Modelli probabilistici

Ripasso:• P(A)=P(A B)+P(A ¬B)

• P(A)= i P(A Bi) , dove Bi,i è un set di eventi esaustivo e mutuamente esclusivo

• P(A) + P(¬A) = 1

• P(A|B) probabilità di A dato B (condizionata)

• Se P(A|B)=P(A), A e B sono indipendenti

• se P(A|B C)= P(A|C), A e B sono condizionalmente independenti, dato C

• P(A | B)=P(B|A)P(A)/P(B) teorema di Bayes

• P(A)= i P(A | Bi)P(Bi)

Modelli probabilistici

• Obiettivo: rappresentare in termini probabilistici il problema del recupero di informazioni

• Data una query, esiste un set di documenti che costituisce la risposta ideale

• Una query specifica le proprietà di questo insieme ideale

• Ma quali sono queste proprietà?

• Inizialmente, si fa un tentativo di “indovinare” quste proprietà, cioè fornire una definizione tentativa della risposta ideale

• Successivamente, un processo iterativo consente di migliorare i risultati del tentativo iniziale

Modello probabilistico “elementare”• In qualche modo, viene recuperato un insieme iniziale di documenti

• L’utente osserva questi documenti - in genere i primi 10-20, e seleziona i più rilevanti

• Il sistema di IR usa questa informazione per raffinare il set di risposte

• Attraverso una iterazione del processo, ci si aspetta che il set di risposte approssimi sempre di più il set ideale

• La descrizione del set di risposte ideale viene modellata in termini probabilistici

Ranking probabilistico• Data una query q e un documento dj, il modello probabilistico

cerca di stimare la probabilità che l’utente trovi il documento interessante, cioè rilevante. Il modello assume che la rilevanza dipenda solo dalla rappresentazione della richiesta dell’utente e del documento. Il set ideale di risposte si indica con R e dovrebbe massimizzare la probabilità di rilevanza.

• Ma,

– Come calcolare le probabilità?

– Quale è lo spazio di campionamento?

Ranking probabilistico (2)

• Il ranking probabilistico è calcolato come segue :

– sim(q,dj) = P(dj relevant-to q) / P(dj non-relevant-to q)

• Definizioni:– dj rappresentazione vettoriale di un documento (il

grassetto indica un vettore)– wij {0,1} (i pesi dei termini indice sono binari)– P(R | dj) : probabilità che un documento sia rilevante, cioè R – P(R | dj ): probabilità che un documento NON sia rilevante

≡r d j

Ranking probabilistico (3)

• sim(dj,q) = P(R | dj) / P(R | dj ) =

[P(dj | R) * P(R)] (usando la legge Bayes)

[P(dj | R) * P(R)]

P(R) è la prob. di che un documento scelto a caso sia rilevante

P(dj | R) è la probabilità di scegliere un documento dal set R

Poiché P(R) e P(R) non dipendono da dj (sono le stesse per tutti i dj)

sim(dj ,R)≈P(dj / R)

P(dj /¬R)

Ranking probabilistico (5)• sim(dj,q) ~ P(dj | R) dj=(w1jk1,w2jk2,…wtjkt)

P(dj | R) e, assumendo le keywords indipendenti:

[ ∏ wij=1 P(ki | R)] * [∏ wij=0 P(ki | R)]

[∏ wij=1 P(ki | R)] * [∏ wij=0 P(ki | R)]

• P(ki | R) : probabilità che il termine indice ki sia presente in un documento scelto casualmente dal set R dei documenti rilevantiRicordate wij sono 0 o 1 !!!

Prob. Che le ki aventi w=1 appartengano a R, e quelle con w=0 non vi appartengano

Esempio

keywords: k1,k2,k3

d=(1,1,0) w1=w2=1 w3=0

P(d/R)=P(k1/R)P(k2/R)P(k3/R)

P(d/ R)= P(k1/ R)P(k2/ R)P(k3/ R)

P(d/R)=wi=1 P(ki/R)* wi=0 P( ki/ R)

P(d/ R)=wi=1 P(ki/ R)* wi=0 P( ki/ R)

Ranking iniziale• Come stimare le probabilità P(ki | R) e P(ki | R) ?

• Si assume:

– P(ki | R) = 0.5 (equiprobabilità rilevanza per tutti i termini)

– P(ki | R) = ni/N (la distribuzione dei termini indice

fra i documenti non rilevanti si può approssimare con la distribuzione dei termini indice fra i documenti

della collezione) dove ni è il numero di documenti che contiene ki

– Si usa questa stima iniziale per calcolare il ranking iniziale

– Si cerca di migliorare sulla stima iniziale

Migliorare il ranking iniziale• Sia

– V : i documenti inizialmente recuperati con la stima approssimata, applicando una soglia r

– Vi : il sottoinsieme che contiene ki

• Rivalutare le stime come segue:

– P(ki | R) = Vi/V (approssimato con la distribuzione dei termini

indice fra i documenti recuperati)

P(ki | R) = (ni - Vi )/ (N - V ) (si assume in via approssimata che tutti i documenti non recuperati siano non

rilevanti)

• Ripetere ricorsivamente

Aggiustamenti della stima

• Per piccoli valori di V e Vi (ex. Rispettivamente 0 e 1) si usano degli aggiustamenti:

• O meglio:

P(ki R)=Vi +

niN

V +1,P(ki /R)=

ni −Vi +niN

N −V +1

P(ki R)=Vi +0,5V +1

P(ki R)=ni −Vi +0,5

N −V +1

Vantaggi e svantaggi

• Vantaggi:– Si ottiene un ranking in ordine decrescente di

probabilità di rilevanza

• Svantaggi:– È necessaria una stima iniziale di P(ki | R)– Non tiene conto di tf e idf, fattori che invece sono

significativi (i pesi sono 0 o 1)

Modelli BayesianiBayes’ Rule : è il “cuore” delle tecniche Bayesiane

P(h|e) = P(e|h)P(h)/ P(e)

Dove, h : una ipotesi ed e è un’evidenza

P(h) : probabilità a priori

P(h|e) : probabilità a posteriori data l’evidenza e

P(e|h) : probabilità di osservare e se h è vera

P(e) : è una costante di normalizzazione (indipendente da h), quindi:

P(h|e) ~ P(e|h)P(h)

Reti Bayesiane

Definizione:le Reti Bayesiane sono grafici aciclici diretti (DAGs) in cui i nodi rappresentano delle variabili aleatorie gli archi rappresentano relazioni causali fra le variabili, e la “forza” di queste relazioni causali è espressa mediante probabilità condizionate

Reti Bayesiane

yi : nodi antenati (nell’esempio, nodi radice)

x : nodi figli

: yi “causa” x

Y insieme degli antenati di x

L’influenza di Y su x è quantificata da una funzione:

F(x,Y) tale che x F(x,Y) = 1

0 < F(x,Y) < 1

Per esempio: F(x,Y)=P(x|Y)

yty2y1

x

Reti BayesianeDate le dipendenze causali

dichiarate in una RB,

l’espressione per la probabilità

congiunta può essere calcolata

come il prodotto di

probabilità condizionate locali

Es: P(x1, x2, x3, x4, x5)=

P(x1 ) P(x2| x1 ) P(x3| x1 ) P(x4| x2, x3 ) P(x5| x3 ).

P(x1 ) : la probability mass del primo nodo, o prob. a priori

x 2

x 1

x 3

x 4 x 5

Reti Bayesiane

In una RB ogni variabile

è condizionalmente

indipendente rispetto ai suoi

non-discendenti, dati i suoi

antecedenti

Esempio:

P(x4, x5| x2 , x3)= P(x4| x2 , x3) P( x5| x3)

x 2

x 1

x 3

x 4 x 5

Belief Network Model: un modello di ranking basato su RB

Definizioni:K={k1, k2, ...,kt} spazio di campionamento (o spazio dei

concetti)

u K un subset di K (un concetto)

ki un termine indice (concetto elementare)

k=(k1, k2, ...,kn) nt un vettore associato ad ogni concetto u tale che gi(k)=1 ki u (pesi unitari)

ki una variabile aleatoria binaria (cioè ki0,1 ) associata al termine indice ki , t.c. ki = 1 gi(k)=1 ki u

Belief Network ModelDefinizioni (2):

• un documento dj e una query q sono rappresentati come concetti in K, composti dai termini indice contenuti in dj e q.

• Sia dunque c un concetto generico in K (documento o query)

• P(c)=uP(c|u) P(u) è una distribuzione di probabilità P su K

• P(c) è il definito come il grado di copertura dello spazio K mediante c

• Questa copertura è stimata confrontando ogni concetto in K (“ u”) con c, e sommando i contributi, pesati con le probabilità dei singoli concetti u.

• Si assume inizialmente equiprobabilità delle sottostringhe u in K (se ho t termini, ciascuno dei quali può essere presente o assente in u, ci sono 2t possibili modi di formare concetti u), cioè: P(u)=(1/2)t

Belief Network Model

Topologia della rete

lato query

lato documento

r k =u

cq

cd1cdn


Il ranking di un documento dj rispetto ad una query q è interpretato come una relazione di corrispondenza fra concetti, e riflette il grado di copertura che il concetto dgrado di copertura che il concetto djj fornisce al fornisce al

concetto q.concetto q.

Documenti e query sono trattati nello stesso modo, cioè sono entrambi concetti nello spazio K.

Assunzione:

P(dj|q) viene considerato come il rank del documento dj rispetto alla query q.


Ranking di dj

P(dj|q) = P(dj q) / P(q)

~ P(dj q)

~ u P(dj q | u) P(u)

~ u P(dj | u) P(q | u) P(u)

~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)

Questo fattore compare in tutti iP(dj/q) dunque può essere trascurato

Assumendo q edj condizionalmenteindipendenti rispettoa u, come si evincedal modello

Ogni vettore k definisce un concetto u


Dunque: P(dj|q) ~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)

Occorre specificare le probabilità condizionate P(dj | k) e

P(q | k) . Differenti strategie per modellare P(dj | k) e

P(q | k) portano a diversi modelli di ranking.

Sussumendo un modello vettoriale per i pesi:

– Definisci il vettore ki come segue:

ki = k | ((gi(k)=1) (ji gj(k)=0))

Il vettore ki si riferisce ad uno stato del vettore k in cui solo il nodo ki è attivo (g(ki)=1) e tutti gli altri non lo sono. Questo riflette la strategia di ranking tf-idf, che somma individualmente il contributo di ogni keyword. Quindi, si considera il contributo di ogni termine ki singolarmente.

Vantaggi del Belief Network model

• Per calcolare il rank di un documento, considera solo gli stati della rete in cui i nodi attivi sono quelli che compaiono nella query, quindi il costo è lineare nel numero dei documenti della collezione

• E’ una variante moderna dei metodi di ragionamento

probabilistico, che consente una combinazione di distinte sorgenti di evidenza. I modelli più avanzati consentono di incorporare nel modello evidenze derivate da sessioni precedenti, e feedback dell’utente.

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