Creep nei metalli

Comportamento a caldo di strutture mono e bi-dimensionali

Curve di creep ε-t a diverse temperature

Curve di creep a temperatura costanteε

t

∗

I II III

t

•ε

)()()( TmTn tT σε =

)()( TnTB σε =•

rt

t−ε

Dati a rottura

• Sforzo-tempo di rottura

Relazioni empiriche nella curva ε-t

ε

t

∗

)()( TnTB σε =•

∗

000

nKE

σσε +=

ε

σ Dalla prova di trazionea temperatura T

σ )/TEσ

)(0

0)( TnTK σ

Determinazione delle costanti del creepsecondario

ε

t0ε

•ε

σ

rt

t0 0

0

t-log curve le en ,,,K quindi ricavano

:coppie le odeterminan si ciascuna Da

T ra temperatustessa una adt - curve molte

σσ

σε

σε

ε

Bnsi

t

Necessarie

r −−

−•

Esempio di determinazione di B, n

•εσ σ10log

•ε10log

σ10log

•ε10log

×

×

×

B10log

n

Variazioni dell’esponente della legge di potenza (qui indicato con m) per un metallo policristallino

• Mappa in temperatura delle deformazioni a creep

Varie leggi del creep secondario

• Norton

• Prandtl

• Dorn

• Garofalo

• Friction stress nth

n

n

B

A

D

C

B

)(

)][sinh(

)exp(

)sinh(

σσε

γσε

βσε

ασε

σε

−=

=

=

=

=

•

•

•

•

•

Azione normaledeformazione del concio elementare

N

dx

dxtdxdu )( 0•

+== εεε

tdxBtdxdu nσε =≅•

Flessione retta

dx

•

ϕd

dxε

ϕε yddx −=••

−= ϕε yddx

y

xM

y

Flessione rettarelazioni di base

BdxI

Md

dAyI

dAydx

d

BydAy

dx

d

BydAM

dAydAydx

d

BdAy

dx

d

BdAN

B

n

n

A

nn

A

nn

A

n

A

A

n

A

nn

A

n

A

n

)(

)1

()1

(

0)1

()1

(0

11

1111

1111

=

=

=−−=−=

=⇒=−===

=

•

+

+••

••

•

∫

∫∫∫

∫∫∫∫

ϕ

ϕϕσ

ϕϕσ

σε

Esempio di determinazione dell’asse neutro per sezioni composte da parti rettangolari

01

=∫ dAyA

n

h

a

a

h

tn

11

)()()(

00

11

0

1

+=

−=++−

−+= ∫∫∫−+

n

tahhtatah

hdyyadyyhdyyta

n

ht

t

n

t

n

α

ααα

mmt

n

mmh

mma

68,2

5

5

30

====

25,6

1

5

30

====

t

n

mmh

mma

0

5

30

=∞=

==

t

n

mmh

mma

n nnel nel

mmha

tel 25,64=−=

Esempio di determinazione dell’asse neutro per sezioni composte da parti rettangolari

mmz

nmmbammcmmbmma

zbabczczaaz

n

dAydAydAydAyA A A

nnn

A

n

68,53

risulta

5;20;10;100;50

0)(])()[(

ottiene si1

1con

0 da

11

11

2

1

1

1

0

11

0 1 2

=

=======−−−−−−−

+=

=−−= ∫ ∫ ∫∫

αααα

α

a

b

a1b1

c

A0

A1

A2

z

mmbaab

cb

bab

azG 6,52

)2

(2

11

111

2

=−

+−=

Calcolo di In per varie sezionisezione rettangolare

n n

a

b

dA=ady

y

4I

12I 1

)2

(2

12

2

2

n

3

n

21

2\

0

11

11

abn

abn

b

n

a

adyydAyI

n

b

n

A

nn

=∞=

==

+=

===

+

++

∫∫

Calcolo di In per varie sezioniparte rettangolare i-esima

n n

dA=ady

y

1iy

2iy

ia

y

)(2

12

1

12

1

2

112

1

+++ −+

== ∫ niniy

y

inini yy

n

adyyaI

i

i

Calcolo di In per varie sezionisezione circolare

R

n n

y

θ

θcosRx =

y

)(4

)(sincos4

cos

cos

sin

31

112

0

23

1

nKR

dRI

xdydA

Rx

dRdy

Ry

n

nnn

+

++

=

==

===

=

∫ θθθ

θθθ

θ

π

0,87400,24972

K’(n)K(n)n

0,99990,3333∞

0,78540,19631

0,91070,27323

0,95230,30076

0,94360,29485

0,93080,28644

piena

R

θ

h

y

•

)('4)sin(4

)sin(4

sin

21

112

0

21

112

0

nhKRdRhR

hRdRI

Ry

hRddA

nnn

nn

+++

+

==

=

==

∫

∫

θθ

θθ

θθ

π

π

cava

Trave a mensola con sezione a T

P

L

h

a

a

h

tn

n nnel nel

65,53

81,6

/1081,62

)()(' )4

60 120MPa40333333

PLy 10 tN.B.

37,61 01,76089.46 )3

26075)(

I 2)

mm 3,9107 t)()()( )1

1786,22n

1 1786,11

1

206 245 324 106,992B 5,6n 118MPa(500) 177GPaE(500) :Materiale

10t 1000mmL 10mmh 50mma 1kNP 500

3

52

0

min nomp0,2nomel

1

minmin6,5

11

maxmax

12n

r,54,r,319-

p0,2

5

mmEI

PLv

mmtvv

orammn

LB

I

PdxB

I

PxxdMv

MPaI

PLmm

MPayI

MMPa

I

PLy

I

M

yya

tahhtatah

n

MPaMPaMPa

oreC

Pel

P

nn

n

Ln

nL

n

nn

n

n

iii

r

P

P

==

==

⋅=+

===

−=≥====

−=−====

=−=

=⇒−=++−

=+==+=

===⋅=========°=

•

−+

••∫∫

∑

ϕ

σσσ

σσ

β

βα

σσσσθ

ββ

ααα

Stato piano di sforzo (2-D)caso elastico

eqeq E

E

k

k

σε

νσνσνσσνσσ

εεε

ν

εεεεεεεεεε

σσσσσ

1 ottiene si

1 le dointroducen

1

1 posto

:assunzioni lecon ionalemonodimens

quello come eformalment trattarepuò si nalebidimensio elastico caso Il

21

12

21

3

2

1

13322123

22

21eq

2122

21eq

=

−−−−

=

+=

−−−++=

−+=

Caso di creep

neqeq

eqeq

B

k

k

k

k

σε

σ

σε

σσ

σσ

σσ

εεε

εεεεεεεεεε

σσσσσ

=

=

−−

−

−

=

=+

=

−−−++=

−+=

•

•

•

•

•

••••••••••

avere da modoin B come tointerpreta essere può k'

'

ottiene si

2

1

2

12

12

1

' ponendo inoltre e

3

2

21

1

1con

e

posto

1-neq

21

12

21

3

2

1

133221

2

3

2

2

2

1eq

2122

21eq

Cilindro chiuso in pressione

−=

−−

−

−

=

=−+=

====

•

•

•

1

1

1-neq

21

12

21

3

2

1

12122

21

31

21

4

30

4

3

B

2

1

2

12

12

1

'

2

3

0 24

2

σ

σσ

σσ

σσ

σσ

εεε

σσσσσσ

σσσσ

k

h

pd

h

pd

eq

4

2dpπ4

2dpπ

p

d

h

1

2

3

Rottura per creep in un generatore di vapore

Torsione

σ

τ

τσ −=1 τσ =2

03 =σ

τ

τσ 3=eq

ε

γ2

1

γε2

11 −= γε

2

12 =

03 =ε1

1

133221

2

3

2

2

2

1eq

)3(

)3( ) 3(

33

2

+•

+•

•••••••••••

==

=⇒=

==−−−++=

nn

nn

nnn

BBB

BB

τγ

τγτ

γεεεεεεεεεε

Torsione circolare

r

dz

αd

r

γn

nBrrdz

d τθαγ ===•

••

nntnt

tn

n

nn

n

Rn

n

R

t

BR

Mr

R

M

R

M

Bn

n

R

Bdrr

B

rdrrM

)2

( 2

2)( 3

1

31

2)(2)(2

1

1

31

1

0

21

0

2

δπ

θπ

δτ

δπ

θδ

πθπθπτ

δδ

δ

==

=+=

+===

•

•

+••

∫∫

Struttura caricata fuori dal pianosezione chiusa sottile

C

L1

L2

bh

a

MPaMPaMPa

oreC

r 206 245 324

10625,2B 106,992B 5,6n 118MPa(500) 177GPaE(500) :Materiale

106 t700mmL 1000mmL 10mmh 40mm b 70mma Nmm103,4C 500

r,54,r,3

17n

19-p0,2

421

6

===

⋅=⋅====

⋅======⋅=°=−

σσσσ

θ

AB

D x

x

α

0

BA) 0 )

==

==

tt

ff

MCM

CMMDB

Verifica di resistenza

bh

a

04,23*71,60

6,214

18,23,98

6,214 quindi e 6,214

ottiene si quadrati minimi ai dointerpolan rottura a dati iCon

71,602

7,121)22

( 3,98)22

(

2) ( resistenza di Verifica 1)

698333

61461

20102)2

(2

81563)2

(2

1786,22n

1 2800

30 60 50 80

rDr,60000

2,0,

1

r

4

21

222

111

2

2211

==

===

==

≥=+==+=

≥=

=−=

=====+===

====

rA

mA

pDnomn

nD

nnn

nnm

MPa

MPahA

C

MPahb

I

CMPa

hb

I

C

mmI

III

baI

baImmabA

mmbmmammbmma

η

ησ

τ

σσσ

η

βββ ββ

Verifica alla deformazione

Nmm

radt

oraradLI

CB

hA

LbaCB

dxI

CBdx

hA

baCB

dxI

MBddlB

Adl

A

dMdxM

MM

MMDB

n

n

nnn

m

nn

nL

n

L

nnm

nn

n

n

fm

n

l

nm

m

lm

BA

f

DB

t

tt

ff

mm

61

amm

66611

2

001

''

1068,2)37,9

10C(C' valoreal C ridurre bisogna valoreal ricondurrePer

eccessiva echiarament 9,37 661,0

/1002,1110025,410996,6)()2(

)(

)()2(

)(

)( 2

1

2

1

PLV)

0' 1'

1' BA) 0' )

:interne azioni le genera che

C come unitaria coppia una applica si D, sezione della rotazione la calcolarePer

)10( nedeformazio alla Verifica 2)

12

⋅==

°===

⋅=⋅+⋅=++=

=++=

===

+=

==

==

°≤

•

−−−+

+

•

•••

•••

∫∫

∫∫

∫∫

αα

αα

α

ϕτγθ

ϕθα

α

Rilassamento alla temperatura T

EBtn

t

CEBtn

EBdtd

BE

tLL

n

n

n

n

)1(

C 0

)1(

0

0

cos

1n-0

1

1n-00

1

−+=

=⇒===+−+

=+

=+=

==

++−

+

+−

••

σσσσσ

σσ

σ

σσε

εδLL δ+

L

ε

t

t

σ

)(0 Tσ ε

σε

)(0 Tσ

ε

)20(0 °σ20°

T

)20(0 °σ •

Interpolazione di dati eterogeneimetodo di Larson-Miller

5075100125155185220)(

90120150180210240273)(

25456590115140165)(

6080105130160195230)(

813793773753733713693(K) Temp.

--T eterogenei dati Tabella

5

4

5

4

10/1

10/1

10/2,0

10/2,0

MPa

MPa

MPa

MPa

σσ

σσ

εσ•

S di minimo il trovarea fino C Variare )5

)P(P S somma la Calcolare )4

)(P Calcolare )4

f curva della fitting di parametri i Ricavare )3

)log(P valorii Calcolare 2)

C di un valore Introdurre 1)

velocitàdalla e T ra temperatudalla toaccompagna è di valoreOgni

2LMi

LMi

322

1

10

LMi

i

iiLMi

f

aaa

CT

−=

=

++=

−=

∑

•

•

σσσ

ε

εσ

Curva di Larson-Miller

432

21

322

1

10

10725,1 852,20 10286,2

5,13

)log(

⋅=−=⋅=

++==

−=

−

•

aaa

aaaf

C

CTPLM

σσ

ε

0 50 100 150 200 250 3001.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8x 104

LMP−σ

Curva di Larson-Miller

0 50 100 150 200 250 3001.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4x 104

20=−

C

PLMσ

Dati eterogeneit--T σ

5082120155200250315)(

95135175225280340395)(

813793773753733713693).(

5,

4,

MPa

MPa

KTemp

r

r

σσ

S di minimo il trovarea fino C' Variare )5

)P(P S somma la Calcolare )4

)(P Calcolare )4

f curva della fitting di parametri i Ricavare )3

)log'(P valorii Calcolare 2)

C' di un valore Introdurre 1)

2LMi

LMi

322

1

10

LMi

i

iLMi

f

aaa

tCT

−=

=

++=

+=

∑

σσσ

Curva LM

0 50 100 150 200 250 300 350 4001.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3x 104

sigma

PLM

Curva di Larson-Miller per tempi di rotura C' = 22

Materiali per il creep

Esercizio

• Calcolo C

-8

-7,5

-7

-6,5

-6

-5,5

-5

1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 2,05 2,1

Series1-6,3

-7,6

773

793

Curva PLM-σ

2110021200213002140021500216002170021800219002200022100

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Series1

pLM

σ