Modelli di analisi della domanda

Facoltà di Economia di Perugia (sede di Assisi)Laurea Specialistica in Economia del TurismoCorso in Economia del Trasporto (a.a. 2007-2008)

Indice

Modelli di domanda a scenari Modelli di domanda econometrici/statistici

Modelli di domanda aggregata Modelli di domanda disaggregata/scelta discreta

Approccio utilità costante Approccio utilità casuale

Modello Logit multinomiale

Modelli a scenari (1)

Costruzioni di scenari alternativi che descrivono possibili stati del mondo, basati sull’identificazione e descrizioni di relazioni fondamentali tra variabili e con lo scopo di stimare gli impatti sulla politica di trasporto

Una volta identificate e descritte le relazioni fondamentali che intercorrono tra le ipotesi di cambiamento si cerca di capire come queste influiscano sui fenomeni oggetto dello studio tramite: Modelli statistico-econometrici Analisi qualitativa

Modelli a scenari (2)

Pregi: previsioni what-if; flessibilità; non dipendenza dalla fonte dei dati

Difetti: incertezza sulla natura, intensità, direzione

dell’interazioni fra variabili e fra queste e gli scenari in conclusione non suggeriscono nessun sentiero

ottimale di condotta né alcuna valutazione sui diversi futuri

Modelli di domanda aggregati (1)

Tali modelli sono prevalentemente utilizzati nelle procedure di programmazione sia degli investimenti in infrastrutture, servizi e assetti territoriali (lungo periodo) sia negli interventi di regolazione del traffico (breve periodo)

Il punto di partenza di tali modelli è la delimitazione dell’area geografica oggetto di studio che viene suddivisa in zone potenzialmente omogeneee

Modelli di domanda aggregati (2)

Pertanto tali modelli studiano la “generazione” della domanda di trasporto (bisogno di spostamento) fra varie zone (O/D) Modelli segmentati per fasi principali:

Generazione Definiscono l’entità e la numerosità degli spostamenti

Scelta modale Ripartizione della domanda fra le varie modalità

Distribuzione Distribuire la domanda fra le varie zone

Assegnazione Assegnazione delle unità di traffico ai percorsi che portano da i a j

Valutazione Valutazione delle soluzioni identificate

Modelli di domanda aggregata (3)

La fase di generazione e di ripartizione modale più delle altre sono quelle analizzabili come domande di trasporto

Fase di generazione Modelli di generazione = modelli gravitazionali Tij = f (Ai; Bj; Cij)

T = numero di spostamenti fra i e j A e B = opportunità di generare e attrarre spostamenti C = costo generalizzato dello spostamento

i vari modelli si differenziano per le ipotesi sulla f, sulle variabili A-B, sulla struttura dei modelli

Modelli di domanda aggregata (4) Fase della ripartizione modale

La domanda può essere soddisfatta da più di una modalità di trasporto (alternative)

Due interpretazioni: “frequentista”: aggregazione della domanda soddisfatta da

tutte le modalità e individuazione delle frequenze di ogni modalità → derivazione dei valori quantitativi dei traffici distinti per modo

“preferenze”: la domanda di una modalità è il risultato di una scelta dettata da preferenze → individuazione delle pobabilità di scelta

Tre fasi di costruzione dei modelli Specificazione delle funzioni di scelta (individuaz. variabili) Formalizzazione (trasformazione in forme funzionali) Calibrazione (testare il modello)

Modelli di domanda aggregata (5)

Tali modelli sono stati concepiti essenzialmente per la stima della domanda locale di persone

Stima della domanda di merci Entrano in gioco diverse variabili e soprattutto diversi decisori Natura derivata della domanda merci (la funzione obiettivo non

può essere interpretata direttamente in termini di utilità) Diversità delle unità statistiche di riferimento (tonn, tonn/km,

veicolo)

Per le merci bisogna riformulare la funzione obiettivo e in particolare definire il livello del ciclo di trasporto che si sta analizzando

Modelli a scelta discreta (1) Modelli disaggregati che analizzano le scelte individuali

(comportamento) in maniera descrittiva, astratta, operativa

Una scelta può essere vista come il risultato finale di un processo decisionale a fasi

Elementi di una teoria della scelta: Decisore (individuo o gruppi) Alternative (insieme di scelta universale/individuale) Attributi (caratteristiche di alt. eterogenee) Regola di scelta

Dominanza (confronto tramite attributi) Soddisfazione (soglie minime per gli attributi) Lessicografiche (rank degli attributi) Utilità (ordinale/cardinale)

Modelli a scelta discreta (2)

Importanza del paradigma di individuo razionale (razionalità limitata)

Teorie delle scelte Approccio classico: teoria del consumatore Integrazioni: albero delle utilità; beni come input per la

produzione domestica, approccio di Lancaster, vincoli di tempo

Approccio delle scelte discrete Analisi delle “non scelte” di consumo Insiemi di scelta di natura discreta Individuare, tramite osservazioni, le preferenze del

consumatore sulla base delle sue scelte (RP o SP)

Modelli a scelta discreta (3)

Secondo l’approccio alla Lancaster, l’utilità è funzione degli attributi, ovvero: Dato un insieme di scelta C → Cn

L’individuo n sceglie l’alternativa i ε Cn se e soltanto se Uin (Zin; Sn) > Ujn (Zjn; Sn)

Vantaggi dell’interpretazione probabilistica: Inesatta conoscenza delle motivazioni individuali Eterogeneità delle preferenze

Due approcci dei modelli probabilistici Approccio dell’utilità costante (e della regola decisionale casuale) Approccio dell’utilità casuale (RUM)

Approccio dell’utilità costante La scelta dell’individuo non è funzione di una massimizzazione ma di

un processo probabilistico Il più semplice modello di UC è quello di Luce (1959) basato

sull’assioma di scelta: La probabilità di scegliere un’alternativa di un insieme C non è funzione

del sottoinsieme S di C che contiene l’alternativa Se j è sempre scelto rispetto ad i allora i può non essere considerato, il

che appare ragionevole, quando si valutano le alternative presenti in C Le probabilità di scelta di un insieme dipendono solo dalle alternative

incluse in questo insieme Dato l’assioma è possibile derivare un modello di scelta in cui le

utilità sono direttamente proporzionali alle probabilità di scelta Limiti del modello:

Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA) Scalarità semplice (importanza delle differenze)→ indipendenza

dell’ordine delle preferenze

Approccio dell’utilità casuale (1)

Le inconsistenze nel comportamento individuale sono spiegate con la difficoltà dell’analista di osservare le funzioni di utilità dell’individuo

L’utilità diventa perciò una variabile casuale → assunzione di una distribuzione di probabilità congiunta

Ragioni della non coincidenza tra scelte realizzate e scelte osservate Importanza di attributi inosservati Presenza di preferenze inosservate Errori di misurazione e informazione imperfetta Utilizzo di variabili strumentali

Approccio dell’utilità casuale (2)

L’utilità di un’alternativa può esprimersi come la somma di due componenti: Componente (utilità) deterministica V(z; S) Componente casuale ε(Z; S)→ termine di errore

Un modello di scelta è derivato assumendo una specifica distribuzione di probabilità congiunta per i termini d’errore

Assumendo IID per i termini di errore, la scelta diventa funzione delle differenze delle utilità delle alternative

n| Pr j Cn in in jn jnP i C V V

Approccio dell’utilità casuale (3) Quando l’insieme di scelta comprende solo due

alternative, i e j, si ha il caso dei modelli binomiali

La probabilità dipende dalla differenze delle utilità (determ.)→ la scala delle utilità non conta

L’utilità deterministica è funzione degli attributi e delle caratteristiche socioeconomiche Normale assunzione di linearità nei parametri (ma non

negli attributi) Varie assunzioni sugli attributi da inserire (ASA) e sui

parametri (ASP)

| Pr Pr = Prn in jn in in jn jn jn in in jnP i C U U V V V V

Approccio dell’utilità casuale (4)

Il termine d’errore generalmente è assunto a Media zero → aggiungere una costante alla

componente deterministica → “contano solo le differenze”

Varianza data (fissare la scala delle utilità) Dipendente dagli attributi non osservati

Diverse assunzioni sulla distribuzione del termine d’errore danno origine a modelli diversi Modello Lineare (distribuzione uniforme) Modello Probit (distribuzione normale) Modello Logit (distribuzione gumbel → logistica)

Modello Logit Multinomiale (1)

I termini di errore sono assunti essere indipendenti e identicamente distribuiti (la matrice var/covar è diagonale) secondo una distribuzione detta Gumbel

La loro differenza è invece distribuita secondo una logistica

L’indipendenza dei termini di errore è una assunzione forte ma non impossibile (corretta specificazione della funzione di utilità)

Modello logit (2)

Derivazione del modello La probabilità di un alternativa è data da

Assumendo εin fisso, l’espressione sopra può essere

intesa come la distribuzione cumulata di εjn valutata in uno specifico punto

Modello Logit Multinomiale (3)

Dato che i termini di errori sono indipendenti, la distribuzione cumulata per tutti i j≠i è pari al prodotto delle singole distribuzione cumulate

Dato che εin non è dato bisogna integrare per tutti i suoi possibili valori, quindi l’espressione precedente diventa

Con opportuni passaggi matematici il tutto diventa

Proprietà di un modello Logit Multinomiale

La P(i) è compresa tra 0 e 1 = la probabilità dipende dall’attrazione di un alternativa rispetto le altre

La somma delle diverse probabilità è pari a 1 Facile interpretazione della relazione tra utilità

deterministica e probabilità di scelta

Fonte: Train, 2003

Limiti del modello Logit Multinomiale

Assunzioni di termini di errori IID Identico termini di scala (relazione inversa con la

varianza) per tutti gli errori Incapacità di considerare nel modello

eterogeneità “non osservate” delle preferenze Incapacità di considerare correlazione delle

scelte nel tempo Proprietà IIA = indipendenza dalle alternative

irrilevanti (o sostituzione proporzionale fra le utilità)

Proprietà IIA

Il rapporto tra le probabilità di due alternative non dipende dalla presenza/assenza di altre alternative

In termini formali

La proprietà IIA da vita al cosiddetto paradosso dell’autobus blu/rosso

Paradosso dell’autobus blu/rosso

Due modalità di trasporto: Autovettura → P(A)= ½ Bus rosso → P(Br)= ½ P(A)/P(B) = 1

Introduzione di una nuova modalità ma quasi identica alla seconda (bus blu) P(Bb) = P(Br)= P(Bb)/P(Br) = 1 P(A)/P(Br) non deve cambiare per la IIA Questo è possibile solo se P(A)= P(Bb) = P(Br) = 1/3

In realtà ci si aspetterebbe P(A)= ½ P(Bb)= P(Br)= ¼

Ancora sul’IIA

La IIA può essere definita anche come sostituzione proporzionale fra un alternativa e le altre Ovvero se un alternativa migliora/peggiora tale cambiamento fa

diminuire/aumentare proporzionalmente le probabilità di scelta delle altre alternative

IIA è un’assunzione valida se le alternative sono realmente percepite come distinte. Se così allora: Stima delle probabilità su sottoinsiemi di scelta Interessi dell’analista

Test per validare l’IIA Due fasi di stima con differenti (ridotti) insieme di scelta Stima dopo l’introduzione di attributi di altre alternative

Altri elementi da considerare: aggregazione

Problemi nell’aggregazione delle scelte individuali (a differenza di modelli lineari o di regressione)

Varie procedure di aggregazione: rappresentatività del dei campione; segmentazione

Fonte: Train, 2003

Altri elementi da considerare: metodi di stima Metodo principalmente utilizzato è quello della

massimo verosimiglianza (ML) Dato un campione di N osservazioni bisogna

trovare quei parametri (stime) che massimizzino la funzione di verosimiglianza (ovvero che riproducano verosimilmente le scelte effettive) e che rispettino alcuni test statistici (consistenza, efficienza, distribuzione normale).

Altri elementi da considerare: derivate e….

Derivate delle probabilità logit

Derivata diretta

Derivata indiretta

…ed elasticità

Elasticità del modello logit

Elasticità diretta

Elasticità incrociata

Altri elementi da considerare: test sui diversi elementi del modello Esistenza di diversi test sugli elementi del

modello tra cui T-statistici Rapporto di verosimiglianza (con rispetto la cost. o

l’assenza di parametri) Test sulla bontà del modello Test degli attributi generici Test sull’IIA Test su specificazioni non lineari

Influenze esterne sul settore trasporti

Scenario di rapida crescita

Scenario di crescita moderata

Scenario a bassa crescita

Scenario a crescita zero

Evoluzione UE Forte Forte Debole Forte

Crescita economica 1980-2006

4% annua + 120%

3% annua + 80%

2% annua + 30%

0%

Crescita prezzi

100% 100% 100% 100%

Esempio di scenari possibili

(Fonte: ITS, 1982)

Esempio di scelta discreta (1)

Scelta fra due modi alternativi di trasporto A e B U(Qa, Qb) dove

Qa è 1 se è scelto il modo A (0 altrimenti) Qb è 1 se è scelto il modo B (0 altrimenti)

Tale funzione di utilità non è differenziabile ovvero l’analisi si sposta dalle domande alle utilità

Esempio di scelta discreta (2)

Ua = U(Ta, Ca) / Ub = U(Tb, Cb) Ua = -β1Ta - β2Ca / Ub = -β1Tb -β2Cb

Ua = -βTa –Ca / Ub = -βTb –Cb

Ua ≥ Ub

-βTa –Ca ≥ -βTb –Cb

-β(Ta –Tb) ≥ Ca –Cb

β(Ta –Tb) ≤ Cb – Ca

Β = (Cb – Ca)/(Ta –Tb)