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Modelli Matematici Ambientali 1 di 17

Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore) Lezione , 25/03 A.A. 2014/2015

● Decima lezione – piano di lavoro

✔ [Ri]vedremo alcuni andamenti "tipici" o "paradigmatici" (modelli di comportamento) noti per un livello ovvero per la soluzione di una equazione differenziale, con i relativi modelli:

(1) lineare, crescente o decrescente;

(2) esponenziale, crescente o decrescente;

(3) crescente "a saturazione";

(4) logistico.✔ Introdurremo due andamenti di tipo "nuovo"

(1) overshot (o sovracrescita) con conseguente collasso;

(2) oscillatorio puro o con smorzamento o esaltazione.➔ I due andamenti di tipo "nuovo" richiedono l'introduzione di un secondo livello o in

modo esplicito o in modo implicito (mediante un ritardo).


➔ Andamento lineare

➢ Un livello L ha un andamento lineare se lo si può descrivere con la seguente relazione:

(1) L(t)=k*t+h=k*t+L(0)

a cui corrisponde la seguente equazione differenziale (priva di feedback)

(2) dL/dt=k

➢ In genereale si ha:

(3) dL/dt=Fin-F

out= k

➢ per cui si hanno i casi seguenti:

(1) Fin-F

out= k > 0 crescita lineare

(2) Fin-F

out= k < 0 decrescita lineare

(3) Fin-F

out= k = 0 stato stazionario


➔ Andamento lineare

➢ Se k < 0 dalla (1) L(t)=k*t+L(0) si ottiene che esiste un valore di t (sia t*) tale che

L(t*)=0

e t > t* L(t)<0. Tale andamento del livello non è realistico se non in casi molto particolari.

➢ Se k > 0 e se il livello (come accade in tutti i sistemi fisici) ha una capacità massima Lmax dalla (1) L(t)=k*t+L(0) si ottiene che esiste un valore di t (sia t*) tale che L(t*)=Lmax e t > t* L(t)>Lmax per cui il livello "trabocca". Se ciò non deve o non può accadere è necessario modificare il modello introducendo gli opportuni vincoli (in genere di tipo implicito).

➢ Nelle tre pagine che seguono si presentano:

➢ due possibili andamenti del livello L;

➢ un modello Vensim per la crescita lineare;

➢ un modello Vensim per la descrescita lineare con un vincolo di tipo implicito per impedire che il livello assuma valori negativi.


Equazioni del modello Vensim di pagina precedente:

(01) controllo=IF THEN ELSE(L>0, 1 , 0 )

Units: Dmnl

(02) FINAL TIME = 100

Units: Month [10,200,1]

(03) flusso=controllo*fout

Units: unit/Month

(04) fout=1

Units: unit/Month [1,10,0.5]

(05) INITIAL TIME = 0

Units: Month

(06) L= INTEG (-flusso,L0)

Units: unit

(07) L0=100

Units: unit [50,1000,1]

(08) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

(09) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

✔ La variabile controllo assume il valore 0 se il livello è vuoto in modo da mettere a 0 il flusso effettivamente in uscita dal livello e da impedire che il livello assuma valori negativi.

✔ Una soluzione simile può essere adottata per impedire che il livello trabocchi (fare come esercizio).


➔ Andamento esponenziale

➔ Esponenziale crescente: la velocità di crescita di un livello è proporzionale al valore corrente del livello in modo che sia:

(1) dL/dt=k*L con k>0 costante di proporzionalità e [k]=1/t

➔ Esponenziale decrescente: la velocità di decrescita di un livello è proporzionale al valore corrente del livello in modo che sia:

(2) dL/dt=k*L con k<0 costante di proporzionalità e [k]=1/t

➔ Si parla di crescita se dL/dt>0.

➔ Si parla di decrescita se dL/dt<0.

➔ La soluzione della (1) e della (2) (in cui è presente un anello di feedback o positivo o negativo) è la seguente:

(3) L(t)=L(0)ekt

in modo che tanto maggiore è |k| tanto più ripide sono la crescita o la decrescita.

Modelli Matematici Ambientali 9 di 17➔ Andamento esponenziale

➔ Dalla (3) L(t)=L(0)ekt si ottiene:

L(t+1)=L(0)ek(t+1)=L(0)ektek

ovvero:

L(t+1)=L(t)ek

in modo che sia:

L(t+1)/L(t)=ek

➔ ek è il rapporto di incremento (se k>0) o di decremento (se k<0).

➔ Se k=0 dalla (1) si ha dL/dt=0 da cui L(t)=L(0) per cui si parla di equilibrio indifferente.

➔ Si abbia L(t)=L(0)e-t/T e si voglia t* tale che L(t*)=L(0)/2. Si vede facilmente che deve essere

e-t*/T =1/2

ovvero -t*/T =ln(1/2) per cui se è noto T (tempo medio di permanenza nel livello) si ricava t* (tempo di dimezzamento o di emivita) mentre se è noto t* si ricava T.


Meticciati: combinazione di lineare crescente ed esponenziale decrescente (ovvero crescente a saturazione)


➔ Equazioni Vensim del modello di pagina precedente:

(01) a=0.1

Units: 1/Month [0,1,0.01]

(02) fin=0

Units: unit/Month [0,100,1]

(03) FINAL TIME = 100

Units: Month [10,200,1]

The final time for the simulation.

(04) flusso=a*L

Units: unit/Month

(05) flussoin=fin

Units: unit/Month

(06)INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation

(07)L= INTEG (flussoin-flusso,L0)

Units: unit

(08)L0=1

Units: unit [1,100,1]

(09)SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(10) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.


Meticciati: combinazione di lineare decrescente ed esponenziale crescente


➔ Andamento di tipo logistico – poche aggiunte

➔ Una variabile P(t) può mostrare una andamento a "S" o di tipo logistico se esistono due valori m e m'<m tali che:

(1) P<m dP/dt>0 e

(1) d2P/dt2 > 0 per P<m'

(2) d2P/dt2 < 0 per P> m'

(3) d2P/dt2 = 0 per P=m' (*)

(2) P=m dP/dt = 0 e d2P/dt2 = 0

(3) P>m dP/dt < 0 e d2P/dt2 > 0

➔ I valori di equilibrio sono due. In genere sono P=0 e P=m.

➔ Il valore m' individua il punto di massima velocità di crescita (vedi la (*)).


➔ Andamento di tipo logistico – altre poche aggiunte

➔ Si parla propriamente di logistica se si ha P(0) << m o almeno P(0)<m'

➔ In questo caso si ha:

dP/dt=feedback positivo (1) -feedback negativo (2)

(1) domina per bassi valori di P (P<<m) e imprime la crescita esponenziale;

(2) entra tanto più in gioco quanto più P → m fino a che per P = m (1) e (2) si equilibrano in modo che sia dP/dt = 0

➔ Se P(0) (m',m) non si ha una vera logistica perché non si ha il cambio di concavità legato al cambio di segno della derivata seconda.

➔ Se P(0)>m si ha una decrescita di tipo esponenziale fino al valore m, come abbiamo visto analizzando la tipologia di questa condizione di equilibrio e il relativo bacino di attrazione. In questo caso si ha da subito una stretta dominanza di (2).


➔ Overshot e collasso

➔ Si parla di overshot e collasso in tutti i casi in cui un livello (popolazione P) dipende da un altro livello (risorsa R, non rinnovabile o rinnovabile molto lentamente).

➔ Il livello P è caratterizzato da:

✔ un flusso in ingresso (nascite) dipendente da un tasso di natalità costante;

✔ un flusso in uscita (morti) dipendente da un tasso di mortalità che cresce da 0 a 1 (in prima approssimazione, in modo lineare) man mano che la risosrsa viene consumata.

➔ Il livello R è caratterizzato da:

✔ un flusso di consumo che dipende da una domanda individuale di unità di risorsa per unità di tempo (costante) e dalla numerosità della popolazione P;

✔ un flusso di rigenerazione dipendente dalla risorsa presente e da un tasso di rigenerazione (assunto prossimo a 0 e costante).

➔ Nel modello si possono individuare tre anelli di retroazione:

✔ uno positivo che interessa il livello P e il flusso nascite;

✔ uno negativo che interessa il livello P e il flusso morti;

✔ uno negativo che interessa il livello P e il livello R.


➔ Overshot e collasso senza rigenerazione: il modello


➔ Overshot e collasso senza rigenerazione: i grafici


➔ Overshot e collasso senza rigenerazione: le equazioni

(01) consumo=IF THEN ELSE(R/T>=consumoProCapite*P, consumoProCapite*P , R/T )Units: resource/Month(02) consumoProCapite=2Units: resource/(Month*unit) [0,10,0.1](03) FINAL TIME = 40Units: Month [10,100,1]The final time for the simulation.(04) INITIAL TIME = 0Units: MonthThe initial time for the simulation.(05) morti=TdM*PUnits: unit/Month(06) nascite=TdN*PUnits: unit/Month(07) P= INTEG (nascite-morti,P0)Units: unit(08) P0=10Units: unit [1,100,1]

(09) R= INTEG (-consumo,R0)Units: resource(10) R0=10000Units: resource [100,100000,1](11) SAVEPER = TIME STEPUnits: Month [0,?]The frequency with which output is stored.(12) T=1Units: Month(13) TdM=(1-R/R0)*TdM0Units: 1/Month(14) TdM0=1Units: 1/Month [0,1,0.01](15) TdN=0.5Units: 1/Month [0,1,0.01](16) TIME STEP = 1Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]The time step for the simulation.


➔ Overshot e collasso con rigenerazione: il modello


➔ Overshot e collasso con rigenerazione: i grafici

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