Meccanica Razionale

Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2010/11II anno, II semestre, CFU 12, codice F0503Docenti: A. Teta, M. Serva

SillaboRichiami di equazioni differenziali, equilibrio e stabilita. Leggi di Newton per sistemi di puntimateriali. Sistemi unidimensionali. Forze centrali. Sistemi vincolati. Equazioni di Lagrange.Principi variazionali. Dinamica del corpo rigido. Equazioni di Hamilton, equazione di Hamilton-Jacobi, teoremi di Liouville e Poincare. Sistemi integrabili.

Programma dettagliato1. Equazioni differenzialiSistemi di equazioni del primo ordine, problema di Cauchy, richiami sul teorema di esistenza,unicita’ e continuita’ dai dati. Richiami sui sistemi lineari. Spazio delle fasi, proprieta’ delleorbite.Definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.Criteri di stabilita’ per sistemi lineari, nodo, punto di sella, centro.Criterio di stabilita’ per sistemi non lineari a partire dal linearizzato. Funzione di Liapunov,teorema di Liapunov sulla stabilita’ di un equilibrio. Esempi di costruzione di funzioni diLiapunov. Analisi qualitativa del modello di Lotka-Volterra.2. Principi della Meccanica ClassicaRiferimento spazio-temporale. Cinematica del punto materiale, velocita’, accelerazione, motorettilineo uniforme, moto circolare uniforme, moto armonico. Cambi di riferimento, legge ditrasformazione della velocita’ e dell’accelerazione.Definizione di riferimento inerziale, I principio della dinamica. Legge di forza, massa inerziale,II principio della dinamica per sistemi di punti materiali, invarianza galileiana. III principiodella dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.Equazioni di Newton come sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, problema diCauchy e carattere deterministico della Meccanica Classica. Forze dipendenti dal tempo persistemi non isolati.Risultante e momento risultante di un sistema di forze, annullarsi del risultante e del momentorisultante del sistema delle forze interne. Equazioni cardinali della Meccanica. Sistemi isolati e

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teorema del centro di massa. Energia cinetica, potenza, teorema dell’energia cinetica (o delleforze vive).Forze conservative, energia potenziale, legge di conservazione dell’energia.3. Sistemi unidimensionaliDefinizione di sistema unidimensionale, forze posizionali, conservazione dell’energia, riduzionealle quadrature, equilibri e stabilita’.Moti periodici, isocronia delle oscillazioni dell’oscillatore armonico, caratterizzazione dei poten-ziali con oscillazioni isocrone, stime di periodi, periodo del moto periodico nel limite delle piccoleoscillazioni, moti a meta asintotica.Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi, esempi del pendolo semplice e della doppiabuca di potenziale.Esercizi.5. Moti centraliMoto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momentoangolare, piano di Laplace, coordinate polari.Moti radiali. Moti non radiali, riduzione alle quadrature, equazione intrinseca dell’orbita,condizione di periodicita’ del moto, conservazione della velocita’ areolare.Caso del potenziale Newtoniano, leggi di Keplero, caso di energia positiva e nulla, conservazionedel vettore di Runge-Lenz. Problema dei due corpi.Esercizi6. Equazioni di LagrangeForma lagrangiana per le equazioni del moto di un sistema di punti materiali non vincolati,invarianza in forma delle equazioni di Lagrange, momenti cinetici, variabili cicliche.Lagrangiana per un punto materiale soggetto a una forza conservativa in coordinate cilindrichee sferiche, lagrangiana per un punto materiale carico in un campo elettromagnetico esterno,moto in un campo magnetico uniforme e costante.7. Principi variazionaliSpazio delle traiettorie, funzionale, punti critici di un funzionale. Funzionale d’azione, punticritici di un funzionale d’azione ed equazioni di Eulero-Lagrange, confronto tra problema ailimiti e problema di Cauchy.Condizione sufficiente per un minimo dell’azione, controesempi.Problema della brachistocrona.8. Sistemi vincolatiDefinizione di vincolo per un sistema di punti materiali, ipotesi di indipendenza e compatibilita’dei vincoli, numero di gradi di liberta’, coordinate lagrangiane, spazio delle configurazioni.Moto su una curva assegnata come esempio di sistema vincolato, pendolo semplice, pendolocicloidale.

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Definizione di moto possibile, velocita’ possibile, velocita’ virtuale. Caratterizzazione della ve-locita’ virtuale come vettore tangente allo spazio delle configurazioni. Potenza virtuale, vincoliideali e principio di D’Alembert.Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e conservativo.9. Proprieta’ dei sistemi lagrangianiLagrangiana regolare, riduzione a forma normale, caso della lagrangiana di un sistema mecca-nico, integrali primi, energia generalizzata.Riduzione ad un sistema del primo ordine, posizioni di equilibrio, criterio di Lagrange-Dirichletper la stabilita’ di un equilibrio. Linearizzazione nell’intorno di un equilibrio, soluzione delleequazioni linearizzate, piccole oscillazioni, frequenze proprie e modi normali. Condizione suffi-ciente per la instabilita’ di un equilibrio.Simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di Noether.Esempi del pendolo sferico e dei pendoli accoppiati.Esercizi.10. Corpi rigidiVincolo di rigidita’. Momento angolare ed energia di un corpo rigido, tensore d’inerzia edellissoide d’inerzia, proprieta’ di simmetria e calcolo dei momenti di inerzia.Angoli di Eulero, velocita’ angolare e momento angolare in funzione degli angoli di Eulero edelle loro derivate. Moto rigido con un punto fisso. Equazioni di Eulero, moti alla Poinsot.Trottola pesante, lagrangiana ed integrali primi. Descrizione qualitativa del moto: precessionie nutazioni. La trottola dormiente.11. Sistemi hamiltonianiHamiltoniana come trasformata di Legendre della lagrangiana e viceversa, equazioni di Hamil-ton, hamiltoniana come energia del sistema, integrali primi e parentesi di Poisson, esempi dicalcolo di hamiltoniane.Principio variazionale nel caso hamiltoniano.Flusso di fase hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincare’, equazione di Liouville.12. Trasformazioni canonicheDefinizione di trasformazione canonica e completamente canonica, trasformazione naturale,esempi e controesempi, condizione sufficiente di canonicita’.Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche, esempi.Equazione di Hamilton-Jacobi, nozione di integrale completo, caso di hamiltoniana indipendentedal tempo, esempio dell’oscillatore armonico, soluzione per separazione di variabili, esempi dihamiltoniane separabili in coordinate cilindriche e sferiche.Matrice simplettica, trasformazioni simplettiche, condizione di completa canonicita’.Invarianza della misura di Liouville per trasformazioni completamente canoniche, flusso di fasehamiltoniano come famiglia di trasformazioni completamente canoniche.

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Invarianza delle parentesi di Poisson per trasformazioni completamente canoniche, invarianzadelle parentesi fondamentali.Simmetrie per un sistema hamiltoniano, teorema di Noether in ambito hamiltoniano.Sistemi integrabili, teorema di Liouville sui sistemi integrabili localmente, cenno al teorema diArnold-Liouville.

Seminari didattici1. Derivazione del potenziale newtoniano a partire dalle leggi di Keplero.2. Ottica geometrica, cenni storici, principio di Fermat, equazione per i raggi, analogia con lameccanica, soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi mediante fronti d’onda, nuova formadell’analogia con la meccanica.

BibliografiaC. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, 1994.R. Esposito, Appunti dalle lezioni di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1998.E. Olivieri, Appunti di Meccanica Razionale, UniTor 1990.A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1999.Altre letture consigliateG. Gallavotti, Meccanica Elementare, Boringhieri 1980.L.D. Landau, E. M. Lifsitz, Meccanica, Editori Riuniti 1982L. Arnold, Problemi matematici in Meccanica Classica, Editori Riuniti 1980I. Ekeland, Il migliore dei mondi possibili, ed. Boringhieri

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