Prof. Francesco Becattini

Meccanica Statistica I

Appunti del corso raccolti da M.Gori,P.Liuzzo Scorpo,M.

Straka

Universita degli studi di Firenze

Indice

Parte I Meccanica statistica all’equilibrio

1 L’operatore densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 L’operatore densita: definizione e proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Appendice: Il processo di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Entropia e secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 L’entropia di Shannon nella teoria dell’informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 L’entropia di Von Neumann in meccanica statistica quantistica . . . . . . . . . . . . . 102.2 Alcune proprieta dell’entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Il principio fondamentale della meccanica statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Costruzione dell’operatore densita per insiemi statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Funzione densita per un sistema isolato: l’insieme microcanonico . . . . . . . . . . . 142.4.2 Funzione densita per l’insieme grancanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.3 L’opeartore densita per l’insieme canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Alcune proprieta della funzione di partizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.1 Appendice: l’interpretazione fisica dei moltiplicatori di lagrange per una %

nell’insieme grancanonico e canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Appendice: il sistema rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Equivalenza degli insiemi statistici nel limite termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Equivalenza dell’insieme canonico e grancanonico nel limite termodinamico . . . . . . . . 21

4 Il limite classico: funzione di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1 Trasformata di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Recupero delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Parte II Meccanica statistica relativistica: introduzione

5 Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Limite termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Meccanica statistica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.1 Fluidodinamica relativistica ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

VI Indice

7 Termodinamica di non equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Parte I

Meccanica statistica all’equilibrio

1

L’operatore densita

1.1 Introduzione

Nella meccanica statistica quantistica si rende necessario introdurre un nuovo formalismo atto adescrivere lo stato di un sistema fisico, rispetto alla consueta notazione di Dirac. La notazione coni bra-ket risulta inadatta a descrivere lo stato stato di sistemi fisici complessi correlati fra loro.Ad esempio, si consideri un sistema fisico composto da due sottosistemi A,B lo stato dei quali erappresentato dai vettori negli spazi di Hilbert HA e HB rispettivamente. Lo spazio di Hilbert chedescrive il sistema A+B e HA ⊗HB ed i vettori di questo spazio hanno la forma:

|ψ〉A+B =∑ij

cij |ψi〉A ⊗ |ψj〉B . (1.1)

Supponiamo a questo punto di voler operare una misura su A; sara quindi necessario introdurre unoperatore OA che agisca sui vettori dello spazio HA. Nel caso si voglia operare sul sistema A + Bmisurando un’osservabile sull’insieme A devo agire attraverso l’operatore OA ⊗ 1A.Il valore d’aspettazione dell’osservabile e dato dall’espressione1:

A+B〈ψ|OA ⊗ 1B |ψ〉A+B =∑i,j,k,l

c∗ijckl B〈ψj |A〈iψ|(OA ⊗ 1B)|ψl〉A|ψk〉B (1.2)

Ricordando che B〈ψ|A〈ψ|(OA ⊗ OB)|ψ〉A|ψ〉B = 〈ψA|OA|ψ〉A〈ψB |OB |ψ〉B si ottiene

A+B〈ψ|OA ⊗ 1B |ψ〉A+B =∑i,j,k,l

clkc∗ij A〈ψi|OA|ψk〉A δjk =

∑i,j,l

cljc∗ij A〈ψi|OA|ψk〉A (1.3)

Ci si puo chiedere a questo punto se sia possibile riprodurre questo risultato considerando l’azionedel solo OA su un opportuno vettore stato di A, ovvero se ∃|ϕ〉A tale che:

A+B〈ψ|OA ⊗ 1B |ψ〉A+B =A 〈ϕ|OA|ϕ〉A (1.4)

Si puo facilmente constatare che cio non e vero in generale, si pensi ad esempio al caso in cui A e Brappresentino due particelle di spin 1/2 e A+B rappresenti lo stato di singoletto di spin per cui si

verifica 〈0, 0|S(A)n |0, 0〉 = 0 mentre 〈1/2,±|S(A)

n |1/2,±〉 6= 0 ∀n.Cerchiamo quindi un metodo che ci permetta di descrivere in modo piu semplice il calcolo del valoredi aspettazione di un’osservabile solo su una parte del sistema.Consideriamo il caso di un sistema isolato il cui stato e rappresentato in uno spazio di Hilbert HA

1 Si e sottointeso per compattezza di notazione ⊗ fra i vettori |ψ〉Ae|ψ〉B

4 1 L’operatore densita

e scorrelato da qualsiasi altro sistema; il valore di aspettazione di OA su uno stato del sistema |ψ〉Aattraverso una base e1, ...en su HA puo essere calcolato con:

〈OA〉 = 〈ψ|OA|ψ〉 =∑ij

c∗i cj〈ei|OA|ej〉 = tr((∑ij

c∗i cj |ej〉〈ei|)OA)

= tr(%OA) (1.5)

Dove abbiamo introdotto l’operatore densita %A che descrive lo stato del sistema A e la cui espres-sione e data da:

%A =∑ij

c∗i cj |ej〉〈ei| (1.6)

Poiche in questo caso l’operatore densita e stato costruito a partire da una base ortonormale di statidel sistema A, che abbiamo considerato isolato, lo stato del sistema e detto puro. Percio si dimostrache l’operatore e un proiettore, ovvero soddisfa alla condizione:

%2 = % (1.7)

Volendo estendere il concetto di operatore densita al sistema A + B, procediamo in modo analogoal caso precedente:

〈OA ⊗ OB〉 =∑i,j,k,l

cklc∗ijB〈ej |A〈ei|(OA ⊗ OB)|ek〉A| el〉B (1.8)

= tr((∑i,j,k,l

cklc∗ij |ek〉A|el〉BB〈ej |A〈ei|)OA ⊗ OB

)tr(%(OA ⊗ OB)

)= trAtrB

(%(OA ⊗ OB)

)Dove abbiamo definito,anche in questo caso, un’operatore densita :

% =∑i,j,k,l

cklc∗ij |ek〉A|el〉BB〈ej |A〈ei| (1.9)

che rappresenta uno stato puro del sistema A+B. In questo modo, volendo considerare il valore diaspettazione di un’osservabile OA solo sulla parte A del sistema, potremo operare nel modo seguente:

〈OA ⊗ 1B〉 = trAtrB(%(OA ⊗ 1B)

)= trA

(trB(%OA ⊗ 1B)

)= trA(ˆ%AOA) (1.10)

Dunque, lo stato di un sistema A correlato con un’altro sistema, e descritto da un operatore densitaˆ%A = trB(%) del sistema A. Da cio segue che, in generale, ˆ%A 6= %A; in tal caso si dice che l’operatorerappresenta uno stato misto del sistema e si verifica che ˆ%2A 6= ˆ%A.Possiamo a questo punto dimenticare la descrizione di uno stato fisico determinata dal formalismobra-ket, e definire assiomaticamente le proprieta che richiediamo ad un operatore densita affinchequesto descriva lo stato di un sistema fisico, compatibili con le definizioni che abbiamo adottato in .

1.2 L’operatore densita: definizione e proprieta

Definizione Si dice operatore densita un operatore che agisce nello spazio di Hilbert H deglistati del sistema, tale che:

1. %† = % (operatore hermitiano)2. 〈A〉 = tr(%A)3. tr(%) = 14. 〈ψ|%|ψ〉 ≥ 0 ∀|ψ〉 ∈ H5. Nel caso descriva uno stato puro %2 = %

Nel caso descriva uno stato misto si avra in generale %2 6= %

1.2 L’operatore densita: definizione e proprieta 5

Verifichiamo che effettivamente l’operatore densita % cosı definito descrive lo stato fisico di un sistemarappresentato da uno spazio di Hilbert H :

per uno stato puro poiche valgono le proprieta 1. e 5.; quindi ha autovalori λ = 0, 1 (poicheλ2 = λ) da cui dato che tr(%) = 1, esiste una base ortonormale |ei〉 di H sulla quale l’operatoree della forma %puro = |e1〉〈e1|

per uno stato misto l’operatore densita puo essere rappresentato, su un’opportuna base di Hl’operatore densita e della forma %misto =

∑i pi|ei〉〈ei| dove p1, ..., pn ≥ 0 e poiche

∑i pi = 1 ne

segue che p2i ≤ pi.

Osservazione E da notare che lo stato puro puo essere descritto come uno stato misto in cuipi = δi,1.

Come possiamo interpretare i coefficienti pi? Consideriamo il valore di aspettazione di OA sullostato A correlato con B:

〈OA〉 = trA

(trB(%(OA ⊗ 1B)

))= trA(

∑i

pi|ei〉〈ei|OA) =∑i

pi〈ei|OA|ei〉 (1.11)

Il calcolo del valore di aspettazione di un’osservabile su una parte A del sistema A + B si puointerpretare una doppia media sugli stati puri del sistema A:

〈ei|OA|ei〉 e una media quantistica sugli stati puri del sistema A la somma sui termini pi si puo considerare una media statistica dei valori di aspettazione di OA

sugli stati puri di A.

Da questo esempio possiamo concludere che lo stato misto di un sistema entangled equivale ad unamedia degli stati puri dello stesso sistema, pesata attraverso i coefficienti pi. Di cio possiamo dareuna duplice interpretazione sulla natura dell’operatore %:

interpretazione “probabilistica”: la descrizione diA attraverso uno stato misto deriva dall’impossibilitadello sperimentatore di conoscere lo stato puro in cui si trova il sistema; per tenere conto di cio,nel calcolo del valore di aspettazione si somma su tutti gli stati possibili pesati con la loroprobabilita.

interpretazione “statistica”: l’operatore % rappresenta in modo oggettivo lo stato di un sistemaentangled con l’universo; uno stato misto e oggettivamente una sovrapposizione di stati puri delsistema.

L’evoluzione temporale di %

Consideriamo, infine, l’evoluzione nel tempo dell’operatore densita, nell’interpretazione di Heisen-berg. Per questo ricordiamo come evolve nel tempo uno stato puro di un sistema fisico caratteriz-zato da una hamiltoniana H.L’evoluzione di uno stato fisico quantistico e descritto dall’equazionedi Schroedinger:

i∂|ψ〉∂t

= H|ψ〉 (1.12)

Nella rappresentazione classica ∃U operatore unitario tale che |ψ(t)〉 = U(t)|ψ0〉. In particolare:

U(t) = e−iHt nel caso in cui H non dipenda esplicitamente dal tempo;

U(t) = e−i∫ t0H(τ)dτ per cui [H(τ1), H(τ2)]

6 1 L’operatore densita

Dunque avremo che:

%(t) =∑i

pi|ψi(t)〉〈ψi(t)| =∑i

piU(t)|ψi(0)〉〈ψi(0)|U−1(t) = U(t)%(0)U−1(t) (1.13)

Nel caso dell’operatore densita vale dunque la relazione se la hamiltoniana e indipendente dal tempo:

i∂%

∂t= [H, %] (1.14)

1.3 Appendice: Il processo di misura

Allo stato attuale delle conoscenze non e ancora stata formulata una definizione del processo dimisura di un’osservabile, poiche non e definito esattamente cosa sia un rilevatore.Tuttavia, nel contesto da noi elaborato sin qui possiamo cercare dove risiedano le principali difficoltanel definire cosa avviene nel processo di misura di un sistema quantistico.Per l’analisi di un processo di misura e conveniente separare il sistema considerato in due sottosis-temi: il rivelatore e l’oggetto. Nessuno di questi due si trovera in uno stato puro dopo la misura.Per comprendere meglio i postulati delle misure quantistiche e utile decomporre l’esperimento indue stadi: uno durante il quale l’apparato e l’oggetto interagiscono e vengono separati, ed un altroche corrisponde all’osservazione del risultato. Prima del primo stadio l’oggetto e l’apparato nonsono correlati, l’operatore densita del sistema e il prodotto tensoriale degli operatori densita delledue parti. L’interazione cambia l’operatore densita del sistema creando correlazioni tra l’oggetto el’apparato, questa modifica e specifica dell’osservabile che l’apparato deve misurare.Si consideri uno stato puro |ψS〉 di un sistema che interagisca con un rilevatore (ovvero “un oggettocapace di fare una misura”, rigorosamente...). Si puo supporre che il rivelatore si trovi in uno statopuro |ψR〉, anche se questa condizione e praticamente impossibile da riprodurre e persino definirein modo rigoroso. Tale stato e descitto da un numero quantico ra che identifica gli stati puntatori,ovvero quelli che caratterizzano la risposta del rilevatore sulla misura di a, e un set di numeri quan-tici η che risolvono la degenerazione.Nel momento in cui i due sistemi interagiscono il sistema sara descritto da uno spazio di HilbertHS ⊗ HR; su un sistema entangled vogliamo misurare un’osservabile AS i cui autostati puri su Ssono rappresentati da |a, δ〉, dove a sono gli autovalori di AS e δ sono numeri quantici ulteriori cherisolvono la degenerazione.Dunque nell’istante in cui il rivelatore ed il sistema interagiscono lo stato del sistema e rappresentatoda:

|ψ〉 = |ψS〉 ⊗ |ψR〉 =∑a,δ,η

〈a, δ|ψS〉|a, δ〉 ⊗ |ra, η〉 (1.15)

Volendo descrivere il sistema in funzione dell’ operatorie densita del sistema S avremo che, primadell’interazione con il rilevatore, lo stato del sistema S e descritto da:

%Spuro = |ψS〉〈ψS | =∑

a,δ,a′,δ′

ca,δc∗a′,δ′ |a, δ〉〈a′, δ′| (1.16)

Sia ora, 〈a, δ|ψS〉 = ca,δ, allora dopo l’interazione:

%int = (%)∑

a,δ,η,a′,δ′,η′

ca,δc∗a′,δ′ |a′, δ〉|ra, η〉〈ra′ , η′|〈a′, δ′| (1.17)

Per quanto riguarda il sistema S si ha

%S |prima = |ψS〉〈ψS | −→ %S |dopo = trR% =∑rb,η′′

〈rb, η′′|%|rb, η′′〉 (1.18)

1.3 Appendice: Il processo di misura 7

La tracciatura su R seleziona a = a′ e η = η′, per cui

%Sint =∑a,δ,δ′

ca,δc∗a,δ′ |a, δ〉〈a, δ′| (1.19)

Dunque, dal punto di vista dell’operatore densita, l’interazione con il rivelatore diagonalizzal’operatore rispetto agli autostati a,

%Sint =∑a

Pa(%Spuro)Pa dove Pa =∑δ,δ′

|a, δ′〉〈a, δ| (1.20)

cioe il rivelatore risponde alla rivelazione selezionando casualmente a.Per cui, l’operatore densita che descrive tutto il sistema diventa

%int =∑

a,δ,δ′,η,η′

ca,δc∗a,δ′ |a, δ〉|ra, η〉〈ra, η′|〈a, δ′| (1.21)

Si verifica che tr%int = 1:

tr(%int) = tr(∑a

Pa%puroPa) =∑a

tr(Pa%puroPa) =∑a

tr(%puroP2a ) =

=∑a

tr(%puroPa) = tr(%puro∑a

Pa) = tr(%puro) = 1

Si verifica ora che gli autovalori di %int siano non negativi:

〈ψ|%int|ψ〉 = 〈ψ|∑a

Pa%puroPa|ψ〉 =∑a

〈Paψ∗|%puro|Paψ〉 ≥ 0

2

Entropia e secondo principio della termodinamica

Come accennato in precedenza e possibile decrivere lo stato di un sistema, anche entangled,attraverso una sovrapposizione di stati puri pesati con coefficenti pi dei quali abbiamo datoun’interpretazione probabilistica.Da questo tipo di descrizione, nell’ottica dell’interpretazione “probabilistica” dell’operatore densita,siamo interessati a conoscere la quantita di informazione sui microstati di un sistema nel momentoin cui ne studiamo le proprieta macroscopiche. Intuitivamente, potremmo dire che il disordine di unsistema e maggiore allorche ad una stessa descrizione macroscopica del sistema corrispondano unnumero maggiore di stati microscopici con essa compatibili. Questo si traduce, da un certo punto divista, in una perdita di informazione maggiore sui microstati del sistema al crescere del disordinedel sistema stesso.

2.1 L’entropia di Shannon nella teoria dell’informazione

In teoria dell’informazione l’autoinformazione e il contenuto di informazione legato all’uscita diuna variabile casuale. L’autoinformazione di un evento e legata alla probabilita dell’evento stesso:maggiore e la probabilita che l’evento si realizzi, minore e l’autoinformazione contenuta nell’evento.Ad esempio il contenuto di autoinformazione legato all’evento “uscita del numero quattro” nellancio di un dado (p = 1/6) e molto minore del contenuto di autoinformazione legato all’evento“realizzazare un sei al superenalotto”(p w 1.3 · 10−8)...Richiedendo che

l’autoinformazione sia una quantita non negativa un evento certo abbia autoinformazione nulla l’autoinformazione IC di un evento C = A

⋂B, con A e B eventi mutuamente indipendenti sia

data da IC = IA + IB

si ottiene per l’autoinformazione di un evento A con probabilita pAl’espressione:

IA = −log(pA) (2.1)

Dunque, se X e una variabile casuale a valori x1, ...., xN e pi = p(xi) e la funzione di probabilitaassociatasi definisce entropia di Shannon il valore di aspettazione dell’autoinformazione di X ovvero:

SShannon = −N∑i=1

pilog(pi) (2.2)

10 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

Osservazione La funzione di probabilita che massimizza l’entropia e quella che associa una ugualeprobabilita ai valori che puo assume la variabile aleatoria X (si puo verificare massimizzando

l’entropia con vincolo sui coefficienti cpi usando l’equazione, ovvero ∂∂pj

(S + (λ

∑Nj=1 pj − 1)

)= 0

In tal caso l’entropia assume il valore S = logNOsservazione Nel caso la variabile X sia una variabile casuale continua si sostituisce alla somma-toria un integrazione ed alla funzione di probabilita la densita di probabilita.Vediamo come questa formulazione possa essere applicata alla meccanica statistica.

2.1.1 L’entropia di Von Neumann in meccanica statistica quantistica

Il concetto di “disordine” di un sistema statistico, in un’interpretazione “soggettivistica” dell’operatoredensita, e legato alla possibilita di conoscere in quale stato fisico si trovi il sistema: un sistemamacroscopico e tanto piu “disordinato” quanto maggiore e il numero di microstati nei quali essopuo trovarsi. Dunque piu un sistema e disordinato maggiore e la quantita di informazione che rice-viamo (o meglio dovremmo ricevere) nel conscere lo stato quantistico che lo descrive. Ricordandol’espressione per l’operatore densita di uno stato misto puo essere scritta come

% =

N∑i=1

pi |ei〉 〈ei| (2.3)

dove il coefficientie pi rappresentano la probabilita che lo stato si trovi nello stato |ei〉, in analogiacon quanto visto per la teoria dell’informazione, definiamo l’entropia(di von Neumann) come:

S = −tr(%log%) (2.4)

Osservazione Nel caso lo stato descritto dall’operatore densita rappresenti uno stato puro delsistema dall’idempotenza dell’operatore segue

S = −tr(%log%) = −tr(%log%2) = −2tr(%log%) = 0 (2.5)

L’entropia e un’invariante per trasformazioni unitarie U , pooiche la traccia dipende solo dagli auto-valori invarianti per trasformazioni unitarie. Infatti, in modo piu formale, avremo che, sotto trasfor-mazioni unitarie:

% 7−→ U%U−1 (2.6)

e, nel caso in cui l’operatore densita abbia autovalori positivi:

log(%) 7−→ log(U%U−1) = U log(%)U−1 (2.7)

Da cui segue cheS = −tr(%log%) 7−→ −tr(U%U−1U log%U 1) = −tr(%log%) (2.8)

2.2 Alcune proprieta dell’entropia

Nel dimostrare alcune proprieta dell’entropia e utile definire il seguente lemmaLemma Dati una coppia di operatori non negativi (ovvero con autovalori non negativi) X, Y

allora vale la seguente disugualglianza:

tr(XlogY )− tr(XlogX) ≤ tr(Y − X) (2.9)

con l’uguaglianza che vale se e solo se X = Y .Dimostrazione Consideriamo gli autostati di X ed Y tali che X |m〉 = xm |m〉 e Y |q〉 = yq |q〉,trascurando dunque la degenerazione. Avremo, quindi:

2.2 Alcune proprieta dell’entropia 11∑m

〈m| XlogY |m〉 −∑m

xmlogxm =∑m,q

xm| 〈q|m〉 |2logyq −∑m

xmlogxm (2.10)

Poiche∑q | 〈q|m〉 |2 = 1 l’espressione (2.10) diventa∑

m,q

xmlog( yqxm

)| 〈q|m〉 |2 ≤

∑m,q

xm

( yqxm− 1)| 〈q|m〉 |2 =

∑q

yq −∑m

xm = tr(Y − X) (2.11)

c.v.d.Da questo lemma possiamo dimostrare tutta una serie di proprieta dell’entropia:

L’entropia massima in uno spazio di Hilbert N-dimensionale e pari a SMAX = logN ; per di-mostrare tale risultato e sufficiente applicare il lemma che abbiamo dimostrato con X = % eY = I/N ;

0 = −tr(I/N − %) ≥ tr(%log(I/N)

)− tr

(%log%

)= −(tr%)logN + S ⇒ S ≤ logN (2.12)

Nel caso di sistemi non entangled l’entropia e una quantita additiva; in particolare se nel lemmaponiamo X = %A+B e Y = %A ⊗ %B e sfruttando il fatto che

tr(%A+B log(%A ⊗ %B)

)= trAtrB

(%(log%A ⊗ IB)

)+ trAtrB

(%(logIA ⊗ %B)

)(2.13)

troviamo cheS(%A+B) ≤ S(%A) + S(%B) (2.14)

con l’uguaglianza che vale solo se %A+B = %A ⊗ %B ovvero se e solo se A e B non sono entan-gled. Dunque, l’interazione (introducendo una correlazione) riduce l’informazione necessaria aconoscere il sistema.

L’entropia e una funzione concava di %, ovvero ovvero, considerati due operatori densita %1 e %2e un parametro 0 < λ < 1 allora:

S(λ%1 + (1− λ)%2) ≥ λS(%1 + (1− λ)S(%2) (2.15)

tale disuguaglianza si dimostra sostituendo nel solito lemma X = %1 Y = % = λ%1 + (1− λ)%2 esuccessivamente Y = %1 e X = %2.Se consideriamo due stati puri del sistema %1, %2 avremo che S(λ%1 + (1− λ)%2) ≥ 0 L’entropiaaumenta, dunque in seguito all’introduzione di un ulteriore elemento casuale legato al parametroλ.

Osservazione Il processo di misura aumenta l’entropia del sistema, poiche il collasso della funzioned’onda avviene in modo casuale introducendo un’ulteriore indeterminazione ed aumentando quindil’entropia del sistema. Infatti, se consideriamo il processo di misura di un’osservabile con autovaloria avremo che % 7−→

∑a Pa%Pa = %′. Si avra quindi:

S(%′) = −Tr(%′ log %′) = −Tr(∑

a

Pa%Pa log %′). (2.16)

Usando le proprieta di ciclicita della traccia si ottiene

S(%′) = −Tr(%∑a

Pa log %′Pa)

= −Tr(% log %′) (2.17)

Poiche log %′ e diagonale sulla base degli autovalori a. Per cui, posto X = % e Y = %′ ed usando ilsolito lemma, si ottiene S(%) ≤ S(%′)

12 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

2.3 Il principio fondamentale della meccanica statistica

La definizione nei termini che abbiamo dato dell’entropia, permette di descrivere lo stato fisico diun sistema attraverso l’operatore densita, a partire dalla descrizione macroscopica del sistema.

Principio fondamentale della meccanica statistica Fra tutti gli operatori densita atti a de-scrivere lo stato di un sistema, compatibilmente con i dati noti dal punto di vista macroscopico, sisceglie quello che massimizza l’entropia.

E’ importante notare che ogni stato macroscopico del sistema e caratterizzato da una distribuzionedell’energia tra i diversi sottosistemi. Il principio sopra enunciato dice che un sistema per raggiun-gere l’equilibrio statistico passa una serie di stati consecutivi caratterizzati da una distribuzione dienergia sempre piu probabile. Per cui, ricordando la definizione di entropia statistica di Shannon percui la probabilita va come eS dove S e l’entropia del sistema, si puo dire che i processi che avvengonoin un sistema isolato in uno stato di non-equilibrio sono tali che il sistema evolva in maniera continuaattraverso stati ad entropia sempre maggiore fino a raggiungere il massimo possibile corrispondenteall’equilibrio statistico completo.Si osservi che in forza della natura esponenziale della probabilita la diminuzione dell’entropia delsistema (comunque possibile) non puo praticamente essere osservata in natura. Per cui, trascurandole diminuzioni dell’entropia legate a fluttuazioni infinitesime si puo asserire quanto segue: se ad undato istante l’entropia di un sistema isolato e diversa dal suo valore massimo, negli istanti successivil’entropia non decresce, ma aumenta o, nel caso limite, rimane costante.Benche queste osservazioni siano confermate dalle esperienze comuni che si possono fare nella quotid-ianita, ad un’indagine piu approfondita delle leggi fisiche possono venire alla luce delle contraddizioniche non sono state finora superate. Infatti, secondo i risultati della statistica, l’Universo dovrebbetrovarsi in uno stato di equilibrio statistico completo, con questo si intende che dovrebbe essere inequilibrio una qualsiasi sua parte di grandezza arbitraria (finita) il cui tempo di rilassamento e inogni caso finito, ma l’esperienza di tutti i giorni ci convince che le proprieta della natura non hannoniente a che vedere con le proprieta di un sistema all’equilibrio, inoltre i dati astronomici mostranoche lo stesso si ha anche per gran parte dell’Universo osservabile.Si puo risolvere questa contraddizione solo ricorrendo alla relativita generale: i campi di gravitazioneche permeano l’Universo infatti sono causa di una variazione della metrica dello spazio-tempo; ora,nello studio delle proprieta statistiche dei corpi, queste proprieta metriche possono essere consider-ate come condizioni al contorno del sistema che si vuole descrivere, e queste condizioni al contornonon sono stazionarie. E’ evidente che l’affermazione secondo la quale un sistema isolato deve passaread uno stato di equilibrio dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo e valida nel caso dicondizioni al contorno stazionarie, mentre e noto che l’espansione cosmologica sottintende che lametrica e funzione del tempo. Percio, considerato che in relativita generale il mondo intero non puoessere considerato come un sistema isolato nel senso sopra inteso ma come un sistema collocato inun campo gravitazionale variabile, l’applicazione della legge dell’aumento dell’entropia non conducenecessariamente all’equilibrio statistico.Inoltre, costruendo l’insieme statistico attraverso le leggi della meccanica classica (nel caso di ungas si considera che le leggi che governano il moto delle singole particelle costituenti il gas siano leleggi della dinamica: le equazioni di Hamilton), si dovrebbe avere invarianza per inversioni tempo-rali t → −t. Pertanto, se le equazioni sopra citate ammettono un moto, ammetteranno anche unmoto inverso in cui il sistema passa per le stesse configurazioni ma in senso opposto. E’ ovvio chequesta simmetria debba riscontrarsi anche in una statistica basata sulla meccanica classica. Quindi,se e possibile un processo accompagnato dall’aumento dell’entropia del sistema macroscopico iso-lato, deve essere possibile anche il processo inverso in cui l’entropia decresce. Formulando la leggedell’aumento dell’entropia si e parlato della conseguenza piu probabile dell’evoluzione di uno statomacroscopico dato ad un certo istante, ma questo stesso stato deve derivare a sua volta da altri stati

2.4 Costruzione dell’operatore densita per insiemi statistici 13

in seguito a processi che seguono le leggi fisiche; per cui, assumendo la simmetria per inversionetemporale di queste leggi, dato uno stato del sistema al tempo t0 si puo affermare, non solo che laconseguenza piu probabile per gli istanti t > t0 sia l’aumento dell’entropia, ma anche che lo stato inquestione derivi da stati ad entropia maggiore. In altre parole: l’entropia come funzione del tempo,all’istanto t0 in cui si e scelto arbitrariamente lo stato macroscopico, deve trovarsi in un minimo.E’ evidente che questa formulazione non e equivalente alla formulazione dell’aumento dell’entropiaenunciata in precedenza. Per passare da una formulazione all’altra c’e bisogno di introdurre il con-cetto di “osservatore“ che ad un dato istante abbia costruito il sistema in esame facendo perdere disignificato il suo comportamento precedente; e chiaramente innammissibile legare in questo modole leggi fisiche alle proprieta dell’osservatore.Dal punto di vista quantistico la situazione e sostanzialmente diversa. Infatti, nonostante l’equazionedi Schrodinger sia simmetrica per l’inversione t → −t (a condizione di sostituire ψ → ψ∗), la mec-canica quantistica contiene una non equivalenza dei due sensi del tempo derivante dal postulato delcollasso del vettore di stato. Precisamente, se un oggetto quantistico e soggetto a due processi diinterazione A e B, l’affermazione secondo la quale la probabilita di uno o un altro risultato possi-bile del processo B e determinata da un risultato del processo A puo essere vera solo nel caso incui il processo A si sia verificato prima del processo B. Quindi la legge dell’aumento dell’entropiapotrebbe essere l’espressione macroscopica di questa non equivalenza tra i due sensi del tempo. Al-lora dovrebbe esistere una disuguaglianza contenente la costante quantistica , che soddisfacesse leleggi fisiche, giustificando l’esattezza di questa legge. Tuttavia, nessuno e riuscito finora a scoprirein modo convincente un tale legame ed a dimostrarne l’esistenza.

2.4 Costruzione dell’operatore densita per insiemi statistici

Rispetto a quanto stabilito dal principio fondamentale della meccanica statistica, diviene necessariostabilire una procedura che permetta di calcolare la variazione dell’entropia in funzione delle vari-azioni degli operatori di cui e funzione.Tale operazione non e banale poiche, in generale f(A+ δA) 6= f(A) + δAf ′(A) (si pensi ad esempio

a eA+B 6= eAeB). Poiche % ha tutti autovalori positivi con pi ∈ [0, 1], possiamo scegliere un X taleche % = I − X per cui log(1− X) = −

∑n X

n/n In tal caso, si avra che

S(X) = Tr((I − X)

∑ Xn

n

)(2.18)

e quindi

S(X + ˆδX) = Tr((I − X)

∑n

(X + ˆδX)n

n

)− Tr

(ˆδX∑n

X

n

)(2.19)

Poiche, in generale, [X, ˆδX] 6= 0 al prim’ordine in ˆδX si avra

S(I − X − ˆδX) = Tr[(I − X)

∑n

n−1∑k=0

Xn−k−1 ˆδXXk

n

]− Tr

(ˆδX∑n

Xn

n

)+ S(I − X) (2.20)

A causa della presenza di un’operazione di traccia (si sfrutta la ciclicita), tutti i termini nellasommatori

∑k danno lo stesso contributo

S(I − X − ˆδX) =1

n

n−1∑k=0

Tr[(I − X)

+∞∑n=1

ˆδXXn−1]− Tr

(ˆδX∑n

Xn

n

)+ S(I − X) (2.21)

Poiche la somma su n nel primo termine puo essere risommata come serie geometrica si avra

14 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

S(I−X− ˆδX) = Tr[(I−X) ˆδX(I−X)−1

]−Tr

(ˆδX∑n

Xn

n

)+S(I−X) = Tr( ˆδX)+Tr

(ˆδX log(I−X)

)+S(I−X)

(2.22)Risostituendo l’espressione per % troviamo

S(%+ δ%) = −Tr(δ%)− Tr(δ% log %)− S(%) (2.23)

e quindiδS = −Tr(δ%)− Tr(% log %) (2.24)

2.4.1 Funzione densita per un sistema isolato: l’insieme microcanonico

Consideriamo un sistema isolato (ad energia fissata) il cui stato fisico sia descritto da un vettore distato del tipo |ψk〉 = |a1, ...., an, ∆k〉 dove a1, ..., an sono autovalori fissati di n grandezze osservabilicompatibili tra loro e conservate dalla dinamica del sistema tali che [Ai, Aj ] = 0 e [H,A] = 0 mentre∆ rappresenta la degenerazione sugli altri numeri quantici del sistema. Questi vincoli equivalgonoa richiedere che che l’energia si conservi (ad es. A1 = H) e che gli autovalori non a1, ..., an nonfluttuino nel tempo in virtu della conservazione dell’energia.Lo stato |ψk〉 e dunque uno stato puro del sistema. Lo stato con entropia massima e quello cherealizza la condizione S = logN dove N e il numero di stati microscopici compatibili con lo statoin cui sono fissati gli n autovalori ai.

%microcanonico =Pa1,...,an

Tr(Pa1,...,an)=

1

Tr(Pa1,...,an)

N∑i=1

|a1, ..., an, ∆i〉 〈a1, ..., an, ∆i〉 (2.25)

Questa e l’espressione dell’operatore densita in un sistema isolato in cui siano fissati gli autovaloridi un certo numero di osservabili compatibili, ovvero l’insieme statistico cosidetto microcanonico.

2.4.2 Funzione densita per l’insieme grancanonico

Consideriamo adesso un sistema non isolato, ma in connessione con un reservoir esterno. L’hamiltonianache agisce sugli stati del sistema sara, quindi della forma H = H0 +V dove H0 e la hamiltoniana chedescrive le interazioni interne al sistema, mentre V e la parte che descrive il potenziale di interazionefra il sistema ed il reservoir esterno.Vogliamo sottolineare che il reservoir esterno non risponde alle fluttuazioni di S ovvero le condizioniimposte dal reservoir sono fissate e costanti nel tempo. La richiesta di avere un insieme grancanonicoequivale a considerare un set di operatori A1, ...An compatibili tra loro e con la hamiltoniana H0 eimponendo che il loro valore d’aspettazione sullo stato del sistema sia costante nel tempo, ovvero:

[Ai, Aj ] = 0 ∀i, j = 1, ..n

[H0, Ai] = 0 ∀i = 1, ..nddt 〈Ai〉 = d

dt Tr(%A) = 0 ∀i = 1, .., n

(2.26)

Osservazione Se si considera A1 = H allora dalla condizione 〈A1〉 = cost si traduce, nella rappre-sentazione di Heisenberg:

Tr(%[H, A1] +

∂A1

∂t

)= Tr

(%∂A1

∂t

)= 0 (2.27)

Dunque, per avere equilibrio, supposto che ∂H0

∂t = 0, abbiamo che ∂V∂t = 0. In caso contrario possiamo

pensare di studiare l’andamento dell’entropia istante per istante. In particolare, nel caso il reservoirrisponda alle variazioni del sistema S, dovremo considerare un operatore densita della forma:

2.4 Costruzione dell’operatore densita per insiemi statistici 15

%S = TrR %R+S i∂%

∂t= [H, %] (2.28)

In un tal caso l’operatore H e come se non fosse piu hermitiano perche l’evoluzione non e unitarioOsservazione Da notare che poiche in genere si considerano osservabili che non dipendono esplici-tamente dal tempo, l’evoluzione temporale degli operatori Ai e data, in accordo con il teorema diErhenfest, dall’espressione:

id

dtAi = [Ai, V ]. (2.29)

Osservazione L’entropia e stazionaria all’equilibrio stazionario, infatti:

dS

dt= −Tr(

d%

dtlog %)− Tr

(d%

dt

)(2.30)

Assumendo un’evoluzione del tipo id%dt = [H, %] avremo:

dS

dt= −Tr([H, %] log %)− Tr([H, %]) (2.31)

Sfruttando le proprieta di ciclicita della traccia abbiamo che Tr([., .]) = 0; quindi

dS

dt= −Tr(H% log %) + Tr(%H log %) = 0 (2.32)

come segue sfruttando le proprieta di ciclicita della traccia.Affinche l’entropia vari e necessario che idSdt = [H, %] + ∂%

∂t per cui:

dS

dt= −Tr

(∂%∂t

log %)

(2.33)

Determiniamo la forma dell’operatore densita % nel sistema macrocanonico, sfruttando il principiofondamentale della meccanica statistica ricordando di massimizzare l’entropia con i vincoli 〈Ai〉 =Ai. Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, dobbiamo dunque estremare la funzione:

S + vincoli = −Tr(% log %)−∑i

λi(Tr(%Ai)−Ai) + λ0 Tr(%− 1) (2.34)

Abbiamo quindi attraverso la sostituzione % 7−→ %+ δ%

δ(S + vincoli) = −Tr(δ%)− Tr(δ% log %)−∑i

λi Tr(δ%Ai) + λ0 Tr(δ%) = 0 (2.35)

Sfruttando le proprieta di linearita della traccia:

Tr[(−1− log %−∑i

λiAi + λ0)δ%] = 0 (2.36)

Dovendo essere valida per un generico δ% avremo che:

%0 = exp(−∑i

λiAi + (λ0 − 1)I)

(2.37)

Che possiamo riscrivere come:

%0 =e−

∑i λiAi

ZZ = Tr(e−

∑i λiAi) (2.38)

16 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

La funzione Z, media pesata degli stati del sistema, si dice funzione di partizione. Verifichiamo chetale espressione massimizzare effettivamente l’entropia;

S(%0) = −Tr(%0 log %0) =∑i

λi Tr(%0Ai + logZ) (2.39)

Sostituendo in Tr(X log Y )−Tr(X log X) ≥ 0 l’espressione X = % 6= %0 e Y = %0 si dimostra che ladistribuzione %0 in effetti massimizza S(%).Nell’operatore densita compaiono i moltiplicatori di Lagrange che abbiamo introdotto per massimiz-zare l’entropia con gli opportuni vincoli. Dobbiamo adesso trovare il modo di ricavare il significatofisico di questi moltiplicatori in analogia con il caso degli insiemi statistici classici.

2.4.3 L’opeartore densita per l’insieme canonico

Nel caso dell’insieme microcanonico, ovvero per uno sistema in cui siano fissati gli autovalori di unset completo di osservabili, la forma dell’operatore densita e data:

% =Pa1,...,an

TrPa1,...,aN(2.40)

Per un sistema grancanonico, in cui tutte le osservabili son accoppiate con l’esterno, per cui epossibile fissarne solo il valor medio, l’operatore densita sara della forma:

% =1

Ze−

∑Ni=0 λiAi . (2.41)

Possiamo dunque immaginare un sistema in cui alcune osservabili sono accoppiati con l’esternomentre altre sono fissate:

% =1

Ze−

∑mi=0 λiAi Pam+1,...,aN Z = Tr(e−

∑i λiAi Pam+1,..,aN ) (2.42)

un’esempio e l’insieme canonico in cui e fissato il numero di particelle mentre l’energia puo esserescambiata con l’esterno e fluttua attorno ad un valor medio costante.

2.5 Alcune proprieta della funzione di partizione

Notiamo anzitutto la seguente ugualianza, nella quale sfruttiamo [Ai, Aj ] = 0 ∀i, j

Tr(%Ai) = Tr(Aie−

∑j Aj

Z) =

1

ZTr(Aie

−∑j λjAj ) = − 1

Z

∂

∂λiTr(e−

∑λjAj ) =

= − 1

Z

∂Z

∂λi= −∂ logZ

∂λi= 〈Ai〉

(2.43)

Tale uguaglianza e valida all’equilibrio statistico ed offre un metodo attraverso il quale, asseg-nati i paramentri λi, e possible ricavare i momenti primi 〈Ai〉. Invertendo questa relazione, in modoopportuno, e possibile ricavare i coefficienti λi una volta assegnati i 〈Ai〉.

Osservazione Analogamente a quanto si e visto, e possibile trovare un’espressione per i momentisecondi delle osservabili Ai, Aj . Infatti,

∂2Z

∂λiλj=

∂2

∂λi∂λjTr(e−

∑k λkAk) = Tr(AjAie

−∑k λkAk) (2.44)

2.5 Alcune proprieta della funzione di partizione 17

Mentre, per il logaritmo della funzione di partizione si ha:

∂2 lnZ

∂λi∂λj=

∂

∂λi

(1

Z

∂Z

∂λj

)= − 1

Z2

∂Z

∂λi

∂Z

∂λj+

1

Z

∂2Z

∂λi∂λj=

= −〈Ai〉〈Aj〉+ 〈AiAj〉(2.45)

Nel caso in cui i = j avremo che

∂2 logZ

∂λ2i= 〈Ai〉 − 〈Ai〉2 (2.46)

Vediamo quindi trovare un metodo per dare un’interpretazione fisica dei λi; consideriamo l’entropiaS = S(〈A1〉, ..., 〈AN 〉) come funzione di 〈Ai〉:

S = −Tr(% log %) = −Tr(%(−

∑i

λiAi−logZ))

=∑i

λi〈Ai〉+logZ = logZ−∑i

λi∂ logZ

∂λi(2.47)

Passando ai differenziali:

dS = d logZ − d∑i

λi∂ logZ

∂λi=

=∑i

∂ logZ

∂λidλi −

∑i

∂ logZ

∂λidλi −

∑i

λi

(∂ logZ

∂λi

)=

=∑i

λid〈Ai〉

(2.48)

Dunque, all’equilibrio:∂S

∂〈Ai〉= λi (2.49)

Identificando l’entropia S con l’entropia termodinamica calcolata classicamente ed identificando le〈Ai〉 con le grandezze macroscopiche di cui e fissato il valor medio nell’insieme statistico consideratoe possibile ricavare il significato dei moltiplicatori λi.Osserviamo, infine la relazione che intercorre fra l’entropia ed il logaritmo della funzione di par-tizione:

S = logZ −∑i

λi∂ logZ

∂λi(2.50)

d’altraparte avremo che:

logZ = S +∑i

λi∂ logZ

∂λi= S −

∑i

λi〈Ai〉 =

= S −∑i

∂S

∂〈Ai〉〈Ai〉

(2.51)

Dunque, fra logZ e S c’e una trasformata di Legendre.Quanto visto sinora, a rigore, riguarda un insieme statistico per cui l’operatore densita e una fun-

zione delle osservabili Ai attraverso una funzione del tipo e−λiAi ; dobbiamo dunque per esprimere glioperatori di proiezione in una forma analoga a questa. Sfruttando il fatto che il gruppo delle trasfor-mazioni unitarie unidimensionali e associato alle osservabili con spettro discreto o con grandezzeaddittive, possiamo scrivere

18 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

Pai =1

2π

∫ π

−πdϕe−iaiϕeiϕA (2.52)

dove ai e un autovalore dell’operatore Ai. Per dimostrare questa espressione e sufficiente ricordareche, per un operator con spettro discreto vale:

eiϕAi =∑ai

eiϕai |ai〉 〈ai| (2.53)

e, usando la relazione ei2πAi si conclude che P 2ai = Pai . In questo modo e possibile determinare

la funzione di partizione anche per un insieme che abbia fissate alcuni autovalori delle osservabili,mentre di altre osservabili e fissato solo il valor medio( insieme canonico):

Zc = Tr(e−∑i λiAi Pa0) =

1

2π

∫ π

−πϕe−ia0ϕ Tr

(e−

∑i λiAieiϕA0

)︸ ︷︷ ︸Zgrancanonica con λ0=iϕ

=1

2π

∫ π

−πdϕe−ia0ϕZGC(λ1, ..., λN , λ0 = iϕ)

(2.54)

Osservazione Le funzioni di partizione sono funzioni di variabile complessa, in generale; dallostudio delle proprita di analiticita si ricavano informazioni sulle transizioni di fase.

2.5.1 Appendice: l’interpretazione fisica dei moltiplicatori di lagrange per una %nell’insieme grancanonico e canonico

Il punto chiave che permette di rendere veramente efficace la prescrizione sin qui descritta per de-terminare l’operatore densita che rappresenta un sistema, assume un senso nel momento in cui siinterpretino dal punto di vista fisico i moltiplicatori di Lagrange associati a ciascun operatore.Per fare cio e necessario procedere in analogia con il caso termodinamico, costruendo le variegrandezze termodinamiche a partire dalle derivate dell’entropia rispetto ai valori medi delle os-servabili. Procedendo in questo modo possiamo identificare i seguenti moltiplicatori:

il moltiplicatore accoppiato alla hamiltoniana H e λH 7−→ 1T

dove T e la temperatura del sistema

il moltiplicatore accoppiato al numero di particelle1 N e legato al potenziale chimico µ dallarelazione λN 7−→

µT ;

nel limite non relativistico, il moltiplicatore associato alla i-esima componente dell’impulso Pi eproporzionale alla i-esima coordinata della velocita del centro di massa del sistema vi secondola relazione λPi 7−→

viT ;

nei sistemi rotanti, il moltiplicatore legato al momento angolare lungo un asse Jz e legato allavelocita angolare dalla relazione λJz 7−→

ωT dove ω e la velocita angolare del sistema

Approfondiremo in seguito l’interpretazione classica delle grandezze che abbiamo trovato attraversoil formalismo dell’operatore densita.

2.5.2 Appendice: il sistema rotazionale

Consideriamo il caso particolare di un sistema rotante dal punto di vista della meccanica statistica.In riferimento a quanto abbiamo visto possiamo imporre ad un sistema canonico nell’energia (ovverotermalizzato ad una temperatura T ):

1 In meccanica statistica quantistica relativistica il numero di particelle non e un’operatore locale; al suoposto si trova una qualche carica associata alle simmetrie del sistema come ad esempio la carica elettricaQ.

2.5 Alcune proprieta della funzione di partizione 19

un valore costante nel momento angolare (sistema microcanonico angolare) che possa avere un momento angolare lungo un asse fluttuante attorno ad un valor medio (sistema

grancanonico con momento angolare);

massimizzando l’entropia del sistema si otterra l’operatore densita che rappresenta il sistema.Limitandoci a considerare il caso grancanonico, avremo che:

% =e−βH+βωJz

Z(2.55)

Vediamo dunque come sia possibile interpretare classicamente il significato di ∂S∂Jz

.Sia dato un fluido (sistema continuo) isolato all’equilibrio com momento angolare J lungo un assefissato. Posso studiare tale sistema suddividendolo idealmente in ”cellette“ ciascuna delle quali eun sistema statistico grancanonico: alla ”celletta“ i-esima attribuisco una certa velocita di insiemedelle particelle che la compongono vi. Si e assegnato in questo modo un campo di velocita; cio chesi vuole determinare e la forma del campo di velocita, di energia e di momento angolare che rendemassima l’entropia2 (condizione di equilibrio).Assumendo che le ”cellette“ siano independenti tra loro (ovvero trascurando gli effetti di eventualiinterazioni a lungo raggio), possiamo scrivere:

S =∑i

Si (2.56)

dove Si rappresenta l’entropia della ”celletta“ i-esima. Tenuto conto di cio, possiamo imporre ivincoli fissando l’energia, l’impulso ed il momento totale del sistema considerando la funzione:

S + vincoli = S − β(∑

i

Ei − E0

)+ βv·

(∑i

Pi −P0

)+ βω·

(∑i

Ji − J0

)(2.57)

Dunque uguagliando a zero la derivata di tale funzione

rispetto all’energia Ej della j-esima celletta e considerando che l’entropia, all’equilibrio, e unafunzione di stato dell’energia interna, ovvero:

Sj(Uj) = Sj(Ej −P 2i

2mi) (2.58)

avremo quindi:∂

∂Ej(S + vincoli) =

∂S

∂Ej− β =

∂S

∂Uj− β = 0 (2.59)

da cui:∂S

∂Uj= β =

1

T∀j; (2.60)

rispetto all’impulso Pj e ricordando che Ji = xi ×Pi avremo:

∂

∂Pj(S + vincoli) =

∂S

∂Uj

UjPj

+ βv0 + βω × xj =1

T

(− Pj

M

)+

1

T+

1

T

ω

xj= 0 (2.61)

per cui otteniamo che il campo di velocita ha la forma:

vj = v + ω × xj (2.62)

per cui, se assumiamo che v sia la velocita del centro di massa del sistema e che ω rappresentiil vettore velocita angolare del sistema, vediamo cheall’equilibrio il fluido si comporta come uncorpo rigido3;

2 Nel caso quantistico la prescrizione e di massimazzare l’entropia rispetto all’operatore densita3 Se imponiamo un vincolo sul volume, il fluido iniziera a ruotare su un asse principale di inerzia

20 2 Entropia e secondo principio della termodinamica

rispetto a Ji avremo, infine:∂

∂Ji=

ω

T. (2.63)

Torniamo quindi al caso quantistico, trascurando l’impulso totale del sistema4 P = 0. In questocontesto non e possibile fissare il valore delle tre componenti del momento angolare (sistema micro-canonico nel momento angolare lungo ciascuno dei tre assi) in modo indipendente poiche Jx, Jy, Jznon sono operatori tra loro compatibili. Tuttavia e possibile fissare il valor medio del vettore mo-mento angolare se la hamiltoniana e invariante per rotazione(insieme macrocanonico rispetto aimomenti angolari) :

Tr(%J) = J0. (2.64)

In tal caso, possiamo scrivere l’operatore densita nella forma:

% =e−βH+βω·J

Z6=e−βh

∏3i=1 e

βωiJiZ

(2.65)

la disuguaglianza e proprio dovuta al fatto che gli operatori Ji non commutano fra loro5 La formadell’operatore densita e tale per cui ∂

∂t Tr(%A) = 0. Tuttavia, in assenza di polarizzazioni, sarasempre possibile scegliere il sistema di riferimento in modo tale che il momento angolare sia semprediretto lungo un asse (ad es. l’asse z); valgono comunque le solite relazioni:

∂S

∂〈J〉= −ω

T

1

β

∂ logZ

∂ω= 〈J〉. (2.66)

Una riflessione deve essere pero fatta a proposito dell’arbitrarieta della scelta del sistema di riferi-mento e della relazione fra questa e le proprieta geometriche del sistema.In particolare si consideri la funzione di partizione del sistema rotazionale grancanonico:

Z = Tr(e−βH+βω·J) (2.67)

Osservazione Nel momento in cui si calcola la traccia di un sistema, si somma sugli stati quanticidel sistema e questi dipendono dalla geometria del sistema.Per dimostrare il contributo decisivo della geometria del sistema vogliamo dimostrare che:

〈J〉 =∂

∂ωlogZ

∣∣∣∣ω=0

= 0 (2.68)

Per dimostrare tale risultato e sufficiente dimostrare che la funzione Z = Z(ω) e pari, infatti:

Z(−ω) = Tr(e−βH−βωJz ) = Tr(e−βHRz(π)eβωJzR−1z (π) =

= Tr(Rz(π)e−βHeβωJzR−1z (π)

)= Tr(e−βH+βωJz ) = Z(ω)

(2.69)

dove Rz(π) rappresenta una rotazione di un angolo piatto attorno ad un asse ortogonale all’asse z.Vogliamo sottolineare che: usando le proprieta di ciclicita della traccia, come si e gia visto, abbiamoassunto che l’operatore di proiezione PV sugli stati compatibili con la geometria di un certo volumeV commuti con gli operatori O su cui si valuta la traccia, ovvero [PV , O] = 0. Quindi il risultatoche abbiamo ricavato , ovvero che se la velocita angolare di un sistema e nulla allora anche il valormedio del momento angolare e nullo, e valido solo sotto certe ipotesi di simmetria.

4 Cio puo essere sempre realizzato in un SDR a riposo rispetto al fluido5 Benche [%, Jz] 6= 0, la stazionarieta e garantita da [H, Jz] = 0

3

Equivalenza degli insiemi statistici nel limite termodinamico

Nel capitolo precedente abbiamo visto che e possibile trovare una prescrizione per ricavare l’operatoredensita che descriva lo stato di un insieme statistico.

Tuttavia in analoga con la termodinamica classica dimostreremo che nel limite termodinam-ico, per cui limV→∞

NV = cost le descrizioni di uno stesso sistema attraverso insiemi statistici diversi,

coincidono.Per dimostrare cio e tuttavia necessario introdurre il concetto di estensivita di una grandezzafisica. Diremo che una grandezza e estensiva se dipende linearmente dal volume del sistema ed unsistema estensivo e tale se l’entropia e una funzione di grado zero nel volume, ovvero

S(xV, xE, xN) = xS(V,E,N) ∀x ∈ R (3.1)

OssevazioneSe un sistema e estensivo allora anche la funzione logZ deve essere estensiva e puoessere scritta nella forma

logZ = V f(λ1, ...λn) condizione di estensivita (3.2)

poiche vale la (2.51)Osservazione Benche l’estensivita possa sembrare una proprieta ovvia per i sistemi che usualmentesi incontrano, vi sono esempi di sistemi non estensivi: si pensi, ad esempio, ai sistemi con interazionia lungo raggio.

3.1 Equivalenza dell’insieme canonico e grancanonico nel limitetermodinamico

4

Il limite classico: funzione di Wigner

Il questo capitolo si vuole verificare che la meccanica statistica quantistica nel limite → 0 conduceai noti risultati classici.Per fare cio si introduce il concetto trasformata di Wigner.

4.1 Trasformata di Wigner

Si consideri una particella in uno stato descritto dalla funzione d’onda ψ(x), si definisce per questala funzione nelle variabili canoniche

W (x,p, t) ≡∫ +∞

−∞d3yeip·yψ∗(x +

y

2, t)ψ(x− y

2, t) (4.1)

questa prende il nome di funzione di Wigner.Si noti che questa funzione e simile ad una densita di probabilita; infatti:∫

d3pW (x,p, t) =

∫ +∞

−∞d3yδ3(y)ψ∗(x +

y

2, t)ψ(x− y

2, t) = |ψ(x, t)|2(2π)3

e analogamente ∫d3xW (x,p, t) = |ψ(p, t)|2(2π)3

E’ importante notare che nonostante le proiezioni della funzione di Wigner siano distribuzionimarginali di probabilita, la funzione di Wigner non e una densita di probabilita nello spazio dellefasi, infatti

−2

≤W (x,p, t) ≤ 2

non e cioe definita positiva.Si consideri ora uno stato |ψ〉 che descrive uno stato puro, la funzione di Wiegner si puo scrivere:

W (x,p, t) =

∫ +∞

−∞d3yeip·y〈x +

y

2|ψ(t)〉〈ψ(t)|x− y

2〉

Si ricorda che % = |ψ〉〈ψ| quindi la formula sopra puo essere generalizzata anche per gli stati misti.Inserendo due completezze nella base degli impulsi |k〉 si ottiene

W (x,p, t) =

∫ +∞

−∞d3yeip·y

∫d3kd3k′〈x +

y

2|k〉〈k|%|k’〉〈k’|x− y

2〉

24 4 Il limite classico: funzione di Wigner

Le autofunzioni dell’impulso nella base delle coordinate si esprimono

〈x +y

2|k〉 =

ei(x+y2 )·k

(2π)32

per cui si ottiene

W (x,p, t) =

∫ +∞

−∞d3y

∫d3kd3k′

1

(2π)3eiy·(p−

k2−

k’2 )eik·xe−ik’·x〈k|%|k’〉 =

= 8

∫d3kd3k′δ3

(p− k

2− k’

2

)eik·x〈k|%|k’〉e−ik’·x =

= 8

∫d3keik·x〈k|%|2p− k〉 =

ed operando infine la sostituzione k −→ p− k2 si ottiene

W (x,p, t) =

∫ +∞

−∞d3k〈p− k

2|%|p +

k

2〉eik·x (4.2)

Questo tipo di trasformazione W : H∗ −→ C∞(<2l+1) si dice trasformata di Wigner. Come si edetto la trasformazione di Wigner associa ad un operatore A che agisce su uno spazio di Hilbertuna funzione A(x,p, t) continua nello spazio delle fasi classico:

A(x,p, t)W =

∫d3seip·s〈p− x

2|A|x +

s

2〉 (4.3)

La trasformata di Wigner e invertibile: ad una funzione nello spazio delle fasi si associa un operatoreche agisce su uno spazio di Hilbert:

〈x|A|y〉 =

∫d3p

(2π)3eip·(x−y)A(

x + y

2,p, t)W (4.4)

e facile la verifica: ∫d3p

(2π)3eip·(x−y)

∫d3seip·s〈x + y− s

2|A|x + y + s

2〉 =

=

∫d3sδ3(x− y + s)〈x + y− s

2|A|x + y + s

2〉 = 〈x|A|y〉

Si vuole ora mettere in evidenza la corrispondenza tra lo spazio degli operatori che operano sullospazio di Hilbert e lo spazio delle fasi classico. Per fare cio si calcola il valore medio dell’osservabileA:

tr(%A) =

∫d3x〈x|%A|x〉 =

∫d3xd3x′〈x|%|x’〉〈x’|A|x〉 =

=

∫d3xd3x′

∫d3p

(2π)3eip·(x−x’)W (

x + x’

2,p, t)

∫d3s

(2π)3eis·(x−x’)A(

x + x’

2, s, t)W =

si operano le sostituzioni a jacobiano 1: x− x’ = y, x+x’2 = X

=

∫d3yd3X

∫d3p

(2π)3eip·yW (X,p, t)

∫d3s

(2π)3e−is·yA(X, s, t)W =

4.1 Trasformata di Wigner 25

=

∫d3X

(2π)3d3pW (X,p, t)A(X,p, t)W

che e proprio il valore di aspettazione della grandezza A(X,p, t) avente una distribuzione di proba-bilita W (x,p, t).La trasformata di Wigner di A si puo anche esprimere nella forma alternativa:

A(x,p)W = tr(AE(x,p)) (4.5)

con

E(x,p) =1

(2π)3

∫d3αd3βeiα·(x−x)+iβ·(p−p)

Ora, essendo x e p due osservabili non commutanti, l’esponenziale integrando non puo essere fat-torizzato, si deve percio ricorrere alla formula di Zassenhaus:

eA+B = eAeBe−12 [A,B]e

13! (2[B,[A,B]]+[A,[A,B]])... (4.6)

Ora, [x, p] = i, e cioe costante, quindi i termini aventi all’esponente un commutatore tra unoperatore ed il commutatore tra x e p sono pari a uno, per cui si ottiene:

E(x,p) =1

(2π)3

∫d3αd3βeiα·(x−x’)eiβ·(p−p)eiα·

β2 (4.7)

Si verifica che questa formulazione della trasformata di Wigner coincide con quella data in prece-denza:

tr(AE(x,p)) =1

(2π)3

∫d3αd3βeiα·

β2 tr(Aeiα·(x−x’)eiβ·(p−p)) =

si fa la traccia sulla base degli impulsi e si inserisce una completezza nella base delle coordinate

=1

(2π)3

∫d3αd3βeiα·

β2

∫d3qd3y〈q|A|y〉eiα·(y−x)eiβ·(q−p) e

iq·y

(2π)32

=

=

∫d3βδ3(

β

2+ y− x)

∫d3qd3y〈q|A|y〉eiβ·(q−p) e

iq·y

(2π)32

=

=

∫d3β

∫d3q〈q|A|x− β

2〉eiβ·(q−p) e

iq·(x− β2 )

(2π)32

Ora, si ha che:

eiβ·(q−p)eiq·(x−

β2 )

(2π)32

=1

(2π)32

eiq·(x+β2 )e−iβ·p

ed inserendo una completezza nelle coordinate si ottiene

tr(AE(x,p)) =

∫d3β

∫d3z

∫d3q

e−iq·z

(2π)32

〈z|A|x− β

2〉eiq·(x+

β2 )e−iβ·p

=

∫d3β

∫d3zδ3(x +

β

2− z)〈z|A|x− β

2〉e−iβ·p =

=

∫d3β〈x +

β

2|A|x− β

2〉e−iβ·p

e sostituendo β −→ −β si ottiene la definizione data in precedenza per la trasformata di Wigner.Esiste anche la formula di inversione:

26 4 Il limite classico: funzione di Wigner

A =

∫d3xd3p

(2π)3A(x,p)W E(x,p) (4.8)

Si noti che nel caso si volesse calcolare la traccia di un operatore nello spazio delle fasi basta sostituire% −→ 1, infatti

W (x,p)1 =

∫d3yeip·y〈x− y

2|x +

y

2〉 = 1

in quanto 〈x− y2 |x + y

2 〉 = δ3(y), per cui

trA =

∫d3xd3p

(2π)3A(x,p)W

Si puo verificare la formula di inversione dimostrando che trE(x,p) = 1.

4.2 Recupero delle equazioni del moto

Si vuole ora calcolare la variazione nel tempo della funzione di Wigner, quindi, partendo da:

i∂%

∂t= [H, %]

si applica la trasformazione di Wigner ad entrambi i membri, per cui si ha:

i∂W

∂t= ([H, %])W = (H%− %H)W (4.9)

Si vuole trovare la trasformata di Wigner del prodotto di due operatori:

(AB)W =

(∫d3xd3p

(2π)3A(x,p)W E(x,p)

∫d3x′d3p′

(2π)3B(x’,p’)W E(x’,p’)

)W

=

=

∫d3xd3pd3x′d3p′

(2π)6A(x,p)B(x’,p’)

(E(x,p)E(x’,p’)

)W

Si puo dimostrare che il prodotto di due operatori E calcolati in due punti distinti del piano dellefasi e:

E(x,p)E(x’,p’) =

∫d3αd3βE

(x + x’ + β

2,p + p’− α

2

)eiα·(x−x’)eiβ·(p−p’)

Per cui si ha per il prodotto di due operatori:

AB =1

(2π)6

∫d3xd3pd3x′d3p′A(x,p)WB(x,p)W

1

(2π)3·

·∫d3αd3βE

(x + x’ + β

2,p + p’− α

2

)eiα·(x−x’)eiβ·(p−p’) =

Effettuanto le sostituzioni:

x− x’ = yx + x’

2= X

p− p’ = qp + p’

2= P

entrambe a jacobiano uno si ottiene:

4.2 Recupero delle equazioni del moto 27

=1

(2π)6

∫d3yd3Xd3qd3PA

(X +

y

2,P +

q

2

)WB(X− y

2,P− q

2

)W·

· 1

(2π)3

∫d3αd3βE

(X +

β2,P− α

2

)eiα·yeiβ·q =

sostituendo

X = X +β2

P = P− α2

si ottiene

=1

(2π)6

∫d3yd3Xd3qd3P

1

(2π)3

∫d3αd3βA

(X +

y

2− β

2, P +

q

2+α2

)·

·B(X − y

2− β

2, P − q

2+α2

)E(X, P )eiβ·qeiα·y

Ora, si ricorda che per quanto visto nella 4.8 si puo dire che la trasformata di Wigner del prodottodi due operatori e:

(AB)W (X, P ) =1

(2π)6

∫d3yd3qd3αd3βA

(X +

y

2− β

2, P +

q

2+α2

)W

·

·B(X − y

2− β

2, P − q

2+α2

)W

eiβ·qeiα·y (4.10)

Ora, fare il limite classico vuol dire fare il limite per −→ 0 nell’equazione 4.9. Quindi, affinchenon si abbiano divergenze, il commutatore non deve avere termini di ordine zero in . Si nota chenell’espressione trovata per la trasformata di Wigner del prodotto se ci si ferma all’ordine zero, itermini in α e β sono solo quelli esponenziali, integrando in queste variabili si ottengono quindi duedelta di Dirac in q e y ed integrando quindi si devono valutare le funzioni in q = 0 e y = 0. Questovuol dire che all’ordine zero la trasformata di Wigner di un prodotto e uguale al prodotto delletrasformate

(AB)W (x,p)−→0−−−−→ (A)W (x,p)W (B)W (x,p)W

essendo queste funzioni nello spazio delle fasi che quindi commutano tra loro, il commutatoreall’ordine zero risulta nullo.Andando all’ordine uno invece, le funzioni integrande diventano:

−→0−−−−→(A+∇xA ·

β2

+∇pA ·α2

)(B −∇xB ·

β2

+∇pB ·α2

)Si nota che i termini all’ordine uno sono del tipo:∫

d3ηeiη·kη =1

i(2π)3∇kδ

3(k)

nel senso delle distribuzioni, quindi:∫d3αeiα·yα

∫d3βeiβ·q =

1

i(2π)3∇yδ

3(y)δ3(q)

Alla fine si ottiene:

(AB)W = (A)W (B)W +i2

3∑i=1

[∂(A)W∂xi

∂(B)W∂pi

− ∂(A)W∂pi

∂(B)W∂xi

]

28 4 Il limite classico: funzione di Wigner

che scritto con le parentesi di Poisson risulta:

(AB)W = (A)W (B)W +i2

(A)W , (B)W

(4.11)

Quindi, si ha che ([H, %]

)W

=

(H)W ,W

+ o()

Si e percio riottenuto il teorema di Liouville:

∂W

∂t=

(H)W ,W

(4.12)

Parte II

Meccanica statistica relativistica: introduzione

5

Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico

La funzione di partizione di un gas ideale relativistico per cui si conservano il quadri-impulso e lacarica e

Ω =∑states

δ4(P − P0)δQ,Q0(5.1)

dove la somma sugli stati non e altro che l’operazione di traccia.Si notino due cose: innanzitutto questo e un oggetto dimensionato avente le dimensioni dell’inversodi una massa alla quarta ([M−4]); il termine δ4(P − P0) non e un proiettore sugli stati di quadri-impulso fissato P0 in quanto non e idempotente e non c’e modo di rinormalizzarlo, questo problemae correlato al fatto che il gruppo delle traslazioni in quattro dimensioni non e compatto.D’ora in poi si trascureranno le cariche esattamente conservate.

5.1 Corpo nero

Si riscrive la funzione di partizione esplicitando δ4(P − P0), quindi:

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiP0·x

∑states

e−iP ·x

sommare sugli stati equivale a sommare su tutti i possibili numeri di occupazione dei modi all’internodella scatola. Trascurando l’energia di vuoto ed esprimendo con nk il numero di fotoni presenti nelmodo k si ottiene:

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiP0·x

∑nk

e−i∑k nkpk·x (5.2)

Nel caso considerato, cioe quello di fotoni in una cavita, e necessario, affinche la somma sui numeridi occupazione converga, dare ad x0 una piccola componente immaginaria negativa. Ricordando che∑

nk

e∑k −→

∑nk

∏k

−→∑n1

∑n2

...∏k

=∏k

∑nk

e sfruttando la convergenza della serie geometrica

Ω =1

(2π)4

∫ +∞−iε

−∞−iεdx0

∫d3xeiP0·x

∏k

(1− e−ipk·x)−1 (5.3)

Riesprimendo la produttoria come

32 5 Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico∏k

(1− e−ipk·x)−1 = explog∏k

(1− e−ipk·x)−1 = exp∑

log (1− e−ipk·x)−1

e, ricordando che nonostante la somma sui modi dipenda dalla geometria del sistema ma nel limitedi volume grande si puo passare al limite continuo∑

k

−→ V

(2π)3

∫d3p

si ottiene

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiP0·x exp

2V

(2π)3

∫d3p log (1− e−ipk·x)−1

(5.4)

(il fattore 2 davanti a V e dovuto alla degenerazione di polarizzazione dei fotoni).

Ci si pone nel sistema di riferimento a riposo (−→P = 0),

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiMx0 exp

2V

(2π)3

∫d3p log (1− e−ipk·x)−1

ma, ∫

d3p log (1− e−ipk·x)−1 = −∑n=1

1

n

∫d3pe−ip·xn = −

∑n=1

1

n

8πi

n3x0x4

=8πi

x4π4

90

Per cui si ottiene:

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiMx0 exp

V π2i

45

x0x4

(5.5)

Sviluppando in serie l’esponenziale ed integrando termine per termine in d3x si ottiene la seguenteespressione:

Ω =1

(2π)4

∫ +∞−iε

−∞−iεdx0e

iMx04π2

i

∞∑n=0

(V π2i

45

)n1

x3n−30 24n−3(4n− 4)!

n!(2n− 1)!(2n− 2)!(5.6)

Si procede quindi con l’integrazione sul piano complesso. Si noti che nel caso in cui M < 0 si dovrebbechiudere il cammino di integrazione con una semicirconferenza nel piano immaginario negativo incui non sono presenti poli (l’unico polo presente e nell’origine) e quindi l’integrale sarebbe nullo.M puo infatti essere interpretata come l’energia del corpo nero. La densita di stati per cella diquadri-impulso risulta quindi

Ω =2

πM4

∞∑n=2

(π2

720

)n(4n− 4)!

n!(2n− 1)!(2n− 2)!(3n− 4)!(VM3)n (5.7)

Si noti che (VM3) e l’oggetto adimensionale che si puo ”costruire“ con le grandezze fisiche in gioco,e che, come detto in precedenza Ω ha le dimensioni dell’inverso di una massa alla quarta.E’ importante notare che la somma sui modi parte da n = 2. Si puo infatti interpretare ciascuntermine della serie come la funzione di partizione a numero di fotoni fissato

Ω =∑states

δ4(P − P0) =∑states

( ∞∑N0=0

δ4(P − P0)δN,N0

)=

∞∑N0=0

( ∑states

δ4(P − P0)δN,N0

)

Per cui:

Ω =

∞∑N0=0

ΩN0(P0) (5.8)

5.2 Limite termodinamico 33

dove in questo caso Ω rappresenta la funzione di partizione canonica a numero di fotoni libero.Ora, la somma su N0 non puo partire da 0 perche se non ci sono fotoni non si puo imporre il vincolosull’energia, ne il primo termine puo essere quello con N0 = 1 in quanto si devono fissare energia edimpulso ((M,o) nel SDR a riposo) ed il modulo del quadri-impulso coincide proprio con l’energia.Infatti nel caso di un fotone si deve avere: pµpµ = E2 − k2 = m2 = 0, percio, fissata l’energia in undeterminato SDR, si e fissato anche l’impulso spaziale, mentre quello che si vuole fissare e tutto ilquadriimpulso. Si noti che in questo caso non e possibile trovare un SDR in cui l’impulso spaziale enullo. La sommatoria deve percio partire da N0 = 2.La serie 5.7 e convergente per qualsiasi valore finito di VM3, infatti i termini sono minori o ugualidella serie esponenziale

∑nxn

n! .Come gia detto in precedenza, si ribadisce il fatto che la densita di stati Ω trovata e una grandezzadimensionata, non ha percio senso parlare del logaritmo della densita di stati. Essendo pero l’entropiadefinita a meno di una costante additiva si puo riscalare la funzione di partizione tramite una costantemoltiplicativa in modo che nel limite M → 0 si abbia S → 0. Si definisce in questo modo l’entropia:

S ≡ − ln

(π4

103680

)− 2 ln(VM3) + ln

∞∑n=2

( π

720

)n (4n− 4)!

n!(2n− 1)!(2n− 2)!(3n− 4)!(VM3)

(5.9)

5.2 Limite termodinamico

Nel limite V →∞ e M →∞ non si possono trascurare termini della serie. Per semplicita di calcolosi riprendera dalla forma integrale della funzione di partizione 5.5 e si fa uno sviluppo asintotico(sviluppo nel punto di sella) nell’intorno del punto xµ tale che valga la seguente:

M

V=π2

15T 4 (5.10)

Questa e la formula nota della densita di energia del corpo nero.Asintoticamente si ha:

Ω ∝ exp

M

T+ V π2T

3

45

= exp Scan (5.11)

Si vuole ora calcolare lo spettro di energia: in questo caso per spettro si intende il numero medio difotoni per unita di quadri-impulso. Ricordando che:

Ω =1

(2π)4

∫d4xeiP0x

∑nk

e−i∑k nkpkx

ed eseguendo la sostituzione−inkpkx −→ (−ipk + α(p))nk

si ha che ∂

∂α(p)

∑nk

exp

∑k

(−ipk + α(p))nk

α(p)=0

=∑nk

nke−i

∑nk

pkx

che coincide proprio con il numero medio di fotoni a meno della normalizzazione. Per cui:

〈dnjd3p〉 =

[δ

δα(p)lnΩ[α]

]α(p)

=∂ lnΩ

∂α(p)δ3(−→p −−→p0) con p0 t.c. α(p) = 0 (5.12)

Dove con δδα(p) si intende la derivata funzionale rispetto a α(p).

Si ha percio:

34 5 Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico

〈dnjd3p〉 =

1

Ω

(2J + 1)V

(2π)3

∫ +∞−iε

−∞−iεd4xeiP0x

1

eipx − 1exp

∫d3p

(2J + 1)V

(2π)3ln(1− e−ipx)

e sfruttando la convergenza della serie geometrica

1

eipx − 1=

∞∑l=1

e−ilpx

si ottiene:

〈dnjd3p〉 =

∞∑l=1

(2J + 1)V

(2π)3Ω(P0 − lP )

Ω(P0)(5.13)

Affinche il calcolo dell’integrale con i residui non dia risultato nullo si deve avere

(P0 − lP )2 ≥ 0⇒ l ≤ M

2ε

In questo caso la serie e una somma finita di termini.Si noti che nel limite termodinamico si riottiene la formula di Planck.

6

Meccanica statistica relativistica

[...]Si consideri un insieme statistico con momento angolare medio fissato. Nel caso non relativistico sideve estremare la funzione:

f = −tr(% ln(%)− 1

T

[tr(%H)− E0

]+ω

T

[tr(%J)− J0

](6.1)

Si noti che in questa espressione si e imposto impulso medio nullo per semplicita, in questo caso, ilmoltiplicatore di Lagrange del vincolo e nullo a sua volta.L’estremazione de f conduce alla seguente espressione:

% =e−

HT +ω·J

T

Z(6.2)

ora, essendo ω una costante la si puo scegliere diretta lungo l’asse z.Nel caso relativistico, le deduzione dell’espressione per % e analoga. Sia T la temperatura misuratadall’osservatore. Si suddivide il corpo in tante cellette, la i-esima sara caratterizzata da quadri-impulso (Ei,Pi). Trascurando le interazioni tra le cellette (ognuna rappresenta un sistema isolato)si ha che l’entropia (funzione della sola energia interna U ∼ m) e:

S =∑i

Si =∑i

Si(√E2i − P 2

i ) (6.3)

Imponendo i vincoli:

Φ =∑i

Si(√E2i − P 2

i )− 1

T(∑i

Ei − E0) +ω

T(∑i

Ji − J0) (6.4)

dove Ji rappresenta il momento angolare totale della i-esima celletta (orbitale piu spin) ma in questocaso si trascurera lo spin per cui sara: Ji = xi ∧ Pi L’estremazione con vincoli porta ai seguentirisultati:

∂Φ

∂Ej= 0⇒ ∂Sj

∂Ej− 1

T= 0

∂Sj∂Mj

∂Mj

∂Ej=

1

T

ricordando che la derivata dell’entropia rispetto all’energia interna e l’inverso della temperaturainvariante si ha:

1

T0j

EjMj

=1

T=

γjT0j

36 6 Meccanica statistica relativistica

Si e quindi trovata la relazione che lega la temperatura comovente con la temperatura misurata nelsistema di riferimento fisso.Per le regole del prodotto misto si ha:

ω · (xi ∧Pi) = Pi · (ω ∧ xi)

per cui:

∇PjΦ = 0⇒ ∇PjSj +1

T(ω ∧ xj) = 0

∇PjSj =∂Sj∂Mj

∇PjMj =1

T0j

(Pj

Mj

)da cui:

Pj

T0jMj=

1

T(ω ∧ xj)

1

T0jγjvj =

1

Tvj =

1

T(ω ∧ xj)⇒ vj = (ω ∧ xj)

Il campo di velocita del sistema considerato e un campo di velocita tipico di un corpo rigido: il motodescritto dal fluido e un moto rigido di rotazione attorno ad un asse (in questo caso l’asse z). Sinoti che rispetto al caso non relativistico la temperatura comovente e diversa da quella misuratanel sistema di riferimento esterno. Essendo infatti la temperatura misurata dall’osservatore esternocostante, la temperatura comovente deve variare con la distanza dall’asse, infatti:

T0j = γT =T√

1− v2=

T√1− (ω ∧ xj)2

percio, diversamente da quanto suggerito dal senso comune, il gradiente di temperatura e direttodall’asse di rotazione verso l’esterno. Sull’asse la temperatura comovente e la temperatura misuratadall’osservatore esterno coincidono (infatti l’asse e fermo rispetta all’osservatore esterno).Si vuole scrivere ora la matrice densita di questo sistema in forma covariante. Per fare cio si farauso della teoria dei campi: si scriveranno H e J in termini di quantita locali:

H =

∫d3xT 00(x) (6.5)

J =

∫d3x(x ∧ Π) (6.6)

dove si ricorda che Πi = T 0i.Si scrive quindi % in termini di queste quantita locali:

% =1

Zexp

−∫d3x

T 00(x)

T+ω

T

∫d3x(x ∧ Π)

=1

Zexp

−∫d3xT 0ν

(1

T,ω ∧ x

t

)si riconosce che il quadrivettore contratto con T 0ν e proprio il quadrivettore temperatura βν(x)

% =1

Zexp

−∫d3xT 0νβν(x)

Questa espressione pero non e ancora covariante a vista in quanto si sta integrando su un volumevisto da un osservatore solidale con il sistema di riferimento fisso. Ricordando che:

6 Meccanica statistica relativistica 37

dΣµ = − 1

3!εµαβγdx

α ∧ dxβ ∧ dxγ

con ε0123 = −1 e ε0123 = 1; il volume fisico e la componente temporale di dΣµ infatti:

dΣ0 = −1

6ε0ijkdx

i ∧ dxj ∧ dxk = dxidxjdxk

La formula trovata si puo quindi rendere facilmente covariante a vista:

% =1

Zexp

−∫dΣµT

µνβν(x)

(6.7)

Questa equazione descrive una situazione di equilibrio termodinamico. L’equilibrio termodinamicoin relativita deve essere una situazione di stazionarieta indipendente dal sistema di riferimento. Siimpone quindi l’indipendenza dall’ipersuperficie dello spazio tempo scelta:∫

Σ

dΣµTµνβν =

∫Σ′dΣµT

µνβν

prendendo quindi una superficie chiusa aventi come basi Σ e Σ′ ed imponendo che il contributo delflusso di Tµνβν al bordo sia nullo, la condizione sopra e soddisfatta se vale:

∂µ(Tµνβν) = 0 (6.8)

ma ricordando che il tensore degli sforzi e a quadri-divergenza nulla si ha:

Tµν(∂µβν) = 0 (6.9)

Questa equazione e soddisfatta se βν = cost, per cui un campo di temperatura uniforme e costante euna condizione per l’equilibrio termodinamico. Questo significa che esiste un sistema di riferimentonel quale il fluido e fermo: β =

(1T , 0, 0, 0

).

Un altro caso possibile e che il vettore temperatura sia un vettore di Killing:

βν t.c. ∂µβν + ∂νβµ = 0

Infatti, essendo il tensore degli sforzi simmetrico, l’equazione 6.9 e soddisfatta se il tensore ∂µβν eantisimmetrico.Un vettore di Killing ha la seguente forma:

βµ = bµ + ωµνxν

dove bµ e un vettore costante e ωµν e un tensore antisimmetrico costante (per spazio-tempo piatto).Si noti che il caso da cui si e partiti e un sottocaso di questo in cui:

b =1

T

1000

ω =1

T

0 0 0 00 0 ω 00 −ω 0 00 0 0 0

Il vettore temperatura trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz.Si trova ora l’espressione per l’entropia:

S = −tr(% ln %) = tr

(%

∫dΣµT

µνβν

)+ ln

[tr(e−

∫dΣµT

µνβν)]

=

38 6 Meccanica statistica relativistica

=

∫dΣµ〈Tµν〉βν + lnZ

Per comodita di notazione d’ora in avanti si usera: 〈Tµν〉 = Tµν .Si introduce ora l’ipotesi di estensivita generalizzata:

lnZ =

∫dΣµΦ

µ (6.10)

dove si puo considerare Φµ come una sorta di densita di potenziale termodinamico.Per cui si ottiene:

S =

∫dΣµ(Tµνβν + Φµ) =

∫dΣµs

µ (6.11)

con sµ = Tµνβν + Φµ corrente di entropia.Si assumera d’ora in poi che il sistema si trovi in una situazione di equilibrio, per cui βν e costanteoppure un vettore di Killing. All’equilibrio termodinamico si ha che l’entropia e costante per cui:

∂µsµ = 0 ⇒ ∂µΦ

µ = 0

Percio si ha:tr(e−

∫dΣµT

µνβν)

= e∫dΣµΦ

µ

Ora, βν e un vettore parallelo alla quadrivelocita, per cui si ha

s = sµuµ = Φ · u+ uµuνTµν√β2 = Φ · u+

%

T0

dove uµuνTµν e la densita propria di energia (densita di energia che vede l’osservatore solidale con

il flusso).Da cui si ottiene

T0s = Φ · uT0 + % (6.12)

Se si fosse considerata anche la conservazione della carica si avrebbe avuto:

tr(e−

∫dΣµT

µνβν+∫dΣµµ√β2jµ

)= e

∫dΣµΦ

µ

che avrebbe comportato un termine aggiuntivo del tipo j · u ovvero la densita di carica propria, enella 6.12:

T0s = Φ · uT0 + %− µn (6.13)

con n densita di carica locale.Si trascura ora la parte delle cariche conservate e si varia l’entropia considerandola come un fun-zionale della temperatura inversa e dell’ipersuperficie Σ: si studia la variazione di S separandolanella variazione rispetto all’ipersuperficie ed in quella rispetto a β

δS[β,Σ] = (variazione diΣ) +

∫Σ

dΣ(δΦµ + Tµνδβν + δTµνβnu)

si note che anche Tµν e funzionale di β, infatti Tµν = tr(%Tµν) e % dipende da β.Ora, si noti che δΦµ + Tµνδβν = 0 infatti

〈Tµν〉 = tr

(1

ZTµνe−

∫dΣµT

µνβν

)e facendo la derivata funzionale 1.1 Questa derivata funzionale si fa operando la sostituzione βν −→ βν +δβν ed utilizzando quindi la formula

di Zassenhaus per l’operatore eA+εB con ε piccolo tenendo i termini al primo ordine, sfruttando la ciclicitadella traccia.

6 Meccanica statistica relativistica 39

δ

δβνlnZ =

1

Z

δ

δβνtr(e−

∫dΣµT

µνβν)

= −nν〈Tµν〉

con nµ t.c. dΣµ = |dΣ|nµ. Ma si ha anche lnZ =∫dΣµΦ

µ, anch’esso funzionale di β:

δ lnZ =

∫dΣµ

(δΦµ

δβν

)δβν

da cui δ lnZδβν = nµδΦµ

δβνe quindi si ha per l’indipendenza di queste relazioni dalla scelta dell’ipersuperficie:

δΦµ

δβν= −〈Tµν〉 (6.14)

questa relazione dice che la densita di energia e legata alla derivata della pressione rispetto allatemperatura.La variazione di S si riduce quindi a:

δS[β,Σ] = (variazione di Σ) +

∫dΣµδT

µνβν

Si deve ora studiare il termine dovuto alla variazione della superficie (espansione). La superificietridimensionale nello spazio di Minkowski si parametrizza con tre variabili:

x = x(w1, w2, w3) −→ x′ = x′(w1, w2, w3) = x+ v(x(w))ε

In generale quindi: ∫Σ′dΣ′νf

ν(x′) =

∫Σ

dΣν |∂Σ′

∂Σ|fν(x+ v(x(w))ε) =

=

∫Σ

dΣν |∂Σ′

∂Σ|fν(x) + ∂µf

νvµ(x(w))ε

Ora,

dΣµ = −1

6εµαβγdx

α ∧ dxβ ∧ dxγ =

= −1

6εµαβγ

∂xα

∂widwi

∂xβ

∂wjdwj

∂xγ

∂wkdwk =

=

[−1

6εµαβγ

∂xα

∂wi∂xβ

∂wj∂xγ

∂wkεijk

]dw1dw2dw3

Per cui:

dΣ′ =

[−1

6εµαβγ

∂x′α

∂wi∂x′β

∂wj∂x′γ

∂wkεijk

]dw1dw2dw3

ora, avendo∂x′

∂w=∂x

∂w+∂v

∂x

∂x

∂wε

si ha che

−1

6εµαβγ

∂x′α

∂wi∂x′β

∂wj∂x′γ

∂wkεijk = −1

6εµαβγ

∂xα

∂wi∂xβ

∂wj∂xγ

∂wkεijk+

−1

6εµαβγ

∂vα

∂xλ∂xλ

∂wi∂xβ

∂wj∂xγ

∂wkεijk −

1

6εµαβγ

∂xα

∂wi∂vβ

∂xλ∂xλ

∂wj∂xγ

∂wkεijk − ...

si noti che il secondo ed il terzo termine (e analogamente il quarto) sono uguali per α −→ β, i −→ j(e sostituzione analoga), sommando si ottiene infine:

40 6 Meccanica statistica relativistica

= −1

63εµαβγ

∂xλ

∂wi∂xβ

∂wj∂xγ

∂wk(∂λv

α)εijkε

Si consideri

Aλβγ = εijk∂xλ

∂wi∂xβ

∂wj∂xγ

∂wk

(che e completamente antisimmetrico per la presenza del tensore εijk) il cui duale e:

−1

6εµλβγA

λβγ = (A∗)µ

e ricordando l’identita

εi1,...,ik,ik+1,...,inεi1,...,ik,jk+1,...,jn = (−1)k!

∑σ

x(σ)δjk+1

iσ(k+1) · ... · δjkiσ(k)

si puo invertire la formula del duale:

A%στ = εµ%στ (A∗)µ

per cui si ha:

−1

6εµαβγ

∂x′α

∂wi∂x′β

∂wj∂x′γ

∂wkεijk = −1

2εµαβγε

νλβγ(A∗)ν(∂λvα)ε

inoltre si ha che:(A∗)νdw

1dw2dw3 = dΣ

per cui alla fine si ottiene:∫Σ′dΣ′νf

ν = −ε1

2εµαβγε

νλβγ

∫Σ

dΣν∂λvαfµ +

∫Σ

dΣν∂µfνvµε+

∫Σ

dΣνfν

Ricordando che vale la seguente

εµαβγενλβγ = −2(δνµδ

λα − δναδλµ)

si ottiene infine la variazione dovuta all’espansione della superficie:∫Σ′dΣ′νf

ν −∫Σ

dΣνfν = ε

∫dΣµf

µ(∂λvλ)− ε

∫dΣνv

νfλ + ε

∫dΣν∂µf

νvµ =

integrando per parti il primo termine

= ε

∫dΣµ∂λ(fµvλ)− ε

∫dΣµv

λ∂λfµ − ε

∫dΣµ(∂λv

µ)fλ + ε

∫dΣν(∂µf

ν)vµ =

ed integrando per parti il secondo termine

= ε

∫dΣµ∂λ(fµvλ)− ε

∫dΣµ∂λ(fλvµ) + ε

∫dΣµv

µ(∂λfλ) =

= ε

∫dΣµ∂λ(fµvλ − fλvµ) + ε

∫dΣµv

µ(∂λfλ)

Il primo termine si riscrive come∫dΣµ∂λ(fµvλ − fλvµ) =

1

2

∫dSµλ(fµvλ − fλvµ)

6 Meccanica statistica relativistica 41

con

dSµλ = −1

2εµλαβ

∂xα

∂wi∂xβ

∂wjεijdw1dw2

Nel caso specifico in cui fν ≡ sν si ottiene quindi:∫Σ′dΣ′νs

ν −∫Σ

dΣνsν = ε

(∫dSµλs

µvλ +

∫dΣµv

µ∂νsν

)in questo caso l’ultimo termine non contribuisce in quanto:

∂µ(Φµ + Tµνβν) = 0

In conclusione la variazione del funzionale entropia risulta

δS =

∫∂Σ

dSµλ(εvλ)(Φµ + Tµνβν) +

∫dΣµδT

µνβν

ora, εvλ = δxλ, e quindi si ottiene:

δS =

∫∂Σ

dSµλδxλΦµ +

∫∂Σ

dSµλδxλTµνβν +

∫dΣµδT

µνβν (6.15)

Caso particolareSi sceglie ora una superficie Σ a tempo costante: nµ e un vettore time-like. Si varia questa superficieespandendola nella direzione spaziale δxλ = (0, δx) (si considera un sistema a volume finito!).

dSµλ = −1

2εµλαβ

∂xα

∂wi∂xβ

∂wjεij

Ora, essendo λ indice spaziale, e notando che essendo ∂xα

∂wi e ∂xβ

∂wj vettori tangenti alla superficie e diconseguenza vettori space-like (cioe α e β indici spaziali) si ha che dSµλ 6= 0 solo se µ = 0. Perciosi ha che

dS0iδxi = δx · ndS

dove dS e l’usuale misura di una superficie bidimensionale.Quindi in questo caso si ha:

δS =

∫dSδx · nΦ0 +

∫dSδx · nT 0νβν +

∫dV δT 0νβν =

ma β = ( 1T , 0, 0, 0)

=

∫dSδx · nΦ0 +

∫dSδx · nT 00 1

T+

∫dV δT 00 1

T

Il primo termine si puo identificare con dV PT , il secondo con ∂U

∂V dV1T ed il terzo con ∂U

∂T dT1T . Si

puo dire che Φµ e un quadrivettore che dipende solo dal βµ in quanto βµ e costante e quindi le suederivate sono nulle; si scrive allora:

Φµ = p(β2)βµ (6.16)

dove p e, ovviamente, uno scalare.Si vuole ora calcolare il tensore degli sforzi a partire da Φµ:

Tµν = −δΦµ

δβν= −∂Φ

µ

∂βν= − ∂p

∂β2

∂β2

∂βνβµ − p∂β

µ

∂βν= − ∂p

∂β22βνβµ − pgµν

dove 2βνβµ = 2β2uµuν . Ora, contraendo la corrente di entropia con uµ si ottiene

42 6 Meccanica statistica relativistica

uµsµ = uµΦ

µ + uµTµνuν

√β2 = p

√β2 + %

√β2

dove uµsµ e la densita di entropia vista da un osservatore solidale con il sistema comovente e

uµTµνuν e la densita propria di energia.

Dalla 6.12 si has =

p

T0+

%

T0⇒ T0s = %+ p

nel caso si abbia una carica conservata diventa:

T0s = %+ p− µ0n

che e un’equazione locale che generalizza

TS = U + T lnZ − µQ

Si vede ora che ∂p∂β2 e strettamente collegato a lnZ.

∂p

∂ 1T 20

=∂p

∂T0

(∂ 1T 20

∂T0

)−1= −T

30

2

∂p

∂T0

Classicamente si hanno le seguenti relazioni:

lnZ =pV

TT 2 ∂ lnZ

∂T= U

dalle quali si ottiene

T 2 ∂ lnZ

∂T= T 2 ∂p

∂T

V

T− T 2 1

T 2pV

da cui:

V∂p

∂T=U

T+ p

V

T

che generalizzando al caso relativistico diventa

∂p

∂T0=

%

T0+

p

T0

percio si ha∂p

∂ 1T 20

=%+ p

T0

(−T

30

2

)ed infine si puo quindi ottenere l’espressione del tensore degli sforzi nel caso di un fluido ideale:

Tµν = (%+ p)uµuν − pgµν (6.17)

Si vuole ora trovare quanto vale ds nel passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro

dsµ = (dTµν)βν

Ora,

sµ = p√β2uµ + Tµνβν = suµ = sνuνu

µ

per cuidsµ = dsuµ + sduµ = (dTµν)βν

Si differenzia la 6.17

6.1 Fluidodinamica relativistica ideale 43

dTµν = d(%+ p)uµuν − dpgµν + (%+ p)uµduν + (%+ p)duµuν

sostituendo nell’espressione sopra si ottiene

dsµ = d(%+ p)uµ√β2 − dp

√β2uµ + (%+ p)

√β2uνduν + (%+ p)

√β2duµ

tenendo conto che uνduν = 12d(uνuν) = 0 si ottiene

dsuµ + sduµ = (d%+ dp)uµ√β2 − dp

√β2uµ +

√β2duµ(%+ p)

semplificando e contraendo con uµ si ha

ds =d%

T0(6.18)

6.1 Fluidodinamica relativistica ideale

Si studia ora il moto del valore medio di Tµν supponendo che l’espressione di questo valga an-che quando il campo di velocita dipende da xµ (ossia si e fuori dall’equilibrio). Si parte perciodall’espressione puntuale

Tµν = (%+ p)uµuν − pgµν

i termini dissipativi che potrebbero essere presenti (come ad esempio la viscosita) si consideranopiccoli da poter essere trascurati. Si assume sempre vera ∂µT

µν = 0:

∂µ[(%+ p)uµuν − pgµν ] = 0

uνuµ∂µ(%+ p) + (%+ p)(∂µuµ)uν + (%+ p)uµ(∂µu

ν)− ∂νp = 0

Per comprendere meglio il significato fisico di questa equazione si proietta su uν

uµ∂µ(%+ p) + (%+ p)∂µuµ + (%+ p)uµuν∂µu

ν − uν∂νp = 0

e come gia visto in precedenza uνduν = 12d(uνuν) = 0,

∂µ(%uµ) + p(∂µuµ) = 0 (6.19)

Questa e la generalizzazione al caso relativistico dell’equazione di continuita. Infatti %uµ nellimite non relativistico coincide con la densita di massa propria e p e un’energia per unita di volumedivisa per c2 che nello stesso limite e trascurabile.Si noti che in relativita non c’e una densita conservata ma e Tµν che si conserva!Proiettando invece nella direzione ortogonale a uν , cioe lungo

∆αν = gαν − uαuν

(infatti ∆ανuν = gανuν − uα = 0), si ha che i primi due termini non contribuiscono

(%+ p)uµ∂µuα −∆αν∂αp = 0

con ∆αν∂α = ∇α che indica la derivata nella direzione ortogonale a uν il quale e un quadrivettoretime-like, e percio una derivata fatta su uno tri-spazio (derivata spaziale).

∇α = gαν∂ν − uαuν∂ν = ∂α − uαuν∂ν

Si ha quindi(%+ p)uµ∂µu

α − ∂αp+ uαuν∂νp = 0

44 6 Meccanica statistica relativistica

Si noti che uµ∂µ e un invariante relativistico, calcolato nel sistema comovente (essendo in questosistema uµ time-like) coincide con la derivata rispetto al tempo proprio τ : uµ∂µ = d

dτ .Dalle leggi della dinamica relativistica si ha che

duα

dτ= Aα

dove Aα e la quadriaccelerazione, quindi segue:

(%+ p)Aα = ∂αp− uαp (6.20)

Questa e la generalizzazione al caso relativistico dell’equazione di Eulero. Infatti nel caso nonrelativistico p << %, Ai −→ a:

%a = −∇p− up

trascurando l’ultimo termine (∼ 1c2 vp) si riottiene proprio la formula nota.

Si vuole ora dimostrare che nel caso di un fluido ideale non c’e dissipazione: si conserva l’entropia.Partendo dall’espressione

s =d%

T0− µ

T0dn

e derivando rispetto a τ

T0ds

dτ=d%

dτ− µdn

dτ

T0uµ∂µs = uµ∂µ%− µuµ∂µn

sostituendo a uµ∂µ% = −(%+ p)∂µuµ (per l’equazione di continuita)

T0uµ∂µs = −(%+ p)∂µu

µ − µuµ∂µn

ma vale ancheT0s = %+ p− µn

per cuiT0u

µ∂µs = −(T0s+ µn)∂µuµ − µuµ∂µn

T0(uµ∂µ)s+ T0s(∂µu

µ) = −µn(∂µuµ)− µ(uµ∂

µ)n

T0∂µ(suµ) = −µ∂µ(nuµ)

ma per la conservazione della carica si ha che ∂µ(nuµ) = 0

∂µsµ = 0 (6.21)

I processi meccanici non producono entropia!

7

Termodinamica di non equilibrio

La termodinamica di non equilibrio studia fenomeni fisici che avvengono in un sistema con pro-duzione di entropia (fenomeni dissipativi). In questo capitolo si dara un’idea dello studio di sistemifuori dall’equilibrio termodinamico completo.Si consideri un sistema fisico diviso in piu sottosistemi. E’ importante notare che se il sistema non sitrova all’equilibrio termodinamico completo si possono distinguere due scale di tempi caratteristici:

il tempo necessario per raggiungere un equilibrio termodinamico locale (in tempi brevi ognisottosistema raggiungera il poprio equilibrio termodinamico)

il tempo necessario per raggiungere l’equilibrio termodinamico globale (in cui il sistema si trovain uno stato di temperatura uniforme, pressione uniforme ecc.).

Ad ogni celletta si possono associare le grandezze caratteristiche (energia, impulso, momento ango-lare, numero di particelle, carica ecc) Ai(a) = 〈Ai(a)〉 (dove con a si numera il sottosistema). Questegrandezze generalmente sono conservate a livello globale, per cui si puo scrivere:

∂Ai(a)

∂t+∑b

Φi(a→ b) = Φi(sources→ a) (7.1)

dove Φi(a −→ b) indica il flusso di A sull’unita di tempo che passa dalla celletta a alla celletta b.D’ora in avanti si considerera il caso in cui non sono presenti sorgenti e che gli scambi tra le celletteavvengano attraverso la superficie.Passando al limite continuo si ottiene l’equazione di continuita (nel caso in cui Ai = N):∫

C

dV∂n

∂t+

∫∂C

dS n v · n = 0

dove C rappresenta la celletta infinitesima presa in considerazione; da cui

∂n

∂t+∇ · (nv) = 0 (7.2)

Questi stessi ragionamenti possono essere applicati anche per l’entropia: si introduce il concetto dientropia locale. Supponendo che l’interazione tra i sottosistemi sia trascurabile (in modo da poterliconsiderare indipendenti) si puo scrivere:

S =∑a

Sa ≤ Seq

ed inoltre

λi(a) =∂Sa∂Ai

46 7 Termodinamica di non equilibrio

Si considera raggiunto l’equilibrio termodinamico quando λi(a) = λi(b) ∀ a,b. Nell’istante in cui sisvolge l’osservazione si ha:

λi(a)− λi(b) 6= 0 per b 6= a → ∇λi 6= 0

Questo vuol dire che ci deve essere un flusso di grandezze conservate che dipendono da questigradienti: si instaurano cioe dei flussi. Scopo della termodinamica di non equilibrio e quello ditrovare le relazioni tra i flussi di grandezze conservate e questi gradienti.Si postula che la risposta dei flussi ai gradienti sia lineare tramite dei coefficienti di risposta (o ditrasporto):

Φi(a→ b) =∑j

Lij(a,b) (λj(b)− λj(a))︸ ︷︷ ︸∝∇λi

(7.3)

si ha la somma su j in quanto nulla esclude che come risposta ad una variazione di λj si possaottenere anche una risposta di grandezze conservate Ai con i 6= j, in generale Lij sono funzione delpunto.Sia ora J la densita di flusso:

Jαi = (Jαi )0 +∑j

Lαβij ∂βλj (7.4)

solitamente le densita di flussi all’equilibrio (Jαi )0 sono nulli.Si enuncia ora il seguente:Teorema di Curie : se un certo fenomeno conduce ad effetti macroscopici, gli elementi di simme-tria di questo fenomeno devono essere contenuti negli effetti macroscopici generati. Non e vero ilviceversa.Questo vuol dire, ad esempio, che una causa scalare non puo produrre effetti vettoriali. Sfruttandoquesto teorema si possono ridurre le componenti dei coefficienti Lαβij .Esempio: conduzione del caloreSia jE flusso di energia. Si sa che vale:

jE = −κ∇T

Nel quadro generale impostato precedentemente si ha:

jαE =∑j

Lαβij ∂βλj = LαβEE∂β

(1

T

)+ LαβEN∂β

(µT

)+ ...

per il setup dell’esperimento contribuisce solo il primo termine, per cui si ha che (per il teorema diCurie)

LEE = κT 2δαβ

e l’equazione di continuita∂u

∂t+∇ · jE = 0

considerando che vale anche∂u

∂t= cV

∂T

∂t

e quindi

cV∂T

∂t− κ∇2T = 0 (7.5)

Relazione di reciprocita di Ossanger : Lij = Lji.Si studia ora la variazione di entropia nel tempo:

7 Termodinamica di non equilibrio 47

∂S

∂t=∑i

∂Sa∂Ai(a)

∂Ai∂t

=∑i

∂Sa∂Ai

(−∑b

Φ(a→ b)

)= −

∑a,b

λi(a)Φi(a→ b)

Passando al continuo, nel caso di grandezze conservate scalari

∂s

∂t=∑i

λi(x)∂Ai∂t

=∑i

λi(x)(−∂αjαi ) =

= −∂α

(∑i

λi(x)jαi (x)

)+∑i

jαi ∂αλi(x)

Per cui:∂s

∂t+ ∂α

(∑i

λi(x)jαi (x)

)=∑ij

Lαβij ∂αλi∂βλj

All’entropia si deve quindi associare una corrente di entropia fuori dall’equilibrio. Integrando questaequazione su tutto lo spazio ed imponendo che

∂α

(∑i

λi(x)jαi (x)

)= 0

in quanto il sistema e isolato (il flusso sulle pareti esterne e nullo) si ottiene

∂S

∂t=

∫V

d3x∑ij

Lαβij ∂αλi∂βλj (7.6)

dove∑ij L

αβij ∂αλi∂βλj ≥ 0 per il secondo principio della termodinamica.

A questo punto sorge un problema: se ogni celletta si trova in uno stato di equilibrio termodinamico(anche se locale) con dei vincoli sui valori di aspettazione di alcune osservabili, la distribuzionestatistica che descrive la celletta e la distribuzione di Gibbs che e stata costruita in modo tale che

i∂%

∂t= [H, %]⇒ dS

dt= 0

e quindi, avendo supposto trascurabili le interazioni tra i sottosistemi, l’entropia totale, per latrattazione finora effettuata, dovrebbe essere a derivata nulla, in contraddizione con il secondo prin-cipio della termodinamica. Questo e un problema ancora aperto! Landau cerca di spiegare questoparadosso asserendo che l’aumento (a livello macroscopico) dell’entropia e conseguenza della noninvarianza temporale dell’equazione di Schrodinger (vedi capitolo 2).Un’altra risposta e stata data da Balian: durante il processo che porta il sistema da una condizionedi non equilibrio all’equilibrio globale l’informazione macroscopica viene persa passando ad infor-mazione microscopica. L’operatore densita finora utilizzato e correlato all’informazione totale cheovviamente si conserva, ma l’informazione che si osserva e solo quella macroscopica.Quello che fa Balian e quindi di riscrivere l’operatore densita

% = %relevant + %irrelevant (7.7)

Per trovare %relevant si procede come fatto in precedenza per trovare % ovvero effettuandoun’estremazione con vincoli in cui pero A0i(a)→ A0i(a, t):

Φ = −tr(%rel ln %rel) +∑a,i

λi(a)[tr(%relAi(a))−A0i(a, t)

]

48 7 Termodinamica di non equilibrio

da cui si ottiene:

%rel ∝ exp

−∑a,i

λi(a, t)Ai(a)

questa e la distribuzione di Gibbs che rappresenta l’equilibrio termodinamico locale (minimizzal’informazione). Si noti che si sta lavorando in notazione di Schrodinger per cui gli operatori sonoindipendenti dal tempo.Affinche valga quanto appena detto si deve avere che

tr(%Ai(a)) = tr(%relAi(a))⇒ tr(%relAi) = 0