Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Rosa Maria Mininni ∗

1 Introduzione ai modelli binomiali

La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione delle

opzioni richiede spesso l’impiego di tecniche di approssimazione numerica; tra gli algoritmi

di approssimazione numerica l’approccio piu semplice e costituito dalle tecniche ad albero

(binomial tree). La caratteristica fondamentale delle tecniche ad albero consiste nel re-

stringere i prezzi possibili per il bene sottostante l’opzione ad un insieme discreto di valori.

Le tecniche ad albero sono interessanti in quanto non solo richiedono l’impiego di stru-

menti matematici elementari ma in molte applicazioni forniscono dei risultati che risultano

sufficientemente accurati. In particolare, l’applicazione di tali tecniche alla risoluzione di

problemi di finanza matematica ha dato spesso risultati soddisfacenti, proponendosi come

uno strumento di valutazione che permette di ottenere delle ottime approssimazioni per

il valore dei titoli derivati anche nei casi caratterizzati da una struttura particolarmente

complessa.

Lo scopo dei paragrafi che seguono e introdurre il funzionamento e analizzare l’impiego

degli alberi binomiali per la valutazione delle opzioni finanziarie su azioni.

2 Contratti di Opzione su azioni

I contratti di opzione su azioni (stock options) sono stati trattati in borsa per la prima

volta nel 1973. Da allora c’e stata una fortissima crescita dei mercati delle opzioni, che

vengono ora trattate in diverse borse sparse per tutto il mondo.

Esistono due tipi fondamentali di opzioni: calls e puts. Le opzioni call danno al por-

tatore il diritto di comprare un’attivita entro una certa data, per un certo prezzo. Il

prezzo indicato nel contratto e detto prezzo di esercizio (exercise price) o prezzo base

(strike price); la data indicata nel contratto e detta data di estinzione (expiration date)

o scadenza (maturity). Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla scadenza,

mentre le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento durante la

loro vita. Le opzioni europee sono piu facili da analizzare e alcune proprieta delle opzioni

americane sono spesso dedotte da quelle delle corrispondenti opzioni europee.

∗Dipartimento di Matematica, Universita di Bari Aldo Moro

1

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 2

Le opzioni danno al portatore il diritto di fare qualcosa, ma il portatore non e obbligato

ad esercitare questo diritto. Per acquistare un contratto di opzione si sostiene un costo.

Esempio 2.1. Si consideri un investitore che compra 100 call europee scritte su azioni, con

prezzo d’esercizio K = 100$. Si supponga che il prezzo corrente dell’azione e S0 = 98$, che

l’opzione scada tra 2 mesi, cioe al tempo T = 2, e che il suo prezzo sia di 5$. L’investitore

puo esercitare l’opzione solo alla scadenza. Ne consegue che,

se al tempo T = 2:

• il prezzo dell’azione ST < 100$ l’opzione non verra esercitata (non ha senso com-

prare a 100$ un’azione che ne vale meno). In questo caso l’investitore perde l’intero

investimento iniziale che e pari a 100(5)$ = 500$;

• il prezzo dell’azione ST > 100$ l’opzione verra esercitata.

In questo secondo caso, supponiamo che ST = 115$. L’investitore esercita quindi l’opzione

acquistando 100 azioni a 100$ l’una. Se le azioni vengono immediatamente rivendute,

l’investitore consegue un profitto netto per call pari a

15$− 5$ = 10$

e un guadagno totale pari a 100(10)$ = 1000$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi

di tansazione e il valore temporale del denaro).

Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell’investitore in funzione del

prezzo finale ST dell’azione sottostante e una funzione convessa non decrescente.

Osserva: Talvolta l’investitore puo subire una perdita anche quando esercita un’opzione.

Si supponga, ad esempio, che ST = 103$. L’investitore esercita l’opzione ma subisce una

perdita netta complessiva di 200$. Questo risultato e comunque migliore della perdita di

500$ che l’investitore subirebbe nel caso in cui le opzioni non venissero esercitate.

Chi acquista una call spera che il prezzo del titolo azionario sottostante aumenti,

mentre chi acquista una put spera che il prezzo dell’azione diminuisca.

Esempio 2.2. Si consideri un investitore che compra 100 put europee scritte su azioni,

con prezzo di esercizio K = 70$. Si supponga che il prezzo corrente del sottostante sia

S0 = 66$, che l’opzione scada al tempo T = 3 mesi e che il suo prezzo sia di 7$. Allora,

se al tempo T = 3:

• il prezzo dell’azione ST > 70$ l’opzione non verra esercitata (non ha senso vendere a

70$ un’azione che viene acquistata a un prezzo maggiore). In questo caso l’investitore

perde l’intero investimento iniziale che e pari a 100(7)$ = 700$;

• il prezzo dell’azione ST < 70$ l’opzione verra esercitata.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 3

In questo secondo caso, supponiamo che ST = 50$. L’investitore esercita quindi l’opzione

acquistando 100 azioni a 50$ l’una e, in base alle condizioni sottoscritte nel contratto, le

rivende a 70$ l’una. L’investitore consegue un profitto netto per call pari a

20$− 7$ = 13$

e un guadagno totale pari a 100(13)$ = 1300$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi

di tansazione e il valore temporale del denaro).

Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell’investitore in funzione del

prezzo finale ST dell’azione sottostante e una funzione convessa non crescente.

Nei contratti di opzione ci sono due controparti:

a. l’investitore che ha comprato l’opzione (posizione lunga);

b. l’investitore che ha venduto o scritto l’opzione (posizione corta);

Chi vende l’opzione incassa il premio ma puo subire in futuro delle perdite. Il suo profitto

e una perdita per la controparte, e viceversa. Esistono 4 tipi di posizioni sulle opzioni:

1. una posizione lunga su una call;

2. una posizione lunga su una put;

3. una posizione corta su una call;

4. una posizione corta su una put;

E utile caratterizzare le posizioni su opzioni europee in termini del loro valore finale

(payoff). Il costo iniziale dell’opzione non viene considerato. Se K e il prezzo di esercizio

e ST e il prezzo del titolo sottostante alla scadenza T dell’opzione, allora il valore finale di

una posizione lunga su una call europea e:

(ST −K)+ := max(0, ST −K) =

{ST −K, se ST > K;

0, se ST ≤ K.

Il valore finale di una posizione corta su una call europea e:

(ST −K)− = −max(0, ST −K) = min(0,K − ST ).

Il valore finale di una posizione lunga su una put europea e:

(K − ST )+ := max(0,K − ST ) =

{K − ST , se ST < K;

0, se ST ≥ K.

Il valore finale di una posizione corta su una put europea e:

(K − ST )− := −max(0,K − ST ) = min(0, ST −K).

In finanza, con il termine moneyness (valore a parita di sottostante) si intende una

misura del grado con cui uno strumento derivato puo avere un valore monetario positivo

al momento della sua scadenza. Tale valore si compone di tre gradienti per descrivere lo

stato di una opzione; nel caso di una call:

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 4

• at-the-money se S0 = K, cioe se il suo prezzo d’esercizio e identico al prezzo

corrente di mercato del titolo sottostante l’opzione;

• out-of-the-money se S0 < K, cioe se il prezzo d’esercizio e superiore al prezzo di

mercato del titolo sottostante l’opzione;

• in-the-money se S0 > K, cioe se il prezzo d’esercizio e inferiore al prezzo di mercato

del titolo sottostante l’opzione;

Per una put la situazione e speculare.

Esempio 2.3. Supponiamo che il prezzo attuale per una azione sia S0 =100e, una call

o put con prezzo d’esercizio K =100e, at-the-money (100 - 100 = 0). Nel caso di una

call se K =80e, si dice in-the-money (−80 + 100 = +20 > 0), se il prezzo d’esercizio e

K =120e, si dice che questa e out-of-the-money (−120 + 100 = −20 < 0).

Nel caso di una put, se il prezzo d’esercizio e K =80e, si dice che la put e out-of-the-

money (+80 − 100 = −20 < 0), se il prezzo d’esercizio e K =120e, si dice che la put e

in-the-money (+120− 100 = +20 > 0)

3 Arbitraggio

Illustriamo il concetto di arbitraggio con un semplice esempio.

Esempio 3.1. Si consideri un’azione che e trattata in borsa, sia a New York che a Londra.

Si supponga che il prezzo dell’azione sia di 172$ a New York e di 100£ a Londra, con un

tasso di cambio 1£ = 1,75$. Un arbitraggista potrebbe comprare simultaneamente 100

azioni a New York e venderle a Londra per ottenere, senza rischio, un profitto pari a:

100(1, 75(100)− 172)$ = 300$,

in assenza di costi di transazione. Probabilmente, i costi di transazione eliminerebbero le

possibilita di profitto per i piccoli investitori. Pero le grandi societa finanziarie hanno costi

di transazione molto bassi sia sul mercato azionario sia sul mercato dei cambi. Di con-

seguenza, esse troverebbero molto attraente questa possibilita di arbitraggio e cercherebbero

di trarne il maggior vantaggio possibile.

L’arbitraggio consiste nella possibilita di realizzare guadagni certi, cioe privi di rischio,

entrando simultanenamente in transazioni che riguardano due o piu mercati finanziari. Le

opportunita di arbitraggio del tipo di quella appena descritta non possono durare a lungo.

Infatti, non appena gli arbitraggisti cominceranno a comprare le azioni a New York, ad

un aumento di domanda corrispondera un aumento del prezzo in dollari. Analogamente,

non appena essi incominceranno a vendere le azioni a Londra, ad un aumento dell’offerta

corrispondera una diminuzione del prezzo in sterline. Molto rapidamente, i due prezzi

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 5

diventeranno equivalenti, se confrontati sulla base del tasso di cambio corrente. In re-

alta, l’esistenza di arbitraggisti affamati di profitti, rende impossibile che un’importante

differenza tra il prezzo in sterline e il prezzo in dollari possa mai manifestarsi.

L’esistenza di opportunita di arbitraggio e in aperto contrasto con il concetto di equi-

librio. Un mercato in equilibrio e un mercato nel quale sono assenti opportunita di arbi-

traggio, non consentendo il sistema vigente dei prezzi di porre in essere operazioni prive

di rischio che consentano un arricchimento illimitato. La prima conseguenza che discende

dall’assumere che in un certo mercato finanziario siano assenti opportunita di arbitraggio

riguarda la relazione di identita che deve legare differenti strumenti i quali forniscono il

medesimo risultato. In modo piu preciso si puo affermare quanto segue.

Regola di identita dei prezzi. In condizioni di equilibrio, se due strumenti finanziari

forniscono alla scadenza t = T lo stesso risultato, allora all’epoca iniziale t = 0 devono

avere lo stesso prezzo.

La condizione di assenza di arbitraggi e la conseguente regola di identita dei prezzi

appena enunciata, giocano un ruolo fondamentale per la valutazione ed il prezzaggio di

strumenti finanziari complessi quali i titoli derivati. Infatti, se si deve prezzare uno speci-

fico strumento e questo puo essere replicato utilizzando un portafoglio composto di altri

strumenti il cui prezzo e noto, allora il prezzo del primo deve coincidere con il prezzo

del portafoglio che lo replica. In un mercato ove siano presenti simultaneamente diverse

attivita rischiose il principio di assenza di arbitraggi puo essere reso operativo studiando

quali condizioni devono complessivamente realizzarsi affinche il sistema dei prezzi sia tale

da escludere permanenti opportunita di guadagni illimitati.

Consideriamo un esperimento casuale con spazio campionario {1, 2, ...,m} e supponi-

amo che al tempo t = 0 si possa accedere a n attivita rischiose (scommesse, acquisto di

titoli azionari o altro) connesse con l’esperimento. Sia (x1, x2, ..., xn) una strategia di in-

vestimenti associata alle n attivita rischiose, cioe xj ∈ R e la somma investita sull’attivita

j (j = 1, ..., n). Indichiamo con rj(·) la funzione profitto per unita monetaria investita

sull’attivita j. Ne consegue che, per ogni j = 1, ..., n

xj rj(i)

e il profitto totale se i e il risultato dell’esperimento al tempo finale T .

Indichiamo con Z = (zij)mxn la matrice che ha come elementi i diversi profitti che si

possono conseguire in relazione a ciascuna attivita rischiosa, se si verifica uno specifico

risultato dell’esperimento aleatorio:

Z =

z11 z12 .... z1n

z21 z22 .... z2n

... ... ... ...

zm1 zm2 .... zmn

dove zij = xjrj(i) e il profitto fornito dalla j-esima attivita qualora si verifichi il risultato

i. Ne consegue che, se il risultato dell’esperimento e i, il profitto totale al tempo finale T

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 6

saran∑j=1

zij =n∑j=1

xjrj(i).

Vale il seguente teorema

Teorema (dell’Arbitaggio) 1. Una sola delle seguenti affermazioni e vera.

(a) esiste una distribuzione di probabilita (p1, p2, ..., pm) associata allo spazio campi-

onario {1, 2, ...,m} tale che

m∑i=1

pi rj(i) = 0 per ogni j = 1, 2, ..., n,

oppure

(b) esiste una strategia di investimenti (x1, x2, ..., xn) associata alle n attivita rischiose

tale chen∑j=1

xj rj(i) > 0 per ogni i = 1, 2, ...,m.

Osserva. Sia X la v.a. che indica il risultato dell’esperimento aleatorio. Il Teorema 1

dice che o esiste una distribuzione di probabilita (p1, p2, ..., pm) tale che

(a) se

P(X = i) = pi per ogni i = 1, 2, ...,m

allora

E[rj(X)] = 0 per ogni j = 1, 2, ..., n, (1)

cioe si e in una condizione di equilibrio, oppure

(b) esiste una strategia di investimenti che determina un guadagno sicuro, cioe si e in

una condizione di arbitraggio.

Definizione 1. Le probabilita (p1, p2, ..., pm) per le quali si verifica la condizione (1) sono

dette probabilita neutrali al rischio.

Esempio 3.2. Consideriamo un sistema di scommesse (per esempio, le scommesse sui

cavalli in una corsa) in cui si sceglie uno dei possibili risultati j (j = 1, ...,m) e si scom-

mette che j sia il risultato dell’esperimento. Spesso si dice che il risultato j e quotato “qja 1”, cioe a 1 unita monetaria scommessa sul risultato j corrisponde un profitto pari a

qj. Supponiamo che la funzione profitto rj per unita monetaria scommessa sul risultato j

sia cosı definita

rj(X) =

{qj , se X = j,

−1, se X 6= j.

Affinche non ci sia arbitraggio, per il Teorema 1 deve esistere una distribuzione di proba-

bilita (p1, p2, ..., pm) tale che, per ogni j (j = 1, ...,m)

0 = E[rj(X)] = qj pj − (1− pj),

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 7

da cui consegue

pj =1

1 + qj.

Poichem∑j=1

pj = 1, ne consegue che la condizione di non arbitraggio e:

m∑j=1

1

1 + qj= 1.

Quindi, se

m∑j=1

1

1 + qj6= 1 chi scommette otterra un guadagno sicuro. Suppponiamo che

in una corsa di cavalli, con 3 cavalli, valgono le seguenti quotazioni:

q1 = 1, q2 = 2, q3 = 3

Poiche1

2+

1

3+

1

4=

13

126= 1,

sicuramente si vince. Per esempio,

si scommette -1 sul cavallo 1 (si perde 1 se vince il cavallo 1 e si vince 1 se non vince

il cavallo 1);

si scommette - 0,7 sul cavallo 2 (si perde 1,4 se vince il cavallo 2 e si vince 0,7 se non

vince il cavallo 2);

si scommette - 0,5 sul cavallo 3 (si perde 1,5 se vince il cavallo 3 e si vince 0,5 se non

vince il cavallo 3);

Se vince il cavallo 1, chi scommette vince −1 + 0, 7 + 0, 5 = 0, 2. Se vince il cavallo 2,

chi scommette vince 1 − 1, 4 + 0, 5 = 0, 1. Se vince il cavallo 3, chi scommette vince

1 + 0.7− 1, 5 = 0, 2. Quindi, in ogni caso si vince sempre.

4 Modello Binomiale a uno stadio

Il piu diffuso e flessibile processo discreto per la valutazione di un’opzione e senza dubbio

quello binomiale. Esso si caratterizza per il fatto che il prezzo dell’azione sottostante,

qualunque sia il prezzo iniziale, puo evolvere in due possibili stati alla fine di un periodo

di tempo di ampiezza prefissata.

Per motivi di semplicita si suppone, inoltre, che il mercato sia efficiente (non ci sono

costi di transazione, e possibile vendere titoli allo scoperto senza limitazioni e cedere o

prendere a prestito denaro allo stesso tasso (costante) di interesse, ecc.) e che non esistano

opportunita di arbitraggio. Si suppone inoltre, anche se questa ipotesi puo essere rimossa,

che il bene sottostante l’opzione non paghi dividendi durante la vita dell’opzione.

Iniziamo con il considerare una situazione molto semplice:

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 8

Esempio 4.1. Il prezzo iniziale di un’azione e di S0 = 20$ e si sa che al tempo T = 3

mesi sara pari a ST = 22$ oppure ST = 18$. Supponiamo di essere interessati a valutare

una call europea per l’acquisto dell’azione al prezzo di esercizio K = 21$ alla scadenza

T . Alla fine del trimestre, questa opzione avra valore fc = ST −K = 1$ se ST = 22$ e

fc = 0$ se ST = 18$.

Consideriamo un portafoglio che consiste di una posizione lunga su Q azioni e di una

posizione corta su una call. Vogliamo determinare il valore di Q che rende il portafoglio

privo di rischio. Il valore complessivo del portafoglio e pari a:

Vp =

{(22Q− 1)$, se ST = 22$, fc = 1$

18Q$, se ST = 18$, fc = 0$.

Il portafoglio sara privo di rischio se il valore di Q e scelto in modo tale che Vp sia lo

stesso in entrambi i casi, cioe se:

22Q− 1 = 18Q,

da cui si deduce che Q = 0, 25. Pertanto, il portafoglio privo di rischio e dato da:

1. una posizione lunga: 0,25 azioni;

2. una posizione corta: 1 opzione,

e quindi il valore complessivo del portafoglio, Vp, e pari a:

Vp =

{(22 (0, 25)− 1)$ = 4, 5$,

18 (0, 25)$ = 4, 5$.

Alla fine della vita dell’opzione, il valore del portafoglio e sempre pari a 4,5$, indipenden-

temente dal fatto che il prezzo dell’azione salga o scenda.

In assenza di opportunita di arbitraggio, il tasso di rendimento di un portafoglio non

rischioso deve essere pari al tasso d’interesse privo di rischio. Si supponga che il tasso

d’interesse privo di rischio sia pari al 12% annuo. Ne segue che il valore corrente del

portafoglio deve essere pari al valore attualizzato di 4,5$:

4, 5 e−0,12 (0,25) = 4, 367.

Supponiamo ora che il valore corrente di un’azione e S0 = 20$. Vogliamo determinare il

prezzo corrente, f0, dell’opzione in assenza di opportunita di arbitraggio. Il valore corrente

del portafoglio e pari a

20 (0, 25)− f0 = 5− f0,

da cui

5− f0 = 4, 367,

e quindi f0 = 0, 633$.

Se f0 > 0, 633$ =⇒ 5− f0 < 4, 367. Ne consegue che il portafoglio renderebbe piu del

tasso d’interesse privo di rischio.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 9

Se f0 < 0, 633$ =⇒ 5 − f0 > 4, 367. Ne consegue che la vendita allo scoperto del

portafoglio rappresenterebbe un modo per prendere in prestito denaro a un tasso inferiore

di quello privo di rischio.

Possiamo generalizzare quanto appena presentato nell’esempio 4.1, considerando un

titolo azionario il cui prezzo iniziale sia S0 e un’opzione scritta su questo titolo il cui prezzo

iniziale sia f0. Supponiamo che l’opzione scada al tempo T > 0 e che durante la sua vita

il prezzo dell’azione possa salire a ST = uS0 oppure scendere a ST = dS0 (u > 1, d < 1),

rispettivamente con probabilita 0 < q < 1 e 1 − q. L’aumento proporzionale del prezzo

dell’azione quando c’e un movimento al rialzo e u− 1, mentre la riduzione proporzionale

del prezzo dell’azione quando c’e un movimento al ribasso e 1− d.

Indichiamo con fu il valore finale dell’opzione se il prezzo dell’azione sale e sia fd il

valore finale dell’opzione se il prezzo dell’azione scende.

Sia r il tasso di interesse privo di rischio costante e positivo, riferito al periodo in

esame, al quale si puo essere finanziati o investire il proprio denaro. Se si vuole evitare la

possibilita di arbitraggi si deve avere

u > r > d. (2)

Infatti, se ad esempio si avesse u > d > r, si potrebbe ottenere un profitto senza rischio e

senza alcun esborso (arbitraggio) chiedendo denaro a prestito e investendolo nell’acquisto

del bene sottostante, ottenendo, in ogni caso, alla scadenza piu di quanto si dovra restituire.

Allo scopo di comprendere il funzionamento del modello binomiale nell’ambito della

valutazione delle opzioni si consideri un’opzione call di tipo europeo che scade alla fine del

periodo T e ha prezzo d’esercizio K. Alla scadenza l’opzione call assume i due possibili

valori:

fu, c = max(0, uS0 −K) fd, c = max(0, dS0 −K), (3)

rispettivamente con probabilita q e 1− q.

Come prima, immaginiamo di costruire un portafoglio di copertura che replica il pay-

off alla scadenza dell’opzione call combinando in maniera opportuna il titolo azionario

sottostante e titoli non rischiosi. Si indichi con Q il quantitativo di azioni sottostanti in

portafoglio e con Y l’importo monetario investito in titoli non rischiosi. Il valore iniziale

(corrente) del portafoglio e

V0 = QS0 + Y

Il valore del portafoglio alla scadenza T e

Vp, c =

{QuS0 + erT Y, con probabilita q,

QdS0 + erT Y, con probabilita 1− q.

Il portafoglio replica il payoff dell’opzione se i coefficienti Q e Y sono tali che i valori di

fine periodo del portafoglio coincidono con i valori di fine periodo dell’opzione in entrambi

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 10

gli stati possibili {QuS0 + erTY = fu, cQdS0 + erTY = fd, c.

(4)

Risolvendo questo sistema lineare nelle variabili Q e Y si ottiene

Q =fu, c − fd, c(u− d)S0

, Y =u fd, c − d fu, c

(u− d)erT. (5)

Si verifica facilmente che Q > 0 e Y < 0 e quindi si devono acquistare Q unita del titolo

sottostante e prendere a prestito una quantita |Y | di moneta.

In condizione di non arbitraggio il valore corrente f0 dell’opzione call deve coincidere

con il valore corrente V0 del portafoglio di copertura e quindi

f0 = QS0 + Y =fu, c − fd, cu− d

+u fd, c − d fu, c

(u− d)erT

=erT−du−d fu, c + u−erT

u−d fd, c

erT(6)

Dalla (6) emerge una proprieta sorprendente del modello binomiale e cioe che il valore

corrente dell’opzione non dipende in alcun modo dalle probabilita q e 1−q. Tale proprieta

comporta che il valore corrente dell’opzione, f0, e lo stesso sia che il prezzo dell’azione

sottostante passi da S0 a uS0 con probabilita del 99% sia che tale probabilita sia dell’1%.

Tale caratteristica e dovuta all’esistenza di un portafoglio che replica perfettamente il

payoff dell’opzione e ne individua esattamente il prezzo. Due operatori possono avere

probabilita soggettive diverse associate ai due possibili prezzi finali del titolo sottostante; il

portafoglio di copertura, tuttavia, non dipende dalla propensione al rischio o dalle opinioni

degli operatori ma solo dall’ipotesi che si cerchi di trarre vantaggio dalla possibilita di

eventuali arbitraggi. Pertanto, non e necessario conoscere la struttura delle preferenze

degli investitori.

L’ipotesi piu conveniente da un punto di vista computazionale e l’ipotesi di neutralita al

rischio. Le probabilita neutrali al rischio p e 1− p, rispettivamente, di rialzo e di ribasso

del prezzo corrente S0 dell’azione, si possono determinare imponendo che il valore atteso

del prezzo alla scadenza T dell’azione sottostante l’opzione

E[ST ] = p uS0 + (1− p) dS0

sia uguale al montante erTS0 ottenuto investendo il prezzo corrente dell’azione al tasso di

interesse privo di rischio r. Risolvendo l’equazione

E[ST ] = erTS0

si ottiene:

p =erT − du− d

e 1− p =u− erT

u− d(7)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 11

Si osservi che l’ipotesi u > r > d garantisce che le probabilita neutrali al rischio siano

strettamente positive. Da (6) e utilizzando le probabilita neutrali al rischio, il prezzo

iniziale dell’opzione si puo riscrivere in forma piu compatta e significativa come segue

f0 = e−rT [p fu, c + (1− p) fd, c] (8)

La relazione (8) sottolinea che il prezzo corrente dell’opzione puo essere ottenuto in maniera

molto semplice attualizzando al tasso privo di rischio il valore atteso del payoff alla sca-

denza, purche tale valore atteso sia calcolato utilizzando non le “vere” probabilita q e 1−qma le probabilita neutrali al rischio p e 1− p.

Osserva. In questa ottica f0 puo essere assimilato alla posta richiesta per partecipare ad

un gioco equo che ha come possibili risultati fu, c e fd, c: pagare una posta che coincide con

il valore atteso del risultato implica un atteggiamento di indifferenza rispetto al rischio.

Il fattore di sconto e−rT rende comparabili nel tempo posta e risultato, riferiti ad istanti

diversi. La portata generale del risultato (8), estendibile al caso multiperiodale illustrato

nel paragrafo successivo, viene riassunta nella seguente proposizione.

Proposizione 1. Se il mercato e completo ed in equilibrio esiste un’unica misura di proba-

bilita di neutralita rispetto al rischio P = (p, 1−p) tale che il prezzo corrente di un’opzione

e il valore atteso scontato dei suoi possibili payoff a scadenza, calcolato in base alla misura

P.

Esempio 4.2. Sia S0 = 100 il prezzo corrente dell’azione sottostante l’opzione (all’epoca

t = 0) e si supponga che all’epoca T = 1 il prezzo possa assumere solo i due valori

uS0 = 200 oppure dS0 = 50,

cioe che dopo un periodo unitario di tempo il prezzo del titolo sottostante possa raddoppiare

(u = 2) o dimezzarsi (d = 1/2). Inoltre, sul mercato sia disponibile un’opzione call con

prezzo d’esercizio K = 100 e con scadenza T = 1 e sia r = 10% il tasso uniperiodale

di interesse. Si vuole determinare il prezzo corrente dell’opzione f0 (all’epoca t = 0).

Utilizzando le equazioni (7), le probabilita neutrali al rischio risultano

p =e0,1 − 0, 5

2− 0, 5= 0, 403 1− p = 0, 597.

I possibili valori dell’opzione alla scadenza sono

fu, c = max(0, uS0 −K) = 100 fd, c = max(0, dS0 −K) = 0

e, applicando l’equazione (8) si trova

f0 = e−0,1[0, 403(100)] = 36, 50

Da (5) si deduce che il portafoglio di copertura e formato da

Q =100

(2− 1/2) 100=

2

3azioni sottostanti

Y =−100/2

(2− 1/2) e0,1= −30, 16 unita monetarie

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 12

Il valore di tale portafoglio all’epoca T = 1 coincide con il valore dell’opzione call sia se il

prezzo del bene sottostante raddoppia sia se si dimezza.

5 Modello Binomiale multiperiodale

L’ipotesi che il prezzo finale del bene sottostante possa assumere due soli valori e chiara-

mente ben poco realistica. D’altra parte, si puo supporre di suddividere l’intervallo di

tempo che intercorre tra l’epoca di valutazione e la scadenza dell’opzione in un numero

n adeguatamente elevato di sottoperiodi di uguale ampiezza. In ciascun sottoperiodo il

prezzo di fine periodo e ottenuto moltiplicando il corrispondente prezzo di inizio periodo

per il fattore di crescita u o per il fattore di diminuzione d . Tale procedura da luogo ad

un albero binomiale che descrive l’andamento del prezzo del bene sottostante l’opzione nei

singoli sottoperiodi.

Consideriamo dapprima, per semplicita, il caso in cui mancano due periodi alla sca-

denza T dell’opzione. Consideriamo un titolo azionario, con prezzo corrente S0, sottostante

un’opzione con prezzo iniziale f0. Suddividiamo l’intervallo di tempo [0, T ] in due sottoint-

ervalli di ampiezza ∆T = T/2. Indichiamo con Si (i = 1, 2) il prezzo dell’azione in ciascuno

dei due periodi. Alla fine di ogni periodo i, il prezzo dell’azione, Si, sale ad un livello pari

a u volte il prezzo Si−1 all’inizio del periodo o scende ad un livello pari a d volte il prezzo

Si−1. Sia Xi la variabile aleatoria cosı definita:

Xi =

{1, se Si = uSi−1 con probabilita q,

0, se Si = dSi−1 con probabilita 1− q,i = 1, 2. (9)

All’epoca della scadenza T , cioe nel secondo periodo, il prezzo del bene sottostante S2 puo

assumere uno dei seguenti valori:u (uS0) = u2S0, con probabilita q2,

u (dS0) = u dS0 = d (uS0), con probabilita 2 q (1− q),d (dS0) = d2S0, con probabilita (1− q)2.

I corrispondenti payoff dell’opzione sono:f0, valore corrente,

fu, fd, valori alla fine del primo periodo,

fuu, fu d, fd d, valori alla fine del secondo periodo.

La valutazione dell’opzione puo essere effettuata mediante una tecnica di program-

mazione dinamica che permette di percorrere all’indietro l’albero binomiale. Alla fine del

primo periodo ∆T (quando manca un solo periodo alla scadenza) si possono calcolare i

due possibili valori dell’opzione, fu e fd, come visto nel caso uniperiodale, attualizzando

al tasso privo di rischio il valore atteso dei due corrispondenti payoff di fine periodo, cal-

colato rispetto alla misura di probabilita neutrale al rischio P = (p, 1− p) definita in (7).

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 13

Applicando la (8) a fuu, fu d e fd d si ottiene

fu = e−r∆T [p fuu + (1− p) fu d] fd = e−r∆T [p fu d + (1− p) fd d] (10)

Applicando nuovamente questo procedimento ai payoff fu e fd si ottiene il prezzo dell’opzione

in corrispondenza dell’epoca t = 0 :

f0 = e−r∆T [p fu + (1− p) fd] (11)

Sostituendo le equazioni (10) nella (11) si ottiene

f0 = e−rT [p2 fuu + 2 p (1− p) fu d + (1− p)2 fd d] (12)

Questa formula e coerente con il principio di valutazione neutrale verso il rischio. Le

quantita p2, 2 p (1 − p), (1 − p)2 sono le probabilita di raggiungere i nodi finali superiore

fuu, intermedio fu d e inferiore fd d. Il prezzo corrente dell’opzione e uguale al valore

atteso dei payoff ai nodi finali in un mondo neutrale verso il rischio, attualizzato al tasso

di interesse r privo di rischio.

Esempio 5.1. Consideriamo una put europea a 2 anni (T = 2), con prezzo di esercizio

K = 52$, scritta su un’azione il cui prezzo corrente e S0 = 50$. Supponiamo che ci

siano due intervalli temporali di 1 anno (∆T = 1) e che in ciascun intervallo il prezzo

dell’azione salga o scenda in misura pari al 20% (cioe u = 1.2, d = 0.8). Supponiamo

inoltre che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a r = 5%.

Alla fine del primo periodo si ottiene che il prezzo dell’azione sottostante sale a S1 = 60$

o scende a S1 = 40$. Ne consegue che alla scadenza il prezzo ST dell’azione sottostante

assumera uno dei seguenti valori:

u2S0 = 72$ u dS0 = 48$ d2S0 = 32$,

con corrispondenti payoff dell’opzione put

fuu = max(0,K − ST ) = 0$

fu d = max(0,K − ST ) = 4$

fd d = max(0,K − ST ) = 20$.

Applicando la (7), le probabilita neutrali verso il rischio sono date da

p =er∆T − du− d

= 0, 6282 1− p = 0, 3718.

Applicando la (10) si ottengono i valori della put alla fine del primo periodo

fu = 1, 4147$ fd = 9, 4636$,

e applicando la (12) si ottiene il valore corrente dell’opzione:

f0 = 4, 1923$.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 14

Studiamo ora il caso in cui il tempo T alla scadenza viene suddiviso in n sottoperiodi

di ampiezza ∆T = T/n . Consideriamo le variabili aleatorie Xi (i = 1, ..., n) definite

in (9) che supponiamo indipendenti e con distribuzione di probabilita neutrale al rischio

P = (p, 1− p) definita in (7) sostituendo T con ∆T . Denotiamo con

Y =n∑i=1

Xi.

La variabile aleatoria Y ha distribuzione binomiale, Y ∼ B(n, p), e indica il numero di

volte in cui in n periodi temporali il prezzo dell’azione sottostante l’opzione e salito. Ne

consegue che dopo n periodi, cioe alla scadenza T , il prezzo dell’azione puo essere scritto

come

ST = uY dn−Y S0. (13)

Indichiamo ciascun nodo dell’albero binomiale con (i, j), dove i = 0, 1, ..., n, j = 0, 1, ..., i.

L’indice i rappresenta lo stadio dell’albero, cioe il sottoperiodo considerato, e l’indice j

indica il nodo dello stadio che identifica il numero di volte in cui il prezzo del titolo azionario

e salito in i periodi. Pertanto il prezzo del titolo sottostante l’opzione in corrispondenza

del nodo (i, j) e

S(i,j) = uj di−j S0 i = 0, 1, ..., n, j = 0, 1, ..., i (14)

Il corrispondente valore dell’opzione puo essere determinato ricorsivamente come segue

f(i,j) = e−r∆T [p f(i+1,j+1) + (1− p) f(i+1,j)] i = 0, 1, ..., n− 1, j = 0, 1, ..., i (15)

posto che

f(n,j) = max(0, ST −K) = max(0, S(n,j) −K) j = 0, 1, ..., n

Applicando n volte la formula ricorsiva (15), da (13) si trova che il prezzo corrente di

un’opzione call in assenza di arbitraggio e

f0 = e−r TE[max(0, ST −K)] = e−r TE[max(0, uY dn−Y S0 −K)] (16)

= e−r Tn∑i=0

P(Y = i) max(0, uidn−iS0 −K) (17)

= e−r Tn∑i=0

(n

i

)pi(1− p)n−i max(0, uidn−iS0 −K) (18)

Esempio 5.2. Si vuole calcolare il valore iniziale di una call europea a 3 anni sapendo

che:

S0 = 80$, K = 80$, u = 1.5, d = 0.5, q = 0.7, r = 0.1.

Consideriamo n = 3 periodi di ampiezza ∆T = 1 anno. Le probabilita neutrali al rischio

sono:

p =e0,1 − 0, 5

1, 5− 0, 5= 0, 60 1− p = 0, 4.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 15

All’epoca di scadenza T i possibili valori per il prezzo del bene sottostante sono:

ST =

u3 S0 = 270, con probabilita q3 = 0, 343

u2 dS0 = 90, con probabilita 3q2(1− q) = 0, 441

u d2 S0 = 30, con probabilita 3q(1− q)2 = 0, 189

d3 S0 = 10, con probabilita (1− q)3 = 0, 027.

Il calcolo del valore iniziale dell’opzione, tuttavia, va effettuato utilizzando le probabilita

neutrali al rischio e considerando per il prezzo finale dell’azione sottostante la variabile

aleatoria ST le cui realizzazioni sono:

ST =

u3S0 = 270, con probabilita p3 = 0, 216

u2 dS0 = 90, con probabilita 3p2(1− p) = 0, 432

u d2S0 = 30, con probabilita 3p(1− p)2 = 0, 288

d3S0 = 10, con probabilita (1− p)3 = 0, 064.

Il prezzo iniziale della call e quindi

f0 = e−r T3∑i=0

(3

i

)pi(1− p)3−i max(0, uid3−iS0 −K)

= e−0,3(0, 064(0) + 0, 288(0) + 0, 432(10) + 0, 216(190)) ' 33, 60.

Osserva. La procedura binomiale multiperiodale descritta per la valutazione di un’opzione

call europea puo essere applicata senza sostanziali modifiche anche alla valutazione di

un’opzione put europea.

Passando a opzioni di tipo americano, basta osservare che queste forniscono tutti

i diritti che derivano da opzioni europee con in piu la facolta dell’esercizio anticipato.

Dunque il loro prezzo non potra essere inferiore a quello delle corrispondenti europee. Se

indichiamo con fc, fC il prezzo, rispettivamente, di un’opzione call europea e di un’opzione

call americana, e con fp, fP il prezzo, rispettivamente, di un’opzione put europea e di

un’opzione put americana, con scadenza T , osserviamo che:

fC ≥ 0, fP ≥ 0, fc ≥ 0, fp ≥ 0,

come conseguenza del fatto che il payoff e sempre non negativo per la struttura del con-

tratto di un opzione. Se il prezzo di un’opzione fosse negativo, cio significa che chi acquista

l’opzione riceve contanti anticipati a garanzia di un payoff non negativo, quindi si e in con-

dizioni di arbitraggio (profitto senza rischio).

Inoltre valgono le relazioni

fC ≥ fc fP ≥ fp. (19)

Valore intrinseco

Se la data alla scadenza fosse T = 0, indicato con ST = S0, i payoff finali diventerebbero:

fC = fc = max(0, S0 −K), fP = fp = max(0,K − S0)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 16

Le quantita max(0, S0−K) e max(0,K−S0) sono comunemente chiamati valore intrinseco

di una call e di una put, rispettivamente. Poiche le opzioni americane possono essere

esercitate in qualunque momento prima della maturity T , il loro valore deve essere non

inferiore al corrispondente valore intrinseco, cioe,

fC ≥ max(0, S0 −K) (20)

fP ≥ max(0,K − S0) (21)

Per dimostrare le condizioni (20) e (21), poiche fC ≥ 0, e sufficiente considerare il caso

S0 > K (la call americana e in-the-money). Supponiamo, per assurdo, che

fC < S0 −K, (22)

allora un arbitraggista puo trarne profitto senza rischio prendendo in prestito fC + K

dollari per acquistare la call e esercitarla immediatamente per ricevere il valore corrente

S0 del sottostante. Da (22) si deduce che il profitto sara quindi

S0 −K − fC > 0

Con analogo ragionamento si puo dimostrare che in condizioni di non arbitraggio deve

valere la (21).

Nel caso di opzioni europee, non valendo la possibilita di esercitare l’opzione prima

della data di scadenza, non e detto che le condizioni (20) e (21) siano soddisfatte. Infatti,

il valore di una put puo essere al disotto del valore intrinseco per S0 → 0 mentre, in caso

di un sottostante che paga dividendi il valore di una call puo essere al disotto del valore

intrinseco per valori di S0 → +∞.

Confini inferiori e superiori per valori di opzioni

Per una call americana con prezzo di esercizio K, indicato con S0 il valore ottimale del

prezzo del sottostante a cui esercitare l’opzione, si avra che fC ≤ max(0, S0 −K) ≤ S0.

Allora, da (19) consegue che

S0 ≥ fC ≥ fc. (23)

D’altra parte, se cosı non fosse, un arbitraggista potrebbe facilmente ottenere un profitto

privo di rischio comprando l’azione sottostante e rivendendo la call. Ne consegue che il

prezzo di call americane e europee (con tempo di scadenza T > 0) e limitato superiormente

dal prezzo del sottostante. In particolare, ponendo S0 = 0 nella precedente relazione, per

la non negativita del prezzo di un’opzione, si deduce che:

fC = fc = 0,

cioe il prezzo di una call vale zero se il prezzo del sottostante e zero.

Consideriamo i due seguenti portafogli:

Portafoglio A: una posizione lunga su una call europea piu un importo in denaro pari a

Ke−r T ;

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 17

Portafoglio B: il titolo azionario su cui e scritta l’opzione.

Nel portafoglio A, il denaro, investito al tasso di interesse privo di rischio r, diventa K alla

scadenza T dell’opzione. Se ST > K, la call viene esercitata al tempo T e il portafoglio A

vale ST −K +K = ST . Se ST < K, la call non viene esercitata e scade al tempo T senza

valore (fc = 0), quindi il portafoglio A vale K. Pertanto, al tempo T il portafoglio A vale

VT,A = max(ST ,K).

Il portafoglio B vale VT,B = ST al tempo T . Pertanto al tempo T ,

VT,A ≥ VT,B

il portafoglio A vale sempre almeno quanto il portafoglio B. Si dice che il portafoglio A

e dominante sul portafoglio B. Ne segue che in assenza di opportunita di arbitraggio,

questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioe

V0,A = f0,c +Ke−r T ≥ S0 = V0,B

ossia

f0,c ≥ S0 −Ke−r T . (24)

Dato che fc ≥ 0, il suo valore corrente f0,c deve essere non negativo. Cio vuol dire che

f0,c ≥ max(S0 −Ke−r T , 0). (25)

Quindi, max(S0 − Ke−r T , 0) rappresenta un confine inferiore per il valore di una call

europea che non paga dividendi. Inoltre, come si puo dedurre da (19), max(S0−Ke−r T , 0)

rappresenta un confine inferiore anche per il valore di una call americana che non paga

dividendi. Si conclude quindi da (23) e (25) che

S0 ≥ fc ≥ max(S0 −Ke−r T , 0) (26)

S0 ≥ fC ≥ max(S0 −Ke−r T , 0) (27)

Consideriamo ora i due seguenti portafogli:

Portafoglio C: una posizione lunga su put europea piu il titolo azionario su cui e scritta

l’opzione;

Portafoglio D: un importo in denaro pari a Ke−r T ;

Se ST < K, la put del portafoglio C viene esercitata al tempo T e il portafoglio vale

K−ST +ST = K. Se ST > K, la put non viene esercitata e scade al tempo T senza valore

(fp = 0) e il portafoglio vale ST . Pertanto, al tempo T il portafoglio C vale

VT,C = max(ST ,K).

Se il denaro viene investito al tasso di interesse privo di rischio r, il portafoglio D vale

VT,D = K alla scadenza T dell’opzione. Pertanto al tempo T ,

VT,C ≥ VT,D

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 18

il portafoglio C vale sempre almeno quanto il portafoglio D. Ne consegue che il portafoglio

C e dominante sul portafoglio D. Ne segue che, in assenza di opportunita di arbitraggio,

questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioe

V0,C = f0,p + S0 ≥ Ke−r T = V0,D

ossia

f0,p ≥ Ke−r T − S0. (28)

Dato che fp ≥ 0, il suo valore corrente f0,p deve essere non negativo. Cio vuol dire che

f0,p ≥ max(Ke−r T − S0, 0). (29)

Quindi, max(Ke−r T − S0, 0) rappresenta un confine inferiore per il valore di una put

europea che non paga dividendi. Anche in questo caso, da (19) si deduce che max(Ke−r T−S0, 0) rappresenta un confine inferiore anche per il valore di una put americana che non

paga dividendi. Inoltre, il prezzo di una put americana e uguale al prezzo di esercizio K

quando S0 = 0; altrimenti e limitata superiormente da K. Da (19) si deduce che

K ≥ fp ≥ max(Ke−r T − S0, 0) (30)

K ≥ fP ≥ max(Ke−r T − S0, 0) (31)

Poiche per una put europea che non paga dividendi, con prezzo di esercizio K, il payoff

alla maturity T e fT,p = max(0,K − ST ) ≤ K, ne consegue che f0,p ≤ Ke−r T cioe, il

valore corrente della put non puo essere superiore al valore di K attualizzato. Infatti, se

cosı non fosse, un arbitraggista potrebbe ricavare un profitto privo di rischio esercitando

l’opzione (vendita della quota azionaria sottostante) e investendo il ricavato della vendita

al tasso di interesse privo di rischio. Ne consegue che la (30) diventa

max(Ke−r T − S0, 0) ≤ fp ≤ Ke−r T . (32)

Per una put americana che non paga dividendi, con prezzo di esercizio K, la condizione

(31) puo essere migliorata come segue

max(K − S0, 0) ≤ fP ≤ K, (33)

poiche la put puo essere esercitata ad ogni istante di tempo non appena il valore S0 e

ottimale. Infatti, consideriamo una situazione limite in cui, per esempio, K = 10 unita

monetarie e S0 = 0. Se si esercita immediatamente la put, l’investitore ottiene un guadagno

immediato pari a 10 = K−S0. Se l’investitore aspetta ad esercitare l’opzione in corrispon-

denza di un altro valore S∗0 , il profitto K −S∗0 < K ma mai superiore poiche S∗0 > S0 = 0.

Se l’azione sottostante non da diritto a pagamenti intermedi dovuti a dividendi, cedole

o altro, non conviene esercitare una call americana prima della scadenza. Infatti, abbiamo

detto che una call americana puo essere esercitata solo se e in-the-money, cioe S0 > K.

Ad ogni momento in cui una call americana e esercitata, il suo payoff e f0,C = S0 − K,

dove S0 e il prezzo ottimale del sottostante. Tuttavia,

S0 −K < S0 −Ke−r T ,

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 19

e, quindi, da (27) consegue che il valore della call al momento in cui viene esercitata

l’opzione e minore del suo confine inferiore, supponendo che essa possa essere esercitata.

Quindi esercitare la call americana prima della data alla scadenza T determina una svalu-

tazione del valore della call. In conclusione, conviene vendere la call americana anziche

esercitarla. Di conseguenza, il valore di una call americana e di una call europea deve

essere lo stesso.

Diversa e la situazione per una put americana. Infatti, nel caso in cui il prezzo corrente

del sottostante S0 << K sia molto basso (deep in-the-money) conviene esercitare l’opzione

in quanto da (33) il valore K del prezzo di esercizio e il massimo che si possa realizzare.

Per quanto e stato appena detto, qualora il titolo sottostante non effettui pagamenti

intermedi durante la vita dell’opzione, la possibilita di esercizio prima della scadenza

diviene una eventualita della quale tenere conto solo nel prezzare opzioni put americane. Ne

consegue che nel prezzaggio delle opzioni di tipo americano, il modello binomiale richiede

una modifica per tenere conto della suddetta eventualita. Si consideri che le opzioni

americane valgono di piu al crescere della vita residua, cioe il periodo rimanente fino alla

scadenza T . A tal proposito, nel procedimento di valutazione all’indietro e necessario

verificare in corrispondenza di ciascun nodo se risulta conveniente l’esercizio anticipato. Il

prezzo di un’opzione put americana in corrispondenza di ciascun nodo (i, j)

C(i,j) = max(A(i,j), K − S(i,j)) i = 0, 1, ..., n− 1, j = 0, 1, ..., i, (34)

e dato dal massimo fra il valore intrinseco K − S(i,j) e il valore

A(i,j) = e−r∆T [pC(i+1,j+1) + (1− p)C(i+1,j)] (35)

calcolato sull’albero attualizzando il valore atteso associato ai nodi successori (i+ 1, j+ 1)

e (i+ 1, j).

Esempio 5.3. Si considerino un’opzione put europea ed una americana emesse su un

titolo azionario la cui quotazione corrente e S0 = 500. Suppponiamo che il prezzo di

esercizio sia K = 500, che le opzioni scadano fra 3 mesi (T = 3) e che il tasso istantaneo

di rendimento per le attivita non rischiose sia r = 0, 06 su base annua. Si desidera valutare

le opzioni con il modello binomiale considerando n = 3 sottointervalli temporali di un mese

nell’ipotesi che u = 1.13872 e d = 1/u = 0.87818.

Le probabilita neutrali al rischio sono

(∆T = T/3 =

3

12

(1

3

)= 1/12

):

p =er∆T − du− d

=1.00501− 0.87818

1.13872− 0.87818= 0, 486809 1− p = 0.513191.

I prezzi per l’azione sottostante sono:{S(1,1) = uS0 = 569.36, S(1,0) = dS0 = 430.09, dopo 1 mese (stadio 1)

S(2,2) = u2S0 = 648.34, S(2,1) = udS0 = 500, S(2,0) = d2S0 = 385.60, dopo 2 mesi (stadio 2)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 20

e alla scadenza T (stadio 3)

ST =

S(3,3) = u3S0 = 738.28

S(3,2) = u2dS0 = 569.36

S(3,1) = ud2S0 = 439.09

S(3,0) = d3S0 = 338.63.

I corrispondenti payoff finali delle opzioni put (europea e americana) sono:f(3,3) = C(3,3) = max(0,K − S(3,3)) = 0

f(3,2) = C(3,2) = max(0,K − S(3,2)) = 0

f(3,1) = C(3,1) = max(0,K − S(3,1)) = 60.91

f(3,0) = C(3,0) = max(0,K − S(3,0)) = 161.37

Allo stadio 2 i prezzi dell’opzione put europea sono:f(2,2) = A(2,2) = e−r∆T [pf(3,3) + (1− p) f(3,2)] = 0

f(2,1) = A(2,1) = e−r∆T [pf(3,2) + (1− p) f(3,1)] = 31.10

f(2,0) = A(2,0) = e−r∆T [pf(3,1) + (1− p) f(3,0)] = 111.91

mentre dalla (34) i prezzi dell’opzione put americana risultano:C(2,2) = max(A(2,2), K − S(2,2)) = max(0,−148.34) = 0

C(2,1) = max(A(2,1), K − S(2,1)) = max(31.10, 0) = 31.10

C(2,0) = max(A(2,0), K − S(2,0)) = max(111.91, 114.40) = 114.40

Allo stadio 1 per la put europea si ha:{f(1,1) = e−r∆T [pf(2,2) + (1− p) f(2,1)] = 15.89

f(1,0) = e−r∆T [pf(2,1) + (1− p) f(2,0)] = 72.21

mentre i prezzi della put americana risultano:{C(1,1) = max(A(1,1), K − S(1,1)) = max(15.89, −69.36) = 15.89

C(1,0) = max(A(1,0), K − S(1,0)) = max(73.48, 69.91) = 73.48

dove {A(1,1) = e−r∆T [pC(2,2) + (1− p)C(2,1)] = 15.89

A(1,0) = e−r∆T [pC(2,1) + (1− p)C(2,0)] = 73.48

Ne consegue che il prezzo corrente dell’opzione europea e:

f0,p = e−r∆T [pf(1,1) + (1− p) f(1,0)] = 44.56

e quello dell’opzione americana e

f0,P = C0 = max(A0,K − S0) = max(45.22, 0) = 45.22.

dove A0 = e−r∆T [pC(1,1) + (1− p)C(1,0)] = 45.22.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 21

5.1 Calibrare la volatilita

Il prezzo di un’opzione, dipende dal prezzo di esercizio K, dal comportamento nel tempo

del prezzo dell’attivita sottostante, dal tasso di interesse, dal tempo alla scadenza e dalla

volatilita. Volatilita e il termine usato per misurare l’incertezza circa i futuri movimenti

del prezzo del titolo, cioe e il tasso di variabilita per unita di tempo, che quantifica la

maggiore o minore attitudine del prezzo del sottostante a subire oscillazioni nel tempo. Il

simbolo usato per denotarla e σ. Al crescere della volatilita, cresce la probabilita che le

realizzazioni nel tempo del titolo risultino molto brillanti o molto modeste. Per chi possiede

l’azione, questi due risultati tendono a compensarsi l’uno con l’altro. Non e invece cosı

per chi possiede un’opzione. Chi possiede una call trae beneficio dagli aumenti del prezzo

dell’azione ma ha un rischio di perdita limitato se il prezzo dell’azione diminuisce, perche

al massimo puo perdere il prezzo dell’opzione. Analogamente, chi possiede una put trae

beneficio dalla riduzione del prezzo dell’azione ma ha un rischio di perdita limitato se il

prezzo dell’azione aumenta. Pertanto, il valore di un’opzione aumenta al crescere della

volatilita.

E utile notare come la volatilita, a differenza delle altre variabili dalle quali dipende il

prezzo di un’opzione, non e direttamente osservabile sul mercato e, quindi, occorre stimarla

con opportune metodologie statistiche, utilizzando i dati che provengono dall’analisi del

mercato reale (serie storiche). La correttezza di una qualunque formula di prezzaggio

finisce, quindi, con il dipendere dalla corretta stima di σ.

Si e visto che modellando il processo stocastico, (St)t∈[0,T ], del prezzo di un’attivita

rischiosa tramite processi binomiali ad alberi, i parametri che devono essere specificati sono

i fattori di variazione periodale u, d e la probabilita di rialzo del prezzo (nel mondo reale)

q. I parametri u e d si scelgono in modo che risultino coerenti con la volatilita dei prezzi

dell’azione. Si suppongano note le stime µ e σ, rispettivamente, del tasso istantaneo, µ,

di rendimento medio dell’attivita sottostante e della corrispondente volatilita σ.

Nel primo stadio di un albero binomiale, considerando un intervallo periodale di

lunghezza ∆T il tasso di variazione del prezzo dell’azione e pari a (u − 1) in caso di

rialzo, e a (1− d) in caso di ribasso. Quindi se S0 e il prezzo iniziale del titolo sottostante,

alla fine del primo periodo ∆T il prezzo dell’azione e

S∆T =

{S(1,1) = uS0, con probabilita q

S(1,0) = dS0, con probabilita 1− q.

Il montante del prezzo dell’azione alla fine del primo periodo e S0eµ∆T . Abbiamo gia visto

che in un mercato in equilibrio, ove gli operatori siano neutrali rispetto al rischio,

EP[S∆T ] = p uS0 + (1− p) dS0 = S0er∆T ,

dove P = (p, 1 − p) e la probabilita neutrale al rischio e r e il tasso di interesse privo di

rischio. La stessa condizione di equilibrio, se viene riferita ad un mondo non indifferente

al rischio, i cui operatori concordino sulle probabilita di aumento e diminuzione del prezzo

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 22

secondo la misura Q = (q, 1− q), diventa

EQ[S∆T ] = q uS0 + (1− q) dS0 = S0eµ∆T ,

da cui si deduce che

q =eµ∆T − du− d

(36)

La (36) puo quindi essere considerata quale primo vincolo che lega il dato di mercato µ

con i parametri q, u, d del modello. Una condizione ulteriore la si ricava utilizzando la

volatilita, ponendo

V arQ[S∆T ] = S20 σ

2 ∆T, (37)

affinche la volatilita dell’azione sia coerente con il modello binomiale. Si noti che

V arQ[S∆T ] = EQ[S2∆T ]− (EQ[S∆T ])2

= S20 [q u2 + (1− q) d2]− S2

0 [q u+ (1− q) d]2.

In base all’equazione (36), la (37) diventa

eµ∆T (u+ d)− ud− e2µ∆T = σ2∆T (38)

Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 hanno proposto la seguente soluzione della (38) risolta

imponendo alcune semplificazioni (si suppone che ∆T sia sufficientemente piccolo):

u = eσ√

∆T d =1

u= e−σ

√∆T

In conclusione, quando si utilizzano i modelli binomiali ad albero per il prezzaggio

di un titolo azionario sottostante un’opzione, i parametri del modello da specificare nel

mondo reale sono

q =eµ∆T − du− d

u = eσ√

∆T

d =1

u= e−σ

√∆T ,

dove µ e il valore stimato del tasso di rendimento medio del titolo sottostante, mentre in

un mondo neutrale verso il rischio

p =er∆T − du− d

u = eσ√

∆T

d =1

u= e−σ

√∆T ,

dove r e il tasso di interesse privo di rischio. Se ne deduce che nel passaggio dal mondo reale

al mondo neutrale verso il rischio, il tasso di rendimento atteso cambia ma la volatilita

rimane inalterata (almeno per ∆T sufficientemente piccolo).