Modelli ARIMA per la destagionalizzazione e la

previsione delle serie storiche

Dispensa didattica per il corso di Statistica Economica Corso di Laurea in Scienze Economiche, Università

Mediterranea di Reggio Calabria

A cura di Giuseppe Marinelligiuseppe.marinelli@bancaditalia.it

Serie storiche

Tt ,,1=

Cosa è una serie storica?

[ ] { }TttT yoppureyy 11 ,, =

Obiettivi dell’analisi

Descrizione delle caratteristiche della serie storica

Previsione dei valori futuri della serie storica

Caratteristiche

Trend

Fluttuazioni stagionali

Fluttuazioni cicliche

Componente irregolare

Modelli di scomposizione

ttttt uscy +++= τ

ttttt uscy ⋅⋅⋅= τ

ttttt uscy logloglogloglog +++= τ

Modello additivo

Modello moltiplicativo

Modello misto

Modello additivo

Come modellare il trend?

( ) btatfyt +==

( ) tt ubtatfy ++==

( )[ ]1

1

1

11

=−+=∆⇒+−+−++=−

−

−−

θθ ttt

tttt

uubyutbaubtayy

Come individuare le diverse componenti?

Approccio senza utilizzo di un modello statistico della serie analizzata

Procedura X11

Approccio basato su modello

Modello non economico che non vuole spiegare il processo generatore dei dati ma piuttosto spiegare il comportamento della serie

X12-ARIMA

TRAMO-SEATS

X11-ARIMAX11-ARIMA88

Metodo X11

Stima del trend attraverso una media mobile

Rimozione del trend lasciando solo la componente stagionale e quella aleatoria

Stima della componente stagionale usando le medie mobili per “spalmare” le componenti aleatorie

Modello moltiplicativo

Strumenti di analisi

Operatore Ritardo

Stazionarietà

Operatore Differenza

White Noise

Operatore RitardoL’operatore ritardo è definito come: 1−= tt yBy

Alcune operazioni: ( ) 22

−== ttt yyBByB

In generale: pttp yyB −=

In forma polinomiale:

( )ptptttt

tp

pt

yyyyyyBBBByB

−−−− +++++=

=+++++=

φφφφφφφφφ

332211

33

2211)(

Operatore Differenza

B−=∆ 1

1−−=∆ ttt yyy

1)1( −−=−=∆ tttt yyyBy

oppure:

Stazionarietà in senso debole

( ) µ=tyE

( )[ ] ( ) ( )02 γµ ==− tt yVaryE

( ) ( )[ ] ( ) ( )kyyCovyyE kttktt γµµ ==−− ++ ,

Media costante

Varianza costante

Autocovarianza dipendente solo dal ritardo k ma non dal tempo

White NoiseStrumento principe per introdurre un elemento stocastico nei modelli statistici

Il White Noise è rappresentato da una sequenza di variabili casuali aventi:

Media nulla

Varianza costante

Autocorrelazione nulla

Processi AR

tptptttt uyyyyy +++++= −−−− φφφφ 332211

ttt uyy += − 11φProcesso AR(1)

Processo AR(p)

Processi MA

qtqttttt uuuuuy −−−− +++++= λλλλ 332211

11 −+= ttt uuy λProcesso MA(1)

Processo MA(q)

Processi ARMA(p,q)

qtqttt

tptptttt

uuuuuyyyyy

−−−−

−−−−

+++++

++++++=

λλλλφφφφ

332211

332211

oppure più sinteticamente

∑∑=

−=

− +=q

jjtj

p

iitit uyy

01

λφ

Processi ARIMA(p,d,q)

qtqtttt

ptptttt

uuuuuyyyyy

−−−−

−−−−

++++++

+∆++∆+∆+∆=∆

λλλλφφφφ

332211

332211

∑∑=

−=

− +∆=∆q

jjtj

p

iitit uyy

01

λφ

La procedura TRAMO-SEATS

Passeggeri Aeroporto Lamezia Terme

0

50

100

150

200

250

gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 gen-05 gen-06 gen-07 gen-080

50

100

150

200

250

Il modello

∑=

+=+=k

ititittt zxzwy

1

β

Variabili non stocastiche

Componente stocastica ARIMA

Operazioni preliminari

∑=

−=k

iititt xyz

1βRimozione effetti

deterministici

tDsd

t zBBv )1()1( −−=Stazionarietà

Identificazione del modello

Misurazione degli effetti deterministici

Componente stocastica

ts

ts uBBvBB )()()()( Λ=Φ λφ

Stima del modello

[ ] [ ]984,1

54,545,11)63,01()79,01(

)1()1(

)()()()(

05,0

12

1211

±=−−

−=−

Λ+=−

Λ=Φ

t

uBvBuBvB

uBBvBB

tt

tt

ts

ts

φλφ

Risultati

0

50

100

150

200

gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 gen-05 gen-06 gen-07 gen-080

50

100

150

200

Trend Serie destagionalizzata passeggeri

Test di controlloTest Statistica Valore criticoLjung-Box sui residui 18,24 33,90Box-Pierce sui residui 0,68 5,99Ljung-Box sui residui al quadrato 28,95 33,90Box-Pierce sui residui al quadrato 0,85 5,99Normalità 0,24 5,99Percentuale di outlier 1,89%

Modello di previsione del traffico passeggeri nell’Aeroporto di

Lamezia Terme

Correlogramma

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Test di radice unitaria

Due tipi di testAugmented Dickey-Fuller Test

Phillips-Perron Test

ttt uyy += − 11φ

ttt uyy ++= − 11φµ

ttt utyy +++= − γφµ 11

Media zero

Media diversa da zero

Trend deterministico

Phillips-Perron Test

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 -2,2377 0,3026 -0,92 0,3142 -19,9892 0,0087 -3,27 0,0187 -28,5602 0,0073 -3,87 0,01692 -2,8777 0,2422 -1,08 0,2533 -24,1596 0,0028 -3,58 0,0078 -34,5614 0,0016 -4,24 0,00563 -3,0961 0,2249 -1,12 0,2358 -25,6835 0,0018 -3,68 0,0057 -36,6041 0,0009 -4,35 0,00394 -2,9662 0,235 -1,1 0,2461 -25,0069 0,0022 -3,64 0,0066 -35,3335 0,0013 -4,28 0,00495 -2,567 0,2696 -1 0,281 -22,6291 0,0042 -3,47 0,0108 -31,4953 0,0035 -4,05 0,00996 -2,0199 0,3269 -0,87 0,3391 -19,3089 0,0105 -3,22 0,0216 -26,2198 0,0131 -3,71 0,02587 -1,3719 0,4119 -0,67 0,4231 -15,3608 0,0309 -2,9 0,0487 -20,0129 0,0562 -3,27 0,0778 -0,7372 0,5193 -0,43 0,5233 -11,496 0,0858 -2,55 0,106 -13,948 0,2028 -2,77 0,21049 -0,1922 0,6375 -0,14 0,6333 -8,1979 0,1979 -2,22 0,2004 -8,7635 0,5086 -2,27 0,444210 0,1732 0,7216 0,18 0,736 -6,0138 0,3376 -1,98 0,2957 -5,273 0,7942 -1,89 0,651411 0,3021 0,7536 0,35 0,7849 -5,2959 0,3994 -1,9 0,3321 -3,9861 0,8838 -1,77 0,712812 0,188 0,7252 0,19 0,7411 -6,0772 0,3325 -1,99 0,2926 -4,9252 0,8205 -1,86 0,6702

TrendMedia nulla Media non nulla

Augmented Dickey-Fuller Test

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau F Pr<F Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 -72,7677 0,001 -6,05 <.0001 18,34 0,001 -7,4985 0,0562 -1,86 0,06052 -111,299 0,0001 -5,89 <.0001 17,34 0,001 -5,451 0,1059 -1,52 0,11943 -98,0749 0,001 -4,87 0,0002 11,89 0,001 -2,6641 0,2606 -1 0,28244 -69,2091 0,0009 -3,97 0,0024 7,91 0,001 -1,3736 0,4116 -0,67 0,42625 -33,7603 0,0009 -3,01 0,0379 4,59 0,0573 -0,5207 0,5637 -0,34 0,55886 -20,4503 0,0076 -2,42 0,1382 3,01 0,3128 -0,1954 0,6367 -0,16 0,62637 -5,9217 0,3443 -1,46 0,5501 1,39 0,7202 0,3338 0,7615 0,46 0,81178 -2,8661 0,6682 -1,04 0,7362 1,15 0,7784 0,4475 0,7906 0,86 0,89329 -0,8965 0,8935 -0,58 0,8683 2,08 0,5453 0,5502 0,8164 1,79 0,981710 -0,5082 0,9248 -0,52 0,8823 4,96 0,0426 0,5915 0,8265 2,91 0,999111 -0,3207 0,9376 -0,39 0,906 5,76 0,0209 0,5761 0,8227 3,19 0,999612 -0,9068 0,8925 -0,66 0,8499 2,3 0,4917 0,5628 0,8194 1,82 0,9831 -124,12 0,0001 -7,65 <.0001 29,36 0,0012 -652,237 0,0001 -8,4 <.0001 35,33 0,0013 355,9039 0,9999 -7,98 <.0001 31,89 0,0014 130,3873 0,9999 -7,84 <.0001 30,74 0,0015 86,616 0,9999 -7,26 <.0001 26,33 0,0016 58,3233 0,9999 -7,46 <.0001 27,83 0,0017 79,0724 0,9999 -5,01 0,0005 12,54 0,0018 166,1523 0,9999 -3,86 0,0175 7,46 0,02479 -23,8325 0,0225 -2,3 0,4268 2,66 0,649710 -6,245 0,7146 -1,43 0,846 1,03 0,96311 -4,2282 0,8682 -1,2 0,9034 0,73 0,9912 -18,4857 0,0768 -1,9 0,6449 1,82 0,8136

Trend

Media nullaMedia non nulla

Phillips-Perron Test della differenza

TrendMedia nulla Media non nulla

Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau1 -107.582 0.0001 -11.51 <.0001 -107.583 0.0001 -11.44 <.0001 -107.670 0.0001 -11.38 <.00012 -998.921 <.0001 -11.78 <.0001 -998.947 0.0009 -11.71 <.0001 -999.425 0.0003 -11.64 <.00013 -931.609 <.0001 -12.20 <.0001 -931.655 0.0009 -12.12 <.0001 -931.610 0.0003 -12.05 <.00014 -913.537 <.0001 -12.35 <.0001 -913.595 0.0009 -12.27 <.0001 -913.166 0.0003 -12.20 <.00015 -921.503 <.0001 -12.28 <.0001 -921.557 0.0009 -12.20 <.0001 -920.783 0.0003 -12.13 <.00016 -919.619 <.0001 -12.30 <.0001 -919.668 0.0009 -12.22 <.0001 -918.544 0.0003 -12.15 <.00017 -889.870 <.0001 -12.60 <.0001 -889.902 0.0009 -12.51 <.0001 -888.440 0.0003 -12.45 <.00018 -869.325 <.0001 -12.85 <.0001 -869.327 0.0009 -12.76 <.0001 -867.502 0.0003 -12.71 <.00019 -852.405 <.0001 -13.10 <.0001 -852.368 0.0009 -13.01 <.0001 -850.205 0.0003 -12.96 <.000110 -849.099 <.0001 -13.16 <.0001 -849.020 0.0009 -13.06 <.0001 -846.593 0.0003 -13.02 <.000111 -854.513 <.0001 -13.07 <.0001 -854.393 0.0009 -12.98 <.0001 -851.729 0.0003 -12.93 <.000112 -833.568 <.0001 -13.43 <.0001 -833.413 0.0009 -13.34 <.0001 -830.471 0.0003 -13.30 <.0001

Selezione del modelloAkaike Information Criterion

Schwartz-Bayesian Criterion

)ln()ln(22)ln(2

TnLSBCnLAIC

+−=+−=

Selezione del modello - MINIC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 18,33936 18,32406 18,35161 18,39214 18,40954 18,45078 18,46033 18,45792 18,49985 18,51754 18,5485 18,59322 18,42361 18,38568 18,34 18,38838 18,42574 18,44893 18,49344 18,50361 18,49241 18,53979 18,55481 18,58326 18,62873 18,470442 18,3795 18,33091 18,42776 18,45255 18,48642 18,53114 18,54633 18,53146 18,57996 18,5993 18,62319 18,66717 18,518263 18,36786 18,32993 18,41381 18,45685 18,50493 18,53996 18,53375 18,53547 18,57953 18,58928 18,62743 18,66387 18,532754 18,41624 18,3752 18,4621 18,5036 18,5471 18,56483 18,55144 18,52477 18,56864 18,5677 18,58821 18,63302 18,56655 18,45778 18,41652 18,50608 18,55032 18,59432 18,57588 18,58568 18,56983 18,61526 18,6147 18,63679 18,68068 18,612766 18,47848 18,43611 18,52648 18,5674 18,61332 18,58686 18,58047 18,58904 18,63694 18,65623 18,67776 18,71978 18,660527 18,47668 18,433 18,52503 18,56686 18,59352 18,59735 18,59513 18,62 18,66636 18,68916 18,71861 18,7594 18,647188 18,51644 18,47895 18,56496 18,60817 18,6362 18,64342 18,63644 18,64662 18,65925 18,68925 18,71426 18,75925 18,671949 18,50428 18,47278 18,5514 18,59155 18,62862 18,63662 18,65823 18,67472 18,68928 18,72797 18,75419 18,80003 18,72047

10 18,52877 18,50112 18,57346 18,60388 18,63774 18,63899 18,6433 18,67107 18,67538 18,72278 18,73351 18,78045 18,7364211 18,52002 18,4968 18,56838 18,61338 18,66189 18,64868 18,66258 18,70402 18,72063 18,76841 18,77983 18,82654 18,7803612 18,44605 18,40041 18,46082 18,50636 18,54496 18,59225 18,64094 18,68929 18,70416 18,74169 18,77816 18,82563 18,82871

M A

A R

Modello da stimare

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

13211221112

13211221113121

1321

1221

1312

1221

12

11

1111

−−−−

−−−−−−

++++∆=∆+++=+−−

+++=+−−

++=−−

tttttt

tttttttt

tt

tt

uuuuzzuuuuzzzzuBBBzBBB

uBBzBB

θθθθθθθθ

θθθθθθ

12)1,1,0)(1,1,0(ARIMA

Risultati della stima del modello

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]58,637,2

6,0124,0111 1212tt uBBzBB −−=−−

PREVISIONI

25

50

75

100

125

150

175

200

gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 gen-05 gen-06 gen-07 gen-08 gen-0925

50

75

100

125

150

175

200

Passeggeri Previsione

PREVISIONI

25

50

75

100

125

150

175

200

gen-06 gen-07 gen-08 gen-0925

50

75

100

125

150

175

200

Passeggeri Previsione

Analisi dei residui

Verifica della corretta identificazione e stima del modello

I residui devono essere indipendenti

Test Q di Ljung-Box

Un modello per l’inflazione in Calabria

Inflazione in Calabria

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 gen-05 gen-06 gen-07 gen-080,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

Inflazione (Indice NIC)

Phillips-Perron Test

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 0,2762 0,7474 14,24 0,9999 0,4941 0,9761 1,99 0,9999 -4,5218 0,8497 -1,28 0,8872 0,2762 0,7474 13,31 0,9999 0,49 0,976 1,85 0,9998 -5,4681 0,7797 -1,45 0,84193 0,2762 0,7474 12,83 0,9999 0,4877 0,9759 1,78 0,9997 -6,0828 0,7301 -1,54 0,80874 0,2762 0,7474 12,62 0,9999 0,4868 0,9759 1,76 0,9997 -6,4174 0,7023 -1,59 0,78945 0,2762 0,7474 12,58 0,9999 0,4869 0,9759 1,76 0,9997 -6,5504 0,6912 -1,61 0,78166 0,2762 0,7474 12,54 0,9999 0,4869 0,9759 1,76 0,9997 -6,6896 0,6796 -1,64 0,77327 0,2762 0,7474 12,49 0,9999 0,4868 0,9759 1,76 0,9997 -6,8419 0,6668 -1,66 0,7648 0,2762 0,7474 12,53 0,9999 0,4873 0,9759 1,77 0,9997 -6,8759 0,664 -1,66 0,76199 0,2762 0,7474 12,66 0,9999 0,4883 0,9759 1,8 0,9997 -6,8006 0,6703 -1,65 0,766510 0,2762 0,7474 12,76 0,9999 0,4891 0,9759 1,82 0,9998 -6,7551 0,6741 -1,64 0,769311 0,2762 0,7474 12,86 0,9999 0,4898 0,976 1,85 0,9998 -6,6996 0,6787 -1,64 0,772612 0,2762 0,7474 12,84 0,9999 0,4898 0,976 1,85 0,9998 -6,7604 0,6737 -1,65 0,7689

Augmented Dickey-Fuller Test

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau F Pr<F Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 0,4646 0,9752 1,76 0,9997 32,63 0,001 0,2748 0,747 8,06 0,99992 0,4286 0,974 1,26 0,9984 12,59 0,001 0,2709 0,746 5,01 0,99993 0,3973 0,9729 1,12 0,9975 9,55 0,001 0,2696 0,7456 4,37 0,99994 0,4368 0,9742 1,31 0,9986 9,22 0,001 0,2668 0,7449 4,27 0,99995 0,3828 0,9724 1,24 0,9982 9,72 0,001 0,2672 0,745 4,41 0,99996 0,3911 0,9726 1,19 0,998 7,39 0,001 0,2645 0,7443 3,84 0,99997 0,3189 0,97 0,92 0,9955 6,26 0,0069 0,2654 0,7445 3,55 0,99998 0,3502 0,9712 1,09 0,9973 6,42 0,0032 0,2608 0,7433 3,59 0,99999 0,3789 0,9722 1,34 0,9987 7,17 0,001 0,2562 0,7421 3,77 0,999910 0,4458 0,9744 1,48 0,9992 5,36 0,0277 0,2517 0,741 3,2 0,999611 0,4288 0,9739 1,33 0,9987 4,33 0,0685 0,251 0,7408 2,89 0,99912 0,3662 0,9717 0,95 0,9959 2,97 0,3129 0,2554 0,7419 2,43 0,99631 -4,9726 0,8176 -1,29 0,8842 2,57 0,66392 -11,933 0,2993 -2,13 0,5223 3,31 0,51683 -15,9655 0,1365 -2,26 0,4516 3,39 0,49984 -17,0154 0,1096 -2,17 0,5031 3,43 0,49245 -12,7892 0,255 -1,7 0,7474 2,35 0,70796 -21,9663 0,0366 -1,99 0,5987 2,86 0,60587 -35,6327 0,0012 -2,07 0,5581 2,69 0,64068 -34,9074 0,0015 -1,92 0,6366 2,58 0,66199 -24,6044 0,0195 -1,64 0,7708 2,37 0,704410 556,7908 0,9999 -2,32 0,4182 4 0,37711 56,9493 0,9999 -2,5 0,3298 4,2 0,337112 26,4306 0,9999 -2,8 0,1994 4,54 0,2704

Phillips-Perron Test - ∆p

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 -27,2537 <.0001 -4,17 <.0001 -104,518 0,0001 -9,75 <.0001 -109,43 0,0001 -10,03 <.00012 -29,5241 <.0001 -4,3 <.0001 -112,348 0,0001 -9,83 <.0001 -116,556 0,0001 -10,09 <.00013 -32,1007 <.0001 -4,44 <.0001 -117,635 0,0001 -9,89 <.0001 -120,627 0,0001 -10,13 <.00014 -35,0738 <.0001 -4,59 <.0001 -120,51 0,0001 -9,93 <.0001 -121,985 0,0001 -10,15 <.00015 -37,8507 <.0001 -4,74 <.0001 -121,67 0,0001 -9,95 <.0001 -121,517 0,0001 -10,14 <.00016 -41,1988 <.0001 -4,9 <.0001 -122,924 0,0001 -9,97 <.0001 -121,251 0,0001 -10,14 <.00017 -45,0701 <.0001 -5,09 <.0001 -124,483 0,0001 -9,99 <.0001 -121,371 0,0001 -10,14 <.00018 -48,6093 <.0001 -5,26 <.0001 -124,97 0,0001 -10 <.0001 -120,444 0,0001 -10,13 <.00019 -51,8399 <.0001 -5,41 <.0001 -124,576 0,0001 -10 <.0001 -118,594 0,0001 -10,11 <.000110 -55,4533 <.0001 -5,57 <.0001 -124,618 0,0001 -10 <.0001 -117,264 0,0001 -10,1 <.000111 -58,6348 <.0001 -5,71 <.0001 -124,385 0,0001 -9,99 <.0001 -115,84 0,0001 -10,08 <.000112 -62,5679 <.0001 -5,88 <.0001 -125,389 0,0001 -10,01 <.0001 -115,813 0,0001 -10,08 <.0001

Augmented Dickey-Fuller Test - ∆p

Lags Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau F Pr<F Rho Pr<Rho Tau Pr<Tau1 -65,6134 0,001 -5,58 <.0001 15,59 0,001 -12,8297 0,0115 -2,54 0,01142 -60,0772 0,001 -4,72 0,0002 11,15 0,001 -8,1599 0,046 -1,98 0,04643 -71,7511 0,001 -4,51 0,0004 10,16 0,001 -6,8369 0,0691 -1,8 0,06914 -101,807 0,0001 -4,54 0,0004 10,29 0,001 -5,4244 0,107 -1,54 0,11485 -74,9969 0,001 -3,87 0,0031 7,5 0,001 -3,5158 0,1957 -1,23 0,19946 -58,8108 0,001 -3,54 0,0088 6,28 0,0063 -2,0791 0,3202 -0,89 0,32747 -98,5802 0,001 -3,54 0,0088 6,27 0,0067 -2,1339 0,314 -0,91 0,3228 -995,64 0,0001 -3,67 0,0059 6,74 0,001 -2,3418 0,2918 -0,96 0,30029 -103,024 0,0001 -3,02 0,0365 4,56 0,0543 -1,5485 0,3868 -0,79 0,37110 -63,4326 0,001 -2,66 0,0846 3,56 0,1647 -0,8568 0,4966 -0,52 0,489311 -25,8878 0,0017 -2,19 0,2113 2,53 0,427 -0,0834 0,6621 -0,07 0,659212 -59,1152 0,001 -2,36 0,1548 2,91 0,3297 -0,1431 0,6486 -0,11 0,64491 -72,5765 0,0004 -5,77 <.0001 16,72 0,0012 -70,1754 0,0004 -4,88 0,0006 12,02 0,0013 -94,1114 0,0004 -4,74 0,0011 11,3 0,0014 -153,114 0,0001 -4,7 0,0012 11,26 0,0015 -118,153 0,0001 -4,07 0,0091 8,4 0,00166 -86,16 0,0004 -3,64 0,0311 6,79 0,03767 -231,89 0,0001 -3,71 0,0256 6,99 0,03218 202,9974 0,9999 -3,94 0,0137 7,81 0,01379 1736,52 0,9999 -3,43 0,053 5,88 0,074110 -316,706 0,0001 -3,04 0,1277 4,61 0,255611 -45,3708 0,0004 -2,44 0,3593 2,97 0,58512 -194,227 0,0001 -2,6 0,2824 3,37 0,5033

Correlogramma

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

ACF PACF

Identificazione0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 -12,9349 -12,9029 -12,8912 -12,8787 -12,9705 -12,9311 -12,9092 -12,9448 -12,9199 -12,8854 -12,8475 -12,84351 -12,8984 -12,8641 -12,8549 -12,8468 -12,9312 -12,8924 -12,874 -12,9079 -12,8861 -12,8514 -12,8121 -12,80782 -12,9065 -12,8731 -12,8346 -12,8214 -12,9214 -12,8861 -12,8699 -12,9101 -12,8907 -12,8548 -12,825 -12,80943 -12,8921 -12,8618 -12,8222 -12,7817 -12,8838 -12,8522 -12,8349 -12,8899 -12,8683 -12,8363 -12,7998 -12,7764 -12,9951 -12,9613 -12,9266 -12,886 -12,8464 -12,8138 -12,7949 -12,8557 -12,8319 -12,8051 -12,771 -12,74575 -12,9623 -12,9296 -12,8947 -12,8554 -12,8165 -12,7759 -12,7563 -12,8287 -12,8076 -12,7893 -12,7506 -12,72056 -12,9391 -12,9091 -12,8734 -12,8334 -12,7964 -12,7558 -12,7156 -12,7893 -12,768 -12,7486 -12,7099 -12,68057 -12,9906 -12,9568 -12,9212 -12,8817 -12,8436 -12,8032 -12,7625 -12,7838 -12,7669 -12,7331 -12,6949 -12,67388 -12,9662 -12,9342 -12,9 -12,8596 -12,8209 -12,7809 -12,7408 -12,7667 -12,7366 -12,7005 -12,6659 -12,6429 -12,9284 -12,8943 -12,8594 -12,8191 -12,7804 -12,7404 -12,7003 -12,7327 -12,703 -12,7521 -12,7158 -12,7364

10 -12,8937 -12,8569 -12,8267 -12,786 -12,7469 -12,7062 -12,6663 -12,6956 -12,6691 -12,7209 -12,6827 -12,703511 -12,8635 -12,8254 -12,7915 -12,7513 -12,7135 -12,6728 -12,6321 -12,6659 -12,6402 -12,7182 -12,6781 -12,666912 -12,8469 -12,8132 -12,777 -12,738 -12,7125 -12,6757 -12,6351 -12,648 -12,6227 -12,7078 -12,6682 -12,6589

AR

MA

p q BIC p q BIC

1 1 -12,8641 1 1 -12,86412 0 -12,9065 0 2 -12,89120 2 -12,8912 4 3 -12,88611 8 -12,6402

SCAN ESACF

Stima del modello

112

−++=∆ ttt uup λµ

12 92,00046,0 −−+=∆ ttt uup

Le previsioni del modello stimato

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

gen-00 gen-01 gen-02 gen-03 gen-04 gen-05 gen-06 gen-07 gen-08 gen-091,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Inflazione effettiva Inflazione stimata