vale lapprossimazione di Abrikosov.

Figura 1.5: Andamento schematico del campo magnetico e del parametro dordine

in presenza di un vortice isolato.

motivo molto spesso ci si riferisce ai vortici chiamandoli flussoni o quanti di

flusso. Quando la densita` di vortici e` elevata diventa rilevante anche linter-

azione repulsiva tra i vortici.

Nellipotesi che valga il principio di sovrapposizione, la forza con cui due

vortici si respingono, utilizzando il risultato di Abrikosov, e` pari a:


~f12 = ~j1(~r2) ^~0c

(1.28)

in cui ~j1 sarebbe la corrente del vortice 1 in ~r2, la posizione del vortice 2,

se il vortice due non fosse presente. Se i vortici si dispongono in un reticolo

regolare, la forza complessiva agente su un vortice e`:

~f = ~Js(~r2) ^~0c

(1.29)

in cui ~Js e` la corrente totale. Le posizioni di equilibrio sono quelle per cui ~Js

si annulla; cio` e` verificato se ogni vortice e` circondato da un array simmetrico.

A parita` di campo di induzione ~B = n~0, e quindi di densita` n di vortici, il

reticolo triangolare e` quello tra i reticoli simmetrici per cui la distanza tra

primi vicini e` maggiore e quindi lenergia di interazione e` minore: ad esso

corrisponde la configurazione di equilibrio stabile. In campioni reali i difetti

e le inomogeneita` tendono a distruggere anche interamente la regolarita`

del reticolo; in alcuni materiali sono le simmetrie della struttura cristallina

,che determinano anisotropie di e , ad influenzare la disposizione dei

vortici, che possono disporsi in array quadrati o anche rettangolari. In figura

1.6 e` rappresentata una immagine, ottenuta tramite un microscopio a forza

magnetica (MFM), del reticolo dei vortici in un campione film di Nb.


Figura 1.6: Reticolo dei vortici in un campione di Nb osservato tramite un mi-

croscopio MFM. Nonostante le deformazioni, dovute alle imperfezioni nel campi-

one, si riesce ad individuare il reticolo triangolare di Abrikosov. A. Volodin et al.

Katholieke Universiteit Leuven Europhys. Lett. 58, 582 (2002).

Capitolo 2

Modello di Anderson-Kim e

Flux Creep

2.1 Flux pinning

Consideriamo un superconduttore ideale (cioe` privo di impurezze e difetti

cristallini) del II tipo. In presenza di un campo magnetico, di intensita`

compresa tra Hc1 e Hc2, il superconduttore, come aermato nel capitolo

precedente, si trovera` nello stato misto, caratterizzato da un certo numero

di vortici NV . Applicando una corrente ~J , su ciascun quanto di flusso agisce

una forza di Lorentz, di intensita` per unita` di lunghezza pari a:

~f = ~J ^!0c

(2.1)

Moltiplicando la forza che agisce su un singolo vortice per il numero totale

NV di vortici si ottiene la forza totale per unita` di volume:

~F = ~J ^~B

c(2.2)

2.1 Flux pinning 19

dove ~B = NV 0/S e` il campo di induzione magnetica, con S superfi-

cie del superconduttore. B rappresenta il valore medio del campo micro-

scopico allinterno del materiale. A causa della forza data dalla 2.2 ogni

flussone acquisisce una velocita` di drift ~v in direzione ortogonale alla cor-

rente. Il moto complessivo dei vortici produce quindi un campo elettrico

~E lungo la direzione di applicazione della corrente, la cui intensita` e` data

dallespressione

~E = ~B ^ ~vc

(2.3)

Tale campo elettrico si manifesta attraverso eetti dissipativi: esso agisce

infatti come una tensione resistiva e quindi dissipa potenza essendo la den-

sita` di potenza dissipata uguale a ~E ~J . Questo fenomeno va sotto il nomedi Flux Flow.

Nei superconduttori reali sono pero` sempre presenti difetti della struttura

cristallina ed inomogeneita` spaziali che inducono la presenza allinterno del

materiale di zone non superconduttive che ostacolano il moto dei vortici.

In queste regioni la formazione di un vortice e` energeticamente favorita in

quanto non e` necessario compiere un lavoro per formare il nucleo normale.

In questa situazione i vortici si dispongono in una configurazione di min-

ima energia, dipendente dal materiale; per spostare un vortice dalla sua

posizione di equilibrio e quindi ora necessario compiere un lavoro. Leet-

to di queste inomogeneita` spaziali, cui corrispondono le regioni di minimo

dellenergia libera, si puo` descrivere attraverso lazione di un potenziale at-

trattivo (potenziale di pinning) che genera una forza (forza di pinning) che

si oppone alla forza di Lorentz, ostacolando il moto dei vortici. Tali inomo-

geneita` ancorano quindi il flussone e sono pertanto dette centri di pinning.

Pertanto anche se lapplicazione di un campo magnetico di intensita` superi-

ore a Hc1 tenderebbe a far spostare i flussoni, inducendo in tal modo, come

2.1 Flux pinning 20

aermato in precedenza, eetti dissipativi, le impurezze pinnano i vortici,

favorendo cos` il passaggio di corrente senza dissipazione. I centri di pinning,

come vedremo nel prossimo paragrafo, sono modellizzati tramite una buca

di potenziale con energia massima UP e ampiezza eettiva X. Per avere

un pinning ecace le impurezze devono avere ridotte dimensioni spaziali,

delordine della lunghezza di coerenza , e la loro distribuzione allinterno

del materiale deve essere omogenea.

La prima condizione e` necessaria per mantenere vincolato il vortice: se in-

fatti il vortice si trovasse in un centro di pinning di dimensioni troppo gran-

di, con lapplicazione di una corrente alternata (o anche, seppur in minor

misura, con lapplicazione di una corrente continua) il vortice sarebbe libero

di muoversi. Inoltre poiche` la forza di pinning totale e` pari, in prima ap-

prossimazione, alla somma delle forze esercitate da ciascun centro di pinning

allora la condizione ottimale e` quella in cui i centri di pinning siano numerosi

e di piccole dimensioni, piuttosto che quella in cui sono pochi e di grosse

dimensioni. La seconda condizione e` dovuta al fatto che quanto piu` la dis-

tribuzione dei centri di pinning e` omogenea tanto piu` e` probabile che i vortici

si formino in corrispondenza dei centri di pinning.

Il moto dei vortici oltre che da una corrente esterna (come nelequazione

2.2) puo` essere anche causato da una corrente media di non-equilibrio ~JN.E.,

dovuta ad una distribuzione non omogenea dei vortici che si addensano

in alcune zone del materiale a causa delleetto di ancoraggio dei centri di

pinning. Poiche` ~r^~h = 14 ~J , in cui ~h e` il campo magnetico microscopico al-linterno del materiale e ~J la corrente totale, se consideriamo il valore medio

di questa quantita` i contributi delle correnti di singolo vortice si annullano,

dando un contributo diverso da zero nelle regioni in cui ce` un addensamento

dei flussoni. Il risultato e` una corrente netta di non equilibrio ~JN.E., la cui

intensita` e` data da

2.1 Flux pinning 21

~r^ ~B = 14

~JN.E. (2.4)

essendo h = ~B.

Se consideriamo un superconduttore del II tipo a forma di cilindro cavo

Figura 2.1: (a) Linee di flusso del campo magnetico intrappolato in un cilindro

superconduttore cavo. (b) Sezione del cilindro ed andamento del campo magnetico

in funzione della distanza dallasse del cilindro.

di raggio R (figura 2.1) con uno spessore d delle pareti tale che d R,e` possibile trascurare la curvatura delle pareti e ridurre lo studio ad un

problema unidimensionale. Indicando con la barra la media spaziale, si

avra`:

~r^ ~h = d~h

dx=d ~B

dx(2.5)

dove il campo di induzione ~B si puo` scrivere come ~B = n(x) ~0 con n(x)

densita` dei quanti di flusso. Sostituendo lespressione per ~B allinterno della

2.5 si ottiene

~0dn

dx=

14

~JN.E. (2.6)

2.1 Flux pinning 22

In presenza quindi di un gradiente della densita` dei quanti di flusso si man-

ifesta una corrente di non equilibrio che genera una forza di Lorentz F 0 di

intensita`

~F 0 = ~JN.E. ^~B

c=

~r^ ~h

^

~B

4=

d ~B

dx^

~B

4(2.7)

con ~B = Bz.

La forza per unita` di volume dovuta alla corrente di non equilibrio sara`

quindi

~F 0 =~B

4

d ~Bdx (2.8)

In definitiva la forza F dovuta alla corrente esterna (2.2) e la forza F dovu-

ta alla corrente di non equilibrio (2.8) sommandosi determinano il moto dei

vortici nel superconduttore mentre le interazioni tra le linee di flusso quan-

tizzato e le inomogeneita` spaziali pinnano i vortici trattenendoli e favorendo

il passaggio di corrente senza dissipazione. In assenza di attivazione termica

si definisce la densita` di corrente critica di depinning JC come il valore di

densita` di corrente per cui la forza di pinning eguaglia la forza di Lorentz

ovvero il valore massimo di corrente che puo` attraversare il materiale su-

perconduttore senza indurre dissipazione. La corrente di depinning dipende

non solo dalla forza di interazione tra i centri di pinning e i vortici ma anche

dallelasticita` del reticolo dei vortici: per un reticolo rigido la media delle

forza che agiscono su un vortice per eetto dei centri di pinning e` la stessa

in tutte le direzioni e quindi leetto medio di tutti i centri di pinning e` nullo

mentre in un reticolo meno rigido le linee di vortice possono deformarsi in

modo che la forza di pinning risulti massimizzata in una certa direzione.

Se invece la temperatura T e` diversa da zero e` possibile che i vortici si sposti-

no dai centri di pinning anche se la forza di Lorentz FL e` minore della forza

2.2 Modello di Anderson-Kim per il potenziale di pinning 23

di pinning FP : questo fenomeno e` detto flux creep. In questa circostanza

i vortici riescono ad uscire dai centri di ancoraggio e poi per eetto della

forza di Lorentz continuano a muoversi allinterno del superconduttore dan-

do luogo ad eetti dissipativi.

Per valutare leetto di questo fenomeno e` necessario confrontare lenergia

di pinning UP con lenergia termica kBT . Il flux creep diventa quindi parti-

colarmente rilevante, a parita` di energia di pinning, nei superconduttori ad

alta temperatura critica essendo la temperatura di lavoro piu` alta rispetto

a quella alla quale operano i superconduttori tradizionali.

2.2 Modello di Anderson-Kim per il potenziale di

pinning

Per un superconduttore allequilibrio termodinamico e` noto che

FN (T, 0) FS(T, 0) = HC2

8(2.9)

dove HC e` il campo critico e F il potenziale di Helmotz nello stato normale

(N) e superconduttore (S). Per creare il nucleo normale del vortice allinterno

di un materiale superconduttore nella situazione ragurata in figura 2.2(a)

e` quindi necessario un lavoro:

L =HC

2

8(2)L (2.10)

Come aermato nel paragrafo precedente tale lavoro diminuisce se il vortice

si forma in prossimita` di un centro di pinning, poiche` in questo caso non e`

necessario il lavoro per formare una parte del nucleo normale. In tal caso si

ha:


2!

2"

L 2! L

#V

Centrodipinningesuovolumediintersezioneconilnucleonormale

Nucleonormale

Regionedipenetrazionedelcampomagnetico

A) B)

Figura 2.2: a) Vortice di Abrikosov in un campione superconduttore di spessore

L. b) Intersezione del vortice con il centro di pinning.

HC2

8V0 (2.11)

dove V0 e` il massimo volume di intersezione tra il vortice e il centro di

pinning (figura 2.2(b)). Anderson penso` di modellizzare lazione del centro

di pinning tramite un potenziale UP (x) simmetrico rispetto allasse delle

ordinate con la seguente espressione analitica:

UP (x) = 0 0 x rUP (x) = HC

2

8 V0h1 V (x)V0

ir < x R

UP (x) = HC2

8 V0 x > R

dove V (x) e` il volume di intersezione tra il centro di pinning e il vortice in

funzione della posizione x del vortice; r e` la massima distanza del vortice dal

punto medio del centro di pinning per cui il vortice e` interamente contenuto

nel centro di pinning ed R rappresenta la distanza massima per cui si ha

intersezione parziale; in figura 2.3 e` rappresentato schematicamente il ruolo


di r e R nellintersezione tra il vortice ed il centro di pinning.

Lespressione precedente per il potenziale di pinning puo` essere anche posta

nella forma equivalente:

UP (x) = 0 0 x rUP (x) = U0rRr + U0xRr r < x R

UP (x) = U0 x > R

con

U0 =HC

2

8V0 (2.12)

In figura 2.4 sono rappresentati gli andamenti analitici di UP e di V in

funzione di x. In questa trattazione assumiamo naturalmente che il centro

di pinning si trovi in x = 0 come evidente dalla figura 2.3.

Come aermato nel paragrafo precedente, quando nel materiale super-

conduttore scorre una corrente ~J , sul vortice, oltre alla forza derivante dal

processo di pinning, agisce una forza di Lorentz fL che per unita` di lunghezza

ha lespressione:

2!

"V

x=-r

X

Y

2!"V

r


Figura 2.4: Potenziale di pinning nel modello di Anderson Kim e volume di

intersezione tra vortice e centro di pinning.

~fL = ~J ^!0c

(2.13)

Se assumiamo che fL sia diretta lungo il verso positivo dellasse x e che il

vortice abbia lunghezza l, il lavoro compiuto da questa forza per spostare il

vortice di un tratto x0 dalla sua posizione di equilibrio e`:

L =J 0 l x0

c(2.14)

In questa configurazione lenergia che occorre per portare un vortice da x = 0

a x = x0 e` quindi:

U(x) = UP J 0 l x0

c(2.15)


Solitamente si sceglie per la barriera di attivazione U(x) la rappresentazione

U(x) = U0(c+ kx) x r < x < R (2.16)

Figura 2.5: Potenziale di pinning nel modello di Anderson Kim in presenza di

corrente applicata lungo lasse x.

dove U0(C + kx) e` il potenziale di pinning del modello di Anderson-Kim

posto nella forma equivalente 2.2 e le costanti c, k e sono definite come:

C = rR r ; k =

1R r ; =

J 0 lc

(2.17)

Inponendo lequilibrio tra la forza di pinning e la forza di Lorentz in cor-

rispondenza di una corrente JC0 , si ha dalla 2.16

dU(x)dx

= 0 ) U0k = (2.18)

Sostituendo le espressioni di k e dalla 2.17 si ottiene:

JC0 0 lc

=U0

R r (2.19)


Dalla espressione precedente possiamo quindi ricavare lespressione della cor-

rente critica di depinning in assenza di attivazione termica e nel caso di un

singolo vortice; tale corrente rappresenta quella per cui la forza di Lorentz

eguaglia la forza di pinning:

JC0 =cU0

0l(R r) (2.20)

Nel caso in cui allinterno di ogni centro di pinning sia presente un numero

NV di vortici. La barriera di attivazione sara`:

U(x) = UP J NV 0 l xc (2.21)

e quindi si puo` ancora utilizzare lespressione 2.16 sostituendo ad il val-

ore 0 = NV . Reimponendo la condizione di equilibrio si ricava come in

precedenza

JC0 =cU0

NV 0l(R r) (2.22)

Ricordando che NV 0 = BS si trova che lespressione della corrente di

depinning nel caso in cui in un centro di pinning siano presenti NV vortici

e`:

JC0 =cU0

B S l (R r) (2.23)

Notiamo subito che la corrente di depinning dipende inversamente dallin-

tensita` del campo magnetico B. Tale relazione e` pero` valida solo per campi

magnetici elevati, quando la forza di pinning dipende debolmente da B e

laltezza della barrriera non dipende dal numero di vortici NV , mentre per


bassi campi magnetici landamento della corrente critica in funzione di B e`

pressappoco costante.

Consideriamo ora la dipendenza della barriera di attivazione dalla corrente

J. Definiamo laltezza della barriera di attivazione come:

UJ = max[U(x)]min[U(x)] r < x < R (2.24)

Dalla figura 2.5 si evince chiaramente che la funzione U(x) presenta il valore

massimo in R ed il minimo in r quindi:

max[U(x)] = U(R) = UP (R)J NV 0 l Rc = U0J 0 l R

c(2.25)

mix[U(x)] = U(r) = UP (r) J NV 0 l rc =J 0 l r

c(2.26)

Sostituendo nellespressione dellaltezza della barriera 2.24 si trova:

UJ = U0 J NV 0 lc (R r) (2.27)

Utilizzando lespressione 2.23 trovata in precedenza per la corrente di de-

pinning si arriva a

UJ = U01 J

JC0

(2.28)

valida sia in presenza di NV che nel caso di un singolo vortice.

2.3 Flux Creep 30

2.3 Flux Creep

Il flux creep e` un fenomeno caratteristico dei superconduttori di II specie

quando si trovano nello stato misto. Se consideriamo, ad esempio, un cilindro

cavo di materiale superconduttore, in cui e` imprigionato un campo magneti-

co, e` possibile dimostrare che il moto dei flussoni verso lesterno del cilindro

causa una decrescita del campo magnetico intrappolato. Si osserva pero`

che, anche quando i flussoni non sono liberi di muoversi a causa dei centri di

pinning, sono comunque misurabili piccole tensioni resistive nella direzione

della corrente dovute al moto trasversale dei vortici, o equivalentemente,

una lenta decrescita, di tipo logaritmico, del campo magnetico intrappolato

nel tempo. Questo fenomeno, riscontrabile sperimentalmente in bobine su-

perconduttrici, prende il nome di flux creep.

Vediamo ora quantitativamente come si sviluppa questo fenomeno. In og-

Figura 2.6: Flux bundles intrappolati nei centri di pinning e rappresentazione

dellenergia libera in presenza di centri di pinning

ni centro di pinning si dispone un certo numero di vortici Nv organizzati in

bundles (pacchi). Poiche` la distanza media tra i vortici e` generalmente mag-

2.3 Flux Creep 31

giore di , cioe` la distanza per cui i vortici interagiscono repulsivamente, i

vortici in un bundles si muovono collettivamente, per cui si puo` trattare ogni

bundle come un singolo oggetto. In assenza di attivazione termica (T = 0)

ogni bundle rimane ancorato nel centro di pinning, fino a che la corrente non

raggiunge il valore di depinning JC0 per cui la densita` di forza di Lorentz

supera la densita` di forza di pinning. A T > 0 e` pero` possibile un moto

dei vortici per J < JC0 (i.e. FL < FP )dovuto allattivazione termica. In

assenza di correnti esterne lenergia di pinning nel modello di Anderson-Kim

e` data dalla 2.2. Un flux bundle si trova sul fondo di una buca di potenziale

di profondita` U0; la probabilita` per unita` di tempo che il flux bundle esca

dalla buca di potenziale e`:

1= !0exp

U0kBT

(2.29)

in cui !0 e` la frequenza con cui il flussone tenta di uscire dalla buca. Poiche`

non ci sono direzioni privilegiate la velocita` media con cui i flussoni si

spostano risulta pero` essere uguale a zero.

Quando e` pero` presente una corrente la forza di Lorentz genera una asim-

metria nella forma della buca di potenziale (figura 2.3)

U(x) = UP J NV 0 l xc (2.30)

in cui J e` la densita` di corrente, NV il numero di vortici nel centro di pinning

e l la lunghezza del vortice. Laltezza della barriera di attivazione non e` piu`

uguale in tutte le direzioni. Utilizzando la relazione 2.28 e` possibile definire

laltezza massima U+J e minima UJ della barriera di attivazione come:

UJ = U0 W (2.31)

2.3 Flux Creep 32

Figura 2.7: Deformazione del potenziale generata dalla corrente applicata.

dove si e` posto W = U0 JJC0 .

In questa situazione quindi la probabilita` di salto in avanti e` piu` grande

rispetto alla probabilita` di salto nella direzione opposta; in questo modo

quindi la velocita` netta dei flux bundle diventa non nulla. Si ha infatti per

la probabilita` di salto:

1

= !0expUJ

kBT

!(2.32)

che producono le velocita` medie

< v >=a0

(2.33)

A < v+ > corrisponde un impulso di tensione positiva mentre a < v >

un impulso di tensione negativa. E possibile definire una velocita` media

eettiva dei flussoni come:

< v >=< v+ > < v >= a00exp

U0kBT

2 sinh

WkBT

(2.34)

Studiamo ora due casi limite: se si ha:

W kBT (2.35)

2.4 Caratteristica E-J nella regione di attivazione termica 33

In questo caso

< v > a00exp

(U0 W )kBT

(2.36)

Questa situazione corrisponde a forti sollecitazioni W e basse temperature

e viene detta Flux Creep Termicamente Attivato (TAFC).

Se invece W kBT , ovvero lenergia termica e` molto piu` grande dellasollecitazione, i flux bundle escono con facilita` dai centri di pinning. Si ha

< v > 2a00

WkBT

expU0kBT

(2.37)

In questo caso si parla di Flux Flow Termicamente Assistito (TAFF).

2.4 Caratteristica E-J nella regione di attivazione

termica

E possibile ricavare la forma della caratteristica E J nei due limiti sopraindividuati in modo da poter eettuare un confronto diretto con dei dati

sperimentali.

Nellipotesi W kBT (regime di TAFC) come ricavato in precedenza

< v > a00exp

(U0 W )kBT

(2.38)

sostituendo W = U0 JJC0 si ottiene

< v > a00exp

U0kBT

J

JC0 1

(2.39)

da cui sostituendo nellespressione del campo elettrico indotto (2.3) si ha


E = B < v > Ba00exp

U0kBT

J

JC0 1

(2.40)

Esplicitando J da questa relazione si ottiene quindi la caratteristica E-J nel

modello di Anderson-Kim

J = JC01 kBT

U0ln0E

Ba0

(2.41)

Nellipotesi W kBT (regime di TAFF) equivalentemente sostituendoW = U0 JJC0 nella 2.37 si trova

< v > 2a00

U0J

JC0kBTexp

U0kBT

(2.42)

da cui

E = B < v > 2Ba00

U0J

JC0kBTexp

U0kBT

(2.43)

ed e` una relazione di tipo ohmico, che si puo` esprimere in maniera conve-

niente come:

=E

J= 2B

a00

U0JC0kBT

expU0kBT

(2.44)

E per questo motivo che questo regime va sotto il nome di flux flow termi-

camente assistito.

Nel caso del TAFC, il modello prevede una tensione non nulla anche nel

caso di I = 0, come si evince dallequazione 2.40. Cio` e` dovuto allapprossi-

mazione W kBT , che non e` verificata per J ! 0; in questo caso lacaratteristica E-J diventa lineare, analogamente al caso del TAFF.

Bibliografia

[1] Michael Tinkham, Introduction to Superconductivity

[2] F. Mancini: Cenni di teoria della Superconduttivita`

[3] P.G. de Gennes, Superconductivity of Metal and Alloys

[4] C. Poole, Superconductivity

[5] N. W. Ashcroft, M. D. Mermin: Solid state physics.

MODELLO DI ANDERSON-KIM

E

FLUX CREEP

GERARDO IANNONE

Indice

1 Introduzione alla superconduttivita` 2

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le equazioni di London e la teoria di Pippard . . . . . . . . . 5

1.3 Teoria di Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Soluzione delle equazioni di G-L in alcuni casi particolari 10

1.3.2 Energia di parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 La soluzione di Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Modello di Anderson-Kim e Flux Creep 18

2.1 Flux pinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Modello di Anderson-Kim per il potenziale di pinning . . . . 23

2.3 Flux Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Caratteristica E-J nella regione di attivazione termica . . . . 33

Bibliografia 35

Capitolo 1

Introduzione alla

superconduttivita`

1.1 Introduzione

Nel 1911 il fisico olandese H. Kamerlingh Onnes scopr` che alcuni ma-

teriali, come il mercurio riportato in figura 1.1, portati a temperatura suf-

ficientemente bassa, presentano una transizione ad uno stato a resistenza

nulla: a questo stato della materia venne dato il nome di stato supercon-

duttore.

Molti anni dopo si scopr` che la perfetta conduttivita` non era la caratteristca

fondamentale dello stato superconduttore: i materiali in questo stato sono

infatti dei diamagneti perfetti.

Numerosi esperimenti mostrarono inoltre che il flusso di induzione magnet-

ica in un superconduttore e` quantizzato in multipli interi di 0 = hc2e , detto

flussone, o quanto di flusso. Il passaggio dallo stato normale allo stato su-

perconduttore avviene tramite una transizione di fase del secondo ordine

che si ha quando la temperatura viene portata al di sotto di un valore criti-

co Tc. Durante la transizione di fase il campo magnetico viene espulso dal

materiale (eetto Meissner); il lavoro necessario allespulsione e` compensato

1.1 Introduzione 3

Figura 1.1: Transizione resistiva del mercurio.

dal guadagno di energia libera del sistema nel passaggio allo stato super-

conduttore. Per questo motivo il campo magnetico non puo` eccedere un

certo valore critico Hc(T ), al di sopra del quale la transizione di fase non

Figura 1.2: Andamento dei campi magnetici critici per un superconduttore del

secondo tipo.

1.1 Introduzione 4

e` piu` energeticamente favorita. Tuttavia esiste una categoria di materiali

superconduttori in cui si puo` osservare una parziale penetrazione del campo

magnetico; questi vengono chiamati superconduttori del II tipo, per dis-

tinguerli dai superconduttori del I tipo, che sono diamagneti perfetti fino a

che si trovano nello stato superconduttore.

Nei superconduttori del II tipo si possono distinguere due campi critici: Hc1

e Hc2. In presenza di campi magnetici H applicati inferiori ad Hc1 il ma-

teriale rimane nello stato Meissner; per Hc1 < H < Hc2 il materiale passa

nello stato misto in cui, pur mantenendo la proprieta` di perfetta conduttiv-

ita`, lascia penetrare parzialmente il campo magnetico. Infine applicando un

campo superiore a Hc2 la superconduttivita` scompare e si ha la transizione

di fase allo stato normale. Sia il campo critico inferiore che il campo criti-

co superiore sono funzionione della temperatura; ovviamente invertendo la

funzione H(T) si puo` ricavare la dipendenza della temperatura critica dal

campo magnetico. Una rappresentazione schematica del camportamento di

un superconduttore del secondo tipo in presenza di campo magnetico appli-

cato e` riportata in figura 1.2.

Oltre al campo magentico critico si definisce una densita` di corrente critica

Jc(T ) oltre la quale il campione presenta dissipazione.

In generale il valore di Hc2 e` molto superiore al valore di Hc nei super-

conduttori del I tipo. Cio` e` dovuto al guadagno energetico che si ottiene

lasciando penetrare parzialmente il campo magnetico rispetto allespulsione

completa. Qualsiasi applicazione pratica richiede che il materiale rimanga

nello stato superconduttore in presenza di campi magnetici elevati e che

possa essere sfruttato per trasportare, senza dissipazione, correnti elevate e

quindi i superconduttori del II tipo presentano le caratteristiche migliori per

la realizzazione di dispositivi di utilizzo pratico. Tuttavia questi materiali

nello stato misto presentano dei fenomeni dissipativi non presenti nello sta-

to Meissner, che sono conseguenza delle caratteristiche particolari di questo


stato. Questi fenomeni dissipativi saranno oggetto di studio nel seguente

lavoro.

1.2 Le equazioni di London e la teoria di Pippard

La teoria microscopica dello stato superconduttore (BCS) venne svilup-

pata da Bardeen, Cooper e Scrieer nel 1957. La teoria BCS spiega le pro-

prieta` dei superconduttori del I tipo, ma e` inapplicabile a sistemi finiti (le

equazioni microscopiche per sistemi finiti, sviluppate da Gorkov non sono

in generale facilmente risolubili) e al fine di eettuare predizioni sul compor-

tamento dei superconduttori si utilizzano usualmente delle teorie fenomeno-

logiche.

Queste teorie, partendo dalla teoria del superfluido e dalla fenomenologia

delleetto Maissner, trattano il superconduttore come un oggetto in cui

coesistono due specie di elettroni (gli elettroni normali e gli elettroni super-

conduttori) e sono per questo spesso indicate come modelli a due fluidi. F.

e H. London proposero due equazioni per descrivere il comportamento del

campo elettrico microscopico ~e, e del campo magnetico microscopico, ~h:

~e =@

@t( ~JS) (1.1)

~h = c~r^ ( ~JS) (1.2)

in cui ~JS e` la corrente di elettroni superconduttori e e` un parametro

fenomenologico definito come:

=42Lc2

=m

nSe2(1.3)


con m ed e rispettivamente massa e carica dellelettrone e nS densita` di

elettroni superconduttori, la quale che varia con continuita` dal valore 0,

in corrispondenza di TC , fino al valore della densita` totale di elettroni n a

T = 0.

Lequazione 1.2 descrive la perfetta conduttivita` di un superconduttore,

poiche un campo elettrico fa aumentare linearmente nel tempo la corrente

superconduttiva ~JS = enS ~vS : il campo elettrico ~e, quindi, accelera gli elet-

troni superconduttori invece di produrre una corrente proporzionale al cam-

po stesso tramite la resistivita`, come accade nei metalli normali dove ~e = ~J .

Lequazione 1.2, che descrive il legame tra il campo magnetico statico e la

corrente, combinata con lequazione di Maxwell ~r^ ~h = 4c ~J , da`:

r2~h = h2L

(1.4)

Da questa equazione discende che il campo magnetico microscopico decresce

esponenzialmente allinterno del materiale su lunghezze dellordine di L,

detta appunto lunghezza di penetrazione di London. Tramite lequazione

1.4 e` possibile (ovviamente) derivare leetto Meissner: il campo magnetico

esternomicroscopico, infatti, in corrispondenza della superficie del supercon-

duttore decresce dal valore del campo magnetico applicato ~H a zero allin-

terno del materiale.

Secondo la teoria di London la lunghezza di penetrazione a T = 0 vale:

L(0) =

mc2

4ns(0)e2

!(1.5)

dove ns(0) e` la densita` degli elettroni superconduttivi a T=0; nellipotesi di

London ns(0) coincide con la densita` totale degli elettroni di conduzione del

materiale. Il confronto con le lunghezze di penetrazione misurate sperimen-

talmente mostrano che queste sono sempre piu` grandi di L(0) anche dopo


aver estrapolato il valore a T = 0.

Nei metalli si osserva il fenomeno delleetto pelle anomalo quando la pro-

fondita` di penetrazione delle onde elettromagnetiche diventa confrontabile

con il cammino libero medio degli elettroni. In questo caso piccole variazioni

del cammino libero medio comportano grosse variazioni della profodita` del-

la pelle del conduttore. Nei metalli normali questo e` descritto tramite una

relazione non locale tra il campo elettrico e la corrente. Tramite esperi-

menti su campioni impuri, Pippard osservo` che la lunghezza di penetrazione

(0) aumenta allaumentare della concentrazione di impurezze, e quindi al

diminuire del cammino libero medio degli elettroni. Per questo motivo sos-

titu` alla relazione locale tra potenziale vettore e corrente di London 1.2 con

una relazione non locale:

JS(~r) =e2nSmc

340

Z ~R(~R ~a(r0))R4

exp(R)d~r0 (1.6)

in cui ~R = ~r ~r0 e e` una lunghezza caratteristica dipendente dal camminolibero medio e dalla temperatura. Essa aumenta al diminuire del cammino

libero medio a partire da un valore minimo 0 proprio del materiale puro.

Limportanza di questi eetti dipende dallentita` di rispetto alla lunghezza

L. In particolare se (come nei superconduttori di II tipo), cioe` seil campo magnetico varia abbastanza lentamente ( i.e. ~a(~r0) nella 1.6), gli

eetti della non localita` sono trascurabili.

1.3 Teoria di Ginzburg-Landau

La teoria fenomenologica che meglio descrive le proprieta` dello stato

superconduttore fu sviluppata nel 1950 dai fisici Ginzburg e Landau ed ha

come supporto la teoria di Landau sulle transizioni di fase del secondo or-

dine. La teoria Ginzburg Landau (GL) introduce una funzione complessa