Modelli Matematici per i Mercati Finanziari I

Introduzione a GAMS(Vittorio Moriggia)

U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni”

General Algebraic Modeling System (GAMS)

Software realizzato per problemi di ottimizzazione lineare (LP), non-lineare (NLP) e mista intera (MIP)Progettato per risolvere problemi grandi e complessiDisponibile per personal computers, workstations, mainframes e supercomputers

GAMS language

GAMS consente all’utente di concentrarsi sulla formulazione del problema attraverso un impiego semplice del risolutore richiestoIl linguaggio di GAMS è simile alle comuni formalizzazioni dei problemi di ottimizzazioneFamiliare a tutti coloro che hanno esperienze di programmazione

Tipi di modelli

GAMS è in grado di formulare modelli in diversi tipi di classi di problemiIl passaggio da una classe all’altra è relativamente semplice in quanto si possono impiegare gli stessi dati, le stesse variabili e le stesse equazioni in differenti tipi di modelli nello stesso istante

Tipi di modelliGAMS supporta i seguenti tipi di modelli di base:

LP Linear ProgrammingNLP Non-Linear ProgrammingDNLP Non-Linear Programming with

Discontinuous DerivativesMIP Mixed-Integer ProgrammingMINLP Mixed-Integer Non-Linear ProgrammingMCP Mixed Complementarity ProblemsCNS Constrained Nonlinear SystemsMPEC Mathematical Programs with Equilibrium

Constraints

Linear Programming (LP)

dove:x è un vettore di variabili nell’insieme dei

numeri realicx è la funzione obiettivo (lineare)Ax > b è l’insieme dei vincoli lineariL e U sono i vettori dei limiti inferiori e superiori

delle variabili (lower e upper bounds)

UxL

bAx

xc

min

UxL

bAx

xc

min

s.t. s.t.

UxL

bAx

xc

max

UxL

bAx

xc

max

Programmazione lineare in GAMS

GAMS accetta sia variabili libere (senza vincoli), sia variabili positive, sia variabili negative. L’utente può, inoltre, specificare degli specifici intervalli di esistenza (lower e upper bounds)In GAMS le equazioni sono specificate come equazioni vere e proprie o disequazioni “minore-uguale” o “maggiore-uguale”

Non-Linear Programming (NLP)

dove:x variabili realif(x) funzione obiettivog(x) insieme di vincoliL e Ubounds delle variabili

UxL

xg

xf

0)(

)(min

UxL

xg

xf

0)(

)(min

s.t.

Non-Linear Programming with Discontinuous Derivatives

dove:x variabili realif(x) funzione obiettivog(x) insieme di vincoliL e U bounds delle variabili

Come NLP, ma f(x) e g(x) possono avere derivate discontinue (contenenti ad es. abs, min, max)

UxL

xg

xf

0)(

)(min

UxL

xg

xf

0)(

)(min

s.t.

Mixed-Integer Programming (MIP)

dove:x variabili realiy variabili interecx+dy funzione obiettivoAx+By > b insieme di vincoliL e U bounds delle variabili reali{0, 1, 2, …} insieme dei numeri interi

...,2,1,0

min

y

UxL

bByAx

ydxc

...,2,1,0

min

y

UxL

bByAx

ydxc

s.t.

Mixed-Integer Non-Linear Programming (MINLP)

dove:x variabili realiy variabili interef(x)+Dy funzione obiettivog(x)+Hy insieme di vincoliL e U bounds delle variabili reali{0, 1, 2, …} insieme dei numeri interi

...,2,1,0

0)(

)(min

y

UxL

Hyxg

Dyxf

...,2,1,0

0)(

)(min

y

UxL

Hyxg

Dyxf

s.t.

Esempio di problema LP

Modello lineare per la soluzione del problema dei trasporti, storicamente utilizzato nell’evoluzione delle tecniche di ottimizzazione [cfr. Dantzig (1963)]

Problema del trasporto

Il classico problema dei trasporti prevede un certo numero di impianti e un certo numero di mercati di un certo bene di cui sono noti:

il costo unitario per il trasporto da uno specifico impianto a uno specifico mercatola capacità produttiva di ciascun impiantola domanda di quel bene in ciascun mercato

ci si chiede quanto bene deve essere fornito da ciascun impianto per ciascun mercato in modo da minimizzare il costo totale per la fornitura

Formalizzazione del problemaIndici:

i = impianti (unità produttive)j = mercati

Dati del problema:ai = capacità produttiva dell’impianto i (in scatole)

bj = domanda del bene nel mercato j (scatole)

cij = costo unitario per il trasporto del bene dall’impianto i al mercato j ($/scatola)

Variabili decisionali:xij = quantità di bene trasportata da i a j (scatole),

dove xij 0, per ogni i, j

Formalizzazione del problema

dove:1) vincolo del limite delle capacità

produttive2) vincolo di soddisfazione della domanda0) funzione obiettivo

i jijij

i jij

j iij

xc

jbx

iax

min)0

,)2

,)1

Struttura del linguaggio

SETSdati: PARAMETERS, TABLES, SCALARSVARIABLESEQUATIONS

dichiarazionedefinizione

MODELSOLVE[DISPLAY]

Riferimenti

http://www.gams.com