METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

1° LEZIONE

ORARIO (1) Mese Giorno Ore

Febbraio 29 9-11

Marzo 1 8-10

Marzo 7 9-11

Marzo 8 8-10

Marzo 10 8-10

Marzo 14 8-11

Marzo 15 8-10

Marzo 17 8-10

Marzo 21 8-11

Mese Giorno Ore

Marzo 22 8-10

Aprile 4 9-11

Aprile 5 8-10

Aprile 7 8-10

Aprile 21 8-10

Maggio 9 9-11

Maggio 10 8-10

Maggio 16 9-11

Maggio 17 8-10

ORARIO (2) Mese Giorno Ore

Febbraio 29 9-11

Marzo 1 8-10

Marzo 7 8-11

Marzo 8 8-10

Marzo 14 8-11

Marzo 15 8-10

Marzo 21 8-11

Marzo 22 8-10

Mese Giorno Ore

Aprile 4 8-11

Aprile 5 8-10

Aprile 7 8-10

Aprile 21 8-10

Maggio 9 8-11

Maggio 10 8-10

Maggio 16 8-11

Maggio 17 8-10

PROGRAMMA DEL CORSO

• Modulo 1: La matematica come attività 1. Il ruolo del gioco nell'apprendimento 2. Il percorso dall'osservazione alla definizione 3. Dal ragionare al progettare 4. La simbolizzazione 5. Il ruolo dell'errore nell'apprendimento

(tale modulo verrà ‘spalmato’ lungo tutto il corso)

• Modulo 2 : I numeri naturali 1. Sistemi di numerazione. La notazione posizionale. Sistemi di numerazione a base diversa da 10. 2. Le operazioni con i numeri naturali.

• Modulo 3: Numeri decimali e frazioni 1. Frazioni e percentuali; numeri decimali 2. I problemi

• Modulo 4 - Spazio e figure 1. Il software GeoGebra (verrà trattato nella prima parte del corso la prima ora del lunedì)

2. Geometria piana: figure geometriche. Misure di lunghezze e superfici piane. 3. Geometria solida. 4. Trasformazioni geometriche e relative applicazioni

• Modulo 5 - Relazioni, dati e previsioni 1. Relazioni e loro rappresentazione; uso del foglio elettronico 2. Dati e previsioni.

Per ogni argomento:

a) Rivedere ed approfondire le conoscenze

b) Esplicitare i passi logici, concettuali, metodologici

c) Fornire esempi di strumenti didattici: materiali, giochi, tecniche, schede, esercizi….

DOMANDE SUL PROGRAMMA • Percentuali

• Probabilità

• Linguaggio

• Trasformazioni geometriche

ESAME 1) Prova scritta sui contenuti del Corso: esercizi, test a risposta

multipla, domande a risposta aperta. Ovviamente l’esame viene superato se si ottiene il punteggio di almeno 18/30

2)Verifica intermedia (facoltativa): a) Prova scritta sui moduli 2 e 3 ; se superata la prova finale sarà sul

resto del programma b) Verifica dell’apprendimento di GeoGebra

Il lavoro verrà valutato con un punteggio da 1 a 4; tale punteggio si aggiungerà al risultato complessivo (se maggiore o uguale a 18). (si può sostenere solo la parte a), solo la b) o entrambe)

Per entrambe le prove la valutazione complessiva sarà ottenuta dall'analisi dei seguenti indicatori: - conoscenza dei contenuti del corso - correttezza e completezza nella risoluzione e nell'esposizione - capacità di rielaborazione dei contenuti appresi

LA MATEMATICA E’

UNA ATTIVITA

Hans Freudenthal matematico e studioso di Didattica della Matematica

Il valore che si attribuisce ai discenti

come esseri umani determina il modo in

cui ci si aspetta che essi imparino la loro

matematica: con libertà oppure da

schiavi, guidati oppure imbrigliati.

(Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans

Freudenthal )

La matematica cerca e chiede le ragioni……: la certezza deve essere cercata e garantita, ed in matematica ciò si ottiene con una attività mentale del tutto particolare. Ed è questa attività mentale, piuttosto che i contenuti, che caratterizza la matematica come il campo in cui essa può essere esercitata nel modo più adeguato ed efficiente.

(Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans Freudenthal )

LE AZIONI DEL FARE MATEMATICA (La matematica e la realtà: Raffaella Manara)

•GIOCARE

•OSSERVARE

•DESCRIVERE

•DEFINIRE

•RAGIONARE

• IMMAGINARE

• SIMBOLIZZARE

•PROGETTARE

• SBAGLIARE

•RICORDARE

GIOCARE

«Il gioco come tale oltrepassa i limiti dell’attività puramente biologica; è una funzione che contiene un senso. Al gioco partecipa qualcosa che oltrepassa l’immediato istinto a mantenere la vita, e che mette un senso nell’azione del giocare. Ogni gioco significa qualche cosa»

(Homo ludens, J.Huizinga)

GIOCARE

• Nell’infanzia l’apprendimento del bambino è concreto e il gioco ne è uno strumento privilegiato

• Giocare non è un contenitore per evitare la noia, è il modo con cui il bambino entra in rapporto con la realtà, la comprende e la rielabora

IL PENSIERO SIMBOLICO

• Il gioco presuppone l’ingresso in un mondo di fantasia, richiede una «trasfigurazione» della realtà con la peculiare possibilità di cogliere nelle cose nuovi nessi e significati

• Tale trasfigurazione della realtà è la radice della funzione simbolica senza la quale non ci sarebbero né l’arte, né la scienza.

GIOCARE

GIOCO E LINGUAGGIO

Il gioco stimola l’acquisizione del linguaggio • Il bambino usa la parola perché essa corrisponde a qualcosa di

concreto, fino ad inventare parole nuove, perfette sintesi di segno e significato ( Il fermaforo, il vestitaio…)

• Il linguaggio del bambino è impregnato di metafora, che rivela la possibilità di attribuire alle parole un senso sommerso, eppure «reale» («Papà, vengo a farmi cucciolare da te»)

• Nel gioco il bambino usa le parole degli adulti, appropriandosi così in modo nuovo della lingua e dei suoi significati

SPAZIO E TEMPO

«Facciamo che io ero la mamma….»

L’uso dell’imperfetto esprime linguisticamente la distinzione che il bambino fa tra lo spazio e il tempo del gioco e lo spazio e il tempo reale

L’acquisizione della consapevolezza dello spazio e del tempo è una funzione importante nello sviluppo della razionalità

GIOCARE

LA RIPETIZIONE DELL’ATTO • Riprodurre la stessa azione, ascoltare le stesse parole o

le stesse fiabe, rivedere gli stessi film, continuare a lanciare gli oggetti dal seggiolone: quello che a noi appare noioso o anche fastidioso è una necessità per il bambino.

• La ripetizione dell’atto serve al bambino per elaborare l’esperienza che sta facendo secondo i propri tempi e le proprie modalità

• Dal punto di vista del bambino ogni azione ha un suo senso proprio, il gesto successivo non è lo stesso del precedente; la ripetizione termina quando il bambino ha assimilato tutto il senso che può venire dall’azione stessa.

GIOCARE

LA RAPPRESENTAZIONE

I bambini non raccontano, ma mostrano, mettono in scena; essi sanno riprodurre i gesti, gli atteggiamenti, le funzioni.

Rappresentando un ruolo nell’occasione del gioco, essi capiscono la funzione del personaggio che interpretano e cercano di assimilarne le ragioni.

Attraverso questo, come anche attraverso il disegno, si avvia il passaggio alla rappresentazione simbolica

GIOCARE

IL PENSIERO STRATEGICO Scrive Huizinga che il gioco è un atto libero, una occupazione volontaria, che tuttavia impegna in maniera assoluta … «Entro gli spazi destinati al gioco domina un ordine proprio e assoluto. Ed ecco qui un nuovo e più positivo segno del gioco: esso crea un ordine, è un ordine» • Il gioco necessita di regole che devono essere

formulate e poi rispettate. • Quando il gioco è connesso alla competizione

conduce alla necessità di elaborare strategie di comportamento.

• Ciò contribuisce alla formazione del pensiero strategico, caratterizzato da un grande uso della ragione.

GIOCARE

PER CONCLUDERE

• Molte caratteristiche del pensare e dell’agire razionale sono presenti nel gioco, anche nelle sue forme più semplici e spontanee.

• Nel gioco il bambino conquista ed esprime la forma della sua razionalità nel modo più adeguato al suo essere

• E’ giusto allora considerare il gioco una attività tra le più utili.

GIOCARE

IL GIOCO COME RISORSA • L’adulto può usare consapevolmente il gioco per aiutare a

sviluppare e consolidare quegli elementi di razionalità intrinsecamente connessi all’attività ludica

(azione ludiforme) • Il gioco può essere scelto consapevolmente come

strumento didattico educativo, con la consapevolezza che non è un ‘trucco’ per indorare la pillola, ma un metodo che tiene conto del linguaggio e del livello di percezione a cui il bambino può pienamente accedere

• Con il gioco è possibile apprendere in una situazione meno rischiosa e meno soggetta a frustrazioni rispetto a quelle che si presentano nella realtà.

MATEMATICA E GIOCO I concetti matematici trovano la loro origine nelle esperienze percettive, attraverso le quali il bambino può osservare, indagare la natura dello spazio intorno a sé, acquisire l’idea del contare. Tali esperienze e la loro rielaborazione interiore, che avvengono prevalentemente nella forma del gioco, sono il retroterra di qualunque apprendimento formale successivo. Domanda: quali giochi sono più adatti per insegnare la matematica o, più in generale, per insegnare a ragionare? Due possibilità: a)Giochi senza esplicito contenuto matematico, ma che influiscono sulla formazione dei concetti matematici. b)Giochi di matematica veri e propri, che hanno come oggetto numeri, figure…….

a) Si possono considerare ‘intelligenti’ quei giochi che si basano sull’osservazione, sulla riflessione, sull’associazione di idee, che richiedono strategie

- giochi linguistici, indovinelli, anagrammi, sciarade

- giochi in cui i bambini stabiliscono o modificano regole

- scatole di costruzioni, Lego, Meccano, Geomag…

- giochi di carte, scacchi, dama…

- battaglia navale

- …..

GIOCARE

GIOCARE

b) -Tombola delle tabelline - giochi con le simmetrie - quadrati magici - sudoku - gare di matematica -….. Nel gioco si può spezzare il circolo vizioso regola-applicazione, problema-schema risolutivo che avvilisce l’apprendimento matematico ad addestramento e si possono reintrodurre elementi che non dovrebbero mai mancare, quali creatività, intuizione, prefigurazione, competizione, elementi che contribuiscono a rendere l’attività matematica interessante e piacevole.

Proviamo ad esaminare qualche gioco per riconoscere quali funzioni del pensiero contribuisce a sviluppare.

Pensiero simbolico

Spazio e tempo

Pensiero strategico

Rappresentazione

Un due tre…stella

X X

Fazzoletto

X X

Battaglia navale

X X X X

Giochi con le costruzioni

X X X

I NUMERI NATURALI

Parte prima:

• Sistemi di numerazione.

• La notazione posizionale.

• Sistemi di numerazione a base diversa da 10.

Il numero è un concetto astratto espresso da:

A) le parole numerali (uno, due…..,primo…..,coppia….)

B) i simboli numerali (cifre indo- arabe)

Quali siano le parole e i simboli non è fatto assolutamente secondario per comprendere il concetto di numero e per operare con esso

Esempi:

•Undici, dodici, tredici …… diciassette, diciotto….

•Numeri romani

Per cosa si usa il numero naturale

•Per esprimere quantità: approccio cardinale

•Per mettere in sequenza: approccio ordinale

•Per misurare: approccio fisico-geometrico

La scrittura posizionale dei numeri

Il nostro sistema di numerazione si dice

posizionale decimale

• decimale perché le cifre sono dieci

• posizionale perché ogni cifra del numero assume un

valore in funzione della “posizione”.

Es.: 6743

6 7 4 3

migliaia centinaia decine unità

Ogni numero, quindi, viene espresso da più cifre affiancate, ciascuna delle quali ha peso diverso a seconda della posizione che occupa.

Il peso di ciascuna cifra è espresso da una potenza che ha per base la base del sistema, quindi 10, e per esponente la posizione della cifra rispetto alla prima cifra di destra che ha posizione 0.

cioè: 6743=𝟔 × 𝟏𝟎𝟑 + 𝟕 × 𝟏𝟎𝟐 + 𝟒 × 𝟏𝟎𝟏 + 𝟑 × 𝟏𝟎𝟎

(scrittura polinomiale del numero)

Quindi:

• il valore associato a ciascuna cifra è dato dal prodotto del peso per il numero della cifra

• il valore associato al numero è dato dalla somma del valore di ciascuna cifra.

Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini sono raggruppati di tre in tre (unità, decine e centinaia) formando le classi, che assumono nomi particolari (unità, migliaia, milioni, miliardi).

Dieci unità di un ordine formano l’unità dell’ordine successivo.

N.B.: con lo stesso metodo si può scrivere un numero in qualunque base

miliardi milioni migliaia unità

c d u c d u c d u c d u

La numerazione romana

Il sistema di numerazione romano è un sistema di tipo additivo, dove ad ogni simbolo è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli.

Al termine della loro evoluzione, i simboli di questo sistema di numerazione,

La numerazione romana: le regole

• All'interno di un numero romano i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti consecutivamente, di norma, al massimo tre volte, mentre i simboli V, L e D non possono essere mai inseriti più di una volta consecutiva. Esistono, però, anche forme con quattro simboli, come ad esempio il quattro IIII, che viene riportato in alcune epigrafi antiche del Lazio (come ad esempio nei 76 degli 80 ingressi del Colosseo destinati al pubblico) e dell'Etruria (soprattutto) ed in altre zone. Va comunque sottolineato che alcune epigrafi ritrovate a Pompei presentano il quattro nella forma medioevale IV.

• Una sequenza (ovvero una stringa) di simboli che non presenta mai valori crescenti denota l'intero ottenuto sommando i valori dei simboli indicati (principio di sommazione per giustapposizione); esempi :

II = 2, XI = 11, XVIII = 18, CXV = 115, DLII = 552, MMVII = 2007.

La numerazione romana: le regole • Quando si incontra un simbolo seguito da un secondo simbolo

di valore maggiore si ha come risultato la differenza tra i due (principio di differenza); esempi: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.

• Sono accettabili anche stringhe formate da coppie del tipo precedente e simboli, purché si passi da una coppia a una coppia di valore inferiore, da un simbolo a una coppia di simboli entrambi inferiori e da una coppia a un simbolo inferiore di entrambi i membri della coppia.

• Solo I, X e C possono essere usati in senso sottrattivo.

La numerazione romana: le operazioni

• I numeri romani possono essere considerati scritture eleganti, ma sono sostanzialmente inutilizzabili per i calcoli. Il calcolo vero e proprio veniva svolto da uno strumento esteriore come l'abaco.

LO ZERO

«Nella storia della cultura, la scoperta dello zero si ergerà sempre come una delle più grandi conquiste individuali del genere umano» (Tobias Dantzig , matematico americano di origine russa)

Lo zero compare molto tardi rispetto agli altri numeri

- all’inizio è solo un segno per indicare uno spazio vuoto

- poi è una cifra da utilizzare nella scrittura posizionale (Maya, India)

- solo successivamente viene considerato un numero

(Brahmagupta, VII secolo d.C.)

Nell’Occidente lo zero come cifra compare con l’introduzione dei numeri indo-arabi (XIII secolo), ma anche in questo caso solo più tardi viene accettato come un numero a tutti gli effetti.

«( …) per le normali attività quotidiane, lo zero non ci serve affatto. Nessuno va al mercato a comprare zero pesci. Lo zero è in un certo senso il più civilizzato di tutti i numeri cardinali e il suo impiego ci viene imposto dalle esigenze legate all’esercizio di una raffinata razionalità»

(Alfred North Whitehead, cit. in Seife, 2000, pag. 12).

È vero?

Dove e come usiamo lo zero?

• Zero come cardinale: assenza di oggetti

• Zero come ordinale: punto di partenza (vedi il metro, il cronometro….)

• Zero come cifra: essenziale per la notazione posizionale

N.B.: zero non è uguale a niente!!!!! E’ un misconcetto che può creare problemi di apprendimento negli anni successivi alla Scuola Primaria

La superiorità del sistema numerico

posizionale

1)Ciò che rende il nostro sistema superiore agli altri è, in primo luogo, il principio di posizione. Questo principio ha avuto un’importanza enorme nel cammino della civiltà, poiché fornisce l’utile proprietà di rappresentare tutti i numeri, grandi e piccoli, mediante insiemi di pochi simboli diversi tra loro e una pratica agevole di tutte le operazioni aritmetiche.

2) Insieme alla scoperta del principio di posizione, quella dello zero ha rappresentato la tappa decisiva di una evoluzione senza la quale non si potrebbe immaginare il progresso della matematica, della scienza e della tecnica moderne. Anche la “conquista” dello zero, dovuta sempre alla grande civiltà indiana ed alla mediazione araba, è stata una conquista difficile: poiché i numeri erano stati inventati per contare, sembrava assurdo dover introdurre un simbolo per contare “niente”. Tuttavia, la scoperta dello zero ha eliminato le ambiguità nella scrittura dei numeri e implicato una vera rivoluzione nell’arte del calcolo.

«Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo consapevolezza della notazione posizionale»

Quesito INVALSI per la seconda primaria:

Quale tra i seguenti numeri corrisponde a 3 decine e 17 unità?

A. 317

B. 173

C. 47

Solo il 34,8% del campione lo sceglie!

Per capire le difficoltà di un bambino

proviamo a cambiare base