MicroeconomiaCorso D

John Hey

Giovedì 15 maggio 2008

• Esercitazione 8 con la Bella Anna.• Il resto del Capitolo 24.• Capitolo 25.

• 3 settimane rimangano.• Dopo il periodo dell’insegnamento e prima degli esami,

vorrei proporre una festa per festeggiare la fine del corso.

• La settimana del 9 o 16 giugno?• Organizzatore?• Comprerò una birra per tutti …• … con i soldi di Daniele!

Capitoli 23, 24 e 25

• SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO

• Capitolo 23: Il vincolo di bilancio.• Capitolo 24: Il modello di Utilità Attesa.• Capitolo 25: Scambio nei Mercati

Assicurativi.

• (cf. Capitoli 20, 21 e 22)

Capitolo 24

• Capitolo 24 è abbastanza difficile.• Non dovete sapere il dettaglio...• ...solamente i principi.• L’utilità di una lotteria che da c1 con

probabilità π1 ed da c2 con probabilità π2 e data da…

... U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)• Questo è il modello di Utilità Attesa.

Capitolo 24

• Notazione:• m1 e m2: i redditi nei due stati del mondo.• c1 e c2: i consumi nei due stati del mondo.• Bene 1: reddito contingente allo stato 1.• Bene 2: reddito contingente allo stato 2.• p1 e p2: i prezzi dei due beni.• Per ogni unità del bene i che hai comprato

ricevi un reddito 1 se stato i accade.• Per ogni unità del bene i che hai venduto

paghi un’ammontare 1 se stato i accade.

Capitolo 24

• Il vincolo di bilancio in un mercato assicurativo con prezzi p1 e p2 e dato da...

p1c1 + p2c2 = p1m1 + p2m2

• Il mercato è perfetto se abbiamo

p1 = π1 ed p2 = π2

• Quindi il vincolo di bilancio in un mercato perfetto è dato da…

π1c1 + π2c2 = π1m1 + π2m2

• Notate: l’inclinazione è pari a -π1/π2

Ricordate questa scommessa?

• Venderò questa scommessa:• Lanciamo una moneta...

... se esce testa io ti pago 100 euro

... se esce croce io ti pago 0 euro• Facciamo un’asta (“English Auction”) – lo

studente che paga piu degli altri vincerà – e io faro la scommessa con lui o lei.

• La scomessa ha mostrato la tua attitudine al rischio e una parte della tua funzione di utilità.

Il Modello di Utilità Attesa

• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2).

• … dove (c1,c2) indica un paniere rischioso che da c1 con probabilità π1 e c2 con probabilità π2.

• Ovviamente importante è la funzione u(.).• Varia da individuo a individuo.• Troviammo questa funzione per uno studente.• Fissiamo u(0) = 0 e u(100) = 1.• (Utilità è come la temperatura….)

La funzione di utilità di Federica

• Fissiamo u(0) = 0 e u(100) = 1.• Usiamo la notazione (vedete Esercitazione 8)

[x,y] per indicare una lotteria che da x con probabilità 0.5 e y con probabilità 0.5.

• Federica dice che lei è indifferente fra €10 con certezza e la lotteria [€0,€100].

• Questa lotteria da utilità 0 con probabilità 0.5 e da utilità 1 con probabilità 0.5.

• La lotteria quindi ha utilità attesa = 0.5• Quindi per Federica u(€10) = 0.5.

La funzione di utilità di Federica

• A questo punto per trovare il valore di x tale che u(x) = 0.25, usiamo la lotteria [€0,€10]. Perché?

• Questa lotteria da a Federica utilità 0 con probabilità 0.5 e da utilità 0.5 con probabilità 0.5.

• La lotteria quindi ha utilità attesa per Federica = 0.25.

• Federica dice che lei è indifferente fra €1 con certezza e questa lotteria [€0,€10].

• Quindi per Federica u(€1) = 0.25.

La funzione di utilità di Federica

• A questo punto per trovare il valore di x tale che u(x) = 0.75, usiamo la lotteria [€10,€100]. Perché?

• Questa lotteria da a Federica utilità 0.5 con probabilità 0.5 e da utilità 1.0 con probabilità 0.5.

• La lotteria quindi ha utilità attesa per Federica = 0.75.

• Federica dice che lei è indifferente fra €20 con certezza e questa lotteria [€10,€100].

• Quindi per Federica u(€20) = 0.75.

Altri punti?

• u(0)=0 u(1)=0.25 u(10)=0.5 u(20)=0.75 u(1)=1• x tale che u(x)=1/8 è dove Federica …• … è indifferente fra €x e [€0,€1].• x tale che u(x)=3/8 è dove Federica …• … è indifferente fra €x e [€1,€10].• x tale che u(x)=5/8 è dove Federica …• … è indifferente fra €x e [€10,€20].• x tale che u(x)=7/8 è dove Federica …• … è indifferente fra €x e [€20,€100].

Per trovare la funzione di utilità di Z

• Il Modello: U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)• Z è indifferente fra una lotteria (che da €0 con

probabilità 0.5 e €100 con probabilità 0.5) e €??? con certezza. (Diciamo che ??? è l’Equivalente Certo della lotteria per Z.)

• Quindi per Z, U(0,100) = U(???).• Quindi con il Modello di Utilità Attesa• 0.5u(0) + 0.5 u(100) = u(???)• Ma abbiamo fissato u(0) = 0 e u(100) = 1.• Possiamo dedurre che u(???) = 0.5 per Z.• Abbiamo trovato un terzo punto sulla funzione.

Per trovare altri punti

• Ripetiamo questo processo.• Sappiamo che u(0) = 0 e u(???) = 0.5.• x tale che u(x) = 0.25 è l’ammontare per cui Z è

indifferente fra la 50-50 lotteria (0,???) e x con certezza.

• x tale che u(x) = 0.75 è l’ammontare per cui Z è indifferente fra la 50-50 lotteria (???,100) e x con certezza.

• Ecc ecc• Vedete Esercitazione 8.

Un individuo neutrale al rischio?

• u(€0) = 0 e u(€100) = 1• E indifferente fra €50 e [€0,€100]• u(€50)=0.5• E indifferente fra €25 e [€0,€50]• u(€25)=0.25• E indifferente fra €75 e [€50,€100]• u(€75)=0.75• Poi la sua funzione è lineare.

Notate che la forma della funzione è importante

• Se u(.) è concava l’individuo è avverso al rischio.

• Se u(.) è lineare l’individuo è neutrale al rischio.

• Se u(.) è convessa l’individuo è propenso al rischio.

• Ovviamente la funzione può essere concava in parte e convessa in altre parti.

Il Modello di Utilita Attesa

• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)• Una curva di indifferenza è data da

π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante• Se la funzione u(.) è concava

(lineare,convessa) le curve di indifferenza nello spazio (c1,c2) sono convesse (lineari, concave).

• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza sulla retta di certezza = -π1/π2

Neutrale al rischio

• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)

• u(c)= c : la funzione di utilità è lineare• Una curva di indifferenza è data da

π1 c1+ π2 c2 = costante

• Quindi le curve di indifferenza nello spazio (c1,c2) sono lineari.

• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza = -π1/π2

Avverso al rischio

• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)

• u(.) è concava• Una curva di indifferenza e’ data da

π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante

• Quindi le curve di indifferenza nello spazio (c1,c2) sono convesse.

• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza sulla retta di certezza = -π1/π2

Propenso al rischio

• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)

• u(.) è convessa• Una curva di indifferenza e’ data da

π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante

• Quindi le curve di indifferenza nello spazio (c1,c2) sono concave.

• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza sulla retta di certezza = -π1/π2

La Funzione di Utilita’ – due possibilita’

• avversione assoluta al rischio costante: u(c) = A – B exp(-RAc) dove RA e’ l'indice di avversione assoluta

al rischio.

• avversione relativa al rischio costante: u(c) = A + B c(1-RR)

dove RR e’ l'indice di avversione relativa al rischio.

L’Equivalente Certo

• Considerate la lotteria (30,70) ognuno con probabilità 0.5.

• L’equivalente certo, EC, è definito da:

• u(EC) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)

• u(EC) = 0.5 u(30) + 0.5 u(70)• Dal grafico in Maple possiamo vedere che EC =

44.33.• L’individuo considera la lotteria e l’equivalente

certo equivalente.

Il Premio per il Rischio

• Il Premio per il Rischio e’ definito da:• Premio = Valore atteso della lotteria –

l’equivalente certo.• Per l’esempio• Il Premio = 50 – 44.33 = 5.67• Il premio dipende dall’avversione al rischio

dell’individuo e il rischio.• L’individuo pagherebbe al massimo il premio per

evitare il rischio.

La concavità indica l’avversione al rischio

• Con il Modello di Utilità Attesa:• Se la funzione u(.) è concava l’individuo è

avverso al rischio.• La più concava la funzione il più avverso

al rischio – quindi il più basso l’equivalente certo e il più grande il premio per il rischio – e più convesse le curve di indifferenza.

• (Notate: se un individuo è neutrale al rischio il suo premio per il rischio è zero.)

Riassunto

• Un individuo avverso al rischio in un mercato assicurativo perfetto sempre sceglie assicurazione completa.

Capitolo 24

• Arrivederci!