Meccanica quantistica a tutte le scaledi grandezza

1 Introduzione

La misura di una proprieta fisica (osservabile) presuppone l’esistenza di unapparato di misura (osservatore) che rileva i dati (osservati) relativi allaproprieta del sistema in esame interagendo con esso solo a tempi definiti.

La teoria classica della misura e costruita sulla concezione che questainterazione tra il sistema di interesse e l’apparato di misura puo essere resaarbitrariamente piccola, o per lo meno esattamente compensata, in modotale che sia possibile parlare ragionevolmente di una misura idealizzata chenon disturba alcuna proprieta del sistema.

E pero caratteristica dei fenomeni atomici che l’interazione tra sistemaed apparato di misura non e arbitrariamente piccola, ne la perturbazioneprodotta durante l’interazione puo essere compensata esattamente in quantoessa e incontrollabile ed imprevedibile. Di conseguenza, una misura di unaproprieta puo produrre cambiamenti inevitabili nel valore precedentementeassegnato ad un’altra proprieta, ed e quindi senza significato parlare di unsistema microscopico che possiede valori precisi di tutti i suoi attributi.

Questo fatto contraddice la rappresentazione classica di tutte le quantitafisiche mediante valori numerici esatti. Le leggi della fisica atomica devonoessere riformulate in un linguaggio matematico diverso da quello usato perdescrivere i sistemi macroscopici, il quale costituisce un’espressione simboli-ca delle proprieta della misura dei sistemi microscopici. Questo linguaggio ebasato su un’interpretazione probabilistica della teoria che e stata originaria-mente sviluppata per descrivere il comportamento dei sistemi microscopici eche si chiama meccanica quantistica. I risultati sperimentali mostrano chela meccanica quantistica, e non la fisica classica, e la corretta descrizionedella Natura, e che essa e di gran lunga la teoria fisica piu accurata a nostradisposizione.

La meccanica quantistica e nata in modo fortuito il 14 dicembre 1900, daun’idea di Planck che riguardava la termodinamica dell’irraggiamento, pro-

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blema considerato all’epoca come uno degli ultimi da risolvere per completarela costruzione della fisica. Si tratta di un fenomeno che si manifesta chiara-mente alla scala umana, per esempio attraverso la distribuzione in frequenzedell’irraggiamento solare ed il fatto che quest’ultimo ci invia una luce bianca.La teoria di Planck ed Einstein ha mostrato che lo spettro luminoso emessoda un corpo incandescente dipende in modo fondamentale dall’esistenza edal valore della costante fondamentale di Planck.

Durante una trentina di anni successivi, gli sviluppi considerevoli dellameccanica quantistica si sono focalizzati sulla fisica atomica; i suoi progres-si piu importanti hanno in seguito riguardato la fisica molecolare e la fisicanucleare. E per questo che si ha, ancora oggi, la tendenza a considerare lameccanica quantistica una scienza che riguarda soltanto la scala microscopi-ca, cioe distanze della dimensione degli atomi o dei nuclei. Questo pregiudizioe avallato dal contenuto degli insegnamenti tradizionali, dove la meccanicaquantistica appare nel contesto dello studio di oggetti microscopici aventi unpiccolo numero di costituenti, mentre gli oggetti macroscopici, alla nostrascala, sono generalmente descritti in termini dei loro costituenti elementarisoltanto per mezzo della meccanica statistica classica. Tale presentazionee ingannevole, poiche quest’ultima non rende conto che di alcune proprietaimportanti, per esempio, dei gas e dei liquidi.

In realta, come vedremo, la meccanica quantistica e essenziale per spiegareun certo numero di fenomeni macroscopici, e la costante di Planck governain modo nascosto numerose proprieta che possiamo osservare ogni giorno.Per questo, passeremo in rassegna, seppure in modo qualitativo, molti degliambiti nei quali la meccanica quantistica (e la meccanica quantistica statisti-ca, che interviene nella descrizione dei sistemi complessi a molte particelle)risulta rilevante. Come si vedra, essa rappresenta la teoria fisica piu accu-rata che noi possediamo per la descrizione dei fenomeni oggetto della nostraosservazione, ad ogni scala di grandezza.

2 Radioattivita

Fra i fenomeni quantistici che si manifestano alla nostra scala, la radioattivitaoccupa una posizione singolare. Nonostante la dimensione straordinarementepiccola dei nuclei atomici (miliardesimo di micrometro), sappiamo facilmenteindividuare, per mezzo di contatori macroscopici, l’irraggiamento emesso dalun solo centro radioattivo che trasmuta. Tale osservazione e eccezionale peruna doppia ragione.

Da un lato, se i nostri sensi ci permettono di percepire quasi direttamenteun fenomeno cosı microscopico come la trasmutazione di un semplice nucleo

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e perche questa trasformazione si accompagna ad un’emissione d’energia con-siderevole, di un milione di volte superiore all’energia luminosa emessa da unatomo termicamente stimolato; le forze nucleari messe in gioco hanno, in-fatti, un’intensita enorme paragonata a quelle delle forze elettromagneticheche governano l’emissione della luce. E grazie alla forte concentrazione del-l’energia nucleare che una quantita di calore di 1 kWh e liberata nelle nostrecentrali a partire da 10 mg d’uranio e nel sole a partire da 5 µg d’idrogeno,mentre lo stesso effetto richiede la combustione di 100 g di petrolio; come ognireazione chimica, quest’ultimo processo fa intervenire su scala microscopicaun’energia di natura elettrica, molto meno intensa dell’energia nucleare.

D’altra parte, la radioattivita e il solo fenomeno osservabile alla nostrascala che mette in evidenza un aspetto notevole di meccanica quantistca,il suo carattere intrinsecamente probabilistico: un campione di materia ra-dioattiva da origine nei nostri contatori a segnali aleatori, emessi successi-vamente in modo imprevedibile da questo o quel nucleo al momento dellasua disintegrazione. Questo carattere probabilistico della fisica quantistcae, per qualsiasi altro fenomeno, mascherato alla nostra scala dalla legge deigrandi numeri, cosı come lo e il carattere discontinuo della materia (occorremolta immaginazione per concepire che un millimetro cubico d’aria e costi-tuito da 3× 1016 molecole disposte a caso). Per la radioattivita, il caratterecasuale che regna su scala microscopica e percepito direttamente attraversoil conteggio delle particelle emesse.

3 Alcuni aspetti fondamentali della meccani-

ca quantistica

Ci limiteremo d’ora in poi ai fenomeni che non fanno intervenire le forzenucleari, e lasceremo da parte gli effetti della gravita. Tutti i corpi che ci cir-condano sono allora disciplinati sulla scala microscopica dalle seguenti leggisemplici ed unificate. I loro costituenti elementari sono elettroni e nuclei ato-mici; questi costituenti interagiscono mediante un’interazione a due corpi conforze elettromagnetiche, soprattutto con la forza di Coulomb proporzionalealla loro carica; essi obbediscono ai principi della meccanica quantistca, dicui ricordiamo piu avanti alcune delle proprieta piu importanti. Queste leggipermettono di spiegare come gli elettroni e i nuclei si organizzano su scalamicroscopica in atomi, in molecole elettricamente neutre o in ioni carichi.E notevole che esse siano anche sufficienti a fondare la teoria dei materialimacroscopici, e che governino in linea di principio gli oggetti piu complessi edanche gli organismi viventi. Questa concezione riduzionista degli oggetti ma-

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croscopici si e affermata gradualmente nel corso del XX secolo. Certamente,proprieta nuove, completamente inattese, imprevedibili a priori e spesso diffi-cili da spiegare anche a posteriori, possono emergere alla nostra scala quandoun numero molto grande di costituenti elementari sono messi in gioco. Male leggi fondamentali restano le stesse per tutti gli oggetti, qualunque sia laloro dimensione.

In particolare, il fatto che sia la meccanica quantistica e non la mecca-nica classica che disciplina le strutture ed i comportamenti di tutti i corpifa emergere l’importanza di tre proprieta poco intuitive ma essenziali, laquantizzazione, la delocalizzazione e l’indistinguibilita, che ora passeremo inrassegna e di cui scopriremo in seguito le conseguenze notevoli.

3.1 Quantizzazione

Planck aveva scoperto nel 1900 che l’energia di un campo elettromagneti-co puo variare soltanto per quanti, cioe per valori discreti e non in modocontinuo. Per un’onda di frequenza uguale a ν, questa sola variazione pos-sibile d’energia vale hν, dove h = 6.62 × 10−34 Js e la costante di Planck.Questa e apparsa successivamente come una costante universale e non comecostante di quantizzazione delle sole onde elettromagnetiche. Infatti, mentrela meccanica classica autorizza l’energia di un sistema a prendere qualsiasivalore superiore al minimo dell’energia potenziale, la meccanica quantistica,in accordo con l’esperienza, implica che l’energia di ogni oggetto finito, comeuna molecola costituita di elettroni e dei nuclei legati tra loro, puo prenderesoltanto alcuni valori discreti. Le energie possibili sono determinate soltantodal numero e dalla massa dei costituenti e la loro espressione fa intervenire lacostante di Planck. La loro distribuzione ha la tendenza ad infittirsi quandola dimensione del sistema aumenta. Per ciascuna di esse, il sistema si trovain un certo stato quantico caratterizzato dalla configurazione degli elettronie dei nuclei. Questi stati quantici possono essere contati sistemando i livellid’energia per valori crescenti a partire dalla energia piu bassa. La quantiz-zazione delle energie e degli stati degli atomi e delle molecole e osservatadirettamente grazie allo studio del loro spettro d’emissione o d’assorbimentoottico o infrarosso: il loro cambiamento d’energia ∆E per il passaggio dauno stato quantico ad un altro si accompagna all’emissione o all’assorbimen-to di un quanto hν = ∆E d’energia luminosa; l’osservazione della frequenzaben definita ν di questo irragiamento ci fornisce informazioni sulla differenzad’energia tra due stati.

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3.2 Delocalizzazione

Come hanno mostrato Louis de Broglie nel 1923 ed Erwin Schrodinger nel1926, tutte le particelle elementari possono essere rappresentate per mezzo dionde, che sono per loro natura delocalizzate. Questo aspetto della meccanicaquantistica le ha valso anche la denominazione di “meccanica ondulatoria”.

Cosı tutti i costituenti elementari hanno un doppio aspetto di particellee di onde. Per quanto riguarda il campo elettromagnetico, questa dualitaderiva dalla quantizzazione, che permette di interpretare il quanto d’energiadi un’onda di frequenza ν come una particella, il fotone, in cui hν e l’energiacinetica, c e la velocita della luce nel vuoto, e hν/c e la quantita di moto.Simmetricamente, gli elettroni ed i nuclei, che si propagano come particelle,possono anche presentare comportamenti ondulatori. Ad esempio, nell’ato-mo d’idrogeno, costituito da un solo elettrone legato ad un protone (il nucleodell’atomo), l’elettrone non occupa una posizione ben definita. Si comporta,in ciascuno dei suoi stati quantici possibili, come un’onda stazionaria deloca-lizzata entro una certa regione dello spazio attorno al nucleo. E lo stesso pergli elettroni di qualsiasi atomo o di qualsiasi molecola, nei quali ciascuno diessi si muove nel potenziale elettrico creato dai nuclei e dagli altri elettroni(come l’elettrone dell’atomo d’idrogeno si muove nel potenziale coulombia-no del protone). E perche le particelle sono descritte da onde, d’estensionefinita, che, anche nell’atomo d’idrogeno dove e solo, un elettrone e descrittoda una distribuzione di probabilita e non come un oggetto con una posizionedefinita.

3.3 Indistinguibilita

Infine, quando un sistema fisico comprende molte particelle identiche, l’indi-stinguibilita di queste ha, in meccanica quantistica, conseguenze espresse dalprincipio di Pauli (1925). Secondo questo principio, esistono due categoriedi particelle, i fermioni e i bosoni. I fermioni hanno tendenza ad escludersireciprocamente. E, ad esempio, il caso degli elettroni, che, anche se si faastrazione della loro repulsione coulombiana, si evitano: e vietato a due elet-troni trovarsi nello stesso punto, o anche trovarsi nello stesso stato quanticoo nella stessa configurazione. Al contrario, i bosoni, di cui i fotoni o gli atomid’elio forniscono due esempi, hanno un comportamento gregario: tendonoad accumularsi in un unico stato quantico. L’effetto dell’indistinguibilita, ditipo repulsivo per i fermioni e attrattivo per i bosoni, si sovrappone alle forzepropriamente dette tra particelle.

Come vedremo, il formalismo matematico della meccanica quantisticapermette di enunciare con rigore ed in un quadro unificato queste tre pro-

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prieta, quantizzazione, delocalizzazione ed indistinguibilita, di dedurre nu-mericamente le conseguenze, e cosı di verificare sperimentalmente la teoriacon una precisione considerevole in moltissime circostanze. Ci limiteremoqui a mostrare che esse permettono di spiegare qualitativamente un grandenumero di fenomeni macroscopici, a volte inattesi.

4 Ordini di grandezza atomici

Negli atomi e nelle molecole, gli elettroni sono sottoposti ad effetti antagoni-sti. Da un lato, la forza di Coulomb da sola avrebbe tendenza a far precipita-re questi elettroni (carichi negativamente) sui nuclei (carichi positivamente).Dall’altro, la nuvola di probabilita formata dagli elettroni tende a dispiegar-si, in ragione non soltanto della loro repulsione coulombiana reciproca, maanche di due effetti quantistici, il loro carattere ondulatorio ed il principio diPauli. A temperatura non troppa elevata, la struttura di un atomo o di unamolecola e determinata dal fatto che la sua energia deve essere minima inquesta circostanza. Si realizza cosı un equilibrio dove tale oggetto microsco-pico ha una dimensione ed un’energia ben definite. Senza che sia necessarioscrivere le equazioni che disciplinano questo equilibrio, si puo trovare, conla semplice analisi dimensionale, l’ordine di grandezza della dimensione degliatomi. Infatti e facile identificare i soli dati o costanti fondamentali messe ingioco nel calcolo: la carica elettrica elementare e = 1.6× 10−19 C che carat-terizza le interazioni reciproche tra particelle (con la costante dielettrica delvuoto ε0 = 107/4πc2 = 8.85 × 10−12 C2/Jm), la massa me = 9.1 × 10−31 kgdell’elettrone che caratterizza la sua dinamica, e la costante di Planck h cheinterviene negli effetti quantistici che tendono a dispiegare la nuvola elettro-nica. A partire da queste costanti non si puo formare che una lunghezza, ilraggio di Bohr definito come a0 = ε0h

2/πmee2 = 0, 5 × 10−10 m = 0.5 A.

A meno di un fattore numerico, che ci si attende dal calcolo dettagliato, ledimensioni caratteristiche degli atomi o le distanze tra i nuclei nelle mole-cole sono dunque dell’ordine di grandezza dell’angstrom, un milionesimo dimillimetro, previsione della microfisica in accordo con l’esperienza.

Inoltre la sola energia che si possa formare con le costanti fondamentalie,me ed h che controllono le strutture atomiche e, a meno di un fattorenumerico, l’energia di legame dell’atomo d’idrogeno che vale mee

4/8ε20h2 =

2.2× 10−18 J. Un’unita comoda per misurare queste energie che appaiono suscala atomica e l’elettronvolt (eV) che vale 1.6 × 10−19 J e che rappresental’aumento d’energia cinetica di un elettrone accelerato da una differenza dipotenziale di 1 V. Le energie caratteristiche degli atomi sono cosı dell’ordinedi grandezza dell’elettronvolt. Quindi l’energia di legame di un elettrone

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con un protone, necessaria per formare un atomo d’idrogeno nel suo livellod’energia piu basso, e di 2.2 × 10−18 J = 13.6 eV. In una molecola, i livellid’energia sono piu vicini perche la massa dei nuclei, molto piu grande diquella dell’elettrone, interviene nella loro determinazione: in questo caso iloro scarti sono di una piccola frazione d’elettronvolt.

Le dimensioni e le energie degli atomi o delle molecole sono ovviamentetroppo piccole per essere direttamente osservabili. Ma, come mostreremo, iloro effetti possono essere amplificati e resi visibili grazie al numero colossaledi atomi che costituiscono gli oggetti alla nostra scala. Per esempio, una moledi materia, come 18 g d’acqua (1H2

16O) o 56 g di ferro (56Fe), comprendonoun numero di molecole uguale al numero di Avogadro NA = 6× 1023.

5 Fisica quantistica e Chimica

Un primo esempio d’intervento della costante di Planck nella nostra scalamacroscopica e fornito dal valore del calore di reazione chimica. E sotto formadi reazione chimica che a noi si manifesta una trasformazione di molecole.A livello microscopico si tratta di un cambiamento dello stato quantistico dioggetti formati da nuclei circondati di nuvole elettroniche, elementi che siriordinano differentemente con trasferimento di nuclei e di elettroni da unamolecola all’altra. Questo cambiamento si accompagna ad una variazioned’energia di un valore ben definito, poiche si passa da uno stato quantisticoad un altro, dell’ordine dell’elettronvolt per ogni trasformazione elementaremicroscopica. Essendo il numero di queste trasformazioni grande quanto ilnumero di Avogadro, possiamo osservare variazioni corrispondenti d’energiasotto l’aspetto di un ben definito calore di reazione assorbito o rilasciato, il cuiordine di grandezza e di NA elettronvolt per mole, cioe 105 J mol−1 o anche20 kcal per mole, nella unita di solito utilizzata in chimica. Questo numero,che abbiamo appena ottenuto a partire dal valore delle costanti fondamentalie,me ed h, e conforme al valore sperimentale osservato.

Cosı, il calore di combustione dell’idrogeno e di circa 60 kcal per mole,quantita formata da 18 g d’acqua; questo numero e comparabile al caloredi combustione del petrolio che, in unita da economisti, vale per definizione1 tep = 11000 kWh per tonnellata (abbiamo segnalato piu su che 100 g dicombustibile equivalgono circa a 1 kWh).

In realta, non soltanto per la nozione di calore di reazione ma nella suatotalita, la chimica deve le sue diverse caratteristiche alla fisica quantistica.Infatti l’esistenza di specie chimiche ben caratterizzate e, come mostreremo,un effetto della quantizzazione.

Consideriamo inizialmente un atomo. Ogni elettrone e sottoposto al po-

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tenziale elettrico creato dal nucleo centrale e dalla nuvola circostante deglialtri elettroni. In questo potenziale, l’elettrone considerato non puo, comeabbiamo indicato, occupare che stati quantici ben definiti, ben distinti gliuni degli altri. Ciascuno di questi stati e delocalizzato e costituisce un’ondastazionaria chiamata orbitale. Tuttavia, l’isotropia del potenziale visto dal-l’elettrone, cioe la sua invarianza per rotazione attorno al nucleo, permettedi classificare gli orbitali. Quelli che non sono essi stessi isotropi si raggrup-pano in famiglie, all’interno di ciascuna delle quali gli orbitali si deducono gliuni dagli altri per rotazione. Gli orbitali di una stessa famiglia hanno ovvia-mente proprieta simili, ed in particolare la stessa energia. Cosı, per ragionigeometriche, gli stati quantici che fornisce la meccanica quantistica per ognielettrone non sono distribuiti a caso, ma si raggruppano in pacchetti, chia-mati gusci, nei quali le energie degli stati sono uguali o, piu generalmente,molto vicine. Il numero di stati dei gusci atomici successivi, di energie cre-scenti, e, partendo dallo stato fondamentale, di 2, quindi 8, quindi ancora 8,quindi 18, ecc., numeri “magici” derivati dalla meccanica quantistica e dallageometria.

Tutti gli elettroni di un atomo formano una nuvola (di probabilita), co-struita distribuendo gli elettroni fra gli stati quantici descritti sopra in modotale che l’energia totale sia la piu bassa possibile. Tuttavia, in ottemperanzaal principio di Pauli, gli elettroni si escludono reciprocamente: devono tuttioccupare stati distinti. Per uno atomo a N elettroni, questi elettroni riempio-no dunque gli N livelli d’energia piu bassa. Differenze qualitative appaionoallora a causa della disposizione in gusci di questi livelli.

Per i valori di N uguali a 2 (elio), o 10 (neon), o 18 (l’argon), o 36 (crip-ton), ecc., si formano delle configurazioni in cui tutti i gusci sono completi,configurazioni particolarmente stabili poiche possono essere modificate sol-tanto con trasferimento di un elettrone verso uno guscio piu esterno. Gli ele-menti formati da questi atomi sono i gas inerti, che non hanno praticamentenessuna reattivita chimica a causa di questa stabilita.

Gli atomi per i quali N vale 3 (litio), o 11 (sodio), o 19 (potassio), ecc.,sono caratterizzati dalla presenza di gusci completi piu un solo elettroneesterno; e quest’ultimo elettrone, meno legato degli altri e che puo facilmentecambiare stato nel suo guscio, che governa le interazioni di questi atomi conaltri atomi. Questi atomi hanno proprieta chimiche simili: si tratta deimetalli alcalini.

Sono pure simili i metalli aventi due elettroni, oltre ai gusci completi, ilberillio 4Be, il magnesio 12Mg, il calcio 20Ca, ecc.

Un’altra possibilita e che il guscio esterno sia quasi completo. Per esem-pio, se manca un elettrone nell’ultimo guscio occupato, si ottiene la famiglia

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degli alogeni, il fluoro 9F , il cloro 17Cl, il bromo 35Br, ecc., elementi che purepossiedono proprieta chimiche simili.

Tutti gli elementi si classificano cosı in funzione del numero di elettronisituati nello guscio piu esterno. Questo classificazione, scoperta da Mendeleevnel 1869, ha potuto essere compresa soltanto dopo la scoperta della meccanicaquantistica.

Gli stessi principi si applicano anche alle molecole: essi possono spiegare lanatura e le proprieta dei legami chimici tra elementi, le valenze di questi, cosıcome i meccanismi di reazione. La chimica si basa cosı sulla fisica molecolare,a sua volta un risultato della meccanica quantistica. Si trova l’ordine digrandezza del raggio di Bohr per le distanze interatomiche all’interno dellemolecole; ad esempio, gli atomi di carbonio nelle molecole organiche in catenasono distanti di 1.54 A. I tipi di legami nelle molecole, la loro forza, i loroangoli sono governati, cosı come le proprieta degli atomi, dalla congiunzionedella meccanica quantistica, della geometria e dell’interazione di Coulombtra i nuclei e gli elettroni. La forma cosı determinata delle molecole e inparticolare determinante per le proteine poiche condiziona le loro funzionibiologiche, in modo che in ultima analisi i meccanismi degli esseri viventisono regolati dalla fisica quantistica.

L’identificazione tra elemento chimico ed atomo, tra specie chimica e co-struzione molecolare, ci sembra oggi ovvia. Gia, alla fine del XVIII secolo,i creatori della chimica quantitativa ne avevano avuto l’intuizione. L’osser-vazione di proporzioni definite per i reagenti messi in gioco in una reazionechimica si spiega infatti semplicemente appena si ammette che i corpi purisono costituiti di molecole identiche e che queste sono combinazioni di ato-mi. Tuttavia, quest’idea ha avuto molto difficolta ad imporsi tra i chimicinella prima meta del secolo scorso nonostante la chimica quantistica fossegia molto elaborata. Infatti, Heitler e London avevano chiarito con la fisicaquantistica, fin dal 1927, come la nuvola elettronica riusciva a legare dueatomi d’idrogeno in una molecola e, al loro seguito, Pauling e Slater avevanosuccessivamente elaborato la teoria del legame covalente basato sugli orbitalielettronici.

6 Gas e Liquidi

Un gas o un liquido si presenta su scala microscopica come un insieme dimolecole, i cui movimenti disordinati sono ben descritti dalle leggi della mec-canica statistica classica: queste particelle subiscono urti reciproci, nell’in-tervallo tra i quali esse si muovono ad una velocita di alcune centinaia dimetri al secondo. Un effetto come la pressione, conseguenza degli urti di mo-

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lecole sulle pareti, come aveva gia capito Daniel Bernoulli nel 1738, si spiegadunque senza ricorso alla meccanica quantistica.

Questa interviene tuttavia indirettamente, poiche e essa che determinale dimensioni delle molecole. Queste dimensioni, che abbiamo visto sonodi alcuni angstrom, caratterizzano l’efficacia delle collisioni e condizionanodunque i fenomeni che da esse dipendono. In particolare, la dimensionedelle molecole si riflette alla nostra scala nella viscosita e nella conducibilitatermica dei fluidi, conseguenze delle collisioni in un fluido in movimentonon uniforme o a temperatura non uniforme. Inoltre per i gas Maxwell hamostrato che queste quantita sono proporzionali al quadrato della dimensionedelle molecole (e proporzionali alla radice quadrata della temperatura).

Un altro fenomeno, direttamente osservabile, dove si manifesta la dimen-sione delle molecole, e la diffusione della luce. E la dimensione delle molecoled’azoto e d’ossigeno, che costituiscono l’atmosfera, come pure il valore deiloro livelli d’energia, che determinano il modo in cui essi diffondono la lucedel sole. La radiazione di lunghezza d’onda piu breve e piu fortemente diffusadi quella di lunghezza d’onda piu grande, e questo determina il colore blu delil cielo, manifestazione alla nostra scala della fisica molecolare.

I livelli d’energia delle molecole influiscono sulle proprieta termodinami-che dei gas che costituiscono. Il riscaldamento di un gas, caratterizzato dalsuo calore specifico, traduce alla nostra scala non soltanto l’aumento dell’e-nergia cinetica delle sue molecole, ma anche un fenomeno quantistico, il loropassaggio da un livello d’energia ad un altro piu elevato.

Anche per la termodinamica dei gas rari, i cui atomi si comportano co-me punti materiali senza struttura, la meccanica quantistica gioca un ruolo.Il terzo principio della termodinamica, o principio di Nernst, permette difissare la costante additiva dell’entropia (questa e definita a meno di unacostante additiva dal secondo principio, essendo una proprieta del sistema).Ogni sistema macroscopico possiede cosı un’entropia assoluta, che si annullaquando la temperatura assoluta tende verso lo zero. Per un gas raro, la fisi-ca statistica quantistica permette di calcolare l’entropia assoluta in funzionedella temperatura e della pressione. La sua espressione contiene la costantedi Planck ed e in accordo con le esperienze di calorimetria.

7 Solidi

Ad una temperatura sufficientemente bassa o ad una pressione sufficiente-mente alta, i materiali diventano solidi. Le distanze tra i costituenti elemen-tari sono allora dell’ordine dell’angstrom. Si deduce ad esempio dalla densitadel ferro (56Fe), 7.8 g/cm3, che il volume medio occupato da ogni atomo e

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(2.3 A)3. Siccome queste distanze sono tipiche delle dimensioni atomiche, gliatomi o le molecole di un solido sono fortemente perturbati dai loro vicini– dai loro “troppo” vicini – e possono anche perdere la loro individualita.Quando il solido deriva dalla cristallizzazione di un gas costituito di moleco-le, queste sono non soltanto deformate ma spesso dissociate. Un cristallo disale, ad esempio, non contiene molecole di cloruro di sodio NaCl, ma degliioni Na+ e Cl− alternativamente diposti ai nodi di un reticolo cubico senzaessere appaiati.

D’altra parte, i movimenti delle molecole, che nei gas e nei liquidi eranodisciplinati dalla meccanica classica, non esistono praticamente piu nei solidi,in cui i nuclei si allontanano poco dalle loro posizioni d’equilibrio.

La descrizione microscopica di un solido si basa dunque interamente sullameccanica quantistica. In realta, si puo considerare un pezzo di materialesolido come una molecola gigantesca di dimensione macroscopica, compor-tando migliaia di miliardi di miliardi dei nuclei atomici e di elettroni. Questacostruzione, come in un atomo o una molecola, e disciplinata dalla competi-zione dell’interazione coulombiana, che tende a legare gli elettroni ai nucleievitando le particelle della stessa carica, con i principi della meccanica quanti-ca, secondo i quali gli elettroni tendono a dispiegarsi per formare una nuvolae inoltre si escludono reciprocamente: un solido e un oggetto quantisticomacroscopico.

Anche in questo caso, i soli parametri in gioco sono la carica elementare,la costante di Planck e la massa dell’elettrone (e le masse dei nuclei). None dunque sorprendente trovare, in fisica dei solidi, ordini di grandezza delledimensioni atomiche. Cosı come nelle molecole, le distanze tra i nuclei sono dialcuni angstrom, cosa che spiega perche le densita dei solidi non differisconoconsiderevolmente le une delle altre. Le loro discrepanze riflettono in generalepiu la variazione delle masse atomiche che quella delle distanze interatomiche.

L’energia di legame di un atomo o di una molecola e sostituita qui dall’e-nergia di coesione del solido, il cui ordine di grandezza e ancora una frazionedi elettronvolt per atomo. Prendiamo ad esempio il ghiaccio. Per liberarequesta energia per una massa di 1 kg di ghiaccio, occorre farla fondere (equesto richiede 80 kcal), quindi portarla a 100 ◦C (100 kcal), infine farlabollire (550 kcal); occorre togliere da questa quantita di calore totale la dif-ferenza d’energia cinetica delle molecole tra le fasi vapore e solido (50 kcal).In accordo con l’esperienza, si trova in definitiva 2.8× 106 J/kg, cioe 0.5 eVper molecola d’acqua, ordine di grandezza che conferma l’origine quantisticadell’energia di coesione.

In un solido, come in una molecola, i nuclei occupano posizioni quasifisse, disposte piu o meno irregolarmente per i solidi amorfi come i vetri, oall’opposto in un reticolo regolare per i solidi cristallini. Forme geometriche

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regolari apparivano gia nelle molecole: tetraedro per il metano CH4, esago-no per il benzene C6H6. Nei cristalli, la regolarita e estrema, al punto dadiventare ovvia alla nostra scala: la loro forma stessa riflette quella del re-ticolo microscopico. Un cristallo cubico di sale da cucina di 1 mm di latonon e infatti null’altro che una successione di maglie cubiche elementari di2,9 angstrom di lato alle cui estremita sono posti alternativamente gli ionisodio e cloro. Benche tra le due facce opposte del cristallo si accumulino 3.5milioni di piani equidistanti, l’ordine di questa configurazione e notevole inquanto essi ripetono sempre lo stesso motivo con periodicita quasi perfetta.Questa manifestazione macroscopica della fisica quantistica merita di esseretanto piu sottolineata in quanto la banalita dell’osservazione di un cristallonon incita ad immaginare l’origine microscopica della sua struttura.

Gli atomi di un solido possono vibrare attorno alle loro posizioni d’equi-librio situate ai nodi del reticolo cristallino. Tuttavia, il fatto che questeoscillazioni siano disciplinate dalla meccanica quantistica e non dalla mecca-nica classica implica che le energie corrispondenti sono quantizzate, potendovariare soltanto per valori discreti (o per quanti). La propagazione del suonoin un solido costituisce cosı un processo quantistico. Come le onde elettro-magnetiche nel vuoto, le onde acustiche nei solidi presentano uno doppiocarattere ondulatorio e corpuscolare: i quanti d’energia, denominati fononi(in analogia con i fotoni), si comportano come particelle che si propaganoalla velocita del suono ed hanno (come per il campo elettromagnetico) un’e-nergia hν dove ν e la frequenza della vibrazione. L’energia di un’onda sonoratrasportata da n fononi allora uguale a nhν. Una conseguenza macroscopi-ca di questa quantizzazione delle vibrazioni atomiche e la forma del calorespecifico dei solidi in funzione della temperatura. L’aumento di temperaturastimola onde acustiche, in altre parole crea fononi, e fa cosı crescere l’energiaassorbendo del calore. Tuttavia, questo processo e ostacolato dalla necessitadi fornire un’energia minima hν per fare vibrare il cristallo, contributo tantopiu difficile da soddisfare quanto piu la temperatura e bassa. La teoria deifononi, elaborata da Einstein fin dal 1907, permette di spiegare a partireda quest’idea perche il calore specifico si annulla a bassa temperatura, pri-mo successo della teoria quantistica dei solidi ancora agli albori all’epoca; lameccanica statistica classica infatti prevedeva che dovesse essere costante.

Citiamo anche, fra i fenomeni macroscopici spiegati dalla teoria quantisti-ca dei solidi, la loro dilatazione quando vengono riscaldati e la loro elasticitao la loro deformazione quando si applicano degli sforzi. Questi fenomeni so-no associati alla variazione dell’energia di coesione, sia quando la dimensionedei legami cristallini aumenta perche un aumento di temperatura amplificale vibrazioni degli atomi, sia quando alcune forze negano a questi legami laloro forma d’equilibrio.

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8 Metalli e Isolanti

Abbiamo appena esaminato alcune proprieta macroscopiche dei solidi asso-ciate alla posizione ed al movimento dei loro nuclei atomici. Altre proprietaquantistiche importanti sono associate ai loro elettroni, piu leggeri e mobili.Per spiegare questo punto, riprendiamo l’analogia tra la teoria dei solidi equella degli atomi e molecole. Per tutti questi sistemi, ogni elettrone si muo-ve in un potenziale coulombiano creato dai nuclei ed dalla nuvola formatadagli altri elettroni. In un atomo, gli stati quantici di un elettrone sottopostoa questo potenziale erano orbitali, onde piu o meno delocalizzate attorno alnucleo. Ad essi corrispondevano energie che formano uno spettro discretoma i cui valori erano raggruppati in pacchetti: i gusci atomici. In un solidocristallino, i nuclei sono disposti in un reticolo regolare, in modo che il po-tenziale visto da ogni elettrone sia periodico nello spazio. Questa proprietageometrica sostituisce l’invarianza per rotazione degli atomi, che permettevadi spiegare l’esistenza dei gusci, ed ha essa pure conseguenze fisiche notevo-li. Infatti, essa semplifica il problema e permette di risolverlo nonostante ilnumero grandissimo di particelle con le quali l’elettrone interagisce nel cri-stallo. Si trovano cosı caratteristiche un po’ simili a quelle di un elettronein un atomo. Gli orbitali, stati quantici nei quali si possono mettere tuttigli elettroni dell’atomo, sono sostituiti da onde, le onde di Bloch, delocaliz-zate in tutto il cristallo e modulate dal reticolo dei nuclei atomici. Come leenergie degli orbitali erano organizzate in gusci, quelle delle onde di Blochsono raggruppate in intervalli, denominati bande permesse, separati da altriintervalli, denominati bande vietate, all’interno dei quali non esiste nessunvalore possibile per le energie dell’elettrone. Tuttavia, mentre ogni guscioraccoglieva un piccolo numero di orbitali, ogni banda permessa include unnumero considerevole di livelli di energia, comparabile con il numero di atominel cristallo. Bande permesse e bande vietate hanno larghezze che vanno dauna frazione di elettronvolt ad alcuni elettronvolt.

Le proprieta elettroniche sono condizionate da questa struttura dello spet-tro d’energia delle onde di Bloch che ogni elettrone puo occupare, strutturacaratterizzata dall’alternanza di bande permesse, che raccoglie in modo den-so i livelli d’energia possibili, e di bande vietate, a cui nessun elettrone puoaccedere. Il carattere ondulatorio della fisica quantistica si manifesta attra-verso le onde di Bloch delle bande permesse, la cui lunghezza d’onda puovariare quasi continumente; il suo carattere discreto si manifesta attraversol’esistenza di bande vietate. Come in un atomo, se la temperatura non etroppo elevata, N elettroni del cristallo si dispongono in modo che la loroenergia totale sia minima. Tuttavia, in accordo con il principio d’esclusionedi Pauli, ogni onda di Bloch non puo accogliere piu di un elettrone. Gli N

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elettroni riempiono dunque gli N livelli d’energia piu bassa, dal valore piubasso possibile, al fondo della banda piu bassa, fino ad un valore massimodenominato livello di Fermi. I livelli d’energia situati sotto al livello di Fer-mi sono dunque tutti occupati, quelli situati sopra sono tutti vuoti. Duesituazioni, qualitativamente diverse, possono allora presentarsi.

(i) Se gli N elettroni riempiono completamente alcune bande piu profonde,il livello di Fermi e situato nella banda vietata immediatamente seguente.Questa situazione caratterizza gli isolanti. Si designa in questo caso sottoil nome di banda di valenza l’ultima banda piena al di sotto del livello diFermi, e col nome di banda di conduzione la prima banda permessa vuota aldi sopra di esso. La banda di valenza e la banda di conduzione sono separateda una banda vietata, la cui larghezza ∆ misura un intervallo (un “gap”)nelle energie possibili di uno elettrone. Questa situazione somiglia a quelladi un atomo di gas raro, i cui gusci piu profondi sono completamente occupatida elettroni. D’altra parte, la meccanica quantistica implica che gli elettronidi una banda piena si comportino come quando uno di loro era situato invicinanza di un nucleo o tra due nuclei vicini. Un isolante puo dunque esseredescritto come un materiale di cui tutti gli elettroni sono localizzati (entrola dimensione del loro atomo).

(ii) Il caso contrario, quando sopra un certo numero di bande completa-mente piene di elettroni ne esiste una occupata soltanto parzialmente, carat-terizza i metalli. Il livello di Fermi e allora situato in questa banda permessa,che si denomina ancora banda di conduzione; essa occupa una parte densadello spettro d’energia di una bada permessa. Cosı, mentre gli elettroni del-le bande piene sono situati come in un isolante, gli elettroni della banda diconduzione di un metallo occupano onde di Bloch simili ad onde piane. Sicomportano, tenuto conto delle costrizioni imposte per la loro natura di fer-mioni, come un gas che occupa tutto il volume del materiale e che si muoveliberamente in esso.

Questa distinzione tra metalli ed isolanti fa intervenire i tre aspetti dellafisica quantistica che abbiamo sottolineato piu sopra: la quantizzazione deilivelli d’energia, il comportamento ondulatorio degli elettroni, ed il principiodi Pauli che proibisce a piu di un elettrone di occupare ogni stato quantico. Ilcontrasto tra metalli e isolanti e, di fatto, una delle manifestazioni piu spet-tacolari della meccanica quantistica alla nostra scala. Infatti, la resistivitaelettrica e la proprieta dei materiali che puo variare di piu, di un fattore 1023,quando si passa da un buon conduttore, come il rame, ad un buono isolante.Questa differenza e piu grande della differenza che c’e la distanza terra-solee la dimensione di un atomo!

Per spiegare questa differenza fondamentale, notiamo che la produzionedi una corrente elettrica, che e la messa in movimento di elettroni median-

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te un campo elettrico, suppone ovviamente una modifica dello stato dellanuvola elettronica. Ma, secondo il principio di Pauli, tale modifica implical’eccitazione di elettroni, portati da livelli occupati, sotto al livello di Fermi,verso livelli vuoti, al di sopra di esso. In un conduttore, questo trasferimentoe facile: basta fornire un’energia infinitesimale ad un elettrone della banda diconduzione situato immediatamente sotto al livello di Fermi per farlo passareappena sopra (ricordiamo che, per uno metallo, il livello di Fermi e immersoin una parte quasi continua dello spettro di una banda permessa). La resisti-vita e dunque nulla, in questo modello teorico. In realta i metalli presentanouna debole resistivita dovuta alla presenza di impurezze o di difetti del re-ticolo cristallino, con i quali gli elettroni possono collidere, cosa che rallentail loro trasporto. E notevole che un elettrone possa attraversare liberamenteun metallo perfettamente cristallino, senza essere impedito dagli innumere-voli nuclei che incontra. Questo e ancora una conseguenza della meccanicaquantistica, dove gli elettroni di conduzione sono descritti come un gas in cuiogni particella occupa un’onda di Bloch che si estende su tutto il cristallo.

Al contrario, in un isolante qualsiasi modifica della nuvola elettronica ri-chiede il contributo di una quantita di energia almeno uguale a ∆ poiche enecessario al minimo trasferire un elettrone dal vertice della banda di valenzafino al fondo della banda di conduzione. In questo modello ideale, gli elet-troni sono dunque insensibili ad un campo elettrico non abbastanza intensoper comunicare loro l’energia ∆, per cui la conducibilita e nulla. Il campodeve superare una certa soglia, funzione crescente di ∆, perche una corren-te significativa riesca ad attraversare l’isolante, cosa che corrisponde “allarottura dielettrica” di quest’ultimo. All’impossibilita di trasportare una cor-rente in un campo debole corrisponde l’immagine fornita precedentementeper un isolante, cioe di un materiale in cui tutti gli elettroni sono solidifica-ti in stati quantistici localizzati. La debole conducibilita presente in realtain un isolante a temperatura ordinaria proviene dal fatto che l’energia tota-le non prende il valore piu basso possibile. Un piccolo numero di elettroniinfatti e termicamente eccitato dalla banda di valenza a quella di conduzio-ne. Questi elettroni sono suscettibili di cambiare stato quantico all’internodi questa banda grazie al contributo di un’energia infinitesimale, e possonodunque essere messi in movimento sotto l’effetto di un debole campo.

Anche l’aspetto esterno dei cristalli isolanti, diverso da quello dei condut-tori, ha la stessa spiegazione. Tali cristalli, ad esempio il quarzo o il diamante,sono trasparenti. La luce non puo infatti interagire con i loro elettroni, dalmomento che i fotoni che la costituiscono non hanno un’energia sufficienteper essere assorbiti dagli elettroni; questo assorbimento e possibile soltantose l’energia hν di un fotone (dove ν e la sua frequenza) supera la larghezza ∆della banda proibita. Ma l’energia dei fotoni della luce visibile va da 1.5 eV

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(rosso) a 3 eV (blu). Dal momento che negli isolanti ∆ e superiore a 3 eV,tutte le radiazioni luminose attraversano liberamente il cristallo. Al contra-rio, il luccichio metallico dell’oro o del rame e dovuto alla facilita con la qualegli elettroni della banda di conduzione possono assorbire o emettere fotonidella luce visibile. Cio impedisce a quest’ultima di penetrare nel materiale,di modo che la luce risulta completamente riflessa.

Un metallo ed un isolante sono tutti e due degli oggetti quantistici macro-scopici, ma in essi sono aspetti complementari di meccanica quantistica chesi manifestano. Nei metalli, e il carattere ondulatorio e delocalizzato deglielettroni della banda di conduzione che domina; si comportano come un gasdi elettroni liberi. Ma si tratta di un gas quantistico dove il principio di Paulie la nozione di livello di Fermi svolgono un ruolo essenziale. Ad esempio, l’e-nergia degli elettroni e un centinaio di volte piu elevata di quella di particellea temperatura ordinaria che obbediscono alle leggi della meccanica classica.Negli isolanti, le proprieta sono governate dall’esistenza della banda vietatache rende difficile l’eccitazione degli elettroni. Questo intervallo nello spettroe una manifestazione macroscopica della quantizzazione dei livelli di energia,distinti come negli oggetti microscopici, con intervalli di alcuni elettronvolt.La rigidita della nuvola di elettroni di un isolante e analoga, come si e visto, aquella degli elettroni di un atomo di gas raro; la nuvola, solidificata, reagiscepoco agli sforzi esterni, elettrici o luminosi da un lato e chimici dall’altro.

9 Elettronica

Tutta la fisica contemporanea dei materiali, le cui applicazioni hanno invasola nostra vita quotidiana, si basano sulla fisica quantistica. In particolare, lapossibilita di controllare il comportamento degli elettroni nei solidi, descrittiin prima approssimazione dalla teoria delle bande che abbiamo appena de-scritto, ha permesso di sviluppare le tecnologie dell’elettronica. I materialidi base di questa sono (accanto a metalli conduttori ed a ossidi isolanti) isemiconduttori come il silicio.

Si tratta di isolanti la cui larghezza ∆ della banda vietata e abbastanzapiccola (∆ = 1.12 eV per il silicio) e nei quali e stato incorporato in modocontrollato un “drogante”, cioe, con migrazione calda, una debole percentualedi impurezze attive. La presenza, ad esempio, di tracce di fosforo, donatore dielettroni, nel silicio, modifica radicalmente le proprieta di quest’ultimo; essapermette infatti di iniettare in fondo alla banda di conduzione del silicio,che sarebbe altrimenti praticamente vuota allo stato puro, degli elettronisuscettibili di essere messi in movimento da un debole campo elettrico. Talemateriale e chiamato semiconduttore di tipo n (poiche gli elettroni mobili

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hanno una carica negativa). Nei semiconduttori di tipo p, come il siliciodrogato con un po’ di alluminio, accettore di elettroni, il vertice della bandadi valenza , normalmente piena per il silicio puro, e al contrario mancante dielettroni; gli stati quantici diventati liberi in questa banda permettono aglielettroni restanti di diventare mobili.

I componenti elettronici sono assemblaggi di materiali diversi, in partico-lare di semiconduttori dei due tipi p e n, sistemati in modo da poter svolgeredeterminate funzioni. Ad esempio, un diodo, costituito da una giunzionedi due semiconduttori di tipo p e n, lascia passare di preferenza la correnteda p verso n. Un diodo elettoluminescente e un dispositivo che permette diemettere segnali nell’infrarosso o di produrre otticamente informazione: sitratta ancora di una giunzione dove il passaggio di una corrente da p verson comporta una diseccitazione di elettroni di conduzione che arrivano al laton e cadono su stati della banda di valenza del lato p; questa diseccitazionesi accompagna all’emissione di un’energia hν sotto forma di fotone di fre-quenza ν uguale a ∆/h, nell’infrarosso o nel visibile. Un transistor (doppiagiunzione, n-p-n oppure p-n-p) permette sia di amplificare una corrente, siadi controllare il passaggio di una corrente in un circuito grazie all’applica-zione di un debole potenziale. E notevole che Bardeen, Brattain e Schockleyabbiano potuto inventare questo dispositivo nel 1947 dopo avere chiarito lastruttura microscopica quantistica dei semiconduttori.

10 Elettrotecnica

Non soltanto l’elettronica, ma anche la maggioranza delle tecnologie dell’e-nergia sono, in modo nascosto, debitori della fisica quantistica. Abbiamosegnalato questo punto a proposito dell’energia nucleare, come pure dei com-bustibili (attraverso la chimica). La fisica quantistica dei solidi interviene inun grande numero di altre questioni di energetica. La produzione di elet-tricita a partire dall’irraggiamento solare utilizza fotopile, altri dispositivibasati sui semiconduttori. Una pila solare e costituita da due lame sottilidi semiconduttori di tipo n e p messe in contatto e collegate da un circuitoesterno. I fotoni provenendo dal sole possono essere assorbiti all’interfacciastimolando elettroni dalla banda di valenza del lato p verso la banda di con-duzione del lato n. Grazie alle proprieta della giunzione, cio invia nel circuitouna corrente diretta dalla lama p verso la lama n. Questo processo e l’inversodi quello che e attuato nei diodi elettoluminescenti.

La produzione d’elettricita a partire dall’energia meccanica si basa sul-l’uso di alternatori. Il trasporto dell’elettricita su grandi distanze al prezzodi perdite d’energia per effetto Joule accettabili (circa il 20%) e possibile

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soltanto grazie all’impiego di linee ad alta tensione alternata, in modo che itrasformatori sono indispensabili al trasporto dell’energia. Infine, abbiamoanche bisogno di motori per produrre energia meccanica a partire dall’elet-tricita. Il funzionamento degli alternatori, dei trasformatori e dei motoririchiede flussi magnetici elevati, prodotti da avvolgimenti attorno a nucleidi ferro. E il ferromagnetismo di quest’ultimo che rafforza flusso magnetico.Tutto lo sviluppo dell’elettrotecnica realizzato nel XIX e XX secolo si sostienedunque sull’esistenza del ferromagnetismo. Ma anche l’esistenza di materialimagnetici, la cui magnetizzazione si interpreta su scala microscopica comeuna circolazione di piccole correnti in circuiti chiusi, e una nuova manife-stazione macroscopica notevole della meccanica quantistica. Infatti, secondoil teorema di Bohr e Van Leeuwen, nessuna proprieta magnetica potrebbeesistere se i costituenti elementari della materia obbedissero alle leggi dellafisica classica, poiche la distribuzione di posizioni e velocita di questi costi-tuenti all’equilibrio termico sarebbe indipendente da ogni campo magneticoapplicato. La meccanica quantistica permette al contrario ai campi magne-tici di generare una magnetizzazione. Inoltre, essa impone agli elettroni e ainuclei atomici di manifestare una forma particolare di rotazione su essi stessie, conseguentemente, un momento magnetico intrinseco suscettibile di orien-tarsi. Tuttavia, la spiegazione di ferromagnetismo dei metalli come il ferronon ha nulla di intuitivo. Essa combina il momento magnetico intrinsecodell’elettrone con altri effetti quantistici, in particolare il principio di Pauli eteoria delle bande, e deve anche tenere conto delle interazioni tra elettroni.

Abbiamo visto che la fisica quantistica spiega l’esistenza e le proprieta deimetalli, buoni conduttori nei quali l’energia elettrica si trasporta facilmente.Essa e anche basilare per spiegare, tramite l’elettrochimica, l’immagazzina-mento dell’energia elettrica in pile o accumulatori. Quando una pila e nuovao un accumulatore e caricato, questo sistema contiene alla scala microscopicadegli ioni che si mantengono in uno stato eccitato metastabile a condizioneche il circuito elettrico che collega i due morsetti sia aperto. La chiusuradi questo circuito, permettendo agli elettroni di circolarvi da un morsettoall’altro, causa all’interno del generatore una reazione chimica che arriva alladiseccitazione degli ioni verso uno stato piu stabile. L’energia liberata daquesta diseccitazione e portata via dagli elettroni nel circuito, che si osservacosı alla nostra scala sotto forma di energia elettrica. L’origine quantisticadel fenomeno e confermata dal valore della forza elettromotrice di un elemen-to di batteria, il cui ordine di grandezza e il volt: come per molti fenomeniesaminati precedentemente, la differenza d’energia tra lo stato stabile e lostato metastabile e quella di un processo microscopico elementare dell’ordi-ne dell’elettronvolt, il che implica che la variazione del potenziale elettricodi un elettrone sia dell’ordine del volt quando esso passa da un terminale

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all’altro (secondo la definizione dell’elettronvolt come unita d’energia). Lastessa argomentazione permette anche di comprendere l’ordine di grandezzadella capacita delle batterie in commercio, notando che per ogni ione l’ener-gia immagazzinata non e diversa dalla differenza tra livelli d’energia stabilee metastabile.

11 Laser, Superfluidita e Superconduttivita

Abbiamo finora esaminato le conseguenze macroscopiche del principio di Pau-li per gli elettroni, particelle che si escludono reciprocamente poiche sono fer-mioni. Avevamo segnalato prima l’esistenza di un altro tipo di particelle, ibosoni, che, secondo il principio di Pauli, tendono al contrario ad accumularsinello stesso stato. I fotoni sono dei bosoni, e la loro tendenza ad aggregarsie messa a profitto per costruire i laser. In un fascio laser, tutti fotoni hannostessa direzione, stessa frequenza ν e dunque anche stessa energia E = hν: sitrovano in uno stesso stato quantico, caratterizzato dall’onda elettromagneti-ca che si propaga lungo il fascio. La loro produzione collettiva e facilitata dalmeccanismo d’emissione stimolata, scoperto da Einstein. Quando un elettro-ne scende da un livello d’energia ad un altro perdendo l’energia E, un fotonedi frequenza ν = E/h e creato. Il carattere bosonico del fotone si traducecon il fatto paradossale che la sua probabilita di essere emessa in uno statoquantico dato e tanto piu grande quanto piu questo stato e occupato da al-tri fotoni; essa e proporzionale al numero dei fotoni presenti. Quest’effettopermette cosı di accumulare un numero macroscopico di fotoni nello stessostato, e dunque di concentrare una forte energia nel fascio laser.

Anche gli atomi di elio 4He sono bosoni che si comportano, a causa dellaloro grande stabilita, come corpuscoli puntiformi senza struttura interna. Sesi ignorano le loro interazioni mutue, i parametri in gioco sono la tempera-tura T del fluido, la suo densita (caratterizzata dal numero n di atomi perunita di volume) e la massa M di ogni atomo (si tratta della massa ato-mica, 4 g mol−1 per l’elio). Combinando queste dimensioni con le costantifondamentali in gioco, la costante di Planck h e la costante di Boltzmannk = 1.38 × 10−23 J/ K, si puo costruire soltanto una quantita senza di-mensione, h2n3/2/MkT . Questo numero cresce con h, cioe con il caratterequantistico del fluido. Finche e piccolo, cioe quando la temperatura superaalcuni Kelvin, l’elio si comporta come un fluido classico. Tuttavia, si osservache a 2.18 K si passa attraverso una nuova fase, l’elio II, un liquido quantisticoavente proprieta singolari che riflettono alla nostra scala la natura bosonicadei suoi atomi. L’elio II e superfluido, cioe scorre con una viscosita nulla e lasua conducibilita termica e 1000 volte superiore a quella del rame a tempe-

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ratura ordinaria. Si possono cosı mettere in evidenza effetti di interferenza,come se il fluido si propagasse come un’onda. Questo fenomeni provengonodal fatto che gli atomi d’elio sono bosoni e hanno la tendenza ad accumularsia temperatura bassa negli stati quantici d’energia minima, rappresentati daonde delocalizzate in tutto il volume offerto dal fluido. La viscosita nulla e laforte conducibilita traduce alla nostra scala la delocalizzazione degli atomi inquesti stati quantici. Quindi ancora una volta, due aspetti della meccanicaquantistica si combinano, la natura ondulatoria degli atomi d’elio ed il lorocarattere bosonico.

Un fenomeno analogo alla superfluidita dell’elio e la comparsa della super-conduttivita in diversi materiali al di sotto di una certa temperatura critica,ad esempio 7.2 K per il piombo e 1.2 K per l’alluminio. In queste condizio-ni, nei metalli superconduttori l’esistenza della superficie di Fermi rafforzale interazioni tra elettroni, in modo che questi si legano in coppie. Questecoppie di elettroni hanno un comportamento simile a quello bosonico (inquanto gli elettroni che le costituiscono sono fermioni), e quindi si osserva-no nei superconduttori degli effetti quantistici macroscopici notevoli, similia quelli manifestati nell’elio II. La resistivita si annulla bruscamente quandola temperatura scende al di sotto della temperatura critica, in modo che unacorrente lanciata in un circuito chiuso puo restarvi intrappolata per ore. Ilcampo magnetico non penetra all’interno di un campione superconduttore,a meno che non superi una certa soglia oltre la quale la superconduttivitascompare. Possono essere prodotti effetti ondulatori, come l’interferenza didue correnti o la creazione di correnti alternate sotto l’effetto di una tensionecontinua. La teoria della superconduttivita e difficile: mentre il fenomeno estato scoperto sperimentalmente nei metalli da Kamerlingh Onnes nel 1911,esso e stato spiegato da Bardeen, Cooper e Schrieffer soltanto nel 1957; piurecentemente, Bednortz e Muller hanno trovato che alcuni ossidi diventavanosuperconduttori a temperature decisamente piu alte che nei metalli, nuovofenomeno quantistico macroscopico non ancora completamente delucidato.

12 Carattere estensivo della materia

La meccanica quantistica svolge un ruolo essenziale ma nascosto in una pro-prieta fisica di cui non siamo cosı tanto coscienti quanto vi siamo abituati: lamateria e a livello macroscopico continua ed omogenea all’equilibrio termo-dinamico e, nonostante l’esistenza di forze attrattive tra i suoi costituenti,essa non collassa su se stessa. Consideriamo ad esempio un semplice ato-mo d’idrogeno. In meccanica classica, la sua energia non sarebbe limitatainferiormente poiche l’elettrone potrebbe avvicinarsi indefinitamente al pro-

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tone. Cio impedirebbe lo stabilirsi di un equilibrio termico per l’atomo. Lameccanica quantistica impone una certa distribuzione ondulatoria formatadall’elettrone, cosa che implica che l’energia sia sempre superiore o uguale a−13.6 eV.

Inoltre, la materia alla nostra scala e estensiva: in condizioni stabilitedi temperatura e di pressione, il volume, l’energia interna e l’entropia di uncampione di materia di 2 kg sono due volte piu grandi di quelli di un cam-pione di 1 kg e non dipendono dalla forma del campione. E un problemateorico importante quello di dimostrare questa proprieta sulla base della no-stra conoscenza della costituzione microscopica del materiale, un insieme dielettroni e di nuclei atomici in interazione colombiana. La risoluzione di que-sto problema e difficile, come suggerisce anche il fatto che un materiale nonneutro elettricamente non e affatto estensivo. Inoltre l’esistenza delle forze digravitazione impediscono alla materia stellare di essere estensiva: il volumedi stelle dello stesso tipo non e proporzionale alla loro massa. La spiegazio-ne del carattere estensivo della materia utilizza due aspetti della meccanicaquantistica. L’estensione della nuvola elettronica garantisce, sia in un atomo,in una molecola o in uno ione, che il materiale non possa contrarsi oltre uncerto limite e che la sua energia sia superiore ad un certo valore minimo.Ma resta da comprendere, almeno per un materiale elettricamente neutro,perche questo valore e proporzionale al numero dei costituenti elementariquando il campione e macroscopico. Infatti, questa proprieta non sarebbevera se questi costituenti elementari, i nuclei atomici ed elettroni, fosserobosoni. Fortunatamente, almeno gli elettroni sono fermioni. (I nuclei sonobosoni o fermioni a seconda che il numero dei protoni e neutroni costituentisia pari o dispari.) Pertanto, essi hanno tendenza ad evitarsi, la proprietadeterminante che permette al materiale di essere estensivo. In ultima analisi,la materia e estensiva soltanto grazie al principio di Pauli per gli elettroni.

13 Geofisica e Astrofisica

La meccanica quantistica, base della microfisica e onnipresente anche allanostra scala sebbene in modo spesso nascosta, si manifesta anche alle scale(decisamente piu grandi) geofisica e astrofisica.

Una domanda interessante in ambito geofisico e la seguente: perche lemontagne hanno al massimo (sulla terra) un’altezza dell’ordine di una decinadi km e non, per esempio, 50 volte di piu? Questo valore e una conseguenzadella natura dello stato solido della roccia – granito, quarzo, silicio – di cuisono fatte le montagne (quindi, del numero atomico medio A ≈ 60 e dellamassa del protone mp), e connesso con l’accelerazione di gravita g e anche

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all’energia di liquefazione (cioe il calore latente di fusione) per atomo dellaroccia Eliq.

La fisica e la seguente: se la montagna e troppo alta, la forza dovutaal peso della montagna e sufficiente a rompere la direzionalita dei legamitra gli atomi nella roccia alla base, cioe essa si liquefa e fluisce a lato dellamontagna mentre questa sprofonda. L’energia necessaria per la liquefazioneviene fornita dalla perdita di energia potenziale della montagna quando essasprofonda nel terreno.

Se H e l’altezza della montagna e δM = AmpδN e la massa persa dallamontagna quando sprofonda (δN e il numero di protoni che partecipano inquesto processo), l’energia potenziale persa δMHg deve almeno uguagliarel’energia necessaria per liquefare la stessa quantita di massa, EliqδN . Sediventa inferiore, la montagna cessa di sprofondare e raggiunge l’altezza diequilibrio.

Eliq e a sua volta una quantita molto minore dell’energia di ionizzazioneEI (≈ 0.2×13.6 eV) degli atomi della roccia in quanto nel liquido fuso, essen-do esso uno stato ancora abbastanza ben strutturato, non si rompono il lega-mi atomici, ma solo le loro direzionalita. Si stima Eliq ≈ 5× 10−2EI . Anchein questo caso e la meccanica quantistica che determina il valore dell’energiadi ionizzazione, e quindi di Eliq.

Eguagliando ora le due energie, AmpδNHg = EliqδN ≈ 5 × 10−2EIδN ,e risolvendo per H si trova proprio un valore minore di 25 km, che comeordine di grandezza si accorda bene con il valore osservato, considerando ilmodello molto semplice utilizzato. In realta il limite e minore in quanto laroccia e calda e quindi occorre meno energia per liquefarla. Sugli altri pianetil’altezza critica e differente in quanto l’accelerazione di gravita e differente,ed inoltre i pianeti possono essere composti di un materiale differente.

Passiamo ora ad una scala decisamente piu grande. Le quattro interazio-ni fondamentali, gravitazionale, elettromagnetica, nucleare forte e nuclearedebole, sono all’opera in una stella, oggetto fuori d’equilibrio termico, nonfoss’altro che per il fatto che essa irraggia perdendo dell’energia. Il sole e lestelle dello stesso tipo restano tuttavia in un regime quasi stazionario durantemolti miliardi di anni, sotto l’effetto di due fenomeni antagonisti.

Infatti esse sono degli enormi ammassi di gas, principalmente idrogeno,che sono fortemente compressi dal loro stesso peso. La loro auto-gravitazionetende a farli contrarre e quindi a portarli ad alta temperatura, il che e l’o-rigine del loro irraggiamento. Quindi il sole (e le altre stelle) brilla perche eincandescente, ed esso e incandescente a causa della sua auto-gravitazione.

Quando un corpo caldo irraggia perde energia e si raffredda. La cosasingolare delle stelle e che esse si contraggono quando perdono energia mala loro temperatura cresce! Questo si puo capire considerando il fatto che

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quando una stella perde energia e si contrae, per mantenersi in equilibriodeve aumentare la sua forza centrifuga, quindi i costituenti devono ruotarepiu rapidamente. Poiche la temperatura riflette il moto (l’energia cinetica)dei costituenti del gas stellare, la temperatura cresce; se la temperatura cresceil tasso di perdita dell’energia cresce ancor di piu, innescando una retroazionepositiva nel processo.

In questo caso il sole avrebbe una vita relativamente breve (si stima circa10 milioni di anni, quindi i dinosauri non avrebbero mai potuto esistere vistoche si pensa che essi siano vissuti 200 milioni di anni fa). Contrariamente allastima riportata, si pensa che il sole si sia formato circa 4.5 miliardi di annifa e si stima che esso potra continuare a brillare per un tempo altrettantolungo. Il meccanismo che permette che cio avvenga e il seguente.

Se un gas soggetto alla sua gravitazione perde energia, la sua temperaturaaumenta; se guadagna energia, la sua temperatura diminuisce. Esso possiedeun calore specifico negativo. Questo e meraviglioso: una combustione puostabilizzare la temperatura del gas, in quanto un eccesso di combustione (unaumento di energia) raffredda il gas, mentre una insufficiente combustione ri-scalda il gas. L’energia di combustione viene quindi dissipata a temperaturacostante ed il sistema risulta auto-regolato. La materia resiste tutto som-mato allo schiacciamento auto-gravitazionale grazie all’esistenza nel cuoredella stella di una caldaia nucleare, che si mantiene dentro una temperatu-ra e quindi una pressione elevate. Quando la temperatura e troppo elevatala combustione aumenta producendo energia e quindi il gas si raffredda, eviceversa. La meccanica quantistica interviene per regolare le reazioni nu-cleari di fusione dell’idrogeno nel cuore della stella, cosa che permette allastella di irraggiare in modo stabile per un lunghissimo periodo. Ed e ancorala fisica quantistica che determina la forma dell’irraggiamento; e del restola ricerca della spiegazione di questa forma che, come abbiamo accennatonell’introduzione, e all’origine della scoperta della meccanica quantistica.

Quando la stella invecchia, il combustibile nucleare (i nuclei che si tra-sformano in nuclei d’elio ed eventualmente quest’ultimi che si fondono se latemperatura e sufficientemente elevata) si esaurisce. La pressione dovuta al-l’agitazione termica della materia della stella (elettroni, protoni ed i nucleicome quelli da elio, di carbonio e d’ossigeno formati nella fusione) non bastaallora piu a controbilanciare le forze di gravita esercitate dagli strati esternidella stella; questa collassa su essa stessa. Le stelle aventi masse paragonabilia quella del sole diventano allora nane bianche, oggetti stellari molto densipoiche la loro dimensione e quella della terra. Le nane bianche sono oggettiquantistici macroscopici. Infatti, cio che impedisce loro di contrarsi indefini-tamente, e (ancora!) il principio di Pauli per gli elettroni, che, con i protonirestanti ed i nuclei leggeri formati, costituiscono la materia di questo tipo di

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stelle. Il fatto che gli elettroni si escludano reciprocamente nello spazio gene-ra una pressione quantistica sufficientemente forte per equilibrare la gravita;il contributo di agitazione termica alla pressione e trascurabile.

L’effetto della gravitazione e ancora molto piu rilevante nelle stelle aventimasse superiori a dieci volte quella del sole. Quando il combustibile nuclearee esaurito, la pressione dovuta all’alta temperatura e la pressione quantisticadovuta al carattere fermionico degli elettroni non bastano piu ad impedirel’implosione generata dalla gravita. Mentre gli strati esterni, considerevol-mente surriscaldati da questa liberazione dell’energia gravitazionale, sonoviolentemente espulsi, fenomeno che si osserva in una gigantesca esplosionechiamata supernova, la parte interna e brutalmente compressa al punto daraggiungere una densita comparabile a quella del nucleo atomico: una massacomparabile a quella del sole si concentra in una sfera di 10 chilometri diraggio. Gli elettroni e protoni si fondono allora per formare neutroni, in mo-do che questi oggetti diventano stelle di neutroni. E nuovamente il principiodi Pauli che limita la contrazione gravitazionale in queste stelle, ma questavolta, i fermioni che producono la pressione quantistica sono neutroni.

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