Meccanica quantistica Es. 1. La lunghezza d’onda di de Broglie per l’elettrone è data dal rapporto: p

h=λ

Dove l’impulso p può essere ricavato tenendo conto che l’elettrone possiede energia cinetica pari a:

EmpmpE e

e2

2

2=⇒= per cui: Å

Emh

e23.1

2≅=λ

la distanza interplanare tra i piani cristallografici si ricava infine dalla legge di Bragg:

Åsinndndsin 64.1

)(2)(2 ≅=⇒=

ϑλλϑ (per n=1)

Es. 2 E’ facile dimostrare che non risulta soddisfatta la relazione Hψ=Eψ. Infatti per una particella libera di massa m vale:

mpH2

2= con

xip

∂∂−= h . Pertanto: =−=

∂∂−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−= −

∫ dkeikkgm

txxmx

im

txH tkxi )(22

2

222))((

2),(

221),( ωψψ hh

h

dkekkgm

tkxi )(22

)(2

ω−∫ ⋅h che è chiaramente diversa da: ψω Edkekg

mk tkxi =⋅ −

∫)(

22)(

2h

Viceversa, la � risulta soluzione dell’equazione di Schrodinger dipendente dal tempo; infatti:

Il pacchetto d’onda si “disperde” nel tempo durante la propagazione e quindi non può ovviamente essere una soluzione stazionaria (indipendente dal tempo). Es. 3 I livelli di energia per una buca di potenziale di altezza infinita e larghezza L sono:

2

222

2 Lmn

en

πε h= Pertanto i primi due stati eccitati hanno energia:

eVLm

hLm ee

5.122

42

2

2

22

2 ≅== πε h e eVLm

hLm ee

4.324

92

92

2

2

22

3 ≅== πε h

L’energia dello stato fondamentale è invece: 422

2

22

1επε ==

Lme

h

Per eccitare l’elettrone dallo stato fondamentale di energia E1 al secondo stato eccitato di energia E3 occorre fornire una radiazione elettromagnetica di energia hν pari alla differenza tra i due livelli; per cui:

hh 13

13εενεεεν −=⇒−=∆= da cui la lunghezza d’onda: mchc 7

13101.4 −⋅≅

−==

εενλ

Es. 4 Il modulo della velocità di gruppo è: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∝

∂∂=

2cos)()( ak

kkkv ω ricavare testo

Il massimo valore si ha per 02

→ak , cioè per lunghezze d’onda λ>>a (dal momento che λπ2=k ). In questo

caso la velocità di gruppo eguaglia il valore della velocità del suono nel mezzo. Il minimo valore della

velocità, pari a zero, si ha per aa

kak 222

=⇒=⇒= λππ

Costanti e fattori di conversione: Jsh 341063.6 −⋅= ; π2/h=h ; JeV 19106.11 −⋅= ; Kgme301091.0 −⋅=

26.2.2001 raccolto in F4 Una buca di potenziale 1D a pareti infinite, di larghezza 100Å, alla temperatura di 0K, contiene 49 elettroni. Quale sarà la velocità VF dell’elettrone con l’energia più elevata?

I livelli energetici della buca di potenziale hanno energia : 2

222

2 Ln

mnπε h= con n intero.

ψωωψ ωωω Hdkekkgm

dkekgdkeikgitxt

i tkxitkxitkxi =⋅==−=∂∂ −

∫−

∫−

∫)(2

2)()( )(

2)())((),( h

hhh

Poiché gli elettroni sono fermioni, in ogni singolo livello energetico si possono sistemare due elettroni (uno con spin “down” ed uno con spin “up”). Per n=24 sono sistemati 48 elettroni, per cui il 49° è sistemato nel

livello n=25. La sua energia sarà quindi: 2

222

2525

2 Lmπε h=

D’altro canto smmL

vLm

mv FF /109252522

1 52

2222 ⋅==⇒= ππ hh

26.2.2001 Raccolto in F4 Un fascio di elettroni viene indirizzato verso un cristallo caratterizzato da una distanza interplanare d=3Å. In queste condizioni si ottiene un picco intenso di diffrazione per un angolo di incidenza Θ pari a 30°. Qual è l’energia del fascio di elettroni incidenti? Se si vuole ottenere un picco di diffrazione per lo stesso valore dell’angolo di incidenza, utilizzando, però, un fascio di radiazione elettromagnetica oppure un fascio di neutroni, quale dovrà essere l’energia, rispettivamente, della radiazione elettromagnetica o dei neutroni? Nelle condizioni di diffrazione ϑλ dsin2=

l’energia dell’elettrone sarà ==e

e mk

2

22hε eVmsind

hm

h

ee7.16

82 22

2

2

2=

⋅=

ϑλ

Nel caso in cui si utilizzino fotoni KeVdsinhchchf 1.4

2====

ϑλνε

Se infine si utilizzano neutroni: eVmm

mkh

n

ee

n

322

1092

−⋅== ε

26.2.2001 Copiato in F4 Si calcoli, utilizzando il modello di Bohr, il raggio dell’orbita fondamentale dell’atomo di idrogeno.

In base alla condizione di Bohr: hNmrb NNN == ω2 D’altro canto 22

20

2

2

0

2 44

1 Nme

rrerm NN

NNhπε

πεω =⇒=

L’orbita fondamentale si trova per N=1: 2

20

14

mer hπε= =0.53Å

24.9.2001 Raccolto in F4 Quali sono, rispettivamente la velocità di gruppo vg e la velocità di fase vf di un elettrone libero di energia cinetica 10-2 eV?

dkdVe

kV fg

ωω == inoltre nel nostro caso mk

2

22h=ε

da cui segue fgf VmkV

mkV 2,

2=== hh

poiché sm

mVm f /103

22 4×≅=⇒= εεωh

18.01.2002 (Es.1) 18.01.2002 (Es.2) 18.01.2002 (Es.3)

18.01.2002 (Es.4) 26.02.2002 (Es.1) 26.02.2002 (Es.2) 26.02.2002 (Es.3) 26.02.2002 (Es.4) 09.09.2002 Raccolto in F4 In una buca di potenziale di larghezza L=10Å, un elettrone giace nel primo livello eccitato (n=2). In seguito all'assorbimento di radiazione elettromagnetica di frequenza 152 10 Hzν = ⋅ , esso può transire ai livelli energetici superiori (non occupati). Si determini quale sarà il più alto livello eccitato raggiunto.

I livelli energetici ε n per gli elettroni nella buca sono: 22 2

2 222 8n

hn nM L ML

πε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

h. Essendo

iE hν= l'energia incidente, e partendo da n=2, l'elettrone potrà essere eccitato al livello nf tale che:

( )2

22 4

8i fhh E nML

ν = = − . Distinguiamo due casi: se la radiazione è strettamente monocromatica con

152 10 Hzν = ⋅ allora nessuna transizione è permessa (poiché 5 2hν ε ε> − e 6 2hν ε ε< − ). Per radiazione

policromatica che possiede tutte le frequenze fino a 152 10 Hzν = ⋅ vengono eccitate le transizioni dal secondo livello fino al quinto. 09.09.2002 Raccolto in F4 Un atomo di idrogeno viene ionizzato mediante radiazione elettromagnetica. Sapendo che l'elettrone estratto (inizialmente nello stato energetico fondamentale) possiede un'energia cinetica residua pari a 30 eV, si determini la lunghezza d'onda della radiazione incidente. L'energia della radiazione elettromagnetica è pari alla somma dell'energia di ionizzazione dell'atomo di idrogeno (13.6 eV) e dell'energia cinetica residua (30eV). Pertanto dovrà essere:

843.6 2.85*10ch h eV mν λλ

−= = ⇒ ≅

26.9.2002 Raccolto in F4 Un elettrone libero, caratterizzato da una lunghezza d’onda λ=10 Å, si muove in direzione perpendicolare all’armatura di un condensatore elettrico a lastre piane parallele. L’elettrone penetra attraverso un piccolo foro all’interno del condensatore dove trova un campo elettrico di 10 V/m che lo rallenta. A quale distanza dall’armatura la velocità dell’elettrone si annullerà? L’energia cinetica dell’elettrone libero è pari a:

1922

1028.62,2

−×=== mKmKE

λπh

La velocità si annullerà quando il lavoro compiuto dal campo elettrico eguaglierà l’energia cinetica dell’elettrone

EelmK =

2

22h dove l rappresenta lo spazio percorso all’interno del condensatore, quindi:

mmeE

Kl 15.02

22

≅= h

26.9.2002 Raccolto in F4 In una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza 1000 Å e temperatura idealmente uguale a 0 K, vengono confinati in successione 2000 elettroni. Quale sarà l’energia εF dell’ultimo elettrone confinato all’interno della buca? Il sistema viene quindi riscaldato fino a 1000 K. In queste condizioni, supponendo che il potenziale chimico coincida con εF, quale sarà la probabilità che uno stato con energia ε=0.99εF risulti vuoto? I livelli energetici all’interno della buca sono dati dalla formula

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ln

mn

πε h

Essendo gli elettroni fermioni, il livello occupato più alto sarà n=1000. Quindi:

JLm F

1822

105.510002

−×≡=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ επh

La probabilità che lo stato sia vuoto è pari a

02.01]/)exp[(

11)(1 =+−

−=−τµε

εFDf

(Questa seconda risposta presuppone la conoscenza di nozioni riguardanti la seconda parte del corso). 16.1.2003 (Es.1) nella raccolta F4 La relazione di dispersione delle onde elastiche lungo una catena di atomi può essere espressa,

nell’intervallo a

Ka

ππ << , dalla relazione ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin4 Ka

MCω , dove K rappresenta il vettore d’onda, a la

distanza tra gli atomi, M la massa di ciascun atomo e C la costante elastica di interazione tra due atomi vicini. Si calcoli la velocità di gruppo e la velocità di fase delle onde nel caso in cui λ sia molto maggiore di a. Nel limite λ>>a abbiamo Ka<<1. La funzione sin può essere espressa tramite lo sviluppo in serie di Taylor

come 2

Ka. Quindi K

MCa2

=ω .

La velocità di fase Kω

e la velocità di gruppo dKdω

coincidono e sono entrambe uguali a M

Ca2.

16.1.2003 (Es.2) Raccolto in F4 Un metallo viene illuminato tramite brevi impulsi di radiazione elettromagnetica di lunghezza d’onda pari a 200 nm. Un rivelatore di elettroni posto a 1 m dal metallo rivela i primi elettroni 1 µs dopo che la radiazione ha raggiunto il metallo. Si stimi l’energia di estrazione degli elettroni dal metallo. Per la conservazione dell’energia, l’energia del fotone incidente deve essere eguale all’energia di estrazione

dell’elettrone più l’ energia cinetica dell’elettrone stesso nel vuoto: 2

21 mvh +Φ=ν

Gli elettroni più veloci percorrono 1 m in 10-6 s, pertanto la loro velocità sarà 106 m/s. Quindi:

=−=Φ 2

21 mvch

λ3.37 eV.

16.1.2003 (Es.3) Raccolto in F4 Gli elettroni emessi da un filamento di tungsteno riscaldato vengono accelerati per una distanza l=0.1 m tramite un campo elettrico applicato E. Il fascio così generato viene fatto incidere con un angolo θ=20° su di una superficie cristallina caratterizzata da una distanza interplanare d=4 Å. Quale dovrà essere il modulo del campo elettrico E affinché si abbia diffrazione dal cristallo? Si consideri solo la riflessione al primo ordine (n=1). Per la legge di Bragg avremo θλ sin2d= , (n=1). D’altro canto l’energia cinetica degli elettroni dovrà

eguagliare il lavoro compiuto dal campo elettrico eElmh =2

2

2 λ. Quindi otteniamo:

mVmeld

hE /196sin8 22

2

≡=θ

.

16.1.2003 (Es.4) raccolto in F4 In una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza 50 Å e temperatura idealmente uguale a 0 K, sono confinati 6 elettroni. Ad un certo istante sulla buca viene inviata radiazione elettromagnetica policromatica (contenente tutte le lunghezze d’onda). Quale sarà la massima lunghezza d’onda che il sistema sarà in grado di assorbire? I livelli energetici all’interno della buca sono dati dalla formula

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ln

mnπε h

Essendo gli elettroni fermioni, il livello occupato più alto sarà n=3. La massima lunghezza d’onda assorbita (minima energia) corrisponderà alla transizione di un elettrone dal livello n=3 al livello n=4. Quindi:

λπεεε hc

mL==−=∆ 2

22

34 27 h

da cui segue mh

cmL µλ 8.117

8 2==

18.2.2003 (Es.1) Un sistema costituito da una mole di momenti magnetici elementari a temperatura molto bassa si trova inizialmente in un intenso campo magnetico applicato. In queste condizioni si supponga che tutti i momenti magnetici siano orientati parallelamente al campo. Ad un certo istante il campo viene spento ed il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio corrispondente alla distribuzione più probabile. Si calcoli la variazione di entropia in J/K. Poiché l’entropia s è uguale al logaritmo naturale della molteplicità dello stato, la sua variazione

sarà: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

i

f

gg

lnσ in cui 1=ig

Per la funzione di molteplicità usiamo l’approssimazione gaussiana: ANs

AA e

NsNg

2221

2),(−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π, che per

s=0 si riduce a 2

12)0,( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

AA N

Ngπ

. Pertanto la differenza di entropia risuta pari a:

2ln2ln21

AA

NN

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

πσ Poiché il primo termine è trascurabile rispetto al secondo otteniamo

KJRNKS AB 76.52ln2ln ≅==∆

18.2.2003 (Es.2) Si consideri un gas di idrogeno allo stato atomico alla temperatura T=5800 K. Qual è il rapporto tra le probabilità di occupazione del primo livello eccitato e del secondo livello eccitato. Assunto come zero dell’energia il livello di ionizzazione, e chiamata R l’energia dello statofondamentale (pari a R=-13.6eV), abbiamo, per il primo e per il secondo livello eccitato:

τ4)2(R

enP−

== e τ9)3(R

enP−

== Il rapporto di probabilità si determina quindi da:

43)3()2( 4

191

9

4≅==

== ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−τ

τ

τR

R

R

e

e

enPnP

18.2.2003 (Es.3) In un sistema quantistico a due livelli, occupato da una sola particella, la differenza in energia tra i livelli è pari a 0.1 eV. Quale dovrà essere la temperatura in gradi Kelvin perché la probabilità di occupazione del livello superiore sia pari a 0.2? Assumiamo pari a zero l’energia del livello fondamentale, e quindi pari ad ε quella dell’unico livello eccitato. Imponendo quindi quanto richiesto sulla probabilità di occupazione avremo:

2.0

1

)( =

+

=−

−

τε

τε

εe

eP ;

da qui segue 25.0=−

τε

e e quindi:

KK

TB

840)25.0ln(

2 ≅−= ε

18.2.2003 (Es.4) La composizione dell’aria al livello del mare è per il 78% di N2 molecolare (peso molecolare 28 U.A.) e, per il 21% di ossigeno molecolare O2 (peso molecolare 32 U.A.). Determinare la percentuale relativa aspettata ad una quota h di 20 km, immaginando l’atmosfera un gas perfetto isotermo a temperatura di 227 K.

La percentuale relativa tra i due gas nella miscela è anche pari al rapporto tra le concentrazioni, ciascuna delle quali è ovviamente variabile con la quota. A quota zero otteniamo:

27.078.021.0

)0()0(

2

2 ≅=N

O

nn

immaginando l’atmosfera un gas isotermo la concentrazione dei due gas varia con la quota secondo le relazioni:

τghOM

OO enhn2

22 )0()(−

⋅= e τghNM

NN enhn2

22 )0()(−

⋅= . Dal rapporto membro a membro otteniamo la percentuale relativa richiesta:

18.027.0)0()0(

)()( )22()22(

2

2

2

2 ≅⋅=⋅=−

−−

−ττ

ghNMOMghNMOM

N

O

N

O eenn

hnhn

28.2.2003 (Es.1) In un sistema quantistico gli stati energetici elettronici obbediscono alla legge εn=A+Bn3 (n=0,1,2,…), dove A e B sono costanti dalle opportune dimensioni fisiche. E’ noto inoltre che per provocare la transizione di un elettrone dallo stato fondamentale al secondo livello eccitato è necessario inviare sul sistema una radiazione elettromagnetica monocromatica di frequenza ν=1014Hz. Si calcoli la temperatura assoluta per la quale la probabilità di trovare la particella ad energia ε1 è mille volte maggiore della probabilità di trovarla a ε2. I primi tre livelli hanno energia: ;0 A=ε ;1 BA +=ε ;82 BA +=ε Qualunque sia il valore di A (energia di punto zero), il rapporto tra le probabilità di occupazione si determina da:ll rapporto tra i fattori di Boltzmann:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

KTB

KTB

PP

8exp

exp

)()(

2

1

εε

;

dove la costante B si calcola dall’informazione Bh 802 =−= εεν . A questo punto la temperatura cercata si ottiene da:

KKT

hTKT

h

KTB

PP 610

)10ln(87100087

exp10007exp)()(

32

1 ≅=→=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= νν

εε

28.2.2003 (Es.2) Un sistema termodinamico è costituito da 10-2 moli di momenti magnetici elementari (spin) indipendenti a temperatura ambiente ed in un campo esterno applicato B. In queste condizioni il momento magnetico totale totM del sistema è pari a 1.854*10-9 JT-1. Ad un certo istante, il campo magnetico viene spento ed il sistema raggiunge rapidamente un nuovo stato di equilibrio. Calcolare la variazione di entropia termodinamica.

Il momento complessivo totM è pari a )( ↓↑ −= NNM Btot µ in cui Bµ rappresenta il momento magnetico

Elementare (magnetone di Bohr), ↑N ed ↓N il numero di momenti orientati rispettivamente parallelamente ed antiparallelamente al campo.l’eccesso di spin si ottiene quindi direttamente da:

141022 ⋅==−= ↓↑ BMNNs µ

All’equilibrio, con campo spento, avremo ↓↑ = NN e pertanto s=0.. La variazione di entropia, in approssimazione gaussiana (giustificata dal gran numero di spin) sarà:

KJ

NsK

NsNg

NgKsNg

NgKS

AB

A

BA

i

Af

B17

2

2106.4

100

2

100

2exp)0,(

)0,(ln),100(

)0,100(ln −⋅≅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=∆

28.2.2003 (Es.3) Un sistema di N=1024 spin di momento magnetico µ=9.2x10-24 JT-1 viene posto in un campo magnetico uniforme di intensità B=1T. Il sistema è in equilibrio termodinamico alla temperatura T=1 K. Il valore del momento magnetico può assumere solo due direzioni: parallela o antiparallela al campo.. Calcolare quanti dipoli magnetici sono mediamente orientati nelle due direzioni. Il sistema quantistico è a soli due stati energetici, per cui è possibile calcolare la funzione di partizione:

46.2≅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

TBKB

TBKB

eeZµµ

Il numero di dipoli allineati lungo il campo si ottiene moltiplicando il numero totale per la probabilità che uno spin risulti parallelo sia per esempio spin “up”):

23109.7 ⋅≅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

↑↑ ZeNNPN

TBKBµ

Per cui quelli allineati nell’altra direzione sono ovviamente:

↑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

↓↓ −=⋅≅== NNZ

eNNPNTBK

B

23101.2

µ

28.2.2003 (Es.4) Si abbia un sistema a tre stati (0, ε, 2ε ) con ε =0.1 eV, in cui vi è una sola particella. Determinare l’energia media del sistema ad una temperatura T=1000 K. La funzione di partizione vale:

( ) ( ) 41.12expexp1 ≅−+−+= τε

τεZ essendo ( ) 16.1exp ≅− τ

ε

L’energia mediasi scrive pertanto:

( ) ( )eVJ

ZU 045.0102.7

2exp2exp21 ≅⋅≅

−+−= −τ

εετεε

28.2.2003 (Es.1) In una buca di potenziale 1D a pareti di altezza infinita, di larghezza 1 nm sono contenuti N elettroni. Se si illumina la buca di potenziale con radiazione elettromagnetica policromatica, si osservano numerose righe di assorbimento. In particolare, la massima lunghezza d’onda assorbita risulta d uno stato finale ni=3. Questo implica, essendo gli elettroni fermioni, che si debbano avere due elettroni nel secondo livello ed uno stato libero nel terzo livello (zero o un elettrone). N sarà quindi uguale a 4 oppure 5. 28.2.2003 (Es.2) Un elettrone libero che si muove lungo la direzione x, incontra un gradino di potenziale di altezza pari a 2eV e penetra in esso per effetto tunnel quantistico. Sapendo che, alla distanza di 1 nm dalla barriera, la probabilità di trovare l’elettrone si riduce ad un millesimo della probabilità di trovarlo appena all’interno del gradino, si determini l’energia dell’elettrone stesso. La probabilità di trovare l’elettrone oltre il gradino varia secondo la legge dove da cui segue e quindi 28.2.2003 (Es.3) Uno strumento di alta precisione ha consentito di misurare la quantità di moto di un elettrone libero.La misura fornisce un valore p=5*10-24kgm/s con un’incertezza pari ad 1%. Sarebbe possibile determinare contemporaneamente la posizione dell’elettrone con una indeterminazione sulla misura pari ad 0.1 nm? Perché? In queste condizioni quanto varrebbe l’indeterminazione sull’energia dell’elettrone? Poiché se ne deduce che una misura contemporanea con le indeterminazioni richieste è impossibile. Inoltre 28.2.2003 (Es.4) Il catodo di una cellula fotoelettrica è costituito da magnesio che viene illuminato da luce ultravioletta monocromatica di lunghezza d’onda λ=200 nm. Quale deve essere la d.d.p da applicare tra il catodo e l'anodo per annullare la corrente fotoelettrica. La funzione di lavoro del magnesio vale Ψm =3.7 eV. L’energia dei fotoni vale l Quindi il potenziale d’arresto vale Positivo 05.09.2003 (Es.1) Un fascio di raggi X di energia pari a 10 KeV incide con un angolo θ sulla superficie di un cristallo

dando luogo ad un’intensa diffrazione alla Bragg. Quale dovrà essere l’energia di un fascio di neutroni perché, nelle stesse condizioni geometriche, si abbia ancora una riflessione alla Bragg? La lunghezza d’onda dei raggi X sarà = ≅ 1.24 Perché i neutroni possano essere diffratti nelle stesse condizioni geometriche essi dovranno avere la stessa lunghezza d’onda, quindi la loro energia sarà pari a: 05.09.2003 (Es.2) Riscrivere Un elettrone è vincolato in una regione in una dimensione di lunghezza dell’ordine di un diametro atomico, 10−10m. Quanta energia (misurata in eV) va fornita all’elettrone per promuoverlo al primo stato eccitato a partire dall’energia più bassa? In questo stato di energia minima, qual è la probabilità di trovare l’elettrone nella regione fra 0,05×10−10 m e 0,15×10−10 m? Per comodità si fa presente che: L’energia dei vari livelli energetici dell’elettrone è:

Quindi l’energia in eV da fornire all’elettrone vale: Nello stato più basso(n=1) la funzione d’onda vale: Quindi la probabilità di trovare l’elettrone nell’intervallo dato vale: xx.1.2004 (Es.1) raccolto in F4 In un atomo di idrogeno (modello di Bohr), l'elettrone occupa inizialmente uno stato eccitato non noto (di numero quantico ni). In seguito ad assorbimento di energia elettromagnetica, esso viene fatto transire ad uno stato (di numero quantico nf > ni) caratterizzato da un raggio atomico 25 volte maggiore del precedente. Sapendo che nf<15 si calcoli la lunghezza d'onda della radiazione assorbita. Poiché rf=25 ri se ne deduce che nf =5ni (dal momento che il raggio è proporzionale al quadrato del numero quantico). Pertanto l'unica coppia di valori possibili, dovendo essere nf<15, risulta nf=2 ed nf=10.

Dunque: 8 2 ; essendo 13.61 14 100

hc hch A eVA

ν ε ε λλ

= = − ⇒ = =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ne segue: 73.8 10 mλ −= ⋅ xx.1.2004 (Es.2) raccolto in F4 La radiazione elettromagnetica di un laser, caratterizzata da una lunghezza d'onda λ=248nm, investe un bersaglio circolare di raggio 1mm. Sapendo che il numero di fotoni che colpisce in un minuto il bersaglio è N=1016 fotoni, si calcoli l'intensità del fascio (si ricordi che l'intensità, misurata in J/m2s, rappresenta l'energia che attraversa l'unità di area nell'unità di tempo).

La frequenza dei fotoni incidenti è: λ

ν c= Quindi l'energia di un singolo fotone: λ

ν hchE fot ==

L’energia trasportata dagli N fotoni, che investe il bersaglio in un minuto, è: fottot ENE ⋅=

Infine l’intensità si ottiene dal rapporto: sm

Jrt

cNh

AtE

I tot

⋅=

⋅∆=

⋅∆= 22 57.42

πλ

xx.1.2004 (Es.3) raccolto in F4 Tre elettroni, a temperatura idealmente pari allo zero assoluto, sono intrappolati in una buca di potenziale (1D) a pareti infinite, di larghezza pari ad L=20Å. Investendo il sistema quantistico con una radiazione policromatica avente energie E comprese nell'intervallo 1eV<E<5eV, si osservano alcune righe di assorbimento. Si determini il numero delle righe, indicando esplicitamente quali sono le transizioni elettroniche coinvolte, e la massima frequenza assorbita. Poiché gli elettroni sono fermioni, per T che tende allo zero assoluto sono disposti in modo da occupare lo stato fondamentale e, parzialmente, il primo livello eccitato (n=2).

L'autovalore dell'energia εn vale: cost.1006.62

;2

12

222

2

22

==⋅= − BeVmL

connmL

ππ hh

E' facile rendersi conto che con la radiazione policromatica a disposizione possono essere assorbite le energie corrispondenti alle seguenti tre transizioni:

eVBnn 82.1)14( ;21 12 ≈−=−=∆⇒=→= εεε eVBnn 03.3)49( ;32 23 ≈−=−=∆⇒=→= εεε

eVBnn 85.4)19( ;31 13 ≈−=−=∆⇒=→= εεε

Ne consegue che la massima frequenza assorbita sarà: Hzh

1524max 1075.1 ⋅=

−=

εεν

xx.1.2004 (Es.4) raccolto in F4 Soluzione da finire Un neutrone animato da velocità v=200 m/s, incide su una barriera di potenziale di altezza V0 non nota, è in uno stato quantistico caratterizzato da una velocità Si calcoli l'altezza della barriera, sapendo che la probabilità di reperire la particella immediatamente dopo il bordo della buca (x=a+) è 300 volte superiore della probabilità di riscontrarla ad una distanza d=10-8 m (cioè in x=a+d).

L'energia (solo cinetica) della particella è 2

21 mv=ε . La funzione d'onda per x>a si scrive: qxCe− in cui

Il rapporto tra le due probabilità ci dice che xx.1.2004 (Es.5) raccolto in F4 In un atomo di idrogeno (modello di Bohr), l'elettrone occupa inizialmente uno stato eccitato non noto (di numero quantico ni). In seguito ad assorbimento di energia elettromagnetica, esso viene fatto transire ad uno stato (di numero quantico nf > ni) caratterizzato da un raggio atomico 16 volte maggiore del precedente. Sapendo che nf<12 si calcoli la lunghezza d'onda della radiazione assorbita. Poiché rf=16 ri se ne deduce che nf =4ni (dal momento che il raggio è proporzionale al quadrato del numero quantico). Pertanto l'unica coppia di valori possibili, dovendo essere nf<12, risulta nf=2 ed nf=8.

Dunque: eVAA

hchch 6.13 essendo ;

641

4128 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒−== λεελ

ν

Ne segue: m7109.3 −⋅=λ xx.1.2004 (Es.6) raccolto in F4

La radiazione elettromagnetica di un laser è caratterizzata da una lunghezza d'onda λ=248nm e da un'intensità (definita come energia che attraversa l'unità di area nell'unità di tempo) pari a: I=(4mJ)/(cm2s). Si determini il numero dei fotoni che in un minuto investono un bersaglio circolare di diametro d=2mm.

La frequenza dei fotoni incidenti è: λ

ν c= Quindi l'energia di un singolo fotone: λ

ν hchE fot ==

Il bersaglio circolare ha raggio r=1mm e quindi area 222 1014.3 cmr −⋅=π . L'energia totale che investe la superficie del bersaglio in un intervallo di tempo ∆t di 1 minuto è:

tAIEtot ∆⋅⋅= . Infine il numero dei fotoni si ottiene da:

fotonihc

trIhc

tAIEE

Nfot

tot 152

104.9 ⋅=⋅∆⋅⋅=∆⋅⋅== λπλ

xx.1.2004 (Es.7) raccolto in F4 Tre elettroni, a temperatura idealmente pari allo zero assoluto, sono intrappolati in una buca di potenziale (1D) a pareti infinite, di larghezza pari ad L=10Å. Investendo il sistema quantistico con una radiazione policromatica avente energie E comprese nell'intervallo 1eV<E<5eV, si osservano alcune righe di assorbimento. Si determini il numero delle righe, indicando esplicitamente quali sono le transizioni elettroniche coinvolte, e la minima frequenza assorbita. Poiché gli elettroni sono fermioni, per T che tende allo zero assoluto sono disposti in modo da occupare lo stato fondamentale e, parzialmente il primo livello eccitato (n=2)

L'autovalore dell'energia εn vale: cost.1077.32

;2

12

222

2

22

==⋅= − BeVmL

connmL

ππ hh

E' facile rendersi conto che con la radiazione policromatica a disposizione possono essere assorbite le energie corrispondenti alle seguenti quattro transizioni:

eVBnn 13.1)14( ;21 12 ≈−=−=∆⇒=→= εεε eVBnn 89.1)49( ;32 23 ≈−=−=∆⇒=→= εεε

eVBnn 02.3)19( ;31 13 ≈−=−=∆⇒=→= εεε eVBnn 53.4)416( ;42 24 ≈−=−=∆⇒=→= εεε

Ne consegue che la minima frequenza assorbita sarà: Hzh

1412min 1073.2 ⋅=

−=

εεν

xx.1.2004 (Es.8) Un elettrone, in una buca di potenziale a pareti finite di altezza V0 non nota, è in uno stato quantistico caratterizzato da una velocità v=4*105 m/s. Si calcoli l'altezza della barriera, sapendo che la probabilità di reperire la particella immediatamente dopo il bordo della buca (x=a+) è 104 volte superiore della probabilità di riscontrarla ad una distanza d=5nm (cioè in x=a+d).

L'energia (solo cinetica) della particella è 2 201 7.28 102

mv Jε −= = ⋅

La funzione d'onda per x>a si scrive: ( ) qxx Ceψ −= in cui 02 ( )m Vq

ε−=

h

Il rapporto tra le due probabilità ci dice che

22 2

4 2 42 2 2 ( )

( )( ) 10 10( ) ( )

qaqd

q a d

aP x a C e eP x a d C ea d

ψ

ψ

++ −

− +

= = = = ⇒ == + +

Ed utilizzando l'espressione di q si ha finalmente: 2

200

1 2 ln10 7.8 102

V Jm d

ε −⎛ ⎞= + = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠h

.

08.11.2004 (Es.1) Manca soluzione Un numero dispari di elettroni è confinato in una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza L=100 Å, idealmente alla temperatura di 0K. Sapendo che l’elettrone più energetico ha una quantità di moto di modulo pari a p=1.3310-25 Kg·m/s, si determini il numero quantico n dell’ultimo stato (parzialmente) occupato. Se inoltre il sistema viene investito da radiazione elettromagnetica policromatica, quale sarà la più piccola frequenza assorbita? 08.11.2004 (Es.2) Manca soluzione Un numero N di elettroni (con N>4) è confinato in una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza L=50Å, idealmente alla temperatura di 0K. Sapendo che per la transizione di un elettrone dal primo livello eccitato al primo livello energetico disponibile è necessario l’assorbimento di un fotone di frequenza ν = 4.37·1013 Hz, si deduca il numero N di elettroni confinati nella buca. Calcolare inoltre quale “lunghezza d’onda” caratterizza l’elettrone nel nuovo stato quantico raggiunto. Si può dedurre un simile risultato direttamente, dalla conoscenza delle autofunzioni per il sistema in esame? 08.11.2004 (Es.3) Manca soluzione raccolto in F4 Si hanno a disposizione due laser (sorgenti di radiazione idealmente monocromatica), che producono radiazione elettromagnetica sotto forma di impulsi. Nel caso del primo laser ciascun impulso contiene mediamente N1=1017 fotoni, e trasporta un’energia pari a E1=160 mJ. Nel caso del secondo laser ciascun impulso contiene mediamente N2=1016 fotoni, e trasporta un’energia pari a E2=24 mJ. I fotoni di questi laser permettono di ionizzare degli atomi di idrogeno? Ed in caso affermativo, quale sarebbe l’energia cinetica dell’elettrone estratto? 08.11.2004 (Es.4) Manca soluzione raccolto in F4 In un sistema unidimensionale, una particella vincolata a muoversi sulla semiretta positiva dell’asse x è descritta da una funzione d’onda avente la forma qxeqx −= 2)(ψ in cui q = 109 m-1. Si determini la “probabilità di reperimento” della particella nel segmento L1 <x < L2, in cui L1 = 10Å, L2= 20Å 08.11.2004 (Es.5) Manca soluzione raccolto in F4 Uno sperimentatore ha a disposizione tre diverse sorgenti di particelle, accelerate in modo da avere quantità di moto rispettivamente pari a p1 =1.3·10-26 Kg·m/s, p2 =1.6·10-24 Kg·m/s, p3 =1.8·10-23 Kg·m/s. Volendo condurre un esperimento di diffrazione alla Bragg su di un cristallo avente una distanza tra i piani cristallografici pari a d = 4 Å, quale delle tre sorgenti dovrà essere scelta? Per quale angolo tra il fascio incidente e la superficie del cristallo si avrà il primo picco intenso di diffrazione? 08.11.2004 (Es.6) Manca soluzione raccolto in F4 Illuminando con radiazione elettromagnetica monocromatica di frequenza ν1 = 1.3·1015 Hz la superficie di una piastra di un materiale la cui funzione di lavoro Φ non è nota, si osserva che il potenziale d’arresto è pari in modulo a V01 = 0.587 V. Quale sarà il modulo del potenziale d’arresto V02 se si illumina lo stesso materiale mediante radiazione ν2 = 1.5·1015 Hz? 08.11.2004 (Es.7) Manca soluzione raccolto in F4 Un elettrone penetra all’interno di una barriera di potenziale di altezza finita. Sapendo che la probabilità di reperire la particella immediatamente dopo il bordo della barriera (in x=0+) è 104 volte superiore della probabilità di ritrovarla ad una distanza d =10 Å. Calcolare in che rapporto stanno tra loro le probabilità di reperimento nei punti x=d ed x=l, in cui l=15 Å. 08.11.2004 (Es.8) Manca soluzione raccolto in F4

Un fascio di elettroni prodotti ed accelerati da un cannone elettronico, possiede energia cinetica E all’interno di un intervallo EEEEE δδ +≤≤− 00 con E=1.510-18 J e δE=10-20 J. Tale fascio viene fatto incidere sulla superficie di un cristallo caratterizzato da una distanza tra piani cristallografici pari a d=3.9 Å. Si osserva così un picco intenso di diffrazione caratterizzato da un valore centrale θ0 e da una larghezza angolare finita del picco pari a ∆θ. Si calcoli la posizione θ0 del picco, e si stimi la larghezza ∆θ . 4.11.2005 (Es.1) riscrivere! Due sorgenti di elettroni S1 ed S2, distanti a=1m, generano due fasci di elettroni di lunghezze d’onda rispettivamente pari a λ1 e λ2. Le direzioni degli elettroni sono tali che le due “onde di materia” vanno ad interferire costruttivamente nel punto P distante d= 3m dalla sorgente S1. In particolare è noto che il numero N di lunghezze d’onda λ1 che entrano nel segmento d è identico al numero di lunghezze d’onda λ2 che entrano nel segmento l. Sapendo che la quantità di moto degli elettroni generati da S1 è p1 =7•10-25 Kgm/s, si calcoli l’energia degli elettroni generati da S2.

Dobbiamo imporre che valga simultaneamente: ld

lN

dN=⇒

⎩⎨⎧

=

=

2

1

2

1

λλ

λλ

Si può ricavare allora 910

1

22

112 ⋅=+== λλλλd

dadl

e ricordando la

relazione di

de Broglie 1

1 ph=λ otteniamo infine l’energia degli elettroni prodotti dalla sorgente S2:

( ) Jmp

mhph

mh 19

21

9102

21

2

22

2

12 1042.2209

22−⋅≅===

λλε

4.11.2005 (Es.2) In una buca di potenziale 1D a pareti infinite e di larghezza non nota, è confinato un numero pari di elettroni 2N, a temperatura vicina allo zero assoluto. E’ noto che uno dei due elettroni nello stato più energetico del sistema può transire allo stato successivo assorbendo un fotone di lunghezza d’onda λ=16 µm. Si supponga che lo stesso elettrone non ridecada nello stato originario ma in quello di energia immediatamente più bassa (che nel frattempo si è reso disponibile). Sapendo che nel decadimento viene emesso di un fotone di lunghezza d’onda λ=9 µm, si determini il numero 2N di elettroni. Lo stato più energetico è proprio quello di numero quantico N (poiché 2N elettroni dispongono in N livelli per T→0).

Allora in assorbimento (transizione N→N+1) avremo ( )[ ]222

22

12

NNmLASS −+=∆ πε h

Mentre in emissione (transizione N+1→N-1) si avrà: ( ) ( )[ ]222

22

112

−−+=∆ NNmLEMISSπε h

. La larghezza

della buca non è nota, ma dividendo membro a membro le due relazioni otteniamo:

NN

EMISS

ASS

412 +=

∆∆εε

. Ma contemporaneamente è noto che 169==

∆∆

EMISS

ASS

EMISS

ASS

hc

hc

λ

λεε

.

E da confronto si ricava facilmente 4169

412 =→=+ N

NN

; e gli elettroni sono ovviamente 8.

S1

S2

a

d

P

l

S1

S2

a

d

P

l

4.11.2005 (Es.3) Rivedere! I fotoni generati da due differenti laser, di energia hν1 e hν2, investono degli atomi di idrogeno, provocando due transizioni: in un caso dallo stato fondamentale allo stato di numero quantico i (transizione 1→i), nell’altro dallo stato fondamentale allo stato j-esimo (transizione 1→j). Degli stati i e j (sia j>i) si sa che: 1) la differenza tra i momenti angolari dell’elettrone attorno al nucleo nei due casi è pari a: ∆B=Bj-Bi=3h ; 2) il rapporto tra i livelli d’energia Ei/Ej=4. Si determini il valore dell’energia dei fotoni per i due laser. Si tratti il problema adottando il modello semiclassico di Bohr. Dalla condizione h3=− iJ BB si deduce J-i=3 (essendo in generale hNN =B ).

La seconda condizione ci dice invece: ijj

Ai

A

EE

J

i 242

2=→=

−

−= in cui A=13.6 eV.

E risolvendo il sistema: ⎩⎨⎧

==

→⎩⎨⎧

+==

36

32

iJ

iJiJ

Pertanto il quanto dei fotoni dei due laser si ricava dagli assorbimenti:

( ) eVAAiAh i 09.129

82 ≅⋅=−−−=ν

Dalla condizione h3=− iJ BB si deduce J-i=3 (essendo in generale hNN =B ).

La seconda condizione ci dice invece: ijj

Ai

A

EE

J

i 242

2=→=

−

−= in cui A=13.6 eV.

E risolvendo il sistema: ⎩⎨⎧

==

→⎩⎨⎧

+==

36

32

iJ

iJiJ

Pertanto il quanto dei fotoni dei due laser si ricava dagli assorbimenti:

( ) eVAAiAh i 09.129

82 ≅⋅=−−−=ν

( ) eVAAj

Ah j 22.133635

2 ≅⋅=−−−ν

4.11.2005 (Es.4) Un fascio di elettroni liberi di energia cinetica E0 e velocità diretta lungo x, investe un gradino di energia potenziale di altezza U0. E’ noto che la probabilità di reperimento all’interno del gradino nell’intorno del punto di ascissa x=d è un milionesimo della probabilità di reperimento in un intorno del punto x=0+ (cioè immediatamente all’interno del gradino). Se si ripete l’esperimento con lo stesso gradino, ma con un fascio di neutroni isoenergetici, a quale distanza l dall’origine la probabilità di reperimento si riduce ad un milionesimo del valore in x=0+? Sia d= 2nm. Dal primo rapporto tra le probabilità si ricava il q relativo agli elettroni:

( )d

qex

deAx qdqx 10ln310

)0(

)()( 62

2

2222 =→==

=→= −−

+−

ψ

ψψ

Ma vale anche ( )

2002

h

ε−= Umq e pertanto ricaviamo la differenza Uo-ε, che è identica a quella dei

neutroni (isoenergetici): ( ) ( )2

2222

00 210ln9

2 mdmqU hh ==− ε

per i neutroni il tipo di autofunzione è identico, Qx

N eAx −=)(ψ ma questa volta Q si trova da:

( ) ( )m

Md

UMQ NN 10ln322

00 =−=h

ε ed imponendo che 62

2

2

10)0(

)(−−

+==

=Qle

x

l

ψ

ψ si ricava infine:

( ) mMmd

Ql

N

111067.410ln3 −⋅≅==

4.11.2005 (Es.5) Un certo cristallo, al di sotto di una temperatura T, subisce una transizione strutturale, per cui la cella cristallina, inizialmente di forma cubica (di spigoli a=b=c=4Å), si “deforma” in una cella tetragonale (cioè un parallelepipedo di lati (a’=b’ e c’). E’ noto che la transizione causa un aumento dell’1% nelle dimensioni di a e di b. Le leggi dell’elasticità ci dicono inoltre che il volume della cella cristallina si deve conservare. Un ricercatore, volendo rivelare sperimentalmente la transizione, effettua un primo esperimento di diffrazione alla Bragg sul cristallo cubico (distanza tra i piani cristallografici pari a c) ed un secondo esperimento sul cristallo tetragonale (distanza tra i piani pari a c’). Se nel primo caso, con la sorgente di fotoni X a disposizione, si rivela un picco di diffrazione per θ=10.88°, dove sarà rivelato il picco intenso nel secondo esperimento? La conservazione del volume della cella ci dice che:

'''0 cbacbaV ⋅⋅=⋅⋅= da cui

°≅

⋅⋅⋅= A92.3''

'

cbcbac .

La legge di Bragg nel primo esperimento ci dice che ( ) λϑ =sin2c (da cui potrei ricavare la lunghezza d’onda dei raggi X). Nel secondo esperimento ho il picco ad un angolo 'ϑ tale che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] °≅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==→= 10.11sin01.1arcsinsin''arcsin

'2sin2arcsin

'2arcsin''sin'2 2 ϑϑϑλϑλϑ

baba

cc

cc

4.11.2005 (Es.6) raccolto in F4 Una buca di potenziale 1D a pareti infinite ha larghezza L non nota, ma sicuramente compresa nell’intervallo 50Å<L<100Å. Le autofunzioni ψn e ψm relative a due autostati del sistema quantistico (con m>n) sono caratterizzate da “lunghezze d’onda” rispettivamente pari a λn = 28Å e λm =12Å. Si determini la larghezza L, e la frequenza del fotone assorbito nella transizione che porta un elettrone intrappolato in questa buca dallo stato di energia E n a quello di energia E m. Si dica infine da quanti nodi è caratterizzata l’onda stazionaria corrispondente all’autofunzione ψm.

Le lunghezze d’onda λn delle autofunzioni sono legate alla larghezza della buca dalla relazione: 2

nnL λ⋅= .

Mettendo a sistema la condizione per i due numeri quantici n ed m, e tenendo conto delle lunghezze d’onda

date si ottiene 73

2;

2==⇒⋅=⋅=

n

mmn

mnmLnL

λλλλ

. Abbiamo infinite coppie di valori n,m possibili (ad

esempio n=3,m=7 o n=6,m=14 o n=9,m=21 ecc. Ma si verifica facilmente che solo alla coppia 6,14 corrisponde una larghezza della buca (L=84Å) nell’intervallo dato. Infine la differenza in energia si scrive

hν hν

a a’b b’

c c’

cella cubica cella tetragonale

hν hν

a a’b b’

c c’

cella cubica cella tetragonale

[ ] 2

222

2

22

6146,1420614

2 mLh

mL=−=−=∆ πεεε h

e la frequenza assorbita sarà

HzmL

hh

142

6,14 1006.220 ⋅≅=∆

=ε

ν

L’autofunzione Ψ14 sarà caratterizzata da 15 nodi (in generale m+1 nodi per la Ψm). 4.11.2005 (Es.7) La superficie di una lamina di platino (caratterizzato da energia di estrazione pari a Φ= 6.35eV) viene illuminata da una lampada (sorgente policromatica). Effettuando alcuni esperimenti di effetto fotoelettrico a diverse frequenze, ottenibili selezionando con opportuni filtri la radiazione elettromagnetica emessa dalla lampada, si nota che il massimo potenziale d’arresto è pari a Vomax= 6V. Si scopre inoltre che la minima frequenza ottenibile dalla lampada è inferiore alla frequenza di soglia per il platino. Se la radiazione policromatica della medesima lampada investisse degli atomi di idrogeno, quali transizioni elettroniche provocherebbe a partire dallo stato fondamentale? In corrispondenza di quali λ avremmo righe nere d’assorbimento? L’energia massima dei fotoni emessi dalla lampada si ricava dalla relazione

eVeVh MAX 35.120max ≅+Φ=ν . La minima energia è invece sicuramente inferiore a quella che si ricava dalla frequenza di soglia per il platino:

eVhh MINSOGLIA 35.6=Φ<→Φ= νν . Si deduce quindi che illuminando con la stessa lampada degli atomi

di idrogeno possono essere provocate solo le due transizioni n=1→n=2 e n=1→n=3. Con:

[ ] ;2.104116.132,1 eVeV ≅−=∆ε [ ] eVeV 09.129

116.133,1 ≅−=∆ε . Pertanto avremo righe nere

d’assorbimento in corrispondenza delle lunghezze d’onda:

mhc 7

2,12,1 1022.1 −⋅≅

∆⋅=ε

λ

mhc 7

3,13,1 1003.1 −⋅≅

∆⋅=ε

λ

4.11.2005 (Es.8) raccolto in F4Un fascio di elettroni liberi, avente lunghezza d’onda di de Broglie pari a λ0 = 0.8 nm, e velocità diretta lungo x, entra (in x=0) in un campo di forze che determinano un profilo dell’energia potenziale U(x) a “scala”, come in figura. L’altezza di ogni gradino è pari ad U0 = 0.8·10-19 J, l’estensione d=5nm. Si supponga che, nonostante una parziale riflessione del fascio all’incontro con ciascun gradino, una frazione degli elettroni continui nel verso delle x positive. Si determini il numero N di gradini che possono essere superati dagli elettroni “superstiti” prima che si abbia effetto tunnel quantistico. Si calcoli infine il rapporto tra la probabilità di reperimento immediatamente dopo l’inizio del gradino (N+1)-esimo (cioè in x=Nd) e la probabilità a distanza l=0.5 nm (cioè in x=Nd+l). Ricaviamo l’energia iniziale dalla lunghezza d’onda λo

: Jmh 19

20

2

0 1077.32

−⋅≅=λ

ε . Se ne deduce che possono essere superati N=4

gradini (pari in energia a J19102.3 −⋅ ) prima che si abbia effetto tunnel nel quinto gradino.

x

U(x)

v0

U0

d x

U(x)

v0

U0

d

L’energia cinetica “residua” immediatamente prima del tunnel è allora pari a J194 1057.0 −⋅=ε , mentre la

funzione d’onda dentro il quinto gradino sarà: qxex −∝)(ψ in cui però

( ) ( ) 192

002

40 1092.1522 −⋅≈−=−= mUmUmqhh

εε.

Ed infine il rapporto tra le probabilità 8.6)4(

)4(2

2

2

≅=+

qleld

d

ψ

ψ

Balestrino 2005 raccolto in F4 Aggiungere figura Soluzione da finire FIGURA Per molte applicazioni tecnologiche è necessario depositare uno strato sottile (detto film) su un supporto fisico avente proprietà differenti (detto substrato). Una tecnica per misurare lo spessore del film consiste nell’inviare un fascio di radiazione elettromagnetica, collineare e monocromatica, ad un angolo di incidenza θ rispetto alla superficie del film. Parte della radiazione sarà riflessa dalla superficie del film e parte dall’interfaccia. Aumentando l’angolo di incidenza si avranno fenomeni di interferenza che daranno luogo a modulazioni dell’intensità della radiazione riflessa. Supponendo che la lunghezza d’onda della radiazione incidente sia pari a 0.5µm e che il primo massimo dell’intensità riflessa si osservi per θM=10°, si calcoli lo spessore d del film (si supponga il coefficiente di rifrazione n del film pari a 1). La differenza di cammino ottico tra il raggio riflesso dalla superficie del film e quello riflesso dal substrato è dove l rappresenta lo spessore del film. Il primo massimo dell’intensità diffratta si otterrà quando tale differenza di cammino ottico sarà pari alla lunghezza d’onda della radiazione: Balestrino 2005 raccolto in F4 Aggiungere figura Soluzione da finire Un fascio di raggi X di sezione circolare e raggio 1mm, aventi lunghezza d'onda λ=0.1nm, investe perpendicolarmente uno schermo assorbitore di spessore d. L’intensità del fascio all’interno dell’assorbitore diminuisce con la profondità x secondo una legge esponenziale )/exp()( 0 lxIxI −⋅= , dove l è una costante (detta lunghezza d’assorbimento) caratteristica del materiale (nel nostro caso l=1µm). Sapendo che l’intensità I0 del fascio (energia che incide perpendicolarmente su di un’area unitaria nell'unità di tempo) è pari a 10 kJ/m2s , si calcoli lo spessore minimo dell’assorbitore affinché il numero di fotoni X che riescono a passare per secondo sia minore di 100. Il numero di fotoni incidenti sull’assorbitore nell’unità di tempo è pari a

XXX

Detto Nf il numero di fotoni che passano oltre l’assorbitore, poiché l’assorbimento è esponenziale, abbiamo Balestrino 2005 raccolto in F4 Aggiungere figura Soluzione da finire FIGURA Un elettrone (indicato tramite la linea tratteggiata in figura), caratterizzato da una lunghezza d’onda di De Broglie pari a 1 nm, si muove in assenza di forze applicate (regione I). Ad un certo istante l’elettrone attraversa una regione (II), di larghezza d= 1 mm, caratterizzata da un campo elettrico E=10 V/cm diretto come in figura. Successivamente l’elettrone torna a muoversi in una regione (III) priva di forze applicate. Si calcoli la lunghezza d’onda di De Broglie dell’elettrone nella regione III.

L’energia iniziale dell’elettrone è pari a

Il lavoro compiuto dal campo elettrico sarà pari a

Quindi l’energia finale sarà Da cui Balestrino 2005 raccolto in F4 Soluzione da finire Una buca di potenziale 1D a pareti infinite, di larghezza 100 nm, alla temperatura di 0 K, contiene N elettroni. Sapendo che, all’interno della buca, l’elettrone più veloce si muove con una velocità VM pari a 105m/s, si stimi N. Si consideri il modello di particelle indipendenti trascurando quindi l’interazione elettrostatica tra gli elettroni. Gli elettroni sono fermioni è quindi possiamo disporne 2 (uno con spin su ed uno con spin giù) per ogni livello energetico. L’ultimo elettrone avrà un’energia pari a

da cui è possibile ricavare

27/09/2006 raccolto in F4 Un gas di atomi di idrogeno, inizialmente nel loro stato fondamentale, viene eccitato tramite un fascio di fotoni di energia compresa tra 1eV e 12.5 eV. Contemporaneamente, a causa della diseccitazione spontanea del gas, si osserva l’emissione di radiazione elettromagnetica. Quali saranno le lunghezze d’onda della radiazione riemessa dal gas?

L’energia delle transizioni ammesse dell’atomo di idrogeno è pari a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2,1

11n

Anε essendo A=13.6 eV

Pertanto, potranno essere eccitate esclusivamente le transizioni al primo (n=2) ed al secondo stato eccitato (n=3). Nel susseguente processo di decadimento saranno emesse le lunghezze d’onda saranno pari a

n

hc

,1ελ = con n=2 e 3, quindi mm 77 1003.1,1022.1 −− ××≅λ

27/09/2006 raccolto in F4 Un fascio di elettroni di energia ε pari a 1 eV incide su un gradino di potenziale di altezza U pari a 0.8 eV. Si calcoli la frazione di elettroni riflessi dal gradino di potenziale Supponiamo che il gradino si trovi nel punto di ascissa x=0. Le soluzioni saranno:

iKxt

ikxr

ikxi CeBeAe === − ψψψ ,,

dove tri ψψψ ,, rappresentano le funzioni d’onda, rispettivamente, dell’elettrone incidente, riflesso e trasmesso oltre la barriera..

inoltre ( )hh

UmK

mk

−== 00 2

,2 εε

.

Per le condizioni di continuità della funzione d’onda e della sua derivata prima abbiamo:

( )CkKBACBA

/=−=+

da cui risolvendo otteniamo

AkK

KkB ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= da cui segue infine che

( )( )

145.02

2121

21212

2

2

≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−==

UU

kKKk

ABR

εεεε

06/11/2006 Es. 1 raccolto in F4 manca soluzione Un numero dispari N di elettroni è confinato in una buca di potenziale unidimensionale a pareti infinite. Sapendo che, a temperatura idealmente pari allo zero assoluto, la quantità di moto dell’elettrone più energetico è pari a a pmax= 27.5⋅10-26Kgm/s, mentre quella di un elettrone nello stato fondamentale è paria a pmin = 5.5⋅10-26Kgm/s, si determini il numero degli elettroni e la massima lunghezza d’onda assorbita in seguito ad illuminamento del sistema quantistico mediante radiazione elettromagnetica policromatica. 06/11/2006 Es. 2 raccolto in F4 manca soluzione Una sorgente puntiforme S emette in maniera isotropa nel vuoto delle onde sferiche monocromatiche, di lunghezza d’onda λ= 3⋅10-8m. Sapendo che la potenza media della sorgente è pari a WS=100 mW, si determini l’intensità dell’onda a distanza d=1m dalla sorgente, ed il numero di fotoni che investono in un minuto un rivelatore avente la forma di calotta sferica di area A=100cm2, posto a distanza d da S. (Suggerimento: si consideri il fronte d’onda sferico che attraversa la sfera di raggio d). 06/11/2006 Es. 3 raccolto in F4 manca soluzione Degli atomi di idrogeno allo stato gassoso vengono riscaldati in modo tale che vi sia probabilità non trascurabile che l’elettrone, in ciascuno dei diversi atomi, possa occupare oltre allo stato fondamentale, anche il primo ed il secondo stato eccitato. Partendo da questa situazione, se si invia radiazione policromatica di lunghezze d’onda comprese nell’intervallo 7⋅10-

7m<λ<9⋅10-7m si osserva che alcuni atomi vengono ionizzati. Si stimino le energie cinetiche degli elettroni estratti. 06/11/2006 Es. 4 raccolto in F4 manca soluzione Un elettrone libero, di energia cinetica pari a 1.2⋅10-19 J, incide su di un gradino di potenziale di lunghezza infinita, ed altezza U0=1eV. Esso penetra per effetto tunnel quantistico (cioè la probabilità di reperimento all’interno del gradino è pari ad 1). Si deduca la forma generale della funzione d’onda, e dopo averla correttamente normalizzata si calcoli la probabilità di reperire l’elettrone in punti che distino più di d=5 Å dall’inizio del gradino (cioè da O). 06/11/2006 Es.5 manca soluzione rivedere Due sorgenti puntiformi S1 ed S2 trasmettono in modo isotropo nel vuoto delle onde elettromagnetiche sferiche e monocromatiche, di lunghezza d’onda rispettivamente pari a λ1=12 cm e λ2. (con λ1>λ2). Un rivelatore può scorrere sull’asse y, e rivela il primo massimo d’intensità dovuto ad interferenza costruttiva tra le due onde ad una distanza d = 60 cm dalle due sorgenti. Si determini λ2 , e si deduca la posizione (cioè la distanza dalle sorgenti) del massimo successivo. Nota: la semidistanza tra le sorgenti è inferiore a d, come in figura. 06/11/2006 Es. 6 manca soluzione In una buca di potenziale unidimensionale a pareti infinite è confinato un numero dispari N di elettroni. Sapendo che, a temperatura idealmente pari allo zero assoluto, la quantità di moto dell’elettrone più energetico è pari a a pA =19.8⋅10-26Kgm/s, mentre quella di un elettrone che occupa il primo stato eccitato è pari a a pB = 6.6⋅10-26Kgm/s, si determini il numero degli elettroni e la minima frequenza assorbita in seguito ad illuminamento del sistema quantistico mediante radiazione elettromagnetica policromatica. 06/11/2006 Es. 7 raccolto in F4 manca soluzione Un elettrone è in uno stato quantistico caratterizzato da un tempo di vita pari a δt=10-13s, ed il valore teoricamente previsto della sua velocità è vicino a v0=2⋅105m/s. Volendo confermare la previsione, si impiega uno strumento capace di effettuare la misura con due diverse modalità. Esse forniscono misure affette da errori relativi nominalmente pari all’1% ed allo 0.1%. Le due misure sono entrambe attendibili? Perché?

S

AA

d

S

AA

d

x

e-

O x

e-

O

d d

S1

y

R

S1S2

d d

S1

y

R

S1S2

06/11/2006 Es. 8 raccolto in F4 manca soluzione Degli atomi di idrogeno allo stato gassoso vengono riscaldati in modo tale che vi sia probabilità non trascurabile che l’elettrone, in ciascuno dei diversi atomi, possa occupare oltre allo stato fondamentale anche il primo ed il secondo stato eccitato Partendo da questa situazione, se si inviano fotoni di energie comprese nell’intervallo 2⋅10-

19J<Ε<6⋅10-19J si osserva che alcuni atomi vengono ionizzati. Si stimino le energie cinetiche degli elettroni estratti. 06/12/2006 Es. 1 manca soluzione L’elettrone di un atomo di idrogeno occupa ad un certo istante l’orbitale di uno stato eccitato. Sapendo che in questo caso si ha grande probabilità di reperire l’elettrone ad una distanza dal nucleo pari a 4.75 Å, si determini la lunghezza d’onda del fotone che viene emesso nel momento in cui l’elettrone ridecade nello stato fondamentale 06/12/2006 Es. 2 manca soluzione Un elettrone, confinato in una buca di potenziale di lunghezza L=2a=100 Å, possiede energia pari ad E=9.66⋅10-21 J. Si deduca lo stato dell’elettrone e la sua autofunzione. Si stimi infine la probabilità di reperire questo elettrone nel segmento 0<x<a/2 (avendo posto l’origine al centro della buca). Si poteva dedurre il risultato trovato dalla conoscenza dell’autofunzione? (Si ricordano le identità trigonometriche [ ])2cos(12

1)(cos2 αα +⋅= e

[ ])2cos(121)(sin2 αα −⋅=

25/09/2007 manca soluzione riciclo? In una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza 50 Å e temperatura idealmente uguale a 0 K, sono confinati 6 elettroni. Ad un certo istante sulla buca viene inviata radiazione elettromagnetica policromatica (contenente tutte le lunghezze d’onda). Quale sarà la massima lunghezza d’onda che il sistema sarà in grado di assorbire? 25/09/2007 manca soluzione riciclo? La radiazione elettromagnetica di un laser è caratterizzata da una lunghezza d'onda λ=248nm e da un'intensità (definita come energia che attraversa l'unità di area nell'unità di tempo) pari a: I=(4mJ)/(cm2s). Si determini il numero dei fotoni che in un minuto investono un bersaglio circolare di diametro d=2mm. 25/02/2008 raccolto in F4 manca soluzione Lo spettro della radiazione emessa da una lampada presenta intensità non trascurabili per frequenze comprese nell’intervallo νnim<ν<νmax. Se tale radiazione illumina la superficie di una placca di tungsteno (potenziale di estrazione Φ=4.52 eV) quale sarà la minima frequenza assorbita per effetto fotoelettrico esterno? Si stimino inoltre la minima e la massima velocità dei fotoelettroni. Siano νmin=1⋅1015 Hz e νmax 1.3⋅1015 Hz. 25/02/2008 raccolto in F4 manca soluzione Un fascio di elettroni di lunghezza d’onda di de Broglie pari a λe=1.37nm incide su di un gradino di potenziale di altezza U0=1eV e profondo L=3nm. Si stimi la probabilità che un elettrone possa penetrare per effetto tunnel quantistico nella regione x>L. Che lunghezza d’onda a λN dovrebbero avere dei neutroni affinché la probabilità di tunnel risulti la medesima degli elettroni? 29/02/2008 raccolto in F4 manca soluzione Per determinare la distanza tra i piani cristallografici di un cristallo mediante un esperimento di diffrazione alla Bragg viene impiegata una sorgente di raggi

xO L

n

e-

U0

xO L

n

e-

U0

X di lunghezza d’onda λ=1.54Å. Lo spettro di diffrazione presenta un picco nell’intensità per un angolo pari a θ=10.56° al primo ordine di diffrazione (n=1). A quale angolo si sposterebbe il picco di interferenza costruttiva se lo stesso cristallo venisse studiato mediante un fascio di elettroni di energia E=77eV? 29/02/2008 raccolto in F4 manca soluzione All’interno di una buca di potenziale unidimensionale di larghezza L=60Å, un elettrone, inizialmente nello stato fondamentale, transisce ad uno stato eccitato di numero quantico n mediante assorbimento di un fotone. Sapendo che la lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone nel nuovo stato è pari a λn= 40Å, si determini la frequenza del fotone assorbito, e la probabilità di reperimento della particella nel segmento 34

LxL << raccolto in F4 manca soluzione L’elettrone di un atomo di idrogeno, riscaldato a temperatura molto alta, giace nel primo stato eccitato nell’istante in cui l’atomo viene investito da fotoni di frequenza ν=2⋅1015Hz. Si stabilisca se l’energia dei fotoni è sufficiente per ionizzare l’atomo, ed in caso affermativo si determini la velocità dell’elettrone estratto 12/02/2009 raccolto in F4 Un elettrone avente quantità di moto

skgmp /106 251

−⋅= incide su di una barriera di potenziale di altezza U0=1.5 eV e lunghezza infinita. Nell’ipotesi che esso penetri con certezza all’interno del gradino per effetto tunnel quantistico, si scriva l’espressione opportunamente normalizzata della funzione d’onda relativa alla particella. Si stimi la probabilità di reperire l’elettrone entro una distanza d=5Å dall’inizio del gradino (cioè in 0<x<d). Cosa cambierebbe effettuando l’esperimento con un neutrone avente la stessa quantità di moto? E con un elettrone di quantità di moto skgmp /109 25

2−⋅= ? Suggerimento: per

normalizzare la funzione d’onda si ricordi che la particella è presente con probabilità pari al 100% nella zona di ascisse positive. L’energia cinetica dell’elettrone è pari a

eVJm

p24.11098.1

219

21

1 ≅⋅≅= −ε

effettivamente inferiore all’altezza del gradino. Per cui la funzione d’onda si scrive qxCex −=)(ψ valida sulla semiretta delle x positive, in cui

( ) 192

10 106.22 −⋅≅

−= m

Umq

h

ε, mentre la costante C si ricava imponendo la condizione di

normalizzazione, poiché si ha la certezza di reperire l’elettrone in punti a destra dell’origine:

∫ ∫∞ ∞

− =→=→=0 0

222 211)( qCdxeCdxx qxψ

A questo punto la probabilità richiesta si ricava da:

[ ] %6.9212)()0( 2

00

2

0

22 ≅−=−===<< −−−∫ ∫ qdd

dqxd

qx eedxqedxxdxP ψ

Procedendo analogamente nel caso del neutrone, a causa della massa maggiore l’energia cinetica risulta molto inferiore ad U0, cosicché la probabilità di “penetrazione” all’interno del gradino scende a zero molto più velocemente che nel caso dell’elettrone, e la probabilità di reperire neutrone nell’intervallo richiesto è praticamente pari al 100%:

x

y

L/2-L/2 O x

y

L/2-L/2 O

x0

U0

p0

d x0

U0

p0

d

eVMp

N4

21 107.6

2−⋅≅=ε ; per cui 000 UUU NN ≅−→<< εε

allora per il neutrone QxeQx −⋅= 2)(ψ in cui 1112

0 107.22 −⋅≅= mUMQ N

h

Ed allora la probabilità di reperimento del neutrone nell’intervallo richiesto è circa 1. Il secondo elettrone ha energia maggiore dell’altezza del gradino. In questo caso non si ha effetto tunnel, ma una diminuzione dell’energia cinetica se l’elettrone prosegue in punti oltre l’inizio del gradino, oppure una riflessione. 12/02/2009 raccolto in F4 In una buca di potenziale unidimensionale a pareti infinite è confinato un numero pari N di elettroni. Sapendo che, a temperatura idealmente pari allo zero assoluto, la più grande e la più piccola lunghezza d’onda di de Broglie degli elettroni confinati in questa buca sono pari rispettivamente a λmax=160Å e λmin =40Å, si determini il numero N degli elettroni e la più grande lunghezza d’onda assorbita in seguito ad illuminamento del sistema quantistico mediante radiazione elettromagnetica policromatica. La lunghezza d’onda massima è quella che compete all’elettrone nello stato fondamentale:

max

2

1 2 λε

mh= , mentre si deduce facilmente che l’elettrone più energetico è quello con lunghezza

d’onda λmin, occupa lo stato n=4. Pertanto gli elettroni confinati sono otto. Ricordando inoltre la

relazione che lega le lunghezze d’onda di de Broglie alla larghezza della buca: 2nnL λ= , si ricava

L=80 Å. Infine la lunghezza d’onda del fotone assorbito in seguito alla transizione n=4→n=5:

( ) mh

mcLmLhhch ass

assass µλεε

λν 4.23

981625

8

2

2

2

45 ==→−=−==

TERMODINAMICA STATISTICA

17.2.2001 raccolto in F4 Due sistemi termodinamici isolati &1 ed &2 sono costituiti rispettivamente da N1=N2=1022 momenti magnetici elementari (spin). Inizialmente l’eccesso di spin 2s1

o nel primo sistema è pari a 2*1012, mentre nel secondo è pari a 0. Ad un certo istante i due sistemi vengono posti in contatto termico. Si chiede di calcolare: • Gli eccessi di spin 2s1 e 2s2 all’equilibrio; • La variazione di entropia del sistema &1+&2 (∆σ=σfin-σin) tra lo stato finale di equilibrio e lo stato

iniziale.

Inizialmente: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

NS

Ng N

2012

101

2exp22π

e NN

g 22 21

02 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

π Avendo posto N1=N2=N

Quindi: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

NS

Ngg N

20120

201

2exp22

π

In generale ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NSS

NS

Ngg N

21

212

21)(22

exp22π

avendo posto 12 SSS −= con 1221 10=+= SSS nel nostro caso.

pertanto 21 gg è massimo quando ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=−+

211

221

21

21 22)(22

SSSSSNN

SSNS è minimo ⇒

imponiamo 2

0240)22( 11122

11

SSSSSSSSdSd =⇒=−⇒=−+

Questo è effettivamente un minimo perché 021

2>

dSd

In conclusione 1101

21 1052

⋅=== SSS e ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

NS

Ngg N

2012

212

exp22π

E infine: 222

24201

201

2010

20121 10

10102lnln ===+−=−=−=∆

NS

NS

NSggggINFIN σσσ

17.2.2001 raccolto in F4 Un neutrone è confinato in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza L=10 Å. Se il rapporto tra le probabilità di occupazione del primo livello eccitato e del secondo livello eccitato (P(ε2)/P(ε3)) è uguale a 10, quale sarà la temperatura in gradi Kelvin del sistema?

I livelli energetici ε n sono: 222

2n

LMn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= πε h . Inoltre sappiamo che da un lato 10

)()(

3

2 =εε

PP dall’altro

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

τεε

εε 23

3

2 exp)()(

PP . Pertanto: KT

LMTK

LM B 5)10ln(

52

52

)10ln(2222

23 ≈⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−= π

τπ

τεε hh

17.2.2001 raccolto in F4 Si dimostri che il calore molare CV di un sistema di oscillatori armonici quantistici a tre dimensioni indipendenti tende a 0 quando la temperatura tende a 0. L’energia media di un singolo oscillatore quantistico di pulsazione ω è ωh>=< SU con:

Z

sessPS s

s

s

∑−

∑ =>=<τωh

)( Calcoliamo la funzione di partizione ∑−

=s

s

eZ τωh

Ponendo xe =−

τωh

, e poiché x<1, si può sfruttare la formula: Z

ex

xs

s =

−

=−

=−

∑

τωh

1

11

1

Per calcolare ∑−

s

s

se τωh

poniamo τωh=y . Per cui:

( )2111

y

y

ys

sy

s

sy

e

eedy

dedydse

−

−

−∑ −∑ −

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=−= Quindi

( )1

1

1−

=−

>=<−

−

τωh

ee

eS

y

y Quindi l'energia di una mole di oscillatori si ottiene moltiplicando l'energia media

U per il numero di Avogadro NA e per 3 (oscillatori 3D):

1

3

−

⋅=

τω

ωh

h

e

NU Amole .

Il calore molare è definito come:

( )22

2

1

3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⋅==

τω

τω

τω

τ h

h

h

e

eNddUcV ed effettivamente per 0→τ abbiamo

( ) 02

2→≈≈

−−τω

τω

τω

hhh eeNcV

17.2.2001 raccolto in F4 Un gas ideale di molecole di idrogeno (H2) alla temperatura di 300 K, è contenuto in un recipiente cilindrico. Il recipiente è in rotazione intorno al proprio asse con velocità angolare ω=1000 rad/s. Supposta n(0) la concentrazione delle molecole a distanza 0 dall’asse di rotazione, a quale distanza r dall’asse di rotazione la concentrazione n(r) sarà uguale a 2n(0)? Si ricordi che la forza centrifuga è pari a mω2r.

L'energia potenziale del campo della forza centrifuga è 2

22rMω− Per cui il potenziale chimico totale è

: =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2)(ln

22rMn

rn

a

ωτµ costante

La costante si può ricavare dal valore per r=0: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aa nnrM

nrn )0(ln

2)(ln

22τωτ

Da cui si ricava

)2ln(22

exp)0()(2

222

ωτ

τω

MrrMnrn =⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e quindi finalmente: cmM

TKr B 2

2103.1)2ln(

2⋅≈=

ω

N.B. la massa della molecola di H2 è circa uguale alla massa di 2 protoni. 26.2.2001 raccolto in F4

Due contenitori metallici, in contatto termico con una sorgente a 1000 K ed in contatto diffusivo tra di loro tramite un sottile condotto costituito da un materiale isolante elettrico, sono riempiti di un gas di atomi di idrogeno ionizzato (H+) a bassa concentrazione. Ad un certo istante viene applicata ai due contenitori una differenza di potenziale elettrico pari a 0.1 V. Supponendo che il gas di ioni di idrogeno si comporti come un gas perfetto, si calcoli il rapporto tra le concentrazioni del gas nei due contenitori.

Il potenziale chimico del gas perfetto è: annlnint τµ = In condizioni di equilibrio costanteint =+= exttot µµµ

Se ∆V=0.1Volt è la differenza di potenziale tra le due parti a potenziale V+ e V- allora vale:

VqnVn

nVn

aa∆+= +− )(ln)(ln ττ dove q è la carica del protone (H+). Pertanto il rapporto tra le concentrazioni sarà

2.3)()( ≈=

∆

+

− τVq

eVnVn

26.2.2001 raccolto in F4 Dimostrare che l’energia libera di Helmotz si può esprimere in funzione della temperatura τ e della funzione di partizione Z tramite la relazione F= -τ ln (Z).

Combinando il I principio della termodinamica τσ−= UF con la relazione termodinamica V

F⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂τ∂σ si

ottiene l’equazione differenziale V

FUF ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∂τ∂τ ovvero:

( )∂τ

τ∂τ

FU 2−= (#)

Ricordando che ∑−

=s

SeZ τ

ε e che

∂τ∂τ

ε τε

ZZ

eU s

S

S ln2==∑

−

Si vede immediatamente che l’equazione (#)

è soddisfatta se ZF ln−=τ ovvero se ZF lnτ−

26.2.2001 raccolto in F4 Si calcoli quale dovrebbe essere la pressione di un gas di idrogeno molecolare (H2) a temperatura ambiente affinché la sua concentrazione eguagli la concentrazione quantica nQ.

La concentrazione quantica è pari a: 2

3

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=hπτMnQ ove M è la massa della molecola di idrogeno (≈ 2

protoni). Ma la concentrazione n può essere ricavata anche dall’equazione di stato dei gas perfetti

τNPV = (dove N è il numero di molecole di gas): τP

VNn == per cui uguagliando:

atmMPMnPQ

523

2

23

2 1015.122

⋅≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

hh πττ

πτ

τ

6.9.2001 24.9.2001 (Es.1) Raccolto in F4 Nel silicio gli stati elettronici pieni (banda di valenza) sono separati da quelli vuoti (banda di conduzione) da un intervallo di energia proibita pari a 1.14 eV. A temperature molto basse, idealmente T=0, i livelli elettronici nella banda di valenza sono tutti pieni e quelli nella banda di conduzione sono tutti vuoti. Se si vuole promuovere un elettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione, tramite assorbimento di radiazione elettromagnetica, quale lunghezza d’onda si dovrà utilizzare? Si ha assorbimento quando l’energia del fotone è almeno uguale alla energia della gap

mc

hcEh g6101.1/ −×==⇒== νλλνν

24.9.2001 (Es.1) Si dimostri che l’energia libera di Helmotz F è legata alla funzione di partizione Z dalla relazione F=-kBTlnZ Vedi testo di riferimento 24.9.2001 raccolto in F4 Come varia la concentrazione di molecole, e quindi la pressione, nell’atmosfera terrestre in funzione della quota h? Si consideri l’atmosfera costituita da un gas ideale di molecole di azoto N2 di massa M, in contatto termico e diffusivo. Si supponga inoltre che la temperatura non dipenda dalla quota h e sia pari a T. Il potenziale chimico totale sarà Mgh+= intµµ

All’equilibrio ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

QQ nnMgh

nhn )0(ln)(ln ττ con TkB=τ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⇒

τMghnhn exp)0()(

16.02.2002 (Es.1) raccolto in F4 Due recipienti adiabatici identici, collegati da un rubinetto, contengono una mole di gas perfetto. Inizialmente il rubinetto è chiuso ed il gas è confinato nel primo recipiente mentre il secondo è vuoto. Ad un certo istante il rubinetto viene aperto ed il gas si espande nel secondo recipiente. Si calcoli la funzione di molteplicità g del gas sia nello stato iniziale che in quello finale. Si stimi infine la variazione di entropia conseguente alla trasformazione. Nella situazione iniziale, poiché tutte le molecole si trovano nel primo contenitore, abbiamo

1!0!

! ==A

Ai N

Ng

Nella situazione finale, al termine dell’espansione, le molecole di gas saranno distribuite con eguale

probabilità tra il primo ed il secondo contenitore. Quindi ( ) )!2/(!2/!

AA

Af NN

Ng = . Poiché NA è un numero

molto grande, potremo utilizzare l’approssimazione gaussiana. Quindi N

Af N

g 222/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

π. Avremo quindi:

2lnln212lnlnln AAifif NNgg +−=−=−=∆

πσσσ . I primi due termini sono trascurabili rispetto al

terzo, quindi 176.52ln2ln −===∆=∆ JKRNkkS ABB σ 16.02.2002 (Es.2) raccolto in F4 Un singolo elettrone è confinato in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza 50Å ed a temperatura ambiente. Quale sarà il rapporto tra le probabilità di occupazione del primo livello eccitato e del livello fondamentale? E tra il secondo livello eccitato e lo stato fondamentale? L’energia dei primi due livelli sarà:

2

22

1 2mLπε h

= , 2

22

2 24

mLπε h=

di conseguenza avremo:

17.0exp)()( 21

1

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

τεε

εε

PP

e 01.0exp)()( 31

1

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

τεε

εε

PP

16.02.2002 (Es. 3) Nel caso del sistema illustrato nell’esercizio 2, si calcoli l’energia media dell’elettrone.

Considerando solo i primi tre livelli (infatti si può verificare che 4

1

4 10)()( −≈

εε

PP

) otteniamo:

eVZ

U SS 2102.2)/exp( −⋅=

−= ∑ τεε

16.02.2002 (Es.4) La presenza di una membrana semipermeabile consente ad alcune cellule vegetali di mantenere al loro interno una concentrazione di ioni potassio (K+) maggiore di un fattore 104 rispetto alla concentrazione nell’ambiente circostante. Supponendo che la cellula si trovi a temperatura ambiente, si stimi la differenza di potenziale elettrico tra l’interno e l’esterno della cellula. Si supponga che il potenziale chimico abbia l’espressione data nel caso del gas perfetto. In condizioni di equilibrio, la differenza di potenziale chimico tra l’interno e l’esterno della cellula sarà uguale alla differenza di potenziale elettrostatico:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Qnn

lnτµ da cui VnnVe

e

i 23.0ln ==∆=∆ τµ

16.02.2002 (Es.1) 16.02.2002 (Es.2) 16.02.2002 (Es.3) 16.02.2002 (Es.4) 09.09.2002 In un sistema termodinamico 20 spin (momenti magnetici elementari) sono inizialmente allineati in modo casuale (quindi 10 "up" e 10 "down"). Successivamente viene acceso un campo magnetico esterno uniforme, che ne determina l'allineamento. Ad un certo momento il 70% degli spin risultano orientati secondo il campo (mentre i rimanenti sono antiparalleli). Si determini quale sarà la differenza di entropia (statistica e classica) tra questa configurazione finale e quella iniziale. Le funzioni di molteplicità iniziale e finale sono rispettivamente:

! 20! ;! ! 10!10!iNg

N N↑ ↓

= = e ! 20!

! ! 14!6!fNg

N N↑ ↓

= = . Pertanto:

20! 10! 10!ln( ) ln( ) ln 1.56

14! 6! 20!f ig gσ ⋅⎛ ⎞∆ = − = ⋅ ≅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠. E infine: 232.16 10 /BS K J Kσ −∆ = ⋅∆ ≅ − ⋅

09.09.2002 Alcune molecole di gas (ossigeno molecolare, O2) sono libere di muoversi in un contenitore alla temperatura T=10K. Supponendo che esse siano sottoposte unicamente all'azione della forza peso, e sapendo che la concentrazione ad una quota scelta come riferimento (y=0) è pari a 50 volte la concentrazione quantica, si calcoli per quale quota y la concentrazione delle molecole si riduce a 49 volte nQ. L'energia potenziale del campo della forza peso è Mgy in cui 2* . .( )M P A Ossigeno= ≈32 masse protoniche.

Per cui il potenziale chimico totale è :( )ln

Q

n y Mgyn

µ τ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

costante

La costante si può ricavare dal valore di riferimento (per y=0):

( )( ) (0)ln ln ln 50Q Q

n y nMgyn n

τ τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ed imponendo ( ) 49 Qn y n= ⋅ si ricava la quota cercata: 50ln 5.349

y mMgτ ⎛ ⎞= ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

26.9.2002 Si calcoli la variazione della media termica dell’energia di un sistema costituito da NA (numero di Avogadro) dipoli elettrici indipendenti, di momento p=10-26Cm, a temperatura ambiente a seguito dell’accensione di un campo elettrico costante E=1000V/m. Si supponga che i dipoli possano orientarsi esclusivamente parallelamente o antiparallelamente al campo applicato Ciascun momento elementare può essere orientato parallelamente o antiparallelamente al campo esterno, l’energia sarà rispettivamente -pE oppure +pE. La media termica dell’energia senza campo sarà nulla, successivamente sarà:

JNUee

eepE ApEpE

pEpE

2104.1 −

−

−

×−≅=⇒+

−= εεττ

ττ

26.9.2002 rivedere! Nel caso illustrato nell’esercizio 3 il momento complessivo (somma di tutti i dipoli elementari) di dipolo elettrico P sia pari a 2.17*10-2 Cm. Ad un certo istante, il campo elettrico viene spento ed il sistema raggiunge rapidamente un nuovo stato di equilibrio. Calcolare la variazione di entropia termodinamica. Si utilizzi l’approssimazione gaussiana per la funzione di molteplicità. Il momento complessivo P è pari a p(N↑-N↓), dove p rappresenta il momento di dipolo elementare, N↑ ed N↓ il numero di dipoli orientati rispettivamente parallelamente ed antiparallelamente al campo. Si ottiene quindi (N↑-N↓)=P/p=2.17*1024=2s. All’equilibrio con campo spento avremo N↑=N↓, s=0. La variazione di entropia statistica sarà:

),()0,(

lnsNg

Ng

Ai

Af=∆σ

Utilizzando l’approssimazione gaussiana: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

AAfAi N

sNgsNg22exp)0,(),(

Quindi KJNskkS

ABB /502 2

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆=∆ σ

18.2.2003 (Es.1) raccolto in F4 Un sistema costituito da una mole di momenti magnetici elementari a temperatura molto bassa si trova inizialmente in un intenso campo magnetico applicato. In queste condizioni si supponga che tutti i momenti magnetici siano orientati parallelamente al campo. Ad un certo istante il campo viene spento ed il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio corrispondente alla distribuzione più probabile. Si calcoli la variazione di entropia in J/K. Poiché l’entropia s è uguale al logaritmo naturale della molteplicità dello stato, la sua variazione

sarà: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

i

f

gg

lnσ in cui 1=ig

Per la funzione di molteplicità usiamo l’approssimazione gaussiana: ANs

AA e

NsNg

2221

2),(−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π, che per

s=0 si riduce a 2

12)0,( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

AA N

Ngπ

. Pertanto la differenza di entropia risuta pari a:

2ln2ln21

AA

NN

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

πσ Poiché il primo termine è trascurabile rispetto al secondo otteniamo

KJRNKS AB 76.52ln2ln ≅==∆

18.2.2003 (Es.2) raccolto in F4Si consideri un gas di idrogeno allo stato atomico alla temperatura T=5800 K. Qual è il rapporto tra le probabilità di occupazione del primo livello eccitato e del secondo livello eccitato. Assunto come zero dell’energia il livello di ionizzazione, e chiamata R l’energia dello statofondamentale (pari a R=-13.6eV), abbiamo, per il primo e per il secondo livello eccitato:

τ4)2(R

enP−

== e τ9)3(R

enP−

== Il rapporto di probabilità si determina quindi da:

43)3()2( 4

191

9

4≅==

== ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−τ

τ

τR

R

R

e

e

enPnP

18.2.2003 (Es.3) raccolto in F4In un sistema quantistico a due livelli, occupato da una sola particella, la differenza in energia tra i livelli è pari a 0.1 eV. Quale dovrà essere la temperatura in gradi Kelvin perché la probabilità di occupazione del livello superiore sia pari a 0.2? Assumiamo pari a zero l’energia del livello fondamentale, e quindi pari ad ε quella dell’unico livello eccitato. Imponendo quindi quanto richiesto sulla probabilità di occupazione avremo:

2.0

1

)( =

+

=−

−

τε

τε

εe

eP ;

da qui segue 25.0=−

τε

e e quindi:

KK

TB

840)25.0ln(

2 ≅−= ε

18.2.2003 (Es.4) raccolto in F4 La composizione dell’aria al livello del mare è per il 78% di N2 molecolare (peso molecolare 28 U.A.) e, per il 21% di ossigeno molecolare O2 (peso molecolare 32 U.A.). Determinare la percentuale relativa aspettata ad una quota h di 20 km, immaginando l’atmosfera un gas perfetto isotermo a temperatura di 227 K. La percentuale relativa tra i due gas nella miscela è anche pari al rapporto tra le concentrazioni, ciascuna delle quali è ovviamente variabile con la quota. A quota zero otteniamo:

27.078.021.0

)0()0(

2

2 ≅=N

O

nn

immaginando l’atmosfera un gas isotermo la concentrazione dei due gas varia con la quota secondo le relazioni:

τghOM

OO enhn2

22 )0()(−

⋅= e τghNM

NN enhn2

22 )0()(−

⋅= . Dal rapporto membro a membro otteniamo la percentuale relativa richiesta:

18.027.0)0()0(

)()( )22()22(

2

2

2

2 ≅⋅=⋅=−

−−

−ττ

ghNMOMghNMOM

N

O

N

O eenn

hnhn

28.2.2003 (Es.1) raccolto in F4 In un sistema quantistico gli stati energetici elettronici obbediscono alla legge εn=A+Bn3 (n=0,1,2,…), dove A e B sono costanti dalle opportune dimensioni fisiche. E’ noto inoltre che per provocare la transizione di un elettrone dallo stato fondamentale al secondo livello eccitato è necessario inviare sul sistema una radiazione elettromagnetica monocromatica di frequenza ν=1014Hz. Si calcoli la temperatura assoluta per la quale la probabilità di trovare la particella ad energia ε1 è mille volte maggiore della probabilità di trovarla a ε2. I primi tre livelli hanno energia: ;0 A=ε ;1 BA +=ε ;82 BA +=ε Qualunque sia il valore di A (energia di punto zero), il rapporto tra le probabilità di occupazione si determina da:ll rapporto tra i fattori di Boltzmann:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

KTB

KTB

PP

8exp

exp

)()(

2

1

εε

;

dove la costante B si calcola dall’informazione Bh 802 =−= εεν . A questo punto la temperatura cercata si ottiene da:

KKT

hTKT

h

KTB

PP 610

)10ln(87100087

exp10007exp)()(

32

1 ≅=→=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= νν

εε

28.2.2003 (Es.2) raccolto in F4 Un sistema termodinamico è costituito da 10-2 moli di momenti magnetici elementari (spin) indipendenti a temperatura ambiente ed in un campo esterno applicato B. In queste condizioni il momento magnetico totale totM del sistema è pari a 1.854*10-9 JT-1. Ad un certo istante, il campo magnetico viene spento ed il sistema raggiunge rapidamente un nuovo stato di equilibrio. Calcolare la variazione di entropia termodinamica. Il momento complessivo totM è pari a )( ↓↑ −= NNM Btot µ in cui Bµ rappresenta il momento magnetico

elementare (magnetone di Bohr), ↑N ed ↓N il numero di momenti orientati rispettivamente parallelamente ed antiparallelamente al campo. L’eccesso di spin si ottiene quindi direttamente da:

141022 ⋅==−= ↓↑ BMNNs µ

All’equilibrio, con campo spento, avremo ↓↑ = NN e pertanto s=0.. La variazione di entropia, in approssimazione gaussiana (giustificata dal gran numero di spin) sarà:

KJ

NsK

NsNg

NgKsNg

NgKS

AB

A

BA

i

Af

B17

2

2106.4

100

2

100

2exp)0,(

)0,(ln),100(

)0,100(ln −⋅≅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=∆

28.2.2003 (Es.3) raccolto in F4Un sistema di N=1024 spin di momento magnetico µ=9.2x10-24 JT-1 viene posto in un campo magnetico uniforme di intensità B=1T. Il sistema è in equilibrio termodinamico alla temperatura T=1 K. Il valore del momento magnetico può assumere solo due direzioni: parallela o antiparallela al campo.. Calcolare quanti dipoli magnetici sono mediamente orientati nelle due direzioni. Il sistema quantistico è a soli due stati energetici, per cui è possibile calcolare la funzione di partizione:

46.2≅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

TBKB

TBKB

eeZµµ

Il numero di dipoli allineati lungo il campo si ottiene moltiplicando il numero totale per la probabilità che uno spin risulti parallelo sia per esempio spin “up”):

23109.7 ⋅≅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

↑↑ ZeNNPN

TBKBµ

Per cui quelli allineati nell’altra direzione sono ovviamente:

↑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

↓↓ −=⋅≅== NNZ

eNNPNTBK

B

23101.2

µ

28.2.2003 (Es.4) raccolto in F4Si abbia un sistema a tre stati (0, ε, 2ε ) con ε =0.1 eV, in cui vi è una sola particella. Determinare l’energia media del sistema ad una temperatura T=1000 K. La funzione di partizione vale:

( ) ( ) 41.12expexp1 ≅−+−+= τε

τεZ essendo ( ) 16.1exp ≅− τ

ε

L’energia mediasi scrive pertanto:

( ) ( )eVJ

ZU 045.0102.7

2exp2exp21 ≅⋅≅

−+−= −τ

εετεε

05.09.2003 (Es.1) Un dipolo magnetico elementare µ (=9.2⋅10-24 J⋅T-1), alla temperatura di 1 K, è posto in un campo magnetico esterno di 1 T. Supponendo che il dipolo possa disporsi esclusivamente parallelamente od antiparallelamente al campo esterno, si stimino la media termica dell’energia e del momento magnetico. L’energia di un dipolo vale La funzione di partizione vale L’energia media sarà: ed momento magnetico medio: 05.09.2003 (Es.2) Un solido è costituito da una mole di atomi (peso atomico 12). Supponendo che tali atomi siano liberi di oscillare indipendentemente intorno alla loro posizione di equilibrio e che la forza di richiamo elastica abbia una costante K=10-2N/m, si stimi l’energia termica media del solido alla temperatura di 10 K. La pulsazione propria delle oscillazioni è Hz Utilizzando la funzione diPlanck per oscillatori quantistici tridimensionali otteniamo: 17.2.2004 (Es.1) Un sistema costituito da N=1022 elettroni non interagenti si trova a temperatura 100 K in un campo magnetico applicato pari ad 1T. Ad un certo istante il campo viene spento ed il sistema evolve verso un nuovo stato d’equilibrio. Si calcoli la variazione di entropia ∆σ tra lo stato iniziale (immediatamente dopo che è stato spento il campo) e lo stato finale di equilibrio.

ωω

La media termica statistica dell’energia di un singolo spin si ottiene da:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

τµ

τµ

τµµ

τµµ

BB

BBBBU

BB

BB

BB

expexp

expexp; da cui l’energia totale: UNUtot =

e l’eccesso di spin nella situazione iniziale di campo acceso: 190 107.62 ⋅≈−==− ↓↑ B

UsNNB

totµ

mentre all’equilibrio l’eccesso di spin è nullo. Pertanto nell’approssimazione Gaussiana:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NsNg

Ns

Ng N

i

20

202

12exp0,2exp22

π mentre ( )0,Ngg f = .

Ed infine: 1720 1025.22ln ⋅≈≈=∆

Ns

gg

i

fσ

17.2.2004 (Es.2) Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza 5 nm. Sapendo che il rapporto tra le probabilità che l’elettrone si trovi al primo stato eccitato e nello stato fondamentale è 10-4, si calcoli la temperatura T. Il rapporto tra le probabilità è dato da:

2

2

11

exp( ) 4 3exp exp( ) exp

P A A AP

ετε

εε τ ττ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

Avendo posto JmL

A 212

2

21041.2

2−⋅== πh

Per cui imponendo: 4103exp −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

τA

si ottiene KK

ATB

5710ln4

3 ≈=

17.2.2004 (Es.3) Un tubo sottile, chiuso su se stesso, è sagomato a formare un quadrato di lato L=4 m, e contiene azoto molecolare (N2, M=28 u.m.a.) a temperatura ambiente, da trattarsi come un gas perfetto. Il tubo viene posto in rotazione, con velocità angolare pari a ω=200 rad/s, intorno ad un asse perpendicolare al piano definito dal quadrato e passante per il centro geometrico del quadrato stesso. Si calcoli il rapporto tra la pressione massima e quella minima all’interno del tubo. Le molecole più lontane dall’asse di rotazione saranno ad una distanza pari alla metà della diagonale del quadrato. Le più vicine, sempre vincolate a rimanere all’interno del tubo, saranno a distanza pari alla metà del lato. Pertanto:

Ld22

max = mentre 2minLd =

Il potenziale chimico è costante all’interno del tubo, cost.int =+= pottot Eµµ

Con ( )2

22dMdEpotω−= . Ed eguagliando i potenziali chimici a distanza minima e massima:

ωω

42ln

22ln

22min

22max LM

nPLM

nP

Q

d

Q

d ωτ

τωτ

τ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ Da cui 47.2

8exp

22

min

max ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

τω LM

PP

d

d

17.2.2004 (Es.4) Un semiconduttore è caratterizzato da una gap di energia proibita pari a 1 eV. Supponendo che ad una temperatura T=1100K il potenziale chimico sia disposto a metà della gap di energia proibita, si calcoli la probabilità che un livello energetico posto 0.02 eV sopra la soglia della banda di conduzione risulti vuoto. Ponendo il nostro zero di riferimento sulla scala delle energie alla cima della banda di valenza, avremo :

;5.0 ;1.)B.C fondo( eVeVEg === µε la probabilità che lo stato energetico ad energia eV02.1=ε risulti occupato è dato dal numero di occupazione, e quindi in virtù della distribuzione di Fermi-Dirac:

1exp

1),()occupato stato( ..

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

τµε

τεDFfP Ed infine: 996.0),(1) vuotostato( .. ≈−= τεDFfP

17.2.2004 (Es.5) Un semiconduttore è caratterizzato da una gap di energia proibita pari a 1 eV. Sapendo che il numero di occupazione di un livello energetico posto 0.1 eV sopra la soglia della banda di conduzione è pari a 6.5·10-4 ad una temperatura T=900K, si stimi la posizione del potenziale chimico all’interno della gap di energia proibita (si ricordi che per T>0 µ non coincide con l’energia di Fermi). Ponendo il nostro zero di riferimento sulla scala delle energie alla cima della banda di valenza, sarà :

1.)B.C fondo( eVEg ==ε . La probabilità che lo stato energetico ad energia eV1.1=ε risulti occupato è dato dal numero di occupazione, e quindi in virtù della distribuzione di Fermi-Dirac:

1exp

1),()occupato stato( ..

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

τµε

τεDFfP Pertanto invertendo per ricavare il potenziale chimico:

eVfff DFDFDF

53.0),(

1ln),(

11),(

1exp......

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈⇒≈−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

τετεµ

τετετµε

17.2.2004 (Es.6) Un tubo sottile, chiuso su se stesso, è sagomato a formare un quadrato di lato L=3 m, e contiene ossigeno molecolare a temperatura ambiente (O2, M=32 u.m.a.), da trattarsi come un gas perfetto. Il tubo viene posto in rotazione, con velocità angolare pari a ω, intorno ad un asse passante per la diagonale del quadrato. Per quale valore della velocità angolare la pressione massima nel tubo risulta essere tripla della pressione minima? Le particelle più lontane dall’asse di rotazione saranno ad una distanza pari alla metà della diagonale del quadrato. Le più vicine, sempre vincolate a rimanere all’interno del tubo, sono sull’asse di rotazione. Pertanto:

Ld22

max = mentre 0min =d Il potenziale chimico è costante all’interno del tubo,

cost.int =+= pottot Eµµ Con ( )2

22dMdEpotω−= .

Ed eguagliando i potenziali chimici a distanza minima e massima:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

ττω

ττ

Q

d

Q

d

nPLM

nP min

22max ln

22ln

da cui ( )

srad

MLLM

PP

d

d 5.1943ln44

ln 2

22

min

max ≈=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τωτ

ω

17.2.2004 (Es.7) Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza L=100 Å a temperatura T=137K. E’ noto inoltre che il rapporto tra la probabilità che l’elettrone si trovi in uno stato eccitato di numero quantico n e la probabilità che si trovi nello stato fondamentale è X=5·10-4. Si determini il valore di n.

Poiché l’autovalore dell’energia per lo stato quantico n-esimo è 22

2

2

2n

mLn ⋅= πε h ,

il rapporto tra le probabilità è dato da:

42

2

1

105)1(expexp

exp

)()( −⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

= XnAA

An

PP n

ττ

τεε

Avendo posto JmL

A 222

2

2

1062

−⋅== πh

da cui: 5ln1ln)1( 2 =−=⇒=− XA

nXA

n ττ

17.2.2004 (Es.8) Un sistema costituito da N=1023 elettroni non interagenti è immerso in un campo magnetico applicato B uniforme, di intensità non nota. La media termica statistica dell’energia per ogni singolo spin elettronico è <U>=-10-26 J. Ad un certo istante il campo viene spento ed il sistema evolve verso un nuovo stato d’equilibrio. Sapendo che la variazione di entropia ∆σ tra lo stato iniziale (immediatamente dopo che è stato spento il campo) e lo stato finale di equilibrio è ∆σ=1017, si calcolino l’eccesso di spin ed il valore di B. Nell’approssimazione gaussiana gli eccessi di spin iniziale e finale si scrivono:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ns

NgN

sN

g Ni

20

202

12

exp0,2

exp22π mentre ( )0,Ngg f =

poichè all’equilibrio l’eccesso di spin è nullo. Pertanto:

2000

20 104.12

22

ln ⋅≈⇒∆≈⇒≈=∆ sNs

Ns

gg

i

f σσ

Poiché inoltre l’energia totale è legata all’eccesso di spin dalla relazione:

02)( sBNNBU BBtot ⋅−=−⋅−= ↓↑ µµ in cui UNU tot =

Si ricava infine: Ts

UNB

B

77.02 0

≈⋅−

⋅=

µ

29.11.2004 (Es.1) Due sistemi termodinamici isolati R1 ed R2 contengono un numero di particelle rispettivamente pari ad N1 =1023 ed N2 = 5·1022 . Inizialmente gli eccessi di spin per i due sistemi sono pari a

1202

1201 1042 ,1022 ⋅=⋅= ss . Si descriva brevemente ciò che accade in termini della configurazione più

probabile quando i due sistemi vengono messi in contatto termico, ed isolati dal resto dell’universo. Si calcolino gli eccessi di spin 21 2 ,2 ss all’equilibrio e la differenza di entropia ∆σ tra lo stato di equilibrio e lo stato iniziale. 29.11.2004 (Es.2) Una particella è confinata in una buca di potenziale di larghezza L a temperatura T= 400K. E’ noto che per provocare la transizione della particella dal primo stato eccitato al terzo stato eccitato è necessario l’assorbimento di un fotone di frequenza ν= 4.36·1013 Hz. Si calcoli il rapporto tra le probabilità di occupazione dello stato fondamentale e del secondo stato eccitato. 29.11.2004 (Es.3) All’interno di un contenitore cubico di lato L=1m, disposto come in figura rispetto ad un sistema di assi cartesiani, è contenuto un gas di neutroni, sottoposti alla contemporanea azione della forza peso zz umgF rr

−= e di una

forza costante, diretta lungo x, ed avente l’espressione xx uAF rr= , con

NA 27105 −⋅= . Supponendo di poter trattare il gas come un gas perfetto, si dica quali risulteranno essere i punti del contenitore con la massima e la minima concentrazione di particelle, rispettivamente nmax ed nmin). Calcolare infine la temperatura del sistema, sapendo che il rapporto tra le due concentrazioni vale nmax/nmin. = 1.0001 29.11.2004 (Es.4) Si consideri un cristallo semiconduttore mantenuto alla temperatura di 565K. Determinare l’ampiezza Eg della gap di energia proibita, sapendo che la probabilità di occupazione di uno stato la cui energia è 0.02 eV più alta del fondo della banda di conduzione è P0 =10-4. Si assuma che il livello del potenziale chimico, alla temperatura data, possa essere posto a metà della gap. 29.11.2004 (Es.5) Un numero No =5·1023 di momenti magnetici elementari (spin) è immerso in una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo B=0.5 T, cosicché l’energia media di uno spin risulta pari a <U>= - 5·10-28 J. Si determini l’espressione analitica del numero di spin “up” e “down”, ed il loro valore. Si calcoli infine la differenza di entropia ∆S tra lo stato finale descritto e quello iniziale in cui, a campo spento, il numero degli spin “up” eguaglia quello degli spin “down”. 29.11.2004 (Es.6) Una particella è confinata in un sistema quantistico caratterizzato da tre soli stati accessibili, di autovalori dell’energia A, A+ε, A+2ε, con ε=0.1 eV, ed a temperatura Τ. Sapendo che l’energia media del sistema è 0.6 eV, e che il rapporto tra le probabilità di occupazione del secondo stato eccitato e dello stato fondamentale è pari a 10-2, determinare la temperatura T ed i tre autovalori dell’energia. 29.11.2004 (Es.7) All’interno di un contenitore di volume V=10 litri ed a temperatura T=500K sono contenute No=1024

molecole di composizione chimica AB2 . E’ noto che alla temperatura data la specie chimica presenta il fenomeno della dissociazione termica, con un grado di dissociazione pari ad α=0.3 (in altri termini, il 30%

x

z

L0 x

z

L0

delle molecole si dissocia in 3 frammenti: AB2 →A+2B, mentre il restante 70% rimane indissociato). Sapendo che i frammenti A e B hanno masse rispettivamente pari a MA =100 u.m.a. ed M B =60 u.m.a., calcolare il potenziale chimico totale del sistema di particelle libere, supponendo che tutte le molecole, dissociate ed indissociate, possano essere trattate come una miscela di gas perfetti, ciascuna specie avendo a disposizione l’intero volume del contenitore. 29.11.2004 (Es.8) Si consideri un cristallo semiconduttore mantenuto alla temperatura di 434K. Determinare l’ampiezza Eg della gap di energia proibita, sapendo che la probabilità che risulti vuoto uno stato la cui energia è 0.01 eV più bassa della cima della banda di valenza è P0 =10-4. Si assuma che il livello del potenziale chimico, alla temperatura data, possa essere posto a metà della gap. Balestrino 2005 (Es.1) Un sistema termodinamico è costituito da tre atomi identici aventi numero quantico azimutale l=1. In conseguenza il numero quantico magnetico può assumere i valori ml= +1,0,-1. Questa circostanza implica che il momento magnetico orbitale, rispetto ad una direzione z, può assumere esclusivamente i valori +µ B, 0, -µB.

• Si calcoli la funzione di molteplicità g del sistema al variare del suo momento magnetico complessivo µ.

Si ipotizzi che un campo B sia applicato nella direzione z e che, successivamente, questo campo venga spento lasciando i momenti magnetici liberi di riarrangiarsi fino a raggiungere lo stato più probabile. Si calcoli la variazione di entropia ∆σ tra lo stato iniziale e quello finale.

Dalla tabella si vede che g(+3)=1, g(+2)=3, g(+1)=6, g(0)=7, g(-1)=6, g(-2)=3, g(-3)=1. Lo stato più probabile è quello caratterizzato da un momento magnetico nullo. La variazione di entropia sarà ∆σ=ln(gf)-ln(gi)=1.95

Balestrino 2005 (Es.2) Studiando lo spettro di emissione di un gas riscaldato di atomi di idrogeno, si osserva che il rapporto di intensità tra la linea spettrale a 653 nm (transizione da n=3 ad n=2) e la linea spettrale a 486 nm (transizione da n=4 a n=2) è pari a 20. Si stimi la temperatura del gas. Le linee spettrali di emissione sono dovute al decadimento degli elettroni, rispettivamente, dal terzo e dal secondo stato eccitato al primo stato eccitato. Un rapporto di intensità tra le linee di emissione pari a 20 implica che la popolazione del secondo livello eccitato sia 20 volte maggiore della popolazione del terzo. Utilizzando il fattore di Boltzmann

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==TKP

P

B

43

3

2 exp20 εεda cui

µ1 µ 1+ µ2

µ1+µ2+ µ3

µ1 µ1+µ2

µ1+µ2+ µ3

µ1 µ1+µ2

µ1+µ2+ µ3

+3 +2 +1 +2 +2 +1 +1 0 0 +1 0 -1 +2 +1 0 +1 +1 +1 0 0 0 -1 -1 -1 0 -1 -2 +1 0 -1 0 0 -1 -1 -2 -2 -1 -2 -3

( ) ( ) ( ) KK

RK

RK

TBBB

250020ln36

5161

91

20ln20ln43 ≅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= εε

Balestrino 2005 (Es.3) Un sistema termodinamico è costituito da un numero di Avogadro di atomi del tipo descritto nell’esercizio precedente. Al sistema è applicato un campo B pari ad 10 T. Si calcoli il momento magnetico medio del sistema nell’ipotesi che gli atomi non interagiscano tra di loro e che la temperatura sia pari a 10 K. Il momento magnetico medio del singolo atomo si calcola utilizzando:

124109.3expexp1

expexpexp−−×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑

JT

kTB

kTB

kTB

kTB

ZkT

B

BB

BB

BB

µµ

µµµµµµµ

13.2 −== JTNM A µ Balestrino 2005 (Es. 4) raccolto in F4 Un semiconduttore intrinseco è caratterizzato da una banda di energia proibita Eg pari a 0.5 eV. Per quali valori della temperatura T la probabilità che uno stato elettronico sul fondo della banda di valenza sia occupato sarà minore di 10-3? Si assuma il potenziale chimico a metà della gap di energia proibita.

Dall’espressione della distribuzione di Fermi Dirac

1exp

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

Tk

f

B

FD µε, si ricava

Kf

fk

TFD

FD

B

4201ln1

≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−<−

µε avendo assunto il potenziale chimico a metà della gap proibita.

appello del 27/09/2006 (Es. 1) I bolometri sono dei dispositivi atti alla rivelazione di fotoni. In tali dispositivi l’assorbimento dei fotoni da luogo ad un aumento della temperatura del dispositivo per dissipazione termica. Tale variazione può essere facilmente rivelata. Si supponga di voler costruire un bolometro basato su diamante. Sapendo che il calore specifico del diamante a bassa temperatura è pari circa a 1 J kg-1 K-1 e la sua densità pari a circa 3.5 103 kg cm-3, e supponendo di essere in grado di rivelare, al più, una variazione di temperatura pari a 10-1 K, si stimi il volume massimo che il dispositivo deve avere per poter rivelare un singolo fotone di lunghezza d’onda pari a 10 nm.

L’energia dissipata dal singolo fotone è pari a JhcE 181015.3 −×≅=λ

La conseguente variazione di temperatura sarà TVcE ∆= ρ

Da cui 33109 mTc

EV µρ

−×≅∆

=

appello del 27/09/2006 (Es. 2) Un fascio monoenergetico di neutroni (E=10-4eV) , tutti con la stessa fase (fascio coerente) si muovono in direzione verticale nel campo di gravità della terra. Ad un certo punto il fascio viene diviso in due tramite riflessione parziale da un cristallo (vedi figura). Dopo aver percorso

cammini diversi lungo i lati di un rettangolo di altezza L=100 m e base b, i due fasci si ricongiungono nel punto A. Quale dovrà essere la minima distanza b perché i due fasci giungano in fase nel punto A? La differenza di fase si accumulerà esclusivamente nei due tratti orizzontali. L’energia cinetica dei neutroni che si muovono lungo la base del rettangolo è pari a

MkE

2

22h= . I neutroni che si muovono a quota L avranno un’energia cinetica minore pari a

MgLMk

Mk −=

22' 2222 hh

Pertanto 19102.22 −×≅= mMEkh

, mentre 192

' 101.222 −×≅

−= m

gLMMEk

h

Perché i due fasci giungano in fase nel punto A dovremo avere: ( )λλ 1, +== nbnb da cui

mkk

b 8''

'

1062 −×≅−

=−

= πλλ

λλ

appello del 27/09/2006 Es. 3 Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza L. La buca di potenziale viene successivamente riscaldata ad una temperatura T. In queste condizioni si misura lo spettro di emissione dalla buca e si osserva che le due righe più intense hanno, rispettivamente, lunghezza d’onda λ= 900 nm e λ’= 400 nm Si deduca a quale livello ciascuna di tali righe appartiene. Inoltre, si osserva che il rapporto tra le intensità di tali righe di emissione è 103. Si calcoli la temperatura T Nel caso di una buca di potenziale 1D l’energia dei livelli è proporzionale a n2. pertanto

49'

2'

2

' ===λλ

nn

EE

. Possiamo concludere che la riga di emissione a 900 nm corrisponde al primo livello

eccitato (n=2), mentre la riga a 400 nm corrisponde al secondo livello eccitato (n=3) .La circostanza che il rapporto tra le intensità delle due righe di emissione è 103 implica che la popolazione del livello energetico più alto sia 1000 maggiore. In termini di fattore di Boltzmann

( )( ) K

k

hc

kT

kTPP 31212

2

\ 109.21000ln

45

1000ln1000exp ×≅=−=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= λεεεε

εε

appello del 27/09/2006 Es. 4 Un metallo si trova a temperatura ambiente ed è caratterizzato da un’energia di Fermi pari a 5 eV. Quale sarà la probabilità che un livello energetico posto 0.02 eV sotto l’energia di Fermi sia vuoto? La probabilità che lo stato sia vuoto sarà pari a

54.01exp

111 ≅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=

kT

fPF

FD εε

Appello dell’1/12/2005 (es.1) raccolto in F4 Due sistemi identici S1 ed S2, immersi in una regione in cui è applicato un campo magnetico, contengono ciascuno 10 momenti magnetici elementari (spin elettronici). Inizialmente essi sono termicamente isolati, e sono caratterizzati da un numero di spin “up” e “down” rispettivamente pari a: 1;9 11 == ↓↑ NN e 7;3 22 == ↓↑ NN . Successivamente S1 ed S2 vengono posti in contatto termico ed isolati rispetto all’ambiente esterno. Si dica quale risulterà la configurazione più probabile nel sistema S1 + S2 all’equilibrio, e se ne calcoli la funzione di molteplicità totale. Si determini infine la variazione di entropia classica tra la situazione finale (corrispondente alla configurazione più probabile) e quella iniziale, nell’istante in cui si realizza il contatto termico (cioè quando gli spin “up” e “down” sono quelli iniziali dati). Dal momento che si deve conservare l’energia totale del sistema S1 + S2 ,si deve conservare anche l’eccesso di spin. Prima del contatto termico vale 22;4 2121 =+→−== oooo SSSS si deduce facilmente che la configurazione più probabile che non viola la conservazione dell’energia è 1;1 21 == SS che corrisponde ad avere 4;6 11 == ↓↑ NN e 4;6 22 == ↓↑ NN . Pertanto le funzioni di molteplicità totali prima e dopo il contatto termico saranno:

;!7!3!9!10!10

21 ⋅⋅⋅=⋅= ooo

tot ggg ;!4!6!4!6

!10!1021 ⋅⋅⋅

⋅=⋅= ffftot ggg ed infine la differenza di entropia:

KJKKKKS BBBB /1097.44

147ln!4!6!4!6

!7!3!9ln!4!6!4!6

!7!3!9ln 23−⋅≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆⋅=∆ σ

Appello dell’1/12/2005 (es.2) raccolto in F4 In una stazione spaziale di forma cilindrica, di raggio R=2Km, le condizioni ambientali confortevoli sono assicurate mantenendo una temperatura interna costante pari a 300K e immettendo ossigeno ed azoto (O2, massa 32 u.m.a; N2 massa 28 u.m.a.) attraverso bocchette poste sull’asse longitudinale. Infine viene creata una “accelerazione di gravità fittizia” per gli astronauti che vivono sulle pareti laterali interne del cilindro mantenendo la stazione in rotazione. La velocità angolare ω è tale che la forza fittizia sperimentata da ogni corpo sia pari alla forza peso che esso sperimenterebbe sulla terra. Volendo assicurare agli astronauti il rapporto ottimale tra le concentrazioni di ossigeno ed azoto, circa pari a 0.27 (il medesimo sulla terra a livello del mare), a quanto dovrà essere regolato il rapporto tra le concentrazioni sull’asse di rotazione? La condizione sulla “gravità fittizia” ci fornisce informazioni sulla velocità angolare necessaria:

RgRmmgR =⇒= 22 ωω

O2; N2ω

R

O2; N2ω

R

Per ognuno dei due gas, in approssimazione di gas perfetto, il potenziale chimico si scrive Utot += intµµ in

cui 2

)(22 rmrU ω−= ad una distanza generica r dall’asse di rotazione. Pertanto uguagliando il

potenziale chimico sull’asse e sulle pareti laterali dell’astronave:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=→−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ττωωττ

2exp)(

2exp)()(

2)(ln)(ln

2222 mgRRnRmRnonRmnRn

non

QQ

Ripetendo lo stesso discorso per entrambi i gas e dividendo membro a membro:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⋅=

ττ 2)(

exp27.02

)(exp

)()(

)()(

2222

2

2

2

2 NONOmmgRmmgR

RnRn

onon

N

O

N

O

Appello dell’1/12/2005 (es.3) raccolto in F4 Un numero molto grande di momenti magnetici elementari (spin), non interagenti, viene mantenuto a temperatura costante T ed immerso in una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di intensità B=3.5 T. Sapendo che il numero degli spin paralleli al campo (siano per es. gli spin “up”) è triplo rispetto al numero di spin “down”, si calcolino: 1) la temperatura T; 2) la media termica <µ> del momento magnetico di uno spin; 3) la media termica <U> dell’energia di uno spin.

Dalla condizione 3=↓

↑

NN

si ricava immediatamente il rapporto tra le probabilità:

( )3ln)3ln(2133 =⋅=→=⇒=

−↓

↑

τµ

τµ

τµ

B

e

ePP B

B

B

B

B

. Ciò ci permette di calcolare la temperatura assoluta:

( ) KK

BTB

B 3.43ln

≅⋅= µ Ed infine ( )[ ]≈⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅>=< 3lnthBth B

BB µ

τµµµ

( )[ ]≈⋅⋅−=><−>=< 3lnthBBU Bµµ Appello dell’1/12/2005 (es.4) raccolto in F4 Un cristallo di magnesio è costituito da una mole di atomi di peso pari a circa 24.3 u.m.a. E’ noto infatti che gli atomi di magnesio in natura sono la mescolanza di due forme isotopiche principali: Mg24 ( la più abbondante) ed Mg25. Trattando gli atomi nel cristallo come oscillatori armonici quantistici tridimensionali e trascurando l’energia di punto zero ( ωε h⋅≅ ss ) è noto che la media termica <s> del numero quantico a temperatura ambiente è pari a <s>=78.7. Si calcoli l’energia totale Utot del cristallo. Cosa cambierebbe nei valori di <s> e Utot se, idealmente, si riuscisse a sintetizzare un cristallo contenente una mole di atomi di magnesio Mg24, cioè se si riuscisse a selezionare solo l’isotopo più abbondante? Discutere il confronto tra i risultati nei due casi. Suggerimento: si assuma che gli isotopi abbiano la stessa costante elastica.

Poiché 1

1

−>=<

τωh

es si deduce il valore della pulsazione e della costante elastica:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

><+==

sMk 11ln

h

τω e quindi l’energia media di un oscillatore τω

τω ≅

−>=<

1h

h

eU poiché

ωτ h>> l’energia totale per una mole di oscillatori tridimensionali è allora JNUNU AATOT 748033 ≅⋅>≅<⋅= τ nel caso di un ipotetico cristallo composto solo da Mg24 , poiché la costante elastica è identica, ma varia la massa:

≅

−

=−

>=<

1

1

1

1''

'

τ

ωτω

MM

ee

sh

h in cui M=24.3 u.m.a. mentre M’=24 u.m.a. Dunque <s’> risulta più

piccolo, ma l’energia totale è ovviamente circa la stessa: JNUe

U ATOT 748031

'' ≅⋅≅→≅−

>=< ττω

τωhh

Appello dell’1/12/2005 (es.5) raccolto in F4 Del gas rarefatto di protoni (da trattarsi quindi come gas perfetto), mantenuto a =700K, viene racchiuso in un contenitore cubico di lato L, a sua volta posto tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele distanti L. Quando il condensatore viene caricato in modo tale che la differenza di potenziale tra le armature risulti essere ∆V=V+-V- =1 V, un sensore di pressione posto in x=0, cioè nei punti a potenziale minore, registra una pressione locale pari a P=2*106 Pa. Si determini quale pressione verrà letta da un secondo sensore posto in x=L/2, specificando la direzione ed il verso di diffusione dei protoni. Si verifichi infine che l’approssimazione adottata è lecita. Poiché il campo all’interno delle piastre è costante, il potenziale elettrico cresce linearmente da V- a V+ . Pertanto ponendo V-=0 dove è posto il sensore 2 avremo un potenziale elettrico pari a ∆V/2, cioè V2=0.5 V, I protoni diffondono da destra verso sinistra (cioè verso l’energia potenziale minore) ed all’equilibrio il potenziale chimico totale è il medesimo in x=0 ed in x=L/2. Pertanto, denominando con P1 e P2 le pressioni lette dai due sensori, avremo:

PaVePPeVnP

nP

QQ

5062

explnln 12221 ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−=→+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τττ

ττ

Appello dell’1/12/2005 (es.6) raccolto in F4 Illuminando un semiconduttore di gap d’energia Eg1 non nota mediante radiazione elettromagnetica, si nota un brusco aumento della sua conducibilità elettrica per frequenze dei fotoni superiori ad un valore di soglia νS= 1.62·1014Hz, segno che l’assorbimento ottico ha incrementato il numero di elettroni in banda di conduzione (e le lacune in banda di valenza). Si stimi l’energy gap Eg1. In un secondo esperimento, si mette a confronto questo stesso materiale con un secondo semiconduttore di gap pari ad Eg2. Denominata P1 la probabilità di occupazione di uno stato sul fondo della banda di conduzione per il primo materiale, e P2 la probabilità di occupazione di uno stato sul fondo della banda di conduzione per il secondo materiale, si nota che a temperatura ambiente il loro rapporto risulta pari a P1/ P2 =8.38. Si stimi il valore di Eg2 supponendo di poter porre in entrambi i casi il potenziale chimico a metà della gap. L’aumento di conducibilità a seguito dell’illuminamento ci fornisce direttamente la gap del primo semiconduttore :

V+V-

x

L

Sens. 2Sens. 1

o

V+V-

x

L

Sens. 2Sens. 1

o

JeVhE Sg19

1 1007.167.0 −⋅≅≅= ν (si tratta di germanio). A questo punto il rapporto tra le probabilità di

occupazione si scrive per i due semiconduttori: ( )( )τ

τ

τ

τ21

2

22

11

2

12

12

exp

1

12

exp

1

Eg

E

gg

gg

ee

EE

EE

PP g

≅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

= Ed infine:

( ) JeVEE gg19

12 1025.178.038.8ln2 −⋅≅≅⋅+= τ Appello dell’1/12/2005 (es.7) raccolto in F4 Un sistema quantistico A è in contatto termico-diffusivo con un reservoir R contenente un numero molto grande di particelle bosoniche, ed a temperatura T=103K. Il sistema S può essere non occupato, od occupato da bosoni, fino ad un numero un massimo di quattro, e la sua energia totale risulta direttamente proporzionale al numero di bosoni che lo occupano: ES=N⋅ε, in cui ε=0.05 eV. Si scriva l’espressione completa della gran somma di Gibbs, in termini dell’attività assoluta. Si stimi quindi la media termica <N> del numero di bosoni che occupano il sistema quantistico in esame supponendo di poter lavorare nell’approssimazione del gas perfetto, con una concentrazione di bosoni pari ad un cinquantesimo della concentrazione quantica.

La somma di Gibbs si scrive τλζSE

sN

Ne−

∑=,

. E nel nostro caso, nel quale N=0, 1, …4 e l’espressione

dell’energia è ES=N⋅ε, la somma si riscrive:

τε

τε

τε

τε

τε

τε

τε

λλλλλλλζ2

24

43

32

24

0

11−−−−−−

=

−++≅+++== ∑ eeeeeee

N

NN . L’approssimazione adottata è

giustificata dall’osservazione che il quarto ed il quinto termine sono molto minori dell’unità. Ricordando ora l’espressione che fornisce il numero di occupazione medio <N> :

<N>= 22

2

22

1013.11

21)ln( −

−−

−−

⋅≅++

+≅∂∂=

∂∂>=<

τε

τε

τε

τε

λλ

λλλζ

ζλζ

λλ

ee

eeN

Appello dell’1/12/2005 (es.8) raccolto in F4 Una mole di momenti magnetici elementari (spin) non interagenti è immersa in una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di intensità B, ed è mantenuta a temperatura costante T=10K. Sapendo che il numero degli spin paralleli al campo (siano per es. gli spin “up”) è quadruplo rispetto al numero di spin “down”, si calcoli l’energia totale del sistema. Quando il campo magnetico viene spento, il sistema evolve verso la configurazione più probabile: si determini la differenza d’entropia classica tra questa situazione finale e quella iniziale a campo acceso.

Dalla condizione 4=↓

↑

NN

si ricava immediatamente il rapporto tra le probabilità:

)2ln()4ln(2144 =⋅=→=⇒=

−↓

↑

τµ

τµ

τµ

B

e

ePP B

B

B

B

B

ciò ci permette di calcolare l’energia totale:

[ ] JthNTKBthNBNUU ABB

ABATOT 6.34)2ln()2ln()( −≅⋅⋅⋅−=⋅⋅−=⋅>=<τ

µµ

Inoltre è ovvio che a campo acceso AAAA NsNsNNNN 3.0532

51;

54 =⇒=⇒== ↓↑ mentre a campo

spento s=0. Allora la differenza di entropia si scrive a partire dalle funzioni di molteplicità:

;/5.118.0ln)0,();0,(2)3.0(2

KJKNgg

KSeNggNgg BAi

fB

N

AiAf

A

≅⋅≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆⇒⋅==

−τ

appello del 27/09/2006 raccolto in F4 Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D a pareti infinite di larghezza L=5 nm. La buca si trova a temperatura T diversa da zero e, pertanto, gli stati eccitati possono essere occupati per effetti termici. Di conseguenza, ogni tanto si osserva l’emissione di un fotone dovuto al decadimento da uno stato termicamente eccitato. In particolare si osserva che il rapporto tra i fotoni emessi nel decadimento dal primo stato eccitato allo stato fondamentale e quelli emessi nel decadimento dal secondo stato eccitato e quello fondamentale è 100, si calcoli la temperatura T. I livelli energetici all’interno della buca sono dati dalla formula

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ln

mnπε h

Utilizzando il fattore di Boltzmann ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==TKP

P

B

23

3

2 exp100 εεεε

da cui, avendo posto 22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

LmA πh

( ) ( ) ( ) ( ) KK

AK

AK

TBBB

188100ln

549100ln100ln

23 ≅=−=−

=εε

appello del 27/09/2006 raccolto in F4 Un cilindro cavo di raggio 1 m ed altezza 2 m, alla temperatura di 300 K, contiene 250 moli di ossigeno molecolare (approssimabile come un gas perfetto). Il cilindro viene posto in rotazione intorno alla sua asse con velocità angolare pari a ω=10rad/s. Si calcoli la pressione minima all’interno del cilindro in rotazione.

L'energia potenziale del campo della forza centrifuga è 2

22rMω−

Per cui il potenziale chimico totale è : =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2)(ln

22rMn

rn

a

ωτµ costante

La costante si può ricavare dal valore per r=0: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aa nnrM

nrn )0(ln

2)(ln

22

τωτ

Da cui si ricava ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

τω2

exp)0()(22rMnrn . D’altro canto sappiamo che il numero totale di molecole nel

contenitore è pari a 250NA, quindi ( ) rhdrrMnrhdrrnNR R

A πτ

ωπ 22

exp)0(22500 0

22

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Da cui con sostituzione di variabile dxrM

drrMx 2

22

,2 ω

ττ

ω == otteniamo

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ 1

2exp202)0(250

22

22

0 2

22

τω

ωτπ

ωτπτ

ω RMM

hndxM

henNRM

xA

Da cui ( ) ( ) PaRMhMN

np A 4

1222

109.912

exp2

25000 ×≅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−

τω

πωτ

27/11/2006 manca soluzione Gli atomi di un gas monoatomico, non interagenti e di massa M, sono contenute all’interno di un cilindro di altezza h=1.5m e raggio R=30 cm, posto in rotazione attorno al suo asse longitudinale con velocità angolare ω=40rad/s e mantenuto a temperatura costante T=10K.. Si dica qualitativamente quali sono i punti di massima e minima concentrazione di particelle (rispettivamente nmax ed nmin) all’interno del cilindro. Sapendo inoltre che il rapporto tra tali concentrazioni vale nmax /nmin =1.148, si stimi la massa M delle molecole, supponendo sempre valida l’approssimazione di gas perfetto 27/11/2006 manca soluzione Un elettrone è confinato in un sistema quantistico caratterizzato da tre soli livelli energetici, separati l’uno dall’altro da un’energia pari ad ε= 0.2 eV. Per quale temperatura la probabilità che l’elettrone occupi il primo stato eccitato è pari a P=0.1 ? 27/11/2006 manca soluzione In un cristallo semiconduttore, la probabilità che un elettrone occupi a temperatura ambiente lo stato energetico posto 0.01 eV al di sopra del fondo della banda di conduzione è pari a P1=3.67⋅10-3. Si stimi l’ampiezza Eg della gap del semiconduttore, supponendo che il potenziale chimico possa essere posto a metà della gap a tutte le temperature. Si calcoli infine a quale temperatura occorre scaldare il cristallo affinché la probabilità di occupazione dello stesso stato energetico divenga dieci volte superiore. 27/11/2006 manca soluzione Una mole di momenti magnetici elementari (spin), mantenuta a temperatura costante T=20K, è immersa in una regione dello spazio in cui è acceso un campo magnetico uniforme B di intensità B=5 T. Si determini l’eccesso di spin del sistema, e la variazione di entropia ∆S della mole di spin se il campo B viene spento, ed il sistema evolve verso la configurazione più probabile 27/11/2006 manca soluzione Due contenitori di volume V1 e V2=2V1, contenenti inizialmente un numero di particelle non interagenti pari a 23

1 105 ⋅=iN e 232 10=iN , sono posti a contatto

termico l’uno con l’altro e con una sorgente che ne mantiene costante la temperatura a T=300K. Ad un certo istante il setto separatore S viene rimosso, così che i due sistemi entrano in contatto termico-diffusivo. Si stimi il numero finale di particelle FN1 ed FN 2 nei due contenitori all’equilibrio e la differenza di potenziale chimico del sistema di volume V1 (cioè la differenza ∆µ conseguente al passaggio da iN1 particelle ad FN1 particelle ) . Si trascuri ogni tipo di forza esterna sul sistema (particelle libere). 27/11/2006 manca soluzione Una mole di momenti magnetici elementari (spin), mantenuta a temperatura costante T, è immersa in una regione dello spazio in cui è acceso un campo magnetico

ωω

V1 V2 =2V1

S

T

V1 V2 =2V1

S

T

uniforme B di intensità B=6T. Si determini la temperatura T sapendo che il 70% degli spin sono allineati come il campo. Calcolare inoltre quanto vale la variazione di entropia ∆S della mole di spin se il campo B viene spento, ed il sistema evolve verso la configurazione più probabile? 27/11/2006 manca soluzione Un elettrone è confinato in un sistema quantistico mantenuto a temperatura T=515 K, e caratterizzato da tre soli livelli energetici, separati l’uno dall’altro da un’energia pari ad ε. Si stimi il valore di ε, sapendo che la probabilità che l’elettrone occupi il secondo stato eccitato risulta pari a P=0.01. 27/11/2006 manca soluzione Venti elettroni sono confinati all’interno di una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza L=100 Å. Si calcoli l’energia di Fermi εF del sistema. Si calcoli inoltre la probabilità P che risulti non occupato, a temperatura T=300K, lo stato energetico caratterizzato da numero quantico n=9. Si supponga valida l’approssimazione che il potenziale chimico a tutte le temperature coincida con εF, 6/12/2006 manca soluzione Una mole di momenti magnetici elementari (spin), mantenuta a temperatura costante T, è immersa in una regione dello spazio in cui è acceso un campo magnetico uniforme B di intensità B=5 T. Si determini la temperatura T sapendo che l’energia media di uno spin è pari a <U>=-3.12*10-24 J. Quanto vale l’eccesso di spin in questa situazione? E quanto vale la variazione di entropia ∆S della mole di spin se il campo B viene spento, ed il sistema evolve verso la configurazione più probabile? 6/12/2006 manca soluzione Si stimi la probabilità che su un totale di 100 spin ne risultino 45 orientati “up” e 55 “down”, supponendo che i due stati possibili siano del tutto equiprobabili (cioè in assenza di campi magnetici). 25/09/2007 manca soluzione riciclo? Un semiconduttore è caratterizzato da una gap di energia proibita pari a 1 eV. Supponendo che ad una temperatura T=1100K il potenziale chimico sia disposto a metà della gap di energia proibita, si calcoli la probabilità che un livello energetico posto 0.02 eV sopra la soglia della banda di conduzione risulti vuoto. 25/09/2007 manca soluzione riciclo? Un sistema costituito da N=1022 elettroni non interagenti si trova a temperatura 100 K in un campo magnetico applicato pari ad 1T. Ad un certo istante il campo viene spento ed il sistema evolve verso un nuovo stato d’equilibrio. Si calcoli la variazione di entropia ∆σ tra lo stato iniziale (immediatamente dopo che è stato spento il campo) e lo stato finale di equilibrio. Appello del 25/02/08 manca soluzioneUn sistema termodinamico A1 contiene 10 momenti magnetici elementari (spin), che ad un certo istante sono in una configurazione avente entropia termodinamica pari a σ≅2.3. Se questo contenitore viene messo a contatto termico con un sistema identico A2, anch’esso contenente 10 spin, ed il sistema globale A1 +A2 viene isolato dal resto dell’universo, quale sarà la configurazione più probabile all’equilibrio termico? E la molteplicità totale di A1 +A2? Appello del 25/02/08 manca soluzione Una scatola cubica di lato L=50 cm contiene 1000 neutroni non interagenti (da trattarsi quindi come gas perfetto), mantenuti a temperature ambiente. Si determini la variazione di energia libera di Helmotz ∆F in seguito all’inserimento nel contenitore

della 1001-esima particella. Si discuta la relazione esistente tra questa variazione ed il potenziale chimico del sistema Appello del 29/02/08 raccolto in F4 manca soluzione Un elettrone è intrappolato in un sistema quantistico caratterizzato da autovalori dell’energia aventi la forma εn=n⋅A (n=0,1,2,…), con A=0.1 eV (avendo trascurato l’energia di punto zero). Si determini la funzione di partizione del sistema a temperatura T=500K, e l’energia libera di Helmotz Appello del 29/02/08 raccolto in F4 manca soluzione Le particelle non interagenti di un gas, sottoposto all’azione della forza di gravità, sono contenute all’interno di un contenitore conico, di altezza h=1m e raggio di base R=0.5m disposto come in figura, e mantenuto in rotazione attorno all’asse longitudinale con velocità angolare ω=10rad/s. Supponendo che il gas possa essere considerato isotermo, si determini la quota y per la quale la concentrazione di particelle a contatto con la superficie laterale risulta minima (suggerimento: si esprima la distanza dall’asse in funzione della quota). Appello del 12/02/09 raccolto in F4 Un elettrone è intrappolato in un sistema quantistico caratterizzato da quattro livelli energetici εn=ε0+nε (n=0,1,2,3), con ε0 energia di punto zero, ed ε=0.05eV. Il sistema è all’equilibrio termico a temperatura T non nota. Sapendo che la probabilità di occupazione dello stato fondamentale risulta essere 10 volte superiore alla probabilità di occupazione del primo stato eccitato, si calcoli con quale probabilità l’elettrone potrà occupare lo stato di più alta energia alla medesima temperatura. Non è nota la temperatura, ma dal rapporto tra le probabilità di occupazione ricaviamo:

1.010 )0(

0

1

0 =→==−

+−

−

τε

τεε

τε

e

e

ePP

E’ quindi possibile calcolare facilmente la funzione di partizione e la probabilità richiesta:

( )

432

330

3 109

1

−−−−

−+−−

⋅≅

+++

==τ

ετ

ετε

τε

τεε

eee

eZ

eP

Appello del 12/02/09 raccolto in F4 Una mole di momenti magnetici elementari (spin) è immersa in una regione dello spazio in cui è acceso un campo magnetico uniforme di intensità B1=4 T. Si determini a quale temperatura il numero degli spin paralleli al campo (ad es. gli “up”) risulta pari al 75% del totale. Se l’intensità del campo viene diminuita fino a raggiungere il valore B2=2T, ferma restando la temperatura, come cambieranno le probabilità di avere spin “up” e spin “down”? Si determini l’eccesso di spin del sistema nella situazione finale, e la variazione di entropia ∆S nel passaggio dal campo B1 al campo B2. Suggerimento: il numero di spin “up” può essere scritto come il numero degli spin totali per la probabilità di avere uno spin “up” Il rapporto tra le “popolazioni” di spin “up” e “down” è anche pari al rapporto tra le probabilità di avere uno spin orientato parallelamente e antiparallelamente:

y

O

ωy

O

ω

)3ln(225.075.0 1

1

1

=→===−↓

↑

↓

↑

τµ

τµ

τµ

B

e

ePP

NN B

BB

BB

da cui facilmente: KK

BTB

B 9.4)3ln(

2 1 ≅= µ

Alternativamente, si può procedere partendo dalla relazione che lega l’energia media del sistema all’eccesso di spin:

K

NsathK

BTBthBUN

sBNUU

AB

BBB

A

B

A

tot 9.42

; ;2 111

1 ≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−>=<−=>=< µ

τµµµ

A questo punto, portando il campo fino al valore B2, possiamo determinare il nuovo rapporto tra le popolazioni di spin paralleli ed antiparalleli riscrivendo:

3)3ln(

1222

2

2

=====−↓

↑

↓

↑ BBBB

BB

BB

ee

e

ePP

NN τ

µ

τµ

τµ

.

Avendo sostituito l’espressione per τ ottenuta precedentemente. Si ottiene infine:

;366.0 ANN =↓ ;634.0 ANN =↑ ;134.0 Afin Ns = ;25.0 Ain Ns =

Da cui la variazione di entropia:

( ) ( )[ ] KJNK

Ns

Ns

KS AB

A

in

A

fin

B /74.0134.025.022exp

2exp

ln 222

2

≅−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=∆

Appello del 12/02/09 raccolto in F4 Un cristallo di germanio intrinseco è caratterizzato da un valore di Energy gap pari ad Eg=0.67 eV. Si determini la posizione riferita alla cima della banda di valenza del potenziale chimico a T=300K, supponendo che valori accettabili per le masse efficaci di elettroni e lacune siano rispettivamente 0

* 55.0 mmn ≅ e 0* 37.0 mmP ≅ . Si determini la nuova

posizione di µ nel caso in cui lo stesso materiale venga drogato con una concentrazione di atomi donori pari a Nd=1017cm-3. ed ammettendo valida l’ipotesi di ionizzazione completa. Si stimi infine la probabilità che nel materiale estrinseco un elettrone occupi uno stato energetico sul fondo della banda di conduzione. La posizione del potenziale chimico nel caso intrinseco è legata alla diversità di masse efficaci per gli elettroni e le lacune, e riferita alla cima della banda di valenza si scrive:

meVTKE

mm

TKE Bg

n

pBmidgap 327

55.037.0ln

2ln

43 4

3

*

*

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅µ

Nel caso estrinseco teniamo conto tanto della ionizzazione completa quanto della constatazione che la concentrazione intrinseca è trascurabile rispetto alla concentrazione di donori. Ciò si scrive:

;dioniz NN ≅ di Nn << In cui il valore di ni a T=300K può essere ricavato dalle tabelle relative al germanio, o calcolato. A questo punto la distanza del potenziale chimico estrinseco dal valore intrinseco si scrive:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

i

d

i

oi n

Nnn lnln ττµµ (*)

che porta ad un valore del potenziale chimico riferito alla cima della B.V. paria a: eV543.0≅µ Infine per determinare la probabilità di occupazione di uno stato energetico sul fondo della banda di conduzione facciamo uso della statistica di Fermi-Dirac (eventualmente sfruttando l’approssimazione di Mawxell-Boltzmann)

%7.01exp

1)( ≅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

τµε

ε CEP

In modo equivalente possiamo partire dalla formula:

meVmeVTKNNTKE B

d

CBC 550120

101004.1lnln 17

19≅→≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅− µµ (#)

Questo porta ad una probabilità di occupazione leggermente superiore a quella determinata prima, intorno allo 0.9%. Questa piccola differenza può dipendere dal fatto che nella (#) si deve presumere la conoscenza di Nc, e quindi della massa efficace dell’elettrone (tipicamente ricavata da esperimenti di risonanza ciclotronica a temperature basse). Questo può dare piccole differenze rispetto alla (*) che invece usa un valore “tipicamente accettato” di ni a T ambiente.